Материалы к лекции: «Системы массового обслуживания для

Материалы к лекции:
«Системы массового обслуживания для описания
информационных процессов и систем»
6 5.5. СРЕДНЯЯ ДЛИНА ОЧЕРЕДИ
В этом разделе выводится формула Полячека -Хинчина для среднего
значения длины очереди в пределе. В частности, определяется
q~ = Limq n
(5.30)
n →∞
Этот предел, очевидно, существует в случае, когда рассматриваемая вложенная
цепь эргодична.
Сначала выведем уравнения, связывающие случайные величины q n+1 и q n .
Рассмотрим два случая. Первый случай показан на рис. 5.4 (в обозначениях
временной диаграммы) и имеет место тогда, когда уходящее требование Cn не
оставляет систему пустой (т. е. q n > 0 ). Заметим, что предполагается
дисциплина обслуживания в порядке поступления, хотя это предположение
касается только времени ожидания, а не длины очереди или периода занятости.
Из рис. 5.4 видно, что q n > 0 , так как когда требование Cn уходит, требование
Cn+1 уже находится в системе. На рисунке умышленно не показан момент
поступления требования Cn+2 , так как это неважно для рассматриваемой задачи.
Теперь необходимо найти выражение для q n+1 - числа требований, остающихся
после ухода требования Cn+1 . Оно, очевидно, равно q n -1 (так как требование
Cn+1 уходит) плюс число требований, поступающих за время обслуживания
X n+1 . Это последнее слагаемое, по определению, равно υn+1 и на диаграмме
показано светлой стрелкой. Таким образом, имеем
q n +1 = q n − 1 + υn +1 , q n > 0
(5.31)
CП
C П +1
X П +1
Обслуживающие
прибор
q П +1
CП
CП
C П +1
Время
C П +1
V П +1
Рис. 5.4. Случай qп>0
C П +1
CП
qn = 0
X П +1
Обслуживающие
прибор
очередь
CП
q П +1
Время
C П +1
CП
C П +1
V П +1
Рис 5.5. Случай qn=0
Рассмотрим теперь второй случай, когда q n = 0 , т. е. уходящее требование
оставляет систему пустой. Этот случай проиллюстрирован на рис. 5.5. Здесь q n ,
очевидно, равно нулю, так как Cn+1 еще не поступило к моменту ухода Cn .
Следовательно, число требований q n+1 остающихся в момент ухода требований
Cn+1 равно числу поступлений за время его обслуживания. Таким образом
q n +1 = υn +1, q n = 0
(5.32)
Объединяя (5.31) и (5.32), получаем
q n − 1 + υn +1 , q n > 0
q n +1 = 
qn = 0
υn +1 ,
Здесь удобно ввести
(5.33)
- сдвинутую ступенчатую дискретную функцию
1, k = 1,2,......
∆κ = 
0, k ≤ 0,
(5.34)
которая связана с дискретной ступенчатой функцией δκ , определенной в (4.70),
равенством ∆ κ = δ k −1 . Применяя это определение к равенству (5.33), можно
теперь записать единое определяющее соотношение для q n+1 и в виде
q n +1 = q n − ∆ q n + υ n + 1
(5 .35)
Уравнение (5.35) является ключевым сравнением для исследования систем
типа M/G/1. Остается получить из него срёднее значение величины q n . Как
обычно, мы не будем касаться характеристик системы, зависящих от времени
(эта зависимость заключена в индексе п), а будем искать сразу распределение
предельной величины q n , обозначая ее q . Предположим, что в пределе, при
n → ∞ , существует j-й момент q n :
(5.36)
Lim E q j = E [q~ j ]
n →∞
[ ]
n
(мы здесь фактически требуем эргодичности).
Будем считать, что в уравнении (5.35) операции усреднения и перехода к
пределу перестановочны. Беря среднее значение от обеих частей равенства
(5.35), получаем
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
E q n +1 = E q n − E ∆ q n + E υ n + 1
Переходя к пределу при n → ∞ , имеем
[ ]
E [q~n ] = E [q~n ] − E ∆ q~ + E [υ~ ]
что после упрощения дает
[ ]
E ∆ q~ = E [υ~ ]
(5.37)
Какие сведения получаем мы из этого равенства? (Заметим, что поскольку число требований, поступающих за время одного обслуживания, которое не
зависит от n, индекс у величины υn может быть опущен даже до перехода к
пределу). По определению, E [υ~ ] = среднее число требований, поступающих за
время одного обслуживания.
Дадим интерпретацию левой части равенства (5.37). По определению можно
непосредственно вычислить
[ ]
∞
E ∆ q~ = ∑ ∆ κ P[q~ = κ ] = ∆ 0 P[q~ = 0] + ∆ 1 P[q~ = 1]+.....
