Минимизация затрат при крупных покупках на финансовом рынке.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Магистерская диссертация
Минимизация затрат при крупных покупках на финансовом
рынке.
Работу выполнил
студент Толли Н. И.
Научный руководитель:
доцент, канд. физ-мат. наук
Морозов В. В.
Москва
2014
Содержание
Аннотация ............................................................................................................................................. 3
Введение................................................................................................................................................ 4
Постановка задачи ................................................................................................................................ 5
Глава 1. Линейная модель изменения цены Бертсима и Ло ................................................................ 6
Обзор предлагаемого решения ......................................................................................................... 6
Построение альтернативного метода решения ................................................................................ 9
Задача оптимизации риска .............................................................................................................. 10
Глава 2. Линейная модель изменения цены с дополнительной информацией ................................. 12
Построение альтернативного метода решения .............................................................................. 13
Задача оптимизации риска .............................................................................................................. 14
Глава 3. Модель Обижаевой и Ван с учетом релаксации лучшей цены ........................................... 15
Заключение ......................................................................................................................................... 19
Список использованной литературы .................................................................................................. 20
2
Аннотация
Работа
посвящена
проблеме
крупных
покупок
на
финансовом
рынке.
Рассматриваются существующие модели влияния на изменение цены и задача
минимизации ожидаемых затрат. В приведенных источниках задача решается
методом динамического программирования. В данной работе предлагается решение,
основанное
на
составлении
функции
Лагранжа
и
решении
системы
дифференциальных уравнений. Дополнительно для исследуемой модели ставится
задача оптимизации риска – минимизации дисперсии величины затрат и приводится
ее решение аналогичным методом.
3
Введение
Основной задачей при управлении портфелем является динамическое определение
его структуры с целю максимизации прибыли и \ или достижения определенного
уровня риска. В связи с меняющимся состоянием рынка необходимо постоянное
наблюдение за стоимостью портфеля и его перестройка в случае необходимости, что
сводится к покупке или продаже некоторого количества активов. Совершение
сделки достаточно большого объема приводит к значительному отклонению ее
итоговой стоимости от рыночной, это связано с тем, что число продавцов с низкими
ценами на рынке ограничено. Это приводит к необходимости учитывать влияние
совершенных сделок на будущую стоимость актива
В данной работе последовательно рассматриваются 3 модели влияния крупных
закупок на стоимость актива: линейная модель Бертсима и Ло [1], модификация этой
модели с учетом дополнительной информации и модель Обижаевой и Ван [2], в
которой учитываются релаксация лучшей цены.
Для всех моделей рассматривается задача минимизации ожидаемых затрат и ее
решение методом динамического программирования. В работе предлагается
решение этих задач при помощи функции Лагранжа и системы дифференциальных
уравнений. Для первых двух моделей дополнительно предлагается рассмотреть
задачу минимизации дисперсии величины затрат а условиях заданного ограничения
на среднюю величину этих затрат. Эта задача аналогична задаче Марковица [3],
состоящей в минимизации дисперсии доходности финансового портфеля при
ограничении на его среднюю доходность. Но в отличие от последней она содержит
нелинейное ограничение.
4
Постановка задачи
В данной работе будет рассматриваться динамика изменения цены в контексте
рынка,
движимого
заявками,
который
представляется
в
виде
книги
лимитированных заявок – множеств заявок на продажу и покупку, доступных в
данный момент. Каждая заявка в книге содержит информацию о своей цене и
соответствующем объеме. При сделке объема V происходит исполнение лучших
(по цене) заявок суммарным объемом V , т.е. данные заявки изымаются из книги. В
любой момент времени инвесторы могут выставлять и снимать свои заявки по
усмотрению.
Рассмотрим инвестора, стремящегося к приобретению актива в большем объеме
(количестве) X 0 в течение фиксированного временного отрезка [0, T ] . Обозначим
через xt количество актива, приобретаемого в момент времени t по цене Pt . При
этом для вектора переменных x  ( x0 ,..., xT ) выполнено ограничение
T
x
t 0
t
 X0 .
Будем рассматривать дискретную модель, при которой покупки совершаются в
моменты времени t  0,1,..., T . Покупка всего объема X 0 единовременно приводит
к большим затратам. Более эффективной стратегией будет разбить объем X 0 на
части и разнести покупки на весь временной отрезок [0, T ] .
Затраты на приобретение актива задаются величиной
T
c( x)   Pt xt
(1)
t 0
где Pt - закон изменения цены актива.
Множество стратегий инвестора для задачи оптимизации издержек (величины
затрат) зададим следующим образом:
T


