Анализ размерности и автомодельные решения (в примерах и

Федеральное агентство по образованию
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Национальный проект «Образование»
Инновационная образовательная программа ННГУ. Образовательно-научный центр
«Информационно-телекоммуникационные системы: физические основы и
математическое обеспечение»
Н.В.Дерендяев
Анализ размерности и автомодельные решения
(в примерах и задачах)
Учебно-методические материалы по программе повышения
квалификации «Информационные технологии и компьютерное
моделирование в прикладной математике»
Нижний Новгород
2007
Учебно-методические материалы подготовлены в рамках
инновационной образовательной программы ННГУ: Образовательнонаучный центр «Информационно-телекоммуникационные
системы: физические основы и математическое обеспечение»
Дерендяев Н.В. Анализ размерности и автомодельные решения (в примерах и задачах).
Учебно-методический
«Информационные
материал
технологии
по
и
программе
компьютерное
повышения
моделирование
квалификации
в
прикладной
математике». Нижний Новгород, 2007, 78 с.
Учебно-методический
материал
содержит
задачи
и
примеры
по
динамике
распределенных систем: автомодельные решения, нелинейные волны, разные задачи об
импульсе различных одномерных волновых движений и другие задачи.
Для
преподавателей,
научных
работников,
аспирантов
и
студентов,
специализирующихся в области математической физики.
© Н.В.Дерендяев,2007
2
Содержание
ГЛАВА I. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ .................................................................. 4
ГЛАВА II. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ............................................................................ 19
ГЛАВА III. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ. .................................................................................... 36
ГЛАВА IV. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ СТРУИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ..... 56
3
АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТИ И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ (В
ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ)
ГЛАВА I. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Математический маятник при t = 0 отклонен на угол ϕ 0 - изначальная скорость
маятника ϕ 0 = 0 . С помощью анализа размерности получить формулу для периода
колебаний τ .
l
ϕ0
r
g
m
Рис.1
Решение: Период τ может зависеть только от параметров, входящих в постановку
задачи: m ,l , g ,ϕ 0 . Здесь m - масса материальной точки, l - длина подвеса, g - ускорение
свободного падения. Эти параметры вполне характеризуют маятник. Размерности
определяющих величин в классе систем единиц M , L ,T :
[ m ] = M ; [ l ] = L; [ g ] = LT −2 ; [ ϕ 0 ] = 1.
Применяя Π - теорему (см., например, [1]) получим
τ / l / g = F ( ϕ 0 ), ,
4
(1.1)
Поскольку из четырех аргументов функции τ ( m ,l , g ,ϕ 0 ) три имеют независимые
размерности. Вид функции F ( ϕ 0 ) в рамках анализа размерности установить нельзя.
Формула (1) – решение поставленной задачи.
1. Тело массы m брошено под углом α к горизонту со скоростью v0 в поле тяжести
v0 в поле тяжести g . С помощью анализа размерности найти формулу для дальности
полета l .
-
Рис. 2
Решение: Исходя
из данных постановки задачи
L( m , g .V0 ,α ). Размерности
определяющих величин в классе систем MLT таковы: [ m ] = M ;
[ g ] = LT −2 ;
[ V0 ] = LT −1 ; [ α ] = 1. Из четырех определяющих величин - m , g ,V0 имеют
независимые размерности, а четвертая α - безразмерна. Применяя Π -теорему, получим
формулу
l
( V02
/g)
= F ( α ),
(2.1)
Которая решает поставленную задачу.
3. Используя дополнение Хантли, рассмотреть предыдущую задачу и найти вид
функции F ( α ).
5
Решение: Следуя Хантли, введем класс систем единиц MLx L yT , в котором две
независимые размерности длины Lx , L y (по координатам x , y соответственно). Системы
единиц этого класса, вообще говоря, должны содержать размерный коэффициент k : « x −1
эквивалент по y »; [ k ] = Lx L y .
Предполагая, что в рассматриваемой задаче о бросании тела движения по
координатам x , y происходят независимо, исключим k из числа определяющих величин
и запишем искомую зависимость в виде: l( m , g ,V0 x ,V0 y ) . Размерности определяющих
величин в классе MLx L yT таковы: [ m ] = M ;
−2
[ g ] = L yT ;
[ V0 x ] = L xT −1 ;
−1
[ Voy ] = L yT . Все четыре аргумента функции l( m , g ,V0 x ,V0 y ) имеют независимые
размерности. Применяя Π -теорему, получим l = c
V0 x ⋅ V0 y
g
, где c - безразмерная
постоянная.
Подставляя в полученную формулу выражения для V0 x ,V0 y через V0 ,α , перепишем
V02
1
ее в виде l = c
⋅ sin 2α . Отсюда видно, что в формуле (1.2) F ( α ) = c ⋅ sin 2α ,
2
2g
зависимость l от угла α установлена с точностью до безразмерного множителя в рамках
анализа размерностей.
4. С использованием
анализа размерности найти
фундаментальное решение
одномерного уравнения диффузии.
Решение: По определению фундаментальное решение удовлетворяет уравнению
ut = Du xx на прямой x ∈ ( −∞ ,+∞ ) и условиям: u( x ,0 ) = Qδ ( x ); u → 0, x → ∞.
Здесь δ ( x ) - дельта функция. Из постановки задачи следует, что искомое решение
u( x ,t , D ,Q ) . Размерности определяющих величин в классе MLTΘ таковы: [ x ] = L ;
[ t ] = T ; [ D ] = L2T −1 ; [ Q ] = ΘL . Здесь Θ - символ размерности искомого решения
u . Комплекс
u ⋅ Dt
безразмерен u , следовательно, согласно Π - теореме может
Q
зависеть только от безразмерных комплексов, составленных из x ,t , D ,Q. Существует
6
всего один такой функционально независимый комплекс, например, ξ = x Dt . Таким
образом, фундаментальное решение уравнения диффузии имеет вид:
u( x ,t ) =
Q
⋅ f ( ξ ).
Dt
(1.3)
Как видно из записи, оно автомодельно: переменная ξ носит название автомодельной
переменной. Для нахождения функции f ( ξ ) подставим (1.3) в уравнение диффузии и
получим
1
f ′′ = − ( ξ f ′ + f ).
2
(1.4)
Здесь штрихом обозначена производная по ξ . Уравнение (1.4) интегрируется:
f ′ + ( 1 / 2 ) ⋅ ξ f = c; c - константа. Фундаментальное решение уравнения диффузии
четная функция x : это следует из инвариантности постановки задачи относительно
x → − x.
преобразования
u x ( 0 ,t ) =
Q
Dt
это
(Покажите
сами!)
Но
тогда
f ′( 0 ) = 0; t > 0. Отсюда f ′( 0 ) = 0 и константа интегрирования
 ξ2 
df
1
 , где c1 c = 0. Для функции f ( ξ ) получим:
= − ξdξ , т.е. f ( ξ ) = c1 exp −

f
2
 4 
константа. Решение (1.3) при любом значении
c1 удовлетворяет предельному
+∞
+∞
Q +∞
x
условию: u → 0, x → ∞ . Вычислим ∫ u( x ,t )dx =
∫ f ( Dt )dx = Q ∫ f ( ξ )dξ .
Dt −∞
−∞
−∞
Как
видно,
+∞
этот
интеграл
зависит
+∞
∫ u( x ,0 )dx = Q ∫ δ ( x )dx = Q .
−∞
не
от
t
;
из
начального
+∞
Следовательно,
−∞
∫ u( x ,t )dx = Q ,
−∞
условия
+∞
т.е.
∫ f ( ξ )dξ = 1.
−∞
 +∞ −ξ 2 


Отсюда получим значение константы интегрирования: c1 = ∫ e 4 dξ


−∞


−1
=
1
. В
2 π
результате фундаментальное решение уравнения диффузии (1.3) запишется в виде:
u ( x, t ) =
 x2 
Q
 .
exp
4
Dt
2 πDt


7
5. Два однородных полупространства x > 0 и x < 0 из одного и того же материала с
постоянными температурами u1 ,u 2 соответственно при t = 0 при t = 0 приведены в
тепловой контакт. Найти распределение температуры u( x ,t ) при x ∈ ( −∞ ,+∞ ); t > 0 .
Решение: Обратимся к анализу размерности, сделав предварительно
неизвестной функции
u=v+
замену
u1 + u 2
. Новая неизвестная v( x ,t ) удовлетворяет
2
уравнению теплопроводности v t = χv xx , где χ -постоянная, и начальному условию: при
u1 − u 2
. Предельные условия для функции
2
v( x ,t ) примем в виде: v → V, x → −∞; v → -V, x → +∞ , t > 0 . Искомая функция,
t = 0 v = V, x < 0; v = -V, x > 0; V =
как видно из постановки задачи, зависит только от x ,t ,V , χ . Размерности определяющих
величин в классе систем MLTΘ таковы: [ x ] = L; [ t ] = T ; [ V ] = Θ; [ χ ] = L T
2
−1
.
Здесь Θ - символ размерности температуры. Из четырех величин x ,t , V , χ три имеют
независимые размерности. Это, например, x ,t ,V . Следовательно, из x ,t ,V , χ можно
образовывать всего один функционально независимый безразмерный комплекс, например,
ξ=
x
. Применяя Π -теорему, получим
χt
v
= f (ξ )
V
Подставляя (1.5) в уравнение теплопроводности, получим −
(1.5)
1
f ′ ⋅ ξ = f ′′ , здесь
2
штрихом обозначена производная по ξ . Интегрируя уравнение относительно f ( ξ ) ,
получим
ξ
−ξ2
f ( ξ ) = c + c ∫ exp
dξ .
4
−∞
8
(1.6)
Константы интегрирования c1 ,c2 найдем из предельных условий при x → ±∞;
f ( ∞ ) = −1;
f ( −∞ ) = 1 .
Отсюда
c1 = 1;
c2 = −

u + u 2 u1 − u 2 
1
1 −
Окончательно получим: u( x ,t ) = 1
+
2
2 
π


2
−ξ2 
∫ exp 4 dξ
−∞


+∞
x
χt
∫
−∞
=−
1
.
π


−ξ
exp
dξ  .
4



2
6. В рамках анализа размерности рассмотреть задачу о пограничном слое на
плоской
полубесконечной
пластинке,
обтекаемой
однородным
потоком
вязкой
несжимаемой жидкости (задача Блазиуса).
y
U
δ( x )
x
0
Рис.3
Решение: Уравнения Прандтля
для пограничного слоя на плоской пластинке,
обтекаемой однородным потоком, записываются в виде:
∂u
∂u
∂ 2u
∂u ∂v
u
+v
=v 2 ;
+
= 0.
∂x
∂y
∂x ∂y
∂y
(1.7)
Здесь x , y - декартовы координаты в направлении обтекания и ортогонально к нему;
u , v -компоненты поля скоростей жидкости по осям x , y соответственно;
9
v-
кинематическая вязкость жидкости. Граничные условия к системе (1.7) состоят
в
прилипании вязкой жидкости к неподвижной пластинке:
u = 0; v = 0 при x > 0;
y=0
(1.8)
и стремлении x -компоненты поля скоростей к скорости однородного потока U ,
обтекающего пластинку, на внешней границе слоя:
u → U при x > 0; y → +∞.
(1.9)
В силу симметрии задачи рассматривается лишь движение жидкости в первом
квадранте: x > 0;
y ≥ 0. Как видно из постановки задачи, две неизвестные функции
u , v зависят от четырех определяющих величин x , y ,v ,U . Воспользуемся дополнением
Хантли и рассмотрим данную задачу в классе систем единиц MLx L yT с двумя
неизвестными размерностями длины Lx , L y . Размерности определяющих величин при
этом:
[ x ] = Lx ; [ y ] = L y ; [ U ] = LxT −1 ; [ v ] = L2y T −1 .
(1.10)
Уравнения Прандля (1.7) замечательны тем, что при их рассмотрении в классе
MLx L yT не требуется использовать размерный коэффициент k - « x - эквивалент длины
−1
по y »; [ k ] = Lx L y . В самом деле, взяв размерности определяющих величин (1.10) и
положив [ u ] = Lx T
−1
, [ v ] = L yT −1 , получим в каждом из уравнений (1.7) все члены
одной размерности. Этим свойством, в отличие от уравнений Прандля, не обладают
полные уравнения движения вязкой жидкости Навье-Стокса, т.к. в них содержатся члены
 ∂ 2 u ∂ 2u 
. Такие члены при переходе в класс систем единиц MLx L yT
вида v 2 +
2 
 ∂x
y
∂


 ∂ 2 u 1 ∂ 2u 
приобретают вид v 2 + 2 ⋅ 2  , а в числе определяющих величин появляется при
 ∂x
k ∂y 

этом размерный коэффициент k .
Среди четырех величин x , y ,U ,v три имеют независимые размерности. Это означает,
что решение задачи Блазиуса автомодельно. Применяя Π -теорему, получим
u
= f ( ζ );
U
10
v
= g ( ζ ),
vU
x
(1.11)
где ζ = y
U
- автомодельная переменная. Подставляя u , v из (1.11) в уравнения
vx
(1.7), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
ζ
ζ
) + gf ′ = f ′′; − ⋅ f ′ + g ′ = 0 ,
2
2
где штрихом обозначена производная по ζ .
f f ′( −
(1.12)
Граничные условия к системе (1.12) в соответствии с (1.8), (1.9) имеют вид:
f ( 0 ) = 0; g ( 0 ) = 0;
f ( ∞ ) = 1.
(1.13)
ζ

1ζ
1

′
Интегрируя второе уравнение (1.12), получим g ( ζ ) = ∫ ζf dζ =
ζ
f
−
fd
ζ
∫ .
20
2 
0

Введем новую неизвестную ϕ =
ζ
∫ fdζ .
1
g = ( ζϕ ′ − ϕ ) , а для ϕ
2
Тогда f = ϕ ′;
0
получим из первого уравнения (1.12), так называемое уравнение Блазиуса:
2ϕ ′′′ + ϕϕ ′′ = 0.
(1.14)
Решение уравнения (1.14) должно удовлетворять условиям
ϕ ( 0 ) = 0; ϕ ′( 0 ) = 0; ϕ ′( ∞ ) = 1.
(1.15)
Краевая задача (1.14). (1.15) решается численными методами (см., например, [2]).
График функции f ( ζ ) изображен на рис.4. Видно, что внешней границе пограничного
слоя соответствует ζ ≈ 5 , т.е. условная толщина пограничного слоя δ ( x ) = 5
7.
Построить
решение
уравнения
лучистой
теплопроводности
vx
.
U
на
прямой
x ∈ ( −∞ ,+∞ ) в случае мгновенного точечного источника тепла.
Решение: Уравнение лучистой теплопроводности записывается в виде:
ut = χ ( u n+1 )xx ,
(1.16)
где u( x ,t ) - поле температуры на прямой; χ - постоянная; n ≈ 5 .
В случае мгновенного точечного источника тепла u( x ,0 ) = 0; x = 0; u( 0 ,0 ) = ∞ ,
+∞
причем
∫ u( x ,0 )dx = Q .
Граничное условие на бесконечности примем в виде:
−∞
u → 0;
x → ∞.
Решение
поставленной
11
задачи
u( x ,t , χ ,Q ) .
Размерности
определяющих величин в классе систем MLT Θ
таковы: [ x ] = L ; [ t ] = T ; [ χ ] = Θ
( Θ - символ размерности температуры)
−n 2
L T −1 ; [ Q ] = ΘL . Из четырех определяющих
величин три имеют независимые размерности. Следовательно, решение задачи
автомодельно. Применяя Π - теорему, получим:
u
( χt ⋅ Q
−2
)
−1
n+2
x
= F ( ξ ), ξ =
(( χt )Q )
n
1
n+ 2
.
(1.17)
Подставляя в (1.16) решение в форме (1.17), получим обыкновенное дифференциальное
уравнение для F ( ξ ) (проделайте это сами!):
− δ ( F ( ξ ) + ξF ′( ξ )) = ( F ( ξ )n+1 )′′,
где штрих означает дифференцирование по ξ ;
δ=
(1.18)
1
. Интегрируя (1.18) по ξ ,
n+2
получим:
+ δξF ( ξ ) + ( F ( ξ )n+1 )′ = c ,
(1.19)
где c - константа.
Постановка задачи с уравнением (1.16) инварианта относительно преобразования
x → − x , т.к. начальное условие u( x ,0 ) = Qδ ( x ) - четная функция x в силу четности
δ -функции. Если решение этой задачи единственно, то оно четная функция x :
u( x ,t ) = u( − x ,t ) . Но тогда u x ( 0 ,t ) = 0; t > 0 , F ′( 0 ) = 0 , константа интегрирования
c = 0 . Из (1.19) получим ( n + 1 )F n−1 ⋅
dF
= −δ ⋅ ξ и, далее,
dξ
1
n

