Исследование функций - Пермский государственный

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Исследование функций и построение
графиков
Индивидуальные задания
Пособие разработано ст. преп. Роговой Н. В.
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
План исследования функции
1. Найти область определения функции.
Определение. Областью определения функции y  f (x) называется совокупность всех
значений независимой переменной x , для которых функция y  f (x) определена.
2. Определить является функция четной, нечетной или общего вида.
Определение. Функция y  f (x) , определенная на множестве D , называется четной, если
x  D выполняется условие (  x )  D и f ( x)  f ( x) , называется нечетной, если x  D
выполняется условие (  x )  D и f ( x)   f ( x) .
График четной функции симметричен относительно оси Oy , график нечетной – относительно начала координат.
Если функция y  f (x) является четной или нечетной, то исследование можно провести
только для x  0 и при построении графика воспользоваться его симметричностью.
3. Определить является ли функция периодической.
Определение. Функция y  f (x) , определенная на множестве D , называется периодической на этом множестве, если существует такое число T  0 , что для x  D, ( x  T )  D и
f ( x  T )  f ( x) . При этом число T называется периодом функции.
Наименьшее положительное число T , удовлетворяющее равенству f ( x  T )  f ( x) , является основным периодом функции.
Если функция периодическая, то исследование проводится на любом интервале, длина
которого совпадает с основным периодом функции.
4. Определить координаты точек пересечения графика с осями координат, определить интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти наклонные (в т.ч. горизонтальные) асимптоты и вертикальные асимптоты графика функции.
Прямая x  a является вертикальной асимптотой графика функции y  f (x) , если
lim f ( x)   или lim f ( x)   , где a - точка разрыва или граничная точка области
x a 0
xa 0
определения функций.
Прямая y  b является горизонтальной асимптотой графика функции y  f (x) ,
если существует предел lim f ( x)  b .
x  
2
Прямая y  kx  b является наклонной асимптотой графика функции y  f (x) , есf ( x)
 k и lim  f ( x)  kx  b .
ли существуют пределы lim
x  
x  
x
При нахождении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания (убывания) функции.
Определение. Функция y  f (x) называется возрастающей (убывающей), если большему
значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной y ' .
Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция y  f (x) дифференцируема на интервале (a; b) и f ' ( x)  0  f ' ( x)  0 для x  (a; b) , то эта функция возрастает (убывает) на (a; b) .
Определение. Точка x 0 называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая -окрестность точки x 0 , что для всех x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) , ( f ( x)  f ( x0 ) ).
Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Функция y  f (x)
может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения
функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточные условия экстремума
I Если непрерывная функция y  f (x) дифференцируема в некоторой  - окрестности
точки x 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f ' ( x ) меняет знак с плюса на
минус, то x 0 есть точка максимума, с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.
II Если в точке x 0 первая производная функции f (x ) равна нулю ( f ' ( x)  0) , а вторая
производная существует и отлична от нуля ( f ' ' ( x)  0) , то в точке x 0 функция имеет экстремум. Если f ' ' ( x)  0 - максимум, если f ' ' ( x)  0 - минимум.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.
Определение. График дифференцируемой функции y  f (x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a; b) , если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом
интервале.
Теорема. Если функция y  f (x) во всех точках интервала (a; b) имеет отрицательную
вторую производную f ' ' ( x)  0 , то график функции в этом интервале выпуклый. Если же
f ' ' ( x)  0 x  (a; b) - график вогнутый.
3
Точка графика непрерывной функции y  f (x) , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.
Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная
f ' ' ( x) при переходе через точку x 0 , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак,
то точка графика с абсциссой x 0 есть точка перегиба.
Результаты проведенного исследования функции рекомендуется свести в таблицу, в первой строке которой указываются все значения x , выделенные в результате исследования, как
самой функции f (x ) , так и ее производных f ' ( x ) и f ' ' ( x) , а также интервалы, на которые
данными точками разбивается область определения. Во второй строке указываются значения
функции на каждом из выделенных интервалов. В третьей строке выделяются критические
точки функции и указывается знак первой производной на каждом интервале. В четвертой
строке – знак второй производной на каждом интервале. В последней строке по знакам f ' ( x )
определяется характер монотонности функции, по знакам f ' ' ( x) выпуклость (вогнутость) графика функции, а также определяется характер выделенных точек (точки максимума, точки
минимума, точки перегиба).
Построение графика функции рекомендуется начать с обозначения на координатной
плоскости точек, выделенных в таблице и построения асимптот (если они есть). Для более
точного построения можно вычислить значения функции в дополнительных точках.
4
Приведем примеры полного исследования функции:
Пример 1: y  3 x 3  3x
1. Область определения:
D ( x) : (;)
2. f ( x)  3 ( x) 3  3( x)  3 x 3  3x   f ( x)
функция нечетная.

