ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКОЕ

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ
УПРАВЛЕНЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Практикум
с использованием средств MS EXCEL
для студентов строительных и экономических
специальностей
Омск  2008
Федеральное агентство по образованию
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)
Инженерно-строительный институт
(ИСИ)
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ.
ПЛАНИРОВАНИЕ.
УПРАВЛЕНЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Практикум
с использованием средств MS EXCEL
для студентов строительных и экономических
специальностей
Составители: С. И. Барайщук, Е. Ю. Рожина
Омск
Издательство СибАДИ
2008
1
УДК 333.486.5
ББК 65.050.9(2)2:65.012.2
Рецензент канд. экон. наук, доц. Н.В. Немцова (ОмЮИ)
Работа одобрена научно-методическим советом специальностей 080502,
270115 в качестве практикума с использованием MS Excel для студентов
специальностей 080502, 270115.
Прогнозирование.
Планирование.
Управленческое
решение:
Практикум с использованием MS Excel для студентов строительных и
экономических специальностей / Сост.: С.И. Барайщук, Е.Ю. Рожина.  Омск:
Изд-во СибАДИ, 2008.  72 с.
Представлен ряд практических задач по изучению проблем
прогнозирования и планирования как в строительном бизнесе, так и в сфере
недвижимости. Рассмотрены математические методы и модели, позволяющие
менеджеру принять обоснованное управленческое решение.
Табл. 5. Ил. 55. Библиогр.: 10 назв.
 Составители: С.И. Барайщук,
Е.Ю.Рожина, 2008.
2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ......................................................6
2. АНАЛИЗ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ ..........................................................................10
2.1. Алгоритм исчисления маржи ................................................................... 12
2.2. Пример решения задачи маржинального анализа .................................. 13
3. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ ...............................................16
3.1. Сложные проценты ................................................................................... 16
3.2. Балансовое равенство................................................................................ 19
3.3. Балансовое уравнение и критерии стратегического планирования.21
3.4. Пример расчета индекса прибыльности с применением MS Excel....... 22
4. ЗАДАЧИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА .......................................................26
4.1. Парная регрессия на примерах анализа временных рядов.................... 26
4.2. Множественная регрессия ........................................................................ 34
5. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ................................................................................39
5.1. Общий случай задачи оптимизации......................................................... 40
5.2. Классификация математических моделей............................................... 42
5.3. Задача распределения ресурсов................................................................ 43
5.4. Параметрический анализ .......................................................................... 47
5.5. Решение по заказу ..................................................................................... 50
5.5.1. Поиск оптимального решения при заданном значении
целевой функции.....................................................................................50
5.5.2. Поиск оптимального решения при заданном значении
используемых ресурсов........................................................................51
5.5.3. Поиск оптимального решения при заданных значениях
переменных..............................................................................................52
5.6. Решение задач при условных исходных данных.................................... 53
5.7. Преодоление несовместимости................................................................ 54
6. ЭКСПЕРТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ..............................................................57
6.1. Непосредственное назначение коэффициентов веса.............................. 57
6.2. Оценка важности параметров в баллах.................................................... 58
6.3. Метод парных сравнений.......................................................................... 60
7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В РИСКОВЫХ СИТУАЦИЯХ...................................62
7.1. Меры риска ................................................................................................ 63
7.2. Принятие решений в условиях полной неопределенности.................... 66
Библиографический список.....................................................................................71
3
ВВЕДЕНИЕ
Человека всегда интересовало будущее, которое осознавалось
как естественное продолжение настоящего, но с учетом
субъективного опыта. Для одного человека будущее может быть
лучше, чем настоящее, а для другого  хуже. Как правило, реальность
существенно отличается от представления о будущем. Для того чтобы
уменьшить возможные отклонения, следует изучить природу и
методы научного прогнозирования, что особенно важно для
профессионалов в сфере управления и экономики.
Прогнозирование связано с объективным течением жизни и
исходит из ее понимания, когда необходимость пробивает себе дорогу
среди случайностей. При этом случайность рассматривается как
ресурс, который позволяет не только выявить, но и учитывать
внутреннюю закономерность явлений. Прогноз  это потенциал
будущего. Прогноз испытывает влияние различных признаков
действительности, что позволяет моделировать управление
экономикой предприятия и отраслью в целом. Возможность
моделирования определяет цель и задачи социально-экономического
прогнозирования и планирования. Поэтому в целях организации
эффективного управления деятельности предприятия необходимо
учитывать неопределенность и риск.
Обусловлена актуальность управления рисками особенностями
создания и эксплуатации недвижимости на всех этапах ее
существования. Сфера недвижимости формирует особую экономику,
которая базируется и на традиционных сделках, и на оригинальных
операциях. Если в сфере производства и обращения потребительских
товаров элементы рынка существовали всегда, даже во времена
самого
жесткого
административно-политического
контроля
экономики, то решения, связанные с оборотом земли, объектов
недвижимости и капиталовложений являлись прерогативой
центральных органов управления. Однако теневой оборот
недвижимости существовал и тогда, что было сопряжено с высокими
рисками в деятельности "черных маклеров", "дачников" и прочих
"частников". С развитием отечественного рынка ситуация в сфере
недвижимости изменилась, а риски усилились, потому что наряду с
легализацией прошлых вариантов появились новые виды
профессиональной деятельности, например, девелопмент, ритейл,
брокеридж и т.д.
4
Целью настоящего практикума является оказание методической
помощи студентам специальностей «Экспертиза и управление
недвижимостью» и «Экономика и управление в строительстве» в
овладении современными методами минимизации потерь и
максимизации вероятности получения прибыли на основе выбора
наилучшего по последствиям и математически просчитанного
управленческого решения.
Цель определяет структуру практикума, последовательно
представляющего основные задачи, решаемые с помощью
электронных таблиц:
- анализ безубыточности;
- оценка эффективности инвестиций;
- регрессионный анализ;
- оптимизация управленческого решения;
- экспертное прогнозирование;
- оценка риска.
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Прогноз  это система научно обоснованных представлений о
возможном состоянии объекта в будущем (предсказание) и о путях
его развития (предуказание).
Прогнозирование призвано ответить на вопросы:
1. Что будет, если…?
2. Что надо, чтобы …?
Стадии прогноза:
1. Ретроспекция  предположение будущего как осмысление
прошлого.
2. Диагноз  предположение будущего на основе выявления
причин настоящих событий.
3. Проспекция  подробное изложение желаемого будущего.
Принципы прогнозирования:
целенаправленность; системность; научная обоснованность;
адекватность; альтернативность; комплексность; рациональность;
информированность, верифицируемость.
Верификация прогноза  это проверка прогноза различными
методами.
Прогнозирование осуществляется при помощи интуитивных
(экспертных) и аналитических методов. Существующая система
методов представления о будущем позволяет организовать
прогнозирование как управленческую деятельность на предприятии.
Различают качественные и количественные прогнозы, краткосрочные
и долгосрочные, нормативные и поисковые. Построение прогноза
начинается с формулировки гипотезы и заканчивается проектом
действий. Центральным этапом, увязывающим предсказание и
предуказание, является план.
Связь планирования и прогнозирования понимают двояко. С
одной стороны, прогнозирование – это более широкое понятие, чем
планирование, с другой  более узкое, нежели целеполагание. Это
происходит потому, что между прогнозированием и планированием
имеется много общего, в первую очередь с точки зрения
применяемых методов.
6
Планирование  процесс обоснования целей, приоритетов,
определение путей, средств и сроков их достижения. На практике
планирование реализуется путем разработки планов.
План  это документ, в котором отражаются цели, приоритеты,
ресурсы, источники их обеспечения, порядок и сроки выполнения.
Методы планирования и прогнозирования:
1. Балансовый метод  это мотивация практической
значимости. Здесь используются такие задачи, как задача
межотраслевого баланса (Леонтьева); задачи оптимизации, решение
которых дает ответ на вопрос: «Как сбалансировать ресурсы
(материальные, трудовые, финансовые) для достижения поставленной
цели?» и т. д.
2. Нормативные методы  это расчетно-аналитические и
отчетно-статистические методы разработки норм, на основе которых
строится прогноз как предуказание.
3. Программно-целевой метод  это метод, в котором
предполагается знание социальных, экономических, научнотехнических, производственных, территориальных, экологических,
организационно-хозяйственных и других закономерностей, а также
последовательность их анализа.
Прогноз – это вероятностное, интервальное, дихотомическое
решение о целевой альтернативе действий.
Планирование
отличается
от
прогнозирования
определенностью, детерминированностью управленческого решения,
направленного на координацию действий. Также следует
подчеркнуть, что понятие «управление» однозначного определения не
имеет. Определений много, их более двух десятков и все они хоть и
похожие, но все-таки различные. Из наиболее признанных
определений мы выбрали одно.
Управление  это процесс формирования целей, отыскание и
реализация способов их эффективного достижения.
Есть и негласное определение: управление  это достижение
цели чужими руками.
Управленческое решение (УР) есть субъективный, творческий
выбор определенного курса действий из возможных альтернативных
направлений с целью эффективного разрешения назревшей проблемы
на основании знаний объективных законов функционирования
7
управляемой системы и анализа информации, характеризующей ее
состояние.
Часто приходится принимать УР в ситуации частичной или
полной неопределенности, то есть действовать наудачу в надежде на
счастливый
исход
или
предполагая
некоторые
потери.
Количественная характеристика «надежды» или «угрозы» называется
риском. Точного, общепринятого определения риска не существует.
Различают ситуацию риска и риск наступления последствий
управленческого решения. Риск объективно присущ каждому
бизнесу, каждому предприятию. Свести риск до нуля невозможно,
возможно его предвидеть, идентифицировать, оценить и принять
наилучшее
решение
согласно
определенному
критерию,
отражающему основной интерес предпринимателя.
Критерий – это условие, обстоятельство, параметр,
позволяющий нормализировать, минимизировать, максимизировать
или оптимизировать последствия УР, поэтому различают
допустимый, кризисный и катастрофический риски. Данная
классификация риска зависит от того, «чем и ради чего»
управляющий может пожертвовать.
С точки зрения методики
управления риски делятся на систематические, не зависящие от
предпринимателя и собственные, которые возникают по причине
разной склонности к авантюре лица, принимающего решение. К
системным рискам приспосабливаются, собственные минимизируют.
Таким образом, управление рисками – это формула действий по
получению возможных результатов.
Рассмотрим факторы, влияющие на принятие УР.
