A - x%

Арифметическая прогрессия
Определение:
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый
следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же
числом d, называется арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
an = a1 + d(n – 1)
2an = an-1 + an+1
Sn 
an = ak + d(n – k)
an + am = ak + al, если n + m = k + l
a1  an
n
2
Sn 
2a1  d (n 1)
n
2
Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным
корнем из неотрицательного числа a
- ( a ) - называется
неотрицательное число, квадрат
которого равен a.
Корнем k–ой степени из a (k нечетное) называется число, k-ая
степень которого равна a.

 a 2  a
Формулы
a b  a  b


k a k

k

k a m  k am
a
a b  k a k b
Биссектриса
B
ac
c
a
w
A
b
ab
C
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины
треугольника и делящий угол пополам.
 Биссектриса делит противолежащую сторону на части ,
пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
 Биссектриса делит площадь треугольника,
пропорционально прилежащим сторонам.

w  bc  ab ac

a2  a

a

b
a
b

k
ak  a

k
a ka

b kb

k
a 
1
k
a
Вписанная окружность
b
c
d
O
a


Центр окружности, вписанной в треугольник,
лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Если окружность вписана в произвольный
четырехугольник, тогда попарные суммы
противолежащих сторон равны между собой:
a+b=c+d
Выпуклый четырёхугольник
d1

d2
Произвольный выпуклый четырёхугольник:
 Сумма всех углов равна 3600.
1
2
 Площадь: S  d1 d 2 sin 
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член
b1  0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному
на одно и то же число q  0, называется геометрической
прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1
bn2 = bn-1 bn+1
bn = bk qn – k
bn bm = bk bl, если n + m = k + l
b (1 q n )
Sn  1
1 q
Бесконечно убывающая геометрическая
b
прогрессия S  1
1 q
Декартова система координат (расстояние между точками)
Расстояние между точками:
AB  ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
Координаты вектора:
AB  ( xB  x A ; yB  y A )
т. C - середина отрезка AB:
xC 
Уравнение окружности:
( x  xC ) 2 
x A  xB
2
yC 
y A  yB
2
( y  yC ) 2  R 2
Деление с остатком:
Формула деления с остатком:
n = mk + r,
где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0  r < m
Пример:
Любое число можно представить в виде:
n = 2k + r, где r = {0; 1}
или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общих
делителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ;
0,00003173 = 3,173 10-5
Форма записи:
3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
Длина окружности, площадь
радиус
R
O d
диаметр
хорда
дуга
Длина окружности:
Площадь круга:
l  d  2  R
S   R 2
Дроби
a c ad  cb
 
b d
b d
a c ad  cb
 
b d
b d
a c ac
 
b d b d
a c a d a d
:   
b d b c bc
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
a mb  a
m 
b
b
Составная дробь
Значения обратных триг. функций
Значения
Функция
0
1
2
2
2
3
2
1
arccosx
/2
/3
/4
/6
0
arcsinx
0
/6
/4
/3
/2
Функция
0
3
3
1
arctgx
0
/6
/4
/3
arcctgx
/2
/3
/4
0
3
Исследование графика функции
y
x3
x1
x2
x4
x
x1 – точка перегиба;
x2, x4 – точки максимума;
x3 – точка минимума.
Такие точки называются критическими.
Условие для нахождения критических
точек функции: y  0
x
y
y
 ; x1 
+

x1
0
x1; x2 
+

x2
0
max
x2 ; x3 

x3
0
min
x3 ; x4 
+

x4
0
max
x4 ;  

Исследование функции
y
yb
x1
x2
a
b
x3
x4
c
d
x
ya
D( f ) : x  a; 
Область определения:
Множество значений:
E ( f ) : y   ; yb 
Корни функции:
f ( x)  0  x  {x1 , x2 , x3 , x4 }
Критические точки
x  {b, d };
Промежутки возрастания:
x  a, b  c, d 
Промежутки убывания:
x  b, c  d , 
xc
Касательная, секущая
B
N
M
A
P
O
K
C
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну
общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие
точки.