3. Функция не является периодической.
4. y  0  3 x 3  3x  0
 x1  0, x2  3, x3   3 -нули функции.
–
–
+
 3
+
0
(знаки y)
3
5. Функция непрерывна на всей области определения, поэтому вертикальных асимптот нет.
k  lim
x 
3
f ( x)
x 3  3x
 lim
1
x 
x
x
b  lim  f ( x)  kx  lim
x  
3
x  
x 3  3x  x 
x 3  3x  x 3
 lim
0
( x 3  3x) 2  x3 x 3  3x  x 2
Прямая y  x является наклонной асимптотой графика функции.
x   3
6. Найдем первую производную:
2

1
f ' ( x)  x 3  3 x 3  3x 2  3 
3

 
x2 1

3
x
3
 3x 
2
f ' ( x)  0 при x1  1, x2  1
f ' ( x ) не существуют при x3  0 , x 4   3 , x5  3
+
–
+
 3
–
–1
0
+
1
+
3 (знаки y′)
Используя достаточные условия экстремума, получаем, что x  1 - точка минимума,
x  1 -точка максимума.
7. Найдем вторую производную:
2( x 2  1)
f ' ' ( x)  
5
( x 3  3 x) 3
f ' ' ( x)  0
x  D ( f )
f ' ' ( x) не существует при x1  0, x2  3, x3   3
–
+
 3
–
+
0
3
(знаки y′′)
5
В точках x  3 , x   3 , x  0 - перегиб графика.
Составим таблицу:
x
y
y'
y' '
 ; 3 
+
+


3 ; 1
0
(0;1)
1
y
0
+

-3 2
min
-1
+
+
-
3

перегиб
x
y'
y' '

 3
0
(-1;0)
+
-
2

max
Продолжение таблицы
1; 3
3;
3
0
+
+
+
+
 перегиб





Строим график функции (рис.1).
y
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Рис.1
x2
y 2
Пример 2:
x 4
1. Область определения:
x2  4  0
x1  2, x2  2  D( f ) :  ;2   2;2  2;
( x) 2
x2

 f ( x)
( x) 2  4 x 2  4
 функция четная. Дальнейшее исследование проведем для x  0 .
3. Функция не является периодической.
2. f ( x) 
4. y  0 при x  0
–
0
+
2
(знаки y)
6
5. Поскольку x  2 и x  2 - точки разрыва
x2
x2
и lim 2
  , lim 2
 
x 2  0 x  4
x 2 0 x  4
x2
x2
,


lim
  ,
x 2  0 x 2  4
x 2  0 x 2  4
то x  2 и x  2 - вертикальные асимптоты.
f ( x)
x2  4
k  lim
 lim 2
 0,
x 
x  x  x
x
x2  4
b  lim  f ( x)  kx  lim
 1,
x 
x 
x2
 y  1 - горизонтальная асимптота.
lim
6. Найдем первую производную:
 8x
f ' ( x)  2
( x  4) 2
f ' ( x)  0 при x  0
f ' ( x) не существует при x1  2, x2  2 .
–
+
–
0
2
x  0 - точка максимума.
(знаки y′)
7. Найдем вторую производную:
8(3x 2  4)
f ' ' ( x)  2
( x  4)3
f ' ' ( x)  0 при x  D( f )
f ' ' ( x ) не существует при x1  2, x2  2
–
–
+
0
2
(знаки y′′)
Т.к. при x  2 функция f (x ) не определена, то точек перегиба нет.
Составим таблицу:
x
y
y'
y' '
0
0
max
(0;2)

(2;)
+
+

2
Не существует
Вертикальная
асимптота
Строим график функции для x  0; , затем на интервале  ;0 строим линию, симметричную относительно оси Oy (рис.2).
7
y
10
8
6
4
2
x
0
-3
-5
1
-1 -2
3
5
-4
-6
-8
-10
Рис.2
sin x


sin  x  
4

1. Область определения:
Пример 3:
y


Функция определена для всех x , для которых sin  x    0 ,
4


т.е. x    n, n  Z .
4
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.
sin x  T 
sin x