Внешние факторы:
1) состояние рынка и положение на нем предприятия;
2) изменение законодательства;
3) изменение системы налогобложения;
4) общее состояние страны, региона, отрасли, к которым
относится предприятие;
5) уровень платежеспособности потребителей;
6) положение поставщиков;
7) уровень инфляции;
8) величина процентных ставок за кредит.
8
Это неуправляемая сторона, но руководитель должен следить за
такими изменениями и корректировать их (корректировать план во
времени).
Внутренние факторы:
1) кадровый потенциал;
2) состояние основных фондов (оборудование и т. п.);
3) объем оборотных средств;
4) величина долговых обязательств (долгосрочных и
краткосрочных);
5) уровень загрузки производственных мощностей;
6) прогрессивность используемых технологий;
7) темпы обновления продукции и производства.
Это управляемая сторона, и руководитель должен следить за
изменениями внутренних факторов, уметь
планировать,
мотивировать, организовывать, стимулировать и контролировать
процесс достижения цели.
Цикличность развития  это процесс текущей деятельности, в
котором
происходит
накопление
денежных
средств
для
последующего развития предприятия. Цикличность развития
предприятия обусловливает существование следующих циклов:
- производственный цикл (время от получения сырья до
получения готового продукта);
- финансовый цикл (время от момента оплаты ресурсов до
момента получения выручки);
- управленческий цикл (период, за который происходят
планирование, организация, контроль и анализ деятельности).
С точки зрения прогнозирования управление начинается с
анализа безубыточности.
Основные определения:
Анализ – это расчленение или разложение (мысленное или
реальное) объекта на элементы. Анализ неразрывно связан с понятием
синтеза.
Синтез  это соединение исследуемых элементов изучаемого
объекта в единое целое. Это значит, что сначала надо разложить, а
потом соединить. В формальной логике анализ  это уточнение
логической формы (структуры) рассуждений.
Оценка – это мнение о ценности, или уровне, или значении
кого-нибудь или чего-нибудь.
9
Регрессия (с математической точки зрения)  это нахождение
функциональной зависимости
некоторого среднего значения
какойлибо зависимой величины от некоторой другой независимой
величины или от нескольких независимых величин. Здесь также
важно определение значимости как самого полученного уравнения
регрессии, так значимости его коэффициентов.
Инвестиции – это вложение капитала с целью получения
прибыли. Различают финансовые (покупка ценных бумаг) и реальные
(непосредственное вложение) инвестиции.
Эффективность – это соотношение результатов и затрат на их
достижение, причем результаты должны быть положительными.
Эффективность непосредственно связана с производительностью,
например труда, капитала, оборудования и т.д. В теории управления
считается, что неэффективное управление  это не управление.
Безубыточность – это определение критического объема
производства, ниже которого снижаться нельзя.
Маржа – это использование предельных величин в анализе
экономических явлений.
Переменные издержки – это затраты, которые изменяются в
зависимости от объемов производства.
Постоянные издержки  это затраты, которые не зависят от
изменения объемов производства.
2. АНАЛИЗ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
Для определения точки безубыточности рекомендуется
использовать
алгоритм
вычислений,
который
содержит
систематизированные исходные данные и расчетные показатели,
необходимые для принятия УР. Также возможно решение и обратной
задачи  из известных расчетных показателей найти необходимые
исходные данные. Например, по известному (требуемому) запасу
финансовой прочности определить минимальные переменные затраты
и т. п. Этот алгоритм основан на методе маржи, то есть на
использовании предельных величин в анализе экономических
явлений (предельная производительность, полезность, предельные
затраты и т. д.).
10
Расчет начинается с разделения издержек на переменные и
постоянные, без чего невозможно вычислить валовую маржу (или
сумму покрытия), необходимую для прогнозирования таких величин,
как:
 порог рентабельности  (критическая выручка),
определяет объем производства, ниже которого не имеет
смысла вести хозяйственную деятельность (рис. 1);
 запас финансовой прочности  вычисляется при помощи
первого показателя и
позволяет
спрогнозировать
минимальные переменные издержки (затраты);
 прибыль прогнозируется через запас финансовой
прочности, но в прогнозе прибыли следует учитывать, что
прибыль = 0, если выручка от реализации равна сумме
всех затрат;
 сила воздействия операционного рычага  это величина,
позволяющая оценить, насколько допустимо или
недопустимо снижение выручки. Она характеризует
изменение прибыли при изменении на один 1% выручки.
Рассмотрим график безубыточности (см. рис. 1). Следует
отметить, что в строительстве и дальнейшей эксплуатации объектов
недвижимости объемы производства измеряются не в натуральных, а
в стоимостных единицах.
График безубыточности
Выручка
Точка
безубыточности
Затраты
Доходы
20
Прибыль
15
10
Постоянные
затраты
Переменные
затраты
Убыток
5
0
Объем производства
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Критический объем производства
Рис. 1. Определение критического объема производства
11
Из анализа графика безубыточности определяется критический
объем производства, ниже которого снижаться нельзя. Можно
определить также и необходимую выручку при известном объеме
производства, для того чтобы предприятие оставалось в зоне
прибыли.
2.1. Алгоритм исчисления маржи
Исходные данные:
А  выручка от реализации. Выручка – это денежные средства,
полученные от реализации основной продукции. Если предприятие
действующее, то величина выручки отражается в финансовом
документе
«Отчет
о
прибылях
и
убытках».
Если
предпринимательская деятельность прогнозируется, то выручку
можно определить по формуле
А = Цена  Количество продукции.
Современная экономика и бизнес считаются эффективными,
если выполняется следующее условие: разница между выручкой и
балансовой стоимостью активов, увеличенной на банковский
процент по кредиту, должна быть положительной. В этом случае по
оси «Объемы производства» отражаются затраты на капитал, которые
так же, как и издержки производства, распадаются на постоянные
(внеоборотные активы) и переменные (оборотные активы).
В  постоянные издержки  это сумма затрат на:
 оплату
труда
руководителей
и
административноуправленческого персонала с отчислениями;
 арендные платежи;
 налоги, входящие в состав себестоимости, размер которых не
зависит от объемов производства;
 электроэнергию, газ, воду, отопление, потребляемые в
коммунальных целях;
 телефон, почтовые услуги, страхование, текущий ремонт
оборудования и помещений;
 процент за кредит в пределах ставки рефинансирования;
 амортизационные отчисления по определенной схеме
исчисления;
 другие постоянные издержки.
12
С  переменные издержки  это сумма затрат на:
 сырье, комплектующие и материалы;
 заработную плату рабочих;
 расходы на все виды энергии, которые необходимы для
технологических нужд;
 и т.п. издержки, изменяющиеся в зависимости от объема
производства.
Расчетные показатели:
М  валовая маржа (сумма покрытия) =
{выручка от реализации (А)  переменные затраты (C)} = AC
или
{постоянные затраты (В) + прибыль (Р)} = В+Р.
Е  коэффициент валовой маржи =
{валовая маржа (М) / выручка от реализации (А)} =M/А (или в %
*100).
F  порог рентабельности (критическая выручка) =
{постоянные затраты (В) / коэффициент валовой маржи (Е)} =
В/Е.
Zр  запас финансовой прочности в рублях =
{выручка от реализации (А)  порог рентабельности (F)} = A 
F.
Z%  запас финансовой прочности в процентах =
{ порог рентабельности (F) / выручка от реализации (А)} = F/А.
Р  прибыль = Zp  E,
{запас финансовой прочности (Zp)  коэффициент валовой
маржи (Е)}.
S  сила воздействия операционного рычага =
{валовая маржа (М) / прибыль (Р)} = M/P.
2.2. Пример решения задачи маржинального анализа
Наибольшая сумма расходов предприятия пришлась на январь и
составила 20 ден. ед., самая низкая  на март (17 ден. ед.)
Максимальная сумма дохода соответственно составила 29 ден. ед.,
минимальная  24 ден. ед. Необходимо спрогнозировать структуру
затрат предприятия.
13
Это задача определения отношения переменных и постоянных
затрат на основании ретроспекции, то есть анализа прошлых данных.
Заполним таблицу Excel, как показано на рис. 2.
Это значит, что соотношение переменных и постоянных затрат
(ячейка C7) дает возможность определить остальные параметры
безубыточности, если известна выручка от продаж A. Изменяя
величины максимальных сумм расхода и дохода (ячейки С2:D3), мы
получим другие соотношения переменных и постоянных затрат,
например, такие, как показаны на рис. 3.
Анализ
альтернативных
соотношений
переменных
и
постоянных затрат (ячейки C7) позволяет выбрать наилучшую
структуру затрат на производство продукции. В настоящем примере
рост переменных затрат приведет к уменьшению прибыли (см.
график безубыточности на рис. 1) и, следовательно, к перспективе
попадания предприятия в зону убытков. Модель анализа
безубыточности и алгоритм прогноза издержек с применением
электронных таблиц приведены на рис. 4 (две части таблицы  это
Исходные данные для маржирования и Расчетные показатели).
Рис. 2. Расчет соотношения переменных и постоянных затрат (вариант 1)
14
Рис. 3. Расчет соотношения переменных и постоянных затрат (вариант 2)
а
15
б
Рис. 4. Пример построения модели маржи в MS Excel
3. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ
3.1. Сложные проценты
Понятие инвестиций связано с понятием капитала – денег,
делающих новые деньги. Эффективность инвестиций отражает
стоимость капитала – текущую и будущую. Для ее определения
применяют инструмент сложных процентов, рассчитываемых как по
депозиту (вклад в банк на текущий счет), так и по кредиту (стоимость
займа).
Если клиент вкладывает некоторую сумму денег Х0 в банк,
выплачивающий P% годовых (годовая процентная ставка), то через k
лет заемщик получит от банка сумму, равную
k
P 

X k  X 0 1 
 .
 100 
16
(1)
Эта формула вычисления сложных процентов по депозиту. Она
позволяет вычислить любую из величин X0, Xk, P или k.
Из формулы (1) можно определить сумму X0, вложенную в
первоначальный момент времени, если известна желаемая сумма Xk ,
получаемая через k лет с процентной ставкой P
k
P 

X 0  X k 1 
 .
 100 
(2)
Определение величины X0 из величины Xk , а также решение
обратной задачи называется дисконтированием (приведением
стоимости денег во времени), а сама величина  дисконтированным
значением Xk. Точно так же и величина Xk является дисконтированным
значением X0.
Из формулы (1) следует, что можно определить коэффициент
дисконтирования, используя депозитную или кредитную ставку
дисконтирования в зависимости от целей оценки инвестиций:
1
k
 x 
q   k  ,
 x0 
P 

где q  1 
.