AB OB  AC OC 

AB  AC

AM  AN  AP  AK  AB
Квадрат
a
d
a
2
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом.
 Диагональ квадрата d  a 2
1
2
Площадь: S  a  d
2
2
Квадратная функция
D = b2 – 4ac - дискриминант
y = ax2 + bx + c,
M(x0,y0) – вершина параболы: x0  
y
x0
x2
x1
x
b
2a
Уравнение параболы, проходящей через
точку M: y = a(x – x0)2 + y0
x1, x2 – корни параболы: ax2 + bx + c = 0
y0
y
y
M
y
a>0
D>0
y
a>0
D=0
a>0
D<0
y=2x2
y=x2
x
y=0,5x2
y
x
y
y
x
a<0
D>0
x
x
x
x
a<0
D<0
a<0
D=0
Квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант:
Если
D<0
D=0
D>0
D = b2 – 4ac
то уравнение
Формула корней: x1, 2 
не имеет корней
имеет один корень
имеет два корня
b D
2a
Разложение на линейные множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
x
x1
x1; x2
Конус
Конус
1
V   R2H
3
S бок   R L
H
R
Координаты вектора





a ( xa ; y a ; z a )  a  xa i  y a j  z a k
Координаты вектора:

2
2
2
a  xa  y a  z a
Длина вектора:
Умножение вектора на число:

 a  ( xa ; y a ; z a )
Куб
куб
V a3
Линейная функция
k – угловой коэффициент, b – свободный член
y = kx + b,
y
y
k = tg
A
yA

xB
x
xA
5
y yA
x xA

y B  y A xB  x A
yB
B
y=2x+5
y=2x
x=-2
y=-0,5x+5
-2
x
-1
y
y=2x
y= -x
Пусть y1 = k1x + b1
и y2 = k2x + b2.
Тогда:
y=x
y=0,5x
x
y1 y 2  k1  k 2
y1  y 2  k1  
1
k2
y=-1
Линейное уравнение:
ax + b = 0 (a  0) 
Если a = 0 и b  0
Если a = 0 и b = 0
x
b
a
то уравнение
то уравнение
не имеет решений
имеет бесконечно много решений
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
обозначаемое loga b , что a a  b .
a - основание логарифма (a > 0, a  1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм:
lg b  log10 b
Натуральный логарифм: ln b  loge b
где e = 2,71828
log b
Формулы

log a 1  0


log a b  c   log a b  log a c


log a b n  n  log a b


log a b 

a loga b  b
log c b
log c a
log a a  1
b
log a    log a b  log a c
c
1
log a m b  log a b
m
1
log b a

log a b 

a log cb  b
log c a
Логарифмическая функция
y=logax
y
y
y=log2 x
a>1
y=log4 x
1
x
a<1
1
x
y=log0,4 x
x
xR
Медиана
B
c
a
ma
b
A
C
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
 Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в
отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
 Медиана делит треугольник на два треугольника с равными
площадями.

ma 
1
2b 2  2c 2  a 2
2
a
2
2mb2  mc2  ma2
3
Метод интервалов
1)
( x  a) 2 ( x  b)( x  c) 3 ( x  d ) 4  0
+
a
+
-
b
c
+
d
+
c
-
d
+
 x  a b; c d 
2)
( x  a)( x  b) 2 ( x  c)( x  d )  0
-
a
+
b
+
 x  (a; b)  (b; c)  (d ; )
Множество значений сложной функции
Какие значения может принимать
2
выражение: log 2 ( x  2 x 5)
Пусть y  log
2
2 z , где z  x  2 x  5
z=x2-2x+5
z
y
x  (-;)

z  [4;)

