математический анализ - Нижегородский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Е.А. Голубева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть I
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано
объединённой учебно-методической комиссией филиалов и ФПРК
для студентов ННГУ, обучающихся по направлению
подготовки 080100 «Экономика»
Нижний Новгород
2013
УДК 517
ББК 22.16
Г-62
Г-62 Голубева Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть I: Учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,
2013. – 50 с.
Рецензент: к.т.н. В.А. Гришин
В учебно-методическом пособии в краткой форме излагается теоретический материал и даны примеры решения типовых задач по следующим разделам математического анализа: «Функции от одной переменной и их пределы»,
«Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление». Приведены вопросы для подготовки к зачёту и варианты контрольной работы.
Пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 080100 «Экономика». Оно поможет сориентироваться при
написании контрольной работы, подготовке к практическим занятиям, экзамену
или зачёту.
Ответственный за выпуск:
председатель объединённой учебно-методической комиссии
филиалов и ФПРК
к.т.н., доцент Д.Н. Шуваев
УДК 517
ББК 22.16
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2013
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………....4
Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ…......5
1. Основные элементарные функции…...…………...……………….....5
2. Пределы………………………………………………………………..6
3. Правила вычисления пределов последовательностей и функций…7
Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……...……………..….11
1. Функции от одной переменной……………………………..………11
1.1. Таблица производных………………………………………….11
1.2. Правила дифференцирования………………………………….12
1.3. Схема исследования и построения графика функции……….14
2. Функции нескольких переменных………………………………….18
2.1. Частные производные………………………………………….18
2.2. Алгоритм исследования функции двух переменных
на экстремум…………………...……………………...……….20
Тема 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……………....…......................23
1. Таблица неопределённых интегралов………………...….………...23
2. Правила интегрирования……………………………………………24
3. Методы вычисления неопределённых интегралов......…………....24
4. Определённый интеграл…………………………………………….26
5. Основные свойства определённого интеграла…………………….27
6. Приложения определённого интеграла к вычислению
площадей плоских фигур….………………...……………………..29
7. Несобственные интегралы I рода…………………………………...33
Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЁТА………………………….……..35
Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ……………37
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….....49
3
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплины математического цикла служат фундаментальной базой экономического образования. Математический анализ является наиболее сложной
из этих дисциплин.
Настоящее пособие предназначено для помощи студентам, обучающимся
по направлению подготовки 080100 «Экономика» как очной, так и заочной
форм обучения.
В основу структуры пособия положен тематический принцип. Сюда вошёл материал, относящийся к таким темам математического анализа, как
«Функции от одной переменной и их пределы», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление». Наряду с изложением основного теоретического материала по вышеперечисленным темам, в пособии приведены примеры
решения типовых задач, вопросы для подготовки к экзамену и варианты контрольной работы.
4
Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ
Понятие функции одно из самых важных в математике. Оно лежит в основе построения всех математических дисциплин (алгебры, геометрии, теории
вероятностей). При помощи функций моделируются многие естественные и
экономические процессы и явления.
Определение 1. Пусть даны два непустых множества X и Y . Соответствие, которое каждому элементу x из множества X сопоставляет один и
только один элемент y из множества Y , называется функцией, определённой на
множестве X со значениями в Y .
Для обозначения функций используются буквы f , g , h . Если функция
f сопоставляет элементу x из X элемент y из Y , то пишут y  f  x  . Элемент
x называется аргументом функции y  f  x  , элемент y из Y , сопоставленный
элементу x , – значением функции.
1. Основные элементарные функции
1) степенная: y  x ,   R .
2) логарифмическая: y  log a x , a  0, a  1.
3) показательная: y  a x , a  0, a  1.
4) тригонометрические: y  sin x , y  cos x , y  tgx , y  ctgx .
5) обратные тригонометрические: y  arcsin x , y  arccos x , y  arctgx ,
y  arcctgx .
Показательная и линейная функции находят применение в финансовых
вычислениях. Большинство банковских операций состоит в выдаче денег «в
рост» и «под процент». Наращенный (конечный) капитал S k вычисляется по
формулам:
Sk  S n (1  ni), Sk  Sn (1  i) n ,
где S n – начальный капитал, n – период начисления процентов, i – процентная
ставка.
По первой формуле начисляют простые проценты, по второй – сложные.
В первой формуле используется линейная зависимость, во второй формуле –
показательная.
Пример. Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке
24% годовых. Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если первоначальный вклад составил 360 руб.
8
 0,24 
S k  3601 
  421,8 .
12 

5
2. Пределы
Понятие предела – очень сложное понятие современной математики. Это
хорошо иллюстрируется исторической картиной его внедрения. Само понятие
появилось в середине XVII века в работах великих математиков Ньютона и
Лейбница, однако строгая теория пределов была создана лишь 200 лет спустя –
в XIX веке – в трудах французского математика Коши.
Рассмотрим примеры вычисления пределов простейших функций: числовых последовательностей.
Числовой последовательностью называется функция от натурального аргумента, то есть функция, заданная на множестве натуральных чисел N . Числовые последовательности принято обозначать следующим образом: an  .
1   n 
Например,   , 
 , n  1 – числовые последовательности.
n

1
n


 
1 1 1
1 
Последовательность   состоит из чисел 1; ; ; ; ... Если изобразить
2 3 4
n 
эти точки на числовой прямой, то видно, что числовая последовательность
1
движется к нулю. Говорят, что её предел равен нулю и записывают lim
 0.
n   n
n
 n  1 2 3 4 
Аналогично, 
lim
 1;
n 1 
   ; ; ; ; ... и
n   n  1
 n  1  2 3 4 5 
 2 ; 3; 2; 5; ... и lim n  1   .






n  
Определение 2. Число a называется пределом последовательности an  ,
если для любого   0 существует номер N такой, что при любых n  N выполняется неравенство an  a   . Это обозначается следующим образом:
lim xn  a .
n  
Числовая последовательность a n  называется бесконечно малой, если её
1 
предел равен нулю. Например, последовательность   – бесконечно малая,
n 
1
так как lim
 0.
n   n
Величина, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой.
Например, n – бесконечно большая числовая последовательность. Предел
бесконечно большой последовательности обозначается     или   .
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся,
1   n 
а не имеющая конечного предела – расходящейся.   и 
 – сходящиеся
 n   n  1
числовые последовательности, n  1 – расходящаяся.


6
Предел функции от действительной переменной обозначается аналогично
пределу числовой последовательности: lim f ( x)  b .
xa
Определение 3. Число b называется пределом функции y  f (x) при x ,
стремящемся к a , если для любого положительного числа  можно указать интервал, содержащий точку x  a , такой, что всюду внутри этого интервала, за
исключением, быть может, самой точки x  a , будет выполняться неравенство
f ( x)  b   .
3. Правила вычисления пределов последовательностей и функций
I. Подставить бесконечность вместо n или предельное значение a вместо x в выражение, стоящее за знаком предела.
Например, lim
n  n  1   , lim x 2  4 .
n  


x2
c
 c   , åñëè ñ  0,
Важно, что    0 , где c – любое число;    

 0   , åñëè ñ  0.
Если в результате подстановки получилось число или   , то это ответ.
 0
Очень часто после подстановки получаются неопределенности вида   ,   ,
 0
   , 0   , 1 .

II. Если получилась неопределённость вида   , то можно:

1) разделить числитель и знаменатель дроби на старший член (на
наивысшую степень или на наибольшее число в степени).
3n 2 2n 1
 2 2
2
3n 2  2n  1   
n 
Примеры: а) lim
    lim n 2 n
2
n   2n  3n  2    n   2n
3n 2


n2 n2 n2
2 1
3  2
3
n n
 lim
 .
3 2 2
n  
2  2
n n
Вывод: Если под знаком предела стоит дробь, в числителе и знаменателе которой многочлены одинаковых степеней, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
 
