- БГТУ Военмех

Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф.Устинова
Факультет: И «Информационные и управляющие системы»
Кафедра: И7 «Прикладной математики и информатики»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«Математическая логика и теория алгоритмов»
специальности 230102 «Автоматизированные системы обработки информации и
управления»
направления подготовки 230100 «Информатика и вычислительная техника»
Заведующий кафедрой И7 д. ф.-м. н., профессор
Составитель д. ф.-м. н., профессор
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2008 г.
/С.Д. Шапорев/
/С.Д. Шапорев/
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. УСТИНОВА
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
_________________/С.М. Стажков/
«____» _________________2008 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
____«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ»_______
( указывается наименование дисциплины в соответствии с ГОС и учебным планом)
для специальности 230102
Автоматизированные системы обработки информации и
_____________________________управления_____________________________
( у ка з ыва е т с я и н де кс и н а и м ен о ва н и е н а п р а вле н и я / с п е ц и а льн о с ти п о дг о т о вк и в с о о т ве т с т ви и с ?
для факультета
"И" Информационные и управляющие системы________________
(ука зывает ся индекс и полное наимен ование факультета универси тета , заказавшего программу)
форма обучения _______очная__________________
(оч на я , очно -з аоч ная )
КАФЕДРА _И7__Прикладная математика и информатика ____________________
ЧАСЫ (по наличию видов занятий)
34
ДРУГИЕ ВИДЫ
САМОСТ. РАБОТЫ
РЕФЕРАТ
РАСЧЁТНО - ГРАФ.
РАБОТА
КУРСОВАЯ
РАБОТА
КУРСОВОЙ
ПРОЕКТ
ВСЕГО
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
ДРУГИЕ ВИДЫ
ЗАНЯТИЙ
34
ЛАБОРАТОРНЫЙ
ПРАКТИКУМ
34
СЕМИНАРЫ
68
ЗАНЯТИЯ
102
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ОБЩАЯ
ТРУДОЁМКОСТЬ
3
ЛЕКЦИИ
СЕМЕСТР
2
АУДИТОРНЫЙ
ПРАКТИКУМ
ВСЕГО
КУРС
АУДИТОР НЫЕ ЗАНЯТИЯ
34
Вид итогового контроля
(экзамен, зачёт)
(у ка з ыва е т с я и н де кс и п о лн о е н а и м е но ва н и е к а фе др ы, с о с т а ви вш е й и р е а ли з у ю щ е й п р о г р а м м у )
Экз.
Начальник методического отдела БГТУ
___________________/ Емельянов В.Ю. /
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2008 г.
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного
стандарта ВПО и рассмотрена на заседании кафедры И7
“__” _______ 2008 г
Заведующий кафедрой __________________/ С.Д. Шапорев /
Программа согласована в учебно-методической комиссии факультета «И»
"__"_____2008 г.
Председатель МК ________________________/ В.В. Смирнов /
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой И3 _________________________________________ /О.С. Ипатов /
"__"______2008 г.
Заведующий кафедрой И5 _________________________________________ /Н.Н. Смирнова /
"__"______2008 г.
Учебная дисциплина обеспечена основной литературой
Директор библиотеки БГТУ___________________________/ Н. В. Сесина /
"__"_____2008 г
Выдержка из ГОС ВПО РФ (2000 г.)
по направлению 230100 Информатика и вычислительная техника
для специальности 230102 Автоматизированные системы обработки информации и управления
по минимуму содержания программы дисциплины, входящей в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин из перечня обязательных дисциплин федерального компонента ГОС
ЕН.Ф.01.04
Общее число часов: 100
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Логика высказываний; логика предикатов; исчисления; непротиворечивость; полнота; синтаксис и семантика языка логики предикатов. Клаузальная форма. Метод резолюций в логике предикатов. Принцип логического программирования. Темпоральные логики; нечеткая и модальные логики;
нечеткая арифметика; алгоритмическая логика Ч. Хоара. Логика высказываний. Логическое следование, принцип дедукции. Метод резолюций. Аксиоматические системы, формальный вывод. Метатеория формальных систем. Понятие алгоритмической системы. Рекурсивные функции. Формализация
понятия алгоритма; Машина Тьюринга. Тезис Черча; Алгоритмически неразрешимые проблемы. Меры сложности алгоритмов. Легко и трудноразрешимые задачи. Классы задач P и NP. NP – полные задачи. Понятие сложности вычислений; эффективные алгоритмы. Основы нечеткой логики. Элементы
алгоритмической логики.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ УЧ ЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.
Преподавание данной дисциплины, предусмотренное обязательным минимумом содержания основной образовательной программы специальности 230102, преследует и реализует следующие цели и возможности:
- развивает способности студентов к строгому абстрактно-формальному логическому и алгоритмическому мышлению;
- является существенной частью общего математического образования студентов,
ориентирует их на использование методов математической логики при решении
прикладных задач.