X1   x  ( x0 ,..., xT ) |  xt  X 0 , xt  0, t  1,..., T 
t 0


Задачу оптимизации издержек можно записать в виде
min [c( x)]  [c( x* )]
xX1
(2)
Задача минимизации риска представляет собой задачу минимизации дисперсии
величины затрат, возникающих
при крупных закупках в условиях заданного
ограничения на среднюю величину этих затрат. Эта задача аналогична задаче
Марковица [3], состоящей в минимизации дисперсии доходности финансового
5
портфеля при ограничении на его среднюю доходность. Но в отличие от последней
она содержит нелинейное ограничение. Множество стратегий инвестора для задачи
оптимизации риска зададим следующим образом:
где c0
T


X2   x  ( x0 ,..., xT ) |  xt  X 0 , [c( x)]  c0 , xt  0, t  1,..., T 
t 0


- заданные средние затраты. Тогда задачу оптимизации риска можно
записать в виде
min Var[c( x)]  Var[c( x* )]
(3)
xX2
Глава 1. Линейная модель изменения цены Бертсима и Ло
Закон изменения цены актива Pt включает в себя две компоненты: динамику Pt в
отсутствие на рынке рассматриваемого инвестора и влияние собственных покупок
инвестора на рыночную стоимость актива. Его можно записать в виде
Pt  Pt 1   xt  ut , t  0,1,..., T ,
(4)
где P1 - стоимость актива, сложившаяся на рынке к моменту начала торгов,   0
- коэффициент влияния покупки актива, а ut , t  1,..., T , - независимые, одинаково
распределенные случайные величины имеющие математические ожидания
(ut )  0 и дисперсии и Var(ut )   2 . Случайные величины ut возникают с
момента t  1 вследствие наличия на рынке спекулятивных сделок с активом.
Закон изменения цены актива (4) можно переписать в виде
t
t
i 0
i 1
Pt  P1    xi   ui , t  0,1,..., T
(5)
Используя формулу (5), формулу для затрат на приобретение актива (1) можно
переписать в виде
T
T
t
T
t
t 0
t 0
i 0
t 1
i 1
c( x)   Pt xt  P1 X 0    ( xi ) xt   ( ui ) xt
(6)
Обзор предлагаемого решения
В рассматриваемых источниках для решения задачи (2) предлагается метод
динамического программирования. Основными составляющими для любой задачи
динамического программирования являются: состояние модели в момент времени
t , управляющая переменная, случайность, функция стоимости и закон изменения.
В контексте задачи (2) , состояние в момент времени t  0,1,..., T состоит из цены
6
актива Pt 1 полученной из предыдущего периода и X t - количества актива, которое
еще предстоит приобрести. Переменные состояния отражают всю информацию,
которая требуется инвестору в каждый момент времени t
для принятия
управленческого решения. Управляющая переменная в момент времени t количество приобретаемого в этот момент времени актива xt . Случайность
характеризуется случайной величиной ut . Задача определяется выражением (2), в
то время как закон изменения определяется выражением (5) и дополнительным
выражением состояния, которое отражает количество актива, которое будет
торговаться в следующие моменты времени:
X t  X t 1  xt 1 , X 0  заданная константа, X T 1  0
(7)
где граничное условие X T 1  0 эквивалентно ограничению, что кол-во актива X 0
должно быть приобретено за T периодов.
Алгоритм динамического программирования основан на том, что решение или
«оптимальное управление» {x0* , x1* ,..., xT* } должно быть оптимально для остальной
программы в любой промежуточный момент времени t . Это означает, что в любой
момент времени t ,1  t  T
последовательность {xt* , xt*1 ,..., xT* } должна оставаться
T
оптимальной для оставшейся программы t [ Pk xk ] . Это важное свойство
k t
резюмируется уравнением Беллмана, которое соотносит оптимальное значение