7
3n 3

3n  2n  1

n3


lim


n   2n 2  3n  2    n   2n 2
3
б) lim
3n 2
n3
3n

1
3
2

1
n 3  lim
n 2 n3 
2 n   2  3  2
 3 3
n n 2 n3
n
n
n3
  ;
2n
3 2
1


3n  2n  1   
n 3 n 3 n 3  lim n n 2 n 3  0 ;
в) lim


lim


n   2n 3  3n  2    n   2n 3 3n
2 n   2  3  2


n 2 n3
n3 n3 n3
1
1

3
4  3x 3
4

3
x



г) lim
 5 x   lim
 lim 5 x     1 

x   x 6  2
 x   x 6  2 x  



 4 3x 3 
 4







3
3
 x3 x3 
 x

 lim 
 1  3  1  4 ;
  1  lim 
x   x 6
x  
2 
2 
 1 

6 
 6 6 
x 

x 
 x
2
3n

2n

1
n
5n
3

  1
n
n
n
n
3 5
5

5
5
    lim n
 lim   n
 1 ;
д) lim n
n
n
n   3  5
n    3 
   n   3
5

  1
5n 5n
5

n  550
е) lim
n   2n  14 n  146
n  550

n 50
    lim

   n   2n  14 n  146

4
n
n 46
50
 5
1  
1
1
 n
 lim


.
4
46
n   
2 4 16
1  1
 2   1  
n  n

f ( x)   
f ( x)
    lim
.
x  a g ( x)    x  a g ( x)
2) воспользоваться правилом Лопиталя: lim

ln x   
ln x 
1
Пример: lim
    lim
 lim
 0.
x   x
x   x
   x   x 
0
III. Если получилась неопределённость вида   , то можно:
0
1) сократить на выражение x  a  , которое стремится к нулю.
8
x  3x  3  lim x  3  6 ;
x2  9  0 
Примеры: а) lim
    lim
x 3
x 3 x  3
x 3
 0  x 3
x  2x  4  lim
x4
1
0


lim

.


x  2
 0  x  2  x  2 x 2  2 x  4 x  2 x 2  2 x  4 6
x3  8
2) бесконечно малый множитель заменить на эквивалентный: при x  0
x2
tgx ~ x ,
arctgx ~ x ,
,
arcsin x ~ x ,
sin x ~ x , 1  cos x ~
ex 1 ~ x ,
2
x
a  1 ~ x ln a , ln(1  x) ~ x , 1  x k  1 ~ kx , где k  R .
sin( 5 x)  0 
 5x  0 
5
    lim 2     lim
  .
Пример: lim
2
x 0
 0  x 0 x
 0  x 0 x
x
f ( x)  0 
f ( x)
    lim
3) воспользоваться правилом Лопиталя: lim
.
x  a g ( x)  0  x  a g ( x)

e x 1  0 
e x 1
ex
Пример: lim
    lim
 lim
 1.
x 0 x
x 0 1
 0  x  0  x 
4) домножить и разделить на сопряжённое, если выражение, стоящее за
знаком предела, имеет корни.
x 1  0 
x 1 x  1
x 1
Пример: lim
    lim
 lim

x 1 x  1
x 1  x  1 x  1
 0  x 1 x  1 x  1
1
1
 lim
 .
x 1 x  1 2
б) lim
x2  6x  8











IV. Если получились неопределённости вида 0   или    , то их

0
нужно свести к неопределённостям   или   .

0
x
x
1 1
0
    lim
 lim  ;
Примеры: а) lim x  ctg 2 x  0     lim
x 0
x  0 tg 2 x  0  x  0 2 x x  0 2 2
 x 2  4 x  x  x 2  4 x  x 


б) lim  x 2  4 x  x        lim 

x  
x  
x 2  4x  x
 lim
x  
x  4x  x
2
2
x  4x  x
2
 lim
x  

    lim
x 2  4 x  x    x   x 2
4x
x2
 lim
x  
4
 2.
4
1 1
x
9
4x
x

4x
x2


x
x
 
V. Если получилась неопределённость вида 1 , то нужно использовать
n
второй
замечательный
x
 1
lim 1    e ,
n
n  
предел:
 1
lim 1    e ,
x
x  
1
x
lim 1  x   e .
x 0
 
n
n
 n 1
 1

Примеры: а) lim 
  1  lim 1    e ;
n
n   n 
n  
x

 
3
3



 3
 lim 1    lim 1   

x
x 
x  
x   


 
x
 x  3

б) lim 
 1
x   x 
 2x2  3 

в) lim  2
x   2 x  1 
3
x
3x 2
 
 1


 2x2  1  4 

 lim 
x   2 x 2  1 
3x 2

12 x 2
4 

 lim 1  2

x  
2x  1
3
г) lim 1  2 x 
x 0
x2
3x 2
 e3 

2 x 2 1  2 x 2 1

 4  4 
 lim 1  2
 e6 ;


x   
2x  1



 

 1  lim 1  2 x 
x 0

10
6
1 
 x
2x


 lim e
x 0

6
x
 0.
1
e3
;
Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Дифференциальное исчисление занимается изучением и приложениями
производных. Рассмотрим основные моменты этого раздела сначала применительно к функциям одной переменной, а затем – к функциям нескольких переменных.
1. Функции от одной переменной
Определение 4. Производной функции y  f (x) в точке x0 называется
предел отношения приращения f функции в точке x0 к приращению аргумента x при x стремящемся к нулю, если этот предел существует. Производная функции f (x) в точке x0 обозначается f ( x0 ) :
f ( x0  x)  f ( x0 )
f
.
f x0   lim
 lim
x
x  0 x x  0
Производную функции y  f (x) в точке x обозначают f (x) , f x .
Необходимым условием существования производной функции в заданной
точке является непрерывность функции в этой точке (функция называется непрерывной в точке x0 , если она определена в окрестности данной точки и
lim f ( x)  f ( x0 ) ). Обратное утверждение является неверным. Например,
x  x0
функция f ( x)  x непрерывна на промежутке (;) , но в точке x0  0 производной не имеет.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке x0 , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала a, b , называется дифференцируемой на этом интервале.
Для вычисления производных используются таблица производных и правила дифференцирования.
1.1. Таблица производных
1) Ñ   0 , где Ñ  R .

2) x p  p  x p 1 , где p  R .

3) e x  e x .

4) a x  a x ln a , где a  0, a  1.
1
5) ln x   .
x
 
 
 
11
6) log a x  
1
, где a  0, a  1.
x ln a
7) sin x   cos x .
8) cos x    sin x .
1
9) tgx  
.
cos2 x
1
10) ctgx   2 .
sin x
1
11) arcsin x  
.
1 x
1
12) arccos x   
.
2
1 x
1
13) arctgx 
.
2
1 x
1
14) arcctgx  
.
1 x2
2
1.2. Правила дифференцирования
1) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Ñ  f ( x)  Ñ  f ( x) , где Ñ  R .

2
1
 2

1 4 
4
4


3
2
Пример:  2 x   2   x 3   x 3  x 3  3 .


3
  3
3 x
 
2) Производная суммы (разности) двух функций, определённых на одном и том же промежутке, равна сумме (разности) производных этих функций:
 f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x) .



Пример: 5 x 3  2 x 2  13 x  7  5 x 3  2 x 2  13 x   7  

    
 15 x 2  4 x  13 .
3) Производная произведения двух функций, определённых на одном и
том же промежутке, вычисляется по формуле
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) .


1
1

Пример: e x  ln x  e x  ln x  e x  ln x   e x  ln x  e x   e x  ln x   .
x
x


  
12
4) Если функции f (x) и g (x) имеют в точке x производные и g ( x)  0 ,
то в этой точке существует производная их частного, которая вычисляется по
формуле

 f ( x) 
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

 
.
g 2 ( x)
 g ( x) 



 x  3  x  3  cos x  x  3  cos x  cos x  x  3sin x
Пример: 
.

 
 cos x 
cos2 x
cos2 x
5) Если функция сложная, то есть F  f ( y ) , где y  g (x) , то её производная может быть вычислена по правилу
Fx  f y  g x .


1
2x
2

x

1

Пример: log 2 x 2  1 
.
ln 2  x 2  1
ln 2  x 2  1
Если функция y  f (x) имеет конечную производную f (x) в точке x , то
полное приращение функции y можно записать в виде
y  f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x   (x)x ,
где  x  – бесконечно малая функция при x  0 , то есть lim  x   0 .
 






x  0
Определение 5. Главная, линейная относительно x , часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy .
Следовательно,
dy  f ( x)x .
Если f ( x)  x , то dx  x , поэтому формула для вычисления дифференциала будет следующей:
dy  f ( x)dx .
Определение 6. Производной второго порядка (второй производной)
функции y  f (x) называется производная от её первой производной, то есть
предел
f ( x0  x)  f ( x0 )
f  x0   lim
,
x
x  0
если он существует.
Аналогично производную от второй производной называют производной
третьего порядка или третьей производной.
В общем случае производной n -го порядка называется производная от

производной (n  1) порядка: y n   y n 1 .


Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются
последовательным дифференцированием заданной функции.
Примеры: 1) y  3 x , y  3 x ln 3 , y  3 x ln 32 , y  3x ln 33 , … ,
y n   3 x ln 3n .
13
2) y  e  x , y  e  x , y   e  x , y  e  x , … , y n    1n e  x .
С помощью пределов и производных производится исследование графиков функций. Изучение графика функции целесообразно производить по следующему плану.
1.3. Схема исследования и построения графика функции
1) Найти область определения функции.
2) Исследовать функцию на четность-нечётность.
3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4) Отыскать асимптоты графика функции.
5) Найти интервалы монотонности и точки экстремума.
6) Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки
перегиба.
7) Построить график, учитывая проведенные выше исследования и, если
необходимо, вычисляя значения функции в дополнительных точках.
Остановимся подробнее на 4 и 6 пунктах.
Определение 7. Прямая линия l называется асимптотой графика функции y  f (x) , если расстояние от точки M , лежащей на графике, до прямой l
стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Асимптоты делятся на вертикальные, горизонтальные и наклонные.
1) нахождение вертикальных асимптот: прямая x  a является вертикальной асимптотой графика функции y  f (x) , если хотя бы одно из предельных значений lim f ( x) или lim f ( x) равно   или   . Вертикальные
x a 
x a 
асимптоты существуют в точках разрыва функции либо на границе области
определения функции.
2) нахождение горизонтальных асимптот: прямая y  b является горизонтальной асимптотой графика функции y  f (x) , если lim f ( x)  b или
x  
lim f ( x)  b .
x  
3) нахождение наклонных асимптот:
а) прямая y  k1 x  b1 является наклонной асимптотой графика функции y  f (x) при x   , если одновременно существуют пределы:
f ( x)
k1  lim
 R  0 , b1  lim  f ( x)  k1 x   R ;
x   x
x  
б) прямая y  k 2 x  b2 является наклонной асимптотой графика функции y  f (x) при x   , если одновременно существуют пределы
f ( x)
k 2  lim
 R  0 , b2  lim  f ( x)  k 2 x   R .
x   x
x  
14
Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость (выпуклость
вверх-вниз) производится аналогично изучению монотонности и точек экстремума только с применением второй производной.
Определение 8. График функции y  f (x) называется выпуклым вверх
(вниз) на промежутке X , если он расположен ниже (выше) любой касательной,
проведенной в каждой точке этого промежутка.
Достаточным условием выпуклости вверх (вниз) является следующая
теорема: если функция y  f (x) имеет на интервале a, b вторую производную
и f  x   0 ( f  x   0 ) на a, b , то график функции является на интервале
a, b выпуклым вниз (вверх).
Пример. Определим интервалы выпуклости-вогнутости графика функции y  x3  6 x 2  15 x  2 .
Область определения функции – множество всех действительных чисел
R . Вторая производная функции равна y  6 x  12 . Находим критические точки второго рода (точки, в которых вторая производная обращается в ноль или
не существует): x  2 . Разбиваем область определения функции на интервалы
критическими точками второго рода и методом пробных точек исследуем знаки
второй производной на каждом из интервалов (см. рис. 1).
f (x)
f (x)
2
x
Рис. 1. Исследование на выпуклость-вогнутость графика функции y  x 3  6 x 2  15 x  2
Функция выпукла вверх при x  2 , выпукла вниз при x  2 .
Определение 9. Если в точке M  x0 , f ( x0 )  график функции y  f (x)
имеет касательную, и при переходе через неё выпуклость вверх меняется на
выпуклость вниз или наоборот, то точка M  x0 , f ( x0 )  называется точкой перегиба.
Необходимым условием точки перегиба является следующая теорема: если функция y  f (x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную и в
точке M  x0 , f ( x0 )  есть перегиб графика этой функции, тогда f ( x0 )  0 .
Достаточное условие точки перегиба имеет вид: пусть функция y  f (x)
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0 , и при переходе через точку x0 слева направо производная f  x  меняет знак, тогда график
функции y  f (x) имеет перегиб в точке M  x0 , f ( x0 )  .
Таким образом, точки перегиба следует искать среди точек области
определения, в которых вторая производная обращается в ноль. При переходе через точку перегиба вторая производная обязана сменить знак.
Пример. Определим точки перегиба функции y  x3  6 x 2  15 x  2 . Вторая производная обращается в ноль при x  2 . Функция имеет вторую произ15
водную в окрестности точки x  2 и при переходе через неё меняет свой знак.
Следовательно, x  2 – точка перегиба.
x2  1
Пример. Исследуем и построим график функции y 
.
x
1) Область определения функции: x  0 .
x2  1
  y ( x) .
2) Функция нечётная, так как y  x   
x
x2  1
 0.
3) Точки пересечения с осью Ox ищем из уравнения y  0 или
x
Последнее уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью Ox
нет. График функции не имеет пересечений и с осью Oy , так как x  0 .
4) Асимптоты:
– вертикальные: точкой разрыва графика функции является x  0 ,
x2 1
lim
  , следовательно, прямая x  0 является вертикальной асимптоx 0 x
той;
x2 1   
1

    lim  x     , поэтому гори– горизонтальные: lim
x
x   x
   x  
зонтальных асимптот нет;
– наклонные:
x2 1
x2 1
1 

x
а) lim
 lim

lim
1


  1 , k1  1 ;
x
x  
x   x 2
x  
x2 
 x2 1

 x2 1 
x2 1 x2
1




lim
 k1 x  lim
 x  lim
 lim
 0,
 x   x
 x  
x
x
x   x
x





b1  0 ,
следовательно, прямая y  x – наклонная асимптота при x   ;
б) аналогично, прямая y  x – наклонная асимптота при x   .
5) Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума. Производ

 x2  1 
1

   x    1  1 . Она обращается в ноль в
ная функции равна y   
 x  
x
x2


точках x1,2  1 . Используем метод интервалов (см. рис. 2).
f (x)
f (x)
0
0
-1
x
1
Рис. 2. Исследование на монотонность графика функции y 
16
x2 1
x
Функция возрастает при x  1 и x  1 , убывает при  1  x  0 и 0  x  1 .
Точка x1  1 является точкой минимума, y (1)  2 ; x2  1 – точкой максимума,
y(1)  2 .
6) Проведем изучение промежутков выпуклости вверх-вниз функции и

1 
2


точек перегиба. Вторая производная функции равна y    y   1  2   3 .
x  x

Она не обращается в ноль. Используем метод интервалов (см. рис. 3).
f (x)
0
f (x)
x
0
x2 1
Рис. 3. Исследование на выпуклость-вогнутость графика функции y 
x
Функция выпукла вверх при x  0 , выпукла вниз при x  0 . Точек перегиба нет.
7) Построим график функции, учитывая проведённые выше исследования и вычисляя значения функции в дополнительных точках (см. рис. 4).
x 0,5 -0,5 2 -2
y 2,5 -2,5 2,5 2,5
y
yx
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
x2 1
Рис. 4. График функции y 
x
17
x
2. Функции нескольких переменных
Определение 10. Пусть даны два непустых множества D и Z , причём
множество D состоит из упорядоченных пар чисел ( x, y ) , а множество Z – из
элементов z . Соответствие f , которое каждому элементу ( x, y ) из D сопоставляет один и только один элемент z из Z , называется функцией двух переменных z  f ( x, y) , определённой на множестве D со значениями в Z .
y
– функция от двух переменных. Область определения
x
этой функции – множество всех пар чисел  x, y  , для которых выполняется неy
равенство  0 , то есть D( z )   x, y  / x  0, y  0 или x  0, y  0 или первый и
x
третий квадранты без оси Oy , а множество значений – промежуток 0,) .
Аналогично можно дать определение функции трёх переменных
u  f ( x, y, z ) , четырёх переменных u  f ( x, y, z, t ) и вообще n переменных
z  f  x1 , x2 ,..., xn .
Графиком функции двух переменных в прямоугольной системе координат Oxyz является некоторая поверхность в пространстве.
Например, z 
2.1. Частные производные
В отличие от функций одной переменной, функции двух переменных
имеют две производные первого порядка. Они называются частными производными.
Частная производная функции z  f ( x, y) по переменной x представляет
собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксиz
рованном значении y (обозначается z x или
), а частная производная функx
ции двух переменных z  f ( x, y) по переменной y представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной y при фиксированном знаz
чении x (обозначается z y или
). Поэтому частные производные вычисляютy
ся по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.
Примеры. Найдём частные производные следующих функций:
1) z  2 x 2  y 3  xy  5 ; z x  4 x  y , z y  3 y 2  x ;
2) z 
1 y
y
, z x   
2 x 
x

1
2
1


y
y
1
y
y x
 
  2
        y  x2   2

,
2 x 
2x x
 xx
2x y
18

1
2


1
2
1 y
y
1 y
1
x
1
z y          

.
2 x   x  y 2 x 
x
2 x y 2 xy
Аналогично вычисляются частные производные функций трёх и более

 x y3 
x  y3
  1 ,
переменных. Например, для функции u 
, u x   
 2z 2z 
2z

 x 2z


2
 x y3 
 x  y3 
3
y
x  y3







uy 


, uz 
.
2
 2z 
 2z 2z  y
2
z
2
z

z


Пусть функция z  f ( x, y) имеет частные производные первого порядка
f x  x, y  и f y x, y  . Если f x  x, y  и f y x, y  имеют свои частные производные,
то они называются частными производными второго порядка и обозначаются
следующими символами:
2 f
2z
2 f
2z
  f 2 
  z  2 
  f 2 
  z  2 
f xx
 z xx
 z yy
; f yy
;
y
y
x
x
x 2
x 2
y 2
y 2
2 f
2z
2 f
2z
 