 100 
Отсюда следует, что P = 100(q  1).
Значит, если известна начальная сумма X0, конечная сумма Xk и
срок кредита k (в годах), то годовая процентная ставка Р будет равна
1


k


x
P  100  k   1 .
(3)
 x 0 



Из формулы (1) также можно определить величину k  это
период кредитования или дисконтирования.
То есть, если
x
xk  x0 q k , то q k  k .
x0
17
Следовательно,
x 
k  log q  k 
 x0 
x 
ln k 
x
или k   0  .
ln q 
(4)
Таким образом, формулы (1), (2), (3), (4) позволяют определить
соответственно:
Хk  конечную накопленную будущую сумму капитала, если
известны Х0, Р, k;
Х0  начальную текущую сумму капитала, если известны Хk, Р,
k;
Р  годовую эффективную процентную ставку, если известны
Х0, Хk, k;
k  время, период инвестиционного проекта, если известны Х0,
Хk, Р.
Рассмотрим несколько практических ситуаций принятия
инвестиционного решения. Например, управляющий желает
приобрести пакет акций другого предприятия с доходностью 10 % на
сумму 100 ден. ед. (Х0). Известно из прошлого, что акции «дорожали»
в среднем на 1 % в год. Предположим, что эта тенденция сохранится в
будущем. Акции приобретаются с целью увеличить фактическую
доходность капитала предприятия с 5 до 15% (Р). Определить срок
владения пакетом акций k, если управляющий прогнозирует рост
капитала предприятия до 300 ден.ед. (Хk).
Вторая практическая ситуация. Управляющий, зная состояние
рынка, считает возможным увеличить выручку за счет роста объемов
производства со 100 до 300 ден.ед. (Хk). Для этого ему необходимо
нарастить производственные мощности за счет приобретения нового
оборудования и сырья на некоторую сумму Х0. Накопленной прибыли
как собственного источника инвестиций достаточно. Банковский
процент по вкладу составляет 10 % (Р). Определить первоначальные
инвестиции Х0, если срок окупаемости инвестиционного проекта
составляет 5 лет (k).
Третья практическая ситуация. Управляющий, зная состояние
рынка, считает возможным увеличить выручку за счет роста объемов
производства Хk. Для этого ему необходимо нарастить
производственные мощности, приобретая новое оборудование и
закупив сырья на сумму 100 ден.ед. (Х0). Накопленной прибыли как
18
собственного источника инвестиций достаточно. Банковский процент
по вкладу составляет 10 % (Р). Определить конечную накопленную
стоимость инвестиций Хk, если срок окупаемости инвестиционного
проекта составляет 5 лет (k).
Четвертая практическая ситуация. На рынке финансового
капитала существуют несколько банков, которые предлагают
различные годовые ставки по вкладу: Р1= 10 %; Р2= 15 %; Р3 = 20 %.
Прибыль предприятия составляет 100 ден.ед. в месяц (Х0).
Определить эффективную годовую ставку дисконтирования (Р) и
банк, где следует накапливать прибыль, если известно, что
предприятие не будет ее расходовать в течение одного года (k), а его
капитал должен увеличиться за этот период до 300 ден.ед.
При оценке эффективности инвестиций интерес представляет
инвестиционный план, связанный с источниками инвестиций
заемного характера. При такой технологии вложений применяется
оценочный инструмент, называемый балансовое равенство.
3.2. Балансовое равенство
Допустим, что заемщик для решения задач по повышению
рентабельности предприятия или увеличения стоимости капитала
взял кредит в банке под Р % годовых в размере y0 на определенный
срок. Каждый год заемщик производит выплаты банку. Размер выплат
в конце k-го года составляет yk.
Тогда для полного погашения кредитных обязательств перед
банком необходимо, чтобы сумма кредита была равна сумме выплат
по годам погашения кредита и той сумме денежных средств, которые
составляют плату за кредит. Это позволяет финансовые отношения
описать при помощи следующего балансового равенства :
y0 = y1q-1+y2q-2+y3q3+…+ykq-k ,
(5)
где y – размер ежегодных выплат, q = (1+Р/100).
Плату за кредит называют процентом по кредиту, т.е. это та
сумма, которую заемщик должен вернуть банку сверх выплаченной
суммы.
Если кредит берется по частям, то справедливо следующее
обобщенное балансовое равенство:
19
y0 +y1q1+y2q2+…+ymqm = z1q1 + z2q2 +...+ zkq,k
(6)
где y0  начальная сумма кредита; y1  сумма кредита через год и т.д.
до момента времени m, а z1, z2 и т.д. – это суммы погашения кредита
вплоть до k-го момента времени.
Балансовое равенство как инструмент управленческого решения
применяется для составления плана погашения кредита, выгодного
как банку, так и предприятию-заемщику.
План погашения кредита
Из обобщенного балансового равенства (т.е. когда кредит
берется по частям) (6) определяется значение суммы, которая
вносится в конце последнего года пользования кредитом (7).
Zk= qk(y0+y1q1+y2q2+…+ymqm-z1q1-z2q2-…-zk-1q-(k1)),
(7)
где у  кредит, который берется по частям в течение m лет; z –
размеры погашения кредита
вплоть до предпоследнего года
погашения (k1).
Располагая различными вариантами значений y0…m и z1…k-1 из
решений по формуле (7), можно выбрать наиболее приемлемую схему
погашения кредита. На рис. 5 показана схема кредитования,
предложенная банком под 15% годовых.
Точное значение процента по кредиту = 2 254 407 руб. 64 коп.
Годовая процентная ставка предлагается коммерческим банком,
она, как правило, выше ставки рефинансирования ЦБ.
Также на рис. 5 представлен выбранный нами план погашения
кредита. Видно, что последний взнос в конце 8-го года выплат
Z8 = 2,75 млн руб. Такой план выбран потому, что он имеет
достаточно низкий процент по кредиту, равный 2 254 407 руб. 64 коп.
Другие просчитанные планы выплат дают больше процентов по
кредиту.
20
Рис. 5. Схема погашения кредита
3.3. Балансовое уравнение и критерии стратегического
планирования
Перенося левую часть равенства (6)
балансовое уравнение относительно величины q:
вправо,
-y0-y1q1-y2q2-…-ymq2+z1q1+z1q1+z2q2+…+zkqk = 0.
получим
(8)
Уравнение (8) можно использовать для оценки экономической
эффективности вариантов капитальных вложений. В этом случае
считается, что y1,2…m  это известные капиталовложения, а Z1,2,…,k 
ожидаемые доходы предприятия (стратегический план развития).
Величина (Profitability Index)  индекс прибыльности, (P.I. , %),
определяется как
P.I .  100 q  1,
где q является решением уравнения (8).
21
(9)
В теории инвестиций данный показатель называют внутренней
ставкой доходности, по которой оценивают выгодность инвестиций
по отношению к принятому стратегическому плану развития
предприятия.
Капиталовложения считаются выгодными, если P.I. ≥ 15% .
Уравнение (8) аналитического решения не имеет или оно
чрезвычайно затруднительно. Поэтому для решения сложного
алгебраического уравнения относительно величины
q обычно
используются численные методы, которые являются громоздкими и
приближенными. Их реализация без помощи ЭВМ практически
невозможна. Получить решение можно путем программирования
одного из многих известных алгоритмов, таких как метод Ньютона,
метод Хорд, метод половинного деления и т.п. В настоящее время
решение уравнения (8) можно получить применением электронной
таблицы MS Excel с помощью надстройки Подбор параметра.
3.4. Пример расчета индекса прибыльности с применением
MS Excel
На рис. 6 представлены инвестиции предприятия в начальный
момент и в последующие 3 года, а также ожидаемые доходы в
постинвестионный период.
Рис. 6. Образец расчета в MS Excel
22
По
индексу
прибыльности
определяется
выгодность
инвестиций. Здесь в ячейку С14 введено приближенное значение
величины q = 1, а в ячейку С15 введена формула балансового
уравнения.
На рис.7 показана гистограмма инвестиций и ожидаемых
доходов первого варианта стратегического плана.
значения (млн. руб.)
20
15
Y - известные
капиталовлажения
(млн. руб.)
10
5
0
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Z - ожидаемые доходы
прдприятия (млн. руб.)
-10
-15
годы
Рис. 7. Графическое представление инвестиций и ожидаемых доходов
Следует отметить, что гистограмма инвестиций называется
финансовым профилем проекта развития капитала, который имеет
несколько вариантов изображений. На рис. 7 приведен один из них,
откуда видно, что четвертый год является моментом,
характеризующим срок окупаемости вложений.
На рис. 8 показан пример заполнения диалогового окна Подбор
параметра.
Рис. 8. Диалоговое окно надстройки
23
По определению корня уравнения значение функции (ячейка
С15) должно быть равно 0, если аргумент функции является корнем
(ячейка С14).
На рис. 9 представлен результат решения балансового
уравнения (8).
Рис. 9. Первый вариант стратегического плана
Из рис. 9 видно, что q= 1,138, следовательно, индекс
прибыльности P.I. = 13,8%. Так как P.I.< 15%, то данный вариант
стратегического плана не может быть принят.
На рис. 10, 11, 12 и 13 представлены различные варианты
расчетов стратегических планов.
Рис. 10. Второй вариант стратегического плана
24
Рис. 11. Третий вариант стратегического плана
Рис. 12. Четвертый вариант стратегического плана
Рис. 13. Пятый вариант стратегического плана
25
Из всех альтернативных вариантов управляющий выбирает тот
план, который удовлетворяет его представлению об эффективности
инвестиций. Выбор осуществляется по целому ряду критериев. В
данном практикуме была поставлена задача расчета только
внутренней ставки доходности инвестиционного проекта.
4. ЗАДАЧИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
Регрессия в математической статистике  это поиск зависимости
среднего значения какой-либо случайной величины от другой
величины или нескольких величин с целью получения
детерминированного прогноза.
Регрессионный анализ применяется в случае, если эмпирические
(исходные) данные имеют функциональную зависимость (трендовую
составляющую), которую необходимо найти. Зависимость функции
от одной переменной y = f(x)  это парная регрессия. Существует
множественная регрессия y = f(x1, x2, …, xn).