целевой функции в момент времени t с ее оптимальным значением в момент
времени t  1 :
Vt ( Pt 1 , X t )  min t [ Px
t t  Vt 1 ( Pt , X t 1 )]
xt
(8)
Начиная с последнего момента времени T и применяя уравнение Беллмана (8),
закон изменения цены Pt (5) и состояния
X t (7) рекурсивно, оптимальное
управление может быть определено как функции переменных состояния, которые
характеризуют информацию, которой должен обладать инвестор для принятия
решения в каждый момент времени.
В частности, функция оптимального значения VT ( ) , как функция двух переменных
состояния Pt 1 и X t задается выражением:
VT ( Pt 1 , X t )  min T [ Pt X t ]  ( Pt 1   X t ) X t .
xT
7
(9)
Так как это последний период и X T 1 должно быть установлено в 0, нет выбора,
кроме как выполнить весь оставшийся заказ X t , следовательно оптимальный
размер покупки xT* просто равен X t . Подставляя закон изменения цены(5) в
выражение Pt X t зададим Vt как функцию от Pt 1 и X t .
В предпоследний период T  1 уравнение Беллмана менее тривиально:
VT 1 ( PT 2 , X T 1 )  min T 1[ PT 1 xT 1  VT ( PT 1 , X T )]
(10)
xT 1
 min T 1[ PT 2   xT 1  uT 1 ) xT 1  VT ( PT 2   xT 1  uT 1 , X T 1  xT 1 )].
xT 1
(11)
Подставляя правую часть уравнения (9) в выражение (11), и подставляя для X t и
Pt 1 соответственно (7) и (5), правая сторона уравнения (11) может быть приведена
к явно заданной функции от xT 1 , минимум которой может быть найдем путем
взятия производной по xT 1 и приравнивания ее нулю. Это дает:
xT* 1  X T 1 / 2,
(12)
3
VT 1 ( PT 2 , X T 1 )  X T 1 ( PT 2   X T 1 ),
4
(13)
где выражение (13) получено путем подстановки xT* 1 в уравнение (11).
Продолжая таким образом, оптимальные покупки xT* k и функция оптимального
значения VT k ( PT k 1 , X T k ) могут быть получены рекурсивно:
xT* k  X T k / (k  1)
(14)
VT k ( PT k 1 , X T k )  X T k ( PT k 1 
k 2
 X T k ),
2(k  1)
пока мы не достигнем начала программы и не найдем:
x0*  X 0 / (T  1)
V0 ( P1 , X 0 )  X 0 ( P1 
Отсюда определим
наилучшую
(15)
T 2
 X 0 ).
2(T  1)
цену исполнения
как
значение функции
оптимального значения V0 при явно заданных параметрах X 0 , P1 и параметре
влияния на цену  :
T
 X 02
t 0
2
V0 ( P1 , X 0 )  0 [ Pt xt* ]  P1 X 0 
Далее используя равенства (7), (14) и (15) найдем:
8
(1 
1
)
T 1
x0*  x1*  ...  xT*  X 0 / (T  1)
Т.е. наилучшей стратегией для инвестора будет разбить все кол-во X 0 на T  1
равный блок и покупать их через равные интервалы.
Построение альтернативного метода решения
Подставим закон изменения цены (4) в выражение для затрат на приобретение
актива (1), тогда задача (2) примет следующий вид:
T
min [c( x)]  min  [ ( Pt 1   xt  ut ) xt ]
xX1
xX1
(16)
t 0
Вычислим отдельно математическое ожидание затрат, для этого раскроем скобки и
перегруппируем слагаемые
T
T
t
T
t
t 0
t 0
i 0
t 1
i 1
 [ ( Pt 1   xt  ut ) xt ]  E [TP1 X 0    ( xi ) xt   ( ui ) xt )]
существенным при вычислении математического ожидания будет только второе
слагаемое, т.к. первое – константа, а математическое ожидание ut равно нулю.
Таким образом задача (16) сведется к задаче:
T
t
t 0
i 0
min [c( x)]  min[  ( xi )xt ]
xX1
xX1
Без ограничения общности положим   1 . Для нахождения минимума функции
T
t
t 0
i 0
f   ( xi )xt воспользуемся методом Лагранжа, для этого составим функцию
Лагранжа:
T
t
T
t 0
i 0
t 0
L( f ,  )   ( xi ) xt   ( xt  X 0 )
Оптимальная стратегия x* ищется из системы уравнений, в которую входит T  2
линейных уравнения. Каждое уравнение представляет собой частную производную
функции Лагранжа, приравненную к нулю:
L
 0, i  0,1,..., T ;
xi
L
 0.