 
 
 
f xy
 z xy
 z yx
; f yx
.
xy
xy
yx
yx
 и f yx
 называются смешанныЧастные производные второго порядка f xy
ми частными производными. Для непрерывных функций они равны.
Пример. Найдём частные производные второго порядка от функции
4
z  x  4 x 2 y 3  7 xy  1.
Сначала
находим
частные
производные
первого
порядка:
z
z
 4 x 3  8 xy 3  7 y ,
 12 x 2 y 2  7 x .
x
y
Затем находим частные производные второго порядка:
2z
x
2
 12 x 2  8 y 3 ,
2z
2z
2z
2

 24 xy  7 , 2  24 x 2 y .
xy yx
y
Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и так далее.
Определение 11. Функция z  f ( x, y) имеет максимум (минимум) в точке
M 0  x0 , y0  , если для любой точки M  x, y  , находящейся в некоторой окрестноM 0  x0 , y 0  ,
f ( x0 , y 0 )  f ( x , y )
сти
точки
выполняется
условие
( f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) ). Максимумы и минимумы функций называются экстремумами, а точка M 0  x0 , y0  – точкой экстремума.
19
Теоремы, отражающие необходимые и достаточные условия экстремума,
дают следующий алгоритм исследования функций от двух переменных на экстремум.
2.2. Алгоритм исследования функций двух переменных на экстремум
1) Вычислить частные производные первого порядка: z x и z y . Из систе z x  0,
мы 
найти точки, подозрительные на экстремум (стационарные точ z y  0
ки). Пусть M 0  x0 , y0  – стационарная точка функции z  f ( x, y) (таких точек
может быть несколько).
 , z  2 и их
2) Вычислить частные производные второго порядка z  2 , z xy
y
x
 x0 , y0 , C  z 2 x0 , y0  .
значения в стационарной точке: A  z 2 x0 , y0 , B  zxy
y
x
3) Найти значение дискриминанта   AC  B 2 .
а) Если   0 , то в точке M 0  x0 , y0  экстремум есть, при этом, если
A  0 (или C  0 при A  0 ), то в точке M 0  x0 , y0  функция имеет минимум, а
если A  0 (или C  0 при A  0 ) – максимум.
б) Если   0 , то в точке M 0  x0 , y0  экстремума нет.
в) Если   0 , то требуются дополнительные исследования.
Примеры. Найдём экстремумы функций:
3
1
а) z  x 2  2 xy  y 2  5 x  y  2 .
2
2
1) Вычислим частные производные первого порядка: z x  3x  2 y  5 ,
3x  2 y  5  0,
находим точку M 0 (1;1) , подозриz y  2 x  y  1. Из системы 
2 x  y  1  0
тельную на экстремум.
  2,
2) Найдём частные производные второго порядка: z 2  3 , z xy
x
z  2  1. Значения вторых производных не зависят от x и y , поэтому нет
y
необходимости вычислять их величину в стационарной точке и A  3 , B  2 ,
C  1 .
3) Вычисляем значение дискриминанта   AC  B 2  7  0 . Следовательно, в точке M 0 (1;1) нет экстремума.
20
x
 e2
б) z
1)
z x
x
1
 e2  x 
2
x  y 2 .
Частные
1 2 
y  1 , z y
2

производные
x
 2 ye 2 .
первого
порядка
равны
Точка M 0 (2;0) – стационарная точка, так
x

 z x  e 2  1 x  1 y 2  1  0,

2
2

как её координаты являются решением системы 
x

 z y  2 ye 2  0.

2)
Частные
x
1 21
e  x
производные
x
ye 2 ,
1 2

 
y  2  , z xy
z  2 
y
x
2 2
2

1
2
ционарной точке: A  , B  0 , C  .
e
2e
z  2 
второго
x
2e 2 .
3) Дискриминант равен   AC  B 2 
M (2;0) экстремум есть. Так как A 
равны
Вычислим их значения в ста-
1
e
порядка
2
 0 . Следовательно, в точке
1
 0 , M (2;0) – точка минимума,
2e
2
z min   .
e
в) z  x 3  y 3  3xy .
1) Вычислим частные производные первого порядка: zx  3x 2  3 y ,
z y  3 y 2  3 x . Находим стационарные точки, используя необходимые усло-
3 x 2  3 y  0
вия: 
, x1  0 , y1  0 ; x2  1 , y2  1 . Следовательно, M 1 (0;0) ,
2
 3 y  3 x  0
M 2 ( 1;1) - стационарные точки.
  3 ,
2) Находим вторые частные производные: z 2  6 x , z xy
x
z  2  6 y и их значения в стационарных точках: A1  0 , B1  3 , C1  0 ;
y
A2  6 , B2  3 , C 2  6 .
3) 1  A1C1  B12  0  9  9  0 , поэтому в точке M 1 (0;0) нет экстремума.
 2  A2C2  B22  36  9  27  0 . Следовательно, в точке M 2 (1;1) экстремум есть. Так как A2  6  0 , M 1 (1;1) – точка максимума, z max  1.
21
г) z  x3  3xy 2  15 x  12 y .
1)
Вычисляем
частные
производные
первого
порядка:
2
2
3x  3 y  15  0,
находим
zx  3x 2  3 y 2  15 , z y  6 xy  12 . Из системы 
6 xy  12  0
стационарные точки:
4

 x 2  y 2  5  0,  x 2 
 5  0,  x 4  5 x 2  4  0,
2



x



2
2
y  ;
y  ;
y  2 ;
x
x



x
x1  1 , y1  2 ; x2  1 , y 2  2 ; x3  2 , y3  1 ; x4  2 , y 4  1 . Следовательно,
M 1 (1;2) , M 2 (1;2) , M 3 (2;1) , M 4 (2;1) – точки, подозрительные на экстремум.
  6y ,
2) Находим вторые частные производные: z  2  6 x , z xy
x
z  2  6 x и их значения в стационарных точках: A1  6 , B1  12 , C1  6 ;
y
A2  6 , B2  12 , C 2  6 ; A3  12 , B3  6 , C3  12 ; A4  12 , B4  6 ,
C 4  12 .
3) Вычисляем значения всех дискриминантов и делаем выводы.
1  36  144  0 . Следовательно, в точке M 1 (1;2) нет экстремума.
 2  36  144  0 , поэтому в точке M 2 (1;2) нет экстремума.
 3  144  36  0 . Следовательно, в точке M 3 (2;1) экстремум есть. Так как A  0
M 3 (2;1) – точка минимума, z min  28 .
 4  144  36  0 , поэтому в точке M 4 (2;1) экстремум есть. Так как A  0
M 3 ( 2;1) – точка максимума, z max  28 .
22
Тема 3. ИНТЕРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной от заданной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: дана функция f (x) , требуется найти функцию F (x) , такую, что
F ( x)  f ( x) . Функция F (x) при этом называется первообразной для функции
f (x) .
Определение 12. Функция F (x) называется первообразной для функции
f (x) на промежутке X , если в каждой точке x этого промежутка справедливо
равенство F ( x)  f ( x) .
Пример. Найдём первообразные для функции f ( x)  3x 2 . F1 ( x)  x 3 , так
как F1( x)  3x 2 . Функции F2 ( x)  x3  1 и F3 ( x)  x 3  101 также являются первообразными для функции
f ( x)  3 x 2 . Вообще, любая функция вида
F ( x)  x 3  Ñ , где Ñ  R , является первообразной для функции f ( x)  3x 2 .
Вывод: Если функция F (x) – первообразная для функции f (x) , то любая
функция вида F ( x)  С , где C  const , также является первообразной для f (x) .
Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается  f ( x) dx :
 f ( x)dx  F ( x)  C , где Ñ  const .
Для вычисления неопределённых интегралов используют таблицу основных интегралов, правила интегрирования и методы интегрирования.
1. Таблица неопредёленных интегралов
1)
2)
 0dx  C , где Ñ  R .
1dx  x  C , Ñ  R .
x p 1
 C , где p  1 , Ñ  R .
3)  x dx 
p 1
1
4)  dx  ln x  C , Ñ  R .
x
5)  e x dx  e x  C , Ñ  R .
p
6)
7)
8)
9)
ax
 a dx  ln a  C , где a  0, a  1, Ñ  R .
 sin xdx   cos x  C , Ñ  R .
 cos xdx  sin x  C , Ñ  R .
dx
 2  tgx  C , Ñ  R .
cos x
x
23
10)

11)

