Дифференциальные уравнения в экономике

УТВЕРЖДАЮ
Проректор-директор ФТИ
___________Долматов О.Ю.
«___»_____________2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ
НАПРАВЛЕНИЕ (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ) ООП
01.03.02 Прикладная математика и информатика
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ (СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ, ПРОГРАММА)
Применение математических методов для решения инженерных и
экономических задач
КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) : бакалавр
БАЗОВЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ПРИЕМА 2015 г.
КУРС 3 СЕМЕСТР 5
КОЛИЧЕСТВО КРЕДИТОВ 3
ПРЕРЕКВИЗИТЫ «Математический анализ», «Алгебра и геометрия»,
«Теория вероятностей»
КОРЕКВИЗИТЫ «Методы функционального анализа в инженерных
расчётах», «Финансовая математика»
ВИДЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ВРЕМЕННОЙ РЕСУРС:
ЛЕКЦИИ
16 час.
ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
0 час.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
16 час.
АУДИТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
32 час.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
76 час.
ИТОГО
108 час.
ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
очная
ВИД ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ: ЗАЧЕТ - 5 СЕМЕСТР
ОБЕСПЕЧИВАЮЩАЯ КАФЕДРА:
ВМиМФ
ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ:
д.ф.-м.н., профессор А.Ю. Трифонов
РУКОВОДИТЕЛЬ ООП:
к.ф.-м.н., доцент Шевелев Г.Е.
ПРЕПОДАВАТЕЛИ:
д.ф.-м.н., профессор А.В.Шаповалов
1. Цели освоения дисциплины
В результате освоения данной дисциплины студент приобретает знания, умения и
навыки, обеспечивающие достижение целей P1, Р2 и Р9 основной образовательной
программы 01.03.02 «Прикладная математика и информатика».
Основные цели преподавания курса дифференциальных уравнений в экономике.
1. Изучение предусмотренных программой определений, теорем, их доказательств, связей
между ними, формирование умения применять полученные знания при решении
конкретных задач.
2. Создание отношения к дифференциальным уравнениям в экономике как к инструменту
исследования и решения прикладных задач. Эта цель достигается выработкой у студентов
понимания сущности математических моделей процессов в экономике, а также освоением
навыков моделирования.
3. Развитие у студентов логического мышления, математической интуиции, точности и
обстоятельности аргументации, т.е. воспитания математической культуры, которая
способствовала бы включению будущих специалистов в процесс активного познания, в
частности, обеспечивала бы им возможность самостоятельного овладения новым
математическим аппаратом и применением его в различных предметных областях.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина
относится
к
вариативной
профессиональный модуль (ДИСЦ.В.М17.1).
части,
междисциплинарный
3. Результаты освоения дисциплины
При изучении дисциплины студенты должны получить представление: о значении
математического аппарата дифференциальных уравнений в экономике, получить
общенаучные базовые знания по моделированию процессов в экономике с
использованием данного математического аппарата. Студенты должны будут уметь:
грамотно применять основные понятия и методы теории дифференциальных уравнений,
представляя реальные границы их применения; проверять найденные решения;
самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями, опираясь на опыт,
приобретенный в процессе изучения курса дифференциальных уравнений в экономике.
После изучения данной дисциплины студенты приобретают знания, умения и опыт,
соответствующие результатам основной образовательной программы: Р1, Р2, Р9.
Соответствие результатов освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения в
экономике» формируемым компетенциям ООП представлено в таблице.
Формируемые
компетенции в
Результаты освоения дисциплины
соответствии с
ООП*
В результате освоения дисциплины студент должен знать:
З1.2
Общенаучные базовые знания по дифференциальным уравнениям.
В результате освоения дисциплины студент должен уметь:
У1.2
Грамотно пользоваться языком предметной области,
У2.2
строго доказать утверждение, формулировать результат.
Применять методы теории дифференциальных уравнений для решения
задач профессиональной деятельности.
В результате освоения дисциплины студент должен владеть:
В9.2
Навыками письменной и устной коммуникации на математическом
В2.3
языке.
Математическим аппаратом для формулирования задач и
математического моделирования различных объектов и явлений в
экономике.