κ =0
Но, пользуясь равенством (5.34), можно переписать это в виде
E ∆ q~ = 0 P[q~ = 0] + 1 P[q~ > 0] ,
[ ] {
или
} {
[ ]
E ∆ q~ = P[q~ > 0].
}
(5.38)
Так как мы имеем дело с однолинейной системой, равенство (5.38) может
быть также записано в виде
E ∆ q~ = P [занятость системы].
[ ]
Пользуясь определением коэффициента нагрузки системы, далее находим
Р [занятость системы ] = ρ ,
(5.40)
как уже было получено в равенстве (2.32). Таким образом, на основании
равенств (5.37), (5.39) и (5.40) заключаем, что
E (υ~ ) = ρ
(5.41)
Мы получили хорошо обоснованное заключение о том, что ожидаемое число
поступающих требований за время одного обслуживания равно ρ ( = λx ) . Для
устойчивости системы требуется, чтобы ρ < 1; таким образом, равенство (5.41)
означает, что в среднем требования должны поступать медленнее, чем они могут
быть.
Вернемся теперь к среднему значению величины q~ . Взяв математические ожидания от обеих частей уравнения (5.35) и переходя к пределу, мы
не смогли получить эту величину, хотя и получили другие интересные
результаты. Чтобы найти искомое среднее значение, возведем (5.35) сначала в
квадрат, а уже затем определим математическое ожидание от обеих частей
полученного равенства:
q n2+1 = q n2 + ∆2qn + υn2+1 − 2q n ∆ qn + 2q nυn +1 − 2 ∆q nυn +1 . (5.42)
( )
Из определения (5.34) следует, что ∆ qn
2
= ∆ qn и q n ∆ qn = q n . Учитывая это и
вычисляя математические ожидания в (5.42), получаем
E[q n2+1 ] = E[q n2 ] + E[ ∆q n ] + E[υn2+1 ] −
− 2 E[q n ] + 2 E[q nυn +1 ] − 2 E[ ∆q nυn +1 ].
В этом равенстве в двух последних слагаемых справа имеется произведение двух
случайных величин, стоящее под знаком математического ожидания. Однако
заметим, что υn+1 [число поступлений за время обслуживания (n+1)-го
требования] не зависит от q n (числа требовании остающихся после ухода
требования Cn ). Следовательно, в обоих слагаемых тематическое ожидание
произведения равно произведению математических ожиданий. Переходя к
пределу с учетом (5.36), получаем
0 = E [ ∆ q~ ] + E [υ~ 2 ] − 2 E [q~ ] + 2 E [q~ ]E [υ~ ] − 2 E [ ∆ q~ ]E [υ~ ].
Используем теперь (5.37) и (5.41), чтобы получить следующий вспомогательный
результат:
E [υ~ 2 ] − E[υ~ ]
(5.43)
E[q~ ] = ρ +
2(1 − ρ )
здесь неизвестно только E[υ~ 2 ].
Вычисляя эту величину, попутно укажем метод нахождения моментов любого
порядка. Для этого целесообразно ввести производящую функцию случайной
величины υ~ :
∞
~
V ( z ) ∆E[ z υ ]∆ ∑ P[υ~ = κ ]z k .
(5.44)
κ =0
Образуя функцию V ( z ) из (5.28) и (5.44), получим
∞ ∞
V ( z) = ∑ ∫
κ =0 0
( λx ) κ
κ!
e − λx b( x ) dxz κ
Здесь операции суммирования и интегрирования перестановочны. Меняя
порядок операций, получаем
∞
∞
 ∞ (λxz)κ 
−λx λxz
b( x)dx = ∫ e e b( x)dx = ∫ e−( λ−λz) xb( x)dx.
V( z) = ∫ e  ∑
κ =0 k ! 
0
0
0
∞
−λx
(5.45)
Введем теперь преобразование Лапласа плотности времени обслуживания
∞
B ( s) ∆ ∫ e − sx b( x ) dx.
∗
0
Заметим, что равенство (5.45) дает выражение такого же вида с заменой
комплексной переменной s на λ − λz . Получается важный результат
V ( z ) = B ∗ ( λ − λz ). (5.46)
Найденное равенство чрезвычайно важно. Оно описывает связь между
производящей функцией распределения вероятностей случайной величины υ~ и
x,
преобразованием Лапласа плотности распределения случайной величины ~
когда это преобразование находится в критической точке λ − λ z . Вспомним,
что υ~ - это число требований, поступающих за промежуток времени ~
x , и что
поток поступающих требований является пуассоновским с интенсивностью λ
требований в секунду. Нам вскоре представится случай использовать равенство
(5.46) для получения дальнейших результатов.
