Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия
Примеры решения задач:
Задача1:Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале
молодежного клуба площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день,
начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им
хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет
увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы
понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки
хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?
Решение:По условию задачи понятно ,что речь идет об арифметической прогрессии в
которой пусть
а1=х, Sn=288, n=16
Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200мм рт. ст.
288=(2х+2*15)*16/2
2х+30=36
х=3
Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2
288-143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней
145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.
121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака
Ответ:124 коробки
Задача2:После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20%
находящегося в немвоздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести
движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.
Решение:Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося
воздуха ,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного
движения поршня , нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию ,первый член которой равен 760, а знаменатель равен
0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст. ) после шести движений
поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст.
Ответ:200 мм.рт.ст.
Геометрические прогрессии
Геометрической прогрессией называется такая последовательность чисел , что
каждый следующий ее элемент получается из предыдущего умножением на
некоторое фиксированное число , называемое знаменателем прогрессии.
Приведем еще три важные формулы, касающиеся геометрической прогрессии,
которые необходимо знать наизусть:
1. Формула -го члена (общего члена прогрессии)
.
2. Формула суммы первых членов прогрессии:
. При
принято
говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно
вычислить сумму всей прогрессии по формуле
.
3. Формула "среднего геометрического": если
, ,
- три
последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем
соотношения:
или
или
.
Пример 1. Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в
которой сумму крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72.
Решение. Запишем условие задачи. Имеются четыре числа:
Известно, что
и
,
,
.
. Воспользовавшись формулой общего члена
геометрической прогрессии, получим, что
второго уравнения
,
и
. Из
, что можно подставить в первое уравнение и получить:
, откуда следует квадратное уравнение
,
корнями которого являются числа 24 и 3. Находя (что очевидно), мы получим два
набора чисел - первый начинается с 24:
и соответствует
,
второй (
,
).
(То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями
обычная в подобных задачах ситуация).
,
и
Пример 2. Имеется шесть последовательных членов геометрической
прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех.
Найти знаменатель геометрической прогрессии.
Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в
-
задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель.
Решение. Запишем условие задачи:
помощью формулы общего члена прогрессии:
, выразим все числа с
откуда после сокращения
.
Ответ:
и
.
Пример 3. В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а
сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов
прогрессии.
Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто найдем и первый
член - и знаменатель - этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить,
"зададим" или "построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас
спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов.
Заметим, что два условия позволяют определить два параметра. Задача
предлагалась абитуриентам Воронежского Государственного Университета.
Решение. Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере.
;
, откуда
следствия из предыдущего примера получим
и
.
. Найдем теперь
откуда окончательно:
и в качестве
: