Дипломная работа учителя математики Палёновой С.А
advertisement
Министерство образования и науки РФ ГОУВНО «Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет» Институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования Математический факультет Палёнова Светлана Аркадьевна Тема: «Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах» ( Выпускная квалификационная работа слушателя курсов профессиональной переподготовки по специальности «Математика») Научный руководитель: Садыкова Елена Рашидовна Казань 2011 3 Содержание Введение …………………………………..…………………………….…4 Глава 1. Основы методики изучения математических понятий…9 1.1. Понятия их содержание и объем, классификация понятий............9 1.2. Способы определения понятий…………………………………….14 1.3. Введение понятий в курсе математики……………………………17 Глава 2. Психолого – педагогические особенности обучения математике в 5 – 6 классах…………………………………………...21 2.1. Особенности познавательной деятельности учеников.................21 2.2. Психологические аспекты формирования понятий……………..23 2.3. Педагогические особенности обучения математике в 5 – 6 классах……………………………………………………………………..28 Глава 3. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики…………41 3.1 Содержание и ход эксперимента…………………………………….41 3.2 Анализ полученных результатов…………………………………….49 Заключение ………………………………………………………………51 Список используемой литературы…………………………………..52 Приложение………………………………………………………………54 4 Введение Современные условия делают необходимыми элементами общей человеческой культуры определённый объем математических знаний, владение характерными для математики методами, знакомство с её специфическим языком. Анализ же работ, посвященных современному математическому образованию школьников, выявил ряд проблем, связанных с усвоением математических понятий. Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) на определённом языке. Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе,понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено, у обучаемых возникнут серьёзные проблемы при дальнейшем изучении математики. С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении различных математических величин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятиями: точка, линия, угол, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов. Задачи учителя – обеспечить полноценное усвоение понятий. Однако в школьной практике данная задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы. «Главный недостаток школьного усвоения понятий - формализм», считает психолог Н.Ф. Талызина. Суть формализма состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятия, то есть, осознавая его содержание, не умеют пользоваться им при решении задач на применение этого понятия. Следовательно, формирование понятий – это важная, актуальная проблема.[20] Таким образом, приобретает актуальность вопрос о решении проблемы, заключающейся в создании условий для формирования математических понятий в 5 – 6 классах. Одним из возможных решений поставленной проблемы, на наш взгляд, может быть использование выявленных 5 особенностей усвоения математических понятий. В связи с этим была сформулирована тема работы: «Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах». Сказанное выше позволяет сформулировать цель исследования: изучить возможности использования особенностей формирования математических понятий в 5 – 6 классах. Объектом исследования является математическая подготовка учащихся 5 – 6 классов. Предметом исследования является формирование математических понятий в 5 – 6 классах в процессе обучения математике. В процессе исследования была выдвинута следующая гипотеза: процесс формирования математических понятий в 5 – 6 классах будет эффективным, если учтены следующие особенности: понятие в большинстве своём определяются с помощью конструирования, и часто формирование правильного представления о понятии у учащихся достигается с помощью поясняющих описаний; вводятся понятия конкретно – индуктивным путём; на протяжении всего процесса формирования понятия большое внимание уделяется наглядности. С учетом цели, предмета работы определены задачи: 1. Изучить математическую, методическую, педагогическую литературу по данной теме. 2. Выявить основные способы определения понятий в учебнике математика для 5 класса. 3. Определить особенности формирования математических понятии в 5 – 6 классах. Научная работа базируется на ряде важнейших положений: отечественных и зарубежных познавательных теорий (Л.С.Выгодский, П.Я.Гальперин, И.Гербарт, Э.Клапаред, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн, 6 Е.Стронг, Л.М.Фридман, ориентированного Г.И.Щукина); подхода к концепций организации личностно педагогического – процесса ( Г.С.Закиров, Л.Ю.Сироткин, Н.Ф.Талызина, И.С.Якиманская и другие); современных концепций математического образования (Б.В.Гнеденко, Г.Ф.Дорофеев, А.В.Ефремов, А.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев, Е.И.Смирнов, А.А.Столяр и другие). Источниками работы явились труды психологов и педагогов, работы по методике обучения математике, педагогический опыт ведущих учителей математики Республики Татарстана. В соответствии с поставленными задачами использовался комплекс методов исследования: теоретический (анализ психолого – педагогической литературы по проблеме работ, изучение и обобщение передового педагогического опыта), эмпирический (педагогическое наблюдение, беседа, анкетирование, тестирование, констатирующий и формирующий эксперимент, методы математической обработки результатов исследования). Экспериментальная база исследования. Эксперимент поводился на базе МОУ «Кадетской школы– интернат п.г.т. Куйбышевский Затон» Камско –Устьинского района РТ. Экспериментальной работой было охвачено 14 учащихся 5 «А» и 14 учащихся 5 «В». Исследование проводилось в три этапа. Первый этап (декабрь 2010 г.). На данном этапе изучалась и анализировалась формирования психолого–педагогическая математического литература понятия, по определялись проблеме основные существующие в данной области противоречия и проблемы. Сформулирована гипотеза исследования, определены его цели и задачи, разработан научно–логический аппарат. Второй этап (январь – февраль 2011 г.) начался с подготовки и проведения констатирующего эксперимента, целью которого было определение реального состояния развития формирования математических понятий в процессе обучения математике учащихся 5 – 6 классов. 7 В ходе формирующего эксперимента проведена экспериментальная проверка, получены конкретные результаты, подтверждающие достоверность выявленных в процессе исследования данных. Третий этап (февраль 2011 г.). систематизированы, обобщены, оформлены и Проанализированы, обсуждены результаты проведенного эксперимента, сформулированы выводы исследования. Научная новизна выпускной квалифицированной работы заключается в следующем: на основе литературы анализа психолого рассмотрены – педагогической теоретические основы формирования математических понятий в 5 – 6 классах; обосновано использование методических рекомендаций в процессе обучения математике учащихся 5 – 6 классов как эффективного средства развития формирования математических понятий. Практическая значимость выпускной квалификационной работы заключается в разработке конспектов уроков с учетом выявленных особенностей. Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, определены цель, объект, предмет и гипотеза, задачи и методы исследования, его методические и теоретические основы, указаны научная новизна, практическая значимость работы. В первой главе – «Психолого – педагогические особенности обучения математики в 5 – 6 классах»- осуществлен анализ научно – педагогической литературы по данной проблеме. Во второй главе – «Основы методики изучения математических понятий» - было рассмотрено само значение понятия, его содержание, объем 8 и классификация, способы определения понятий и введение понятий в курсе математики. В третьей главе – «Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики» определены и экспериментально проверено использование разработанных конспектов уроков с учетом выявленных особенностей. В заключении изложены основные выводы работы, показаны перспективы дальнейшего изучения данной проблемы. В приложении представлены конспекты разработанных уроков. 9 Глава 1 Теоретические основы методики изучения математических понятий 1. 1 Понятия их содержание и объем, классификация понятий Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Понятие – форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта. [14] Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например: понятие "треугольник" соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия). Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий. Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие представление - понятие. 10 Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления; логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования. Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, т. е. "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба. Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба. Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме. Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур). 11 Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, т. е. отделения общих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий. Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся. Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия. Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки). Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание – множество существенных признаков понятия. Объём – множество объектов, к которым применимо данное понятие. Между объемом и содержанием существует связь.. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём – это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного 12 влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается. [14] Содержание понятия отождествляется с его определением, а объём раскрывается через классификацию. Классификация – деление множества на подмножества, которые удовлетворяют следующим требованиям: должно проводится по одному признаку; классы должны быть не пересекающимися; объединение всех классов должно давать всё множество; классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации). [14] Выделяют следующие виды классификации: 1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному. Пример. Понятие «треугольник». Три стороны Две стороны равны равны Нет равных сторон Остроугольный равносторонний равнобедренный равнобедренный Прямоугольный —— равнобедренный Тупоугольный —— 13 2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет. Пример. Четырёхугольники Выпуклые Невыпуклые Есть параллельные стороны Нет параллельных сторон Одна пара параллельных сторон Равнобедренная трапеция Есть прямой угол Неравнобедренная трапеция Нет прямого угла Две пары параллельных сторон Все стороны равны Есть прямой угол Не все стороны равны Нет прямого угла Есть прямой угол Нет прямого угла Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Выделим цели обучения классификации: 1) развитие логического мышления; 2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии. Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку. 14 1.2 Способы определения понятий Определить объект – выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении. [14] Определением считается такая формулировка, которая сводит новое понятие к уже известным понятиям этой же области. Такое сведение не может продолжаться бесконечно, поэтому наука имеет первичные понятия, которые определяются не явно, а косвенно (через аксиомы). Список первичных понятий неоднозначен, по сравнению с наукой, в школьном курсе первичных понятий намного больше. Основной приём для разъяснения, введения первичных понятий – составление родословных. В школьном курсе не всегда целесообразно давать понятиям строгое определение. Иногда достаточно сформировать правильное представление. Это достигается с помощью поясняющих описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. По логической структуре определения делятся на конъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "и") и дизъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "или"). Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении, и зафиксированных связей между ними называется логикоматематическим анализом определения. Существует подразделение определений на дескриптивные и конструктивные. Дескриптивные – описательные или косвенные определения, имеющие, как правило, вид: «объект называется…, если он обладает…». Из 15 таких определений не следует факт существования данного объекта, поэтому все подобные понятия требуют доказательства существования. Среди них выделяют следующие способы определений понятий: Через ближайший род и видовое отличие. (Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия). Определения-соглашения – определения, в которых свойства понятий выражаются с помощью равенств или неравенств. Аксиоматические определения. В самой науке математике используются часто, а в школьном курсе редко и для интуитивно ясных понятий. (Площадь фигуры – величина, численное значение которой удовлетворяет условиям: S(F)0; F1=F2S(F1)=S(F2); F=F1F2, F1F2= S(F)=S(F1)+S(F2); S(E)=1.) Определения через абстракцию. Прибегают к такому определению понятия, когда другое трудно или невозможно осуществить (например, натуральное число). Определение-отрицание – определение, в котором фиксируется не наличие свойства, а его отсутствие (например, параллельные прямые). Конструктивные (или генетические) – это определения, в которых указывается способ получения нового объекта (например, сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра). Среди таких определений иногда выделяют рекурсивные – определения, указывающие некоторый базисный элемент какого-либо класса и правило, по которому можно получить новые объекты того же класса (например, определение Методические требования к определению понятия. Требование научности. Требование доступности. 16 прогрессии). Требование соизмеримости (объём определяемого понятия должен быть равен объёму определяющего понятия). Нарушение данного требования ведёт либо к очень широкому, либо к очень узкому определению. Определение не должно содержать порочного круга. Определения должны быть ясными, точными, не содержать метафорических выражений. Требование минимальности. 17 1.3 Введение понятий в школьном курсе математики При формировании понятий необходимо организовывать деятельность учащихся по усвоению двух основных логических приёмов: подведение под понятие и выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию. Действие подведения под понятие имеет следующую структуру: 1) Выделение всех свойств, зафиксированных в определении. 2) Установление логических связей между ними. 3) Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей. 4) Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия. Выведение следствий – это выделение существенных признаков объекта, принадлежащему данному понятию. В методике выделяют три пути введения понятий: 1) Конкретно-индуктивный: Рассмотрение различных объектов как принадлежащих объёму понятия, так и не принадлежащих. Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов. Введение термина, формулировка определения. Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия. 2) Абстрактно-дедуктивный: Введение определения учителем. Рассмотрение особых и частных случаев. Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия. При введении понятия первым путём учащиеся лучше понимают мотивы введения, учатся строить определения и понимать важность каждого 18 слова в нём. При введении понятия вторым путём экономится большое количество времени, что тоже не маловажно. Комбинированный. Используется для более сложных понятий математического анализа. На основе небольшого числа конкретных примеров даётся определение понятия. Затем путём решения задач, в которых варьируются несущественные признаки, и путём сопоставления данного понятия с конкретными примерами продолжается формирование понятия. Основные этапы изучения понятия в школе В литературе выделяют три основных этапа изучения понятий в школе: 1. При введении понятия используется один из трёх вышеизложенных способов. Во время данного этапа нужно учесть следующее: Прежде всего, необходимо обеспечить мотивацию введения данного понятия. При построении системы задач на подведение под понятие обеспечить наиболее полный объём понятия. Важно показать, что объём понятия – не пустое множество. Раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные. Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии. Усвоение терминологии и символики. Итогом данного этапа является формулировка определения, усвоение которого – содержание следующего этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объёму понятия. 