статически неопределимой - Математика. Теоретическая

Глава 1
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
1.1. Статически неопределимая ферма
Найти усилия в стержнях плоской фермы (рис. 1). Узел D нагружен
горизонтальной силой P = 16кН. Размеры даны в метрах.
-P
-P
2
2
4
6
YC
4
Рис. 1
Рис. 2
Решение
Для равновесия тела на плоскости достаточно три связи. В данной
конструкции из четыре — одна неподвижная опора (две связи) и
две подвижные. Система содержит одну дополнительную связь, следовательно, она один раз статически неопределима. Задачу решаем
методом сил. Выбираем основную систему, отбрасывая вертикальную
связь в узле C (рис. 2). Основная система статически определима и
геометрически неизменяема.
Задача метода сил сводится к двум статически определимым задачам — основная система под действием внешней нагрузки и система
под действием единичной силы взамен реакции опоры дополнительной
опоры.
1. Находим реакции опор в основной системе от действия внешней
силы (рис. 3). Составляем три уравнения равновесия
6
Статически неопределимые системы
Раздел 1
P
Xi =
P
MA =
P
MB =
XA + P = 0,
YB · 8 − P · 4 = 0,
−YA · 8 − P · 4 = 0.
-P
2
2
XA
6
YA
4
4
6
YB
Решаем систему уравнений.
Находим XA = −P = −12 кН,
YA = −P/2 = −6 кН, YB =
= P/2 = 6 кН.
Рис. 3
Для проверки составляем сумму проекцию всех сил, действующих
на ферму, на ось y:
X
Yi = YA + YB = 0.
O1
RU1
R
D1
XA-
6
YA
U1
Рис. 4
Составляем два
Находим усилия в стержнях фермы
от действия сил в основной системе.
Усилия O1 , U1 , D1 найдем по методу Риттера [3]. Рассекаем стержни
первой панели вертикальным сечеRO1
нием (рис. 4). Находим точки Риттера (моментные точки) на пересечениях линий действия усилий в сечении. Таких точек две: RO1 , RU1 .
уравнения моментов относительно точек Риттера
P
MRO1 = −O1 · 4 − YA · 4 = 0,
P
MRU 1 = U1 · 4 + XA · 4 = 0.
(1.1)
Усилие D1 в раскосе, для которого нет точки Риттера (усилия O1 ,
U1 параллельны), определяем из уравнения проекций на вертикальную
ось
X
Yi = YA − D1 cos 45 = 0.
(1.2)
RO2
Y O2
RU2
D2
U2
6
YB
Рис. 5
RD2
Рассекаем стержни второй панели вертикальным сечением
(рис. 5). Находим точки Риттера: RO2 , RU2 , RD2 .
1.1.
7
Статически неопределимая ферма
Составляем уравнения моментов
P
MRO2 = O2 · 4 sin γ + O2 · 2 cos γ + YB · 4 = 0,
P
MRU 2 = −U2 · 2 = 0,
P
MRD2 = D2 cos γ · 2 + D2 sin γ · 4 − YB · 4 = 0.
(1.3)
Усилия в вертикальных стержнях V1 , V2 , V3 методом Риттера найти
нельзя. Нет сечений, рассекающих ферму на две части (части должны
содержать хотя бы один стержень) и пересекающих эти стержни.
Используем метод вырезания узлов. Вырезаем узлы A, B, D (рис. 7–
8), заменяя действие стержней их реакциями, направленными от узла
к стержню.
V
V
61
63
O1
D
V
?2
-P
j
O2
UXA1
A6
YA
Рис. 6
U2 B
6
YB
Рис. 7
Рис. 8
Составляем необходимы уравнения равновесия в проекциях. Потребуются только проекции на ось y:
P A
Y = V1 + YA = 0,
P iB
Y = V3 + YB = 0,
(1.4)
P iD
Yi = −V2 − O2 sin γ = 0.
Решения уравнений 1.1–1.4 заносим в столбец "SP k "таблицы 1 (в кН)
Таблица 1
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
U1
U2
V1
V2
V3
D1
D2
O1
O2
SP k
s1k
Lk
Sk
12
0
6
3
-6
-8.485
6.708
6
6.708
0
0
0.5
-0.25
0.5
-0.707
0.559
0.5
0.559
4
4
4
4
2
5.657
4.472
4
4.472
12
0
1.081
5.460
-10.919
-1.529
1.208
1.081
1.208
2. Прикладываем к ферме единичную силу по направлению реакции
YC дополнительной опоры (рис. 9). Находим реакции опор в основной
системе. Составляем три уравнения равновесия
8
Статически неопределимые системы
P
Xi =
P
MA =
P
MB =
2
2
XA
6
YA
4
6
1
4
Раздел 1
XA = 0,
YB · 8 + 1 · 4 = 0,
−YA · 8 − 1 · 4 = 0.
Решаем систему уравнений.
Находим XA = 0, YA = −0.5,
YB = −0.5.
6
YB
Рис. 9
Методом Риттера или методом вырезания узлов находим усилия
в стержнях фермы от действия единичной силы. В данном случае
уравнения равновесия 1.1–1.4 при этом не изменятся по форме. Изменятся лишь значения реакций опор. Кроме этого на рис. 6 не будет
горизонтальной силы P . Решения заносим в столбец "s1k "таблицы
1. Для удобства вычислений в последний столбец таблицы запишем
длины стержней.
Записываем каноническую систему метода сил
δ11 YC + ∆1P = 0,
выражающую равенство нулю вертикального перемещения в точке C.
Вычисляем коэффициенты канонической системы
1 X
δ11 =
Lk s21k = 8.327,
EF
k
∆1P
1 X
Lk SP k s1k = 81.934.
=
EF
k
Решаем систему и получаем
YC = −∆1P /δ11 = −9.839.
Определяем реакции опор и усилия в стержнях статически неопределимой системы
(P )
(1)
XA = XA + XA YC = −12
(P )
+ YA YC = −1.081
(P )
+ YB YC = 10.919
YA = YA
YB = YB
(1)
(1)
Sk = SP k + s1k YC , k = 1..9.
Результаты вычислений заносим в последний столбец таблицы 1.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.
Дьяконов В.П. MATLAB: учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.
Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/ Под ред. А. И. Кириллова. — М.: Физматлит, 2002.
Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.
— СПб.: БХВ-Петербург, 2001.
Очков В.Ф. Mathcad 12 для студентов и инженеров. — СПб.: БХВПетербург, 2005.
Учебное издание
КИРСАНОВ Михаил Николаевич
Решебник
Сопротивление материалов
Редактор М. Б. Козинцева
Оригинал-макет автора
Оформление переплета:А.А.Логунов
ЛР № 020528 от 05.06.97.
Подписано в печать с оригинал-макета *****
Бумага офсетная.
Усл.печ. л. 6,0
Тираж 5000 экз.
Формат 60×84/16.
Печать офсетная.
Заказ