Вопросы, изучаемые в курсе математической логики и теории алгоритмов, базируются на общематематических курсах, изучаемых студентами на предыдущих семестрах, в
частности, в курсах математического анализа, вычислительной и дискретной математики.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
знать основные понятия и факты исчисления высказываний, алгебры логики, исчисления предикатов, теории аксиоматических систем и доказательств;
знать определение и основные характеристики алгоритма, понятия, факты и проблемы теории алгоритмов;
уметь проводить формально-логические построения на основе теории и формул математической логики;
уметь определять и строить вычислимые функции на основе рекурсивных алгоритмов;
уметь строить машины Тьюринга, вычисляющие заданные функции и по программе
машины Тьюринга определять её характеристики;
представлять значение и строение математических теорий как аксиоматических теорий, построенных на основе выбранных систем аксиом, строить интерпретации
формул теории и её модели;
уметь строить доказательства теорем в наиболее значимых теориях исчисления высказываний и предикатов.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
( с распределением общего бюджета времени в часах)
Самостоятельная
работа студентов
Лабораторный
практикум
Аудиторный
практикум
3
Лекции
СЕМЕСТР
2
Раздел
дисциплины,
содержание
ВСЕГО
КУРС
АУДИТОРНЫЕ
Раздел I. Основы математической логики
Тема 1. Логика высказываний
Высказывание как первичное понятие алгебры
логики. Основные операции над высказываниями. Пропозициональные связки. Истинностные
функции. Формулы алгебры высказываний, их
виды. Метод истинностных таблиц. Три группы
равносильных формул. Равносильные преобразования формул. Полные системы связок. Понятие о нечётких и модальных логиках.
Тема 2. Функции алгебры логики
Понятие булевой функции (функции двузначной логики). Элементарные булевы функции,
логические связки. Формулы алгебры логики,
функции, их реализующие. Основные эквивалентные формулы алгебры логики. Метод истинностных таблиц. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы
алгебры логики. Свойства совершенства. Закон
двойственности и двойственные операции.
Нормальные формы. Алгоритмы приведения к
совершенным дизъюнктивной и конъюнктивной
нормальным формам. Полиномы Жегалкина.
Двойственность. Принцип двойственности.
Теорема Поста. Проблемы полноты и разрешимости.
Тема 3. Приложения алгебры логики
Релейно-контактные схемы, их математическое
описание и методы построения. Решение логических задач.
42
6
12
2
16
2
14
2
16
4
6
6
10
2
4
4
Тема 4. Логика предикатов
Кванторные операции как обобщения операций
конъюнкции и дизъюнкции. Предикаты. Синтаксис и семантика языка логики предикатов.
Формулы логики предикатов. Свободные и связанные переменные. Интерпретации, выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Равносильности логики предикатов. Приведенная нормальная форма. Общезначимость и
выполнимость формул логики предикатов. Эквивалентные формулы логики предикатов.
Примеры распознавания общезначимости в
частных случаях.
Запись математических предложений на языке
логики предикатов. Запись математических
определений. Формулировка математических
теорем. Построение противоположных утверждений. Доказательство методом от противного. Формулировка обратных и противоположных теорем. Формулировка необходимых и достаточных условий.
Раздел II. Аксиоматические теории
10
4
4
2
34
12
10
12
Тема 5. Исчисление высказываний
Задание формальной аксиоматической теории:
алфавит, система аксиом, основные и производные правила вывода. Основные понятия теории
доказательств: гипотеза, следствие, вывод, теорема, разрешимая и неразрешимая теория. Построение аксиоматической теории исчисления
высказываний. Основные и производные правила вывода. Понятие выводимости формул. Правило одновременной подстановки, правило
сложного заключения, правило силлогизма,
правило контрпозиции, правило снятия двойного отрицания. Формулы и правила, выводимые
из совокупности формул. Правила вывода теории исчисления высказываний. Теорема дедукции, обобщение теоремы дедукции. Закон перестановки посылок, законы соединения и разъединения посылок. Примеры доказательств некоторых теорем теории исчисления высказываний. Теории исчисления высказываний Клини,
Гильберта-Аккермана, Россера, интуиционистская.
18
6
6
6
Тема 6. Исчисление предикатов
Построение аксиоматической теории исчисления предикатов первого порядка. Правила вывода теории исчисления предикатов. Коллизия
переменных в формулах исчисления предикатов. Правила вывода. Замена переменных: а)
замена переменного высказывания, б) замена
переменного предиката, в) замена свободной
предметной переменной, г) правило переименования связанных предметных переменных. Правила связывания квантором. Теорема дедукции.
Эквивалентные и дедуктивно эквивалентные
формулы. Непротиворечивость исчисления предикатов. Полнота в узком и широком смысле.
Примеры доказательств некоторых теорем.
Примеры теорий первого порядка. Метод резолюций в логике предикатов.
Тема 7. Проблемы полноты и разрешимости
формальных систем
Метаязык и метатеория. Проблемы разрешимости, полноты и непротиворечивости формальных аксиоматических теорий. Теоремы о полноте и непротиворечивости теории исчисления
высказываний. Непротиворечивость теорий
первого порядка. Теорема Гёделя о полноте.
Раздел III. Теория вычислимых функций
12
4
4
2
26
10
8
8
Тема 8. Формализация понятия алгоритма.
Рекурсивные функции
Эффективная вычислимость функции. Уточнение понятия алгоритма. Разрешимые и перечислимые множества. Примитивная рекурсия.
Примитивно-рекурсивные функции. Оператор
минимизации. Частично-рекурсивные функции.
Общерекурсивные функции. Примитивная рекурсивность и общерекурсивность некоторых
арифметических функций. Тезис Чёрча. Словарные множества и функции. Операции над
словарными функциями. Словарная примитивная рекурсия.
Тема 9. Машины Тьюринга
Компоненты машины Тьюринга: внешний и
внутренний алфавиты, команды и программа.
Конфигурация машины Тьюринга. Распознавание применимости машины Тьюринга к начальной конфигурации. Понятие функции, вычислимой по Тьюрингу. Примеры машин Тьюринга, вычисляющих некоторые арифметические
функции. Тезис Тьюринга. Действия над машинами Тьюринга.
8
4
2
2
14
4
6
4
4
4
2
Тема 10. Проблемы алгоритмической неразрешимости и сложности алгоритмов
Алгоритмически неразрешимые проблемы. Меры сложности алгоритмов. Легко и трудноразрешимые задачи. Классы задач P и NP. NP –
полные задачи. Понятие сложности вычислений; эффективные алгоритмы.
Итого за 3 семестр:
4
2
102
34
2
34
34
АУДИТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
РАЗДЕЛ ДИСЦИПЛИНЫ,
вид контрольного
мероприятия
АУДИТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
СОДЕРЖАНИЕ
1. Раздел I, тема 1. Логика высказываВысказывания, основные операний.
ции над высказываниями, пропозициональные связки. Формулы алгебры
высказываний. Применение метода
таблиц истинности к доказательству
тождественной истинности (ложности), выполнимости, опровержимости
формул алгебры высказываний.
2. Раздел I, тема 2. Функции алгебры
Функции алгебры логики. Элелогики. Метод таблиц истинности. Ос- ментарные булевы функции, их таблиновные эквивалентные формулы алгеб- цы истинности. Применение метода
ры логики.
таблиц истинности к доказательству
тождественной истинности (ложности), выполнимости, опровержимости,
эквивалентности функций алгебры логики. Решение тех же задач методом
эквивалентных преобразований.
3. Раздел I, тема 2. Нормальные формы
Приведение булевых функций к
булевых функций.
дизъюнктивной и конъюнктивной
нормальным формам, совершенным
нормальным формам по таблице истинности и с помощью эквивалентных
преобразований.
4. Раздел I, тема 2. Полиномы ЖегалПриведение булевых функций к
кина. Двойственность.
полиному Жегалкина методом неопределённых коэффициентов и с помощью эквивалентных преобразований.
Построение двойственных функций по
определению и с помощью принципа
двойственности.
5. Раздел I, тема
3. РелейноРеализация булевой функции реконтактные схемы.
лейно-контактной схемой. Нахождение по релейно-контактной схеме булевой функции, которую она реализует.
6. Мероприятия системы межсессионКонтрольная работа № 1
ного контроля: раздел I, темы 1 – 3.
7. Раздел I, тема 4. Логика предикатов.
Построение интерпретаций формул
Выполнимость и общезначимость фор- логики предикатов. Доказательство и
мул логики предикатов.
опровержение общезначимости формул в частных случаях.
8. Раздел I, тема 4. Эквивалентные
Эквивалентные
преобразования
формулы логики предикатов.
формул логики предикатов.
ВРЕМЯ (час)
АУД.
СРС
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
1
1
1
9. Раздел II, тема 5. Правила вывода
теории исчисления высказываний.
Формальная система теории исчисления высказываний. Доказательство производных правил вывода и
простейших теорем.
3
2
10. Раздел II, тема 5. Доказательство
Доказательство теорем теории истеорем.
числения высказываний.
11. Раздел II, тема 5. Другие теории
Доказательство теорем других теоисчислении высказываний.
рий исчисления высказываний (Россера, Гильберта-Аккермана, исчисления
секвенций, интуиционистской).
12. Раздел II, тема 6. Правила вывода
Доказательство производных пратеории исчисления предикатов. Доказа- вил вывода и теорем теории исчислетельство теорем. Метод резолюций.
ний предикатов. Метод резолюций.
2
2
2
4
2
4
13.
Мероприятия системы межсессионного контроля: раздел I, тема 4, разКонтрольная работа № 2
дел II, темы 5 - 6.
14. Раздел III, тема 8. Рекурсивные
Доказательство примитивной рефункции.
курсивности, частичной рекурсивности и общерекурсивности некоторых
арифметических функций. Восстановление явного вида функции по схеме
примитивной рекурсии. Выдача индивидуального домашнего задания.
15. Раздел III, тема 9. Понятие машины
Нахождение конечных конфигураТьюринга.
ций машин Тьюринга при заданных
начальных конфигурациях. Распознавание применимости машины
Тьюринга к начальному слову. Определение вычисляемой функции по
программе машины Тьюринга.
16. Раздел III, тема 9. Построение маПостроение машин Тьюринга, вышин Тьюринга.
числяющих заданные функции и осуществляющих определённые преобразования начальных слов. Действия над
машинами Тьюринга.
17. Заключительное занятие.
Переписывание контрольных работ,
проверка домашних заданий, приём
индивидуального домашнего задания.
Всего
2
2
2
2
2
2
4
2
34
34
ГРАФИК КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ
Для закрепления материала предусматривается проведение двух аудиторных контрольных работ и выполнение индивидуального домашнего задания.
Контрольная работа №1 проводится 6 неделе и охватывает темы 1 – 3 раздела I
(логика высказываний, теория булевых функций, релейно-контактные схемы), включает 5
задач на указанные темы.
Контрольная работа №2 проводится 13 неделе и охватывает тему 4 раздела I, темы
5 – 6 раздела II (логика предикатов, теории исчисления высказываний и предикатов), включает 5 задач на указанные темы.
Индивидуальное домашнее задание выполняется и защищается на 14-17 неделях, содержит 10 -12 задач на темы 8 – 9 раздела II (рекурсивные функции, машины Тьюринга).
На 17 неделе предусматривается заключительное занятие для защиты индивидуального домашнего задания, переписывания контрольных работ, проверки домашних заданий у
отсутствовавших на занятиях студентов.
