конкурс РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ 7

конкурс
МАТЕМАТИКА С ОКТЯБРЯ ПО АПРЕЛЬ
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ 7-го ТУРА
Задача 1.
Фальшивая монета
Имеется 9 монет одинакового достоинства. Известно, 8 из них имеют одинаковый
вес, а одна – фальшивая – немного легче остальных. Как при помощи двух
взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.
Решение.
Первое
взвешивание
Второе
взвешивание
Разбиваем 9 монет на 3 равные группы и кладем по 3 монеты на каждую
чашу весов (третью группу оставляем в стороне).
Далее возможны два варианта.
Весы остаются в равновесии.
Равновесия нет.
Искомая монета – в числе
Следовательно, искомая монет – на
оставленных в стороне монет.
той чашке, которая пошла вверх.
Выбираем из трех монет, выбранных после первого взвешивания, любые 2 и
кладем по одной на каждую чашку весов.
Опять возможны два варианта.
Весы остаются в равновесии.
Равновесия нет.
Искомая монета – третья, не
Чашка с фальшивой (более легкой)
попавшая на весы.
монетой пойдет вверх.
Задача 3.
Найди закономерность, которая была использована при записи ряда чисел, и напиши
три следующих числа ряда.
a) 121, 314, 151, 617, 181, 920, … , … , … .
b) 2, 3, 5, 8, 12, 17, … , … , … .
Решение.
a) 121, 314, 151, 617, 181, 920, 212 , 223 , 242 .
В ряд были записаны двузначные числа 12, 13, 14, 15, … Далее в записанном ряду
запятые поставили после каждой третьей цифры, получив ряд трехзначных чисел.
(Возможно и другое решение!)
b) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23 , 30, 38.
Для того чтобы получить следующее число необходимо к предыдущему прибавить
1, 2, 3, 4 и так далее.
Задача 2.
Выписать в ряд цифры от 1 до 9 (каждую по одному разу) так, чтобы любые две
подряд идущие цифры давали бы двухзначное число, делящееся на 7 или на 13.
Решение (ход рассуждения).
Выпишем все двухзначные числа, которые делятся на 7:
14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 84, 91, 98
Выпишем все двухзначные числа, которые делятся на 13:
13, 26, 39, 52, 65, 78, 91
Далее проанализируем, какую цифру можно поставить «следующей» за цифрой 1, за
цифрой 2 и т.д.
цифра
1
2
3
4
5
6
7
8
9
следующая 3, 4
1, 8, 6
5, 9
2, 9
2, 6
3, 5
8
4
1, 8
цифра
Видим, что цифра 7 ни разу не встречается среди «следующих». Следовательно, наш
ряд цифр может начинаться только с цифры 7.
За цифрой 7 может стоять только цифра 8, а за цифрой 8 может стоять только
цифра 4. Следовательно, первые три цифры нашего ряда будут 784.
За 4 можно поставить как 2, так и 9. Значит, далее анализируем ряды 7842 и 7849.
Для удобства восприятия анализа, представим его в виде схемы.
Ветви, которые оказываются в результате анализа «тупиковыми», т.е. повторно
встречается цифра, которая в последовательности уже была, на схеме
заканчиваются закрашенным квадратом.
Видим, что нашим условиям
удовлетворяет только одна
последовательность чисел:
784913526.
Проверка:
78 делится на 13
84 делится на 7
49 делится на 7
91 делится на 7 и на 13
13 делится на 13
35 делится на 7
52 делится на 13
26 делится на 13
Ответ: 784913526.
Задача 4.
Дорожная инспекция
Отправляясь из пункта А, инспектор должен
проверить
состояние
всех
дорог
между
населенными пунктами, обозначенными на схеме
буквами. Длина каждой из этих дорог равна 13, 12 и
5 км (см. рисунок).
Каким наикратчайшим путем следует двигаться
инспектору, если он может закончить путь в любой
выбранной точке?
Решение.
ABCHCDEIEFGBHDIHGIFAG
13+13+5+5+13+13+5+5+13+12+12+12+12+12+12+12+12+12+13+5=211 км
По двум коротким дорогам (CH и EI) инспектор проезжает дважды.
Задача 5.
Пары произведений
4
64
Необходимо расставить в клетках различные цифры
(ровно по два в каждой строке и в каждом столбце) так,
чтобы числа вне сетки были равны произведению двух
чисел в соответствующей строке или столбце.
84
88
30
90
80 32 66 27 20 56
Пример:
33
6
35
52
72
20
11

44 9 78 56 30 10
Решение.
1
32
2 64
3
8
28 84
88
11
6
10
4
4
5
9
80 32 66 27 20 56
30
90
3
33
1 6
6
7
5 35
4
13
52
9
8
72
10 2 20
44 9 78 56 30 10