Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексные числа представляют собой расширение множества
действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения
математики столкнулись при изучении кубических уравнений. В XVI в.
была получена общая формула для решения кубических уравнений вида
x 3  px  q  0 :
q
q 2 p3 3 q
q 2 p3


  

.
2
4 27
2
4 27
(формула Кардано). Но оказалось, что если указанное уравнение имеет три
q 2 p3
действительных корня, то выражение D 
будет отрицательным.

4 27
Следовательно, чтобы найти корни уравнения в этом случае необходимо
выполнить действия с числом вида a  D (где D  0 ), или, что то же, с
a  b 1 .
числом вида
Такие выражения получили название
комплексных чисел и в дальнейшем стали широко применяться во многих
разделах математики и ее приложениях.
x3 
1. Определение и различные формы записи
комплексного числа
1) Определение комплексного числа.
Пусть символ i обозначает число, квадрат которого равен  1 , т.е.
i 2  1 .
Символ i называют мнимой единицей. Выражение вида z  a  bi , где
a, b – действительные числа, называют комплексным числом. При этом,
a называют действительной частью числа z , b – его мнимой частью.
Действительную и мнимую части числа z обозначают обычно Re z и Im z
соответственно, т.е.
a  Re z и b  Im z .
Комплексное число вида 0  bi (где b  0 ) принято называть чисто
мнимым и записывать в виде bi . Комплексные числа a  bi и a  bi
(т.е. числа, которые отличаются только знаком мнимой части), называют
комплексно сопряженными. Если одно из этих чисел обозначено через
z , то другое принято обозначать z .
z 2  a2  b2i . Комплексные числа z1 и z 2
Пусть z1  a1  b1i ,
называются равными (записывают: z1  z 2 ), если соответственно равны их
действительные и мнимые части, т.е. если a1  a 2 и b1  b2 . При этом
1i  i и a  0i  a .
полагают, что
1
Последнее равенство позволяет рассматривать действительные числа как
подмножество множества комплексных чисел.
2) Геометрическая форма записи комплексных чисел.
Всякое комплексное число z  a  bi можно изобразить на плоскости
XOY в виде точки M ( a, b) . Причем соответствие между комплексными
числами и точками плоскости
будет взаимно однозначным.
XOY
Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют
комплексной плоскостью. Ось Ox комплексной плоскости называют
действительной осью, так как точкам оси
соответствуют
Ox
действительные числа. Точки, лежащие на оси Oy , изображают чисто
мнимые числа. Поэтому ось Oy комплексной плоскости называют
мнимой осью.
Расстояние от точки M ( a, b) комплексной плоскости до начала
координат O , называют модулем комплексного числа z  a  bi и
обозначают z . Очевидно, что z  0 и z  a 2  b 2 .
Величину  угла между вектором OM  0 и действительной осью
Ox называют аргументом комплексного числа (при этом  берут со
знаком «плюс» если поворот от оси Ox к вектору OM осуществляется
против часовой стрелки, и со знаком «минус» – в противном случае).
Очевидно, что аргумент данного комплексного числа
(z  0)
z
определен неоднозначно, причем любые два значения аргумента
отличаются на величину, кратную 2 . Множество значений аргумента
числа z обозначают Arg z ; значение аргумента, принадлежащее
промежутку (  ;  ] , обозначают arg z и называют главным значением
аргумента. Для z  0 аргумент не определен.
y
Пусть z  a  bi  0 , z  r ,  – аргумент z .
M
b
Очевидно, что
a  r cos , b  r sin  .