СЕМЕСТР
НЕДЕЛИ СЕМЕСТРА
1
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15 16
17
Контроль-
Контроль-
Заклю-
ная работа
ная работа
читель-
№1
№2
ное
занятие
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Самостоятельная работа студентов включает:
освоение лекционного материала;
выполнение текущих общих домашних заданий (5 – 8 задач после каждого аудиторного практического занятия, кроме занятий по темам 8 - 9);
- подготовку к контрольным работам;
- выполнение индивидуального домашнего задания;
- оформление выполненного индивидуального домашнего задания;
- подготовку к защите выполненного индивидуального домашнего задания.
В отчет по индивидуальному домашнему заданию должны входить:
1) условия задач (конкретное задание выдается преподавателем);
2) подробные решения;
3) ответы.
Самостоятельная работа студентов по дисциплине складывается из времени, необходимого для освоения лекционного материала, освоения и совершенствования навыков решения задач и времени выполнения и оформления индивидуального домашнего задания.
Задачи, включенные в варианты контрольных работ, должны быть ориентированы на
выявление степени владения студентом техникой решения типовых задач, умения находить
нужный метод решения и уверенно применять его в условиях дефицита времени. Соответственно, при самостоятельной подготовке к контрольной работе следует сосредоточиться на
овладении методом таблиц истинности, твёрдом знании и уверенном применении основных
эквивалентных формул, освоении идеологии аксиоматического метода. При защите выполненного индивидуального домашнего задания необходимо правильно сформулировать задачу, описать теоретические основы метода решения, ясно изложить основные моменты решения, уметь прокомментировать и проанализировать ответ.
-
Раздел дисциплины
Темы 1 - 3
Темы 4 - 6
Темы 8 - 9
Работа над дисциплиной
Содержание учебного задания
Подготовка к контрольной работе №1, выполнение домашних заданий. Подготовка к
защите домашних заданий.
Подготовка к контрольной работе №2, выполнение домашних заданий. Подготовка к
защите домашних заданий.
Выполнение и подготовка к защите индивидуального домашнего задания.
Всего
Время (час)
Аудиторное СРС
12
14
8
34
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Список основной литературы
1. Шапорев, С.Д. Математическая логика / С.Д. Шапорев. СПб.: БХВ-Петербург, 2005, 410 с.,
800 экз.
Список дополнительной литературы
1. Акимов, О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы / О.Е. Акимов, М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. 376 с., 30 экз.
2. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов /
И.А. Лавров, Л.А. Максимова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 256 с., 30 экз.
3. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А. Новиков. СПб.: Питер,
2003. 301 с., 31 экз.
4. Судоплатов, С.В. Математическая логика и теория алгоритмов / С.В. Судоплатов, Е.В.
Овчинникова. М: Инфра-М, 2004. 224 с., 30 экз.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ (МАТЕРИАЛЫ) ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ
Основным в идеологии дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
является следующее. В математической логике: усвоение основных понятий, формул логики
высказываний и предикатов, глубокое понимание аксиоматического метода построения
формальных теорий и доказательства теорем. В теории алгоритмов: введение в проблематику теории вычислимых функций, понимание того, что такое эффективная вычислимость, вычислимая функция, усвоение методологии доказательства эффективной вычислимости на основе понятия рекурсивности и машины Тьюринга.
В разделе I «Основы математической логики» основное внимание следует обратить на
подробное изложение теории булевых функций, поскольку она имеет самое широкое применение в вычислительной технике и информатике и поэтому важна в практическом плане для
данной специальности. Введение основных понятий логики высказываний и предикатов
необходимо для дальнейшего изложения всего курса, однако, как правило, эти понятия легко
усваиваются студентами, кроме того, они активно используются в последующих темах, поэтому достаточно дать их определения с небольшим количеством примеров. В начале первой
лекции нужно дать общефилософское введение в предмет математической логики и краткий
исторический обзор развития этой науки (от Аристотеля, античных логических школ, сред-
невековой схоластики к основоположникам современной логики Лейбницу и Булю, проблематике современных исследований и результатов Гёделя, Гильберта, Бернайса, Рассела, Тарского и других). Следует с самого начала подчеркнуть абстрактно-формальный характер логических конструкций и методов и апеллировать к интуиции только в начале изложения, постепенно полностью вытесняя интуицию из рассуждений.
При введении основных понятий нужно, чтобы студенты хорошо усвоили индуктивный характер определения формул логики высказываний, предикатов, алгебры логики. Здесь
студенты знакомятся с основным принципом формальной логики: корректность логических
конструкций и утверждений распознаётся на основе точно определённых формальных понятий и процедур, а не с помощью интуиции и «здравого смысла». Этот принцип должен прочно укорениться в сознании студента после изучения данной дисциплины.
Метод истинностных таблиц, применяемый для решения простейших задач логики
высказываний и алгебры булевых функций, как правило, не вызывает затруднений у студентов, поэтому на лекции достаточно ограничиться одним примером, а на аудиторном практическом занятии можно разобрать по одному примеру каждого типа задач, а дальнейшее
усваивание этого метода отнести к самостоятельной работе.
При прохождении тем 2 – 3 основной упор делается на решение задач. Сами методы
преобразования булевых функций и их приведения к нормальным формам и полиному Жегалкина просты. Трудность для студентов заключается в большом количестве формул и объёме вычислений. Поэтому желательно на лекции (при наличии времени) разобрать по примеру каждого вида задач, а на практикуме необходимо решать как можно больше задач и давать объёмные домашние задания после каждого занятия. При этом, опять-таки, табличные
методы не представляют трудностей, поэтому для них актуальны указания предыдущего абзаца.