при T  




sin  x  T   sin  x  
4
4


 - основной период, основной промежуток 0;  .
f x  T  
4. y  0 при sin x  0,  x  n, n  Z .
Промежутку 0;  принадлежат точки x1  0, x2   .
+
–
 (знаки y)
3
4
3
5. В промежутке 0;  одна точка разрыва x 
, в остальных точках функция непрерыв4
на.
sin x
sin x
lim
  , lim
  .
3
3





x 0
x 0
sin  x  
4
4
sin  x  
4
4


3
Прямая x 
- вертикальная асимптота.
4
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
0
8
6. Найдем первую производную:
2
f ' ( x) 


sin 2  x  
4

f ' ( x)  0 при x  D( f ) ,
f ' ( x) не существует при x 
+
3
.
4
+
 (знаки y′)
3
4
Cледовательно, точек экстремума нет.
0
7. Найдем вторую производную:


 2 cos x  
4

f ' ' ( x) 


sin 3  x  
4



f ' ' ( x)  0 , если cos x    0 ,
4


т.е. x   n, n  Z
4
Из этого множества промежутку 0;  принадлежит точка x 
f ' ' ( x ) не существует при x 
–
0

4
+
3
4
–
3
.
4


.
4
(знаки y′′)
Составим таблицу:
x
y
y'
y' '
0
 
 0; 
 4
0
+

4
2
2
  3 
 ; 
4 4 
3
4
 
+
 3 
 ;  
 4

-
+
+
+
-
+
-


перегиб
9
вертикальная
асимптота
0

Строим график функции на промежутке 0;  , затем используем ее периодичность
(рис.3).
y
20
15
10
5
x
0
-4
-2
-5
0
2
4
6
-10
-15
-20
Рис.3
Пример 4: Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  5 x  x 5 на отрезке 0;3 .
1. Найдем критические точки на 0;3
y'  5  5x 4
y '  0 при 5  5 x 4  0
x1  1, x2  1
x  1 не принадлежит 0;3 
2. Вычислим значения функции в критической точке x  1 и на концах отрезка
x  0, x  3 .
y (1)  4
y (0)  0
y (3)  238
3. Среди полученных значений функции выберем наибольшее и наименьшее:
y наибольшее  4
y наим еньшее  238
10
Пример 5: Требуется разместить на земле участок площадью 1800 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке 4, где
FG = EF = 10 м, BC = 15 м и CD ≥ 40 м. Найти наименьшее значение периметра такого участка.
L
E
D
K
G
H
F
N
M
C
B
A
Рис. 4
1. Площадь участка ABCDEFGH равна S = 1800, а его периметр равен периметру P прямоугольника KLHA.
Обозначим KL = x, LH = y и CD = z.
Тогда P  2( x  y ) , z ≥ 40 и xy  S  EF  FG  BC  z  1800  10  10  15  40   2500 .
2500
2500 

Поэтому y 
и P  2 x 
.
x
x 

2500
2. Исследуем функцию f ( x)  x 
, x  0 с помощью производной:
x
2500 x 2  50 2

f ( x)  1  2 
;
x
x2
f ( x)  0 при x  50 ,
f ( x)  0 при 0  x  50 ,
f ( x)  0 при x  50
 x0  50 - точка минимума функции f (x ) .
Поэтому наименьшее значение функция принимает в точке x0  50 :
f наим.  f (50)  100 .
Следовательно, P  2 f наим.  200
3. Если участок ABCDEFGH таков, что x  50 и z  40 , то xy  2500 , y  50 и для такого участка выполнено равенство P  200 .
Таким образом, Pнаим.  200 .
11
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x
3
x2 1
y  ex
б)
2 x
в)
1
y  sin x  sin 3 x
3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.
2
3
, x   1;2
1 x2
Решить задачу:
На странице книги напечатанный текст (вместе с промежутками) должен занимать 216 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, а правое и левое по 2
см. Каковы должны быть размеры страницы, для того чтобы ее площадь была
наименьшей?
Вариант 2
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y  x  1
2
3
б)
y  1 x  e