4.1. Парная регрессия на примерах анализа временных
рядов
Парная регрессия (или задача аппроксимации)  это обратная
математическая задача, то есть задача, позволяющая найти уравнение
регрессии (аналитический вид эмпирической зависимости) по
табличным экспериментальным данным. Прямая математическая
задача  это получение табличных значений функции по ее
аналитическому виду. Следует подчеркнуть, что любая обратная
задача в своей постановке является некорректной (неточной) и в связи
с этим не имеет однозначного решения, без каких-либо
предположений или ограничений. Если уравнение регрессии удалось
найти, то следует обратить внимание на его характеристики.
Основной характеристикой является коэффициент детерминации R2
(в EXCEL его называют коэффициентом достоверности
аппроксимации). По коэффициенту детерминации можно судить о
правомерности использования уравнения регрессии. Принято считать
допустимым R2  0,7. Если он лежит в диапазоне от 0,95 до 1, то
данную зависимость можно использовать для предсказания
26
результата, причем чем ближе коэффициент достоверности к единице,
тем точнее прогноз.
Пример 1.
Пусть известно, что в течение пяти лет, начиная с 2001 по
2005 гг., цена на коробки передач для автомобиля ВАЗ-2107
постепенно росла (табл. 1).
Таблица 1
Статистика цен за прошлые годы
Годы
Цена
1
9000
2
9700
3
10600
4
10900
5
11500
6
?
Необходимо спрогнозировать стоимость данной продукции на
2006 г.
Алгоритм решения примера 1.
По данным табл. 1 заполняется таблица Excel (табл. 2) и
строится точечная диаграмма (рис. 14).
Таблица 2
Статистика цен за прошлые годы
А
В
1
9
Цена в тыс. руб.
Годы
Цена в тыс. руб.
С
2
9,7
D
3
10,6
Е
4
10,9
F
5
11,5
12
11,5
11
10,5
10
9,5
9
8,5
8
0
1
2
3
4
5
6
Годы
Рис. 14. График роста цен
Правой кнопкой мыши активизируем любую точку ряда «Цены
в тыс. руб.». Из диалогового окна выбрать «Добавить линию тренда
…». Делаем первое предположение, считая, что искомая зависимость
линейная (рис. 15).
27
Рис. 15. Диалоговое окно «Линии тренда» (Тип)
Затем выбираем вкладку Параметры (рис. 16).
Рис. 16. Диалоговое окно «Линии тренда» (Параметры)
28
Активизируем флажки:
 показать уравнение на диаграмме;
 поместить на диаграмму величину
аппроксимации R2.
Затем - ОК. Получим рис. 17.
достоверности
Цена в тыс. руб.
Предположение №1
12
11,5
11
10,5
10
9,5
9
8,5
8
y = 0,62x + 8,48
R2 = 0,9776
0
1
2
3
4
5
6
Годы
Рис. 17. График линейной зависимости
y = 0,62 x + 8,48, где y  цена, a x  годы. R2 = 0,9776.
Значение коэффициента детерминации R2 получилось более
95%. Это значит, что возможен количественный прогноз на шаг
вперед, то есть на следующий год.
Внесем в ячейку G1 значение следующего года = 6. В ячейку G2
запишем формулу из предположения №1 (рис. 18).
Рис. 18. Прогноз по первому предположению
Ожидаемая цена на следующий год по линейной зависимости
равна 12,2 тыс. руб.
Делаем второе предположение, считая, что искомая зависимость
логарифмическая, и выбираем в качестве линии тренда:
логарифмическая  параметры  показать уравнение на
29
диаграмме  поместить на диаграмму величину достоверности
аппроксимации R2  ОК. Получим рис. 19.
Предположение №2
12
y = 1,5384Ln(x) + 8,867
R2 = 0,9724
Цена в тыс. руб.
11,5
11
10,5
10
9,5
9
8,5
8
0
1
2
3
4
5
6
Годы
Рис. 19. График логарифмической зависимости
y = 1,5384Ln(x) + 8,867;
R2 = 0,9724.
Здесь также возможен количественный прогноз (R2 > 97%).
Далее в ячейку G2 запишем формулу из предположения №2
(рис. 20).
Рис. 20. Прогноз по второму предположению
Ожидаемая цена на следующий год по логарифмической
зависимости = 11,62 тыс. руб.
Делаем третье предположение, считая, что искомая зависимость
квадратичная, и выбираем: Полиномиальная степень 2 
параметры  поместить уравнение на диаграмме  поместить на
30
диаграмму величину достоверности аппроксимации (R2)  ОК
(рис. 21).
Цена в тыс. руб.
Предположение №3
12
11,5
11
10,5
10
9,5
9
8,5
8
2
y = -0,0571x + 0,9629x + 8,08
2
R = 0,9892
0
1
2
3
4
5
6
Годы
Рис. 21. График квадратичной зависимости
y = 0,0571х2 +0,06929х + 8,08; R2 = 0,9892.
Здесь также возможен количественный прогноз (R2 = 98,9 %).
Несмотря на очень высокий коэффициент детерминации,
воспользоваться этой трендовой составляющей для прогноза не
рекомендуется, так как маркетинговые исследования рынка сбыта
(это внешние воздействие на управленческое решение) показывают,
что цена на этот продукт может стабилизироваться, но никогда не
будет падать, а тренд параболы в скором будущем падать будет.
Вывод: остается два варианта  это прогноз по минимуму
(логарифмический тренд) или по максимуму (линейный тренд). Какой
выбрать? Минимум выбирается в том случае, если этот продукт
производится и продается, а максимум выбирается тогда, когда этот
продукт покупается.
Пример 2.
Пусть необходимо выявить основную тенденцию (тренд)
фактического объема выпускаемой продукции за период с 2000 по
2004 гг. Данные примера (поквартальные) показаны на рис. 22. Наша
задача  спрогнозировать объем выпускаемой продукции на 2005 г.
Применяя алгоритм нахождения трендовой составляющей,
можно найти уравнение регрессии и коэффициента детерминации 
это R2 на рис. 22, где показан наилучший, на наш взгляд, тренд
31
(полином третьей степени). В этом примере R2 = 26,7%, что очень
мало для количественного прогноза. Тем не менее из этого анализа
можно сделать качественный прогноз:
1) производство явно нестабильно;
2) наблюдается дальнейший спад производства.
Рис. 22. Таблица и тренд динамики выпуска продукции
В этом случае для количественной оценки прогноза применяется
описательная статистика. Для вызова этой функции необходимо на
панели меню выбрать команду: Сервис  Анализ данных 
Описательная статистика. Затем заполняется диалоговое окно
Описательная статистика, как показано на рис. 23. Флажок Метки
в первой строке устанавливается в том случае, если первая строка
(столбец) во входном диапазоне содержит заголовок.
На рис. 24 показаны основные показатели описательной
статистики. С уровнем надежности 95% можно утверждать, что
средний объем выпуска продукции лежит в пределах
математического ожидания М = 19,3  0,96.
32
Рис. 23. Заполнение диалогового окна Описательная статистика
Далее команда ОК, тогда получим рис. 24.
Рис. 24. Описательная статистика
33
Коэффициент вариации
G
V 
2 , 05452
100 % 
M
100 %  10 , 65 %
19 , 3
свидетельствует о колебаниях объемов выпускаемой продукции выше
допустимых. В строительном производстве коэффициент вариации не
должен превышать 5%. Это еще раз подтверждает, что производство
нестабильное и не следует ожидать в будущем показателя объема
выпуска продукции более чем среднее значение (М  20 тыс. руб.).
4.2. Множественная регрессия
Подавляющее большинство задач в экономике являются
линейными, поэтому рассмотрим только линейный случай
множественной регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид
n
y  b   mi xi .
i 1
Для получения уравнения регрессии необходимо:
 определить значения b, mi;
 оценить достоверность полученных уравнений.
Ответы на эти вопросы можно получить с помощью функции
Excel ЛИНЕЙН( ), имеющей формат
= ЛИНЕЙН(интервал значений У; блок значений хi;
константа; статистика).
Здесь константа и статистика  логические параметры,
имеющие значения либо истина, либо ложь. Если константа = 1
(истина), то b  0, иначе b = 0. Если статистика = 1 (истина), то
происходит оценка достоверности, иначе оценки нет.
Важно, что минимальное количество исходных данных для
линейной зависимости определяется по формуле k = n + 2, где n 
количество искомых переменных.
Пример 3.
Определить зависимость между ценой, качеством и
производительностью
выпускаемой
продукции
(некоторой
34
аппаратуры)
по
нескольким
известным
их
сочетаниям
(экспериментальным моделям).
Пусть необходимо определить цену продукции с качеством х2 =
530 дней (гарантированное время работы прибора) при
производительности в х1 = 610 единиц в час. Уравнение линейной
множественной регрессии будем определять для исходных данных,
приведенных на рис. 25. Здесь представлено два технических
параметра (n = 2):
х1  производительность (количество операций в час);
х2  характеристика качества (время наработки на отказ в днях)
и один экономический:
у  цена аппаратуры (тыс. руб.).
Определение уравнения регрессии, которое устанавливает
зависимость цены от технических параметров, выполняется
следующим образом.
Алгоритм (состоит из 3 шагов).
Шаг №1. Определение уравнения регрессии.
Пусть известно 6 исходных моделей. Ввести исходные данные,
как показано на рис. 25.
 Определить
минимальные
и
максимальные
значения
переменных: курсор в В11  Мастер функций 
Статистические  МИН(В4:В9)  Ок (аналогично в В12 ввести
функцию =МАКС(В4:В9) и скопировать блок В11:В12 в
С11:С12).
 Выделить блок В14:D18, в котором количество строк всегда = 5,
а количество столбцов = n + 1 = 2 + 1 = 3.
 В ячейку В14 ввести функцию =ЛИНЕЙН(D4:D9; В4:С9;
истина; истина) и затем нажать ни в коем случае не Ok, а на
сочетание клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. На экране в
ячейках B14:D18 получен результат вычислений.
Смысл полученных величин показан в таблице соответствий на
рис. 25, где приняты следующие обозначения: m2, m1, b  искомые
коэффициенты в уравнении линейной регрессии. Таким образом,
искомое уравнение имеет вид y = 1721,33 + 3,88x1 + 5,69x2.
Полученное уравнение описывает зависимость экономического
параметра (цены) от технических (производительности и качества).
При этом нельзя забывать, что это уравнение регрессии справедливо
35
только в пределах определенных минимальных и максимальных
значений переменных
120  х1  860; 145  х2  960,
на базе которых оно и было получено.