−ξ )

F ( ξ ) = 

2
(
n
+
1
)(
n
+
2
)


n( ξ 02
2
,
(1.20)
где ξ 0 - константа интегрирования.
Решение (1.20) определено при ξ ≤ ξ 0
2
комплекснозначно.
2
при
ξ 2 > ξ 02
оно, вообще говоря,
Продолжим решение (1.20) при ξ > ξ 0 тривиальным решением
2
2
F ( ξ ) = 0 . Полученное таким образом решение задачи является обобщенным решением,
12
т.к. в точках «склейки» ξ = ±ξ 0 непрерывен поток тепла. В самом деле, в случае
лучистой теплопроводности плотность потока тепла q = −λ0 u u x , где λ0 - константа.
n
ξ → ±ξ 0 ; t > 0 имеем u x → ∞ , q → 0
В соответствии с (1.17), (1.20) при
(убедитесь в этом сами!) Следовательно, q( ξ 0 − 0 ,t ) = q( ξ 0 + 0 ,t ) = q( ξ 0 ,t ) и поток
тепла непрерывен.
Решение F ( ξ ) изображено на рис.5.
F(ξ )
ξ0
0
ξ
Рис.5
Классического решения данной задачи не существует. Для нахождения ξ 0 рассмотрим
+∞
∫ u( x ,t )dx
при t > 0 . Имеем в соответствии с (1.17):
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ u( x ,t )dx = Q ∫ F ( ξ )dξ ,
+∞
т.е. рассматриваемый интеграл не зависит от t : по условию задачи
∫ u( x ,+0 )dx = Q ,
−∞
+∞
т.е.
∫ F ( ξ )dξ = 1.
−∞
Отсюда получим для ξ 0 уравнение
+∞ 
n( ξ 02
−ξ )
2
1
n
∫  2( n + 1 )( n + 2 ) 
−∞ 

dξ = 1.
Это уравнение можно решить численными методами [3].
Построенное решение описывает распространение сильной температурной волны,
вызванной мгновенным точечным источником тепла. В отличие от фундаментального
13
решения уравнения теплопроводности (см. п.4) в данном решении есть фронт
температурной волны: уравнение фронта x = ±ξ 0 ( Q χt )
n
1
n+ 2
.
8. Показать, что уравнение теплопроводности ut = χu xx на прямой x ∈ ( −∞ ,+∞ )
при финитных начальных условиях u( x ,0 ) = u 0 ( x ) ( u 0 ( x ) ≡ 0,
законы сохранения в виде степенных моментов функции
+∞
∫ u( x ,t )x
n
x > l ) допускает
u( x ,t ) , т.е. в виде
dx = conct , где n - натуральное число.
−∞
Решение: Уравнения теплопроводности на прямой можно представить в виде [4]:
u( x ,t ) =
+∞
1
⋅ ∫e
2 πχt −∞
2
−( x −ξ )
4 χt
u 0 ( ξ )dξ .
(1.21)
Если начальное распределение температуры u 0 ( x ) финитно, то в силу (1.21)
u( x ,t ) → 0 при x → ∞ вместе с производными по x любых порядков быстрее любой
отрицательной
степени
x . Умножим уравнение теплопроводности на
проинтегрируем по x от − ∞ до + ∞ , получим:
+∞
x
n
и
+∞
n
∫ ut x dx = ∫ u xx dx
−∞
(1.22)
−∞
Преобразуя (1.22) интегрированием по частям и учитывая, что u ,u x убывают при
x → ±∞
быстрее,
чем
любая
отрицательная
+∞
d +∞
n
u( x ,t )x dx = +( n − 1 ) ∫ ux n−2 dx.
∫
dt −∞
−∞
Отсюда
видно,
степень
что
получим
x,
степенные
моменты
+∞
M n = ∫ u( x ,t )x n dx при n = 0,1 сохраняются во времени. При этом, если M 0 = 0 , то
−∞
сохраняется M 2 , при M 1 = 0 сохраняется M 3 . Если же сохраняющиеся M 2 ,M 3 , в
свою очередь, равны нулю, то сохраняются M 4 ,M 5 и т.д.
9.
Построить
решение
уравнения
теплопроводности
ut = χu xx
на
прямой
x ∈ ( −∞ ,+∞ ) с начальным условием, соответствующим мгновенному точечному
источнику
с
заданным
моментом
14
распределения
температуры
+∞
n
M n = ∫ u( x ,0 )x dx; n = 1,2 ,... . Условие
на
бесконечность
принять
в
виде:
−∞
u → 0;
x →∞.
Решение: Исходя из постановки задачи решение может зависеть от x ,t , χ , M n .
Размерности определяющих величин в классе MLTΘ таковы: [ x ] = L ; [ t ] = T ;
[ χ ] = L2T −1 ; [ M n ] = ΘLn+1 . Здесь Θ -символ размерности температуры. Из четырех
определяющих величин три имеют независимые размерности. Следовательно, решение
задачи автомодельно.
Применяя Π - теорему, получим:
u
M n ⋅ ( χt )
где ξ =
−( n+1 )
2
= f (ξ ),
(1.23)
x
-автомодельная переменная.
χt
Подставляя решение в форме (1.23) в уравнение теплопроводности, получим:
d 2 f ξ df n + 1
f = 0.
+ ⋅
+
dξ
2 dξ
2
(1.24)
Обыкновенное дифференциальное уравнение (1.24) интегрируется в известных
функциях. Его решение записывается в виде:
ξ2
 −ξ 2
d 
f ( ξ ) = n  e 4 ( c1 + c 2 ∫ e 4 dξ
dξ 

n


) ,


(1.25)
где c1 ,c2 - постоянные.
Из условия на бесконечности u → 0;
x → ∞ следует, что f ( ξ ) → 0; ξ → +∞ .
Это возможно лишь при c2 = 0 . Отсюда
dn
ξ2
f ( ξ ) = c1 n [exp( − )].
4
dξ
15
(1.26)
Имеем при t > 0 :
+∞
∫ u( x ,t )x
n
dx =
−∞
+∞
+∞
Mn
( χt )
условию задачи ∫ u( x ,+0 ) x dx = M n ; отсюда
n
−∞
∫ f ( ξ )x
n +1
2 −∞
+∞
∫ f ( ξ )ξ
−∞
n
n
dx = M n
+∞
∫ f ( ξ )ξ
n
dξ . По
−∞
dξ = 1, а для константы c1
получим:
( −1 )
c1 =
2 π n!
n
(1.27)
Формулы (1.23), (1.26), (1.27) дают решение поставленной задачи.
10. Пусть u( x ,t ) - решение задачи с уравнением теплопроводности ut = χu xx на
прямой x ∈ ( −∞ ,+∞ ) и ограниченным начальным условием u( x ,0 ) = u 0 ( x ), где
u 0 ( x ) ≡ 0 при x > l . Условие на бесконечности: u → 0;
x → ∞. Показать, что
решение u( x ,t ) при t → +∞ асимптотически стремится к автомодельному.
Решение: Уравнения теплопроводности на прямой можно представить в виде [5]:
+∞
u( x ,t ) = ∫ Α( k ) exp( ikx − χk 2t )dk ,
(1.28)
−∞
где
1
Α( k ) =
2π
В
силу
1
Α( k ) =
2π
финитности
+∞
+∞
∫ u0 ( x ) exp( −ikx )dx.
начального
1
∫ u0 ( x ) exp( −ikx )dx = 2π
−∞
(1.29)
−∞
распределения
температуры
( −ik )n +1
n
∑ n! ∫ u0 ( x )x dx или
n =0
−1
∞
1
Α( k ) =
2π
( −ik )n
∑ n! M n ,
n =0
∞
где M n - степенные моменты начального распределения температуры.
Подставляя (1.30) в (1.28), получим
16
(1.30)
1
u( x ,t ) =
2π
1
=
2π
где ξ =
∞
∑
n=0
+∞
Mn
2
n
n
∑ n! ( −i ) ∫ k exp( ikx − χk t )dk =
n =0
−∞
∞
( −i ) M n
n
n! ( χt )
+∞
∫η
n +1
2 −∞
n
(1.31)
exp( iηξ − η )dη
2
x
- автомодельная переменная.
χt
Каждый член выписанного разложения для
u( x ,t ) является автомодельным
решением теплопроводности (подумайте, почему?) Главный член разложения (1.31) при
t → +∞ - автомодельное решение, соответствующее первому, отличному от нуля,
степенному моменту M n ; убывает при t → +∞ и постоянном ξ как
1
( χt )
n+1
2
.
11. Показать, что члены разложения (1.31) для температуры являются автомодельными
решениями, соответствующими мгновенному точечному источнику с заданным моментом
распределения температуры M n .
( −1 ) M n
u( x ,t ) =
2 π n! ( χt )
где ξ =
ξ
d
⋅ n ⋅ [exp( − )],
4
dξ
n
2
n
n +1
2
(1.32)
x
- автомодельная переменная.
χt
С использованием интеграла Фурье имеем:
dn
dξ
n
[exp( −
ξ2
1
)] =
4
2π
+∞
∫ Α( η )e
iηξ
dη
−∞
+∞
dn
ξ2
[exp( − )] e −iηξ dξ .
Α( η ) = ∫
n
4
−∞ dξ
Α( η ) = ( iη )n
+∞
∫
−∞
[exp(
Интегрируя
частям,
получим
+∞
ξ2
ξ2
)] e −iηξ dξ = ( iη )n ∫ exp( − )(cosηξ − i sinηξ )dξ .
4
4
−∞
ξ
exp( − )
4
+∞
2
Поскольку
по
четная
функция,
+∞
то
ξ2
∫ exp( − 4 ) sinηξdξ = 0 ,
−∞
+∞
ξ2
ξ2
2
∫ exp( − 4 ) cosηξdξ = 2 ∫ exp( − 4 ) cosηξdξ = 2 π exp( −η ) (см., например,
−∞
−∞
17
n +∞
d
ξ2
i
[6]. В результате
[exp( − )] =
n
4
π
dξ
n
2
n −η +iηξ
∫η e
dη и автомодельное решение
−∞
(1.32) записывается в форме члена ряда (1.31). Таким образом, решение задачи
теплопроводности, полученное в п.10 можно представить в виде разложения по
автомодельным решениям, построенным в п.9.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I.
1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977.
2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, т.II. М.:
Физматгиз, 1963, с.569.
3. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.:
Гидрометеоиздат, 1982,с.40.
4. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971,с.40.
5. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973,
с.257.
6. СМБ. Математический анализ. Дифференцирование и интегрирование. М.6
Физматгиз, 1961, 1961, стр.305.
18
ГЛАВА II. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
1. Найти формальное решение u( x ,t ) уравнения простой волны ut + uu x = 0 на
прямой x ∈ ( −∞ ,+∞ ) , удовлетворяющее начальному условию u( x ,0 ) = F ( x ).
Указание к решению. Представить u( x ,t ) как поле скоростей на прямой и перейти к
лагранжевым координатам.
Решение: Пусть u( x ,t ) - поле скоростей. Тогда в силу исходного уравнения
du
= 0,
dt
то есть u = G( ξ ) , где ξ - лагранжева координата. Полагая ξ равной начальному
значению x( 0 ) координаты частицы x( t ) в поле скоростей, получим x( t ) = u( ξ )t + ξ .
Отсюда
u = G( ξ ) = G( x − ut ) - формальное решение уравнения простой волны,
представленное в виде неявной функции u от x ,t ;
G( ξ ) - произвольная функция.
Удовлетворяя начальному условию, получим u( x ,0 ) = G( x ) = F ( x ).
2. Рассмотреть решение для простой волны (см.п.1) u = F ( x − ut ) в случае, когда
функция F ( ξ ) имеет точку перегиба на падающем участке кривой (рис.1 а,б).
F
F
ξ
ξ
ξ
ξ∗
а
F
ξ∗
б)
ξ∗
в)
Рис.1
и найти максимальное значение t , при котором решение u( x ,t ) ещё остаётся
однозначным.
Решение: В п.1 для координаты частицы в поле скоростей u( x ,t ) получено
19
x( t ) = u( ξ )t + ξ .
(2.1)
Рассмотрим отображение ξ в x , осуществляемое этой зависимостью ( t -параметр).
Обратное отображение x в ξ
дает значение лагранжевой координаты частицы,
находящейся в точке x в момент t .
Если отображение взаимно однозначно, то значению ( x ,t ) соответствует одно
значение ξ , следовательно, одно значение
отображения нарушается, если где-либо
u = F ( ξ ). Взаимная однозначность
x
= 0. Дифференцируя (2.1), получим
ξ
u ′( ξ )t + 1 = 0
(2.2)
как условие, ограничивающее однозначное продолжение решения по t . В случае, когда
кривая начального распределения скоростей
F ( ξ ) имеет
падающий участок,
существуют значения ξ , при которых F ′( ξ ) < 0; из (2.2) находим тогда положительное
значение t = −
1
. Это значение минимально, если ξ удовлетворяет условию
u ′( ξ )
F ′′( ξ ) = 0 , т.е. взято для точки перегиба кривой начального распределения скоростей.
∗
∗
Обозначив это значение через ξ , получим: t = −
1
∗
u ′( ξ )
; F ′′( ξ ∗ ) = 0. Однозначное
∗
продолжение решения по t возможно лишь при 0 ≤ t ≤ t . Если же при любом
ξ
F ′( ξ ) > 0 (рис.1в), то однозначное продолжение решения возможно при всех t ≥ 0.
3. Показать, что уравнение Бюргерса
u( x ,t ) = −2v
ut + uu x = vu xx с помощью замены
ϕx
сводится к уравнению теплопроводности ϕ t = vϕ xx .
ϕ
Решение:
Подставим
в
− 2vψ xt + 2v 2 (ψ x2 )x = −2v 2ψ xxx .
уравнение
Бюргерса
Проинтегрируем
это
u = − 2v ψ x ;
по
x
и
получим
получим
ψ t − vψ x2 = vψ xx + f ( t ), где f ( t ) - произвольная функция t . Подставим ψ = ln ϕ~ ;
2
ϕ~t
ϕ~xx ⋅ ϕ~ − ϕ~x2
 ϕ~x 
уравнение примет вид ~ − v ~  = v ⋅
+ f ( t ) или
ϕ
ϕ~ 2
ϕ 
20
ϕ~t = v ⋅ ϕ~xx + f ( t ) ⋅ ϕ~
(2.3)
ϕ~x
~ удовлетворяет уравнению (2.3) .
Таким образом, u( x ,t ) = −2v ~ , где ϕ
ϕ
~ = ϕ ⋅ F ( t ) не меняет функцию u( x ,t ) , то
Преобразование калибровки потенциала ϕ
ϕ~
ϕ
есть u = −2v ⋅ ~x = −2v ⋅ x .
Полагая F ( t ) = exp( ∫ f ( t )dt ) , получим для
ϕ
ϕ
откалиброванного потенциала уравнение ϕ t = vϕ xx . Это означает, что в (2.3) без
f ( t ) = 0 и записать решение уравнения
ограничения общности можно положить
Бюргерса в виде u = −2v ⋅ (ln ϕ )x , где ϕ удовлетворяет уравнению теплопроводности.
4. Найти решение уравнения Бюргерса ut + uu x = vu xx на прямой в виде бегущей
волны, удовлетворяющее условиям u → u1 ; x → −∞; u → u 2 ; x → +∞ , где u1 ,u 2 постоянные.
Решение: Подставим в уравнение решение в виде бегущей волны u( x ,t ) = u( ξ );
ξ = x − Vt ,
где
V-
скорость
распространения
волны;
получим
du d u 2
d 2u
−V
+
⋅
= v 2 . Интегрируя по ξ и удовлетворяя условию u → u1 при
d ξ dξ 2
dξ
x → −∞ , получим
2
du u
=
− Vu + C
v⋅
2
dξ
(2.4)
 u

C = u1 ⋅  − 1 + V .
 2

u 
 u2


− V  + u1 ⋅ V − 1  = 0 или
2
 2


Из условия u → u 2 при x → +∞ находим u 2 ⋅ 
V=
u1 + u 2
.
2
21
((2.5)
Скорость распространения волны V , таким образом определяется предельными
условиями при x → ±∞ . Подставляя (2.5) в (2.4), придем к уравнению для профиля
бегущей волны
2v ⋅
du
= ( u − u1 ) ⋅ ( u − u 2 ).
dξ
(2.6)
Через каждую точку плоскости ( u ,ξ ) проходит одна интегральная кривая уравнения
(2.6). Это уравнение имеет постоянные решения u ≡ u 2 ; u ≡ u1 . Следовательно,
интегральная кривая уравнения (2.6), удовлетворяющая условиям u → u1 ; ξ → −∞ ;
u → u 2 ; ξ → +∞ , целиком расположена в полосе, ограниченной постоянными
решениями u ≡ u 2 ; u ≡ u1 . Допустим u1 > u 2 ; тогда u 2 < u < u1 при всех ξ . Отсюда и
из (2.6) следует, что
du
< 0 , то есть u( ξ ) монотонно убывающая функция. Если же
dξ
взять u1 < u 2 , то получим u1 < u < u 2 ;
du
< 0 , то есть придем к противоречию:
dξ
монотонно убывающая функция изменяется при возрастании ξ от u1 до u 2 , причем
u1 < u 2 . Это означает, что профиль бегущей волны Бюргерса выглядит, как показано на
рис.2
22
u
u1
ξ
u2
Рис.2
Уравнение (2.6) сводится к квадратуре
 u − u1
 u −u
2