Модальные и нечёткие логики следует дать обзорно (по усмотрению преподавателя).
При изложении темы 4 нужно разъяснить необходимость введения предикатных символов и кванторных операций для дальнейшей формализации рассуждений, а также причину
неприменимости метода истинностных таблиц для распознавания истинности формул логики предикатов (на примерах). После определения основных понятий логики предикатов
нужно сказать, что на данном этапе мы не располагаем общим методом распознавания или
опровержения общезначимости, а можем решать такие задачи лишь для очень узкого класса
частных случаев, после чего разобрать типичные примеры. Практикум по этой теме посвящается решению таких задач и упражнениям на применение эквивалентных формул логики
предикатов.
При изложении и усвоении студентами раздела II происходит окончательное изгнание
всяческих апелляций к логической интуиции, «очевидности» и «здравому смыслу» при рассуждениях. Здесь студентам преподаётся аксиоматический метод – основа формальной логики. Поэтому надо с самого начала ясно изложить суть аксиоматического метода, структуру
формальной теории, смысл и роль аксиом и правил вывода. Следует особо обратить внимание на то, что аксиомы формальной теории – это не то, что понимается под аксиомами в
школьной геометрии и арифметике, т.е. это не очевидные истины, не требующие доказательства, а принятые за исходные, т.е. неопределяемые, истинные утверждения. Таким образом,
от аксиом не требуется очевидность. Вообще, следует постоянно подчёркивать формальный
характер аксиоматических теорий. Теоремы, доказываемые средствами этих теорий истинны
в силу логической структуры теорий, а не потому, что они отражают истины реального мира.
Конечно, нужно вместе с тем сказать, что все изучаемые в данном курсе теории действительно адекватно описывают реальные законы человеческого мышления, поэтому и заслуживают изучения.
После введения основных понятий теории формальных систем и доказательств нужно
дать развёрнутое изложение какой-либо значимой теории исчисления высказываний с доказательствами утверждений и примерами построения доказательств теорем (рекомендуется
использовать исчисление Клини, поскольку она с небольшими вариациями чаще всего даётся
в учебниках и задачниках по математической логике). Далее нужно привести примеры других теорий исчисления высказываний с разборами доказательств простых теорем в них. Выбор теорий на усмотрение преподавателя, не надо только давать слишком «экзотические»
теории.
Практика показывает, что решение задач на аксиоматический метод вызывает значительные трудности у студентов. Поэтому надо на практикуме подробно излагать решения,
разбирать на следующем занятии домашние задания с разъяснением трудных моментов.
Следует настойчиво добиваться того, чтобы студенты поняли суть метода – получение требуемого утверждения только по аксиомам, правилам, ранее доказанным теоремам теории
без привлечения средств извне, например, интуиции. Необходимо решать задачи на различные теории. В варианты контрольной работы № 2 рекомендуется включать простые задачи и
разрешать пользоваться списками аксиом и правил вывода.
В теме 7 излагаются основы метаматематики и проблематика полноты и непротиворечивости аксиоматических систем. Эту тему можно дать обзорно. Основные моменты: назначение и базовые понятия метаматематики, требования полноты и непротиворечивости к аксиоматической теории, теоремы о полноте и непротиворечивости теорий исчисления высказываний и предикатов, теорема Гёделя о полноте, её значение. Можно дать краткий обзор
современных исследований в основаниях математики.
При изучении раздела II «Теория вычислимых функций» студенты должны усвоить
базовые понятия теории алгоритмов и развить навыки алгоритмического мышления. Сначала
нужно изложить проблематику теории алгоритмов, затем ввести понятие эффективно вычислимой функции и сказать, что рекурсивные функции и машины Тьюринга являются попытками строгой математической формализации интуитивного определения эффективной вычислимости.
В теории рекурсивных функций основными являются схема примитивной рекурсии и
оператор минимизации. Их введение нужно сопровождать простыми примерами, т.к. общие
определения поначалу трудны для понимания. В этой теме теоремы рекомендуется формулировать без доказательств, а основное внимание на лекциях сосредоточить на разборе примеров и доказательстве вычислимости (общерекурсивности) основных арифметических
функций. При изложении тезиса Чёрча нужно сказать, почему он называется тезисом, а не
теоремой и осветить современные взгляды на справедливость и ложность этого тезиса.
Опыт показывает, что машины Тьюринга представляют трудность для неподготовленного студента, т.е. для студента с неразвитым алгоритмическим мышлением. Поэтому
изложение материала рекомендуется сопровождать большим количеством примеров, приводя теоремы без доказательств. Сам принцип работы машины Тьюринга прост и сразу понятен студенту. Однако решение задач вызывает трудности. Поэтому на практикуме нужно
решать как можно больше задач от самых простых (нахождение конечной конфигурации при
заданной начальной, определение вычисляемой функции по программе) до сложных (построение машины Тьюринга, вычисляющей заданную функцию). В индивидуальном домашнем задании большинство задач должны составлять задачи на машины Тьюринга.
Цель изложения темы 10 – дать студентам представление о количественных мерах
сложности вычисление и эффективности алгоритмов, а также ввести в курс проблематики
исследований алгоритмической неразрешимости задач. Эту тему можно дать обзорно.
Во всех темах, кроме тех, которые рекомендуется давать обзорно, должны присутствовать хотя бы одно доказанное утверждение или теорема, или хотя бы одна выведенная
формула, или разобранный типичный пример. Для получения хорошей или отличной оценки
за вопрос студент должен изложить доказательство утверждения, формулы или решение
примера.