y  [2;)
4
1
x
2
y=log2z
1
4
z
Модуль: уравнения и неравенства
a ) f ( x )  k ( k  0)  f ( x )   k
1. b) f ( x )  0  f ( x )  0
c ) f ( x )   k ( k  0)  x  
2.
f ( x)  f ( x)  f ( x)  0
f ( x)   f ( x)  f ( x)  0
2
3. f ( x )  af 2( x )  k  f ( x )  a f ( x )  k
Замена : y  f ( x )  y  ay
2
k
4. f ( x )  g ( x )  f 2 ( x )  g 2 ( x )   f ( x )  g ( x )    f ( x )  g ( x )   0
5. f ( x)  k  f 2 ( x)  k 2   f ( x)  k    f ( x)  k   0
Модуль
Определение
 x, если x  0
x 
 x, если x  0
Формулы
 x - y  x - y

x  0

-x=x

x  y = x  y

x  x

x : y =x : y

x + y  x + y

x2 = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a  b), a > b (a  b)
a  b
a b  
a  b
Основные свойства:
abba
abacbc
a  b и с  0  ac  bc
abиbcac
a  b и с  0  ac  bc
abисd acbd
Область определения функции
Функция
y 
1
f ( x)
y
f (x )
y  log a f ( x)
Условие
f(x)  0
f(x)  0
f(x) > 0
y  log f ( x ) a
f(x)  1
f(x) > 0
y  tg f (x)
f(x)  /2 + т
y  arccos f ( x )
-1  f(x)  1
y  arcsin f ( x )
Обратные триг функции
Функция
arccosx
arcsinx
Свойства
Область
Множество
определения
значений
 1; 1
[0; ]
 1; 1
[-/2; /2]
arctgx
 ; 
(-/2; /2)
arcctgx
 ; 
(0; )
Описанная окружность
O
O


O

O





Центр окружности, описанной около треугольника,
лежит на пересечении серединных перпендикуляров к
его трем сторонам.
Центр окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Около трапеции можно описать окружность только
тогда, когда трапеция равнобочная.
Если окружность описана около произвольного
четырехугольника, тогда попарные суммы
противолежащих углов равны между собой:
     
Определение тригонометрических функций

900
cos
1800
-1
0
0
cos
0
900
1
180
sin

0
00
0
1
sin

-1
 2700
2700
tg
-1 ctg
0
90



1800
1800
0
tg
-1
0
270
tg 
00
sin 

cos 
0
270
Определенный интеграл
b
 f x dx  F b   F a 
a
Основные соотношения в треугольнике
 Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
 Сумма углов: 
 Против большей стороны лежит больший угол, и
обратно, против большего угла лежит большая
сторона.
 Против равных сторон лежат равные углы, и
обратно, против равных углов лежат равные
стороны.
Основные триг. формулы
sin 2   cos 2   1
tg 
1 ctg
0
1
sin 
cos 
1  tg 2 
1
cos 2 

sin 2   1  cos 2 
cos 2   1  sin 2 
cos 
sin 
 tg  ctg  1
ctg 
1  ctg 2 
1
sin 2 
ctg 
cos 
sin 
Параллелограмм
B
C
d2
ha
b

d1

A
D
a
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельные называется параллелограммом.
 Середина диагонали является центром симметрии.
 Противоположные стороны и углы равны.
 Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.
 Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
d12  d 22  2(a 2  b 2 )
1
 Площадь: S  a  ha  a  b  sin   d 1  d 2  sin 
2
Первообразная элементарных функций
№
f(x)
F(x)
№
f(x)
F(x)
1
k
kx  C
6
1
cos 2 x
tgx  C
1
2
sin x
 ctgx  C
ex  C
n 1
x
C
n 1
2
xn
3
1
x
ln x  C
7
4
sin x
 cos x  C
8
ex
cos x
sin x  C
9
x
5
Периодическая дробь
3173  31
.
990
abcdefg  abcde
Правило: ab, cde( fg ) 
99000
3,1737373...  3,1(73) 
a
ax
C
ln a
Перпендикулярность, коллинеарность
Перпендикулярные вектора:
 