Из приложения II заметим, что различные производные производящей
функции, вычисленные в точке z = 1, дают возможность вычислить
соответствующие моменты рассматриваемой случайной величины. Точно так же
для непрерывных случайных величин можно найти моменты, вычисляя в точке
s = 0 соответствующие производные преобразования Лапласа плотности
рассматриваемой случайной величины. В частности, из приложения видно, что
B ∗( k ) (0)∆
d k B ∗ ( s)
ds k
V (1) (1)∆
[ ]
= (−1) k E ~
xk ;
(5.47)
s =0
dV ( z )
dz
= E [υ~ ];
(5.48)
z =1
[ ]
d 2V ( z )
= E υ~ 2 − E [υ~ ].
(5.49)
2
dz
z =1
Чтобы упростить обозначения, мы не переходим к пределу после
дифференцирования, а сразу подставляем предельные значения аргументов.
Далее мы обозначаем чертой сверху математическое ожидание случайной
величины, стоящей под чертой. Тогда равенства (5.47)-(5.49) примут вид
B ∗( k ) (0) = (−1) k x k ;
(5.50)
V ( 2 ) (1)∆
V (1) (1) = υ ;
V ( 2 ) (1) = υ 2 − υ ;
(5.51)
(5.52)
Конечно, при этом должно сохраняться свойство вероятностей
B ∗( k ) (0) = V (1) = 1
(5.53)
Применяя теперь равенство (5.46), постараемся из выражений (5.50)-(5.53)
получить моменты случайной величины v. Дифференцируя (5.46), получаем
dV ( z ) dB ∗ (λ − λz )
=
.
(5.54)
dz
dz
Производная, стоящая справа, может быть вычислена в виде
dB ∗ (λ − λz )  dB ∗ (λ − λz )  d (λ − λz ) 
dB ∗ ( y )

(5.55)
,
= 
 = −λ
dz
dz
dy

 d (λ − λz ) 
y = λ − λz.
где
(5.56)
dB ∗ ( y )
.
dy
z =1
Но из (5.56) следует, что случай z = 1 соответствует случаю y = 0 поэтому
V (1) (1) = −λ
V (1) (1) = −λB ∗(1) (0)
(5.57)
Наконец, из (5.50), (5.51) и (5.57) окончательно получается
υ = λx
(5.58)
Но λ x - это точно ρ , и мы снова получили тот же результат, что и в равенстве
(что, конечно, приятно). Можно снова
(5.41), а именно υ = ρ
продифференцировать (5.54), чтобы получить
d 2V ( z ) d 2 B ∗ (λ − λz )
(5.59)
=
dz 2
dz 2
Применяя полученную ранее первую производную функции B ∗ ( y ) , получим
теперь вторую производную следующим образом:
 d 2 B ∗ ( y )  dy 
d 2 B ∗ ( λ − λz ) d 
dB ∗ ( y ) 
 ,

λ
λ
=
−
=
−


2
dz 
dy 
dz 2
 dz 
 dy
или
2 ∗
d 2 B ∗ ( λ − λz )
2 d B (y)
=λ
,
(5.60)
dz 2
dy 2
Подставляя в (5.59) z = 1 и используя (5.60), получаем
V ( 2 ) (1) = λ2 B ∗( 2 ) (0).
Сравнивая последний с полученными ранее результатами (5.50) и (5.52),
находим
υ 2 − υ = λ2 x 2 ,
(5.61)
Что дает окончательно решение для υ 2 . Таким образом, получена величина,
необходимая для подстановки в (5.43) .Если бы мы захотели (и имели бы для
этого достаточно энергии), можно было бы и дальше, упражняясь в
дифференцировании, выражать моменты величины υ~ через моменты величины
~
x . Однако не будем поддаваться этому искушению. Возвращаясь к равенству
(5.43), используем (5.61) и получим
q=ρ+
λ2 x 2
.
2(1 − ρ )
(5.62)
Это и есть результат, к которому мы стремились! Он выражает среднюю длину
очереди в момент ухода обслуженного требования через известнее величины, а
именно через коэффициент использования ( ρ = λ x) , λ и x 2 (второй момент
распределения времени обслуживания). Перепишем этот результат, введя
нормированную дисперсию времени обслуживания C b2 = σ b2 /( x) 2
(1 + C B2 )
(5.63)
2(1 − ρ )
Это выражение представляет собой очень известную формулу для среднего
числа требований в системе типа M/G/1, которую обычно называют формулой
Полячека-Хинчина для среднего значения. Подчеркнем, зависит только от
первых двух моментов распределения времени обслуживания (х и х*). Кроме
q = ρ + ρ2
того, заметим, что с] возрастает линейно с ростом дисперсии времени
обслуживания (или, если угодно, линейно с квадратом его коэффициента
вариации).
Формула Полячека - Хинчеша - позволяет найти среднее число требований в
системе в моменты ухода обслуженного требования. Однако, как уже известно,
она позволяет найти и среднее число требований в моменты их поступления и в
любые другие моменты времени. В гл. 2 было введено обозначение N для
среднего числа требований в системе. Это обозначение было использовано и в
других главах, кроме данной и в дальнейшем мы к нему вернемся. Кроме того,
было определено N q - среднее число требований в очереди (не считая
обслуживаемого требования). Найдем связь между N и N q .По определению,
∞
N ∆ ∑ kP[q~ = k ].