В библиотеке БГТУ пока нет в достаточном количестве задачников по данной дисциплине. Поэтому преподаватель должен иметь свой сборник задач, из которого будет давать
задачи для аудиторного и домашнего решения. Из наиболее известных задачников можно
рекомендовать [2] из списка дополнительной литературы для студентов и [6] из списка до-
полнительной литературы для преподавателя. Варианты индивидуального домашнего задания разрабатывает преподаватель. Можно использовать как образцы задачи из [6].
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
Основными задачами студента при изучении данной дисциплины являются усвоение
фундаментальных понятий и основных методов математической логики и теории алгоритмов, приобретение практических навыков решения задач и алгоритмического мышления
Непременным условием получения допуска к экзамену является выполнение на положительные оценки всех контрольных работ, указанных в рабочей программе, и защита индивидуального домашнего задания. Допуск к экзамену осуществляет преподаватель, ведущий практикум. Регулярные домашние задания нужны для усвоения пройденного материала
и подготовки к контрольным работам и экзамену. Однако, преподаватель вправе потребовать
предъявления всех решённых домашних заданий в случае неудовлетворительной оценки за
контрольную работу или пропуска занятий студентом. К выполнению текущих домашних
заданий требуется относиться серьёзно. Сначала можно решать задачи с использованием
конспектов лекций или справочной литературы, постепенно запоминая формулы и методы с
тем, чтобы к контрольной работе уметь уверенно решать задачи по пройденным темам без
использования справочных пособий.
Решённое индивидуальное задание следует аккуратно оформить на листах формата
А4, на титульном листе указать тему задания «Теория вычислимых функций», фамилии студента и преподавателя, № варианта. После защиты задания преподаватель ставит на титульном листе отметку о зачёте и забирает оформленное задание.
Перечень практических навыков, владение которыми студент должен показать для
получения допуска к экзамену, дан в приложении № 1. Теоретический экзамен студент сдаёт
лектору, читавшему этот теоретический курс. Перечень всех экзаменационных вопросов
приведён в конце рабочей программы. Необходимый минимум (minimum minimorum) вопросов, знание которых гарантирует студенту получение положительной оценки, дан в приложении № 2.
Программа составлена в соответствии с Государственным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 230100 Информатика и вычислительная техника.
ПРОГРАММУ СОСТАВИЛ:
Шапорев Сергей Дмитриевич, д. ф-м. н., профессор__________________________
СПРАВКА
о наличии в библиотеке БГТУ «Военмех» им. Д.Ф.Устинова учебной литературы
1. Наименование дисциплины: «Математическая логика и теория алгоритмов»
2. Кафедра И7 «Прикладной математики и информатики»
Список основной литературы
1. Шапорев, С.Д. Математическая логика / С.Д. Шапорев. СПб.: БХВ-Петербург, 2005, 410 с.,
800 экз.
Список дополнительной литературы
1. Акимов, О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы / О.Е. Акимов, М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. 376 с., 30 экз.
2. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов /
И.А. Лавров, Л.А. Максимова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 256 с., 30 экз.
3. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А. Новиков. СПб.: Питер,
2003. 301 с., 31 экз.
4. Судоплатов, С.В. Математическая логика и теория алгоритмов / С.В. Судоплатов, Е.В.
Овчинникова. М: Инфра-М, 2004. 224 с., 30 экз.
Директор библиотеки
Н.В. Сесина
ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ
1. Высказывание как первичное понятие алгебры логики. Основные операции над высказываниями.
2. Пропозициональные связки. Истинностные функции. Формулы алгебры высказываний, их виды. Истинностные таблицы формул алгебры высказываний.
3. Полные системы связок. Понятие о нечётких и модальных логиках.
4. Понятие булевой функции (функции двузначной логики). Элементарные булевы
функции, логические связки.
5. Формулы алгебры логики, функции, их реализующие. Истинностные таблицы формул
алгебры логики.
6. Основные эквивалентные формулы алгебры логики.
7. Элементарная конъюнкция и элементарная дизъюнкция.
8. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). Алгоритм приведения булевой функции к
ДНФ. Теорема о дизъюнктивном разложении булевой функции.
9. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Алгоритмы приведения булевой функции к СДНФ.
10. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Алгоритм приведения булевой функции к
КНФ. Теорема о конъюнктивном разложении булевой функции.
11. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ). Алгоритмы приведения булевой функции к СКНФ.
12. Полиномы Жегалкина. Алгоритмы приведения булевой функции к полиному Жегалкина.
13. Двойственность. Принцип двойственности.
14. Полные системы логических связок. Теорема Поста о функциональной полноте. Проблемы полноты и разрешимости.
15. Релейно-контактные схемы, их математическое описание и методы построения.
16. Кванторные операции как обобщения операций конъюнкции и дизъюнкции. Предикаты. Синтаксис и семантика языка логики предикатов. Формулы логики предикатов.
Свободные и связанные переменные.
17. Интерпретации, выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Эквивалентные формулы логики предикатов.
18. Формальная аксиоматическая теория, её задание и компоненты. Основные понятия
теории доказательств. Аксиоматическая теория исчисления высказываний. Теорема
дедукции.
19. Теоремы теории исчисления высказываний. Теории исчисления высказываний Клини,
Гильберта-Аккермана, Россера, интуиционистская.
20. Аксиоматическая теория исчисления предикатов первого порядка. Правила вывода
теории исчисления предикатов. Теорема дедукции.
21. Теоремы теории исчисления предикатов. Примеры теорий первого порядка.
22. Метод резолюций в логике предикатов.