12)

dx
sin 2 x
dx
1 x
dx
1  x2
dx
 ctgx  C , Ñ  R .
2
 arcsin x  C , Ñ  R .
 arctgx  C , Ñ  R .
1
x

arctg
 C , где a  0 , Ñ  R .
2
2
a
a
a x
dx
1
xa
14)  2

ln
 C , где a  0 , Ñ  R .
x  a 2 2a x  a
dx
x
15) 
 arcsin  C , где  a  x  a, a  0 , Ñ  R .
a
a2  x2
13)

16)

dx
x2  a
 ln x  x 2  a  C , где a  0 , Ñ  R .
2. Правила интегрирования

1)  f ( x)dx   f ( x) .
2)  dF ( x)  F ( x)  C , где Ñ  R .
3) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого
интеграла:
 k  f ( x)dx  k   f ( x)dx , где k  R .
4) Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:
  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
3. Методы вычисления неопределённых интегралов
I. Метод разложения (метод непосредственного интегрирования):
основан на применении 3 и 4 правил интегрирования.
Примеры: а)  2 sin x  3 x  2  5 dx  2 sin xdx  9 3 x dx  51dx  2 cos x 

9

3x
 5x  C ;
ln 3
24
б)

23 x  12 dx 
3
x4
2
4


43 x 2  43 x  1
3 dx  4 dx  x 3 dx  123 x 
dx

4
x


x 
3 4
x
3
 4 ln x  3  C .
x
II. Метод замены переменной (метод подстановки): основан на формуле
 f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt .
Метод замены переменной применяют в двух случаях: 1) если интеграл
похож на табличный, но аргументом выступает не x , а линейное выражение,
зависящее от x ; 2) если подынтегральное выражение содержит функцию и её
производную.


t  3x 

 1
1
1
Примеры: а)  cos3xdx  dt  3dx    costdt  sin t  C  sin 3x  C ;
3
3
3

1 
dx  dt 
3 

 5 x 
t  3



3
5 x
1 
3 t3

5 x
dx  dt   dx  3 t dt  
 C  2 
б) 
 C;
3
3
3
3




2
dx  3dt 




t  ln x 
ln x
t2
ln 2 x


в) 
dx  
C;
dx    tdt   C 
x
2
2
dt


x


 t  cos x 
sin x
1
г)  tgxdx  
dx  
   dt   ln t  C   ln cos x  C .
cos x
t
dt   sin xdx
III. Метод интегрирования по частям: основан на формуле
 udv  uv   vdu ,
где u и v – дифференцируемые функции от x . Эта формула позволяет вычисление интеграла  udv свести к вычислению интеграла  vdu , который может
оказаться более простым для интегрирования.
Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям,
можно разбить на три группы:
1) Интегралы вида
 P ( x)arcctgxdx ,
 P( x)arctgxdx ,
 P( x) ln xdx ,
 P ( x) arcsin dx ,  P ( x) arccos xdx , где P(x) – многочлен, зависящий от x . Для их
вычисления следует положить u равной одной из выше указанных функций, а
dv  P( x)dx .
25
dx 


u

ln
x
,
du

u
dx


x  x 2 ln x
x2


dx 
Примеры: а)  x  ln xdx  

2
2
2
x
dv  xdx, v  xdx  x 


2 
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2
x2 
1

  xdx 

 C   ln x    C ;
2
2
2
4
2 
2
1


dx
x
u  arctgx, du 
2
dx 
б)  arctgxdx  
1 x
  x  arctgx  
2
1 x
dv  dx,

vx


1
1
1
2
 x  arctgx  
d
(
x

1
)

x

arctgx

ln 1  x 2  C .
2
2 1 x
2


2) Интегралы вида  P ( x)e k xdx ,  P( x) sin kxdx ,  P( x) cos kxdx , где P(x) –
многочлен, зависящий от x , k – число. Для их вычисления следует положить
u  P(x) , dv  e kxdx , dv  sin kxdx , dv  coskxdx соответственно.
du  dx
u  x,


 1
2x
2x 1 2x
Пример:  xe dx  
1 2 x   x  e   e dx 
2x
2
dv  e dx, v  e  2



2
1
1
 x  e2x  e2x  C .
2
4
3) Интегралы вида  e ax sin bxdx ,  e ax cos bxdx , где a и b – числа, вычисляются двукратным применением метода интегрирования по частям.


du  e x dx
u  e x ,

x
Пример:  e cos xdx  



dv

cos
xdx
(
ìîæíî
è
íàîáîðîò
),
v

sin
x



du  e x dx 
u  e x ,
 x
x
x
 e x sin x   e x sin xdx 
  e sin x  e cos x   e cos xdx.

dv  sin xdx, v   cos x 

Выписывая начало и конец равенства, получаем
x
x
x
 e cos xdx  e sin x  cos x    e cos xdx ,
откуда
ex
x
 e cos xdx  2 sin x  cos x   C .
4. Определённый интеграл
Определение 13. Пусть функция y  f (x) определена и ограничена на
отрезке a, b и a  x0  x1  ...  xn  b – произвольное разбиение этого отрезка
26
на n элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке
xi 1 , xi  выбрана точка  i , тогда сумма
n
n
i 1
i 1
 n   f ( i ) xi  xi 1    f ( i )xi
называется интегральной суммой функции y  f (x) на отрезке a, b, а её предел при max xi  max xi  xi 1   0 , если он существует и конечен, называет1 i  n
1 i  n
ся определенным интегралом от функции y  f (x) в пределах от a до b и обозначается
b

f ( x)dx 
a
lim
max xi  0
n 
n
lim
 f ( i )xi .
max xi  0 i 1
Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке a, b.
Для вычисления определённого интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница: определённый интеграл от непрерывной на отрезке a, b
функции f (x) равен приращению любой её первообразной на этом отрезке:
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) .

1
Пример:
0
b
a

 2x x x3  1  2 1 
1
x  x dx  
       0  0  .
 3
3  0  3 3 
3

2
5. Основные свойства определённого интеграла
a
1)
 f ( x)dx  0 .
a
b
2)

a
f ( x)dx    f ( x)dx .
a
3)
b
Каковы
бы
b
c
b
a
a
c
ни
были
числа
a, b, c ,
имеет
место
равенство
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
4) Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
b
b
a
a
 k  f ( x)dx  k   f ( x)dx , где k  R .
5) Определённый интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) определённых интегралов этих функций:
27
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
6) Теорема о среднем: если функция y  f (x) непрерывна на отрезке a, b,
то найдётся такое значение  из этого отрезка, что
b
 f ( x)dx  f ( )(b  a) .
a
7) Если функция y  f (x) чётная, то
a

a
a
f ( x)dx  2  f ( x)dx , а если нечётная,
0
a
то
 f ( x)dx  0 .
a
8)
Замена
b

a

переменной
 f ( x)dx   f ( t ) (t )dt ,
в
определённом
интеграле:
где x   (t ), новые пределы интегрирования нахо-
дятся из условий  ( )  a ,  (  )  b .
 t  1  2x 
 dt  2dx  27  2
13
27
dx



  t 3 dt  33 t 12 ;
Примеры: 1) 

1
3 1  2 x 2
 t1  t (1)  1,  1
1
t 2  t (13)  27 
t  e x  1, t 2  e x  1


 1
ln 2
1
2
tdt
2tdt


x
x
x
2
2
e
e

1
dx

2
tdt

e
dx
,
dx


t

1
t

2
2) 

 
 t dt 
2
2
t 1  0
t 1 0

0
t1  t (0)  0, t 2  t (ln 2)  1


2
2
 t 3 10  .
3
3
9)
Интегрирование
по
частям
в
определённом
интеграле:

b

udv  uv ba
a

b
  vdu .
a



2
du  dx 
u  x,
2
Пример:  x cos xdx  
  x  sin x   sin xdx 
dv

cos
xdx
,
v

sin
x


0
0
0
2

 x  sin x
2
0

 cos x
2
0



   1  0   0  1   1 .
2
2

Определённый интеграл применяется для вычисления площадей плоских
фигур, длин дуг, объёмов тел.
28
6. Приложения определённого интеграла
к вычислению площадей плоских фигур
Рассмотрим частные случаи вычисления площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.
I. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная снизу отрезком
a, b оси Ox , сверху графиком непрерывной функции y  f (x) , принимающей
неотрицательные значения на отрезке a, b, а с боков – отрезками прямых
x  a , x  b (см. рис. 5).
y
y
y  f (x)
y  f (x)
à
0
b
x
à
0
b
x
Рис. 5. Криволинейные трапеции
b
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле S   f ( x)dx .
a
Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x  2 x  3 , x  0 , x  3 , y  0 . Графиком функции y  x 2  2 x  3 является
парабола с вершиной в точке 1; 2 , ветви которой направлены вверх (см.
рис. 6).
6 y
2
y  x2  2x  3
3
2
0
1
3
x
Рис. 6. Фигура, ограниченная линиями y  x 2  2 x  3 , x  0 , x  3 , y  0
29