получим ln
du
ξ
=
∫ ( u − u )( u − u ) 2v . Вычисляя интеграл,
1
2
 ( u1 − u 2 )
=
⋅ ( ξ − ξ 0 ), где ξ 0 - постоянная. Поскольку u 2 < u < u1 ,

2
v

то
u1 − u
u − u2

= exp  1
⋅ ( ξ − ξ 0 )
u − u2
 2v

(2.7)
 u − u2

u1 + u 2 ⋅ exp  1
⋅ ( ξ − ξ 0 )
 2v
 . Решение (2.7) однозначно
и, следовательно u( ξ ) =
 u − u2

1 + exp  1
⋅ ( ξ − ξ 0 )
 2v

для всех t .
5. Рассмотреть поведение решения уравнения Бюргерса в виде бегущей волны,
полученного в п.4 при v → 0 . Сравнить с результатом решения в п.2.
Решение: Рассмотрим решение (2.7) предыдущей задачи. Если ξ < ξ 0 ; v → 0 , то
u → u1 . Если же ξ > ξ 0 ; v → 0 , то u → u 2 . Если же ξ > ξ 0 ; v → 0 , то u → u 2 .
Таким образом, при v → 0 в точке ξ = ξ 0 формируется разрыв, а профиль волны
23
стремится к кусочно постоянному . Если же положить в уравнении Бюргерса v = 0 , то
придем к уравнению простой волны. Как показано в п.2, решение этого уравнения можно
однозначно продолжить лишь при
∗
0 ≤ t < t , если кривая начального распределения
∗
F ( ξ ) имеет падающий участок (рис.1а,б). Здесь t = −
1
∗
∗
u ′( ξ )
; F ′′( ξ ) = 0 . Решение
уравнения Бюргерса при исчезающее малом v качественно отличается от решения при
v = 0.
6.
Показать,
r
что
удовлетворяет V = −2v
векторному
уравнению
Бюргерса
r
r r
r
∂V
+ ( V∇ )V = v∇V
∂t
∇ϕ
, где ϕ - решение уравнения диффузии ϕ t = v∆ϕ . Здесь
ϕ
r
V ( r ,t ) -векторное поле в трехмерном пространстве.
Решение:
r r
V 2
( V∇ )V = ∇
 2
Преобразуем
уравнение
с
помощью
тождества
r
r

 − [ V ,rotV ] ; получим


r
r
r
r
V 2 
∂V
 + v∆V
− [ V ,rotV ] = −∇

∂t
 2 
Непосредственные вычисления дают:
r
ϕ 
∂V ∂ 
∇ϕ 
=  − 2v
 = −2v( ∇(ln ϕ ))t = −2v∇ t  ,
∂t ∂t 
ϕ 
ϕ 
r
 ∇ϕ 
rotV == 2vrot 
 = −2vrot∇(ln ϕ ) = 0 ,
ϕ


r
 ∇ϕ 
∆ϕ
( ∇ϕ ) 2
divV = −2vdiv
+ 2v
.
 = − 2v
ϕ
ϕ2
 ϕ 
24
(2.8)
r
С использованием этих выражений результат подстановки V = −2v
∇ϕ
в уравнение
ϕ
(2.8) запишется в виде:
ϕ 
2v∆ϕ
).
− 2v∇ t  = v∇( −
ϕ
ϕ 
r
r
r
Здесь использовано выражение ∆V = ∇( divV ) − rotrotV . Из (2.9) следует
ϕ t = v∆ϕ + f ( t )ϕ ,
(2.9)
(2.10)
где f ( t ) - произвольная функция времени.
Калибровочное преобразование потенциала ϕ = ϕ~F ( t ) не меняет векторного поля,
т.е.
r
∇ϕ
∇ϕ~
V = −2v
= −2v ~ .
ϕ
ϕ
Полагая
F ( t ) = exp[ ∫ f ( t )dt ],
получим
для
~ = v∆ϕ~ . Это означает, что в (2.10) без
откалиброванного потенциала уравнение ϕ
t
ограничения общности можно положить f ( t ) ≡ 0 . Тем самым показано, что векторному
r
∇ϕ
, где ϕ - решение уравнения диффузии.
ϕ
r
r r
r
∂V
7. Показать, что векторному уравнению Бюргерса
+ ( V∇ )V = v∆V
∂t
r v
r
удовлетворяют вихревые поля вида: V = ex u( z ,t ) + e y v( z ,t ) , где u , v - решения
уравнению Бюргерса удовлетворяет V = −2v
уравнения теплопроводности ϕt = vϕ zz ; x , y , z - прямоугольные декартовы координаты.
Решение: Непосредственные вычисления дают:
r
r  ∂
r
∂  r
( V ,∇ )V =  u + v  ⋅ ( e x u( z ,t ) + e y v( z ,t )) = 0
∂y 
 ∂x
r r
r
∆V = ex u zz + e y v zz ; отсюда ut = vu zz , v t = vv zz , что выполняется по условию
задачи.
Данное
решение
r r
r
rotV = e x ( − v z ) + e y u z ≠ Q .
векторного
уравнения
Бюргерса
вихревое,
т.к.
8. Найти решение начально-краевой задачи с уравнением Бюргерса ut + uu x = vu xx ,
ограниченное на полупрямой x ∈ [ 0 ,+∞ ) , с начальными и граничными условиями:
25
u( 0 ,t ) = 0; t ≥ 0
u( x ,0 ) = u 0 ( x ); x ∈ [ 0 ,+∞ )
.
Решение: Как в п.3, запишем решение уравнения Бюргерса в виде u( x ,t ) = −2v
ϕx
,
ϕ
где ϕ - решение уравнения теплопроводности ϕt = vϕ xx .
Из начального и граничного условий следует, что
ϕ x ( 0 ,t ) = 0 , − 2v
ϕ x ( x ,0 )
= u 0 ( x ) или
ϕ ( x ,0 )
− 2v(ln[ ϕ ( x ,0 )])x = u 0 ( x ); ϕ ( x ,0 ) = exp(
1
∫ u0 ( x )dx ) = ϕ0 ( x ) .
2v
Продолжив
четно ϕ ( x ,0 ) на всю прямую x ∈ ( −∞ ,+∞ ) , придем к хорошо известной задаче с
уравнением
ϕ t = vϕ xx
на
прямой
и
начальным
условием
ϕ 0 ( x ); x ∈ [ 0 ,+∞ )
ϕ ( x ,0 ) = ϕ~( x ) = 
.
ϕ
(
−
x
);
x
∈
(
−∞
,
0
]

Поскольку начальное распределение
ϕ 0 ( x ) > 0 при любых значениях
u 0 ( x ) по условию задачи ограниченно,
x . Это означает, что решение уравнения
теплопроводности
ϕ ( x ,t ) =
1
2 πvt
+∞
∫e
2
−( x −ξ )
4 vt
ϕ~( ξ )dξ
(2.11)
−∞
Нигде не обращается в нуль. Кроме того, по построению
ϕ x ( 0 ,t ) = 0; t ≥ 0
ϕ ( x ,0 ) = ϕ 0 ; x ≥ 0
.
Отсюда решение исходной задачи с уравнением Бюргерса имеет вид u( x ,t ) = −2v
где ϕ ( x ,t ) определена по формуле (2.11).
26
ϕx
,
ϕ
9. Для линеаризованного уравнения Кортвега-де Фриза (КдФ) ut + βu xxx = 0 на
прямой − ∞ < x < +∞ получить дисперсионное соотношение и найти фазовую и
групповую скорости волн, описывающихся этим уравнением.
Решение. Гармонические решения, которые допускает рассматриваемое уравнение
на прямой, имеют вид
u( x ,t ) = Α( k ) exp( i( ωt − kx )),
(2.12)
где частота ω и волновое число k связаны т.н. дисперсионным соотношением
F ( ω ,k ) = 0 .
Подставив
(2.12)
в
уравнение
получим
(КдФ),
F ( ω ,k ) = iω + β ( −ik )3 = 0 , то есть ω = − βk 3 ; амплитуда гармонической волны
Α( k ) - произвольна. По определению фазовая скорость волны V0 =
скорость V Г =
групповая
ω
2
= −βk , а
k
dω
2
= −3β k . Поскольку VФ ≠ VГ , то говорят о наличии
dk
дисперсии.
10. Найти решение линеаризованного уравнения (КдФ) ut + βu xxx = 0 на прямой
− ∞ < x < +∞ , удовлетворяющее условиям:
u( x ,t ) → 0; x → ∞ , t ≥ 0
u( x ,0 ) = ϕ ( x ); − ∞ < x < +∞
Функцию
ϕ( x )
считать
+∞
удовлетворяющей условиям
∫( ϕ
четырежды
k
.
непрерывно
дифференцируемой
и
( x ))2 dx < ∞; k = 0 ,1,...,4.
−∞
Решение:
Воспользуемся
гармоническими
решениями
уравнения
(КдФ),
выписанными в предыдущей задаче. Образуем их суперпозицию
+∞
u( x ,t ) = ∫ Α( k ) exp[ −i( β k 3t + kx )] dk
(2.13)
−∞
и распорядимся функцией
Α( k ) так, чтобы выполнялось начальное условие
+∞
u( x ,0 ) = ∫ Α( k )e −ikx dk = ϕ ( x ). Обращая преобразование Фурье, найдем
−∞
27
1 +∞
ikx
Α( k ) =
ϕ ( x )e dx .
∫
2π −∞
Из ограничений на функцию ϕ ( x ) следует, что
(2.14)
+∞
∫k
2n
2
Α( k ) dk < ∞; n = 0 ,1,...,4.
−∞
Этих условий достаточно (подумайте, почему?), чтобы доказать, что суперпозицию
(2.13) можно дифференцировать под знаком интеграла трижды по x и один раз по t . Но
тогда, по построению, суперпозиция (2.13) удовлетворяет уравнению (КдФ).
При указанных условиях на ϕ ( x ) суперпозиция (2.13) удовлетворяет также
граничному условию. Начальное условие выполняется по построению. Итак, формулы
(2.13), (2.14) дают решение поставленной задачи. Отметим, что из-за дисперсии
гармонической волны, входящие в суперпозицию (2.13), распространяются с различными
скоростями, а профиль волны (2.13) не сохраняется.
11. Показать, что уравнение (КдФ) ut + uu x + β u xxx = 0 на прямой − ∞ < x < +∞
допускает решение в виде бегущей волны u( x ,t ) =
Α
ch
2
( λ ( x + Vt + α )), где Α ,λ ,V ,α -
параметры решения. Найти зависимость скорости распространения волны V
и
пространственного параметра λ от амплитуды Α .
Решение: Непосредственно подстановкой в уравнение (КдФ) убеждаемся, что
u( x ,t ) приведенного вида ему удовлетворяет, если
1
Α
V = − Α; λ =
.
3
12 β
Это
решение называют уединенной волной или солитоном. Как видно из приведенных
формул, ширина солитона убывает с ростом его амплитуды, а скорость распространения
растет. Поскольку должно быть
полярности: при β > 0
Α
> 0 , то возможны лишь солитоны одной
12 β
u( x ,t ) > 0 и наоборот. При этом для положительного солитона
V < 0 и он распространяется в положительном направлении оси x ; отрицательный
солитон распространяется против оси x .
12. Показать, что уравнение Колмогорова-Петровского (КПП) ut = χu xx + F ( u ) на
прямой − ∞ < x < +∞ допускает решение в виде бегущей волны u( x ,t ) = U ( x − Vt ) ,
удовлетворяющее условиям: 1 > u( x ,t ) > 0;
28
u( x ,t ) → 1; x → −∞; u( x ,t ) → 0;
x → +∞; t ≥ 0 . Здесь χ - положительная постоянная, а функция F ( u ) удовлетворяет
условиям:
1) F ( u ) > 0;
0 < u < 1;
2) F ( 0 ) = F ( 1 ) = 0;
3) Fu′( u ) < Fu′( 0 ) = α ;
0 < u < 1;
4) Fu′( 1 ) < 0.
Найти возможные значения скорости распространения волны V
Решение: Подстановкой в уравнение КПП получаем уравнение для профиля бегущей
волны
χ
d2
d
U (ξ ) + V
U (ξ ) + F (U ) = 0, где
2
dξ
dξ
уравнения
должно
ξ = x − Vt . Искомое решение этого
удовлетворять
0 < U (ξ ) < 1; U (ξ ) → 1; ξ → −∞; U (ξ ) → 0; ξ → +∞ . Функция
U (ξ )
условиям:
не может иметь
локального минимума или точки перегиба, т.к. в них было бы U ′′ ≥ 0. U ′ = 0, F (U ) > 0,
что противоречило бы уравнению для U (ξ ) . Точно так же при условии 0 < U (ξ ) < 1 не
возможен локальный максимум, т.к. при его наличии должен был бы быть хотя бы один
локальный минимум. В противном случае кривая U (ξ ) не выходила бы на асимптоту
U = 1 при ξ → −∞ . Остается принять, что искомое решение U (ξ ) монотонно убывает от
единицы до нуля при изменении ξ от − ∞ до + ∞ . Это позволяет ввести вместо ξ новую
независимую переменную U , а зависимой переменной выбрать p =
dU
. В новых
dξ
переменных уравнение профиля волны перепишется в виде:
χp
dp
+ Vp + F ( U ) = 0.
dU
(2.15)
Здесь независимая переменная U изменяется от нуля до еди;ицы: решение p( U )
должно удовлетворять условиям: p → 0; U → 0; U → 1.
Задача о существовании решения уравнения КПП в виде бегущей волны свелась
таким образом к существованию интегральной кривой уравнения (2.15), целиком
расположенной в
полосе
0 < U < 1 плоскости ( p ,U ) и соединяющей точки
p = 0; U = 0 и p = 0; U = 1 .
29
Уравнение первого порядка (2.15), вообще говоря, не имеет решения, проходящего
через две заданные точки плоскости ( p ,U ) . Но в данной задаче интегральная кривая
уравнения (2.15) должна соединять точки, которые являются особыми. Ни одна из этих
точек не должна быть фокусом, т.к. в противном случае интегральная кривая,
«наматываясь» на фокус, непременно вышла бы за пределы полосы 0 < U < 1 . Исходя из
этого требования, можно получить ограничение на скорость распространения волны
V ≥ 2 χα .
(2.16)
При условии (2.16) точка 0( p = 0;U = 0 ) - узел, а точка A( p = 0;U = 1 ) - седло. Если
же условие (2.16) не выполняется, то точка 0 является фокусом (проверьте сами!)
Покажем теперь, что при условии (2.16) одна из сепаратрис седла соединяет точки 0
и A , не выходя при этом за пределы полосы 0 < U < 1.
Рассмотрим окрестность седла. В ней содержатся участки двух сепаратрис,
принадлежащие полосе 0 < U < 1 ; обозначим их через Aa и Aв (см.рис.3а)
Сепаратриса,
идущая
p > 0; 0 < U < 1 , где
из
седла
по
Aв , попадает в верхнюю полуполосу
dp
< 0 и, следовательно, не может придти в точку 0 . Рассмотрим
dU
сепаратрису, идущую по Aa . Она не может пересечь полупрямую p < 0; U = 0 , т.к.
выполняется дифференциальное неравенство:
c - корень квадратного уравнения c −
2
dp
< −c при p < −cU ; 0 < U < 1, где
dU
V
α
c + = 0 ; при условии (2.16) оба корня этого
χ
χ
уравнения положительны.
Действительно,
c=
Для
отрицательных
c<
V F( U )
dp
+
=−
;
χ
χp
dU
V α V F(U ) V F( U )
−
≤ −
< −
, если взять
χ χc χ
χcU
χ
χp
значений
p=−p
имеем,
таким
p > cU .
образом,
p < −cU .
В силу этого дифференциального неравенства интегральная кривая уравнения (2.15),
пересекающая полупрямую
p < 0; U = 0 в некоторой точке p ∗ , не смогла бы
∗
пересечь прямую p = −cU и соединить точки p и А (см.рис.3а). Отсюда следует, что
30
сепаратриса, идущая по Aa , не пересекает полупрямую p < 0; U = 0 . Она также не
может пересечь отрезок 0 A . В самом деле, в точках этого отрезка, как следует из (2.15),
p
в
U
a
p=-
p∗
A
cU
a
p
p
0
A
в)
б)
Рис.3
пересекающая полупрямую
p < 0; U = 0 в некоторой точке p ∗ , не смогла бы
∗
пересечь прямую p = −cU и соединить точки p и А (см.рис.3а). Отсюда следует, что
сепаратриса, идущая по Aa , не пересекает полупрямую p < 0; U = 0 . Она также не
31
может пересечь отрезок 0 A . В самом деле, в точках этого отрезка, как следует из (2.15),
2
dp
d U
= ∞;
< 0 . Но тогда при пересечении
2
dU
dp
0 A в нижней полуполосе
p < 0; 0 < U < 1 должна была быть точка B , в которой
dp
= ∞ (см.рис.3б), что
dU
противоречило бы (2.15). Аналогично, сепаратриса, идущая по Aa , не пересекает
полупрямую p < 0; U = 1 (см.рис.3в). Точно также сепаратриса не может уходить в
бесконечность. Остается единственная возможность – сепаратриса, идущая по Aa ,
соединяет точки A и 0 , оставаясь в полуполосе p < 0;
0 < U < 1.
Рассмотренные здесь волновые решения уравнения КПП Описывают одномерную
диффузию гена, дающего преимущество в борьбе за выживание. Интересная особенность
этих решений состоит в том, что спектр скоростей распространеия волн является
сплошным, V ≥ 2 αχ .
13. Показать, что уравнение КдФ ut + uu x + β u xxx = 0 допускает представление в
виде операторного соотношения
€− A
€L€ ) , где операторы определены
L€t = i( L€A
выражениями
u( x ,t )
∂
L€f ( x ) = − 2 f ( x ) −
f(x)
6β
∂x
2
∂3 f ( x ) i 
∂f ( x ) ∂