(5.64)
k =0
Длина очереди на единицу меньше числа требований в системе, если система
не пуста, поэтому
∞
N q = ∑ ( k − 1) P[q~ = k ].
k =1
(Обратите внимание на нижний предел суммирования.) Отсюда получаем
∞
∞
k =0
k =1
N q = ∑ kP[q~ = k ] − ∑ P[q~ = k ].
Но вторая сумма равна ρ , мы приходим к равенству
Nq = N − ρ
(5.65)
Эта простая формула и устанавливает искомую связь.
В качестве примера применения формулы Полячека-Хинчина
рассмотрим систему типа M/M/1. Так как для показательного распределения
коэффициент вариации равен единице [см.(2.145)], то для такой системы
( 2)
q = ρ + ρ2
,
2(1 − ρ )
или
q=
1/4
ρ
1− ρ
λ
2λ
,
M/M/1.
Обслуживающий прибор
Рис. 5.6. Пример системы М/Н2/1
Равенство (5.66) описывает ожидаемое число требований, остающихся при уходе
обслуженного требования. Сравним его с выражением (3.24) для среднего числа
требований в системе М/М/1. Рассматриваемые формулы идентичны, и это лишний
раз подтверждает приводившееся ранее утверждение о том, что метод вложенных
цепей Маркова в случае СМО типа M/G/1 дает решение, пригодное для любого
момента времени. В качестве второго примера рассмотрим регулярное
обслуживание с постоянным временем обслуживания x . Как уже отмечалось, такие
системы обозначаются через М/D/1. В этом случае, очевидно, Cb2 , и получается
1
q = ρ + ρ2
,
(5.67)
2(1 − ρ )
q=
ρ
1− ρ
−
ρ2
2(1 − ρ )
,
M/D/1
Таким образом, система типа M/D/1 в среднем содержит на ρ 2 / 2(1 − ρ ) требований
меньше, чем система М/М/1; это иллюстрирует сделанное ранее утверждение о том,
что q убывает с убыванием дисперсии времени обслуживания.
Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим систему M/ H 2 /1, в
которой
1
3
b( x) = λe−λx + ( 2λ) e−2λx , x ≥ 0.
4
4
(5.68)
Это значит, что прибор обслуживания состоит из двух параллельных этапов,
как показано на рис. 5.6. Заметим также, что, как обычно, λ - интенсивность
поступления требований. Можно непосредственно вычислить x = 5 / ( 8λ ) и
σ b2 = 31 / ( 64λ2 ), что дает Cb2 = 31 / 25 . Следовательно,
ρ 2 (2,24)
0,12 ρ 2
ρ
.
q=ρ+
=
+
1− ρ
2(1 − ρ ) 1 − ρ
Таким образом, наблюдается небольшое увеличение q при небольшом
превышении Cb2 единицы по сравнению с системой М/М/1. Заметим, что в этом
примере ρ = λ x = 5 / 8 , поэтому q = 1,79 , в то время как для системы М/М/1
при этом же значении ρ получаем q = 1,66 . Мы привели здесь пример системы
M/ H 2 /1, так как он будет использован, наряду с примером М/М/1, при
рассмотрении систем типа М/G/1.
Главным результатом этого параграфа является формула Полячека-Хинчина
для среднего числа требований в системе [формула (5.63)]. Эта формула
представляет собой частный случай результатов, которые будут получены в
следующем параграфе. Однако непосредственный вывод этой формулы
поучителен. Кроме того, при получении этого результата было установлено
основное уравнение (5.35) для системы М/G/1. Мы получили также общую
связь между V ( z ) и B ∗ ( s) , которая выражается формулой (5.46). Из этой
формулы, в частности, можно получить моменты распределения числа
требований, поступающих за время обслуживания.
До сих пор не было получено ни одного результата, касающегося времени,
проведенного требованием в системе. Сейчас это можно сделать. Вспомним
результат Литтла: N = λT . Этот результат связывает среднее число требований
в системе N с интенсивностью λ поступления требований и средним временем
T пребывания требования в системе. Для системы М/G/1 получено равенство
(5.63), которое позволяет найти ожидаемое число требований в системе в
момент ухода обслуженного требования. Известно, что q описывает также
среднее число требований в случайный момент времени, поэтому можно
записать q = N . К этому среднему значению можно применить результат
Литтла и получить среднее время, проведенное требованием в системе (очередь
плюс обслуживание). Таким образом,
(1 + C B2 )
N = ρ + ρ2
= λT .