2
x
в)
y  ln cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  x 2 3  x  , x  0;1
2
3.
Решить задачу:
Пренебрегая сопротивлением воздуха, в первом приближении можно считать,
что движение вертикально запущенной метеорологической ракеты происходит
gt 2
по закону h  v0 t 
, где v0 - начальная скорость, g  9,81 м 2 . Определите,
с
2
какую надо придать ракете начальную скорость v0 , для того чтобы она поднялась на высоту 200 м.
12
Вариант 3
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y   x  3 x
б)
y  xe
1
x
в)
1
y  cos x  cos 2 x
2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  3  2 x , x   1;1
3.
Решить задачу:
В точках A и B находятся источники света, силы соответственно F1 и F2. На отрезке AB равном a найти наименее освещенную точку M (освещенность точки
mF
обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от источника света: E  2 ,
r
m  const ).
Вариант 4
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y   x  1 x  2 
2
б)
1
y  xex
2
в)
y  cos x  ln cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  x 4  2 x 3  x 2  1, x   2;1
3.
Решить задачу:
Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого желоба так,
чтобы поперечное сечение желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол, опирающийся на этот сегмент, для того чтобы вместимость желоба была наибольшей?
13
Вариант 5
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x x  1
x2  1
y
б)
x
ex
y
1
sin x  cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

y  sin x 2 , x    ;0
3.
в)

Решить задачу:
Через точку А(3; 5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом
так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат, была
наименьшей.
Вариант 6
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y   x  5 x
3
2
б)
в)
y  sin 4 x  cos 4 x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.
ln 2 x
y
x
5
1 x2
, x   2;1
Решить задачу:
Сосуд, состоящий из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой, должен
вмещать 18 литров воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.
14
Вариант 7
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y  x  2
2
3
 x  2
2
3
б)
1
y  x  e x2
в)
y  arcsin
2x
1 x2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  64  x 2 , x   5;1
3.
Решить задачу:
Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
Вариант 8
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
x 2  2x  1
y
x2 1
б)
2
3
y  x  e x
в)
y  sin x  sin 3x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
  
y  cos x  x, x   ; 
 2 2
3.
Решить задачу:
При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
15
Вариант 9
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x
2
x 1
y
б)
в)
y  sin x  cos 2 x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.
ex
1 x
x2
, x  0;5
x2
Решить задачу:
Найти радиус основания и высоту цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который можно вписать в шар радиуса R.
Вариант 10
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
2x  1
x  12
б)
ex
y
1 x
y  7  2 cos xsin x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:

y  2 cos x 2 , x  0; 
3.
в)

Решить задачу:
Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
16
Вариант 11
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x4
1  x 
3
y  x ln 2 x
б)
y
sin x
2  cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.
в)
x2
, x  3;5
2 x
Решить задачу:
Каковы должны быть коэффициенты p и q трехчлена x 2  px  q , чтобы этот
трехчлен при x  2 имел минимум, равный 1?
Вариант 12
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x
1  x 
2 2
б)
1 x
x5
в)
y  arccos
1 x
1  2x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.
y  ln
1 3
x  x 2  x, x   2;4
3
Решить задачу:
Лампа висит над центром круглого стола радиусом r. При какой высоте лампы
над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая?
(Освещенность прямо пропорциональна квадрату расстояния от источника
m cos 
где m1  const ).
E 1 2
r
17
Вариант 13
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y  x3 
x4
4
б)
y  xe

x2
2
в)
y
cos 2 x
cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
  
y  arctgx  x, x   ; 
 3 4
3.
Решить задачу:
Через точку А(2; 1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом
так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, была
наименьшей.
Вариант 14
1.
2.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:


1
sin  x  
 2
2
3
а)
б)
в)
4
y x x

y  xe x
y
sin x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
  
y  cos 2 x  x, x   ; 
 2 2
3.
Решить задачу:
Проволокой длиной 20 м требуется огородить клумбу, которая должна иметь
форму кругового сектора. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь
клумбы была наибольшей?
18
Вариант 15
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
3x  2
x 1
2
б)
y
1
ln x  1
в)
y  x  arctgx
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  3 x 3  2 x , x  0;5
3.
Решить задачу:
Требуется установить палатку данного объема V, имеющего форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания, при
котором на палатку уйдет наименьшее колличество материала.
Вариант 16
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x  15
 x  2 4
б)
y  ln x
2
в)
1 x2
y  arccos
1 x2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  e x x  2, x  0;2
3.
Решить задачу:
Энергия, затрачиваемая на движение теплохола, пропорциональна кубу его скорости, развиваемой двигателем в стоячей воде. Найти наиболее экономичную
скорость движения теплоходаесли требуется пройти определенное расстояние l
против течения, скорость которого составляет 6 км/ч.
19
Вариант 17
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x3
4x  2 
2
б)
ye
1
x2
в)
y  arccos
1
x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.