€
A f ( x ) = −4 β i
−  u( x ,t )
+ ( u( x ,t ) f ( x ,t ))  .
3
2
∂x
∂x
∂x

Здесь f ( x ) - функция из области определения операторов; предполагается, что она
имеет три непрерывные производные.
Решение: Непосредственные вычисления дают:
€− A
€ L€ ) f ( x ) = − 1 ( uu + β u ) f ( x )
( L€A
x
xxx
6β
1
L€t f ( x ) = L€f ( x ) = −
u t ( x ,t ) f ( x ) .
t
6β
32
€ = i( L€A
€− A
€L€ ) выполняется тогда и
Отсюда следует, что операторное соотношение L
t
только тогда, когда u( x ,t ) удовлетворяет уравнению КдФ.
Здесь всюду t входит параметром в операторы, а функции f ( x ) из области
определения операторов от t не зависят.
14. Получить выражения для двухсолитонного решения уравнения
КдФ
ut − 6uu x + u xxx = 0 на прямой − ∞ < x < +∞ .
Решение:
u( x ,t ) = −2
Следуя методу обратной задачи рассеяния, двухсолитонное решение
d
K ( x , y ,t ) , где K ( x , y ,t ) - функция двух переменных x , y параметра t ,
dx
удовлетворяет линейному интегральному уравнению Гельфанда-Левитана-Марченко
∞
K ( x , y ,t ) + F ( x + y ,t ) + ∫ K ( x , z ,t )F ( z + y ,t )dz = 0
(2.17)
x
2
С вырожденным ядром
3
F ( x ,t ) = ∑ C j txp( 8 χ j t − χ j x ) . Здесь C j ; χ j > 0 j =1
параметры семейства двухсолитонных решений. Ищем решение уравнения (2.17) в виде:
2
K ( x , y ,t ) = ∑ K n ( x ,t )e −yχ .
n=1
n
(2.18)
Подставка (2.18) в уравнение (2.17) приводит к системе линейных алгебраических
уравнений относительно K n ( x ,t ) :
−χ x
e j f n ( x ,t )
K n ( x ,t ) + f n ( x ,t ) + ∑
K j ( x ,t ) = 0
j =1 ( χ n + χ j )
2
f n ( x ,t ) = Cn exp( 8χ n3t − χ n x ); n = 1,2.
Решение этой системы записывается в виде:
K1( x ,t ) =

( χ 2 − χ1 )
1
 − f1 +
exp( − χ 2 x ) f1 f 2 
∆
2 χ 2 ( χ1 + χ 2 )

33
K 2 ( x ,t ) =

( χ1 − χ 2 )
1
 − f 2 +
exp( − χ1 x ) f1 f 2 
∆
2 χ1( χ1 + χ 2 )

1
1
( χ1 − χ 2 ) 2
∆ =1+
⋅
exp( − χ1 x ) f1 +
exp( − χ 2 x ) f 2 +
2 χ1
2χ 2
4 χ1 χ 2 ( χ1 + χ 2 ) 2
⋅ exp( −( χ1 + χ 2 )x ) f1 f 2
.
Подставляя полученные выражения K1( x ,t ), K 2 ( x ,t ) в (2.18) и полагая затем y = x ,
d  2
придем к формуле двухсолитонного решения u( x ,t ) = −2
∑ K j ( x ,t )e
dx  j =1
−χ j x

.


15. Пусть плоская уединенная продольная бегущая волна распространяется вдоль
оси x . Используя уравнение неразрывности (закон сохранения массы) ρ t + ( ρu )x = 0 ,
получить выражение для импульса среды P =
+∞
∫ ρudx , совершающей волновое движение.
−∞
Здесь ρ ( x ,t ),u( x ,t ) - распределения плотности и скорости среды соответственно.
Решение. В плоской бегущей волне ρ + R( x − ct ), u = U ( x − ct ), где c - скорость
распространения волны. Из уравнения неразрывности имеем
−c
d
d
(R( ξ )U ( ξ )) = 0 .
R( ξ ) +
dξ
dξ
Интегрируя (2.19) по ξ , получим
(2.19)
R( ξ )U ( ξ ) − cR( ξ ) = const . Поскольку волна
уединенная, то функция U ( ξ ) → 0 при ξ → ±∞ .
Отсюда следует, что const = −cρ 0 , где ρ 0 - плотность невозмущенной среды:
функция R( ξ ) → ρ 0 ; ξ → ±∞ .
В результате
ρu = c( ρ − ρ 0 ) ,
34
(2.20)
а импульс среды, совершающей волновое движение P =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ρudx = c ∫ ( ρ − ρ 0 )dx .
+∞
Если «заряд массы» в волне
∆m = ∫ ( ρ − ρ 0 )dx ≠ 0 , то уединенная бегущая волна
−∞
подобно частице массы ∆m со скоростью c
обладает импульсом P = ∆m ⋅ c . При этом, если
∆m < 0 , то импульс волнового
движения антипараллелен направлению распространения волны! Если же ∆m = 0 , то
импульс уединенной бегущей волны отсутствует.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II.
1. Я.Б.Зельдович, А.Д.Мышкис. Элементы математической физики.-М.: Наука, 1973.
2. Н.СюКошляков, Э.Б.Глинер, М.М.Смирнов. Уравнения в частных производных
математической физики. – М.: Высшая школа, 1970.
3. Дж.Уизем. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977.
4. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевкий. Теория солитонов. Метод
Обратной задачи. – М.: Наука, 1980.
35
ГЛАВА III. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Рассмотреть задачу теплопроводности на прямой x ∈ (-∞, +∞) в случае, когда
начальное распределение температуры u0 (x) удовлетворяет условиям:
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ u 0 (x )dx = ∞ ;
2
∫ u 0 ( x )dx < ∞
Найти асимптотическую форму решения при t → +∞ .
Решение: Явление называется подобным себе (автомодельным), если распределения
его
характеристик
в
разные
моменты
времени
получаются
одно
из
другого
преобразованием подобия:
γ
γ

 t1    t1 
u ( x, t1 ) ⇒ u ( x, t 2 ) =   u   x; t1  ;

 t 2    t 2 

1
1
γ 1 и γ 2 называются показателями автомодельности.
«Установление автомодельности всегда было успехом, …, при обработке опытных
данных беспорядочное облако точек ложилось на единую кривую в специальных
координатах» [1]. Зачастую автомодельные решения являются единственно известными
точными решениями, и поэтому они играют роль эталонов, тестов при решении сложных
задач. Кроме того, автомодельные решения имеют общетеоретическое и непосредственно
прикладное значение.
Успеху в поиске автомодельности сопутствует то факт, что автомодельные решения
многих задач (например, простейшей задачи теплопроводности) могут быть построены из
анализа размерности. Безразмерные комплексы, от которых зависят решения, имеют
наглядный физические смысл, что дает в руки исследователей мощный и не слишком
абстрактный инструмент.
Однако, как обнаружил Г.Гудерлей [2] (занимавшийся задачей о сферическом ударном
сжатии), далеко не во всех задачах автомодельные решения могут быть получены из
анализа размерности. Пример Баренблатта, описанный в [1], состоит в рассмотрении
задачи теплопроводности с разными коэффициентами температуропроводности: χ при
нагревании ( ut > 0 ) и χ1 – при охлаждении ( ut < 0 ) среды. Обычный анализ размерности
дополняется безразмерным параметром χ/χ1, и можно показать, что автомодельного
решения, зависящего тоько от вводимых здесь безразмерных комплексов, не существует.
36
Тем не менее, оказывается, что задача имеет автомодельную асимптотику при больших
временах t и начальных условиях вида:
+∞
Q  x
u ( x,0 ) = u0   , Q = ∫ u ( x,0 )dx ,
l l
−∞
u0 ( x ) достаточно быстро убывает при
где
x → ∞ . При этом построение
асимптотического представления решения сводится к нелинейной задаче на собственные
значения.
Известны и другие примеры, когда автомодельное решение существует, но не может
быть найдено из анализа размерности. Поэтому давно стали разделять классические
автомодельные решения, которые могут быть найдены из анализа размерности (их стали
называть автомодельными решениями I рода), и все прочие – автомодельные II рода.
Отличительной чертой известных в литературе задач с автомодельными решениями II
рода является их сложность и то, что показатели автомодельности находятся из некоторой
нелинейной задачи на собственные значения.
Однако в классе линейных эволюционных уравнений в частных производных могут
быть построены очень простые автомодельные решения II рода с непрерывным спектром
показателей автомодельности.
Рассмотрим начально–краевую задачу с уравнением теплопроводности на прямой:
 u t = λu xx , − ∞ < x < +∞,t > 0

u ( x,0 ) = ϕ ( x );u → 0 при x → ∞
ϕ (x ) будем считать непрерывным и
Начальное распределение температуры
удовлетворяющим условию ϕ ( x ) ∼
для
σ
продиктован
1 
 
1
x
следующими
(1.1)
при x → ∞ , σ ∈  ,1 . Выбор ограничения
2
σ
причинами.
Нетрудно
заметить,
что
при
+∞
сформулированных условиях интеграл Q = ∫ ϕ ( x )dx расходится. Если бы он сходился,
−∞
полученная размерная константа Q вошла бы в набор определяющих величин и
автомодельную асимптотику можно было бы построить из анализа размерности. Условие
σ>
+∞
1
2
приводит к сходимости интеграла ∫ ϕ ( x )dx , что в дальнейшем даст возможность
2
−∞
записать решение в виде интеграла Фурье.
37
Применим преобразование Фурье к уравнению (1), обозначая Фурье-образ решения
u (x, t ) через u€(k , t ) . Получим:
u€t (k,t ) = − λk 2u€(k,t ) ⇒ u€(k , t ) = a(k )e −λk t , где a(k ) = u€(k ,0)
2
(1.2)
С другой стороны, в силу (1.1),
u€(k ,0 ) =
1
2π
+∞
1 +∞
ϕ ( x )e −ikx dx = ϕ€(k ) ,
∫
2π − ∞
−ikx
∫ u (x,0)e dx =
−∞
и спектр решения записывается в виде: u€(k , t ) = ϕ€(k )e
− λ k 2t
.
Теперь можно записать решение задачи (1) в виде интеграла Фурье:
+∞
1
u ( x, t ) =
2π
∫ ϕ€(k )e
− λk 2t +ikx
dk .
(1.3)
−∞
Асимптотику начального условия при x → ∞ можно связать с поведением его Фурьеобраза в окрестности нуля. Требуемую связь дает так называемая общая тауберова
теорема для одномерного случая (в [3] она указана как теорема 1 параграфа 7 главы 3).
Эта теорема гласит, что если ϕ ( x ) ∼
∼ k
α
1
x
при x → ∞ , а ϕ€(k ) - ее Фурье-образ, то ϕ€(k )
σ
при k → 0 и для показателей есть связь: α = σ − 1 .
С использованием леммы Лапласа (см. [4]) можно представить асимптотику интеграла
(1.3) при t → +∞ в виде:
u (x, t ) ∼
A
2π
+∞
∫k
α
e −λk t +ikx dk ,
2
t → ∞,
−∞
где А определена асимптотическим поведением спектра решения при k → 0 :
lim
k →0
ϕ€(k )
Ak
α
= 1.
Отсюда асимптотическое решение при больших временах t имеет вид:
A
u~( x, t ) =
2πλt
+∞
∫
−∞
ξ
α
α
2
(λt )
ixξ 

exp − ξ 2 +
dξ
λt 

или
u~( x, t ) =
1
σ
2
(λt )
38
 x 
f
.
 λt 
(1.4)
~( x, t ) обладает свойством автомодельности с показателем σ/2, т.е. является
Функция u
автомодельной асимптотикой. Можно показать, что она удовлетворяет уравнению
теплопроводности точно.
В
самом
деле,
пусть
u ( x, t ) =
теплопроводности, получим: f ′′(η ) +
1
α +1
2
(λt )
 x 
f
.
 λt 
Подставляя
в
уравнение
η
α +1
x
f ′(η ) +
f (η ) = 0 , где η =
.
2
2
λt
Решение этого уравнения, стремящееся к нулю при η → +∞ , существует при
α +1 1
>
2
4
и выражается через функции параболического цилиндра, одним из
представлений которых является интеграл в правой части (1.4) (см., например, [5]).
В силу непрерывности множества допустимых значений σ показатель автомодельности
полученного решения, вообще говоря, иррационален, а решение, определенное
выражением (1.4), является автомодельным II рода и не может быть найдено из анализа
размерности.
В случае линейного эволюционного уравнения в частных производных первого
порядка по времени
ut = au x + bu x( 2l ) , l = 1, 2, 3, … , (− 1) b < 0
l
(1.5)
также можно показать существование автомодельности II рода. Рассмотрим начальнокраевую задачу с уравнением (1.5) и теми же начальными и граничными условиями, что и
в задаче с уравнением теплопроводности (1.1). Прежде всего, преобразованием Галилея (
x′ = x + at , t ′ = t ) можно исключить из уравнения первую производную по x. Пусть u(x;t)
= v(x′;t) и уравнение (1.5) примет вид: vt = bvx′ . Так же, как и в случае с (1.1), можно
(2l )
получить спектр решения:
(
l
v€(k , t ) = ϕ€(k ) exp (− 1) bk 2l t
)
и, обращая преобразование Фурье, найти решение:
1
v( x′, t ) =
2π
+∞
∫ ϕ€(k ) exp(ikx′ + (−1) bk
l
−∞
2l
t )dk ,
Асимптотику которого при t → +∞ можно записать с использованием леммы Лапласа
в виде:
39
1
v~ ( x′, t ) =
2π
+∞
∫ Ak
α
exp(ikx′ + (−1) l bk 2l t )dk .
−∞
Произведя замену переменных ξ = k 2 l b , получим:
A
v′( x′, t ) =
2π
+∞
∫
ξ
−∞
α
( b t)
α +1
2l



 ix′ξ

 x′
1
l
2l
+
(
−
)
b
⋅
ξ
d
=
F
exp
1
sgn
ξ

1
1
α +1

 ( b t) 2 l

(
b t ) 2  ( b t )2l




.