(1 − ρ )
Решая относительно T , получаем
ρ x(1 + C B2 )
T = x+
(5.69)
2(1 − ρ )
Последнее равенство легко объяснить. Общее среднее время, проведенное
требований в системе, состоит, очевидно, из среднего времени проведенного в
обслуживающем приборе, и среднего времени пребывания в очереди.
Так как первое слагаемое правой части равенства (5.69) есть, очевидно, среднее
время обслуживания, то второе слагаемое должно представлять собой среднее
время ожидания (которое будем обозначать W ). Следовательно, среднее время
пребывания в очереди
ρ x(1 + C B2 )
W=
2(1 − ρ )
или
W
W= 0 ,
(5.70)
1− ρ
где W0 ∆λ x 2 / 2 - это среднее остаточное время обслуживания для требования
(если такое есть), находящегося в обслуживающем приборе в момент
поступления нового требования (последняя формула может быть получена из
общей формулы для среднего остаточного времени). Теперь появляется
особенно изящный нормирующий множитель. Рассмотрим среднее время Т
пребывания требования в системе. Естественно сравнить эту величину с
величиной x среднего времени обслуживания одного требования.
Отношение T / x , т. е. отношение времени, проведенного в системе, ко времени,
приходящемуся в среднем на обслуживание, характеризует коэффициент
неудобства системы, обусловленного наличием в ней других требований. Если
пронормировать равенства (5.69) и (5.70), получатся формулы, в которых время
выражено в единицах среднего времени обслуживания:
(1 + C B2 )
T
,
= 1+ ρ
2(1 − ρ )
x
(5.71)
(1 + C B2 )
W
.
(5.72)
=ρ
2(1 − ρ )
x
Каждое из этих двух равенств наряду с формулой (5.63),также называют
формулой Полячека-Хинчина. Здесь видна линейная форма влияния
статистических фдляктуаций на задержку входящего потока (т. е. величина
1 + C b2 представляет собой сумму квадратов коэффициентов вариации времени
обслуживания и промежутков времени между поступающими требованиями).
Из этих же формул видно, что зависимость задержки входящего потока от
средней нагрузки системы ρ явно нелинейная.
ГЛАВА 3
Системы, описываемые процессами размножения и
гибели в стационарном режиме
В предыдущей главе были рассмотрены различные вероятностные процессы.
Указывалось, что Марковские процессы играют фундаментальную роль в
исследованиях СМО, а после изложения основных результатов теории
Марковских процессов был проанализирован частный случай Марковских
процессов - процесс размножения и гибели. Было показано также, что процессы
размножения и гибели обладают наиболее удобным свойством, а именно:
промежутки времени между моментами размножения и промежутки времени
между моментами гибели (когда система не является пустой) описываются
показательными распределениями. Затем была выведена система уравнений
(2.127), которая представляет собой основные уравнения движения для
процесса размножения и гибели общего вида при стационарных
интенсивностях размножения и гибели. Решение системы уравнений (2.127)
описывает переходные характеристики процесса, и некоторые важные частные
случаи уже обсуждались ранее. В данной главе изучается предельная форма
этих уравнений, характеризующих систему, описываемую процессами
размножения и гибели в стационарном режиме.
Важность элементарной теории массового обслуживания определяется ее
исторической ролью, а также возможностями описать характеристики, которые
встречаются в более сложных СМО. Методы анализа, используемые в этой
главе, в основном не распространяются на более сложные случаи; однако
полученные результаты проливают свет на важнейшие свойства многих более
сложных СМО.
Необходимо ясно представить способ описания СМО с помощью процесса
размножения и гибели. В качестве примера рассмотрим приемную врача,
состоящую из комнаты для ожидания (в котором, к сожалению, опускается
образование очереди) и кабинета врача, в котором осуществляется
непосредственный прием. Каждый момент прихода пациента в приемную
рассматривается как поступление требования в систему; с другой стороны,
такое поступление можно рассматривать как рождение нового члена
популяции, где под популяцией понимается совокупность присутствующих пациентов. Аналогично, уход пациента из приемной после посещения врача
можно рассматривать как уход из системы, или, в терминах процесса
размножения и гибели, как гибель члена популяции.
Как вскоре будет показано, выбор различных коэффициентов размножения
λκ и коэффициентов гибели µκ обеспечивает значительную свободу при
описании различных СМО. Прежде всего, найдем общее решение,
описывающее систему в состоянии равновесия.
3.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИЛМ
Как мы видели в гл. 2, при любом достаточно сложном наборе
коэффициентов нестационарное решение для системы, описываемой процессом
размножения и гибели, быстро становится необозримым. Кроме того, если даже
мы и можем найти Pk (t ) , неясно, насколько эти функции могут помочь понять
поведение рассматриваемых СМО (слишком много информации иногда
является
бедствием!).