Рис. 25. Оформление задачи множественной регрессии
Далее в блоке В14:D18 (см. рис. 25) представлены величины,
необходимые для оценки достоверности полученного уравнения
регрессии:
[mn], [mn1] …[b]  средние квадратичные отклонения
полученных значений;
df  число степеней свободы, определяемое по формуле
df = k  (n + 1), где k  число строк (наблюдений) в таблице исходных
данных, т.е. k = 6, n  число аргументов.
Следовательно,
df = 6  (2 + 1) = 3;
F  расчетное значение F-распределения;
Sreg  регрессионная сумма квадратов отклонений;
Sresid  остаточная сумма квадратов отклонений между
теоретическим значением у и фактическим уi;
R2  коэффициент детерминации.
Сумма квадратов отклонений между фактическим значением уi
и средним его значением называется общей суммой квадратов,
36
которая равна сумме Sreg и Sresid, поэтому, чем меньше остаточная
сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем
больше R2 и, следовательно, лучше регрессионные связи в
полученном уравнении.
Оценка достоверности зависимости y от хi производится по
величине R2, которая находится в ячейке В16. Полученное значение
R2 = 0,88 (или R2 = 88%) достаточно высокое и подтверждает
достоверность наличия зависимости между у и хi.
Шаг №2. Определение значимости R2.
Далее определяется значение значимости самой величины R2.
Это производится с помощью F-распределения, которое определяет 
 вероятность того, что зависимость у от xi отсутствует. Отсюда
следует, что величина (1) определяет вероятность того, что такая
зависимость существует.
Для этого (рис. 26) курсор в В21  Мастер функций 
Статистические FРАСП (x, степени свободы 1, степени свободы 2).
Здесь х  Fрасч (т. е. В17 на рис. 25), степени свободы 1  число
аргументов (n=2), степени свободы 2 = df (т. е. C17 на рис. 25).
В ячейку В22 ввести формулу [= 1  В21].
Рис. 26. Степень значимости полученного уравнения
Значение (1  ) = 0,96 или 96% показывает вероятность
существования полученных регрессионных связей.
Шаг №3. Определение значимости коэффициентов b и mi.
Далее при помощи t-распределения Стьюдента сначала
оценивается недостоверность  значений коэффициентов уравнения
регрессии b и mi, а затем вероятность того, что эти коэффициенты
достоверны (1).
Для этого (рис. 27  формулы, рис. 28  результаты):
1) ввести в В25 = В14/В15;
37
2) курсор в В26  Мастер функций  Статистические 
СТЬЮДРАСП (x, степени свободы, хвосты). Здесь х  ti (т. е.
В25 на рис. 27), степени свободы = df (т. е. C17 на рис. 25),
хвосты = 2 (это признак используемого нами двухстепенного
распределения Стьюдента);
3) ввести в В27 = 1  В26;
4) скопировать В25:В27 в ячейки С25:D27.
Рис. 27. Запись формул для оценки значимости коэффициентов
Рис. 28. Степень значимости коэффициентов уравнения
На рис. 28 в ячейках В27:D27 показаны вероятности того, что
коэффициенты уравнения регрессии достоверны. Самый значимый
параметр  это качество, то есть параметр x2 = 520 при m2 = 5,69.
Тогда прогноз по условию задачи будет рис. 29.
Рис. 29. Прогноз цены по данным заказчика
38
В Excel возможен и другой вариант решения этой задачи 
надстройка «Анализ данных», то есть последовательность команд
Сервис  Анализ данных  Регрессия.
Функция ЛИНЕЙН() может быть использована для определения
вероятностей достоверности коэффициентов уравнения парной
линейной регрессии.
5. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Экономисты и менеджеры постоянно сталкиваются с такими
проблемами, как планирование штата сотрудников, фонда заработной
платы, рекламной деятельности компании и т. п. Это проблемы
оптимизации и планирования капиталовложений.
Экономические вопросы, возникающие в производстве при
проектировании, управлении и изготовлении, никогда не менялись и
меняться, в сторону упрощения не будут. Это вопросы: что, каких
размеров, из чего, кому, где, когда, сколько, в какой
последовательности и
т.п.
Совершенствование
технологий
производства приводит к увеличению количества таких вопросов, и
плата за ошибку при принятии решений неимоверно возрастает.
Например, допустим, что при интуитивном распределении людей на
работы возможность их использования по сравнению с оптимальным
вариантом ухудшается всего на 3%. Если на предприятии 40
работающих, то такая ошибка привела бы к недоиспользованию
одного человека. Но, если принять, что в производстве задействовано
500 000 человек, то такая ошибка аналогична снижению трудовых
ресурсов на 15 000. Поэтому, чтобы избежать подобных ошибок,
необходимо обоснованно выбирать критерии оптимизации и после
получения решения всесторонне его проанализировать.
Очевидно, что, не выбрав критерия, любое решение принять
очень трудно, а оптимальное просто невозможно. Действительно,
перед тем, как принять решение, надо знать, чего мы хотим. А хотим
мы, как правило, чтобы все было лучше. При этом не всегда знаем,
что мы понимаем как под словом «все», так и под словом «лучше».
Если смысл этих слов не определен, то, значит, критерий не принят. А
если критерий не принят, то и оптимального решения быть не может.
Оптимальное решение базируется на математической модели и
39
решении задачи на компьютере. Построение модели  это творческий
процесс, требующий глубоких знаний и немалых способностей.
Алгоритмы задач поиска оптимального решения достаточно сложны.
Изложение методов решения (например, симплекс-метода) нам не
понадобится, так как компьютер
с помощью программного
обеспечения MS Excel позволяет реализовать алгоритм поиска
оптимального решения. Наша задача  научиться строить
математическую модель и пользоваться этим алгоритмом.
5.1. Общий случай задачи оптимизации
Процесс построения модели нужно начинать с ответа на
следующие четыре вопроса:
1. Для каких величин строится модель, то есть каковы
переменные модели xj? Здесь j  текущее значение переменных,
общее количество которых равно n.
2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества
всех допустимых значений выбираются оптимальные? То есть надо
знать функцию цели (ЦФ  целевая функция) или критерий
оптимизации
F= f(хj).
Критерий оптимизации (ЦФ) показывает, в каком смысле
решение должно быть оптимальным. При этом возможны три вида
назначения целевой функции:
 максимизация;
 минимизация;
 назначение заданного значения.
3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные
(ОГР)?
Ограничения
устанавливают
зависимости
между
переменными. Они могут быть как односторонними
qi(xj)  bi,
так и двусторонними
ai  qi(xj)  bi,
здесь i  текущее значение зависимостей, общее количество которых
равно m.
40
4. Каковы граничные условия для искомых величин (ГРУ)? То
есть в каких пределах могут быть значения искомых переменных?
dj  xj  Dj.
Таким образом, общая форма записи задачи оптимизации в
математическом виде выглядит так:
 ЦФ
F  f ( x j )  max(min,сonst)
q ( x )  b
 ОГР
 i j
i

 ГРУ
d j  x j  D j

i  1  m; j  1  n .
(10)
Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и
граничным условиям, называется допустимым.
Соотношение числа переменных n и числа ограничений m
является определяющим при постановке задачи оптимизации.
Возможны три соотношения:
 x  2  5;
а) n < m, например,  1
 x1  8  15,
здесь n=1; m=2. Очевидно, что такие задачи решения не имеют;
 x  х  5;
б) n = m, например,  1 2
 x1  х2  1,
здесь n=2; m=2. Это необходимое условие для решения системы (в
том случае, если уравнения системы независимы);
в) n > m, например, x1 + x2 = 5,
здесь n=2; m=1. В этом случае может быть бесконечное множество
решений.
Часто ограничения записываются в виде неравенств, например,
х1  5.
Если ввести дополнительную переменную х2  0, то от
неравенства перейдем к уравнению x1 + x2 = 5. Следовательно, если
ограничениями являются неравенства, то система имеет бесконечное
множество решений. Таким образом, условие n > m является
необходимым для задач оптимизации. Важно, чтобы было из чего
выбирать. Это значит, что из всех допустимых решений нужно
выбрать оптимальное, а для достаточности решения нужен критерий
41
(целевая функция), по которому выбирается одно из допустимых
решений.
5.2. Классификация математических моделей
Научный подход к любой проблеме  это систематизация.
Систематизация  это классификация по ряду признаков.
Исходными данными для математической модели являются:
целевая функция F(xj), левые q(xj) и правые bi части ограничений.
Если значения исходных данных точно известны, то такие данные
называются детерминированными. Если их значения заранее не
определены, то эти данные являются случайными величинами.
Искомые переменные могут быть непрерывными и
дискретными. Непрерывными называются такие величины, которые в
заданных граничных условиях могут принимать любые значения.
Дискретные принимают только заданные значения. Целочисленными
называются такие дискретные переменные, которые могут принимать
только целые значения.
Зависимости между переменными, как в целевой функции, так и
в ограничениях, могут быть линейными и нелинейными. Линейными
называются зависимости, в которых переменные входят в первой
степени и с ними выполняются только действия сложения, вычитания
и умножения на постоянный множитель. В противном случае
зависимости являются нелинейными. При этом следует иметь в виду,
что если в задаче хотя бы одна зависимость нелинейная, то и вся
задача является нелинейной.
Сочетание различных элементов модели образуют различные
классы задач оптимизации, которые требуют различных методов
решения (табл. 3).
Таблица 3.
Классификация задач оптимизации.
Исходные
данные
Искомые
переменные
Зависимости
Классы
задач
Детерминированные
Непрерывные
Линейные
Детерминированные
Целочисленные
Линейные
Детерминированные
Непрерывные и
целочисленные
Нелинейные
Линейное
программирование
Целочисленное
программирование
Нелинейное
программирование
Непрерывные
Линейные
Случайные
42
Стохастическое
программирование
5.3. Задача распределения ресурсов
Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать
ресурсами, то значительную часть задач в экономике можно
рассматривать как задачи распределения ресурсов. Как правило, это
задачи линейного программирования.
Пример.
Пусть требуется определить, в каком количестве надо выпускать
продукцию четырех типов, для изготовления которых требуются
ресурсы трех видов (трудовые, сырье и финансы) с целью получения
максимальной прибыли.
Первоначально для построения математической модели
сформируем табл. 4, в которую будут входить: нормы расхода1;
наличие располагаемого ресурса и прибыль в денежных единицах,
полученная от реализации данного вида продукции.