19 2. На этапе усвоения определения продолжается работа над запоминанием определения. Достигаться это может с помощью следующих приёмов: Выписывание определений в тетрадь. Проговаривание, подчёркивание или какая-нибудь нумерация существенных свойств. Использование контрпримеров для выполнения правил соизмеримости. Подбор недостающих слов в определении, отыскание лишних слов. Обучение приводить примеры и контрпримеры. Обучение применения определения в простейших, но достаточно характерных ситуациях, так как многократное повторение определения вне решения задач неэффективно. Указать на возможность различных определений, доказать их эквивалентность, но для запоминания выбрать лишь одно. Учить конструировать определение, использовать для этого составление родословных, разъясняя логическую структуру; знакомить с правилами построения определения. Сходные пары понятий давать в сравнении и сопоставлении. Таким образом, каждое существенное свойство понятия, используемое в определении, на данном этапе делается специальным объектом изучения. 3.Следующий этап – закрепление. Понятие можно считать сформированным, если учащиеся сразу узнают его в задаче без всякого перебирания признаков, то есть процесс подведения под понятие свёрнут. Достичь этого можно следующими путями: Применение определения в более сложных ситуациях. 20 Включение нового понятия в логические связи, отношения с другими понятиями (например, сопоставление родословных, классификаций). Желательно показать, что определение даётся не ради его самого, а для того, чтобы оно «работало» при решении задач и построении новой теории. 21 Глава 2 Психолого - педагогические особенности обучения математике в 5 – 6 класса 2.1 Особенности познавательной деятельности Восприятие. Учащиеся 5 – 6 классов обладают достаточным уровнем развития восприятия. У него высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета, процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур. У школьников этого возраста появляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера. Процесс формирования понятия – постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет чувственное восприятие объекта. Память. Школьник 5 – 6 классов способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает. В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала. Вместе с формой меняется и содержание запоминания. Становится 22 более доступным запоминание абстрактного материала. Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания. Школьник 5 – 6 классов вполне может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому нужно поддерживать интерес школьника к изучению математики. При этом целесообразно опираться на вспомогательные средства (предметы, картинки, таблицы). В школе на уроках внимание нуждается в поддержке со стороны учителя. Воображение. В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся 5 – 6 классов с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию. При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом. У школьников 5 – 6 классов воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление. Все указанные выше особенности создают почву для развития процесса творческого воображения, в котором большую роль играют специальные знания учащихся. Эти знания составляют основу для развития творческого воображения и в последующие возрастные периоды жизни школьника. 23 Мышление. теоретическое количество Всё большее мышление, смысловых значение способность связей в начинает устанавливать окружающем приобретать максимальное мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно – знаковых систем. Изучаемый в школе материал становится для него условием для построения и проверки своих гипотез. В 5 – 6 классах у школьника вырабатывается формальное мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с конкретной ситуацией. Учёные изучали вопрос об умственных возможностях школьников 5 – 6 классов. В результате исследований выявилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании соответствующих условий, т.е. при специальной методической организации обучения, учащийся 5 – 6 классов может усвоить абстрактный математический материал. Как видно из вышеизложенного, психические процессы характеризуются возрастными особенностями, знание и учёт которых необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся. 24 2.2 Психологические аспекты формирования понятий Становление понятий – это процесс формирования не только особого образца мира, но и определённой системы действий. Действия, операции и составляют психологический механизм понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются. И необходимо формировать следующие виды действий, используемых при изучении понятий [20]: Действие распознавания используется, когда понятие усваивается для распознавания объектов, относящихся к данному классу. Данное действие может быть применено при формировании понятий с конъюнктивной и дизъюнктивной логической структурой. Выведение следствий. Сравнение. Классификация. Действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и другие. Рассматривается в [20] также роль определения понятия в процессе его усвоения. Определение – ориентировочная основа для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение угла, ученик может теперь анализировать различные предметы с точки зрения наличия или отсутствия в них признаков угла. Такая реальная работа создаёт в голове ученика образ предметов данного класса. Таким образом, получение определения – это лишь первый шаг на пути усвоения понятия. Второй шаг – включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах. Третий шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики 25 будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах, в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; втретьих – могут добавить к указанным определениям свои. Условия, обеспечивающие управление процессом усвоения понятий 1. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства. 2. Знание состава используемого действия. Например, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов. 3. Представленность всех элементов действий во внешней, материальной форме. 4. Поэтапное формирование введённого действия. 5. Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. Н.Ф. Талызина [20] подробно останавливается на поэтапном формировании понятий. После выполнения 5-8 заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правила и предписание называются или записываются учащимися по памяти. В том случае, когда действие легко и правильно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание даётся в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащиеся совершают про себя. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного 26 ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату по мере необходимости. Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. Контроль со стороны обучаемого предусмотрен только за конечным продуктом действий. Помощь обучаемый получает при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным. Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование же по обобщённости обеспечивается специальным подбором заданий Дальнейшее преобразование действия достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно лишь на последних этапах. На всех других этапах даётся лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Требования к содержанию и форме заданий 1. При составлении заданий следует ориентироваться на те новые действия, которые формируются. 2. Второе требование к задачам – соответствие формы этапу усвоения. Например, на первых этапах объекты, с которыми работают учащиеся, должны быть доступны для реального преобразования. 3. Количество заданий зависит от цели и сложности формируемой деятельности. 4. При подборе заданий необходимо учитывать, что преобразование действия идёт не только по форме, но и по мере обобщённости, автоматизации и т.д. Было проведено множество экспериментов, когда реализовывались указанные условия. Во всех случаях, утверждает Н. Ф. Талызина, понятия формировались не только с заданным содержанием, но и высокими показателями по следующим характеристикам: 27 разумность действий испытуемых; осознанность усвоения; уверенность учащихся в знаниях и действиях; отсутствие связанности чувственными свойствами предметов; обобщённость понятий и действий; прочность сформированных понятий и действий. Итак, у ребёнка постепенно формируется определённый образ предметов данного класса. Понятие действительно нельзя дать в готовом виде, оно может быть построено только самим учеником путём выполнения определённой системы действий с предметами. Учитель помогает ученику сформировать этот образ с содержанием, опережающим существенные свойства предметов данного класса, и задаёт общественно выработанную точку зрения на предметы, с которыми работает ученик. Понятие - это продукт действий, выполняемых учеником с предметами данного класса. 