Отсюда асимптотическое решение исходной задачи с уравнением (5) при t → +∞ :
u~( x, t ) =
1
α +1
2
(b t )


 x + at 
F
1 
 ( b t )2l 


имеет, вообще говоря, иррациональный автомодельный показатель
α +1
и является
2
автомодельным II рода в движущейся системе координат.
 x 
 удовлетворяет
 xt 
2. Показать, что автомодельная подстановка u ( x, t ) = t f 
β
уравнению теплопроводности ut = χu xx и найти выражение для f (ξ ) при β < −
1
;
4
− ∞ < ξ < +∞ .
Решение: Непосредственной подстановкой в уравнение теплопроводности находим
1
β f − ξf ′ = f ′′ .
2
Это
уравнение
решим
с
помощью
преобразования
Фурье.
+∞
Предположим, что
2
∫ f (ξ )dξ < ∞ ; это
предположение проверяется результатом (!). В
−∞
этом случае существует f (η ) =
+∞
∫ f (ξ )e
iξη
dξ , а функция f (ξ ) , если она непрерывно
−∞
дифференцируема, стремится к нулю при ξ → ∞ вместе с первой производной. Имеем
тогда
+∞
∫ f ′′(ξ )e
iξη
dξ = −η 2 f (η )
−∞
40
+∞
∫ f ′(ξ )e
iξη
dξ = −iηf (η )
−∞
+∞
d +∞
d
iξη
∫ ξf ′(ξ )e dξ = −i dη ∫ f ′(ξ )e dξ = − dη ηf (η )
−∞
−∞
Отсюда
следует,
iξη
что
f (η )
удовлетворяет
дифференциальному
уравнению
1 d
(ηf (η )) = −(β + η 2 ) f (η ) или df = 2  β + 1 + η 2  f (η ) .
2 dη
dη η 
2

Это уравнение легко интегрируется:
f (η ) = Aη − (1+ 2 β ) ⋅ e −η
2
Обращая преобразование Фурье находим
f (ξ ) =
1 +∞ −(1+ 2 β ) −η
A ∫η
⋅ e ⋅ e −iξη dη
2π −∞
2
(2.1)
Интеграл (2.1) известен [5]. В цитированной книге он приведен на стр.115 под номером
(23). Выражается этот интеграл через функции параболического цилиндра. Нетрудно
видеть из (2.1), что при β < −
1
4
+∞
2
∫ f (βξ )dξ < ∞
(проверка результатом!)
−∞
Нетрудно видеть также из (2.1), что выражения для производных f
(n )
(ξ )
можно
получить дифференцируя по ξ под знаком интеграла, т.к. подинтегральная функция
убывает быстрее, чем любая степень при η → ±∞ . В силу этого же
+∞
∫ ( f (ξ ))
(n )
−∞
2
A2 +∞ 2 (n− (1+ 2 β )) − 2η
dξ =
⋅ e dη < ∞
∫η
4π 2 −∞
при любом n от 1 до ∞; но тогда f
2
(n )
(ξ ) → 0 ;
ξ → ∞ ; n = 0,1,2, … . Полученное
решение совпадает с автомодельной асимптотикой, найденной в предыдущей задаче, если
1
1
<β <− .
2
4
3. Найти критерий подобия фигур равновесия вращающейся однородной жидкости в
собственном гравитационном поле.
41
Решение: Однородная жидкость массы m и плотности ρ покоится в системе отсчета,
вращающейся с угловой скоростью ω, в собственном гравитационном поле. Если
жидкость несжимаема, то давление на ее свободной поверхности p0 несущественно и
определяющими размерными величинами будут m, ρ, ω, γ, где γ = 6,7∙10-8 см3/г∙сек2 –
гравитационная постоянная. В классе систем единиц MLT из этих определяющих величин
можно образовать всего один функционально независимый безразмерный комплекс ω2/γρ.
Это и есть параметр подобия фигур равновесия вращающейся жидкости; при одинаковых
его значениях фигуры отличаются лишь линейным масштабом. Характерно, что в условие
подобия не входит масса жидкости m. Обычно в качестве критерия подобия используют
так называемый параметр Симпсона h = ω / 2πγρ . Для Земли h = 0,00227. Известно, что
2
при
0 < h < 0,225 фигурой равновесия вращающейся однородной жидкости в
собственном гравитационном поле может быть эллипсоид Маклорена.
4. Задача о коллапсе. (Релей, 1917). Пусть идеальная несжимаемая жидкость заполняет
трехмерное пространство вне сферической полости радиуса a с центром в точке о и
покоится в начальный момент времени (рис. 1).
a
O
Рис 1.
Пренебрегая давлением в полости и считая постоянным давление жидкости на
бесконечности найти время схлопывания полости.
42
Решение: Введем сферическую систему координат с полюсом в центре полости о.
Предполагая движение жидкости в процессе схлопывания полости сферическисимметричным запишем уравнения движения жидкости в виде:
∂v
∂v
1 ∂p ∂ 2
(r v = 0)
;
+v =−
∂t
∂r
ρ ∂r ∂r
(4.1)
где v(r , t ) - радиальная компонента поля скоростей;
p(r , t ) - давление; ρ - плотность жидкости; r – раастояние от точки о; t – время.
Граничные условия к системе (4.1) примем в виде:
p(R(t ), t ) = 0 ;
(4.2)
v(r , t ) → 0; p (r , t ) → p∞ ; r → ∞ , где R(t) – радиус полости в момент времени t; p∞ давление на бесконечности. В начальный момент времени t = 0 имеем по постановке
задачи: v( r ,0) = 0 ; R (0) = a . (4.3)
Из второго уравнения системы (4.1)
v(r , t ) = A(t ) / r 2 .
Из кинематических соображений скорость жидкости на поверхности полости
v(r (t ), t ) =
∂R
∂R 1 d 3
2
=
; отсюда A(t ) = R (t )
( R ) и поле скоростей принимает вид:
∂t
∂t 3 dt
v( r , t ) =
1 d 3
⋅ (R )
3r 2 dt
(4.4)
Подставляя (4.4) в первое уравнение (4.1) получим
1 1 d2 3
2 d 3 
− 1 ∂p
⋅
(
R
)
−
(
R
)
=
⋅


r 2 3 dt 2
9r 5  dt
ρ ∂r

2
или
2
p
1 d2 3
1 d 3 
− =−
(R ) +
 ( R )  + f (t )
2
ρ
3r dt
18r 4  dt

Из условий (4.2) получим f (t ) = −
p∞
;
ρ
2
p
1 d2 3
1 d 3 
−
(R ) +
(R ) − ∞ = 0
2
4 
ρ
3R dt
18 R  dt

43
(4.5)
Обыкновенное дифференциальное уравнение (4.5) описывает зависимость радиуса
полости R от времени.
Обозначим V =
R
dR
и представим (4.5) в виде:
dt
dV 3 2 p∞
+ V +
= 0 (4.6)
dt 2
ρ
В процессе схлопывания полости функция R(t) монотонно убывает, что позволяет
выбрать (вместо времени) независимую переменную R, т.е. положить dt =
dR
и привести
V
(4.6) к виду:
VR
dV 3 2
p
+ V =− ∞
dR 2
ρ
(4.7)
Обозначив y(R) = V2 получим из (4.7) линейное уравнение
R
d
2p
y + 3 y = − ∞ , решение которого имеет вид:
dR
ρ
y ( R) = −
2 p∞ C
+ 3 , где С – постоянная.
3ρ
R
Из условий (4.3) в начальный момент времени
R(0) = a, v( a,0) =
dR
2 p∞ 3
(0) = 0 , т.е. y(a) = 0. Отсюда C =
a ;
dt
3 ρ


dR
2 p∞  a 3
2 p∞  a 3
 dR 
 3 − 1 и в результате
 3 − 1 ;
=−
  =
3 ρ R
dt
3 ρ R
 dt 


2
Знак минус выбран потому, что радиус полости R(t) убывает во времени.
Интегрируя (4.8), получим
a
τ =∫
0
3 ρ
=a
2 p∞

2 p∞  a 3
 3 − 1
3 ρ R

dR
1
∫
0
dξ
ξ −3 − 1
,
где τ - время схлопывания полости, в течение которого радиус полости R изменяется от
R = а в начальный момент до нуля в момент схлопывания t = τ . Интеграл в последнем
выражении сводится к В-интегралу Эйлера; вычисление дает:
44
τ = 915a
ρ
.
p∞
5. Рассмотреть предыдущую задачу (о коллапсе) в рамках анализа размерности.
Решение: Время схлопывания полости, как это следует из постановки задачи, может
зависеть только от a, ρ, p∞. В классе систем единиц MLT эти три величины имеют
независимые размерности, т.е. из них нельзя составить безразмерный комплекс.
Размерность времени имеет комплекс
τ = ca
ρ
. Применяя «П-теорему», получим
p∞
ρ
, где с – безразмерная постоянная, значение которой нельзя найти в рамках
p∞
анализа размерностей. Решение, полученное в п.4, дает с ≈ 0,915.
6. Найти зависимость радиуса полсти от времени на заключительной стадии коллапса.
Решение: При t → τ радиус полости стремится к нулю, а отношение
a
→ ∞.
R
Пренебрегая единицей в подкоренном выражении формулы (4.8), получим приближенно:
dR
2 p∞ a 3
=−
⋅
⋅
.
dt
3 ρ R3
Интегрируя это уравнение, найдем:
1
5
2
 25 p 
R (t ) = a  ⋅ ∞  (t − τ )5 ; t → τ .
 6 ρ 
3
5
Подумайте, как можно было бы получить это выражение из анализа размерностей?
7. Рассмотреть задачу о зависимости радиуса полости от времени на заключительной
стадии коллапса в рамках анализа размерностей.
Решение: В процессе коллапса сохраняется энергия жидкости Е. Ее значение равно (с
точностью до знака) работе вытеснения жидкости при образовании полости радиуса а,
поскольку кинетическая энегрия жидкости при t = 0 по условию задачи равна нулю.
Работа вытеснения равна произведению объема полости 4/3∙πa3 на постоянное давление
p∞ с обратным знаком, т.к. при вытеснении жидкости силы давления на поверхности
полости и перемещение границы полости противоположно направлены; отсюда
4
E = πa 3 p ∞ . На заключительной стадии коллапса (R<<a) несущественны детали
3
45
начальных условий, а определяющим является значение интеграла энергии. На этом
основании будем полагать, что радиус полости на заключительной стадии коллапса
зависит только от E, ρ, t - τ. В классе систем единиц MLT эти три определяющие
величины имеют независимые размерности, т.е. из них нельзя составить безразмерный
 E (t − τ )
ρ

комплекс. Размерность радиуса имеет комплекс 
2
1
5

 . Применяя «П-теорему»,

получим
1
5
2
E
R (t ) = c  ⋅ (t − τ )5 ; t → τ , где с – безразмерная постоянная, которую в рамках
ρ
анализа размерности найти нельзя. Сравнивая с результатом решения задачи в п.6, видим,
−
1
 8  5
что c = 
 ≈ 0,999.
 25 
8. Для плоской уединенной продольной волны, стационарно распространяющейся
вдоль оси х, найти выражение для импульса среды, совершающей волновое движение.
Решение: Достаточно общие уравнения одномерного движения среды вдоль оси х в
эйлеровом описании имеют вид:
ut + uu x =
σx
; ρ t + ( ρu ) x = 0 ; σ = σ ( ρ , u )
ρ
(8.1)
Здесь u ( x, t ) - распределение х-компоненты скорости среды; ρ ( x, t ) - плотность
среды; σ ( x, t ) - напряжение среды, т.е. х-компонента силы, с которой внешняя часть
действует на внутреннюю часть среды через единицу площади контрольной поверхности.
В частном случае это может быть гидродинамическое давление, взятое с обратным
знаком, т.е. σ = − p ( x, t ) . Уравнение σ = σ ( ρ , u )
обобщает термодинамическое
уравнение состояния.
В случае волны, стационарно распространяющейся (бегущей) вдоль оси х, входящие в
(8.1) u , ρ,σ зависят только от переменной ξ = x − c0 t , где с0 – постоянная скорость
распространения волны. Подстановка искомого решения в (8.1) приводит у системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
c0
du
du 1 dσ
dρ
d
; − c0
(ρ , u ) = 0 .
+u
=
+
dξ
dξ ρ dξ
d ξ dξ
46
(8.2)
Третье уравнение системы (8.1) переписывается без изменений. Полученные уравнения
легко интегрируются. Умножая первое уравнение (8.2) на ρ, второе на и и складывая их,
получим
 du
dρ  d
dσ
2
− c0  ρ
+u
( ρu 2 ) =
, т.е. − c0 ρu + ρu = σ + c1 , а из второго
+
dξ  dξ
dξ
 dξ
уравнения (8.2) − c0 ρ + ρu = c2 , где с1, с2 – константы интегрирования. В уединенной
волне среда неподвижна при x → ∞ ; положим u → 0;σ → σ 0 ; ρ → ρ 0 при x → +∞ ,
где σ 0 , ρ 0 - постоянные напряжения и плотность невозмущенной среды. Тогда из
условий при x → +∞ найдем c1 = −σ 0 ; c2 = −c0 p0 и запишем решение системы (8.2) в
виде:
σ − σ 0 = ρu 2 − c0 ρu; ρu = c0 ( ρ − ρ 0 )
(8.3)
Количество движения (импульс) среды определяется выражением
+∞
P = ∫ ρudx
−∞
и в рассматриваемом случае, в соответствии с второй формулой (8.3), записывается в
виде:
+∞
P = C0 ∫ ( ρ − ρ 0 )dx = c0 ∆m , где ∆m - «заряд массы» в волне.
−∞
Нетрудно показать (сделайте это сами!), что «заряд массы» ∆m - интеграл движения.
Таким
образом,
в
случае
плоской
уединенной
продольной
стационарно
распространяющейся волны импульс Р среды, совершающей волновое движение, отличен
от нуля только при ∆m ≠ 0 [7]. Интересно, что при ∆m < 0 (что возможно при
определенных начальных условиях) импульс Р < 0, т.е. антипараллелен направлению
распространения волны. Уединенные волны с импульсом Р > 0 ( ∆m > 0 ), падая на тела,
способны оказывать на них силовое воздействие подобно частицам.
9. Для плоской уединенной продольной волны, стационарно распространяющейся
(бегущей) по массовой лагранжевой координате найти выражение для импульса среды,
совершающей волновое движение.
Решение: Используем для решения поставленной задачи основные уравнения (8.1),
преобразовав их к лагранжевым переменным. Введем массовую лагранжеву координату
m( x, t ) соотношениями:
47
m x = ρ ( x, t ); mt + u ( x, t )m x = 0 .
Нетрудно видеть, что эта координата просто масса среды в прямом цилиндре
единичного сечения, торцы которого перпендикулярны оси х и образованы одними и теми
же частицами среды (рис. 2); частицам левого торца (отсчетного) соответствует значение
координаты m = 0 , частицам правого – значение m( x, t ) .
х
m=0
m(x, t)
Рис. 2.
Система уравнений 8.1 в переменных m, t записывается в виде (убедитесь в этом сами,
выполните замену переменных !)
ut = σ m ; ρ t + ρ 2 u m = 0 .
(9.1)
В случае волны, стационарно распространяющейся по массовой лагранжевой
координате, u , ρ,σ зависят только от бегущей координаты ξ =
m
− c0 t , где ρ 0 ρ0
плотность невозмущенной среды, с0 – постоянная скорость распространения волны.
Подстановка в 9.1 решения, зависящего только от ξ, дает
c0
du 1 dσ
dρ ρ 2 du
−
= 0; − c 0
+
= 0;
dξ ρ 0 dξ
dξ ρ 0 dξ
Эти два уравнения легко интегрируются и приводят к соотношениям:
48
(9.2)
c0 u (ξ ) +
c ρ
1
σ (ξ ) = c1 ; 0 0 + u (ξ ) = c 2 ,
ρ (ξ )
ρ0
где с1, с2 – постоянные.
В уединенной волне при x → +∞ среда не возмущена, т.е. u ( x, t ) → 0 , ρ ( x, t ) → ρ 0 ,
σ ( x, t ) → σ 0 , x → +∞ . Поскольку плотность среды ρ ( x, t ) > 0 , то m x > 0 ; при больших
значениях х производная m x → ρ 0 u , и, следовательно, m → +∞ при x → +∞ . Отсюда
u (ξ ) → 0 , σ (ξ ) → σ 0 , ρ (ξ ) → ρ 0 при ξ → +∞ , а константы интегрирования имеют
значения: c1 =
σ0
, с2 = с0. Здесь всюду σ0 – постоянное напряжение невозмущенной
ρ0
среды. С учетом сказанного получаем
σ (ξ ) = σ 0 − c0 ρ 0 u (ξ ) ; ρ (ξ )u (ξ ) = c0 (ρ (ξ ) − ρ 0 ) .
(9.3)
В рассматриваемом случае количество движения (импульс) среды, совершающей
волновое движение, определяется выражением
P=
+∞
 m( x, t )
  m( x, t )

− c0 t  ⋅ u
− c0 t dx , которое в соответствии со второй формулой
ρ0
  ρ0

∫ ρ 
−∞
  m( x, t )


9.3 принимает вид P = c0 ∆m , где ∆m = ∫  ρ 
− c0 t  − ρ 0 dx - «заряд массы» в волне.
ρ0

