СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ)
§ Основные понятия. Нормальные системы
Определение
системы
дифференциальных
уравнений
Системой дифференциальных уравнений
называется совокупность уравнений, в каждое
из которых входят независимая переменная,
искомые функции и их производные.
Всегда предполагается, что число уравнений
равно числу неизвестных функций.
Например, система двух дифференциальных уравнений первого
порядка имеет вид:
dy dz
⎧
⎪ f1 ( x, y, z , dx , dx ) = 0,
⎨
dy dz
⎪ f 2 ( x , y , z , , ) = 0.
dx dx
⎩
Решение этой системы дифференциальных уравнений состоит в
нахождении функций y = y (x) и z = z (x) , удовлетворяющих обоим
уравнениям системы.
Определение
нормальной
системы
дифференциальных
уравнений (НСДУ)
Нормальной системой дифференциальных
уравнений
называется
система
дифференциальных
уравнений
первого
порядка,
разрешённых
относительно
производной:
⎧ y1/ = f1 ( x, y1 , y2 , ... , yn );
⎪ /
⎪ y2 = f ( x, y1 , y2 , ... , yn );
⎨
⎪ ................................
⎪⎩ yn/ = f ( x, y1 , y2 , ..., yn ),
где х – независимая переменная,
y1 ( x), y2 ( x), .... , yn ( x) − неизвестные функции.
Решением
системы
дифференциальных
Определение
решения системы уравнений называется совокупность функций
дифференциальных y1 ( x), y2 ( x), .... , yn ( x) ,
удовлетворяющих
уравнений
каждому уравнению этой системы.
Определение
частного решения
системы
дифференциальных
уравнений
Частным решением СДУ называется решение,
удовлетворяющее
заданным
начальным
условиям:
y1 ( x0 ) = y10 , y2 ( x0 ) = y20 , ... , yn ( x0 ) = yn 0 ,
где y10 , y20 , ... , yn 0 − заданные постоянные
числа.
§ Метод исключения неизвестных решения НСДУ
Теорема 1 о связи
дифференциального
уравнения
n-го
порядка
с нормальной СДУ
Одно дифференциальное уравнение n-го
порядка, разрешённое относительно старшей
y ( n ) = f ( x, y, y / , y // , ..., y ( n −1) ) ,
производной:
всегда можно свести к нормальной системе
дифференциальных уравнений.
Теорема 2 о связи
дифференциального
уравнения
n-го
порядка
с нормальной СДУ
Нормальную
систему
дифференциальных
методом
уравнений
можно
привести
исключения
неизвестных
к
одному
уравнению, порядок которого меньше или
равен числу уравнений нормальной системы
дифференциальных уравнений.
Алгоритм применения метода исключения неизвестных
Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х:
y1// = ( f 1 ) /x + ( f1 ) /y1 ⋅ y1/ + ( f1 ) y 2 ⋅ y 2/ + ... + ( f 1 ) /yn ⋅ y n/ .
Производные y1/ , y 2/ , ... , y n/ в правой части этого равенства заменяем их
выражениями
из НСДУ.
Получим уравнение y1// = F2 ( x, y1 , y 2 , ... , y n )
y1/// = ( y1// ) /x = ( F2 ) /x + ( F2 ) /y1 ⋅ y1/ + ( F2 ) /y 2 ⋅ y 2/ + ... + ( F2 ) /yn ⋅ y n/ .
Производные y1/ , y 2/ , ... , y n/ в правой части этого равенства заменяем их
выражениями
из НСДУ.
Получим уравнение y1/// = F3 ( x, y1 , y 2 , ... , y n )
…….. И так далее …….
y1( n ) = Fn ( x, y1 , y 2 , ... , y n )
Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединяем
в систему:
/
⎧ y1 = f1 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ),
⎪ //
⎪⎪ y1 = F2 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ),
///
⎨ y1 = F3 ( x, y1 , y 2 , ... , y n ),
⎪
........................
⎪
(n)
⎪⎩ y1 = Fn ( x, y1 , y 2 , ... , y n ).
Первые n − 1 уравнений решаем относительно переменных
y1 , y 2 , ... , y n , выражая их через переменные x, y1 , y1/ , y1// , ... y1( n −1) .
Подставляя полученные выражения в последнее уравнение системы,
придём к уравнению порядка n относительно одной неизвестной y1 .
Замечание. Порядок последнего уравнения может быть меньше n,
если при его получении были использованы не все уравнения системы.
§ Метод выделения интегрируемых комбинаций
Получают из системы такие уравнения, которые можно
проинтегрировать и найти первый интеграл системы. Если найдены n
независимых первых интегралов НСДУ, то их совокупность дает
общий интеграл этой системы.
Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в
так называемой симметрической форме:
dy n
dy1
dy 2
dx
=
= ... =
=
f 1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) 1
и используют следующее свойство равных дробей: если
u
u1 u 2
=
= ... = n = γ ,
v1 v 2
vn
то при любых α 1 , α 2 ,..., α n имеет место соотношение
α 1u1 + α 2 u 2 + ... + α n u n
= γ (∗).
α 1 v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n
Значения α 1 , α 2 ,..., α n подбираются таким образом, чтобы числитель в
(∗) был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и
знаменатель были равны нулю.
§ Нормальная линейная однородная система n -го порядка
(НЛОС).
Тип
системы
Нормальная
линейная
однородная
система
n -го
порядка
(НЛОС).
Признак системы
Вид системы
y ( x) = a11 ( x) y1 + a12 ( x) y2 + ... + a1n ( x) yn ,
/
1
y2/ ( x) = a21 ( x) y1 + a22 ( x) y2 + ... + a2 n ( x) yn ,
..........................................................