28 2.3 Педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах Курс математики 5-6 классов – важное звено математического образования и развития школьников. На этом этапе заканчивается в основном обучение счёту на множестве рациональных чисел, формируется понятие переменной и даются первые знания о приёмах решения линейных уравнений, продолжается обучение решению текстовых задач, совершенствуются и обогащаются умения геометрических построений и измерений. рассуждать, Серьёзное делать внимание простые уделяется доказательства, формированию давать умения обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов. Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах. Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале. В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но 29 эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике. Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла. [5] Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных», которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления комбинаторных и задач анализа информации, перебором возможных обучение решению вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий. [5] Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .[10, 12] Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала: [9] 1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся. 30 2. Формирование соответствующих алгебраических умений и навыков понятий составляют и выработка единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений. 3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 292 <1000». 4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала. В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся. Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами. Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах. 31 Методы. Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности. В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения: Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом - довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка. Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п. Урок. Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный. Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах: На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся 32 на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры. В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей. Одной из особенностей данного курса является линейно- концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень. Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее. Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, - работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались. На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах. Очень Изучение математики требует активных умственных усилий. трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то 33 рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения. Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные. Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними». Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение, фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы арифметических действий, законы арифметических действий и др.). Не всегда есть возможность да и необходимость формировать определения по конструкции: 1) указывается род; 2) указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода. Учащихся учат на наглядно-интуитивной основе понимать значение существенных и несущественных признаков для 34 раскрытия сути определяемого понятия, то есть достаточно сформировать правильное представление. В курсе математики 5-6 классов это часто достигается с помощью поясняющих описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. Пример, поясняющие описания многоугольника, многогранника, расстояния, симметрий, натурального числа и др. Большинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными – им трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и потеря или замена остаются им незамеченными. Главное в работе с определениями в 5-6 классах – показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий. Если учащиеся в 5-6 классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут изучать курс математики старших классов более осознано. Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные представления о необходимости обоснования, её убедительности 35 рассуждений. Этот начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве, адекватном математике. Проанализировав учебники для 5-6 классов, увидим, что аксиоматические определения отсутствуют, геометрические понятия в большинстве своём определяются через конструирование, алгебраическим понятиям, в основном, даются определения-соглашения, поясняющее описание. Приведём сравнительное процентное соотношение определений, даваемых в учебниках [10, 11, 12, 13]. В [11, 13] присутствует 53% определений-соглашений, 20% — пояснительных описаний, 27% — конструктивных определений, а в [10, 12] определений-соглашений — 33%, пояснительных описаний — 32%, конструктивных определений — 35%. Отличия объясняются большим количеством геометрических понятий, вводимых в [10,12]. Вводить понятия на данном этапе обучения следует конкретноиндуктивным путём, уделяя большое внимание мотивации введения. Для усвоения понятий в этом возрасте психологи советуют давать 10-12 заданий. Рассмотрим конкретные примеры. Угол A A M P Q N D О C В В Рис.1 Рис.2 Рис.3 36 Рис.4 A K C M K A C D B B Рис. 5 N Рис. 6 Рис. 7 На каждом из рисунков найдите и назовите лучи и их начала. Что такое "луч"? Есть ли у луча начало? Вы знаете что такое многоугольник (рис.8). Какие элементы многоугольника вы можете назвать? (Стороны, вершины). Оказывается, что у многоугольника существуют ещё элементы. Сегодня нам и предстоит их изучить. Обратите свое внимание на рис.4, вы видите два луча с Рис.8 общим началом, вместе они составляют единую фигуру. И чтобы не делить её на части, древними было дано этой фигуре особое название — "угол". Как же получают фигуру, называемую углом? A 1.Берут произвольную точку(в нашем случае это точка О); 2.Проводят два луча с началом в этой точке О (ОА, ОВ). В Таким образом, углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (ребята могут сформулировать определение сами!). Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла. 37 На нашем рисунке сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: <АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О. Задание 1: На каждом из рисунков (рис.1—рис.7) выберите углы и правильно назовите их. Задание 2: Выберите правильное обозначение следующих углов. А)<K А)BCN А) <KCM А) М Б) <KMN Б) <CNB Б) <KMC Б) <MCK В) <N B) <BCN B) <MCK B) <K Г) <NCB Г) D Д) <С C C K N B K K M N M M C Задание 3: Напишите в тетради обозначения следующих углов. И зарисуйте их. A F C D K B P L M S 38 K H Задание 4: Начертите произвольные углы: <ABO, <C, <MKL, <HFK, <F. Давайте рассмотрим, как могут располагаться точки на плоскости, относительно данного угла. На рисунке изображён угол F. Точки C,D лежат внутри угла F. X Точки X,Y лежат вне угла F. K D Точки M,K – на сторонах угла C F F. M Y Задание 5: Начертите угол О и изобразите следующие точки: А) А, В, С – внутри угла О; Б) D, F, E, K – на сторонах угла О; В) M, P, S, T – вне угла О. Задание 6: Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD. Задание 7: Начертите 4 луча: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. Наибольший общий делитель. Задание 1: Верно ли, что: А) 3 – делитель 45; Б) 24 – делитель 4; В) 11 – делитель 121? Задание 2: Назовите все делители чисел: А) 8; Б) 24; В) 636; Г) 13. Задание 3: Выберите наибольшее из чисел: А) 1, 5, 3, 8, 12, 4; Б) 15, 30, 45, 90. Задание 4: На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов? 39 Затем учитель задаёт вопросы, подобные следующим (учащиеся должны вспомнить, что такое «натуральное число» и «делитель натурального числа»): Какие числа можно считать натуральными? Какое число называют делителем данного натурального числа? У Деда Мороза имеется 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», ему необходимо составить наибольшее количество одинаковых подарков для детей, используя все конфеты. Как же ему быть? Сегодня вы узнаете, как можно быстро помочь Деду Морозу. 1.Делители 6: 1, 2, 3, 6 – натуральные числа. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 18 – натуральные числа 2.