a b  a b 0
Коллинеарные вектора:
 
x
y
z
a b  a  a  a 
xb y b z b
 

a b ab
Площадь криволинейной трапеции
y
Площадь фигуры, ограниченной
линиями: x=a; x=b; y=0 и y=f(x)
y=f(x)
b
S   f  x dx
y=0
a
x=a
x=b
x
y=f(x)
y
y=g(x
)
x1
x2
x
Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=f(x) и y=g(x).
Найти точки пересечения x1 и x2 из условия: f(x)=g(x)
x2
S    f x   g x dx
x1
Площадь треугольника
1
S  aha
2
ha
a
S
1
a  b  sin 
2
S  p p  a p b p c
b
c
b

a
S
abc
4R
a
S  pr
Показательная функция
y = ax
y
y
y=3x
a<1
y=0,5x
a>1
y=2x
1
1
x
x
Правила вычисления первообразной функции
Определение:
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x), если F x  f x .
Функция
k  f x 
f 1 x   f 2 x 
Первообразная
k  F x 
F1 x  F2 x
1
F ax  b 
a
f ax  b
Правила вычисления производной функции
(C )' 0
C  u   C  u 
u  v'  u'v'
u  v   u   v  u  v

u
u v u v
  
v
v2
 
Сложная функция:
y  f  x   y  f'   x'
Правильная пирамида
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании
правильный многоугольник, а вершина
проецируется в центр основания.
Все боковые рёбра равны между собой и все
боковые грани – равные равнобедренные
треугольники.
1
1
V S
 H; S
 P  h,
бок 2
3 осн
Правильный многоугольник
Правильный многоугольник:
Правильным многоугольником называется
многоугольник, у которого все стороны и углы равны
между собой.
 Около всякого правильного многоугольника можно
описать окружность и в него вписать окружность,
причём центры этих окружностей совпадают.
R
O
180 0
 Сторона правильного n–угольника: a n  2 R sin
n
 Площадь правильного n–угольника:
1
1 2
360 0
S n  Pn r; S n  R nsin
2
2
n
Преобразование графика функции
y
y
y
y = f(x)+b
y = f(x+a)
y = f(x)
b
y = f(x)
x
x
x
a
y = f(x)
y
y = - f(x)
y
y
y = f(x) 
y = f(x)
y = f(x)
x
y = f(ax)
y =b f(x)
Призма
x
x
y = f(x)
r
призма
V  S осн  H
прямая
призма
Признаки делимости чисел:
Признак
На 2
Пример
Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой
…….6
……12
На 8
Числа, у которых две последние цифры нули или
выражают число, делящееся на 4.
Числа, у которых три последние цифры нули или
выражают число, делящееся на 8.
На 3
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
570612
На 9
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
359451
На 5
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
На 4
…..104
…….5
Числа, у которых две последние цифры нули или
……75
На 25 выражают число, делящееся на 25.
……0
На 10 Числа, оканчивающиеся нулём.
Производные элементарных функций
№
1
Функция
2
sin x
cos x
3
cos x
 sin x
4
tgx
5
ctgx
x
n
Производная
nx
n 1
1
cos2 x
1
 2
sin x
№
6
Функция
Производная
x
ex
7
ax
a x ln a
8
ln x
1
x
9
loga x
1
x  ln a
e
Произвольный выпуклый многоугольник
Произвольный выпуклый многоугольник:
0
 Сумма всех углов равна  n  2 или 180 n  2
 Число диагоналей:
1
nn 3
2
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
B
100%
A
-
A
 x  100%
B
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A = 90%A
3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
 Ответ: уменьшилось на 10%.
Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
t