Посчитаем производные для уравнений:
9
T
xt   xi    0, t  0,1,..., T ;
i 0
T
x
i 0
i
 X 0.
Просуммируем T  1 первое уравнение и подставим значение из последнего:
X 0  (T  1) X 0  (T  1)  0    
X 0 (T  2)
(T  1)
Подставляя  в уравнение для xt, получаем:
xt 
X0
, t  0,1,..., T
T 1
Получили
x0*  x1*  ...  xT*  X 0 / (T  1)
Задача оптимизации риска
Для решения задачи (3) подставим в формулу затрат (1) закон изменения цены(5) и
изменим порядок суммирования в двойных суммах:
T
T
T
T
i 0
t i
i 1
t i
c( x)  P1 X 0    ( xt ) xi   ( xt )ui
По аналогии с переменной состояния в методе динамического программирования
введем новые переменные
X i  X 0   xtn .
(7)´
tn t
По смыслу X i определяет количество актива, которое необходимо приобрести,
начиная с шага i . Положим X T 1  0. В новых переменных c( x) перепишем в
виде
T
T
i 0
i 1
c( x)  P1 X 0    X i ( X i  X i 1 )   X iui .
Отсюда находим, что
T
T
i 0
i 1
[c( x)]  P1 X 0    X i ( X i  X i 1 ), Var[c( x)]   2  X i2 .
Множество стратегий инвестора примет вид
T


X2  ( X 1 ,..., X T ) | X 0  X 1  ...  X T  0, P1 X 0    ( X t  X t 1 ) X t  c0 
t 0


Без потери общности положим   1 и задачу (3) перепишем так
10
T
min
( X1 ,..., X T )X2
X
i 1
T
  ( X i0 )2 .
2
i
(17)
i 1
Запишем функцию Лагранжа для задачи с одним ограничением-равенством:
T
T


L( X 1 ,..., X n ,  )   X i2    P1 X 0    ( X i  X i 1 ) X i  c0  .
i 1
i 0


Из необходимых условий оптимальности первого порядка получаем
L
 2 X t   ( X t 1  2 X t  X t 1 )  0, t  1,..., T
X t
Пусть  
1