Но тогда комплексное число z  a  bi можно
a
x
O
записать в виде
z  r cos  ( r sin  ) i  r (cos  i sin  ) .
(1)
Запись комплексного числа в виде z  a  bi принято называть
алгебраической формой записи комплексного числа, а запись в виде
z  r (cos  i sin  ) – тригонометрической формой записи.
На практике нередко приходится переходить от одной формы записи
комплексного числа к другой. Такой переход не представляет трудности.
Действительно, если число z записано в виде z  r (cos  i sin  ) , то его
действительная часть a и мнимая часть b находятся по формулам:
2
Re z  a  r cos , Im z  b  r sin  .
Если число z записано в виде z  a  bi , то его модуль
аргумент  находятся по формулам
arctg b ,
если a  0

a

b
arctg   , если a  0


a
r  a 2  b2 ,   

 ,
если a  0, b  0
2
  ,
если a  0, b  0
 2
r
и
ПРИМЕР. 1) Записать z  1  3 i в тригонометрической форме.
Находим модуль r и аргумент  комплексного числа. Так как его
действительная часть a  1 и мнимая часть b  3 , то
 3
b

2
r  (1) 2  ( 3 ) 2  2 и   arctg    arctg        
.
a

1
3
3
 
Следовательно,
2
2

z  1  3 i  2 cos
 i sin
3
3

 i

.

2) Записать число z  2e 4 в алгебраической форме.
Находим действительную и мнимую части числа z . Так как его
модуль r  2 , а аргумент   


4
, то
Re z  r cos  2 cos( )  1 ,
4
Следовательно,
z  2e

Im z  r sin   2 sin(  )  1 .
4
 i
4
1 i .
2. Действия над комплексными числами
1) Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Складывая и вычитая выражения z1  a1  b1i и z 2  a2  b2i как
обычные многочлены, мы получим комплексные числа
( a1  a2 )  (b1  b2 )i
( a1  a2 )  (b1  b2 )i .
и
Их называют соответственно суммой и разностью чисел z1 и z 2
(обозначают: z1  z 2 и z1  z 2 ). Аналогично, умножая z1 и z 2 как
обычные многочлены и учитывая, что i 2  1 , получим:
3
( a1  b1i )  ( a2  b2i )  ( a1a2  b1b2 )  ( a1b2  b1a2 )i .
(2)
Комплексное число в правой части формулы (2) называют произведением
комплексных чисел z1 и z 2 (обозначают: z1 z 2 ). Произведение n
комплексных чисел, равных z , называют n –й степенью числа z и
обозначают z n .
ПРИМЕР. Пусть z1  1  2i , z 2  4  3i . Тогда
z1  z 2  (1  2i )  ( 4  3i )  (1  4)  ( 2  3)i  5  i ,
z1  z 2  (1  2i )  ( 4  3i )  (1  4)  ( 2  3)i  3  5i ,
z1 z 2  (1  2i )  ( 4  3i )  (1  4  2  3i 2 )  ( 3  1  2  4)i  ( 4  6)  5i  10  5i ,
( z1 ) 3  (1  2i ) 3  13  3  12  2i  3  1  ( 2i ) 2  ( 2i ) 3  (1  12 )  (6  8)i  11  2i .
Введенные выше операции сложения и умножения комплексных
чисел обладают теми же свойствами, что сложение и умножение
действительных чисел. А именно, легко убедиться в справедливости
следующих равенств:
1) z1  z 2  z 2  z1 ;
2) ( z1  z 2 )  z3  z1  ( z 2  z3 ) ;
3) z1  z 2  z 2  z1 ;
4) ( z1  z 2 )  z3  z1  ( z 2  z3 ) ;
5) ( z1  z 2 )  z3  z1 z3  z 2 z3 .
Замечание. Комплексному числу
мы поставили в
z  a  bi
соответствие точку комплексной плоскости M ( a, b) . Но можно также
ставить ему в соответствие и радиус-вектор
Такое
OM {a, b} .
соответствие тоже является взаимно однозначным, причем в этом случае
операции сложения и вычитания комплексных чисел естественны с
геометрической
точки
зрения.
Действительно,
сумме
z1  z 2  ( a1  a2 )  (b1  b2 )i
соответствует
вектор
{a1  a2 , b1  b2 }  OM1  OM 2 (где OM1{a1 , b1} , OM 2 {a2 , b2 } ), а разности
z1  z 2  ( a1  a2 )  (b1  b2 )i
соответствует
вектор
{a1  a2 , b1  b2 }  OM1  OM 2 .
Операцию деления комплексных чисел вводят как обратную
умножению: комплексное число z 3 называется частным чисел z1 и
z
z 2  0 (обозначают: 1 ), если z1  z3  z 2 .
z2
z
Пусть z1  a1  b1i , z 2  a2  b2i и 1  z3  x  yi . Тогда
z2
z3  z 2  ( x  yi )  ( a2  b2i )  ( xa 2  yb2 )  ( xb2  ya 2 )i  a1  b1i .
4
Из уравнений
находим:
Таким образом,
xa2  yb2  a1 и xb2  ya 2  b1
a a  b1b2
b1a 2  a1b2
x  1 22
y