Таблица 4
Ресурс
Трудовые
Сырье
Финансы
Прибыль
Распределение ресурсов по продуктам
Прод1
Прод2
Прод3
Прод4
1
1
1
1
5
6
4
3
4
6
10
13
60
70
120
130
Знак
<=
<=
<=
max
Наличие
16
110
100

Составим математическую модель, для чего введем следующие
обозначения:
xj  количество выпускаемой продукции j-го типа, j=14;
bi  количество располагаемого ресурса i-го вида, i=13;
aij  норма расхода iго ресурса для выпуска единицы
продукции j-го типа;
сj  прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го
типа.
Как видно из табл. 4, для выпуска единицы Прод1 требуется 5
единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется
5x1 единиц сырья. С учетом того, что для других видов продукции
зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид
5x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4  110.
1
Количество ресурса каждого вида, необходимого для выпуска единицы
продукции каждого типа, называется нормой расхода.
43
В этом ограничении левая часть равна величине потребного
ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса.
Аналогично можно составить ограничения для остальных
ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда
математическая модель задачи будет иметь вид
ЦФ 
F = 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4 max;
x1 + x2 + x3 + x4  16;
ОГР 
5x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4  110;
4x1 + 6x2 + 10x3 + 13x4  100;
ГРУ 
xj  0; j = 14.
Алгоритм ввода данных и решения задачи
программирования в Excel.
Ввести тексты (рис. 30).
(11)
линейного
Рис. 30. Текстовое оформление задачи в Excel
Весь текст на рис. 30 является комментарием и на решение
задачи не влияет.
Вести в таблицу Excel зависимости из математической модели
(11) (рис. 31).
Рис. 31. Пример ввода математической модели оптимизации
44
Получим рис. 32.
Рис. 32. Результат ввода данных
Далее следуют команды Сервис  Поиск решения (заполнить
диалоговое окно рис. 33)  Выполнить  Ok.
Рис. 33. Пример заполнения окна Поиск решения
При планировании, например, выпуска ткани, бензина и т. д.,
величина выпускаемой продукции является дробной. При выпуске
штучной продукции очевидно, что в плане должны быть целые числа.
Для решения задачи целочисленного программирования в диалоговом
45
окне Поиск решения (см. рис. 33) следует добавить ограничение
(рис. 34).
Рис. 34. Окно добавления ограничений
На экране  результат решения (рис. 35).
Рис. 35. Результат решения по условию задачи
Получено оптимальное решение для поставленной задачи, но до
принятия управленческого решения еще далеко. Необходим
всесторонний анализ полученного решения. Видов анализа
существует много. Рассмотрим важнейшие из них (на наш взгляд
обязательные).
46
5.4. Параметрический анализ
Параметрическим назовем анализ, который заключается в
решении задачи при различных значениях некоторого параметра.
Будем анализировать задачу распределения ресурсов, решая эту
задачу при различных значениях имеющихся финансов, которые
ограничивают улучшение целевой функции.
Заполним итоговую таблицу (рис. 36) для различных вариантов
финансирования. Для этого в ячейку Н11 внесем значение = 50 и
выполним пункт №3 алгоритма решения нашей задачи. После
получения решения заполним ячейки В15:В22. Повторим алгоритм
решения для остальных вариантов финансирования (Н11=100, 150,
200 и 250) с заполнением соответствующих ячеек итоговой таблицы.
Рис. 36. Пример составления итоговой таблицы
47
Для наглядности представления результатов параметрического
анализа построим гистограммы по данным итоговой таблицы (рис. 37,
a, б, в):
Значения
выпускаемой
продукции
Оптимальные решения при различных вариантах
финансирования
20
Прод 1
15
Прод 2
10
Прод 3
5
Прод 4
0
50
100
150
200
250
Финансы в ден. ед.
a
Значения в ден. ед.
Прибыль при различных вариантах финансирования
2500
2000
1500
Прибыль
1000
500
0
50
100
150
200
250
Финансы в ден. ед.
б
Значения в ден. ед.
Сырье при различных вариантах финансирования
80
60
40
Сырье
20
0
50
100
150
200
250
Финансы в ден. ед.
в
Рис. 37. Результаты параметрического анализа
48
Из рис. 37 a, б, в можно сделать следующие выводы:
 при различном финансировании в план входит продукция
различных видов, однако ни в один вариант не входит
выпуск продукции Прод2. Это объясняется тем, что при
высоком потреблении ресурсов прибыль от ее
производства ниже, чем от производства других видов
продукции;
 увеличение финансирования дает увеличение прибыли,
что вполне естественно;
 при увеличении финансирования, начиная со 150 ден. ед.,
происходит уменьшение потребляемого сырья. Такой
результат является неожиданным, но это не ошибка. Это
следствие
того,
что
выпуск
Прод3,
Прод4,
обеспечивающих увеличение прибыли, требует при этом
меньшего потребления сырья.
Данный параметрический анализ привел к выводу, который нас
не устраивает, так как все продукты должны выпускаться, причем в
определенном количестве (не ниже допустимого). В условии задачи
ничего не сказано о том, в каких количествах должна выпускаться
продукция. Поэтому необходимы дополнительные условия, которые,
как правило, вытекают из маркетинговых исследований рынка сбыта.
Предположим, что анализ рынка сбыта показал необходимость
выпуска Прод2  2, а Прод4  4. Финансирование проекта примем =
150 ден. ед. (меньше не желательно, а больше невозможно). Тогда
после выполнения соответствующего алгоритма в Excel получим (рис.
38).
Рис. 38. Оптимальный вариант при данных ограничениях
49
Из результатов, показанных на рис. 38, уже можно сделать
управленческое решение, то есть ответить на вопрос: «Что нужно для
того, чтобы …?»
5.5. Решение по заказу
При решении задачи оптимизации по заказу мы должны знать,
что мы хотели бы иметь в оптимальном решении. Такие задачи
могут быть трех видов:
 назначение величины целевой функции;
 назначение величин используемых ресурсов;
 назначение величин искомых переменных.
5.5.1. Поиск оптимального решения при заданном значении
целевой функции
Алгоритм.
Вызвать таблицу для ввода условий задачи (см. рис. 32).
Далее Сервис  Поиск решения (заполнить диалоговое окно
рис. 32, установив целевую ячейку равной значению, например, 1100)
 Выполнить  Ok. На экране  результат решения (рис. 39).
Рис. 39. Решение при заданной целевой функции
50
Вывод: для получения прибыли в 1100 ден. ед. ресурсов
достаточно в размере левой части ограничений (рис. 39):
 трудовые = 10,5;
 сырье = 43,94;
 финансы = 98,12.
5.5.2. Поиск оптимального решения при заданном значении
используемых ресурсов
Алгоритм.
 Вызвать таблицу для ввода условий задачи рис. 32.
 Изменить знак ограничений в ячейке G10 на равно (=) .
 Изменить значение в ячейке H10, например, на 90.
Далее Сервис  Поиск решения (заполнить диалоговое окно
рис. 32, изменив соответствующим образом ввод ограничений, т. е.
ввести каждое ограничение в отдельности)  Выполнить  Ok.
На экране  результат решения (рис. 40).
Рис. 40. Решение при заданном значении используемых ресурсов
Вывод: при ограниченном количестве сырья = 90 единиц
прибыль не превысит 1200 денежных единиц.
51
5.5.3. Поиск оптимального решения при заданных значениях
переменных
Алгоритм.
 Вызвать таблицу для ввода условий задачи рис. 32.
 В ячейки B4:D4 ввести задаваемые значения как нижние
границы, например, 10, 5, 6.
 Далее Сервис  Поиск решения (заполнить диалоговое
окно рис. 33)  Выполнить.
На экране получим диалоговое окно результата поиска решения
(рис. 41).
Рис. 41. Решение при заданном значении переменных
Поиск не может найти подходящего решения, потому что
условия задачи несовместимы. Поэтому всегда при решении задач по
заказу следует иметь в виду, что возможно появление несовместного
решения (см. подразд. 5.7).
Следует подчеркнуть, что при назначении величин можно
решать задачу не только с одним значением задаваемой величины, а
выполнять по этой величине параметрический анализ. Полезность
проведения такого анализа перед принятием решения не требует
дополнительных пояснений.
52
5.6. Решение задач при условных исходных данных
В жизни далеко не все определено заранее, поэтому при
принятии решений очень часто приходится применять слово ЕСЛИ.
При решении задач оптимизации часто приходится пользоваться
условной целевой функцией или (и) условными исходными данными
как для левых, так и для правых частей ограничений. Основной
логической функцией в Excel является функция ЕСЛИ, имеющая
формат записи:
=ЕСЛИ(А; ЦФ1; ЦФ2),
где
А  логическое выражение (назначаемое условие) или адрес
ячейки, в которой записано это логическое выражение. Оно может
принимать только два значения: либо ИСТИНА (true), либо ЛОЖЬ
(false);
ЦФ1  адрес ячейки, где записана целевая функция при
значении А = ИСТИНА;
ЦФ2  адрес ячейки, где записана целевая функция при
значении А = ЛОЖЬ. Этот аргумент функции может отсутствовать.
Логическое выражение может строиться не только с помощью
знаков логических отношений (>, <=, >, >=, =, <>), но и с помощью
логических функций (операций) И  это логическое умножение и
ИЛИ  это логическое сложение. Например:
ЕСЛИ(И(А,В); ЦФ1, ЦФ2);
ЕСЛИ(ИЛИ(А,В); ЦФ1, ЦФ2), где А, В  назначаемые условия.
Логическая операция И(А,В) возвращает значение ИСТИНА
только в том случае, если А = В = ИСТИНА. В любом другом случае
возвращается ЛОЖЬ.
Логическая операция ИЛИ(А,В) возвращает значение ЛОЖЬ
только в том случае, если А = В = ЛОЖЬ. В любом другом случае
возвращается ИСТИНА.
При решении практических задач достаточно часто могут
возникать логические цепочки. Excel допускает применение функции
ЕСЛИ в цепочке до 7 раз.
Пример ввода условной целевой функции для решения основной
нашей задачи (см. рис. 32) показан на рис. 42 (см. строку формул).
В этом случае назначаемое условие (B6 + D6 > C6 + E6) говорит
о том, что в зависимости от значений коэффициентов целевой
53
функции мы будем выпускать либо Прод1 и Прод3, либо Прод2 и
Прод4.
Рис. 42. Решение при заданных условиях
Задачи при условных исходных данных для правых (ячейки
F8:F11) и левых (ячейки H8:H11) частей ограничений записываются и
решаются аналогично. Естественно, что в одной и той же задаче
условия для целевой функции, левых и правых частей ограничений
могут вводиться одновременно. Мы полагаем, что возможности,
которые дает рассмотренная оптимизация при условных исходных
данных, очевидны и не нуждаются в дополнительных пояснениях.