Делители 15: 1, 3, 5, 15 – натуральные числа Делители 30: 1, 3, 5, 15, 2, 6, 10, 30 – натуральные числа 3.Делители 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 – натуральные числа. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 18 – натуральные числа. Как видим, во всех случаях выделены общие делители двух натуральных чисел, и из этих общих делителей выбрано наибольшее натуральное число. Вернёмся на помощь Деду Морозу. На какое одинаковое количество подарков можно разделить 48 конфет «Ласточка»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 48. 48: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 48. На какое одинаковое количество подарков можно разделить 36 конфет «Чебурашка»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 36. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 40 Но Деду Морозу необходимо составить абсолютно одинаковые подарки, наибольшим общим делителем этих чисел. Поэтому ему нужно выбрать общие делители чисел 48 и 36. Общие делители чисел 48 и 36: 1, 2, 3. 6, 12. Выбрав наибольшее натуральное число из общих делителей чисел 48 и 36, Дед Мороз составит наибольшее количество одинаковых подарков для детей. Таким числом будет число 12. Значит, Деду Морозу можно составить 12 подарков, в каждом из которых будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3). Итак, наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется Задание 1. Найдите все общие делители чисел: А) 18 и 60; Б) 72, 98 и 120; В) 35 и 88. Задание 2. Выпишите общие делители чисел a и b и найдите их наибольший общий делитель, если: А)Делители а: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Делители b: 1, 2. 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30. 45, 90 Б)Делители а: 1, 2, 3. 6, 18 Делители b: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Задание 3: Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b , если: А) а=2·2·3·3 и b=2·3·3·5; Б) а=5·5·7·7·7 и b=3·5·7·7. Задание 4: Найдите наибольший общий делитель чисел: А) 12 и 18; Б) 50 и 175. Задание 5: Ребята на новогодней ёлке получили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? 41 Глава 3 Практическое исследование введения и формирования математического понятия «Дроби» на уроках математики 3.1 Содержание и ход эксперимента Эксперимент проводился на базе МОУ «Кадетской школы- интернат п.г.т. Куйбышевского Затона» Камско- Устьинского района РТ. В эксперименте принимали участие учащиеся 5 «А» класса в количестве 14 человек и учащиеся параллельного 5 «Б» класса в количестве 14 человек. Эксперимент включал 3 этапа: констатирующий; формирующий; контрольный Констатирующий эксперимент Эксперимент становится констатирующим, если исследователь ставит задачу выявления наличного состояния и уровня сформированности некоторого свойства или изучаемого параметра, иначе говоря, определяется актуальный уровень развития изучаемого свойства у испытуемого. Это разовый «срез», дающий данные состояния исследуемого объекта. Полученные данные могут служить материалом для описания ситуации как сложившейся и повторяющейся или быть основой для исследования внутренних механизмов становления тех или иных свойств личности. Это дает основание для такого построения исследования, которое позволяет прогнозировать дальнейшее развитие изучаемых свойств, качеств, характеристик. Цель эксперимента: выявление уровня формирования математических понятий на исходном этапе эксперимента. Для реализации этой цели автором работы в 5 «А» и 5 «Б» классах было проведено тестирование. 42 Цель тестирования: определение степени формирования математических понятий. До начала проведения уроков по проблеме нашего исследования на этапе констатирующего эксперимента мы провели самостоятельную работу на проверку умений вычислительных навыков в обоих классах. Результаты опытно- экспериментальной работы 5 «А» класс высокий уровень 5 «В» класс средний уровень высокий уровень низкий уровень средний уровень низкий уровень Для этого эксперимента были предложены диагностические тесты Т.Д. Гончаровой. Обучение на основе технологии полного усвоения, включающие задания, опирающиеся на знания учащимися оперирования единицами измерения, выполнение логических заданий, вычислительные приемы, упражнения на освоение понятие доли числа с помощью штриховки фигур, задачи на нахождение доли числа, числа по доли, задания, выполнение которых требует умений учащихся производить действия с числами, используя координатный луче, находить место числе на координатном луче, способствующие проведению сравнительной работы дроби как числа с целыми числами. Для выбора экспериментального и контрольного класса были проанализированы результаты контрольной работы по теме «Обыкновенные дроби». 43 45 40 35 30 25 5 " А" 20 5 "Б" 15 10 5 0 2 3 4 5 Данную работу в 5 «А» классе на «5» написали 28% учащихся, на «4» - 32%, учеников, на «3» - 30% учащихся, на «2» - 10% учащихся. В 5 «Б» классе эту же работу ученики написали следующим образом: на «5» - 23%, на «4» - 37% учеников, на «3» - 36% учеников, на «2 » - 14% учащихся. Таким образом, оказалось, что оба класса по уровню развитию примерно одинаковые. По этой причине экспериментатором произвольно были выбраны – 5 «А» и контрольный 5 «Б» классы. На выбор также повлияла дисциплинированность учащихся 5 «А» класса. Формирующий эксперимент На этапе формирующего эксперимента нашей целью является проведение практического математического понятия исследования дроби введения на и формирования уроках математики. В ходе формирующего эксперимента предлагались разнообразные задания, опирающиеся на формирования дроби как рационального числа. При решении задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби опирались на смысл понятия дроби, проводилась сравнительная работа. Вводили задания на изображение дроби на координатном луче, предлагались задания, опирающиеся на ориентирование единицами величины, задания на 44 определение понятия доли числа с помощью штриховки фигур, подбирались задания творческого характера, задания на сравнение дробей, полезными были упражнения на запись в виде неправильной дроби числа. Предлагались задания на изображение дроби на координатном луче: - Примите за единичный отрезок 12 клеток тетради и отметьте на координатном луче точки В ( 5 12 1 1 3 17 2 3 4 12 ), С ( ), Е ( ), Р ( ), R ( ). - Изобразим на координатном луче единичный отрезок ОЕ и поделим его на 6 равных частей. Какую долю отрезка составляет каждая часть? Какую часть отрезка составляют 4 доли? - Единичный отрезок равен длине 6 клеток тетради. Отметьте на 1 1 1 2 координатном луче точки с координатами , , , . Какая из этих точек левее 2 3 6, 3 всех расположена на луче, а какая – правее всех? 2 1 1 2 8 7 4 14 - Отметьте на координатном луче точки: А ( ), В ( ), С ( ), Д ( К( 10 70 ), Е ( 5 20 ), ). Есть ли среди них совпадающие? - Длина отрезка АВ равна 8 см. Начертите отрезок, длина которого равна 3 длины отрезка АВ. 4 Предлагались задания, опирающиеся на оперирование единицами величин: - Как называется: а) одна сотая доля метра; б) одна тысячная доля тонны; в) одна шестидесятая доля часа; г) одна двадцать четвертая суток; 45 д) одна миллионная доля кубического метра; е) одна миллионная доля квадратного метра. - Сколько минут: а) в трети часа; б) в четверти часа; в) в половине часа; г) в десятой доли часа; д) в двенадцатой доле часа; е) в шестой доле половины часа? - Сколько секунд: а) в 5 минутах; б) в четверти часа; в) в одном часу; г) в четверти минуты; д) в трети минуты; е) в половине минуты? - Какую часть 1м3 составляет 1 см3? Какую часть 1 м2 составляет 1 см2? - Какую долю составляют: а) сутки от года; б) сутки от недели; в) дециметр от метра; 46 г) 1 см3 от литра? - Какую часть недели составляют: а) пять суток; б) шесть суток? - Сколько минут в часе? Какую часть составляют 1 мин., 7 мин., 15 мин. - Сколько минут в 1 10 1 1 2 3 4 3 5 4 ч.; в ч.; в ч.; в ч.; в ч.? Были включены задания на определение понятия доли числа с помощью штриховки фигур, а именно, определение заштрихованной и незаштрихованной части фигуры. Подбирались задания творческого характера: - Изобразите квадрат со стороной 4 см и разделите его на 4 доли 3 разными способами. - Начертите отрезок длиной 8 см. Отметьте цветным карандашом 5 8 отрезка. Какая часть отрезка осталась неотмеченной? - Придумайте пять дробей, у которых числитель на 3 меньше знаменателя. Запишите пять дробей, у которых числитель на 3 меньше, знаменателя. Запишите пять дробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя. - Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильных дроби, знаменатель которых больше, чем 200. 