3
 x3

S   x 2  2 x  3 dx    x 2  3x  30  9  9  9  0  0  0  9 (кв. ед.).
 3



0
II. Отражённая криволинейная трапеция (см. рис. 7).
y
y
a
a
b
b
x
x
y  f (x)
y  f (x)
Рис. 7. Отражённые криволинейные трапеции
Площадь отражённой криволинейной трапеции вычисляется по формуле
b
S    f ( x)dx .
a
Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции
 
y   sin 2 x и отрезком 0;  оси Ox (см. рис. 8).
 2

4
y

2
0
x
-1
 
Рис. 8. Фигура, ограниченная графиком функции y   sin 2 x и отрезком 0;  оси Ox
 2
 t  2x 
 dt  2dx 


2
2

 1 
1

S     sin 2 x dx   sin 2 xdx 
dt    sin tdt   cost 0 
2
 dx  2  2 0
0
0


t1  0, t 2   
1
   1  1  1 (кв. ед.).
2
30
III. Фигура, состоящая из двух криволинейных трапеций (см. рис. 9).
y
y  f (x)
y  g (x)
S1
S2
a
x
c
b
Рис. 9. Фигура, состоящая из двух криволинейных трапеций
Площадь фигуры, состоящей из двух криволинейных трапеций, вычисляb
c
a
b
ется по формуле S  S1  S 2   f ( x)dx   g ( x)dx .
Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y   x 2  1 ,
y  e x , x  1 , y  0 (см. рис. 10).
y
3
y  ex
y  x2  1 1
-1
0
1
x
Рис. 10. Фигура, ограниченная линиями y   x 2  1 , y  e x , x  1, y  0


 x3

1
1
S    x  1 dx   e dx   
 x  01  e x 10    1  e  1  e  (кв. ед.).
 3

3
3


1
0
0
2
1
x
31
IV. Фигура, заключённая между двумя криволинейными трапециями
(см. рис. 11).
y  f (x)
y
S1
y  g (x)
S2
a
x
b
Рис. 11. Фигура, заключённая между двумя криволинейными трапециями
Площадь фигуры, заключённой между двумя криволинейными трапецияb
b
a
a
ми, вычисляется по формуле S  S1  S 2   f ( x)dx   g ( x)dx .
Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2 и
y  x (см. рис. 12).
y
y x
1
y  x2
0
1
x
Рис. 12. Фигура, ограниченная линиями y  x 2 и y  x
1
S
0
1
2x x
xdx   x dx 
3
0
2
1
0
x3

3
1
0 
32
2 1 1
  (кв. ед.).
3 3 3
V. Криволинейная трапеция, стоящая на оси Oy , – фигура, ограниченная графиком функции x  g ( y) , осью Oy и прямыми y  a , y  b (см. рис. 13).
y
b
x  g ( y)
0
x
à
Рис. 13. Криволинейная трапеция, стоящая на оси Oy
Площадь криволинейной трапеции, стоящей на оси Oy , вычисляется по
b
формуле S   g ( y )dy .
a
7. Несобственные интегралы I рода
К несобственным интегралам I рода относятся интегралы от непрерывных функций с бесконечными пределами интегрирования: интегралы вида

b

f ( x)dx ,



 f ( x)dx .
f ( x)dx и

a
Несобственный интеграл от функции y  f (x) , определённой на промежутке a, ) и интегрируемой по любому отрезку a, b, вычисляется через
b
предел интеграла
 f ( x)dx
при b   :

b
a
a
a
lim  f ( x)dx .
 f ( x)dx  b 

b
Аналогично
вычисляется
несобственный
интеграл
 f ( x)dx :

b
b

a
lim  f ( x)dx .
 f ( x)dx  a 

Примеры: 1)

e
x
0

2)

1
b
e
b  
dx  lim
x
dx  lim e x
b  
0
b
0

b  
dx
dx
 1 b
 1 
dx  lim  2 dx  lim     lim    1  1;
2
b x
b
x  1 b b 
x
1
b
33

 lim e b  1   ;
x2
3)  3  lim  3  lim
a   a x
a    2
 x
1
 .
2
1
1
dx
dx
1
a
1 
 1 
 1
 lim   2  1a  lim    2  
a   2 x 
a   2 2a 

b
 f ( x)dx конечен, то несобственный интеграл  f ( x)dx
Если предел lim
b   a
a
называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогичные
b
определения справедливы для интеграла
 f ( x)dx . Таким образом, несобствен-

ный интеграл примера 1 расходящийся, а интегралы примеров 2, 3 – сходящиеся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами вычисляется
как сумма двух несобственных интегралов с одним бесконечным пределом ин

ñ
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , где
тегрирования:


с – это любое действитель-
ñ

ное число. Несобственный интеграл
 f ( x)dx
с двумя бесконечными предела-

ми сходится, если являются сходящимися оба несобственных интеграла



b

f ( x)dx и
f ( x)dx , и расходится, если хотя бы один из интегралов

a
 f ( x)dx
a
b
или
 f ( x)dx расходящийся.


Пример:
b

b  
 lim
1
01
x
2

1
 1  x
dx 
2

1
 1  x
dx 
2


0
1
1 x
0

a  
dx  lim
2
1
2
a1 x
dx 
dx  lim arctgx 0a  lim arctgx b0  lim arctg 0  arctga 
a  
 lim arctgb  arctg 0 
b  
0
b  

2


2
a  
  . Интеграл сходится.
34
Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЁТА
1. Основные периоды развития математики.
2. Аксиоматический метод.
3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
Свойства пределов. Ограниченные, бесконечно малые, бесконечно большие,
сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности.
4. Определение функции. Предел числовой функции. Основные теоремы
о пределах функций. Замечательные пределы.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Список основных эквивалентностей.
6. Правила вычисления пределов числовых последовательностей и функций.
7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
8. Определение производной функции в точке. Таблица производных.
9. Правила дифференцирования.
10. Правила Лопиталя.
11. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к плоской
кривой.
12. Производные высших порядков. Дифференциалы. Дифференцирование
функций, заданных неявно и параметрически.
13. Определение производной функции в точке. Таблица производных.
14. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши.
15. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение по формуле Маклорена
основных элементарных функций: y  e x , y  sin x , y  cos x , y  ln 1  x  ,
y  1  x m .
16. Нахождение асимптот графика функции.
17. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции. Точки
перегиба.
18. Схема исследования функции с помощью производной.
19. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
20. Функции двух переменных: определение, область определения, множество значений. Линии уровня функции от двух переменных.
21. Предел и непрерывность функции от двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
22. Экстремумы функции двух переменных.
23. Условный экстремум функции двух переменных.
24. Понятие неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
25. Правила интегрирования. Интегрирование методами разложения и замены переменной.
26. Метод интегрирования по частям.
35
27. Интегрирование дробно-рациональных функций: интегрирование простейших дробей.
28. Метод неопределенных коэффициентов (интегрирование сложных дробей с помощью простейших).
29. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
30. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
31. Несобственные интегралы первого рода.
32. Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости несобственных интегралов.
36
Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Вычислите предел (см. табл. 1).
2. Исследуйте функции (см. табл. 2) и постройте их графики.
3. Найдите частные производные первого порядка функции многих переменных (см. табл. 3).
4. Найдите экстремумы функции двух переменных (см. табл. 4).
5. Вычислите неопределённые интегралы (см. табл. 5).
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (см. табл. 6).
7. Вычислите несобственный интеграл (см. табл. 7).
Таблица 1
Вариант
Варианты задания 1 (вычислите предел)
Предел
Вариант
Предел
2n  350
n   2n  2 48 n  32
lim
lim
1
x   4 x  5 x 2
2
x 3  3x 2  2 x
lim
x2  x  6
6 
 1
lim 
 2

x  3 x  3 x  9 
x  2
 2
lim 1  
n
n  
lim
2
3n
x 2  3x  10
lim
5
4x 2
n
 2
lim 1  
n
n  
4
x 1
x 1 3
x 1
lim
x  
x x
2 
 1
lim 
 2

x  2 x  2 x  4 
ln x
lim
x 11  x 2
2
6
n2  3
 2x5  4x 4
sin 2 5 x
x 0
lim
x 2  3x  4
2

lim 1  
3n 
n  
x 7  5x 6  5x5
lim
4
 x 1
lim  n  n 2  2n 

n  
x
lim
x 0 1  2x 1
x   4 x 7
x 3  125
3 
 1
lim 


x 1 x  1 1  x 3 
x
lim 3x  ctg
2
x 0
n
3  5n
lim
n   4 n  5 n
x  1
 3x 3
x  2x  1
x 1 2 x 2
lim
x 5
3
3x  4 x 2  5 x 3
lim
x  3x 2  4 x 3
2x3  2x  5
lim  x 2  3x  x 