(18)
 1 . Тогда из системы (18) получаем разностное уравнение
2 X t  X t 1  X t 1
(19)
Решение уравнения (19) будем искать в виде X t   t , t  1,..., T . После
подстановки получим уравнение  2  2  1  0 с корнями 1,2     2  1.
Для того чтобы корни были действительными и различными, необходимо чтобы
  1 или   0. При этом 2  1  1. Общее решение уравнения (19) имеет вид
X t  C11t  C22t , где константы C1 и C2 можно найти из граничных условий
X T 1  C11T 1  C22T 1  0, X 0  C1  C2  X 0 . Откуда
 2t   2 / 1 
T 1
Xt  X0
1   2 / 1 
1t
T 1
, t  1,..., T .
(20)
Замечание 1: При невыполнении условия   1 корни уравнения  2  2  1  0
могут быть комплексными. Необходимо отдельно рассматривать этот случай и
доказывать, что полученное решение уравнения (19) будет действительным
числом.
Далее для решения системы (18) необходимо подставить все X t в ограничениеравенство и найти численно уравнение относительно переменной  . Заметим, что
найденное решение (20) монотонно убывает по t. Для проверки достаточно
убедиться в том, что производная выражения (20) по t отрицательна. Отсюда
следует, что (20) является оптимальным решением задачи (17). Для нахождения
решения исходной задачи (3) достаточно сделать обратную замену переменных.
11
Глава 2.
Линейная
модель изменения
цены с
дополнительной
информацией
Пусть закон изменения цены актива линеен по xt как в равенстве (4), но теперь
дополнительно введем новую переменную
yt как серийно коррелирующую
переменную состояния, которая также влияет на цену изменения актива линейно,
следовательно
Pt  Pt 1   xt   yt  ut ,  0
(21)
yt   yt 1  zt ,   (1,1)
(22)
где ut и zt - независимые процессы белого шума с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией  u2 и  z2 соответственно.
Наличие
yt в законе изменения цены актива Pt описывает потенциальное
воздействие изменения рыночных условий или воздействие конфиденциальной
информации о надежности актива. Например, yt может быть доходностью индекса
S & P 500 , общей составляющей цены на большинство акций. Обширные
изменения рынка влияют на все ценные бумаги в некоторой степени и  является
мерой
чувствительности
влияния
данной
конкретной
конфиденциальной
информации на изменение рынка.
В любом случае, влияние yt на затраты на приобретение актива оказывают
серьезное влияние на стратегию инвестора. Задав линейный закон изменения цены
с дополнительной информацией (21) и описав закон изменения влияния
информации (22) наилучшую стратегию и оптимальное значение стоимости затрат
можно получить как и ранее методом динамического программирования:
xT* k   q ,k X T k  l ,k yT k ,
VT k ( PT k 1 , yT k , X T k )  PT k 1 X T k  ak X T2k  bk yT k X T k  ck yT2k  d k
для k  0,1,..., T  1, где
 q ,k 
b
1
,  l ,k  k 1
k 1
2ak 1
и
12
(23)
(24)

1
), a0  0,
2
k 1
 bk 1
bk   
, b0   ,
2ak 1
ak 
(1 
 2bk21
ck   ck 1 
2
, c0  0,
d k  d k 1  ck 1 z2 , d 0  0.
Построение альтернативного метода решения
Равенство (16) с учетом закона изменения цены с дополнительной информацией
(21) примет следующий вид:
T
min [c( x)]  min [ ( Pt 1   xt   yt  ut ) xt ]
xX1
xX1
(25)
t 0
Дальнейшая схема решения будет аналогична случаю с линейным законом
изменения цены без дополнительной информации. Поэтому вычислим отдельно
математическое ожидание затрат, для этого раскроем скобки и перегруппируем
слагаемые
T
T
t
T
t
t 0
t 0
i 0
t 1
i 1
 [ ( Pt 1   xt  ut ) xt ]  E [TP1 X 0    ( xi ) xt   ( ui ) xt )
T
t
t i
T
t
t 0
i 0
j 0
t 0
i 0
рынке
к
   ( (  i ) zi ) xt   (  y1 i 1 ) xt ]
где
-
y1
сложившееся
на
моменту начала
торгов
влияние
конфиденциальной информации на цену актива.
Существенными при вычислении математического ожидания будут только второе
и пятое слагаемые, т.к. первое – константа, а математическое ожидание ut и zt
равно нулю. Таким образом задача (25) сведется к задаче:
T
t
T
t
t 0
i 0
t 0
i 0
min [c( x)]  min[  ( xi )xt   (  y1 i 1 ) xt ]
xX1
xX1
Без ограничения общности положим   1 . Для нахождения минимума функции
T
t
T
t
t 0
i 0
t o
i 0
f   ( xi )xt   (  y1 i 1 ) xt воспользуемся методом Лагранжа, для этого
составим функцию Лагранжа:
T
t
T
T
t
t 0
i 0
t 0
t 0
i o
L( f ,  )   ( xi ) xt   ( xt  X 0 )   (  y1 i 1 ) xt
13
Оптимальная стратегия x* ищется из системы уравнений, в которую входит T  2
линейных уравнения. Каждое уравнение представляет собой частную производную
функции Лагранжа, приравненную к нулю:
L
 0, i  0,1,..., T ;
xi
L
 0.