и
.
( a2 )  (b2 ) 2
( a 2 ) 2  (b2 ) 2
a a bb
b a  a1b2
z1 a1  b1i
 1 22 1 2 2  1 22
i.

z 2 a2  b2i ( a2 )  (b2 )
( a2 )  (b2 ) 2
Замечание. Тот же результат формально получится, если числитель и
a1  b1i
знаменатель дроби
умножить на число, сопряженное
a2  b2i
знаменателю, т.е. на z 2  a2  b2i :
z1 ( a1  b1i )  ( a2  b2i ) ( a1a2  b1b2 )  (b1a2  a1b2 )i



z 2 ( a2  b2i )  ( a2  b2i )
( a2 ) 2  (b2 ) 2
a a bb
b a  a1b2
 1 22 1 2 2  1 22
i.
( a2 )  (b2 )
( a2 )  (b2 ) 2
В практических вычислениях пользуются именно этим приемом.
ПРИМЕР. Пусть z1  1  2i , z 2  4  3i . Тогда
z1 1  2i (1  2i )  ( 4  3i ) ( 4  6)  (8  3)i  2  11i
2 11




  i.
z 2 4  3i ( 4  3i )  ( 4  3i )
16  9
25
25 25
2) Действия над комплексными числами в тригонометрической
форме.
Умножение и деление комплексных чисел проще выполнять, если они
записаны в тригонометрической форме. Действительно, пусть
комплексные числа z1 и z 2 заданы в тригонометрической форме:
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ) .
Перемножив их, получим:
z1  z 2  r1 (cos 1  i sin 1 )   r2 (cos  2  i sin  2 )  
 r1r2 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i (cos 1 sin  2  sin 1 cos  2 .
Откуда, используя формулы для косинуса и синуса суммы, находим:
z1  z 2  r1r2 cos(1   2 )  i sin( 1   2 ) 
(3)
Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы – складываются.
Формула (3) очевидно остается верной для любого конечного числа
множителей. В частности, при возведении числа z  r (cos  i sin  ) в
степень n ( n  2,3,4,) получим
5
z n  r n cos n  i sin n .
(4)
Формулу (4) называют формулой Муавра.
Теперь разделим z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) на z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ) .
Получим
z1 r1 (cos1  i sin 1 ) r1 (cos1  i sin 1 )  (cos 2  i sin  2 )

 

z 2 r2 (cos 2  i sin  2 ) r2 (cos 2  i sin  2 )  (cos 2  i sin  2 )
r (cos1 cos 2  sin  2 sin  2 )  i (sin 1 cos 2  cos1 sin  2 )
 1
r2
(cos 2 ) 2  (sin  2 ) 2
Но (cos  2 ) 2  (sin  2 ) 2  1 . Следовательно,
z1 r1
  (cos1 cos 2  sin  2 sin  2 )  i (sin 1 cos 2  cos1 sin  2 )  .
z 2 r2
Откуда, используя формулы для косинуса и синуса разности, находим:
z1 r1
(5)
  cos(1   2 )  i sin(1   2 )  .
z 2 r2
Итак, при делении z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) на z 2  r2 (cos  2  i sin  2 )
r
получили комплексное число, модуль которого равен 1 , а аргумент –
r2
1   2 .