Уравнения записаны явно
относительно
первых
производных; правые части
уравнений представляют собой
линейные
комбинации
искомых функций.
yn/ ( x) = an1 ( x) y1 + an 2 ( x) y2 + ... + ann ( x) yn , .
Коэффициенты линейных
искомых функций зависят
от аргумента x .
комбинаций
Метод решения системы
Метод исключения неизвестных (см. НСДУ).
Фундаментальной системой решений НЛОС называется совокупность
произвольных n линейно независимых решений
Yk ( x) = ( y1(k ) ( x ), y 2( k ) ( x), ... , y n( k ) ( x)), k = 1,2,..., n .
Если Yk ( x), k = 1,2,..., n, − фундаментальная система частных решений ЛОС,
то общее решение имеет вид
n
Y ( x ) = ∑ C k Yk ( x ) ,
k =1
где C1 , C2 ,..., Cn − произвольные постоянные.
§ Нормальная линейная однородная система n -го порядка
с постоянными коэффициентами
Тип системы
Вид системы
Признак системы
y1/ ( x) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n ,
Нормальная
линейная
однородная
система n-го
порядка
с
постоянными
коэффициента
ми
y 2/ ( x) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n ,
..........................................................
y n/ ( x) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , .
Коэффициенты линейных комбинаций
искомых функций постоянны.
⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠
А – матрица из коэффициентов при
искомых функциях.
Уравнения записаны явно
относительно первых
производных; правые части
уравнений представляют
собой линейные комбинации
искомых функций.
Метод решения системы
Матричный метод. Из характеристического уравнения
det( A − λE ) = 0
находят различные корни
λ1 , λ2 ,..., λ s
и для каждого корня λ (с учетом его кратности) определяют соответствующее ему
частное решение
Y (λ ) ( x) .
Общее решение имеет вид
n
Y ( x ) = ∑ C k Y ( λk ) ( x )
k =1
.
При этом, если а) λ − действительный корень кратности 1 (один), то
⎛ ξ1( λ ) ⎞
⎜ (λ ) ⎟
⎜ ξ 2 ⎟ λx
(λ )
( λ ) λx
=⎜
⎟e ,
...
⎜
⎟
⎜ ξ (λ ) ⎟
⎝ n ⎠
(λ )
где Y − собственный вектор матрицы A , соответствующий собственному значению λ ,
то есть
AY ( λ ) = λY ( λ ) , Y ( λ ) ≠ 0
Если б) λ − комплексный корень кратности 1 (один), тогда корнем характеристического
уравнения является также сопряженное с λ число λ . Вместо комплексных частных
Y
( x) = Y
e
решений Y ( λ ) ( x ) и Y ( λ ) ( x ) следует взять действительные частные решения
Y1( λ ) ( x ) = Re Y ( λ ) ( x ) и Y ( λ ) ( x ) = Im Y ( λ ) ( x ) .
Если в) λ − корень кратности r ≥ 2 , то соответствующее этому
корню
решение
системы
ищут
в
виде
вектора
(1)
(2)
( r ) r −1
⎛α 1 + α 1 x + ... + α 1 x ⎞
⎟
⎜ (1)
α + α 2( 2 ) x + ... + α 2( r ) x r −1 ⎟e λx (∗∗), коэффициенты которого
Y (λ ) ( x) = ⎜ 2
⎟
⎜
⎜α (1) + α ( 2 ) x + ... + α ( r ) x r −1 ⎟
n
n
⎠
⎝ n
( j)
α i , i = 1,..., n, j = 1,..., r
определяются из системы линейных
уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при
одинаковых степенях x
в результате подстановки вектора (∗∗) в исходную систему.
План решения нормальной линейной однородной системы
дифференциальных уравнений (НЛО СДУ) с постоянными
коэффициентами
1. Составить характеристическое уравнение det( A − λE ) = 0 ;
2. Найти собственные числа λ1 , λ2 ,..., λ s и соответствующие им
собственные векторы Y1 , Y2 , ... , Ys ;
3. Составить фундаментальную систему частных решений
Y ( λi ) ( x) = Yi
( λi )
e λi x
⎛ ξ1( λi ) ⎞
⎜ (λ ) ⎟
⎜ξ i ⎟
= ⎜ 2 ⎟ e λi x , i = 1, 2,... , n;
⎜ ... ⎟
⎜ ξ ( λi ) ⎟
⎝ n ⎠
4. Составить общее решение
n
Y ( x ) = ∑ C k Y ( λk ) ( x )
k =1
5. Для решения задачи Коши использовать данные начальные условия,
в соответствии с которыми найти значения произвольных постоянных
C k , k = 1, 2, ... , n ;
6. Записать частное решение, подставив в общее решение найденные
значения произвольных постоянных.
Определение
нормальной
линейной
неоднородной
СДУ
Нормальной линейной неоднородной СДУ
называется система ДУ называется система, где по
крайней мере одна из функций f k ( x) не равна
тождественно нулю ( k = 1, 2, ... , n ):
y1/ ( x) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n + f1 ( x),
y 2/ ( x) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n + f 2 ( x),
..........................................................
y n/ ( x) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , + f n ( x).
Замечание. В силу теорем о связи нормальных систем ДУ с
линейными ДУ n – го порядка теоремы о существовании и
единственности решения задачи Коши, о структуре общего решения
однородных и неоднородных ДУ остаются справедливыми и для
нормальных систем дифференциальных уравнений.