4. Структура и содержание дисциплины
Дифференциальные уравнения в экономических моделях (6 часа)
Экономические закономерности и дифференциальные соотношения. Применение
дифференциальных уравнений в моделях экономики. Равновесная цена в модели
Вальраса. Модель Солоу односекторной экономики. Модель управления ресурсами.
Упрощенная модель делового цикла Кейнса. Динамический выбор вида транспорта,
модель Денебурга, де Пальма и Канна. Модель розничной торговли Вильсона.
Основные понятия и определения (4 часа)
Векторные функции и системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение
системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Автономные и неавтономные
динамические системы. Фазовое пространство. Фазовый поток. Фазовая скорость.
Элементарные приемы интегрирования.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (6
часов)
Приближенный метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши и Пеано.
Пространства функций. Метрика и ее свойства. Примеры метрических пространств.
Линейные пространства. Норма и ее свойства. Примеры нормированных пространств.
Отображения метрических пространств. Сжимающие отображения. Принцип
сжимающих отображений. Примеры применения принципа сжимающих отображений:
линейные алгебраические уравнения, интегральные уравнения. Уравнение первого
порядка в интегральной форме.
Существование и единственность решения уравнения первого порядка и принцип
сжимающих отображений. Существование и единственность решения задачи Коши для
системы уравнений первого порядка.
Непрерывная зависимость решения системы от начальных данных. Непрерывная
зависимость решения системы уравнений от ее параметров. Дифференцируемость
решений по параметрам. Непрерывная зависимость решений от начальных условий.
Производная по направлению векторного поля. Интегралы системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Преобразование переменных в системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Выпрямление векторного поля.
Линейные системы и их свойства. Матрициант (матрица эволюции). Структура
матрицианта линейной системы с постоянными коэффициентами.
Содержание практической части дисциплины 16 часов)
1.
Построение экономических моделей с использованием дифференциальных
уравнений. Изменение цены ценных бумаг. Модели экономической динамики.
Односекторная модель оптимального роста. Непрерывные переменные потоки
платежей. Простой, сложный и непрерывный процент. Производственные функции.
2.
Решение уравнения Модели Солоу с неоклассической производственной
функцией.
3.
Решение динамических уравнений в модели выбора вида транспорта.
4.
Элементарные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений.
5.
Условия Липшица для уравнения первого порядка и систем
дифференциальных
уравнений.
Выполнение
условий
Липшица
для
дифференциальных уравнений экономических моделей. Построение ломаных Эйлера.
6.
Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающие семейства
решений дифференциального уравнения.
7.
Метрика и ее свойства. Примеры метрических пространств. Сжимающие
отображения. Примеры сжимающих отображений в теории дифференциальных
уравнений.Норма функции. Метрика и норма. Примеры нормированных пространств.
8.
Построение приближенных решений систем дифференциальных уравнений
методом последовательных приближений.
9.
Интегралы систем дифференциальных уравнений. Редукция системы с
помощью
интегралов.
Геометрические
свойства
систем
обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Распределение компетенций по разделам дисциплины
Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения по
основной образовательной программе, формируемых в рамках данной дисциплины и
указанных в пункте 3.
№ Формируемые
компетенции
1. знать:
Общенаучные базовые
знания по избранным
главам теории
дифференциальных
уравнений
2. уметь:
Грамотно пользоваться
языком предметной
области,
строго доказать
утверждение,
формулировать
результат.
3. уметь:
Применять методы
теории
дифференциальных
уравнений для
решения задач
профессиональной
деятельности.
4. владеть:
Навыками письменной
и устной коммуникации
на математическом
языке.
5. владеть:
1
х
х
2
х
Разделы дисциплины
3
4
5
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
Математическим
аппаратом для
формулирования задач
и математического
моделирования
экономических
процессов.
5. Образовательные технологии
При освоении дисциплины используются следующие сочетания видов учебной
работы с методами и формами активизации познавательной деятельности студентов для
достижения запланированных результатов обучения и формирования компетенций.