− ∞ 

+∞
Таким образом, в случае плоской уединенной продольной волны, стационарно
распространяющейся по массовой лагранжевой координате, выражение для импульса
среды, совершающей волновое движение, определяется формулой P = ∆mc0 [8]. Важно
при этом подчеркнуть, что в отличие от п.8, рассмотренная здесь волна не является
стационарно распространяющейся в эйлеровом описании (подумайте, почему?).
10. Найти зависимость σ = (ρ , u ) , при которой существует рассмотренная в п.9 плоская
уединенная продольная стационарно распространяющаяся (бегущая) волна.
Решение: Система уравнений 9.3 относительно σ (ξ ), ρ (ξ ), u (ξ ) , полученная п.9,
σ − σ 0 = −c 0 ρ 0 u ; ρu = c 0 (ρ − ρ 0 ) ; σ = σ ( ρ , u ) , вообще говоря, имеет только постоянные
решения – корни системы 9.3. Лишь в случае, когда уравнения зависимы, можно взять
одну из функций, например u (ξ ) , произвольно, задав тем самым профиль волны, а
функции σ (ξ ) , ρ (ξ ) определить из системы 9.3. Потребуем, чтобы после исключения
u (ξ ) из первых двух уравнений системы 9.3 получилось третье уравнение; такая
49
зависимость σ (ρ , u ) , очевидно, обеспечит существование решения в виде бегущей волны.
В результате исключения u (ξ ) найдем
 ρ 
σ = σ 0 − c 02 ρ 0 1 − 0 
ρ 

(10.1)
c 02 ρ 02
. Эта зависимость p( ρ )
или, введя давление p = −σ , p = p0 + ρ c −
ρ
(
2
0 0
)
соответствует так называемому газу Чаплыгина.
11. Найти зависимость σ (ρ , u ) , при которой существует рассмотренная в п.8 плоская
уединенная продольная волна, стационарно распространяющаяся вдоль оси х.
Решение: Система уравнений относительно σ (ξ ), ρ (ξ ), u (ξ ) , полученная в п.8,
записывается
рассуждения
в
из
виде
п.10,
σ − σ 0 = ρu 2 − c 0 ρu; ρu = c 0 ( ρ − ρ 0 );σ = σ (ρ , u ) .
получим,
исключая
u (ξ )
из
первых
двух
Повторяя
уравнений,
ρ

σ − σ 0 = c 02 ρ 0  0 − 1 , что соответствует, опять таки, газу Чаплыгина.
 ρ

12. Исходя из закона сохранения массы показать, что «заряд массы» в плоской
уединенной продольной волне сохраняется.
Решение: По определению «заряд массы»
∆m =
+∞
∫ (ρ − ρ )dx ,
0
где ρ ( x, t ) - плотность, ρ0 – невозмущенная плотность среды, в
−∞
которой распространяется волна. Дифференцируя ∆m по времени, получим, с
+∞
+∞
+∞
d
использованием уравнения неразрывности,
∆m = ∫ ρ t dx = − ∫ ( ρu ) x dx = − ρu | .
dt
−∞
−∞
−∞
В уединенной волне u ( x, t ) → 0, ρ ( x, t ) → ρ 0 при x → +∞ ; отсюда
d
∆m = 0 . «Заряд
dt
массы» в волне, таким образом, является интегралом движения.
13. Показать, что уравнение состояния p = A −
B
(газ Чаплыгина) осуществляется при
ρ
деформациях одномерной среды, подчиняющейся закону Гука.
Решение: Рассмотрим одномерную среду в лагранжевом описании, введя массовую
лагранжеву координату m (см. решение задачи в.п.9). Относительное удлинение элемента
среды
ε =
dl − dl 0
, где
dl 0
dl 0 , dl
- соответственно длины элемента до и после
50
деформирования, выражается через единственную компоненту вектора смещения u (m, t )
по формуле ε = ρ 0 u m , где ρ0 – плотность недеформированной среды. (Получите сами эту
формулу, исходя из кинматических представлений: см. рис. 3).
dl0
u(m, t)
m
u(m+dm, t)
x
m + dm
dl
Рис.3.
По закону Гука напряжение в сечении рассматриваемого элемента среды
σ (m, t ) = Eρ 0 u m (m, t ) ,
(13.1)
Где Е – модуль Юнга. Выразим теперь σ через плотность элемента среды. Плотность
ρ (m, t ) =
ρ0
dm
dm
=
=
.
dl dl 0 + u m dm 1 + ρ 0 u m
(13.2)
Введя давление p = −σ (положительному давлению в среде отвечает напряжение
δ < 0 ), получим из 13.3 уравнение состояния газа Чаплыгина
p = A−
B
, где
ρ
A = E; B = ρ 0 E .
14. Представить закон Гука в случае одномерной среды, расположенной вдоль оси х, в
эйлеровом описании.
Решение: Воспольуемся выражением 13.1 для закона Гука в лагранжевых переменных
m,t. Переходя к эйлеровым перменным x,t, получим:
∂m
= ρ ( x, t ) ;
∂x t
∂x
1
u m (m, t ) = u~m ((m, t ), t ) = u~x ⋅
= u~x ( x, t ) .
∂m t ρ
Отсюда
σ ( x, t ) =
Eρ 0 ~
u x ( x, t ) ,
ρ
(14.1)
Где u ( x, t ) - смещение, выраженной через эйлерову координату х. Это и есть закон Гука
в эйлеровом описании. В случае малых деформаций ρ ≈ ρ 0 и выражение 14.1 в линейном
приближении принимает вид: σ = Eu~x .
51
15. В случае одномерной среды найти связь лагранжевой массовой координаты m с
эйлеровыми переменными x,t.
Решение: По определению
13.2:
ρ (m, t ) =
x − x0 (t ) =
∂m
= ρ ; для плотности среды ρ (m, t ) получена формула
∂x t
ρ0
. Отсюда
1 + ρ 0um
dm
∫ ρ (m, t ) = x
m
или
x − x0 (t ) =
1
(1 + ρ 0 u m )dm , т.е.
ρ 0 ∫0
m
+ u (m, t ) − u (0, t ) .
ρ0
Если m = 0 соответствует закрепленной точке среды ( u (0, t ) = 0 ), то взяв начало
координаты х в этой точке ( x 0 (t ) ≡ 0 ), получим
x=
m
+ u (m, t )
ρ0
(15.1)
Зависимость m( x, t ) определяется неявной функцией 15.1.
16. Найти выражение для импульса среды, совершающей волновое движение, в случае
плоской уединненой продольной простой волны.
Решение: Продольная простая волна – волновое движение, поле скоростей которого
u ( x, t ) = F (ξ ) ; ξ = x − (c + u )t . Здесь F (ξ ) - произвольная функция, c(u) – скорость
распространения возмущения по частицам среды, х – декартова координата вдоль
направления распространения волны, t – время. Прямые вычисления показывают, что в
простой волне
u t + (c + u )u x = 0 ,
(16.1)
т.е. скорость u ( x, t ) постоянна вдоль характеристик x(t), удовлетворяющих уравнению
dx
= c(u ) + u , а сами характеристики прямолинейны.
dt
Подставим ρ (ξ ), u (ξ ) в уравнение неразрывности ρ t + (ρu ) x = 0 ; получим
dρ
(− (c + u ) − t (c + u ) t ) + d ( ρu ) ⋅ (1 − t (c + u ) x ) = 0 .
dξ
dξ
Далее, с учетом 16.1,
(c + u ) t = u t
d
d
(c + u ) = −(c + u )u x
(c + u ) = −(c + u )(c + u ) x .
du
du
В результате подстановка в уравнение неразрывности даст


dρ d
 − (c + u )
+
( ρu ) (1 − t (c + u ) x ) = 0 .
dξ dξ


52
Отсюда в общем случае следует, что
− (c + u )
dρ d
+
( ρu ) = 0 .
dξ dξ
(16.2)
Из соотношения 16.2 получим
ρ
ρu = ∫ (c − c0 + u )dρ + c 0 ( ρ − ρ 0 ) ,(16.3)
ρ0
где ρ 0 , c 0 - соответственно плотность и скорость звука в невозмущенной среде.
Интегрируя 16.3 по области (∆) локализации возмущения, получим выражение для
импульса среды в рассматриваемом волновом движении:
P=
∫ ρudx = ∫ qdx + ∆m ⋅ c
(∆ )
0
,
(16.4)
(∆)
ρ
где q =
∫ (c + u − c )dp ; ∆m = ∫ (ρ − ρ )dx
0
0
ρ0
(∆)
Если скорость распространения возмущения в неподвижном пространстве
(c + u )
возрастает вместе с ρ , то
(c + u − c0 )(ρ − ρ 0 ) ≥ 0
и, следовательно,
ρ
q=
∫ (c + u − c )dρ ≥ 0 , причем q = 0 лишь при ρ = ρ
0
0
.
ρ0
Этот случай имеет место, например, для простых волн ихэнтропических движений
термодинамически идеального газа (см., например, [9]), поскольку для них
d
(c + u ) = c + dc > 0
dρ
ρ dρ
В этом случае, в соответствии с 16.4 P > 0 при ∆m = 0 .
Таким образом, среда, совершающая движение в уединенной простой волне, может
обладать суммарным импульсом в направлении распространения волны даже при нулевом
«заряде массы» [10]. В этом одно из отличий простых волн от рассмотренных в пп.8, 9
стационарно распространяющихся (бегущих) волн.
17. Даны размерные величины a1 , a 2 , K , a n и величины a1 , a 2 , K a n ; величины с
одинаковыми индексами одной размерности. Можно ли выбрав систему единиц сделать
значения ai в новой системе равными значениям ai в старой? Если да, то наборы величин
ai и ai назовем подобными. Найти условия поюобия наборов величин.
53
Решение: Будем, для определнности, работать в классе MLT. Переходя к новой системе
единиц измерения, получим по формуле размерности
′
ai = M α i Lβ i T γ i a i , i = 1,2,K , n .
Для независимых размерностей условие ai = a i может быть выполнено всегда выбором
величин M, L, T. В общем случае существует не менее n − 3 безразмерных комплексов
(криетериев подобия) вида
Π k = a1bk a 2ck L a md k ⋅ a k + m ; k = 1, 2,K, n − m ,
где a1 , a 2 ,K a m - максимальный набор величин с независимыми размерностями. Наборы ai
и ai подобны в том и только в том случае, когда Π k = Π k для всех k . Необходимость
таких равенств очевидна, т.к. изменение системы единиц не меняет значений
безразмерных комплексов. Покажем их достаточность. Выразим n − m зависимых
размерностей через безразмерные комплексы:
a m +1 =
Π
и т.д.
a a L a ml1
a m +1 =
Π
и т.д.
a a L a ml1
b1
1
b1
1
c1
2
c1
2
Выбором системы единиц можно сделать новые значения ai
′
с независимыми
размерностями равными значениям ai в старой системе единиц
a ′ = ai ; i = 1,2,K , m ,
а новые значения a m′ +1 , a m′ + 2 , K , a n′ равными
a m′ +1 =
Π
Π1
a m +1 , K a n′ = n − m a n .
Π1
Π n− m
Отсюда видно, что совпадение значений критериев подобия достаточно для подобия
наборов величин.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III.
1. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.:
Гидрометеоиздат, 1978.
2. Guderley G. Starke kugelige und zylindrische Verdichturgstösse in der Nädes
Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse. Luftfahrtforschung, 1942. Bd 19. Lfg.9.s.302-312.
54
3. Владимиров В.С. и др. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций.
—М.: Наука, 1986.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
—М.: Наука, 1973.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. Преобразования
Фурье, Лапласа, Меллина. —М.: Наука, 1969.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
—М.: Наука, 1965.
7. Денисов Г.Г. О волновом импульсе и усилиях, возникающих на границе одномерной
упругой системы. Изв. РАН. МТТ, 1994, №1, с. 42-51.
8. Дерендяев Н.В. О силовом воздействии волн на тела. Испытания материалов и
конструкций; сб. научн. тр. Вып. 2. —Н. Новгород: 2000, с. 191-196.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. —М.:
Наука, 1986.
10. Денисов Г.Г. К вопросу об импульсе волны, радиационном давлении и других
величинах в случае плоских движений идеального газа. ПММ, 1999, Т. 63. Вып. 3. С. 390402.
55
ГЛАВА IV. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ СТРУИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Исследованию струйных течений вязкой жидкости посвящено большое число
теоретических и экспериментальных работ. Это связано прежде всего с тем, что теория
струй вязкой жидкости — один из важнейших для практики и интересный для математических
исследований раздел гидродинамики. По этой теме имеется ряд монографий [1—11]. Поэтому
может создастся впечатление, что в теории ламинарных струй почти все обстоит благополучно
и решение многих задач фактически получено. Тем не менее, еще остались непреодаленные
трудности в данном вопросе.
Законы механики для течения жидкости сформулированы в виде уравнений Навье—
Стокса. Однако ввиду их математической сложности точные решения получены только для
некоторых относительно простых случаев. Аналитический расчет гидродинамических и
тепловых характеристик струйных течений был связан с решением дилеммы: либо необходимо
было найти способ решения уравнений Навье—Стокса, либо создать метод расчета менее
трудоемкий, чем решение полных уравнений, но позволяющий получать результаты с
приемлемой инженерной точностью. Большой вклад в решение этой проблемы принадлежит
Прандтлю, который, основываясь на экспериментальных наблюдениях [12], показал, что
влияние вязкости жидкости более заметно главным образом в области, прилегающей к
поверхности обтекаемого тела, в то же время с большой степенью точности можно считать, что
основная масса жидкости движется без трения. Расположенный вблизи стенки слой жидкости
с большим трением должен быть тонким, только тогда в нем могут развиваться большие
поперечные градиенты скорости. Исходя из этого, Прандтль упростил уравнения Навье—
Стокса, сведя их к дифференциальным уравнениям ламинарного пограничного слоя, где вязкие
силы соизмеримы по величине с инерционными и объемными.
Вслед за интенсивными исследованиями теории пограничного слоя возникла и ее ветвь —
теория струй, обязанная своим развитием научным школам таких крупных ученых, как Г. Н.
Абрамовича, Л. Г. Лойцянского, А. С. Гиневского, Л. А. Вулиса, В. П. Кашкарова, С. В.
Фальковича и др. Хотя теория вязких струй представляет собой часть общей теории
пограничного слоя, в настоящее время она превратилась в самостоятельный раздел со
своими методами экспериментального исследования и приемами теоретического анализа.
56
Наиболее простым и традиционным подходом к задачам класса струйных течений
является получение автомодельных решений, т. е. решений о струе с точечным источником
[3, 4, 8], основанных на следующих преобразованиях подобия:
ϕ( x , y ) = x f (
p
x
)
y
где показатели степеней р и q определяются из соответствующих интегральных
условий, необходимых для получения нетривиального решения. Однако в случае этих
преобразований возникает особенность при х-»0, т. е. решения, из этого класса,
правильно описывают течение только при больших х.
Для преодоления указанного ограничения были разработаны интегральные методы
расчета [5]. При их использовании таких моделей не требуется выполнения законов
сохранения массы, импульса и энергии для каждой точки внутри струи, необходимо лишь
выполнение указанных законов в среднем для величин, осредненных по ширине вязкой
струи. Однако при таком подходе возникают свои трудности, и для получения замкнутой
системы уравнений нужны еще дополнительные полуэмпирические соотношения,
гипотезы.
В случае численного интегрирования основные дифференциальные уравнения
заменяются разностными, что приводит к появлению погрешности аппроксимации,
которая наряду с погрешностями округления и другими определяет суммарную
погрешность
решения.
Появляется
еще
одна
погрешность
при
численном
интегрировании вследствие нарушения интегральных законов сохранения при переходе к
разностным уравнениям [13]. Для устранения этого недостатка вводятся специальные
координаты [14], обеспечивающие автоматическое выполнение условий сохранения.
В последние годы увеличилось количество работ, посвященных применению метода
сращиваемых асимптотических разложений [15-17] к анализу аэродинамических и
тепловых характеристик струйных течений [18-22]. Этот метод дает возможность
построить два приближения: одно, описывающее закономерности течения в пограничном
слое, другое во внешнем потоке, дополняющих друг друга и совместно охватывающих
всю область течения. Взаимосвязь между приближениями отражает реальную картину
57
течения и теплообмена. Формальным ее выражением является сращивание —
согласование приближений в области перекрытия их областей применимости. Метод
сращиваемых асимптотических разложений может быть использован как при Re<l, так и
при Re>l. При Re<l метод существенно дополняет теорию Стокса и Озеена для
медленных вязких течений. При больших числах Re он служит для уточнения
результатов, найденных с помощью теории пограничного слоя.
Большой интерес представляет получение точных неавтомодельных решений уравнений
ламинарного пограничного слоя [23], так как с их помощью можно определить влияние
конечности источника на течение в ламинарных вязких струях, а также проверить
справедливость допущений, вводимых при приближенном расчете, и уточнить границы их
применимости. Достоинства полученных формул — простота и ясность физического смысла
результатов
Однако во многих технических задачах течения настолько сложны, что проинтегрировать
дифференциальные уравнения движения не удается. Когда аналитический подход не приводит
к решению, рациональному исследованию помогает применение методов теории подобия и
анализа размерностей. Хотя получение ясного вида связи между переменными часто невозможно,
форма ее ограничивается настолько, что для инженерного решения задачи достаточно
небольшого числа экспериментальных данных.
Значительное количество работ посвящено экспериментальным методам исследования
струйных течений [1-11, 24-28]. Систематически изучаются как простейшие, так и сложные,
обычно турбулентные, струнные течения. В последнее время увеличилось также число работ,
посвященных исследованию турбулентной структуры вязких струй: пульсаций скорости и
температуры, баланса турбулентной энергии и т. д.
Следовательно, изучение характера течения вязких струй, которые в технике формируются в
основном источниками конечных размеров, приводит к решению неавтомодельных задач. Эти
вопросы, имеющие важное практическое значение, являются сложными в математическом
отношении и до сих пор до конца не решены.
Прогресс в исследовании современных проблем теории вязких струй связан с
развитием аналитических, численных и экспериментальных методов. Это важный этап
решения многих задач, в том числе задач, которые до настоящего времени казались
«старыми» и хорошо разработанными. Причем сочетание этих методов эффективно при
58
получении наиболее полной и достоверной информации из исследуемых практических
задач.
Изучение характеристик ламинарных вязких струй на основе уравнений Навье—Стокса
шло по двум направлениям. Одно из них связано с аналитическим исследованием простейших
осесимметричных струйных течений, рассмотренных Слезкиным [29] и Л. Д. Ландау [30].
Ландау движению вязкой жидкости, вызванному некоторой точечной особенностью, придал
интерпретацию струйного истечения из тонкой «трубки» с заданным потоком импульса. Для
учета конечности размера источника струи Ю. Б. Румер [31] построил решение в виде
асимптотических разложений.
Однако общие уравнения движения сплошной среды требуют для своего решения сложного
математического аппарата. Это определило то положение, что в течение 150 лет исследований
получено только около десятка замкнутых решений.
Другой подход основан на численном интегрировании исходной системы уравнений Навье —
Стокса или ее модификации. По мере увеличения производительности ЭВМ расширялся круг
задач и росла их геометрическая сложность. За последние 10 лет было решено большое
количество
сложных
прикладных
задач
аэрогидродинамики,
не
поддававшихся
аналитическому рассмотрению, а также в ряде случаев и экспериментальному моделированию.
Наряду с численными решениями конкретных задач в теории ламинарных струй
большое значение имеют общие методы решения, основанные на использовании широко
распространенной теории пограничного слоя. Переход от общих уравнений Навье — Стокса к
уравнениям пограничного слоя осуществляется путем оценки порядка величины каждого
члена (характерные размеры и компоненты скорости в направлении, поперечном по отношению
к начальному импульсу, становятся малыми по сравнению с аналогичными величинами,
ориентированными вдоль импульса). Получаются уравнения пограничного слоя, которые
значительно проще уравнений Навье — Стокса. Это во многом способствовало их широкому
использованию в гидродинамике, теории вязких струй.
Для полной определенности постановки автомодельной задачи о развитии вязких струй
необходимо к уравнениям пограничного слоя, наряду с граничными условиями добавить
некоторые интегральные условия сохранения. Это вызвано наличием числа нулевых граничных
условий, и, следовательно, получение нетривиального решения возможно лишь при
привлечении
к
дифференциальными
анализу
дополнительных
уравнениями.
Естественно,
характеризоваться своими условиями сохранения.
59
соотношений,
каждая
допускаемых
конкретная
задача
самими
будет
Важным вопросом, возникающим при решении уравнений пограничного слоя, является
существование автомодельных решений. Если имеются автомодельные переменные, то
дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к системе обыкновенных
дифференциальных уравнении, что существенно упрощает исследование. Поэтому их
отыскание первоначально привлекало значительное внимание, так как это было часто
единственным средством преодолеть аналитические трудности и обрести качественное
понимание процессов массообмена. Кроме того, автомодельные решения в ряде случаев служили
источником ценной физической информации. Они позволяли проанализировать основные
черты изучаемого процесса и применить эти сведения при постановке более сложных задач.
Полученные при этом результаты, по существу, служат основой современной теории
вязких струй. Первые экспериментальныеисследования показали, что автомодельные решения
описывают не толькораспределение скоростей в бесконечном затопленном пространстве
поддействием точечного (для осесимметричной струи или линейного—дляплоской)
источника импульса, ориентированного в направлении осисимметрии, но и хорошо совпадают
также с распределением скоростейв реальной струе на большом удалении от насадка, из
которого она вытекает.
Далее рассматривается гидродинамическая задача о ламинарной осесимметричной струе
затопленной
во
вращающейся
вязкой
несжимаемой
жидкости.
Рассматривается
полупространство ограниченное твердой плоскостью, которая вращается вместе с жидкостью с
постоянной
угловой
скоростью
П.
Медленные
стационарные
осесимметричные
относительные движения жидкости в полупространстве вызваны распределением скоростей
на твердой плоскости, при условии стремления скоростей к нулю на бесконечности.
В качестве неавтомодельного решения рассматриваемой задачиt использовалось решение,
полученное в работе [32]. В этой работе найдено неавтомодельное решение для поля слабой
осесимметричной струи, затопленной во вращакжсейся вязкой жидкости, в приближении
пограничного слоя. Это решение найдено в предположении финитности источника струи.
Также в этой работе найдено асимптотическое выражение для поля струи при бесконечном
удалении от источника по оси струи.
Среди автомодельных есть решение, полученное в работе [33]. В этой работе
Гербертом найдено автомодельное решение для поля ламинарной осемметричной
затопленной струи во вращающейся вязкой несжимаемой жидкости в случае точечного
источника. Как показано в работе [32] найденное Гербертом решение не является
единственной автомодельной ассимптотикой. Более того, оно не содержится среди,
автомодельных
асимптотик
решений
для
60
финитного
источника,
заданного
в
видераспределения осевой компоненты скорости на твердой плоскости, ограничивающей
гюлупространство.
Автомодельные решения могут быть построены на основе законов сохранения степенных моментов.
Ниже приведены цепочки законов сохранения степенных моментов и для каждого
сохраняющегося степенного момента построено свое автомодельное решение. Решение
строится как сшивка двух асимптотик для малых и больших значений автомодельной
переменной. Сшивка проводится численно в точках не сильно удаленных от оси струи.
Показано, что полученное семейство решений включает в себя решение полученное
Гербертом. Описан также способ получения решений на основе симметрии системы
дифференциальных уравнений. Этот способ позволяет по одному найденному решению
построить семейство решений, последовательно применяя дифференциальные операторы
симметрии.
Решение Герберта также может быть получено как предел неавтомодельного на
больших расстояниях от источника, если этот источник задан в виде распределения
возмущения давления на твердой плоскости, ограничивающей полупространство. В силу этого,
формулы для поля струи, приведенные в [32] , охватывают весьма широкий класс струйных
течений во вращающейся жидкости.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть полупространство, заполненное вязкой несжимаемой жидкостью и ограничивающая
его твердая плоскость, вращающаяся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси,
перпендикулярной этой плоскости. Рассмотрим правую цилиндирическую систему
координат ( r ,ϕ , z ) , связанную с
твердой плоскотью выбрав ее так, чтобы плоскость
z = 0 была границей полупространства, и в каждой точке жидкости было z > 0 . Пусть на
границе полупространства z = 0 расположены источники струи, которые опишем, задав
осесимметричное распределение скоростей
U ( x , y ,0 ) = 0 , V ( x ,e ,0 ) = 0 , W ( x , y ,0 ) = W0 ( r ).
(4.1)
Рассмотрим в линейном приближении гидродинамическую задачу о ламинарной
осесимметричной затопленной струе во вращающейся жидкости, при условии на
бесконечности:
V → 0, при r → ∞ .
61
(4.2)
Предположим, что
пространственный масштаб функции W0 ( r ) много больше
2
V 
толщины экмановского пограничного слоя: L >>   , где V -кинематическая вязкость
Ω
жидкости. Как показано в [32] эти условия приводят к возникновению пограничного слоя
струи, распространяющегося вдоль оси
z . Система линеаризованных уравнений
пограничного слоя струи во вращающейся жидкости в осесимметричном случае имеет
вид:
1 ∂p