x  
x
tg
2
lim
x  0 tg 3 x
2 

lim 1  
x  
x3 
37
4 x 1
Таблица 1 (продолжение)
x2  2x  1
lim
7
 6x 2  5
lim ctg 5 x  x
x   3x 3
lim  x  x 2  6 x 

x  
3x
e 1
lim
x  0 ln(1  5 x)
 n 
lim 

n   n  3 
x 0
8
lim
lim
lim
4x 2
10
1

lim 1  
3n 
n  
x  3x 2  4 x 3
2x  2x  5
x2  2x 1
3
13
12
lim

2 5
n   3n
 5n
lim
x6  2x  3
x3  x
x 1 x 3
lim  x  x 2  2 x 

x  
3
lim ctg 5 x  x
n
2x3  3
lim
x2  2x
n
 2x5  x 4
lim  x 2  3  x 

x  
ln(1  7 x)
lim
x  0 arctgx
x  
x  4x  4

x 0
x8  4 x 6  x 5
lim
2
x2
2n2
x   4 x 8
x3  1
4n
 2
lim 1  
n
n  
1

2
 3x
x
lim 

2

x   1  x 2


lim
5 x 2  24 x  5
x5
x 5
12 
 1
lim 
 3

x  2 x  2 x  8 
x  arctgx
lim
x 0
2 x3
lim
x  1
11
2
x 0
lim  n  3n  n 

n  
4n  7n
lim
n   4 n  3 n
x  
n3  n3
lim 1  4 x 3 x
2
lim

5
n
 2x5  4x 4
sin 2 5 x
x 0
lim
n  
x 7  5x 6  5x5
x   4 x 7
9
lim
 x 1
x 1 2 x 2
9 x 4  3x  7
14
1
 x3
x 2 

lim

x   x 2  1 x  1 
lim 1  3 x 
x 0
1
2x
tgx  sin x
x  0 x  sin x
lim
38

Таблица 1 (продолжение)
3  2x 2  7 x3
lim
1
x   5  2 x 2
15
 4x3
12 
 1
lim 
 3

x  2 x  2 x  8 
x
sin
lim 24
x 0 x

3n  560
lim
n   3n  2 57 n  33
x2  x  2
lim
x  1
17
lim
lim  x 2  3  x 

x  
ln(1  7 x)
lim
x  0 arctgx
18
n
2 x 5  5 x  12
lim
x  
lim

x3 1
20
1
2 2x

1  cos 2 x
x  0 x  sin x
lim
x2  x  6
6 
 1
lim 
 2

x  3 x  3 x  9 
3n
 2
lim 1  
n
n  
sin 4 x
lim
x0 x  1 1
1
21
x 3  3x 2  2 x
x  2
x2  x
lim 1  3x
x 0
x
lim  x 2  x  1  x 2  x 

x  

1  3x 2  1
lim
x 0
x3
x  2arctgx
lim
x 0
x3
lim
5x 5  4 x 2  3
x 1
3x  1
x   7 x  3
x3  1
 6
lim 1  
n
n  
19
16
 xx
lim 1  
2
x  0
x 1
lim 2
x 1 x  1
 x3

lim 
 x

x   x  2

ln 1  2 x 
lim
x  0 tgx 2
 xx
lim 1  
2
x  0
x 2
lim 2
x  4 x  16
 x3

lim  2
 x

x   x  1

8 x 5  3x 3  2
lim
x   4 x 5  2 x 3  3
lim
x 2  3x  10
x 2  25
3 
 1
lim 


x 1 x  1 1  x 3 
x 5
22
39
n
 n 
lim 

n   n  2 
sin 3 x
lim
x 0 3  2 x  9
Таблица 1 (окончание)
lim
3x  1
 x
x2  1
x   x 2
lim
23
x   4 x  5 x 2
lim
 x 1
2 
 1
lim 
 2

x  2 x  2 x  4 
x 1 2 x 2
2

lim 1  
3n 
n  
lim
lim  n 2  7n  n 

n  
27
29
lim
26
5x 4  4
x 3  27
 1
2 

lim 

x1 x 2  1 x 3  1 
sin 2 5 x
lim
x 0 4 x 2
x  3
lim
x 8  3x 4  x
x 2  25
3n  4n 2  5n 3
n   4n  5n 2
2
lim
 125
5 
 1
lim 


x 1 x  1 1  x 3 
3n  6 n
lim n
n   4  5 n
x 2  3x 4  5 x 6
lim
x   4 x  5 x 2  6 x 6
2 
 1
lim 
 3

x  2 x  2 x  8 
x
tg
2
lim
x  0 tg 3 x
x 5 x 3
2

lim 1  
3n 
n  
 2x5  4x 4
x 2  2x  3
x   4 x 7
2 

lim 1  4 
n  
n 
1

3
 x

lim 
 3x 
2
x   1  2 x



lim
x 7  5x 6  5x5
lim
2
3n
x  
x2
x 0
x 4
2 
 1
lim 
 3

x 3 x  3 x  27 
lim
ln x
1  cos 4 x
lim
3n
 6x6
x 11  x 3
24
x 3  3x 2  2 x
x  2
25
x 2  3x 4  5 x 6
lim
28
 3n 3
x  2x  1
x 1 2 x 2
 x 1
lim  x  x 2  2 x 

x  

lim 1  3 x
x 0
1
x

7n
30
3n
40
1 

lim 1  2 
n  
3n 
lim  x 2  3x  x 

x  
2
x  3x  2
lim
x  1 x 2  x
e3x  1
lim
x  0 ln 1  5 x 
Таблица 2
Варианты задания 2 (исследуйте функции и постройте их графики)
Вариант
Функции
Вариант
Функции
y  x 3e x
3
y  x  3x
1
2
x2
3 2
y
y  x 1
x2
3
y  x  arctg 2 x
y  12 x  x
x6
3
4
x
.
y
y 2
2
4
x
x 4
x3
y  x3  e x
y
 x2
3
5
6
x 2
x
y 

2 x
y  xe 2
7
x4
y
 2x2
4
y  x  arctgx
y
9

x
x 1
2
13
15
10

3
y  3 1  x3
6 x
x2
y  12 x  x 3
y  x 3  3x
y  x2  1
11
8
y  1  x   e x
1
y  2x  2
x
3  2x
y
x  22
y
12
x3
y
 x2
3
2
y  x 2  ex
1
y
1  x2
y  3 1  ln x
y  e 2 x x
2
14
y  x 3  3 x 2  12 x
x
y  ln
x 1
16
x 1
x  2x
y  x  arctgx
y
2
x
17
x4
y
 2x2
4
y  x  ln x
18
19
y  12 x  x 3
1  ln x
y
x
20
41
y  xe 2
x3
y
1  x2
ex
y
x
x3
y
1  x2
Таблица 2 (окончание)
21
23
1
x2
y  x  ln 2 x
y  x2 
22
y  x 4  8x 2  9
y  x 2 ln 2 x
27
29
x
x
y  x3  6x 2  x
24
26
x4
e x4
y  1  x2
28
3  x2
y
x
y  ln x  x
30
ln x
x
y  x  1  x 3
y
y
3  x2
y
x2
5
x
y
 x 4  x3
5
e x 3
y
x3
y  x  arctgx
y
1
1  ln x
x2
y  33 x  x
y  1  3 ( x  1) 2
25
y  x2  e
2
x 1
2
y
Таблица 3
Варианты задания 3 (найдите частные производные
первого порядка функции многих переменных)
Вариант
Функция
Вариант
Функция
x2
2
u
1
2
u  y zx
y  2z
x
u 2
3
4
u  xe yz
y  2z
5
u  x 2 sin y  z
7
u  ln x 2  y  2 z
9

u

x  y2
2z
6
u  y 2 xe z
8
u  z sin x cos y
10
11
u  xye
13
u  x  z  tg y
14
15
u  x yz
16
17
2x 2  y
u
xz
18
z
12
42
u
x y
ln  z  x 
x2  z
u
y2
2
u  ze x y
x
u
sin yz
u  xy z
Таблица 3(окончание)
u  yze
19
x2
x2  2 y
z2
u  zye x
u
20
21
u  xy cos z
22
23
u  x ln  y  z 
24
u  x  y  ctg z
25
y2
u
xz
26
u  xy ln  y  z 
27
u  x ze
29
u  x  arctgxy
2
y
x2 y
y2  z
28
u
30
u  ye x  z
Таблица 4
Вариант
Функция
Вариант
Варианты задания 4 (найдите экстремумы функции двух переменных)
1
z  2 x 3  6 xy 2  30 x  24 y
2
ze
4
z  e 2 x x  y 2
Функция