Методы и формы
Виды учебной деятельности
активизации
ЛК
Практика
СРС
деятельности
Дискуссия
х
х
IT-методы
х
х
х
Командная работа
х
х
Разбор кейсов
Опережающая СРС
х
Индивидуальное
обучение
Проблемное обучение
Обучение на основе
опыта
Для достижения поставленных целей преподавания дисциплины реализуются
следующие средства, способы и организационные мероприятия:
 изучение теоретического материала дисциплины на лекциях и практике;
 самостоятельное изучение теоретического материала дисциплины с использованием
Internet-ресурсов, информационных баз, методических разработок, специальной учебной и
научной литературы;
6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов (CРC)
6.1
Текущая и опережающая СРС, направленная на углубление и закрепление
знаний, а также развитие практических умений заключается в:
 работе студентов с лекционным материалом, поиск и анализ литературы и электронных
источников информации по заданной проблеме и выбранной теме курсовой работы,
 в выполнении домашних заданий,
 в изучении тем, вынесенных на самостоятельную проработку,
 в изучении теоретического материала к практическим занятиям,
 подготовке к экзамену.
6.1.1. Темы, выносимые на самостоятельную проработку:
– Метод интегрируемых комбинаций решения систем дифференциальных уравнений.
– Свойства производных и интегралов от матриц.
– Модель Мальтуса.
– Логистическая модель Ферхюльста.
6.2
Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа
(ТСР) направлена на развитие интеллектуальных умений, комплекса универсальных
(общекультурных) и профессиональных компетенций, повышение творческого
потенциала студентов и заключается в:
 поиске, анализе, структурировании и презентации информации, анализе научных
публикаций по определенной теме исследований,
 исследовательской работе и участии в научных студенческих конференциях, семинарах
и олимпиадах,
6.2.1. Примерный перечень научных проблем и направлений научных исследований:
 Применение теории дифференциальных уравнений к прикладным задачам.
 Применение методов теории дифференциальных уравнений для моделирования
экономических процессов.
7. Средства текущей и итоговой оценки качества освоения дисциплины
оценочных средств)
(фонд
Оценка успеваемости студентов осуществляется по результатам:
- самостоятельных работ и по итогам контрольных работ,
- взаимного рецензирования студентами работ друг друга,
- устного опроса при сдаче выполненных индивидуальных заданий и во время экзамена
(для выявления знания и понимания теоретического материала дисциплины).
7.1. Требования к содержанию экзаменационных вопросов
Экзаменационные вопросы охватывают все разделы курса и включают:
1. Теоретические вопросы на понятие или определение.
2. Доказательство (или формулировки) теорем.
3. Практические задания.
7.2. Примеры экзаменационных вопросов
Тема 1: “ Избранные главы теории дифференциальных уравнений ”.
1. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений для случая
комплексных корней характеристического уравнения.
2. Свойства решений систем неоднородных дифференциальных уравнений.
3. Матричный метод решения систем неоднородных дифференциальных
уравнений.
Тема 2: “ Дифференциальные уравнения в экономических моделях ”.
4. Дайте определение модели
Вальраса. Сформулируйте
условия
применимости этой модели.
5.
Упрощенная модель делового цикла Кейнса: формулировка, условия
применимости.
8. Рейтинг качества освоения дисциплины (модуля)
Оценка качества освоения дисциплины в ходе текущей и промежуточной аттестации
обучающихся осуществляется
в соответствии с «Руководящими материалами по
текущему контролю успеваемости, промежуточной и итоговой аттестации студентов
Томского политехнического университета», утвержденными приказом ректора № 77/од от
29.11.2011 г.
В соответствии с «Календарным планом изучения дисциплины»:
 текущая аттестация (оценка качества усвоения теоретического материала (ответы
на вопросы и др.) и результаты практической деятельности (решение задач,
выполнение заданий, решение проблем и др.) производится в течение семестра
(оценивается в баллах (максимально 60 баллов), к моменту завершения семестра
студент должен набрать не менее 33 баллов)
Оценивающие мероприятия
Кол- Баллы
во
Контрольная работа
3
38
Защита ИДЗ
5
22
60
 промежуточная аттестация (экзамен) производится в конце семестра (оценивается в
баллах (максимально 40 баллов), на экзамене студент должен набрать не менее 22
баллов).
Итоговый рейтинг по дисциплине определяется суммированием баллов, полученных
в ходе текущей и промежуточной аттестаций. Максимальный итоговый рейтинг
соответствует 100 баллам.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля (дисциплины)
Учебная и справочная литература
А. Учебники и учебные пособия
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.-2-е изд. М.: Наука, 1969. 424 с.
2. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и
основы вариационного исчисления. - -2-е изд. - М.: Наука, 1979. 288 с.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 4-е изд М.: Наука,
1974. 331 с.
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -7-е
изд. - М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.
5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -3-е
изд. - М.: Наука, 1998. 232 с.
6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа,
1991. 303 с.
7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: -4-е изд Издво.РХД, 2000. 368 с.
8. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
- М.: -4-е изд. Высшая школа, 1967. 565 с.
9. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая
математика для технических университетов V. Дифференциальные уравнения.—
Томск. Изд-во ТПУ, 2007. 396 с
Б. Задачники и руководства по решению задач
1. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - Ижевск: Издво.РХД, 2000. 176 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах, ч.1, 2.- М.: Высшая школа, 1980. 304 с.
3. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. - М.:
Наука, 1968, 1977.. 342 с.
В. Экономическая литература
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике. - М.: Изд-во “ДИС”, 1997. 365 с.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: Изд-во «ЮНИТИ», 1998. 240 с.
3. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной
экономической теории.- М.: Мир, 1999. 335 с.
4. Терпугов А. Ф. Экономико-математические модели: Учебное пособие --- . - Томск :
ТГПУ, 1999. - 118 с.
5. Жданов С.А. Экономические модели и методы в управлении. - М.: Изд-во «Дело и
Сервис», 1998. 176 с.
9.3. Internet-ресурсы:
1. http://portal.tpu.ru - персональный сайт преподавателя дисциплины
2. http://benran.ru –библиотека по естественным наукам Российской Академии Наук
3. http://mathnet.ru – общероссийский математический портал
4. http://lib.mexmat.ru –электронная библиотека механико-математического факультета
МГУ
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Освоение дисциплины производится на базе учебных аудиторий учебных корпусов
ТПУ. Аудитории оснащены современным оборудованием, позволяющим проводить
лекционные и практические занятия.
Образцы контролирующих материалов.
Список основных вопросов на зачет
Описание равновесной модели Вальраса.
Модель Солоу экономического роста.
Модель делового цикла Кейнса.
Модель динамического выбора вида транспорта.
Система дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. Векторное поле и
фазовый поток.
6. Приближенный метод Эйлера построения решения уравнения первого порядка.
7. Теорема существования и единственности решения уравнения первого порядка.
8. Понятие метрики и метрического пространства. Примеры метрических пространств.
9. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертово пространство.
10. Предел в метрическом пространстве. Последовательность Коши. Полное метрическое
пространство.
11. Принцип сжимающих отображений.
12. Оценка скорости сходимости итерационной процедуры.
13. Существование и единственность решения уравнения первого порядка. Доказательство
с помощью принципа сжимающих отображений.
14. Доказательство существования и единственности решения системы уравнений первого
порядка с помощью принципа сжимающих отображений.
15. Непрерывная зависимость решения системы от параметра.
16. Непрерывная зависимость решения системы от начального условия.
17. Дифференцируемость решений системы первого порядка.
18. Свойства уравнения, не разрешенного относительно производной.
19. Дискриминантные кривые, особые решения. Огибающая семейства решений.
20. Свойства системы уравнений первого порядка. Приведение системы уравнений
первого порядка к одному уравнению высшего порядка.
21. Производная по направлению векторного поля и ее свойства.
22. Интегралы системы уравнений первого порядка.
23. Замена координат в системе уравнений первого порядка.
24. Выпрямление векторного поля.
1.
2.
3.
4.
5.
25. Устойчивость по Ляпунову решения задачи Коши для уравнения первого порядка.
26. Асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость, неустойчивость решения
задачи Коши для уравнения первого порядка.
27. Приведение задачи об устойчивости решения задачи Коши общего вида к задаче об
устойчивости тривиального решения.
28. Оценки матрицианта двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами.
29. Классификация линейных двумерных систем с постоянными коэффициентами.
30. Устойчивость тривиального решения многомерной линейной системы с постоянными
коэффициентами.
31. Устойчивость тривиального решения системы первого порядка общего вида по
линейному приближению. Оценки матрицианта системы линейного приближения.