23. Метаязык и метатеория. Проблемы разрешимости, полноты и непротиворечивости
формальных аксиоматических теорий. Теоремы о полноте и непротиворечивости теории исчисления высказываний.
24. Непротиворечивость теорий первого порядка. Теорема Гёделя о полноте.
25. Эффективная вычислимость функции. Уточнение понятия алгоритма. Разрешимые и
перечислимые множества. Примитивная рекурсия. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивная рекурсивность некоторых арифметических функций.
26. Оператор минимизации. Частично-рекурсивные функции. Общерекурсивные функции. Общерекурсивность некоторых арифметических функций. Тезис Чёрча.
27. Словарные множества и функции. Словарная примитивная рекурсия.
28. Машина Тьюринга, её компоненты и принцип работы. Конфигурация машины
Тьюринга. Распознавание применимости машины Тьюринга к начальной конфигурации.
29. Понятие функции, вычислимой по Тьюрингу. Машины Тьюринга, вычисляющие некоторые арифметические функции. Тезис Тьюринга.
30. Действия над машинами Тьюринга: композиция и разветвление.
31. Алгоритмически неразрешимые проблемы. Меры сложности алгоритмов. Легко и
трудноразрешимые задачи.
32. Классы задач P и NP. NP – полные задачи. Понятие сложности вычислений; эффективные алгоритмы.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ
1. Алферова, З.В. Теория алгоритмов / З.В. Алферова. М.: Статистика, 1973. 165 с.
2. Аляев, Ю.А. Дискретная математика и математическая логика / Ю.А. Аляев, С.Ф.
Тюрин. М.: Финансы и статистика, 2006. 368 с.
3. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов / А. Ахо, Дж. Хопкрофт,
Дж. Ульман. М.: Мир, 1979. 535 с.
4. Булос, Дж. Вычислимость и логика / Дж. Булос, Р. Джеффри. М.: Мир, 1994. 396 с.
5. Владимиров, Д.А. Теория булевых алгебр / Д.А. Владимиров. Спб.: Изд-во СанктПетербургского университета, 2000. 616 с.
6. Гаврилов, Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике / Г.П.Гаврилов,
А.А.Сапоженко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 416 с.
7. Гильберт, Д. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики / Д. Гильберт, П. Бернайс. М.: Наука, 1982. 556 с.
8. Гильберт, Д. Основания математики. Теория доказательств / Д. Гильберт, П. Бернайс.
М.: Наука, 1982. 652 с.
9. Гиндикин, С.Г. Алгебра логики в задачах / С.Г. Гиндикин. М.: Наука, 1972. 288 с.
10. Гладкий, А.В. Математическая логика / А.В. Гладкий. М.: Рос. гос. гуманит. ун-т,
1998. 479 с.
11. Гудстейн, Р.Л. Математическая логика / Р.Л. Гудстейн. М.: ИЛ, 1961. 162 с.
12. Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон.
М.: Мир, 1982. 416 с.
13. Драгалин, А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств /
А.Г. Драгалин. М.: Наука, 1979. 256 с.
14. Ершов, Ю.Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. М.: Наука, 1979.
320 с.
15. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов / В.И. Игошин. М.: Академия, 2004, 448 с.
16. Карри, Х. Основания математической логики / Х. Карри. М.: Мир, 1969. 568 с.
17. Клини, С.К. Введение в метаматематику / С.К.Клини. М.: ИЛ, 1957. 529 с.
18. Клини, С.К. Математическая логика / С.К.Клини. М.: УРСС, 2005. 482 с.
19. Колмогоров, А.Н. Математическая логика / А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. М.:
УРСС, 2006. 240 с.
20. Коваленко, С.И. Решение задач по математической логике с использованием элементарной алгебры / С.И. Коваленко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 80 с.
21. Кук, В. Компьютерная математика / В. Кук, Г. Бейз. М.: Наука, 1990. 384 с.
22. Линдон, Р. Заметки по логике / Р. Линдон. М.: Мир, 1968. 128 с.
23. Мальцев, А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. М.: Наука, 1986.
368 с.
24. Марков, А.А. Теория алгорифмов / А.А. Марков, Н.М. Нагорный. М.: Наука, 1984. 432
с.
25. Марченков, С.С. Замкнутые классы булевых функций / С.С. Марченков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 128 с.
26. Мендельсон, Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. М.: Наука,
1971. 320 с.
27. Новиков, П.С. Элементы математической логики / П.С. Новиков. М.: Наука, 1973. 400
с.
28. Новиков, П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической /
П.С. Новиков. М.: Наука, 1977. 328 с.
29. Петер, Р. Рекурсивные функции / Р. Петер. М.: ИЛ, 1954. 264 с.
30. Роджерс, Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость / Х. Роджерс. М.: Мир, 1972. 624 с.
31. Такеути, Г. Теория доказательств / Г. Такеути. М.: Мир, 1978. 412 с.
32. Успенский, В.А. Лекции о вычислимых функциях / В.А. Успенский. М.: Физматгиз,
1960. 492 с.
33. Фудзисава, Т. Математика для радиоинженеров. Теория дискретных структур / Т.
Фудзисава, Т. Касами. М.: Радио и связь, 1984. 240 с.
34. Чень, Ч. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем / Ч. Чень, Р.
Ли. М.: Наука, 1983. 360 с.
35. Чёрч, А. Введение в математическую логику. Том 1 / А. Чёрч. М.: ИЛ, 1960. 488 с.
36. Шенфилд, Дж. Математическая логика / Дж. Шенфилд. М.: Наука, 1975. 528 с.