Посчитаем производные для уравнений:
T
T
i 0
i 0
xt   xi      y1 i 1  0, t  0,1,..., T ;
T
x
i 0
 X 0.
i
Просуммируем T  1 первое уравнение и подставим значение из последнего:
T
t
t 0
i 0
X 0  (T  1) X 0  (T  1)   (  y1 i 1 )  0
 
X 0 (T  2)

(T  1)
T
t
t 0
i 0
 (  y1 i1 )
(T  1)
Подставляя  в уравнение для xt, получаем:
xt 
t
X0
   y1 i 1 
T  1 i o
T
t
t 0
i 0
 (  y1 i1 )
(T  1)
, t  0,1,..., T
Задача оптимизации риска
Для решения задачи (3) в рамках модели с линейным законом изменения цены с
дополнительной информацией подставим в формулу затрат (1) закон изменения
цены (21):
T
T
T
T
T
t
t i
T
t
i 0
t i
i 1
t i
t 0
i 0
j 0
t 0
i 0
c( x)  P1 X 0    ( xt ) xi   ( xt )ui    ( (  i ) zi ) xt   (  y1 i 1 ) xt
Используя замену переменных (7)´ получим
T
T
i 0
i 1
c( x)  P1 X 0    X i ( X i  X i 1 )   X iui
T
t
t i
T
t
t 0
i 0
j 0
t 0
i 0
   ( (  i ) zi )( X t  X t 1 )   (  y1 i 1 )( X t  X t 1 )
Отсюда находим, что
14
T
T
t
t 0
i 0
[c( x)]  P1 X 0    X i ( X i  X i 1 )   (  y1 i 1 )( X t  X t 1 ),
i 0
T
T
i
i 1
i o
j 0
Var[c( x)]   u2  X i2   z2   (  j )( X i  X i 1 )
Множество стратегий инвестора примет вид
( X 1 ,..., X T ) | X 0  X 1  ...  X T  0,



T
T
t
X2  

i 1
 P1 X 0    ( X t  X t 1 ) X t   (  y1 )( X t  X t 1 )  c0 
t 0
t 0 i 0


Без потери общности положим  u   z  1 и задачу (3) перепишем так:
min
( X1 ,..., X T )X2
T
T
i
T
T
i
i 1
i o
j 0
i 1
i o
j 0
 X i2    (  j )( X i  X i1)   ( X i0 )2    (  j )( X i0  X i01)
(26)
Запишем функцию Лагранжа для задачи с одним ограничением-равенством:
T
T
i
i o
j 0
L( X 1 ,..., X n ,  )   X    (  j )( X i  X i 1 ) 
i 1
2
i