32. Теорема об устойчивости по линейному приближению.
33. Понятие о функции Ляпунова на примере двумерной линейной системы с
постоянными коэффициентами.
34. Прямой метод Ляпунова.
35. Теорема об асимптотической устойчивости в прямом методе Ляпунова.
36. Понятие о функционалах, примеры функционалов, функционал длины дуги кривой на
плоскости.
37. Вариация функционала. Вычисление вариации функционала длины дуги кривой.
Преобразование вариации.
38. Необходимые условия экстремума функционала. Вариационная производная.
39. Функционал действия. Вычисление вариационной производной функционала
действия. Получение уравнений Эйлера-Лагранжа второго порядка.
40. Функционал действия. Функция Лагранжа. Вычисление вариационной производной
функционала действия для функции Лагранжа с производными первого порядка.
Получение уравнений Эйлера-Лагранжа второго порядка.
41. . Вычисление вариационной производной функционала действия для функции
Лагранжа с производными высших порядков. Получение уравнений Эйлера-Лагранжа
с производными высших порядков.
42. Преобразование Лежандра, функция Гамильтона, уравнения Гамильтона.
43. Вариационные методы в модели Лонга-Зиберта. Принцип максимума.
44. Вариационные задачи оптимального экономического роста.
Индивидуальное домашнее задание
ВАРИАНТ 6
6.1 Построить кривые предложения и спроса в зависимости от цены.
6.2. Найти равновесную цену для линейной зависимости
D( p, )  p  1 , S ( p)  p  2 , , 1 , 2 ,  - постоянные.
6.3. Найти равновесную цену для квадратичной зависимости
D ( p, )  p 2  1 , S ( p)    2 , , 1 , 2 ,  - постоянные.
6.4. Найти вид стационарной траектории в модели Солоу.
6.5. Найти общее решение уравнения
4 xdx  3 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx
6.6. Найти общее решение уравнения
dy
(1  e x )
 ye x
dx
6.7 Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат,
делится пополам в точке касания.
6.8 Скорость обесценивания оборудования вследствие износа в любой данный
момент времени пропорциональна его фактической стоимости. Найти стоимость в момент
времени t, если начальная стоимость равна A. Через какое время оборудование
обесценится на треть, если k  0, 25 ?
6.8. Опишите фазовое пространство уравнений и систем уравнений:
y '' y  xy 2 , y ' y  xy 2 , y ''' y  0 .
6.9. Опишите фазовое пространство и найдите фазовый поток для системы
dx(t )
 kx(t ) .
dt
Проверьте, выполняется ли свойство g t   g t g  .
Темы для рефератов
1. Принцип сжимающих отображений. Существование и единственность решения
задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Замена координат в системе ОДУ. Теорема о выпрямлении векторного поля.
3. Гамильтоновы системы и их свойства.
dy ax  by
4. Особые точки уравнения
. Поведение решения в окрестности особой

dx cx  dy
точки.
dx
 f  x  по линейному
5. Система в вариациях. Устойчивость решений системы
dt
приближению.
6. Теорема Ляпунова об устойчивости решений системы ОДУ.
7. Асимптотическая устойчивость решения системы ОДУ.
8. Функция Грина линейного уравнения.
9. Линейное однородное уравнение в частных производных I порядка.
10. Линейное неоднородное уравнение в частных производных I порядка.
11. Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных I порядка.
12. Вариация и ее свойства.
13. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
14. Основная лемма вариационного исчисления.
15. Функция Грина уравнения y  kx  f x .
16. Линейное однородное уравнение n-го порядка.
17. Линейное неоднородное уравнение II-го порядка и его свойства.
18. Метод малого параметра и его применение к уравнению
..
.


x  a 2 x  f t    F  t , x, x,  , 0    1.


19. Бифуркации и бифуркационный анализ модели экономического роста.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с требованиями
ФГОС по направлению и профилю подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика».
Программа одобрена на заседании кафедры ВММФ ФТИ ТПУ (протокол №___от «__»
июня 2015 г.).
Авторы
профессор кафедры ВММФ ФТИ ТПУ Шаповалов А.В.
Рецензент доцент кафедры ВММФ ФТИ ТПУ Цехановский И.А.