2
Ω
V
=
⋅

p ∂r ;


∂ 2V 1 ∂V V
− ;
2ΩU = v( 2 + ⋅

r ∂r r 2
∂r

∂ 2 W 1 ∂W
1 ∂p

0 = −( p ⋅ ∂z + v ⋅ ∂r 2 + r ⋅ ∂r );

 ∂rU ∂rW
 ∂r + ∂z = 0;
(4.3)
Задача о нахождении поля струи, затопленной во вращающейся жидкости, сводится к
решению системы (4.1) с граничными условиями (4.1),(4.2).
Законы сохранения
Рассмотрим систему (4.3) и выясним для нее законы сохранения.
2ΩM n −1 ( V ) = −( n − 1 )M n − 2 ( P )

2
2ΩM n +1 ( U ) = v( n − 1 )M n −1 ( V )

∂
+ v( n − 1 ) 2 M n −2 ( W ) = 0
−
 ∂z( M n ( P ))

∂
( n + 1 )M n +1 ( U ) =

∂z( M n + 2 ( W ))
Построим цепочки законов сохранения, для этого перепишем полученные соотношения
в виде:
62
∂
M n ( P ) = v( n − 1 )2 M n−2 ( W );
∂z
2
2
∂
− ( n − 1 ) vM ( P )
M n+2 ( W ) =
∂z
2Ω
Рассмотрим второе соотношение полученной системы при n = 1, в этом случае
M 3 ( W ) = const . Заложив такое основание, можно выписать всю цепочку:

0 , тогда сохраняется M n + 4 ( P )
 M n+2 ( W ) = 

C ≠ 0 − цепочка обрывается

 M ( P ) = 0 , тогда соъхраняется M n +8 ( W )

 n+4
С ≠ 0 − цепочка обрывается

Это позволяет поставить следующую задачу для обобщенных точечных источников.
Найти решение системы
1 ∂p

2
V
Ω
=
⋅ ;

p ∂r


 ∂ 2 V 1 ∂V V 
− 2 ;
2ΩU = v 2 + ⋅
r
r
∂
r 

 ∂r

2
0 = − 1 ⋅ ∂p + v ∂ W + 1 ⋅ ∂W ;
 ∂r 2 r ∂r 

p ∂z



∞

 M n ( p ) = ∫ prdr = const

0
(4.4)
при z → ∞ .
Из 4 уравнения системы (4.3) следует существование функции ψ ( r , z ) , которая
определяется следующими соотношениями: U =
1 ∂ψ
1 ∂ψ
иW =−
;
⋅
⋅
rp ∂z
rp ∂r
Компоненту скорости V удобно представить в виде: V =
1
Γ( r , z ) , так как это
rp
позволяет однозначно определить безразмерный комплекс, проводя анализ размерности. С
63
помощью анализа размерности сведем число неизвестных функций в системе (4.4) с
четырех до трех:
Ψ( z , r ) = M n z
Γ( z , r ) = M n z
P( z , r ) = M n z
2
2
3− n
1
3− n
1
3− n
−
1
3
v Ω
−
−
2
3
−
2
3
2
3
2
3
f ( ξ );
1
3
v Ω g( ξ );
−
(4.5)
v Ω s( ξ );
2
1 2  Ω 3 −
где ξ = r ⋅   ⋅ z 3 .
2
v
Компоненты скорости, а также давление представляются в виде:
U = ( Mnz
−
2
3− n
−n
-
2
3
v Ω
−
1
3
1
2
/ 3 * 2 p )( 2 − 3n )ξ
1
2
−1
V = ( M n z v / 2 p )g ( ξ )ξ
−n
−1
2
3
2
3
W = −( M n z v
1
3
−
−
1
2
−
1
2
f − 2 f ′ξ
2
1
;
); ;
(4.5)*
/ p ) f ′;
P = M n z v Ω s( ξ ).
Подставляя (4.5) в (4.1), получим:
 g k = s k +1 ( k + 1 );

3 g k +1 ( k + 2 )( k + 1 ) = − f k ( 2k + 3n );

2
6 f k +1 ( k + 2 )( k + 1 ) = s k ( 2k + 3n − 1 );
(4.6)
Граничные условия для полученной системы имеют вид:
fξ
fξ
−
1
2
1
−
2
1
2
→ 0; f ′ξ → 0; gξ
1
2
−
1
2
→ 0; s → 0 , при r → ∞
1
2
→ 0; f ′ξ → 0; f ′′ξ → 0; gξ
64
1
−
2
1
2
→ 0' sξ → 0 при r → 0
(4.7)
Таким образом, решение исходной задачи сводится к интегрированию системы (4.6)
с граничными условиями (4.7). Неизвестные функции f ( ξ ), s( ξ ) и g ( ξ ) будем искать
в виде обобщенных степенных рядов. Во-первых, найдем разложения для больших ξ ,
Наконец, требуя гладкости решения на всей действительной полуоси, проведем так
называемую «сшивку» полученных разложений.
Разложение в окрестности нуля.
Разложения для искомых функций и их производных в окрестности нуля имеют вид:
f =ξ
α
∞
∑ f kξ
k
.
k =0
Подставляя полученные выражения в систему (4.6), получим:
∞
∞
k +α
k +α −1
= ∑ s ( k + α − 1 )ξ
∑ gkξ
k =0 k
k =0
∞
 ∞
k +α −1
k +α
α
α
ξ
3
g
(
k
)(
k
1
)
+
+
−
=
−
 ∑ k
∑ f k ( 2k + 3n + 2α − 2 )ξ
k =0
 k =0
∞
 ∞
2 k +α −2
k +α −1
α
α
ξ
6
f
(
k
)(
k
1
)
+
+
−
=
∑ s k ( 2k + 3n + 2α − 3 )ξ
 ∑ k
k =0
 k =0
(4.8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ξ , получим два возможных
значения параметра α , а именно α = 0 и α = 1 .
Значение α = 0 не удовлетворяет граничным условиям в нуле для функций
f ( ξ ), g( ξ );
fξ
−1
2
→ 0; gξ
−1
2
→ 0. Следовательно α = 1 .
Заметим, что при α = 1 получим P( 0 , z ) = 0 , что не удовлетворяет условию
max P( r , z ) = P( 0 , z ) . Поэтому для разложения функции s( ξ ) возьмем α = α − 1 .
r >0
Перепишем систему (4.8) в виде:
 g k = s k +1 ( k + 1 );

3 g k +1 ( k + 2 )( k + 1 ) = − f k ( 2k + 3n );

2
6 f k +1 ( k + 2 )( k + 1 ) = s k ( 2k + 3n − 1 );
65
(4.8)*
Из системы (4.8)* следует существование рекуррентных соотношений для нахождения
общих членов рядов:
f k +3
( 2k + 3n + 3 )( 2k + 3n )
=−
2
3
fk
18( k + 1 )( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 )
g k +3
( 2k + 3n + 1 )( 2k + 3n + 4 )
=−
2
3
gk
18( k + 1 )( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 )
s k +3
( 2k + 3n − 1 )( 2k + 3n + 2 )
=−
2
2
3
sk
18( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )
Представим разложения для функций f ( ξ ), s( ξ ) и g ( ξ ) в следующем виде:
f (ξ ) =
g( ξ ) =
s( ξ ) =
∞
∑
k =0
∞
∑
k =0
∞
∑
k =0
a kf ξ 3k +1
a kg ξ 3k +1
a ks ξ 3k +1
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
bkf ξ 3k + 2
bkg ξ 3k + 2
bks ξ 3k + 2
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
ckf ξ
c kg ξ
3 k +3
3k +3
3 k +3
c ks ξ
Рассмотрим разложение для функции f ( ξ ) .
akf+1
f
ak
=−
( 6k + 3n + 3 )( 6k + 3n )
18( 3k + 1 )( 3k + 2 ) ( 3k + 3 ) ( 3k + 4 )
2
3
n + 1 
n