x2
, x 1;1
2  x2
Решить задачу:
Требуется изготовить из жести ведро данного объема цилиндрической формы
без крышки. Найти высоту цилиндра и радиус его основания, при котором на
ведро уйдет наименьшее колличество материала.
Вариант 18
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x
3
x 1
б)
1
x
ye x
в)
y  e cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
1 
y  x 2  ln x, x   ;5
3 
3.
Решить задачу:
Дождевая капля, начальная масса которой равна m0 , падает под действием силы
тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени
(коэффициент пропорциональности равен k). Найти, через сколько секунд после
начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей. При решении
задачи сопротивлением воздуха пренебречь.
20
Вариант 19
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x3  2x 2
x  1
2
y  x2  ex
б)
в)
1
y  cos x  sin 2 x
2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
 1 
y  arccos x  x, x   ;0
 2 
3.
Решить задачу:
Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в
эллипс с осями 2a и 2b.
Вариант 20
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x8
x  4 x  16
2
y  ln( x 3  3x 2  4)
б)
1
y  sin x  sin 2 x
2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.
в)
1
 1 
 x 3 , x   4 ;2
x
 5 
Решить задачу:
Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала сопротивление на изгиб? (Сопротивление балки на изгиб пропорционально
произведению ширины ее поперечного сечения на квадрат ее высоты: Q  kxy2 ,
k  const ).
21
Вариант 21
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x2 1
x2 1
б)
y  x2  ex
2
в)
y  cos 3x  3 cos x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  sin 2 x, x  0;  
3.
Решить задачу:
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна
равен 300 см. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать
наибольшее колличество света?
Вариант 22
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y4
x  12
x3
б)
e x 1
y
x2
в)
y  sin x  ln sin x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  x 2  3x , x   2;0
3.
Решить задачу:
x2 y2

 1 следует провести касательную, чтобы
8 18
площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была
наименьшей?
Через какую точку эллипса
22
Вариант 23
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x 1
x2  2
б)


y  1  x2  ex
в)
y  ln sin x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  e x  x  3, x  2;4
2
3.
Решить задачу:
Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его
стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшиv?
Вариант 24
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x3
x2
б)
y  x  2  e 2 x
в)
y
sin 2 x
sin x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
1

y  2  arcsin x 2 , x   1; 
2

3.
Решить задачу:
Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его
стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
23
Вариант 25
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
x3
x 2  2x  3
б)
y  xe
1
x
в)
y  sin 4 x  cos 4 x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y
3.

x
, x  3;5
4  x2
Решить задачу:
Из круга вырезан сектор с центральным углом  . Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла  объем полученного конуса будет
наибольшим?
Вариант 26
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y  x
1
x2
б)
y  8x 2  e  x
в)
y  x  arctg 2 x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  ln x 2 
3.
2
2
1 
, x   ;2 
x
2 
Решить задачу:
Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см, причем, стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры
всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
24
Вариант 27
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
y
5 x
9  x2
б)
y  x     e x ,   0
в)
y  x  sin 2 x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  x 3  x 2  2, x   2;2
3.
Решить задачу:
Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дно и бока были бы по 10 см и бока были бы одинаково наклонены ко дну.
Какова должна быть ширина желоба наверху?
Вариант 28
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
x3
y
1 x2
б)
y  x 2  ln x
в)
y
1
x  arctgx
2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y  e x  1, x   1;1
3.
Решить задачу:
Требуется построить котел, состоящий из цилиндра, завершенного полусферами,
со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме V он имел
наименьшую наружную поверхность.
25
Вариант 29
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
3

2  x
y
2  x 2
y  x 4  ln
б)
в)
y  x  arctgx
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
y3
3.
1
x
1 3 1 2
x  x , x   1;2
3
2
Решить задачу:
На параболе y 2  2 x найти точку, ближайшую к точке (3;0).
Вариант 30
1.
Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
а)
2.
x3  2x 2  7x  3
y
2x 2
б)
y
x
2
ln x
в)
 1
y  arctg 1  
x

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном отрезке:
1
 1 1
y  x 2  arctgx 2 , x   ; 
2
 2 2
3.
Решить задачу:
Найти высоту и радиус цилиндра наибольшего объема, выточенного из шара радиуса R.
26