5.7. Преодоление несовместимости
В примере рис. 35 было получено оптимальное решение, то есть
Прод1 = 10, Прод3 = 6. При этом трудовые ресурсы и финансы были
использованы полностью. В подразд. 5.5.3. мы дополнительно
назначили Прод2  5. Очевидно, что для выпуска такого количества
продукции располагаемых ресурсов будет недостаточно, то есть
условия задачи оказались несовместимыми (см. рис. 41).
Преодоление несовместимости  это постановка задачи «с
точностью до наоборот»: не какова максимальная прибыль, а каковы
минимальные дополнительные ресурсы. То есть нам необходимо
выяснить: сколько и каких ресурсов не хватает для получения
54
оптимального решения? Подобные исследования называются
вариантным анализом.
Для выяснения причин несовместимости введем в модель (11)
дополнительные ресурсы ti и запишем систему в виде
F = t1 + t2 +t3  min;
x1 + x2 + x3 + x4  t1  16;
5x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4  t2  110;
4x1 + 6x2 + 10x3 + 13x4  t3  100;
t1  0; t2  0; t3  0.
(12)
Откорректируем таблицу рис. 35, вводя данные из модели (12).
Получим рис. 43.
Рис. 43. Пример ввода математической модели оптимизации при условии
несовместимости
Далее, выполняя известный алгоритм и правильно заполнив
диалоговое окно поиска решения (рис. 44), получим рис. 45.
Из рис. 45 видно, что искомый дополнительный потребный
ресурс равен t1 = 5; t2 = 0; t3 = 30.
55
Рис. 44. Пример заполнения окна Поиск решения
Рис. 45. Оптимальный вариант при данных ограничениях
Это значит, что для заданного выпуска продукции необходимо
иметь всего следующее количество ресурсов:
 трудовые
16 + 5 = 21;
 сырье
104 + 0 = 104;
 финансы
100 + 30 = 130.
При этом будет получена прибыль, равная 1670.
56
6. ЭКСПЕРТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
Экспертное прогнозирование  это социальная составляющая
экономического прогноза. Рассмотрим три основных метода
экспертных оценок.
6.1. Непосредственное назначение коэффициентов веса
В этом методе каждый i-й эксперт для каждого k-го параметра
должен назначить коэффициент веса ik таким образом, чтобы сумма
всех коэффициентов веса, назначаемых одним экспертом для
различных параметров, равнялась единице. Это требование можно
записать так:
K
 aik  1, i  1  n,
(13)
k 1
где n  число экспертов; k  число параметров.
Пусть число параметров k = 3 (А, Б, В), а число экспертов n = 5.
Создадим таблицу по форме, представленной на рис. 46, которую мы
будем называть базовой.
Рис. 46. Ввод базовой экспертной таблицы
Здесь в ячейки В5:D9 внесены значения коэффициентов веса,
назначаемые каждым из экспертов. Ниже в ячейках В10:D12 внесены
известные статистические формулы.
Результаты базовой таблицы приведены на рис. 47.
57
Рис. 47. Результаты расчета по базовой таблице
В ячейках В10:D10 находятся усредненные значения
коэффициентов веса. Значения коэффициента вариации (или V 
вариабельности) показывают величину разброса экспертных оценок.
При V  0,2 оценки экспертов можно считать согласованными. В
случае V > 0,2 целесообразно произвести с экспертами
содержательное обсуждение важности оцениваемых параметров,
после чего повторить экспертизу.
Как показывает опыт, эксперту тяжело назначать коэффициент
веса, если количество рассматриваемых параметров более трех.
Поэтому существуют другие методы определения коэффициента веса.
6.2. Оценка важности параметров в баллах
В этом случае каждый эксперт оценивает параметры по
десятибалльной системе. При этом оценка, назначаемая каждым
экспертом каждому параметру, не связана с оценками, которые он же
назначает другим параметрам. Например, всем параметрам можно
назначить одинаковую оценку.
Рассмотрим пример определения коэффициентов веса четырех
параметров (n = 4) по оценке важности их в баллах пятью (k = 5)
экспертами.
58
Алгоритм:
 Сформировать таблицу по форме, представленной на рис. 48, в
которую будут вноситься оценки всех параметров в баллах,
сделанные каждым экспертом.
Рис. 48. Образец оформления
 Составить базовую таблицу (рис. 49), аналогичную таблице,
показанной на рис. 48, в ячейки В19:Е23, в которые внесены
указанные формулы.
Рис. 49. Ввод базовой экспертной таблицы
Эти формулы обеспечивают переход от оценок параметров в
баллах к значениям коэффициентов веса, сумма которых для всех
параметров равна единице у каждого эксперта. Пример исходных
оценок в баллах по форме рис. 48 представлен на рис. 50, а результат
определения экспертных оценок по форме рис. 49  на рис. 51.
59
Рис. 50. Пример ввода исходных оценок в баллах
Рис. 51. Результат определения экспертных оценок
6.3. Метод парных сравнений
Если количество оцениваемых параметров больше трех, то
одновременная оценка всех параметров вызывает затруднения.
Существует другой метод оценки, который называется методом
парных сравнений.
Алгоритм.
 Определить число
оцениваемых параметров k
и число
экспертов n. В дальнейшем принимаем k = 5; n = 4 .
 Для каждого эксперта составить отдельную таблицу по форме,
представленной на рис. 52.
60
Рис. 52. Пример заполнения таблицы
 В этой таблице эксперт должен ввести оценку парных
сравнений, которая заключается в следующем. Если k-й
параметр важнее jго, то в ячейке, принадлежащей k-й строке и
jму столбцу, указывается 1, в противном случае  0.
Пример заполнения такой таблицы первым экспертом приведен
на рис. 53, из которого видно, что по оценке этого эксперта параметр
А менее важен, чем параметры Б (D5 = 0) и Д (G5 = 0), но более
важен, чем B (E5 = 1) и Г (F5 = 1).
Рис. 53. Результат заполнения таблицы
Составить базовую таблицу (рис. 54.), в ячейки которой введены
формулы для 1-го эксперта.
Указанные адреса в ячейках B17:F17 (см. рис. 54) находятся на
рис. 53. Пример заполнения таблицы для 1-го эксперта по данным
61
рис. 53 приведен на рис. 54 в ячейках B17:F17. Данные для остальных
экспертов вводятся аналогично в ячейках B18:F18, B19:F19, B20:F20.
Рис. 54. Пример заполнения таблицы
Рис. 55. Результат определения экспертных оценок
7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В РИСКОВЫХ СИТУАЦИЯХ
Неполнота информации при принятии управленческого решения
(УР)  это источник неопределенности, как следствие, это приводит к
появлению нескольких неравноценных исходов.
Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери
лицом или организацией части своих ресурсов, недополучения
62
доходов или появления дополнительных расходов в результате
осуществления определенной производственной деятельности или
финансовой политики.
Если каждый исход имеет вычисленную или экспертно
оцениваемую вероятность появления, то принятие УР происходит при
частичной неопределенности. Выбор решения при полной
неопределенности  это когда действия имеют своим следствием
множество частных исходов, но их вероятности совершенно не
известны или не имеют смысла.
Существуют объективные и субъективные факторы, которые
непосредственно влияют на степень риска: это внешние и внутренние
условия, влияющие на УР (см. гл. 1). Прежде чем принять УР, нужно
оценить степень риска. Эта оценка может быть как качественной, так
и количественной. Качественная оценка  это определение факторов
риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям.
Количественная оценка позволяет вычислить размеры отдельных
рисков и риска проекта в целом.
7.1. Меры риска
Эффективность в управлении  это наиболее важный
показатель. Чаще всего показателем эффективного УР служит
прибыль.
За меры риска принято считать среднее ожидаемое значение
(или математическое ожидание) M и среднеквадратичное отклонение
S как показателей эффективности УР. Величина
V = S/M,
(14)
как указывалось выше, называется коэффициентом вариации и
определяет степень разброса ожидаемой прибыли. Чем меньше
разброс V, тем меньше риск.
Предположим, что имеются два проекта инвестиций А и В. Эти
проекты обеспечивают случайную величину прибыли МА и МВ.
Среднеквадратичные отклонения равны соответственно SA и SВ.
Тогда возможны следующие варианты:
1) если MA = MB и SA < S B , то следует выбирать проект А;
2) если MA > MB и SA < S B , то следует выбирать проект А;
3) если MA > MB и SA = S B , то следует выбирать проект А;
63
4) если MA > M B и SA > S B , то здесь проект А обеспечивает высокую
прибыль, но он и более рискован;
5) если MA < MB и SA < SB , то проект А менее рискован, но и
ожидаемая прибыль меньше.
В последних двух случаях (4 и 5) решение о выборе проекта А
или В зависит от показателя пессимизма  или показателя оптимизма
(1) конкретного менеджера. Существуют специальные тесты для
определения числа , которое показывает субъективное отношение к
риску отдельного человека.
Пример 1.
Пусть имеются два инвестиционных проекта А и В. Первый с
вероятностью РА1 = 0,6 обеспечивает прибыль ХА1 = 15 млн руб.,
однако с вероятностью РА2 = 0,4 можно потерять ХА2 = 5,5 млн руб.
Для второго проекта с вероятностью РВ1 = 0,8 можно получить
ХВ1 = 10 млн руб. и с вероятностью РВ2 = 0,2 потерять ХВ2 = 6 млн руб.
Какой проект выбрать?
Решение.
Здесь мы имеем дело с принятием УР в условиях частичной
неопределенности, когда известны вероятности получения и потери
прибыли.
Математическое ожидание вычисляется по формуле
n
(15)
M   Pi X i ,
i 1
где n  это количество исходов в проекте. В нашем случае n = 2.
Тогда
МА = 0,615 + 0,4(5,5) = 6,8;
МВ = 0,810 + 0,2(6) = 6,8.
Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыль, равную 6,8
млн руб.
Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле
n


S   Pi  X i  M 2 .
i 1
Тогда
S A  0,6  (15  6,8) 2  0,4  (5,5  6,8) 2  10,4 ;
64
(16)
S B  0,8  (10  6,8) 2  0,2  ( 6  6,8) 2  6,4 .
Из результатов вычислений следует, что предпочтительнее проект В.
Пример 2. Пусть акционерному обществу (АО) предлагается
два рисковых инвестиционных проекта А и В (табл. 5).
