ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 7 класс 7.1

ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
7 класс
7.1. Расставьте скобки в выражении 8  7  6  5  4  3  2  1  0 так,
чтобы получилось верное равенство.
7.2. Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 4×5 вырезанием
четырех угловых клеток 1×1, на три части, не являющиеся квадратами, так,
чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.
7.3. Подряд без пробелов выписали все четные числа до 28. Получилось
число 246810121416182022242628. Делится ли оно нацело на 12?
7.4. Докажите, что если a, b, c – целые числа, то число
 a  b    b  c    c  a  всегда чётно.
7.5. Маша считает, что два арбуза тяжелее трех дынь, Аня считает, что
три арбуза тяжелее четырех дынь. Известно, что одна из девочек права, а
другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? Обоснуйте
ответ. Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят
одинаково.
8 класс
8.1. Из пункта A в пункт B и из пункта B в пункт A одновременно
выбежали два спортсмена. Когда первоначальное расстояние между ними
сократилось на 15 км, то первому из спортсменов осталось бежать до пункта
B в три раза большее расстояние, чем было между ними в это время, а
второму – в два раза больше, чем он пробежал. Каково расстояние между
пунктами?
8.2. Найдите значение выражения a3  3ab  b3 , если a  b  1
8.3. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу
седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина –
тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные.
Сколько было таких работ?
8.4. На стороне AB квадрата ABCD во внешнюю сторону построен
равносторонний треугольник AEB, на отрезке EC выбрана точка F так, что
EAF  90 . Докажите что треугольник AFD – также равносторонний.
8.5. Какое наименьшее число можно получить, расставив скобки в
выражении 92  82  7 2  62  52  42  32  22  12 ?
9 класс
9.1. Слесарь обработал металлическую заготовку таким образом, что она
сохранила форму прямоугольного параллелепипеда, но уменьшилась в
размерах. Оказалось, что площадь одной грани уменьшилась на 28%, другой
– на 37%, а третьей – на 44%. На сколько процентов уменьшился объём
заготовки?
9.2. Числа a, b таковы, что a2   a  1  b2   b  1 . Докажите, что
2
2
a4   a  1  b4   b  1 .
4
4
9.3. Дан квадратный трехчлен
f  x   x 2  px  q , коэффициенты
которого целые числа. Известно, что f 1  3 . Докажите, что f  1 нечётно.
9.4. На стороне BC равностороннего треугольника ABC, как на диаметре,
во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой взяты точки K и
L, делящие полуокружность на равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL
делят отрезок BC на равные части.
9.5. Какое минимальное число клеток квадрата 7×7 надо закрасить,
чтобы в любом квадрате 4×4 было ровно пять закрашенных клеток?
10 класс
10.1. В зрительном зале 280 мест, расположенных одинаковыми рядами.
После того, как добавили ряд, а в каждом ряду увеличили число мест на 4, в
зрительном зале стало 360 мест. Сколько рядов стало в зрительном зале?
10.2. Расположите в строку числа от 1 до 16 так, чтобы сумма любых
двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
 x 2  4 y  7  0
10.3. Решите систему уравнений: 
 y 2  2 x  2  0
10.4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD попарно равны стороны , AB
и BC, CD и DA. На диагонали AC нашлась такая точка E, что AE и BE равны,
а четырёхугольник EBCD – вписанный. Докажите, что BD и DC равны.
10.5. Двое игроков играют на доске 3  100 клеток: кладут по очереди на
свободные клетки доминошки 1 2 . Первый кладёт доминошки вдоль
длинной стороны, второй – поперёк. Проигрывает тот, кто не может сделать
ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу (как бы ни играл его
противник) и как ему играть?
11 класс
  
11.1. Докажите неравенство cos   cos   cos 2 
 2

.

11.2. Для каких значений параметра a уравнение x 4  10 x 2  a  0 имеет
четыре корня, образующих арифметическую прогрессию?
11.3. Ученик купил портфель, ручку и учебник. Если бы портфель стоил
в 5 раз дешевле, ручка в 2 раза дешевле, а учебник в 2,5 раза дешевле, то вся
покупка стоила бы 200 рублей. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле,
авторучка в 4 раза дешевле, а учебник в 3 раза дешевле, то вся покупка
стоила бы 100 рублей. Сколько же она стоит на самом деле?
11.4. В треугольной пирамиде SABC c вершиной S боковые ребра равны,
плоские углы при вершине составляют 60, 60, 90 градусов. Докажите, что
основание высоты является серединой одной из сторон основания пирамиды.
11.5. Целые числа a, b, c удовлетворяют соотношению
 a  b    b  c    c  a   a  b  c . Докажите, что a  b  c делится на 27.
Требования к проверке работ:
Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение
оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в
работе. В то же время обязательным является снижение оценок за
математические, особенно логические ошибки
Баллы
Правильность (ошибочность) решения.
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в
целом не влияющие на решение.
5-6
Решение в целом верное. Однако решение содержит
ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику
рассуждений.
3-4
Верно рассмотрен один из существенных случаев.
2
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие
в решении задачи.
0-1
Рассмотрены
отдельные
случаи
при
отсутствии
правильного решения.
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.