1 - Назовите 5 дробей, которые больше, чем . 9 Выводили задания на сравнение дробей: 47 7 - Расставьте в порядке возрастания дроби: , 1 , 5 , 9 , 11 4 , 12 12 12 12 12 12 . Расставьте эти дроби в порядке убывания. - Замените звездочку знаком < или > в записях: а) 3 10 × 7 ; б) 10 5 1 9 8 16 × , в) 8 × 13 16 5 3 7 7 , г) × - Какая из дробей больше: 4 2 3 5 5 19 а) или , б) или 13 23 19 1000 , в) или 21 1000 , г) 87 100 или 78 100 ? 3 5 7 7 - Какая из точек лежит левее на координатном луче: а) А ( ) или В ( ); б) М ( 11 13 ) или N ( - Верно ли, что: а) б) 12 11 больше 751 751 - Сравните: а) 9 )? 13 157 289 меньше 289 157 ; . 7 15 и 13 8 5 4 9 5 1 15 3 3 9 4 3 1000000 , б) и , в) 1 и , г) и 1, д) и 0, е) и0 Включались задания на знания правил чтения и записи дробей, правил чтения равенств и неравенств, содержащих дробные числа, выражений и уравнений, содержащих обыкновенные дроби: - Прочитайте дроби: 2 3 , , 9 , 6 , 3 , 5 , 7 7 4 10 12 1000 247 90000 Назовите числитель и знаменатель каждой дроби. - Запишите в виде обыкновенной дроби: а) три шестых; 48 б) одна треть; в) половина; г) три четверти; д) семь десятых; е) одиннадцать сотых; ж) одиннадцать сорок восьмых. 1 1 10 12 20 1 11 - Прочитайте дроби , , , , , , , 17 , 111 100 , , 15 . Назовите числитель 5 8 11 23 57 6 90 100 120 277 582 и знаменатель. - Какая из точек лежит левее на координатном луче: 5 8 9 9 9 16 а) А ( ) или В ( ); б) А ( ) или В ( 3 16 )? - Верно ли, что: а) 136 275 меньше 275 136 , б) 19 18 больше 437 437 ? - Выполните действия: а) 4 з) 13 7 2 1 7 9 + ; б) 17 − 6 13 9 19 + ; в) + 7 25 19 13 ; г) 100 + 26 100 7 2 4 9 9 5 ; д) − ; е) 17 +p= 5 12 = 2 ; б) 12 15 16 -у= 18 . 25 49 3 ; в) z + 16 7 19 = 3 37 5 100 − ; ж) 4 - Решите уравнение: а) х г) 5 11 19 ; − 16 100 ; Контрольный эксперимент В качестве контрольного эксперимента мы провели тестирование по предложенным диагностическим тестам Т.Д. Гончаровой «Обучение на основе технологии полного усвоения». Тесты включали задания на определение понятия доли числа с помощью штриховки, определение понятия обыкновенных дробей, правильных и неправильных дробей, усвоение способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби, знание формул сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Сравнительная характеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапе контрольного эксперимента, отражена на диаграмме. 45 40 35 30 25 5 "А " 20 5"Б" 15 10 5 0 2 3 4 5 Таким образом, в 5 «А» классе 41% учащихся написали работу на «5», 39% учащихся на «4», 16% учеников на «3», 4% учащихся не справились с работой. В 5 «Б» классе 36% учеников справились с работой на «отлично», 32% написали работу на «4», 26% человек на «3» и 6% учащихся на «2». 50 Анализ полученных результатов По итогам эксперимента было проведено сопоставление данных констатирующего и контрольного эксперимента, показывающие, что число учащихся, справившихся с заданием и допустивших 1-2 ошибки, на контрольном этапе увеличилось. На основе полученных данных делаем вывод о том, что задания на формирующем этапе были посильны основному и продвинутому уровню учащихся, поэтому произошел переход из основного уровня в продвинутый. При сопоставлении результатов констатирующего и контрольного эксперимента мы отметили значительный рост числа учащихся в экспериментальном 5 «А» классе, справившихся с заданиями, переход некоторого количество учащихся, не справившихся с заданиями, в число учащихся, допустивших ошибки, Таким образом, переход из числа несправившихся в число учащихся, допустивших ошибки, обуславливает меньшее количество учащихся справившихся с заданиями. Улучшению успеваемости и качества работ учащихся в экспериментальном классе способствовали проведенные разработанные уроки с использованием заданий творческого характера. При сопоставлении констатирующего и контрольного эксперимента, проведенного в контрольном 5 «Б» классе, в котором уроки были разработаны и проведены на основе обычной методики, мы пришли к такому выводу, что рост числа учащихся, справившихся с заданиями, произошел, но в отличие от экспериментального класса, оказался незначительным. Сопоставив результаты констатирующего и контрольного эксперимента, мы отметили повышение активности и заинтересованности учащихся, улучшение качества работ и успеваемости детей в 5 классах. Это является практическим подтверждением выдвинутой нами гипотезы. 51 Заключение Учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных числе с множеством натуральных чисел, без понимания которых нельзя решить проблему преемственности в обучении математики в начальных и последующих классах школы. Осваивая понятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на перовом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью. С введением разнообразных заданий, опирающихся на формирование дроби как рационального числа, сравнительной работы при решении задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби, опираясь на смысл понятия дроби, подбором заданий творческого характера повысилась активность, заинтересованность учащихся, качество работ и успеваемость детей в 5 классах улучшилось, что позволило достигнуть подтверждения выдвинутой нами гипотезы. 52 Список используемой литературы 1. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. // Математика в школе. — №5, 1973. 2. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определение в школьном курсе математики и методика работы над ними. // Математика в школе. – №4, 1984. 3. Волович М.Б. Обыкновенные дроби. Проценты. /Пособие для учителя, ученика и его родителей. — М.: Аквариум, 1997. 4. Грудёнов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. : Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. 5. Жохов В.И. Новый учебник математики для 5 класса // Математика. — №40, 1995. 6. Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах.: Методические рекомендации для учителя к учеб. Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда. — М.: Русское слово, 1999. 7. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б. Учебные комплекты по математике для 5-6 классов. // Математика в школе. — №4, 1997. 8. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988 – с. 38-46. 9. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в 5-6 классах. — Минск: Народная асвета, 1976. 10. Математика : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В, Дорфеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф Шарыгина. — М.: Просвещение, 2000. 11. Математика : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: Мнемозина, 2001. 53 12. Математика : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В, Дорфеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф Шарыгина. — М.: Дрофа, 1997. 13. Математика : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: Мнемозина, 2001. 14. Методика преподавания математике в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин, В.Я. Саннинский.— М.: Просвещение, 1980 — с.57-70. 15. Методика преподавания математике в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Дорофеев и др. ; Сост. В.И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987 — с.5-61. 16. Мухина В.С. Возрастная психология.: Учеб. для вузов. – М.: Академия, 1997. 17. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. /Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г Миндюк. — 4-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. 18. Саранцев Г.И. Методика обучения в средней школе.: Учеб пособие для вузов. — М.: Просвещение, 2002. 19. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе. // Математика в школе. — №6, 1998. 20. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология.: Учебное пособие для средних педагогических заведений. – М.: Академия, 2001. 21. Цукарь А.Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей. // Математика в школе. — №5, 1994. 22. Гончарова Т.Д. Математика. Обучение на основе технологии «полного усвоения» . – М.: Дрофа, 2004. 54 Приложения Приложение 1 Доли. Обыкновенные дроби Цели: образовательные: познакомить с понятием доли, обыкновенной дроби, научить правильно читать и записывать обыкновенные дроби. Развивающие: развить математическое мышление, наглядность воспроизведения, память, внимание, речь, активность. Воспитательные: воспитывать любовь к математике (интерес к предмету), самостоятельность мышления, дисциплинированность, аккуратность. Оборудование: конспект, учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.5 класс, наглядное пособия I. Организация класса Ход урока (1 урок): - Здравствуйте, ребята!