Поэтому,
естественно,
возникает
вопрос,
устанавливаются ли, в конце концов, постоянными вероятности Pk (t ) с ростом
t, т. е. перестают ли они обнаруживать переходные свойства. Этот вопрос
аналогичен уже рассмотренному вопросу о существовании предельных
величин π k для вероятностей π k (t ) при t → ∞ . Для нашего исследования СМО
выбор обозначения предельных вероятностей через p(k) а не через π k является
просто вопросом удобства. Итак, пусть
pk ∆ lim Pk (t )
(3.1)
t →∞
где pk интерпретируются как вероятности того, что в произвольный момент
достаточно отдаленного будущего в системе будет находиться k требований
(или, что то же самое, система будет находиться в состоянии Ε k ). Представляет
интерес вопрос о существовании этих предельных вероятностей, но его
исследование отложим до того времени, когда будет получено общее решение
для установившегося режима, т. е. предельное решение. Важно понять, что, хотя
вероятности pk (в предположении, что они существуют) больше не являются
функциями времени t, однако мы не утверждаем, что в этом предельном случае
процесс не переходит из одного состояния в другое; конечно, число членов
популяции изменяется во времени, но вероятность пребывания системы через
достаточно большое время в состоянии с k, членами описывается величиной
pk .
Предполагая, что пределы (3.1) существуют, можно сразу положить, что
производные ∂Pk (t ) / dt в прямых уравнениях (движения) Колмогорова для
системы, описываемой процессом размножения и гибели [и задаваемой
равенствами (2.127)], при t → ∞ обращаются в нуль, и непосредственно
получить результат:
0 = −(λk + µk ) pk + λk −1 pk −1 + µk +1 pk +1
(3 2)
k ≥1
0 = −λ0 p0 + µ1 p1
(3.3)
k =0
Частная задача, связанная с отдельным уравнением при k=0, может быть
решена, если раз и навсегда принять, что следующие коэффициенты
размножения и гибели тождественно равны нулю:
λ−1 = λ−2 = λ−3 = ... = 0
µ0 = µ−1 = µ−2 = ... = 0
Более того, так как абсолютно ясно, что число членов в популяции не может
быть отрицательным, то в большинстве случаев можно полагать, что
p−1 = p−2 = p−3 = ... = 0 . Таким образом, при всех значениях k=...,-2,-1,0,1,2…
уравнения (3.2) и (3.3) могут быть переписаны в виде разностных уравнений:
0 = −( λk + µk ) pk + λk −1 pk −1 + µk +1 pk +1
(3.4)
Кроме того, должно удовлетворяться нормирующее условие
∞
∑p
k =0
k
=1
(3.5)
Вспомним также результат прошлой главы, заключающийся в том, что пределы
(3.1) не зависят от начальных условий.
Ту же идею составления уравнений при помощи диаграммы переходов из
одного состояния в другое, которую мы использовали в гл. 2, можно применить
и для составления уравнений равновесия [уравнений (3.2) и (3.3)]. В
стационарном случае, очевидно, поток должен удовлетворять условию
сохранения в том смысле, что в каждом состоянии входящий поток должен
быть равен исходящему потоку. Например, если возвратиться к рис. 2.9 и
рассмотреть состояние Е* в установившемся режиме, можно отметить, что
Εk = λk −1 pk −1 + µk +1 pk +1
Интенсивность потока в
и
Ε k = (λk + µk ) pk
Интенсивность потока из
В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому
непосредственно получаем
λk −1 pk −1 + µk +1 pk +1 = (λk + µk ) pk
(3.6)
Но это как раз и есть равенство (3.4)! Разностные уравнения для исследуемой
системы, в установившемся режиме составляются непосредственно с
помощью диаграммы переходов. Те же самые рассуждения о сохранении
потока, которые были проведены ранее, могут быть применены к потоку через
любую замкнутую границу; например, вместо того чтобы выделять каждое
состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность
контуров, первый из которых охватывает состояние Ео, второй - состояния Ео и
Е1, и т. д., включая каждый раз в новую границу очередное состояние. В таком
примере для к-го контура (окружающего состояния Ео, Е1, ..„ Еk-1)) условие
сохранения потока можно записать в следующем простом виде:
λk −1 pk −1 = µk pk
(3.7)
Для составления последней системы уравнений нужно провести вертикальную
линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через
образовавшуюся границу; полученная система разностных уравнений
эквивалентна выведенной ранее.