Таблица 5.
Постановка задачи
Проект А
Вероятность
события
Ожидаемая
прибыль,
млн руб.
Проект В
0,2
0,6
0,2
0,4
0,2
0,4
40
50
60
0
50
100
Какой проект нужно выбрать, если фирма имеет долг в 80 млн
руб.?
Решение [см. формулы (15) и (16)].
МА = 0,240 + 0,650 + 0,260 = 50;
МВ = 0,40 + 0,250 + 0,4100 = 50;
S A  0,2  ( 40  50) 2  0,6  (50  50) 2  0,2  (60  50) 2  6,324 ;
S В  0,4  (0  50) 2  0,2  (50  50) 2  0,4  (100  50) 2  44,72 .
По формуле (14) вычислим соответствующие коэффициенты
вариации:
VА = 6,324/50 = 0,126;
VВ = 44,27/50 = 0,894.
В этом случае проект А более чем в 7 раз (0,894/0,126 = 7,09)
обладает меньшей рискованностью. Однако фирма имеет
фиксированные платежи по долгам в сумме 80 млн руб., и этот факт
может изменить решение на противоположное.
Действительно, если предположить, что доходность DA и DB по
обоим проектам распределена по нормальному закону, то с
вероятностью 0,997 (практически достоверно) возможные значения
доходности окажутся в диапазоне D = M  3S, а именно
DA = 50  36,324;
DB = 50  344,72;
31,03  DA  68,97;
84,16  DВ  184,16.
65
Таким образом, при реализации низкорискованного проекта А
АО от долгов полностью не освободится даже при самом
благоприятном стечении обстоятельств. При реализации проекта В,
если сильно повезет, АО сразу может решить все финансовые
проблемы, оставшись еще и с прибылью. При неудаче АО ожидает
банкротство.
7.2. Принятие решений в условиях полной
неопределенности
Рассмотрим три стратегии менеджера А1, А2, А3 с двумя
возможными исходами (доходами S1, S2).
S1
5
10
15
А1
А2
А3
S2
25
50
20
Очевидно, что стратегии А1 и А2  это рисковые стратегии, так
как в результате выбора этих стратегий фирма может понести убытки.
Но и стратегия А3 также является рисковой, так как в случае
ситуации S1 убытки составят 5 единиц по сравнению с ситуацией S2.
Таким образом, риск  это возможность получение доходов ниже
ожидаемых.
Принять УР с точки зрения доходности и риска можно с
помощью матрицы доходов или матрицы выигрышей A = D ai j Dmn.
Это матрица игр (есть правила игры и есть варианты ходов).
j
S1
S2
…
Sn
…
…
…
…
a1n
a2n
…
amn
i
A=
A1
A2
…
Am
a11 a12
a21 a22
… …
am1 am2
..
Элементы матрицы доходов аij показывают, какой доход
получит фирма, если выберет i-е решение при j-й ситуации. Элементы
66
матрицы доходов аij определяются расчетным путем с помощью
технического и статистического анализов или методами экспертных
оценок. Зная матрицу А можно оценить риск, то есть возможен и
другой способ задания матрицы игр, не в виде матрицы выигрышей, а
в виде матрицы рисков R =  rij mn
матрицы успешных
возможностей. Величина риска  это размер платы за отсутствие
информации о состоянии ситуации.
Матрица риска R =  rij mn, где rij  потери, которые понесет
фирма, если при развитии j-й ситуации менеджер выберет не
наилучшую стратегию (max по столбцам матрицы доходов А за
вычетом элемента дохода):
ri j = maxi(aij) – aij.
(17)
То есть, зная ситуацию Sj, игрок (менеджер) выбирает ту
стратегию, при которой его выигрыш максимальный.
Например, для матрицы выигрышей
j
S1
S2
S3
S4
i
maxi aij = 4; 8; 6 и 9 дляAсоответствующих
1
4
5 j. 9
1
A= A2 3
8
4
3
A3 4
6
6
2
.
Следовательно, согласно (17) получим матрицу рисков R:
j
S1
S2
S3
S4
4
0
2
1
2
0
0
6
7
i
R=
A1 3
A2 1
A3 0
.
Если отсутствует какая-либо дополнительная информация о
возможных
путях
развития
ситуации
(условия
полной
неопределенности), оптимальную стратегию можно выбрать,
руководствуясь следующими правилами:
67
1. Правило Вальда (правило крайнего пессимизма).
Предполагается, что какую бы стратегию не выбрал менеджер
ситуация будет развиваться самая худшая, то есть приносящая самый
минимальный доход:
qi = minj(aij).
Правило Вальда рекомендует принять то решение, которое дает
наибольший доход при самом неблагоприятном развитии ситуации:
a = maxj(qi) = maxj minj(aij).
(18)
2. Правило крайнего оптимизма (критерий максимакса).
Предполагается, что какую бы стратегию не выбрал менеджер
ситуация будет развиваться самая наилучшая, то есть приносящая
самый максимальный доход:
qi = maxj(aij).
Правило максимакса рекомендует принять то решение, которое
дает наибольший доход при самом благоприятном развитии ситуации:
a = maxj(qi) = maxj maxj(aij).
(19)
3. Правило Гурвица (взвешивающие пессимистические и
оптимистические подходы к ситуации).
Вводится параметр 0    1, отражающий субъективные
психологические особенности менеджера. Если  = 1, то менеджер
полный пессимист, и наоборот, если  = 0, то менеджер полный
оптимист.
a = maxj { minj(aij)+(1 ) maxj(aij)}.
(20)
При  = 1 получается крайне пессимистический критерий
Вальда, а при  = 0, наоборот, оптимистический критерий. Для
промежуточных значений  правило Гурвица дает линейную
комбинацию самых маленьких потерь и самых больших возможных
доходов при выборе менеджером стратегии Аi.
4. Правило Сэвиджа (правило минимального риска).
68
Анализируется матрица рисков R. Предполагается, что какую
стратегию не выбрал бы менеджер, развивается ситуация
максимального риска:
qi = maxj(rij).
Выбираем стратегию, для которой риск при
неблагоприятном развитии событий будет наименьшей:
a = minj(qi) = minj maxj(rij).
самом
(21)
Различные правила обычно приводят к разным вариантам
выбора стратегии. Менеджер должен сам определить свой
собственный критерий выбора решений.
Пример 3. Пусть известна матрица доходов
A=
15 10 0 -6 17
3 14 8 9 2 .
1 5 14 20 -3
7 19 10 2 0
Используя методы принятия решений в условиях полной
неопределенности, выбрать оптимальную стратегию.
Решение.
Для выбора оптимальной стратегии воспользуемся правилами
Вальда, максимакса, Гурвица и Севиджа.
1. Правило Вальда. По (18) имеем maxi minj (aij) = maxi (6; 2;
3; 0) = 2, следовательно, вторая стратегия А2 имеет максимальную
гарантированную доходность.
2. Правило максимакса. По (19) имеем maxi maxj (aij) = maxi
(17; 14; 20; 19) = 20, следовательно, третья стратегия А3 имеет
максимальную доходность.
3. Правило Гурвица. Психологический параметр  выберем
равным 0,3. По (20) имеем maxi  minj (aij) + (1) maxj (aij) = maxi
0,3 (6; 2; 3; 0) + 0,7 (17; 14; 20; 19) = maxi (1,8; 0,6; 0,9; 0) +
(11,9; 9,8; 14; 1913,3) = maxi(10,1; 10,4; 13,1; 13,3) = 13,3,
следовательно, согласно нашим психологическим склонностям
выбираем четвертую стратегию А4.
4. Правило Севиджа. Построим матрицу риска [формула (17)].
69
R=
0 9 14 26 0
RR 12 5 6 11 15 .
14 14 0 0 20
8 0 4 18 17
Тогда по (21) имеем mini maxj (rij) = mini (26; 15; 20; 18) = 15,
следовательно, вторая стратегия А2 имеет минимально возможный
риск.
70
Библиографический список
1. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб.
пособие/ А.М. Дубров, Б.А. Лагоша и др.  2-е изд., перераб. и доп.  М.:
Финансы и статистика, 2003.  224 с.
2. Барановская Т. П. Компьютерное моделирование реструктуризации
предприятия материально-механического снабжения /Т.П. Барановская, В.И.
Лойко // Системный анализ экономических процессов: Сб. науч. тр. / МЭСИ. 
М., 1999.
3. Черняк В.З. Экономика и управление на предприятии (строительство):
Учебник/ В.З. Черняк.  М.: КНОРУС, 2007.  736 с.
4. Замков О. О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В.
Толстопятенко, Ю.Н. Черемных.  М.: ДИС, 1997.
5. Иванов Е. Планирование и прогнозирование /Е. Иванов// Плановое
хозяйство. 1991.  №3. С. 3948.
6. Шикин Е. В. Математические методы и модели в управлении /Е.В.
Шикин, А.Г. Чхартишвили: Учеб. пособие.  2-е изд., испр.  М.: Дело, 2002. 
440 с.
7. Хибухин В. П. Математические методы планирования и управления
строительством / В.П. Хибухин, В.З. Величкин, В.И. Втюрин.  2-е изд., перераб.
и доп. Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1990.  184 с.
8. Прогнозирование и планирование экономики: Учеб. пособие /В. И.
Борисевич, Г. А. Кандаурова, Н. Н. Кандауров и др.; Под общ. ред. В. И.
Борисевича, Г. А. Кандауровой.  Минск: Интерпрессервис; Экоперспектива,
2001.  380 с.
9. Замков О. О. Математические методы в экономике: Учебник / О.О.
Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н.Черемных; Под общ. ред. А. В. Сидоровича. 
3-е изд., перераб.  М.: «Дело и Сервис», 2001.  368 с.
10. Катулев А. Н. Математические методы в системах поддержки
принятия решений: Учеб. пособие / А. Н. Катулев, Н. А. Северцев.  М.: Высш.
шк., 2005.  311 с.
71
Учебное издание
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ
УПРАВЛЕНЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Практикум
с использованием средств MS EXCEL
для студентов строительных
и экономических специальностей
Составители: С. И. Барайщук,
Е.Ю. Рожина
***
Редактор И.Г. Кузнецова
***
Подписано к печати 23.06.08
Формат 6090 1/16. Бумага писчая
Оперативный способ печати
Гарнитура Times New Roman
Усл. п. л. 4,5, уч.-изд. л. 4,5
Тираж 80 экз. Заказ № ___
Цена договорная
Издательство СибАДИ
644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10
Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ
644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10
72