Садитесь. II. Сообщение - Сегодня тема нашего урока «Доли. Обыкновенные темы и целей дроби» Вы познакомитесь с понятием доли, понятием урока обыкновенной дроби, научитесь правильно читать и записывать их. III. Устный счет 5дм 3 см + 2 дм 7 см 1кг 300г + 2 кг 200 г 1м 35см – 100 см 1 т – 900 000 г. IV. Объяснение - Ребята, представьте, что у меня в руках вафельный нового материала торт, который разделили на 8 равных частей. Эти 55 равные части называются долями, т.е.1, 2, 3…., 8 – доли. V Работа с учебником. Каждому человеку достанется одна восьмая доля торта, 1 или, короче «одна восьмая торта» и пишут торта. 8 Еще раз части – это доли, торт разрезали на 8 равных 1 частей (долей). Каждая часть составляет долю торта. 8 - Далее, торт разрезали на 8 частей (долей), из которых за обедом съели 2 доли. На блюде осталось 6 долей. Эти 6 доли обозначают торта. 8 6 Записи вида называют обыкновенными дробями. В 8 6 дроби число 6 называют числителем дроби (пишут над 8 чертой), 8 – знаменателем дроби (под чертой). Число 6 (числитель) показывает сколько долей взяли, съели, а число 8 (знаменатель), на сколько долей делят. - Сегодня в устном счете нам приходилось выражать единицы измерения. Если 1м = 10дм = 100см, то 1см = Если 1кг = 1 000 г, то 1г = 1 1000000 1 1000 1 100 м, 1дм = 1 10 м. кг.1т = 1 000 000 г, 1г = т. - Дроби можно изобразить на координатном луче. Вспомним, что луч имеет начало, ноне имеет конца. 56 Изобразим луч. О А Е 1 АО = ОЕ 6 1 – числитель, т.е. сколько долей взяли 6 – знаменатель (дробная черта, знаменатель под чертой), значит на него делят. Можно этот отрезок поделить на 4 части Изобразим луч. О А Е 1 АО = ОЕ 4 1 1 1 Доли , , - это половина, треть, четверть. 2 3 4 Итак, доли – равные части 6 Запись вида - обыкновенная дробь, где 6 - числитель, 8 8 – знаменатель. - Теперь послушайте: - Кусок материала резали на 12 равных частей (долей). 1 Какую долю всего куска составляет каждая часть? ( ) 12 5 - Какую часть куска составляют 5 долей? ( ) 12 - Молодцы! 57 - Теперь полученные знания применим при решении задач. - Откройте стр.140 учебника. Найдите и прочитайте задание №884. Выполним устно. - Какая часть фигуры закрашена? - Молодцы! - Выполним уже письменно в тетради следующее задание №885. - Чертеж какой фигуры необходимо выполнить? - На сколько долей нужно разделить фигуру? - Что необходимо изобразить отдельно? - Молодцы! - Выполним следующее задание №886. - О чем говорится? - Что известно? - Что требуется выполнить? - Решите задачу 3 способами? - Молодцы! VII Работа с - Теперь давайте прочитаем с вами правило чтения правилами. 58 дробей на стр.141 учебника. - При чтении дробей нужно помнить: числитель дроби – количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель – порядковое числительное 1 (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.). Например, 5 5 7 6 10 одна пятая, - две шестых, - семь десятых, 83 152 восемьдесят три сто пятьдесят вторых - Хорошо. Теперь прочитаем верно записи в №888 (устно). - Молодцы! - Как называется одна сотая доля метра? - Одна тысячная доля тонны? - Одна двадцать четвертая доля суток? - Одна шестидесятая доля часа? - Одна миллионная доля квадратного метра? - Одна миллионная доля кубического метра? - Молодцы! VIII. Решение задач - Прочитайте задачу №889. - О чем говорится? - Что известно? 59 - Что неизвестно? - Составим краткую запись. - Решим ее. Запишите ответ. - Молодцы! Ход урока (2 урок): I. Сообщение - Сегодня на 2 уроке мы продолжаем с вами изучать целей урока тему «Доли. Обыкновенные дроби», закрепим правило чтения и записи обыкновенных дробей. II. Закрепление - Потренируемся в правильном чтении дробей в №894 (устно). III. Работа с 2 3 - Прочитайте дроби: , , 9 , 6 , 3 , 5 , 7 7 4 10 12 1000 247 90000 учебниками Назовите числитель и знаменатель каждой дроби. - Молодцы! - Теперь выполним следующее задание уже письменно в тетради №895. - Молодцы! - Решим задачи. №890. - О чем говорится? - Что известно? - Что нужно узнать? 60 - Составим краткую запись и решим ее. - Молодцы! - Следующая задача под №891. - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - Составим краткую запись и решим. Запишите ответ. - Молодцы! - Начертите квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его 2 на 3 доли и закрасьте квадрата. Какая часть квадрата 3 осталась не закрашенной? - Выполните №893. - Что известно? - Что необходимо выполнить? - Изобразите чертеж - Какая часть отрезка осталась неотмеченной? - Молодцы! V. - В клумбе квадратной формы расположите 10 кустов Геометрический роз так, чтобы на каждой стороне клумбы было по 3 материал 61 куста поровну. - Молодцы! VI. Итог урока. - С чем мы сегодня познакомились? - Что такое доли? - Что такое обыкновенные дроби? - Что показывает числитель? - Что знаменатель? - Что нужно помнить при чтении дроби? - Молодцы! VII. Домашнее задание - Запишите домашнее задание: п.23. №907, №915. - Урок окончен. До свидания. 62 Приложение 2 Правильные и неправильные дроби Цели: образовательные: познакомить с понятием правильных и неправильных дробей, формировать умение решать задачи, использовать полученные знания при решении задач. развивающие: развивать математическое мышление, внимание, речь, активность, наглядность воспроизведения воспитательные: воспитывать любовь к математике, дисциплинированность. Оборудование: учебник, конспект, наглядное пособие Ход урока I. Организация класса. - Здравствуйте, ребята! Садитесь. II. Сообщение темы и - Сегодня у нас с вами новая тема «Правильные целей урока. и неправильные дроби», мы познакомимся с понятием правильной и неправильной дроби, рассмотрим их на координатном луче, полученные знания применим в решении задач. Но прежде чем перейти к изучению новой темы, нас ожидает устный счет. III. Устный счет. 127+у=357-85 63 125+у-85=65 30+х=32-х 10+х+2=15+х-3 - Молодцы! IV Объяснение нового - Если мы разделили торт на 8 частей, то материала. получали, зная, что числитель указывает сколько долей взяли, а знаменатель, на сколько 7 6 поделили, что убрав 1 кусок, оставалось , 8 8 …торта. Так вот, взяли 3 куска, оказалось 3 8 8 торта, а - 1 торт (8: 8=1). Если добавили еще 3 8 части таких же, получим 8+3=11 частей, или 8 8 торта. 3 11 8 8 Сравним и . Если числитель меньше знаменателя, то дробь 3 называется правильной, т.е. - правильная 8 дробь. Если числитель больше знаменателя, то дробь неправильная, 11 8 - неправильная дробь. Также, если в дроби числитель равен 8 знаменателю, дробь тоже неправильная, те. 8 неправильная дробь. 64 - Рассмотрим на координатном луче правильные и неправильные дроби. Помним, что луч имеет начало, но не имеет конца. Правильная дробь меньше единицы, неправильная дробь больше или равна единицы. 3 ≈ 0,975, т. е. 0,375 < 1 8 8 =1 8 11 ≈ 1,375 т. е. 1,375 > 1 8 Например: V. Работа с учебником. - Итак, откройте стр.152 учебника. Начинаем решать номера. Найдите и прочитайте задание №974. - Сначала начертите отрезок АВ = 8 см, затем под ним другие 2 отрезка. 3 - какая дробь: правильная или неправильная? 4 5 -А ? 4 - Верно. - Следующий №975. - Не забудьте, что за единичный отрезок по 65 условию необходимо принять длину 12 клеток тетради. - Молодцы! - Следующий номер №376 выполним по вариантам I вариант – пункт а, II вариант – пункт б. - Проверим. Назовите записи в тетрадях. - Молодцы! - Следующий № 977. В этом номере вам перечислять все эти дроби не следует, а только укажите значения а со знаком сравнения «>» или «<». IV. Решение задач. - Прочитайте задачу №978 - Что известно? - Что неизвестно? - Решите, запишите правильный ответ - Прочитайте следующую задачу №979. - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? 66 - Найдите значения. Запишите ответ. - Молодцы! - Следующее задание №980 - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - составим краткую запись и решим задачу. - Запишите ответ. - Следующая задача под №985. VII. Разминка. - Сколько минут в одном часе? - Какую часть составляет 1 минута, 7 минут, 1 минут? - Молодцы! VIII. Геометрический - Укажите на данном координатном луче материал. координаты точек А, В, С и D, если М(10) IX. Итог урока. - С чем познакомились на уроке? - Что запомнилось на уроке? - Какую дробь называют правильной? - Неправильной? 67 X. Домашнее задание. - Запишите домашнее задание: №981, 988 - Урок окончен. До свидания. 