ПРИМЕР. Пусть z1  2 cos  i sin  , z 2  3 cos  i sin  .


4
4
4
4
 
 
7
7 
z1  z 2  2  3 cos    i sin      6 cos
 i sin
Тогда
,
 4 3  
12
12 
 4 3
z1 2     
 
2
 
    ,
  cos    i sin       cos
  i sin 

 4 3   3   12 
 12  
z2 3   4 3 
5
5 
5
5 

( z1 ) 5  25  cos  i sin
  32 cos  i sin
.


4
4 
4
4 
3) Извлечение корня из комплексных чисел.
Пусть n – натуральное число. Корнем n –ой степени из
комплексного числа z (обозначают: n z ) называют комплексное число
w , такое, что w n  z .
z  r (cos  i sin  ) ,
w   (cos  i sin ) .
Пусть
Тогда по
определению и по формуле (5) получаем:
w n   n (cos n  i sin n )  r (cos   i sin  ) .
Отсюда
n  r ,
n    2k
6
  n r,  

  2k
.
n
Таким образом, все корни n –ой степени из комплексного числа
могут быть найдены по формуле
  2k
  2k 
n
z  n r  cos
 i sin
,
n
n


где k  0,1,2,, n  1 .
z0
(6)
Замечание. Формально k в формуле (6) может принимать любое
  2k
  2 (k  n)
целое значение. Но угол  k 
и угол  k n 
n
n
различаются на величину 2 . Следовательно, при k и k  n мы
получим по формуле (6) одно и то же комплексное число. Таким
образом, различных значений корня будет только n , и чтобы их найти
достаточно взять в формуле (6) k  0,1,2,, n  1 .
НАПРИМЕР. Найти все значения
Обозначим значения
4
1 3i
4
1 3i .
через
w0 , w1 , w2 , w3 . Чтобы найти
w0 , w1 , w2 , w3 необходимо сначала записать комплексное число z  1  3 i
в тригонометрической форме. Имеем:
a  1, b   3 ,

b
3

   ,
r  a 2  b 2  (1) 2  ( 3 ) 2  2 ,   arctg  arctg 
a
3
 1 
  
  
z  1  3 i  2 cos    i sin     .
 3 
  3
Теперь по формуле (9) находим




  2k
  2k 

  
  
,
wk  4 1 3 i  4 2 cos    i sin      4 2  cos 3
 i sin 3
3
3
4
4





 




где k  0,1,2,3 . Или, более подробно:
   
  
w0  4 2  cos    i sin     ,
 12  
  12 
  5 
 5  
w1  4 2  cos   i sin    ,
 12  
  12 
  11 
 11  
w2  4 2  cos
  i sin 
 ,
12
12



 
7
  17 
 17  
w3  4 2  cos
  i sin 
.
12
12





КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называют комплексным числом? Что называют действительной и
мнимой часть комплексного числа?
2. Какое комплексное число называют чисто мнимым?
Какие
комплексные числа называют комплексно сопряженными?
3. Что называют модулем и аргументом комплексного числа? Для
любого ли комплексного числа определены модуль и аргумент?
Однозначно ли определены модуль и аргумент комплексного числа?
4. Какая форма записи комплексного числа называется алгебраической,
тригонометрической?
5. Как осуществляется переход от одной формы записи комплексного
числа к другой?
6. Как выполняется сложение, вычитание, умножение и деление
комплексных чисел в алгебраической форме?
7. Как выполняется умножение и деление комплексных чисел в
тригонометрической форме?
8. Что называют корнем n -й степени из комплексного числа? Сколько
значений имеет корень n -й степени и как их найти?
8