37. Яблонский, С.В. Функции алгебры логики и классы Поста / С.В. Яблонский, Г.П.
Гаврилов, В.Б. Кудрявцев. М. Наука, 1966. 120 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ № 1. Перечень вопросов для проверки практических
навыков студентов по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»
1. Распознавание формул алгебры высказываний.
2. Метод истинностных таблиц в логике высказываний: построение таблиц истинности
формул алгебры высказываний, доказательство эквивалентности формул, выяснение
тождественной истинности (ложности), выполнимости (опровержимости) формулы.
3. Распознавание формул алгебры логики.
4. Метод истинностных таблиц в алгебре логики: построение таблиц истинности булевых функций, доказательство эквивалентности формул, выяснение тождественной истинности (ложности), выполнимости (опровержимости) формулы.
5. Основные эквивалентные формулы алгебры логики. Доказательство эквивалентности,
упрощение формул алгебры логики, выяснение тождественной истинности (ложности), выполнимости (опровержимости) формулы методом эквивалентных преобразований.
6. Приведение булевой функции к ДНФ.
7. Приведение булевой функции к СДНФ по таблице истинности и алгебраически.
8. Приведение булевой функции к КНФ.
9. Приведение булевой функции к СКНФ по таблице истинности и алгебраически.
10. Приведение булевой функции к полиному Жегалкина методом неопределённых коэффициентов и с помощью эквивалентных преобразований.
11. Построение двойственных функций по определению и с помощью принципа двойственности.
12. Реализация булевой функции релейно-контактной схемой. Параллельнопоследовательные схемы.
13. Реализация булевой функции релейно-контактной схемой методом каскадов.
14. Нахождение по релейно-контактной схеме булевой функции, которую она реализует.
15. Построение интерпретаций формул логики предикатов.
16. Доказательство и опровержение общезначимости формул в частных случаях.
17. Эквивалентные формулы логики предикатов.
18. Эквивалентные преобразования формул логики предикатов.
19. Доказательство производных правил вывода и теорем теории исчисления высказываний.
20. Доказательство теорем других теорий исчисления высказываний (Россера, ГильбертаАккермана, исчисления секвенций, интуиционистской).
21. Доказательство производных правил вывода и теорем теории исчислений предикатов.
22. Доказательство теорем исчисления предикатов методом резолюций.
23. Доказательство примитивной рекурсивности, частичной рекурсивности и общерекурсивности некоторых арифметических функций.
24. Восстановление явного вида функции по схеме примитивной рекурсии.
25. Нахождение конечных конфигураций машин Тьюринга при заданных начальных
конфигурациях.
26. Распознавание применимости машины Тьюринга к начальному слову.
27. Определение вычисляемой функции по программе машины Тьюринга.
28. Построение машин Тьюринга, вычисляющих заданные функции и осуществляющих
определённые преобразования начальных слов.
ПРИЛОЖЕНИЕ № 2. Перечень вопросов необходимого минимума для получения
положительной оценки на экзамене по курсу «Математическая логика и теория
алгоритмов»
1. Высказывание как первичное понятие алгебры логики.
2. Основные операции над высказываниями.
3. Пропозициональные связки.
4. Формулы алгебры высказываний, их виды.
5. Понятие булевой функции (функции двузначной логики).
6. Элементарные булевы функции.
7. Логические связки.
8. Формулы алгебры логики.
9. Функции, реализующие формулы алгебры логики.
10. Основные эквивалентные формулы алгебры логики.
11. Элементарная конъюнкция и элементарная дизъюнкция.
12. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).
13. Теорема о дизъюнктивном разложении булевой функции.
14. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
15. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ).
16. Теорема о конъюнктивном разложении булевой функции.
17. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).
18. Полином Жегалкина.
19. Двойственная функция.
20. Принцип двойственности.
21. Полная система логических связок.
22. Теорема Поста.
23. Кванторы всеобщности и существования.
24. Предикатный символ.
25. Формула логики предикатов.
26. Свободные и связанные переменные.
27. Интерпретации формул логики предикатов.
28. Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов.
29. Эквивалентные формулы логики предикатов.
30. Формальная аксиоматическая теория: алфавит, аксиомы, правила вывода.
31. Основные понятия теории доказательств: гипотеза, следствие, вывод, теорема, разрешимая и неразрешимая теория.
32. Аксиоматическая теория исчисления высказываний: система аксиом и правила вывода.
33. Теорема дедукции в исчислении высказываний.
34. Аксиоматическая теория исчисления предикатов первого порядка: система аксиом и
правила вывода.
35. Теорема дедукции в исчислении предикатов.
36. Теорема о полноте теории исчисления высказываний.
37. Теорема о непротиворечивости теории исчисления высказываний.
38. Теорема о непротиворечивости теорий первого порядка.
39. Эффективная вычислимость функции.
40. Примитивная рекурсия.
41. Примитивно-рекурсивная функция.
42. Оператор минимизации.
43. Частично-рекурсивная функция.
44. Общерекурсивная функция.
45. Тезис Чёрча.
46. Машина Тьюринга, её компоненты и принцип работы.
47. Конфигурация машины Тьюринга.
48. Функция, вычислимая по Тьюрингу.
49. Тезис Тьюринга.
50. Композиция машин Тьюринга.
51. Разветвление машин Тьюринга.
52. Классы задач P и NP.
53. NP – полная задача.
54. Понятие сложности вычислений.
55. Эффективный алгоритм.
Примечание: для получения положительной оценки все теоремы из данного списка достаточно знать без доказательств.