68 Приложение 3 Контрольная работа №7 Цели: образовательные: проконтролировать знания учащихся, формировать умение отмечать дроби на координатном луче, сравнивать дроби, использовать знания по оперированию единицами величины, при решении задач. развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, умение оперировать обыкновенными дробями. воспитательные: воспитывать любовь к математике, дисциплинированность, самостоятельность, аккуратность. Ход урока. I. - Здравствуйте, ребята! Приготовитесь к уроку. Раздайте Организация тетради для контрольных работ. Садитесь. класса II. Постановка - В тетради запишите число, контрольную работу №7. цели урока Обратите внимание на доску. Положили все ручки. Работа выполняется в 2-х вариантах. III. I вариант II. вариант Контрольная работа 69 1. Примите за единичный отрезок длину 8 клеток тетради 12 клеток тетради и отметьте на координатном луче точки: 3 1 7 1 11 8 2 8 4 8 А( ), В ( ), К( ), Д( ), F( ), F( 17 12 ) А( 5 12 1 1 3 2 3 4 ), В ( ), К( ), Д( ) 2. Сравните числа: а) 5 7 13 13 б) 11 8 15 15 7 8 5 6 9 4 в) 1 г) а) б) 3 6 5 8 7 3 в) 1 г) 3. Сложите 3 5 числа 30 и 2 7 числа 14 2 2 числа 18 и числа 40 9 5 4. Какую часть составляют: а) 9 см2 от дм2 а) 7 дм от ь2 б) 17 дм3 от м3 б) 19 см3 от ь3 в) 13 кг от 5 ц в) 9 ц от 4 т. 5. Ширина прямоугольника 5. Длина прямоугольника 48 см, что составляет 3 16 его составляет 5 16 его периметра. периметра. Найдите длину Найдите ширину этого этого прямоугольника прямоугольника, если длина 70 его равна 80 III. - В первом задании предлагается изобразить координатный Объяснение луч, отметить на нем обыкновенные дроби. Задание этапов несложное, такого характера задания уже предлагались и вы контрольной решили его. работы - Во втором задании предлагается сравнить числа. Вам понадобится знания на распознавание, какая из дробей больше другой. - В третьем – надо сложить числа, но сначала в I в. узнать 3 2 5 7 сколько составляет от числа 30 и от числа 14, а во II 2 2 9 5 варианте узнать, сколько составляет от 18 и от числа 40. - В четвертом – вам пригодится знания по оперированию единицами величины. Сколько в квадратном метре квадратных дециметров, в кубическом метре квадратных сантиметров, кубических дециметров, в тонне центнеров, килограммов. - В пятом задании I в. известна ширина прямоугольника.48 см, периметр 3 16 от 48, нужно найти сначала периметр и, зная, что периметр –сумма длин всех сторон, найти длину. Во II варианте длина известна как 8 см, а периметр 5 16 от 80, найти периметр, а только потом ширину. - Итак, эти задачи решаются в два действия. IV. - Можете начать приступать к выполнению контрольной 71 Выполнение работы. заданий V. Итог урока - Заканчиваем выполнять. Сдаем тетради. Урок окончен. До свидания. 72 Приложение 4 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Цели: образовательные: объяснить учащимся приемы действий сложение и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, ввести формулу буквенной записи, правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Научить правильно читать и записывать выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, формировать умение решать задачи на сложения и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, применять полученные знания при решении задач. развивающие: развивать логическое мышление, умение решать задачи на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, умение читать выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, также, как и выражения и уравнения с натуральными числами, развивать математическое мышление, память, речь, активность. воспитательные: воспитывать любовь к математике, коллективизм, дисциплинированность, самостоятельность мышления, наглядность воспроизведения. Оборудование: учебник, конспект, наглядное пособие. Ход урока (1 урок): 73 I. Организация класса - Здравствуйте, ребята! Приготовьтесь к уроку. Садитесь. II. Сообщение - Сегодня тема нашего урока «Сложение и вычитание темы дробей с одинаковыми знаменателями» Мы научимся и целей урока складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, использовать полученные знания при решении задач. III. Устный счет - Решите уравнения: (3х+5х) 18=144 (7у-3у): 8=17 (6а+а): 13=14 4: (9в-в) =2 - Поставьте вместо звездочек знаки «>» или «<» так, чтобы получилось верное равенство: 5 8 14 13 4 ∗ ; ∗ ; 0 ∗ ; 67430087 ∗ 67430093 9 9 105 105 15 - Молодцы! IV. Объяснение - Вафельный торт разрезали на 8 равных частей (долей). нового Сначала на тарелку положили 3 части. материала 3 -Эта какая дробь? ( -правильная). 8 74 -Что над дробной чертой? (числитель 3). - На что он указывает? (сколько долей взяли) - А под дробной чертой? (знаменатель8). - На что он указывает? (на сколько делят). - Верно. - Затем положили еще 2 куска торта. 2 - Это какая дробь? ( - правильная). 8 - Правильно. 3 2 3 2 8 8 8 8 - Сравним и ( > ). - Обратим внимание: у них какие знаменатели? (одинаковые). 3 2 8 8 - Верно. Узнаем теперь, если положили , затем торта, то сколько всего оказалось? - Для этого необходимо произвести действе сложения дробей с одинаковыми знаменателями. При сложение дробей с одинаковыми знаменателями числитель складывают, а знаменатель оставляют тот же. 3 2 8 8 - В дробях и что оставим неизменным (знаменатель 8). - Правильно. Складываем числители. Назовите их (3 и 2). 75 - Запишем правило сложения дробей с одинаковым знаменателями с помощью букв. Дробь виде буквенной записи 𝑎 𝑐 , где 3 8 представим в 2 а =3, с=8. А дробь в 8 𝑏 виде , где в=2, с=8. 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 + = 𝑐 𝑐 𝑐 -Запишем эту формулу в тетради и возьмите в рамочку. - Предположим, что теперь разрезав этот самый торт на 8 частей, на тарелку положили 3 куска съели. Сколько тогда кусков осталось? Как узнали? (вычтем). - Правильно. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же: 3 2 3−2 1 − = = 8 8 8 8 - С помощью букв запишем правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дробь 3 8 в буквенной записи 𝑎 2 𝑐 8 обозначим, как было обозначено в виде , а дробь 𝑏 𝑐 . 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 − = 𝑐 𝑐 𝑐 - Запишите эту формулу и возьмите в рамочку. - Еще раз при сложении и вычитании дробей с 76 в виде одинаковыми знаменателями знаменатель оставляют тот же, он остается неизменным, его, не трогают, а числители складывают и вычитают, т.е. производят действия только с числителями, при сложении складывают числители, а знаменатель тот же, при вычитании из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель не трогают. - Теперь потренируемся, используя полученные знания при решении задач. V. Работа по - Откройте стр.156 учебника. Найдите и прочитайте учебнику №1005 - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - составим краткую запись и решим задачу. - Запишите ответ. - Выполняем следующие номера № 1006 - О чем говорится? - Что известно? - Что требуется найти? - Составим краткую запись и решим задачу. 77 - Запишите ответ. №1007 - О чем говорится? - Назовите условие. - Назовите вопрос - Составим краткую запись. - Запишите ответ. - Решите и запишите ответ №1008 - О чем говорится в задаче? - Что известно? - Что нужно узнать? - Краткая запись, решение и ответ. - Молодцы! VI Разминка. - А теперь небольшая разминка по теме «Доли», Веревку поделили поровну 7 раз. Сколько это долей? (8) - А если бы поделили на 21? (22) - Верно. Ход урока (2 урок): 78 I Постановка - Итак, на 2 уроке продолжаем знакомство с действием цели урока. сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Обратимся к стр.157, а точнее к правилу. - Прочитаем правило: II Работа с Выражения и уравнения, содержащие обыкновенные правилом. дроби, читают по тем же правилам, что и соответствующие выражения и уравнения с натуральными числами. Например: 7 53 ÷ 12 53 - сумма семи пятьдесят третьих и двенадцати пятьдесят третьих; - к семи пятьдесят третьим прибавить двенадцать пятьдесят третьих. 27 100 − 9 100 - разность двадцати семи сотых и девяти сотых; - от двадцати семи сотых отнять девять сотых; - из двадцати семи сотых вычесть девять сотых. Х+ 12 19 = 15 19 - сумма икс и двенадцати девятнадцатых равна пятнадцати девятнадцатым. - Под ним №1011 Прочитайте задание. 79 - Решите примеры, правильно читая эти выражения. - Следующий №1012 III Решение задач. - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - Составим краткую запись и решим ее. - Запишите ответ. - Следующая задача под №1010 - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - Составим краткую запись. - Запишите решения и ответ. - И задача № 1013 - О чем говорится? - Что известно? - Что нужно найти? - Составим краткую запись и решим ее. 80 - Запишите ответ. - Молодцы! - Задачи решаете хорошо, а теперь при правильном чтение решим уравнения в №1018 - Молодцы! IV Итог урока. - С чем познакомились сегодня на уроке? - Чем занимались на уроке? V Домашнее задание. - Запишите д/з: №1015, №1017. - Урок окончен. До свидания. 81