T
T
t


i 0
t 0
i 0

  P1 X 0    ( X i  X i 1 ) X i   (  y1 i 1 )( X t  X t 1 )  c0  (27)
Из необходимых условий оптимальности первого порядка получаем
L
 2 X t   ( X t 1  2 X t  X t 1 )   t (1  y1 )  0, t  1,..., T
X t
(28)
По аналогии с (19) получаем разностное уравнение:
2 X t  X t 1  X t 1   t (1  y1 )
(29)
Уравнение (29) представляет собой неоднородное разностное уравнение, для его
решения необходимо найти общее решение однородного уравнения и затем найти
любое частное решение неоднородного уравнения. Таким образом мы получим
общее решение неоднородного уравнения. Таким образом мы получим решение
задачи (26). А зная его можно легко найти решение исходной задачи (3) для случая
закона изменения цены с дополнительной информацией, путем обратной замены
переменных по правилу (7)´.
Глава 3. Модель Обижаевой и Ван с учетом релаксации лучшей цены
Давайте более подробно рассмотрим, что же представляет собой книга
лимитированных заявок. На рынке, оперирующем через книгу лимитированных
15
заявок, инвесторы размещают свои спрос и предложение в виде ограниченных
заявок в электронной торговой системе. Сделка происходит в момент, когда заказ,
допустим заказ на покупку актива, появляется в системе с ценой равной уже
имеющейся в системе заявки на продажу. Совокупность всех заявок, размещенных
в системе, можно рассматривать как объем общего спроса и предложения на рынке.
Пусть q A ( P) - плотность заявок на продажу по цене P , а qB ( P) - плотность заявок
на покупку. Количество заявок на продажу в небольшом интервале цен [ P, P  dP]
можно определить как qA ( P)( P, P  dP) . Как правило, мы имеем
 , P  A
q A ( P)  
0, P  A
 , P  B
qB ( P )  
0, P  B
где A  B являются лучшими ценами спроса и предложения соответственно.
Определим
S  ( A  B) / 2, s  A  B
где S - средняя назначенная цена, а s - спред. Тогда A  S  s / 2 , а B  S  s / 2 .
Поскольку мы рассматриваем выполнение большого заказа на покупку актива, то
сосредоточимся на верхней половине книги лимитированных заявок и просто
удалим индекс A .
Для моделирования затрат на выполнение большого заказа необходимо задать
начальные параметры книги лимитированных заявок и определить как они будут
изменяться после серии сделок на покупку актива. Пусть верхняя половина книги
лимитированных заявок в момент времени t задается как q( P, Ft , Zt , t ) , где Ft
обозначает фундаментальную(рыночную) стоимость актива, а Z t представляет
набор переменных состояния, которые могут оказать влияние на книгу заявок с
учетом
совершенных
лимитированных
сделок.
заявок,
Мы
рассмотрим
охватывающую
ее
простую
динамический
модель
характер
книги
и
и
иллюстрирующую ее значение в анализе оптимального исполнения крупных
закупок. В частности мы предполагаем, что фундаментальная цена актива
описывается броуновским движением, отражающим тот факт, что в отсутствие
каких-либо сделок на рынке, средняя рыночная цена может измениться в связи с
новой информацией об активе. Таким образом St  Ft в отсутствие каких-либо
сделок и книга лимитированных заявок сохраняет свою форму, исключая
ситуацию, когда средняя рыночная цена St изменяется вместе с Ft . Кроме того, мы
16
предполагаем, что только набор соответствующих переменных состояния есть
история прошлых сделок, которые мы обозначим через x[0,t ] , т.е. Zt  x[0,t ] .
В момент времени t  0 мы предполагаем, что средняя рыночная цена актива
S0  F0 и книга лимитированных заявок имеет простую блочную форму
q0 ( P)  q( P; Fo ;0;0)  q1{P A0 }
где Ao  F0  s / 2 - начальная цена предложения, а 1{ z a} - функция-индикатор:
1, z  a
1{ z a}  
0, z  a
Другими словами, q0 - пошаговая функция для цены P со скачком от 0 до q в
цене спроса A0  So  s / 2  F0  s / 2 .
Теперь рассмотрим сделку размера x0 в момент времени t  0 . Сделка «съест» все
заявки на продажу с ценой в интервале от F0  s / 2 до A0 , где A0 задается
следующим образом:
A0 