2 k +
 k + 
2 
2

=
2
1 
2 
4

36  k +  k +   k + ( k + 1 )2
3 
3 
3

Сделаем замену:
66
=
n + 1 
n

Γ k +
Γ  k + 
2  
2
f
k

ak =
Α
1 
2 
4

Γ k +  Γ 2  k +  Γ  k +  Γ 2 ( k + 1 )
3 
3 
3

f
С учетом этой замены, ak +1 будет иметь вид:
f
a k +1
n +1  
n 

Γ k +
+ 1Γ k + + 1
2
2 
k 1

 
=
Α +
1  2
2  
4  2

Γ k + + 1Γ  k + + 1Γ k + + 1Γ ( k + 1 + 1 )
3  
3  
3 

Воспользуемся следующим свойством гамма-функций: Γ( k + 1 ) = kΓ( k ) , в этом
случае рекуррентное соотношение примет вид:
f
ak +1
f
ak
n + 1 
n

k +
 k + 
2
2 
2

,
откуда
видно,
что
=
Α
.
Α
=
−
2
6
3
1 
2 
4

2
 k +  k +   k + ( k + 1 )
3 
3 
3

Аналогичным образом получим:
n 5 
n 1

Γ  k + + Γ  k + + 
2 6 
2 3
 2

bkf =  − 6 
,
 3  Γ k + 2 Γ 2  k + 4 Γ k + 5 Γ 2 ( k + 1 )

 
 

3
3 
3 

k
n 7 
n 2

Γ  k + +  Γ k + + 
2 6 
2 3
 2

c kf =  − 6 
,
 3  Γ k + 4 Γ 2  k + 5 Γ(k + 1)Γ( k + 2 )

 

3 
3

k
67
n 1 
n 2

Γ  k + + Γ  k + + 
2 6 
2 3
 2

,
a kg =  − 6 
 3  Γ  k + 1  Γ 2  k + 2  Γ k + 4  Γ 2 ( k + 1 )

 
 

3 
3 
3

k
n 1 
n 

Γ k + + Γ k + + 1
2 2 
2 
 2

bkg =  − 6 
 3  Γ k + 2 Γ 2  k + 4 Γ k + 5 Γ 2 ( k + 1 )

 
 

3 
3 
3

k
n 5 
n 4

Γ  k + +  Γ k + + 
2 6 
2 3
 2

,
c kg =  − 6 
4
5




 3  Γ 2 k + Γ 2 k + Γ( k + 1 )Γ( k + 2 )

 

3 
3

k
n 1 
n 1

Γ  k + −  Γ k + + 
2 6 
2 3
 2
s

ak =  − 6 
 3  Γ 2  k + 1 Γ 2  k + 2 Γ 2 ( k + 1 )

 

3 
3

k
n 1 
n 2

Γ k + +  Γ k + + 
2 6 
2 3
 2
s

bk =  − 6 
 3  Γ k + 2 Γ 2  k + 4 Γ 2 ( k + 1 )

 

3 
3

k
n 1 
n 2

Γ k + +  Γ k + + 
2 6 
2 3
 2

bks =  − 6 
 3  Γ k + 2 Γ 2  k + 4 Γ 2 ( k + 1 )

 

3 
3

k
Разложение в окрестности бесконечности.
Разложения для искомых функций и их производных в окресности бесконечности
имеют вид:
f =ξ
α
∞
∑ fk ξ
k =0
68
−k
.
Подставляя полученные выражения в систему (4.6), получим:
∞
∞
−k +α
−k +α
g
ξ
=
∑ s ( α − k )ξ
∑ k
k =0 k
k =0
∞
 ∞
−k +α −1
−k +α
g
(
α
k
)(
α
k
)
ξ
3
−
−
−
1
=
−
∑ f k ( −2k + 3n + 2α − 2 )ξ
 ∑ k
k =0
 k =0
∞
∞

2 −k +α −2
−k +α
= ∑ s k ( −2k + 3n + 2α − 1 )ξ
6 ∑ f k ( α − k )( α − k − 1 ) ξ
k =0
 k =0
(4.9)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ξ , получим три возможных
значения параметра α , а именно: α = 1 −
3n
1 − 3n
3
иα =
;α =
.
2
2
2( 1 − n )
В зависимости от выбора значения параметра α получим разный вид решения, а
именно:
При α = 1 − 3n / 2 разложение функции f ( ξ ) имеет вид:
∞
f ( ξ ) = ∑ akf ξ −3k +α .
k =0
При α = ( 1 − 3n ) / 2 разложение функции f ( ξ ) имеет вид:
∞
f ( ξ ) = ∑ bkf ξ −3k −1+α .
k =0
При α = 3n / 2( 1 − n ) разложение функции f ( ξ ) имеет вид:
∞
f ( ξ ) = ∑ ckf ξ −3k −2+α .
k =0
Аналогично можно получить форму разложения для остальных функций при разных
значениях параметра α .
Перепишем систему (4.9) в виде:
 g k = ( α − k )s k ;

3 g k −1 ( α − k + 1 )( α − k ) = f k ( 2k + 2 − 3n − 2α );

2
6 f k −2 ( α − k + 2 )( α − k + 1 ) = s k ( 2α − 2k + 3n − 1 ).
69
(4.9)*
Из системы (4.9)* следует существование рекуррентных соотношений для нахождения
общих членов рядов:
f k +3 18( k − α )( k − α + 2 )2 ( k − α + 2 ) 2 ( k − α + 3 )
=
fk
( 2k − 2α − 3n + 8 )( 2k − 2α − 3n + 5 )
g k +3 18( k − α )( k − α + 1 )2 ( k − α + 2 ) 2 ( k − α + 3 )
=
gk
( 2k − 2α − 3n + 4 )( 2k − 2α − 3n + 7 )
2
2
2
s k +3
18( k − α ) ( k − α + 1 ) ( k − α + 2 )
=
sk
( 2k − 2α − 3n + 4 )( 2k − 2α − 3n + 7 )
Представим разложения для функций f ( ξ ), s( ξ ) и g ( ξ ) в следующем виде:
f (ξ ) =
g( ξ ) =
s( ξ ) =
∞
∑
k =0
∞
∑
k =0
∞
∑
k =0
a kf ξ −3k +α
a kg ξ −3k +α
a ks ξ −3k +α
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
bkf ξ −3k −1+α
bkg ξ −3k −1+α
bks ξ −3k −1+α
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
∞
+∑
k =0
c kf ξ
c kg ξ
c ks ξ
−3 k − 2 +α
−3 k − 2 +α
−3 k − 2 +α
Рассмотрим разложение для функции f ( ξ ) .
a f k +3
a
f
k
18( 3k − α )( 3k − α + 1 )2 ( 3k − α + 2 )2 ( 3k − α + 3 )
=
=
( 6k − 2α − 3n + 8 )( 6k − 2α − 3n + 5 )
2
2
α 
α − 1 
α − 2 
α

3  k +  k −
 k −
  k − + 1
3 
3  
3  
3

= 
α n 4 
α n 5

2 k − − +  k − − + 
3 2 3 
3 2 6

6
Сделаем замену:
α 
α −1 2 
α − 2 
α


Γ  k − Γ 2  k −
Γ  k −
Γ k − + 1
3 
3  
3  
3
 Αk
ak = 
α n 4 
α n 5

Γ k − − + Γ k − − + 
3 2 3 
3 2 6

70
f
С учетом сделанной замены, ak +1 будет иметь вид:
a k +1
α
α −1  2 
α −2  
α

 

Γ k − + 1Γ 2  k −
+ 1Γ  k −
+ 1Γ k − + 1 + 1
3
3
3
3
 
 
 
 Α k +1
= 
α n 4  
α n 5 

Γ k − − + + 1Γ k − − + + 1
3 2 3  
3 2 6 

Воспользуемся следующим свойством Γ -функций: Γ( k + 1 ) = k
Γ( k ) , в этом
случае рекуррентное соотношение примет вид:
α 
α −1 
α − 2 
α


 k −  k −
 k −
  k − + 1
a
3 
3  
3  
3
,
= −Α 
α n 4 
α n 5
a

 k − − +  k − − + 
3 2 3 
3 2 6

2
откуда видно, что Α = −
2
6
3
. Аналогичным образом получим:
2
α 1 
α 2 
α
α 4

 
Γ k − + Γ 2  k − + Γ 2  k − + 1Γ k − + 
3 
3 3 
3 3 
3
3 3
f
 
bk =   
α n 5 
α n 7

 2
Γ k − − + Γ k − − + 
3 2 3 
3 2 6

6
k
α 2 
α
α 4 
α 5

 
Γ k − + Γ 2  k − + 1Γ 2  k − + Γ k − + 
3 
3 3 
3
3 3 
3 3
 
c kf =   
α n
α n 3

 
 2
Γ k − − + 2 Γ k − − + 
3 2
3 2 2

 
6
3 
a kg =  
 2
6
k
k
α 
α 1 
α 2 
α


Γ k − Γ 2  k − + Γ 2  k − + Γ k − + 1
3 
3 3 
3 3 
3


α n 7 
α n 2

Γ k − − +  Γ k − − + 
3 2 6 
3 2 3

71
α 1 
α 2 
α
α 4

 
Γ k − + Γ 2  k − + Γ 2  k − + 1Γ k − + 
3 
3 3 
3 3 
3
3 3
 
bkg =   
α n 3 
α n 

 2
Γ k − − + Γ k − − + 1
3 2 2 
3 2 

6
k
α 2 
α
α 4 
α 5

 
Γ k − + Γ 2  k − + 1Γ 2  k − + Γ k − + 
3 
3 3 
3
3 3 
3 3
 
c kg =   
α n 4 
α n 11 

 2
Γ  k − − +  Γ k − − + 
3 2 3 
3 2 6

6
3 
a ks =  
 2
6
k
k
α  2
α 1 2
α 1 2
α 2
2
Γ  k − Γ  k − + Γ  k − + Γ  k − + 
3 
3 3 
3 3 
3 3

α n 2 
α n 7

Γ k − − + Γ k − − + 
3 2 3 
3 2 6

α 1 2
α 2 2
α

2
Γ  k − + Γ  k − + Γ  k − + 1
3 
3 3 
3 3 
3 
bks =   
α n  
α n 3

 2
Γ k − − + 1Γ k − − + 
3 2  
3 2 2

6
α 2 2
α
α 4
 2
2
Γ  k − + Γ  k − + 1Γ  k − + 
3 
3 3 
3  
3 3
сks =   
α n 4 
α n 11 

 2
Γ  k − − + Γ  k − − + 
3 2 3 
3 2 6

6
«Сшивка» полученных разложений.
Проведем «сшивку» для функции f ( ξ ) при α = 1 − 3n / 2 . В остальных случаях
процедура поводится аналогично. Запишем представленное разложение функции f ( ξ )
∗
∗
∗
для малых ξ как суммы трех рядов в виде: f ( ξ ) = a f1( ξ ) + b f 2 ( ξ ) + c f 3 ( ξ ) . При
72
выбранном α разложение для больших ξ запишется в виде: f ( ξ ) = ξ
α
∞
∑ f kξ
−3 k
.
k =0
Обозначив его f 4 ( ξ ) . Для проведения «сшивки» решим систему
 f 4 ( ξ1 ) = a ∗ f1( ξ1 ) + b∗ f 2 ( ξ1 ) + c ∗ f 3 ( ξ1 )

∗
∗
∗
 f 4 ( ξ 2 ) = a f1( ξ 2 ) + b f 2 ( ξ 2 ) + c f 3 ( ξ 2 )

∗
∗
∗
 f 4 ( ξ 3 ) = a f1( ξ 3 ) + b f 2 ( ξ 3 ) + c f 3 ( ξ 3 )
относительно
a ,b ,c . Значения функций f i ( ξ j ) считаем численно, используя
конечные суммы. Точки ξ j выбираются близко друг к другу и недалеко от нуля, чтобы
обеспечить гладкость полученного решения. В данном случае ξ1 = 2 ,ξ 2 = 2.1,ξ 3 = 2.2 .
Следует заметить, что значение функции f 4 ( ξ j ) зависит от числа слагаемых в
конечной
сумме.
Например,
f 4 ( ξ j ,k = 10 4 ) = 10 5 ∗ f 4 ( ξ j,k = 10 ) .
Есть
предположение, что ряд f 4 ( ξ ) не сходится.
Далее приведены графики зависимости автомодельных функций f ( ξ ), s( ξ ) и
g ( ξ ) от переменной ξ .
73
Рис.1. График зависимости функции
f (ξ )
от
ξ.
Рис.2 График зависимости функции
s( ξ ) от ξ .
Рис.3 График зависимости функции
g( ξ )
74
от
ξ.
Далее, в соответствии с (4.5)* получены профили функций U ,V ,W и P . Все профили
построены средствами пакета MatLab 6.1.
Рис.4. График зависимости компоненты скорости
U
от
r.
Рис.5. График зависимости компоненты скорости
V
от
r.
75
Рис.6. График зависимости компоненты скорости
76
W
от
r.
Рис.7. График зависимости компоненты скорости
P
от
r.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV.
1. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй.— М.: Физматгиз,I960.—715 с.
2.Бай Ши И. Теория струй.— М.: Физматгиз, I960.—326 с.
З.Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М.: Физматгиз,1962.—479 с.
4.Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости.— М:Наука, 1965,431 с.
5.Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов.— М.: Машиностроение,
1969.—400 с.
б.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 1970.—904 с.
7.Гинзбург И. П. Теория сопротивления и теплопередачи.—Л.: ЛГУ.1970.—375 с.
8.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М: Наука, 1974. — 711 с.
9.Коробко В. И. Теория неавтомодельных струй
вязкой жидкости.—Саратов: СГУ,
1977—220 с.
10.Сакипов 3. Б. Теория и методы расчета полуограниченыых
струй инастильных
факелов.— Алма-Ата: Наука, 1978.— 201с.
11 .Гольдштик М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, 1981.—365 с.
12.Prandtl L. Grenzschichten und Widerstand Verhandlungen des 111.—Int. Math.
Kongr., Heidelberg, 1904, p. 484—491.
13.
Sukanek
P.
C.
Conservation
errors
in
axisymmetric
finitedifferenceequations.— AIAA J., 1979, v. 17, N 1, p. 99—101.
14.
Белоглазов Б. П., Гиневский А. С. Расчет ламинарных спутных струй сточным
удовлетворением условия постоянства избыточного импульса.- Уч. Зап. ЦАГИ, 1974, т. 5,
№ 4, с. 10-19.
15. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.-310 с.
16. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.— М.: Мир, 1972.—274
с.
17. Найфэ А. X. Методы возмущений.— М.: Мир, 1976.—456 с.
18. GersienK., Gross J. F. Higher order boundary layer theory.— Fluid Dyng. Trans.
(PRL), 1976, v. 7, N 2, p. 7—36.
19. Кортиков Н. Н., Новикова И. Б. Метод сингулярных
струйном течении вдоль прямого круглого
возмущений в задаче о
конуса.— ПММ, 1979, т. 49, №1, с. 24—
77
20.Кортиков Н. Н., Новикова И. Б. Высшие приближения в задаче струйного течения
на круглом цилиндре.— Изв. АН СССР, МЖХ, 1979, №5, с. 21— 27.
21. Hunt J. С. R. A theory for the laminar wake of a two-dimensional body in a boundary
layer—J. Fluid Mech., 1971, v. 49, N 1, p. 159— 178.
22.
CapellK-
Steadv two-dimensional
viscous
flow in a jet and in awake,—Bull.
Austral. Math. Soc, 1972, v. 6, N 3, p. 473—475.
23. Коровкин В. Н., Сокоаишин 10. А. Некоторые задачи
теории вязкихструй.—
ПМТФ, 1984, № 2, с. 27—34.
24.Абрамович Г. Н., Крашенинников С. Ю.. Секундов А. Н., Смирнова И. П.
Турбулентное смешение газовых струй.— М.: Наука, 1974 —272 с.
25. Абрамович Г. Н., Крашенинников С. Ю., Секундов А. Н.
Турбулентные течения при воздействии объемных сил и неавтомодельностн. —
М.: Машиностроение, 1975.—95 с.
26.Ахмедов Р. Б., Балагула Т. Б., Рашидов Ф. К., Сакаев А. Ю. Аэродинамика
закрученной струи.— М.: Энергетика, 1977.—240 с.
27.Никитин
И.
К.
Сложные
турбулентные
течения
и
процессы
тепломассопереноса,—Киев: Наукова думка. 1980.—238 с.
28.Дыбан Е. П., Мазур А. И. Конвективный теплообмен при струнном обтекании
тел.— Киев: Наукова думка, 1982.—302 с.
29.Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости - М: 1955-520с
30. Ландау Л.Д. Об одном новом точном решении уравнений Навье-Стокса.Докл. АН СССР, 1944, т. 43, № 7, с. 299-301.
31.Румер Ю. Б. Задача о затопленной струе.— ПММ, 1952, т. 16, вып. 2.с. 255—256.
32.Дерендяев Н.В.
Ламинарная осесимметричная затопленная струя во
вращающейся жидкости. Прикладная математика и механика, 1976 т.
33.Herbert DM. A laminar jet in a rotating fluid. J.Fluid Mech, 1965, vol. 23, ptl,p. 65-67
78