Решение pk уравнения (3.4) может быть найдено, по меньшей мере, двумя
способами. Первый способ состоит в том, что сначала решают уравнения при
k=0 относительно p1 , а именно,
p1 =
λ0
p
µ1 0
(3.8)
Затем, используя (3.8) и рассматривая уравнение (3.4) при k = 1, получаем
0 = −(λ1 + µ1 ) p1 + λ0 p0 + µ2 p2
0 = −(λ1 + µ1 )
0=−
λ0
p + λ p + µ2 p2
µ1 1 0 0
λ0λ1
p − λ p + λ p + µ2 p2
µ1 0 0 0 0 0
и, следовательно,
p2 =
λ0λ1
p
µ1µ2 0
(3.9)
Вид равенств (3.8) и (3.9) подсказывает, что общее решение уравнения (3.4)
нужно искать в виде
λ λ ...λ
(3.10)
pk = 0 1 k −1 p0
µ1µ2 ...µk −1
Проверить это утверждение можно просто методом математической индукции,
используя (3.10) для решения уравнения (3.4) относительно p k +1 . Проведение
выкладок показывает, что (3.10) действительно является решением,
определяющим вероятности состояний для произвольного процесса
размножения и гибели в установившемся режиме, т. е. в предельном случае.
Таким образом, все вероятности pk для установившегося режима выражаются
через единственную неизвестную константу p 0 :
λi
, k = 0,1,2,...
i =0 µ
i +1
k =1
pk = p0 ∏
(3.11)
(Вспомним, что, по определению, произведение по пустому множеству равно
единице.) Равенство (3.5) дает дополнительное условие, позволяющее
определить p 0 , тогда, суммируя по всем k, получаем
1
(3.12)
p0 =
∞ k −1
λi
1 + ∑∏
k =1 i = 0 µi +1
Это так просто полученное решение для pk в виде произведения является
основополагающим равенством элементарной теории массового обслуживания
и, фактически, представляет собой отправную точку всех дальнейших
исследований данной главы.
Второй, более легкий способ решения уравнения (3.4) состоит в том, что это
уравнение переписывают в виде
λk −1 pk −1 − µk pk = λk pk − µk +1 pk +1
(3.13)
Определяя
gk = λk pk − µk +1 pk +1
(3.14)
из уравнения (3.13) сразу находим, что
g k −1 = g k
(3.15)
Очевидно, из (3.15) следует, что
g k =константа по k
(3.16)
Однако так как λ−1 = µ0 = 0 , то равенство (3.14) дает g −1 = 0 , и, следовательно,
решением уравнения (3.16) является ноль. Полагая qk равным нулю, из
уравнения (3.14) получаем
pk +1 =
λk
p
µk +1 k
(3.17)
Решая уравнение (3.17), начиная с k=0, получаем найденное ранее решение, а
именно равенства (3.11) и (3.12).
Обратимся теперь к вопросу о существовании стационарных вероятностей
pk , задаваемых равенствами (3.11) и (3.12). Для того чтобы эти выражения
задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы p 0 > 0 . Это,
очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в
соответствующих уравнениях. По существу мы требуем, чтобы система иногда
опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если
обратиться к примерам реальной жизни. Более того, можно ввести
классификацию возможностей, определив сначала следующие две суммы:
λi
k =1 i = 0 µi +1
k
∞
µ
S2 ∆ ∑∏ i
k =1 i = 0 λi
∞
k −1
S1 ∆ ∑∏
(3.18)
(3.19)
Все состояния Ек рассматриваемого процесса размножения и гибели будут
эргодическими тогда и только тогда, когда
Эргодичность: S1 < ∞
S2 = ∞
С другой стороны, все состояния будут возвратными нулевыми тогда и только
тогда, когда
Возвратный нуль: S 1 = ∞
S2 = ∞
Наконец, все состояния будут невозвратными тогда и только тогда, когда
Невозвратность:
S1 = ∞
S2 < ∞
Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям { pk }, и
именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности
выполняются только тогда, когда, начиная с некоторого k, все члены
последовательности {λk / µk } ограничены единицей, т. е. тогда, когда
существует некоторое kо (и некоторое С < 1) такое, что для всех k>=kо
выполняется неравенство
λk
< C <1
µk +1
(3.20)
Для большинства рассматриваемых СМО это условие выполняется.
Теперь можно перейти к применению полученного общего решения,
задаваемого равенствами (3.11) и (3.12), к некоторым очень важным частным
случаям. Но прежде, чем начать эту дискуссию, сделаем замечание для тех
читателей, которые чувствуют, что условие допустимости переходов только в
соседние состояния, накладываемое процессом размножения и гибели, является
слишком жестким. Решения, задаваемые равенствами (3.11) и (3.12),
действительно справедливы только для процессов размножения и гибели, при
которых допускаются переходы только в соседние состояния. Однако в
остальном описанные стационарные методы могут быть распространены на
системы более общего вида; эти обобщения будут рассмотрены в гл. 4.
3.2. М/М/1: КЛАССИЧЕСКАЯ СМО
Как уже отмечалось в гл. 2, замечательная система М/М/1 является простейшей
нетривиальной системой, представляющей интерес. Она может быть описана с
помощью процесса размножения и гибели, если выбрать следующие значения
для коэффициентов:
λk = λ ,
k=0,1,2…
µk = µ ,
k=1,2,3
Это означает, что все интенсивности размножения полагаются постоянными и
равными λ, а все интенсивности гибели полагаются постоянными и равными µ.