qdP  x0
Fo  s /2
или A0  F0  s / 2  x0 / q . Средняя цена исполнения сделки P  F0  s / 2  x0 / (2q)
линейно зависит от ее размера. Таким образом форма книги лимитированных
заявок согласуется с линейной функцией влияния на цену актива. Теоретическое
обоснование данного факта приводится в [4].
Сразу после совершения сделки книга заявок принимает вид:
q0 ( P)  q( P; F0 ; Z0 ;0 )  q1{P A0 }
A0  F0  s / 2  x0 / q - новая цена предложения, т.к. все заявки на продажу по цене
меньше A0  ( F0  s / 2)  x0 / q были исполнены. То, что осталось в книге заявок –
это заявки с ценой на уровне A0 и выше.
Далее необходимо описать динамику книги лимитированных заявок, т.е. описать
процесс появления новых заявок на продажу и изменение средней цены актива с
учетом совершенных сделок, которая будет определять цены новых заявок. Сдвиг
средней цены будет линеен относительно размера совершенных сделок. Это
означает:
S0  F0   xo
17
где 0    1 и  x0 задает постоянное влияние, которое оказывает сделка размера
x0 на цену актива. Если после стартовой сделки размера x0 в момент времени t  0
больше не происходит сделок на рынке и не поступает новой информации,
влияющей на стоимость актива, то, в конечном счете, книга лимитированных
заявок сходится к новому состоянию равновесия
qt ( P)  q1{P At }
где t достаточно велико, At  St  s / 2 , а St  F0   x0 . Далее необходимо описать
как книга лимитированных заявок сходится к своим состояниям равновесия.
Отметим,
что
сразу
после
совершения
сделки
цена
предложения
A0  F0  s / 2  x0 / q , в то время как в состоянии равновесия A  F0  s / 2   x0 .
Разница между ними составляет A0  A  x0 (1/ q   ) . Будем считать, что книга
лимитированных
заявок
сходится
к
своему
состоянию
равновесия
экспоненциально:
qt ( P)  q1{P At }
где
At  St  s / 2  x0ke t , k  1/ q  
и   0 задает скорость сходимости, а St  S0 в отсутствие новых сделок и
изменений фундаментальной цены актива Ft , которая измеряет «устойчивость»
книги лимитированных заявок. Из определения нового состояния равновесия
следует, что новые заявки на продажу начнут поступать по новой цене At в
размере  q( At  St  s / 2) .
Используя замену (7)´ получим:
n(t )
St  Ft   ( X 0  X t )  Ft    xti
i 0
где X 0  X t является размером покупки за время [0, t ) . Тогда цена предложения в
любой момент времени t определяется выражением:
n (t )
At  St  s / 2   xti ke  (t ti )
i o
Учитывая все вышеизложенное задачу (2) для данной модели можно записать как:
T
min [ ( At  xt / 2q)xt ]
xX1
t 0
18
Заключение
В данной работе рассмотрена проблема крупных закупок в контексте рынка,
движимого заявками. Дан обзор 3 моделей закона изменения цены актива.
Приводится постановка задачи оптимизации затрат и обзор популярного метода
решения. В качестве научной новизны приводится альтернативный метод решения
задачи оптимизации затрат, основанный на построении функции Лагранжа.
Дополнительно формулируется более сложная задача оптимизации риска и
предлагается ее решение с использованием нового метода.
19
Список использованной литературы
1. Bertsimas, Dimitris, and Andrew W. Lo. Optimal control of execution
costs// Journal of Financial Markets, 1998, № 1, P. 1–50.
2. Obizhaeva A., Wang J. Optimal trading strategy and supply/demand
dynamics - 2005. - Available at: http://www.nber.org/papers/w11444
3. Markowitz H.M. Portfolio selection// Journal of Finance. 1952. V. 7. № 1.
P. 77–91.
4. Huberman, Gur and Werner Stanzl, 2004, Arbitrage-free price update and
price-impact functions, Econometrica, 72, №4, 1247-1275.
20