x
2
z  sin x  cos y  cos(x  y)
3
0 x

2
,
0 y

x 2  y 2 
2


2
x 2  y 
z  e  2 y x 2  y 

y
2
5
z  6 x 2 y  2 y 3  24 x  30 y
6
7
z  x 3  8 y 3  6 xy  1
8
9
z  x 3  xy 2  3x 2  y 2  1
10
1
z   x 2  8xy  y 3  13 x  12 y
2
12
z  2 y x  y 2  3x  8 y
14
z  x 2  4x y  2x  5 y
11
13
15
17
1
z  x2 y  y3  2x2  3y 2  1
3
3
z  x  6 xy  3 y 2  18 x  18 y
z  x2 y  y3  x2  3y2  3
z  3x 2  6 xy  y 3  12 x  12 y
16
ze
2
ze

x
4
5x 2  y 2 
18
z  2 x 2  3xy  2 y 3  5 x
19
z  2 x 3  xy 2  5 x 2  y 2
20
z  x 3  5 xy  5 y 2  7 x  15 y
21
z  x2 y  2 y3  x2  5 y 2
22
z  2 x 2  5xy  2 y 3  3x  4 y
23
z  2 x 3  y 2  6 xy  12 x
24
z  3x 2  10 xy  6 y 3  2 x  2 y  1
43
Таблица 4 (окончание)
25
z  8 x 3  y 3  12 xy  1
26
27
z  2 x 3  12 x 2 y  16 y 3  9 x 2
28
7 2
y  60 x  2
2
z  3x 2  2 y x  0,5 y 2  56 x
29
z  8 x 3  6 xy 2  y 3  9 y 2
30
z  2 x 3  3x y  6 y 3  18 x  1,5 y
z  3x 3  7 xy 
Таблица 5
Варианты задания 5 (вычислите неопределённые интегралы)
Вариант
Интегралы
Вариант
Интегралы
2
 2
2
2
  2 x  4 x  dx
x

1
x

dx

x3
5
1
2
x

3
 7 x  5dx
 7   2  dx
3

x 2 sin 5 xdx

 xsin xdx
2
x5  x  1
 x  x3 
dx
 2
 dx
 
x

1
x 
3

3
4
 cos x sin xdx
4
 3 x  4  dx
ln x
dx

2
 7 x sin 3 xdx
x
 1
1 
2




 x  2 dx
 x 4 3 dx
x 

4
5
6
dx

arctg 2 x
6
dx
3  2 x 

1  x2
 x cos 2 xdx
2 2 x
 x e dx



x

1  sin x
dx
sin 2 x
3 x
 e dx
2 x
  x  1 e dx
3

7
9

8
 xe
3 2 1 
  x  dx
x

dx

3  8x
3x
 xe dx

2
9
dx
x4
dx
 2
sin 6 x  1
2
4x
dx
x
10
ex 

dx
 e 3 
x

2x
3x
 e  e dx


2
 ln xdx
44
Таблица 5 (продолжение)
12
 3
5 
dx

 
2
2 
1

x
1

x


x

 e 3 x  e 2 dx
 



 2 x  4sin 5 xdx
14
ex 
x
 dx
 e 1 
2 
cos
x


 tg 2 x  1dx
 x ln  x  1dx
2
11
 33 x  2 x 5 
  4 x  dx


2x
 sin dx
3
2 x
  x  4e dx
13
sin x  cos x
dx

3
 sin 4 x  1dx
  x  4 sin 2 xdx
15
1  x 2  3x 3
dx

x
dx

cos2 4 x
  x  3cos 4 xdx
17
2
16
1  5 cos3 x
dx

cos2 x
 ctg 5 x  2 dx
 4 x  4 x3  4 x5
 
x

 ctg 3 xdx
2 x
 3x  1e dx
3  2tg 2 x
dx

sin 2 x
18
2
3
 5 x  2 dx
  x  3sin xdx
x
 xe dx
2
19
1 
3 2
 dx
 x 
x

dx

3x  1
3x
 2 x  4 e dx
20
21

3
3x  5  dx
4
22
x
 x sin 2 dx
 5
23
3
1 2
   2  3 dx
x 
x x
dx

2
cos 2  9 x 
x
2
 x sin dx
2
3 2
 5 x  2 x  3 dx
x
3  tg 2
3 dx

x
sin 2
3
  x  2 cos xdx

x3  2
dx

x

2 x  34 x 2 dx
 3  5 x dx
x
 2 dx
sin 5 x
24

 x 1 2
  2  3 x  dx


cos x
 sin xdx
e
2
 x ln 1  x dx
45

dx


Таблица 5 (окончание)

25


x  3 x dx
3
x
2
 e  x dx
 x cos 3x  1dx
27
34 x  24 x 3
dx

3
x
sin x
dx

cos5 x
2
 ln xdx
29
3x 4  3x 2  1
dx

x2  1
cos x
dx

x
5x
 xe dx
26
4  tg 2 x
dx

sin 2 x
5  sin 3 4 x  1
dx

sin 2 4 x  1
2
 ln 1  x dx


x3  x
dx

4
x
dx
dx

x1  ln x 
2x
  x  5e dx
4
28
30
2  cos3 x
dx

cos2 x
3
5
 5 x  1 dx
2
 x sin 2  5 x dx
Таблица 6
Варианты задания 6 (найдите площадь фигуры, ограниченной линиями)
Вариант
Линии
Вариант
Линии
y   x 2  3x ,
2
1
2
y  x  4, y  0
y  x 2  3x
3
x   y2  3, x  0
5
xy  4 , x  1 , x  4 ,
y0
7
9
y  x 2  2 , x  1,
x  2, y  0
y  sin x , x  0 , x   ,
y0
4
y  x2  2x , y  0
6
y  x2  2 , y  4  x ,
y4 x
8
y 2  x3 , y  8 , x  0
10
y  2  x2 , y3  x2
11
x  5  y2 , x  0
12
y  x  1, y  x 2  2x  1
13
y 2  2 x  1,
x  y 1 0, x  0
14
y  x 2  3 , y  2 x
16
1
x2
y
, y
24
2  x2
y  cos x , y  0 , x 
15
x


2
,
2
46
Таблица 6 (окончание)
19
x2
1
y

,
2
1  x2
y 2  4x , x2  4 y
21
y  1  x2 , y  0
22
y  4  x2 , y  x  2
23
y  e x , y  e  x , x  2
24
y 2  x3 , x  3 , y  0
25
y  x 2 , y  x5
26
27
y  x2 , y   x
28
y
17
y  x  1,
29
18
y 2  3x , x 2  3 y
20
y  e x , y  e x , x  2
y  x 1, x  0, x  3,
y0
xy  6 , y  x  1 , x  6 ,
y0
xy  7 , y  8  x
30
y  x2  2x  1
Таблица 7 Варианты задания 7
Варианты задания 7 (вычислите несобственный интеграл)
Вариант
Интеграл
Вариант
Интеграл


1
x
1


3
5

arctgx

7
2
dx

0

dx
5
11

0
x
5

13
4

15


5
dx
x  25
e
12
5x
dx
0

14
2
2  2 x3
x e
4
14
dx
x
dx

6


10
0
x4
2
xe  x dx
0

3x
 xe dx


8
dx
x ln 2 x
e

9

6
x 6  6
0

4
dx
2
x5
dx
x
2 2
x e dx


ex
x
1
1  e x 
0
 xe
2
2
1 x
0


dx

0
e3x
3  e 
3x 3

dx
16
1

2
47
dx
dx
4x  1
Таблица 7 (окончание)

17

arctg 2 x
1  x2
0

19

1


0
1

20
2x  3

21
22
3  e2 x 
dx
3
24
4 x



0

29

0
1  x2
arctgx
1 x
2
 4x  4
4 x 1


dx
28
dx
30

0 4x

48
dx
dx
2
 4x  1
 3x  2
0
dx
3x  53
e
26

2
dx
1
ln xdx
 x
2
arctg 3 x
2
10
e

27
5
3
dx


25
x
x2

x
e2x

0
dx
3
dx
x ln x

18
4

23
dx
dx
3
15

6
dx
ЛИТЕРАТУРА
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 472 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник /
В.И. Ермаков, Г.И. Бобрик, И.М. Гладких, Р.К. Гринцевичюс, В.И. Матвеев,
Б.М. Рудык, Р.В. Сагитов, В.Г. Шершнев; под общ. ред. В.И. Ермакова. – М.:
ИНФРА-М, 2010. – 656 с.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / В.И. Ермаков,
Г.И. Бобрик,
Р.К. Гринцевичюс,
В.И. Матвеев,
В.А. Петров, Б.М. Рудык, Р.В. Сагитов, О.К. Смагина, В.Г. Шершнев; под ред.
В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2009. – 575 с.
4. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2004. – 304 с.
49
Екатерина Александровна Голубева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть I
Учебно-методическое пособие
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
50