Предположим также, что пространство состояний является бесконечным и что
обслуживание требований осуществляется в порядке их поступления (хотя для
многих результатов последнее требование не является необходимым). На рис.
3.1 приведена диаграмма интенсивностей переходов для этого важного
примера.
λ
λ
λ
λ
2
0
1
µ
k-1
µ
k
µ
K+1
µ
Рис. 3.1. Диаграмма интенсивностей переходов для СМО типа М/М/1
Подставляя указанные значения параметров в равенство (3.11), получаем
k −1
pk = p0 ∏
i =0
или
λ
µ
λ
µ
pk = p0 ( ) k , k>=0
(3.21)
Этот результат получается непосредственно. Условия эргодичности для
рассматриваемой системы (и, следовательно, условия существования
стационарного решения p 0 > 0 ) состоят в том, что S1 < ∞ и S 2 = ∞ ; первое
условие в данном случае записывается в виде
∞
∞
p
λ
S1 = ∑ k = ∑ ( ) k < ∞
k =0 p0
k =0 µ
Ряды, стоящие в левой части неравенства, сходятся тогда и только тогда, когда
λ/µ < 1. Второе условие эргодичности принимает вид
∞
∞
1
1 µ
= ∑ ( )k = ∞
S2 = ∑
p
k =0 λ ( k )
k =0 λ λ
p0
Это последнее условие выполняется, если λ/µ < 1; таким образом, необходимое
и достаточное условие эргодичности системы М/М/1 просто сводится к
выполнению неравенства λ<µ. Для того чтобы найти ρ0 , воспользуемся
равенством (3.12) [или равенством (3.5), если это удобнее читателю] и получим
1
p0 =
∞

λ k
1 + ∑ ( µ ) 
 k =1

Так как λ<µ, то эта сумма сходится, и, следовательно,
1
p0 =
1+
Таким образом,
p0 = 1 −
λ
µ
1−
λ
µ
λ
µ
(3.22)
Из равенства (2.29) имеем ρ=λ/µ. Следовательно, согласно условиям
стационарности, требуется, чтобы 0<=ρ<1; отметим, что это гарантирует
выполнение неравенства ро>0. Из равенства (3.21) окончательно получаем, что
pk = (1 − ρ ) ρ k , k=0,1,2
(3.23)
1− ρ
(1 − ρ ) ρ
(1 − ρ ) ρ 2
0
1
2
(1 − ρ ) ρ 3
3
Κ→
4
5
Рис. 3.2. Стационарные вероятности pk для СМО типа М/М/1
Равенство (3.23) и дает решение в установившемся режиме для вероятностей
того, что система содержит k, требований. Важно заметить, что вероятности pk
зависят от λ и µ только через их отношение ρ.
На рисунке 3.2 показаны значения вероятностей pk для рассматриваемой
системы, задаваемых формулой (3.23), в случае, когда р = 1/2. Очевидно, что
это распределение является геометрическим (которое так же, как и
показательное распределение, обладает фундаментальным свойством
отсутствия последействия). Продолжая исследование характеристик системы
М/М/1, мы увидим, что почти все ее важнейшие распределения вероятностей
относятся к типу распределений без последействия. Важной характеристикой
СМО является среднее число N требований в системе. Эта величина, очевидно,
задается равенством
∞
∞
k =0
k =0
N = ∑ kpk = (1 − ρ )∑ kρ k
Используя рассуждения, аналогичные применявшимся при выводе формулы
(2.142), получаем
∂ ∞ k
∂ 1
ρ = (1 − ρ ) ρ
N = (1 − ρ ) ρ
∑
∂ρ k =0
∂ρ 1 − ρ
N=
ρ
(3.24)
1− ρ
N
T
1
µ
1
0
1
0
ρ→
ρ→
Рис. 3.3. Среднее число требований
в системе типа М/М/1
Рис. 3.4. Среднее время пребывания
требования в системе типа М/М/1
как функция p
График среднего числа требований в системе показан на рис. 3.3.
Аналогичными методами находим, что дисперсия числа требований в системе
∞
σ 2 N = ∑ ( k − N )2 pk
k =0
σ 2N =
ρ
(1 − ρ ) 2
(3.25)
Применяя теперь формулу Литтла, из (3.25) непосредственно получаем
следующие равенства для среднего времени пребывания в системе:
N
T=
T =(
ρ
λ
1
)( )
1− ρ λ
1
T=
µ
(3.26)
1− ρ
График зависимости среднего времени пребывания в системе от коэффициента
использования ρ приведен на рис.3.4. Величина Т, соответствующая точке ρ=0,
равна среднему значению времени обслуживания требования; иными словами, в
этом случае требование не ожидает в очереди и обслуживается в среднем 1/µ
секунд.