S
S
S
1 S
S
 t1 


 0,8  80 %t
v
v1 1,25 v 1,25 v
v
Ответ: уменьшится на 20%
Прямоугольный параллелепипед
прямоугольный
параллелепипед
V=abc
d2=a2+b2+c2
Прямоугольный треугольник
bc
ac – проекция катета a
h
b

a
 Теорема Пифагора: c 2  a 2  b 2
1
2
a
b
b
cos  ; sin   ; tg 
c
c
a
Площадь: S  a  b
 Тригонометрические соотношения:
 Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
 Радиусы окружностей: r 
abc
c
; R
2
2
 Высота, опущенная на гипотенузу:
h
a c  bc 
ab
c
;
a
 
b
2

ac
bc
 Катеты: a  ac  c ; b  bc  c
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
b
b
a
 Углы, при основании треугольника, равны
 Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой.
Равносильные уравнения:
Исходное уравнение
Равносильное уравнение (система)
f ( x)  g ( x)

f ( x)  g ( x)  0

f ( x)
0
g ( x)

f 2 ( x)  g 2 ( x)  0

f ( x)  C  g ( x)  C
 f ( x)  0
 g ( x)  0

 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  0

 g ( x)  0
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
 Все углы равны 600.
 Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
 Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
r
 Радиусы окружностей:
a 3
a 3
; R
6
3
a2 3
 Площадь S 
4
Ромб
d1
d2
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.
 Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали
взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами
углов.
1
2 1 2
 Площадь: S  d d
Свойства прямых и плоскостей
S

B
C
M
O
A
A
A’
D
B

(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O –
проекция точки S.
SO – расстояние от точки S до плоскости
(ABCD).
 – двугранный угол между плоскостями (SAB)
и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:
 AB SM    AB OM 
B’
Свойства тригонометрических функций
Функция
Свойства
Область
определения
Множество
значений
Четностьнечетность
Период
cosx
x   ; 
 1; 1
cos(-x)= cosx

sinx
x   ; 
 1; 1
sin(-x)= -sinx

 ; 
tg(-x)= -tgx

 ; 
ctg(-x)= -ctgx

tgx
ctgx
x

 n, n  Z
2
x  n, n  Z
Свойства элементарных функций
Функция
Область
определения
Множество значений
y = ax + b
xR
yR
x0
y0
y = x
xR
y0
y = x2
xR
y0
y x
x0
y0
y = ax
xR
y>0
y = logax
x>0
yR
y = logxa
x > 0, x  1
yR
y
a
x
Сектор
A
O

B
Сектор – часть круга, ограниченная двумя его радиусами.

Длина дуги сектора:

Площадь сектора:
Скалярное произведение
Скалярное произведение
 
a  b  a  b cos
 
a  b  x a xb  y a y b  z a z b

a


b
l
R
180 0
R 2
S
360 0
Среднее арифметическое, геометрическое
a1  a2  a3  ...  an
n
Среднее арифметическое:
Среднее геометрическое:
k
a1  a2  ...  ak
Средняя линия– отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
1
 Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине: nb  b
2

Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной
четверти от исходного.
Степенная функция
y = xn
y
y=x4
y=x2
y
y=x5
y=x3
x
x
Степень
Определение
a n  a  a  a...  a ,
если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
a0  1
a1  a
1
a n  n
a
n
m
a

m
an
Формулы


an  am  anm
an
a
m
 a n m


a n  bn  a  bn
an
a
 
n
b
b
Сумма, разность векторов

a ( x a ; y a ; z a ) и b( xb ; y b ; z a )
 
a  b  ( x a  xb ; y a  y b ; z a  z b )
 
a  b  ( x a  xb ; y a  y b ; z a  z b )
n

a

a
 
ab
 
a b

b

b
Таблица значений
Значения
Функция

00




300
450


900
1
3
2
2
2
1
2
0
sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
tgx
0
3
3
1
3
-
ctgx
-
3
1
3
3
0
Приведенное квадратное уравнение:
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = - p
x1  x2 = q
Теорема косинусов, синусов
B

c
A
a


b
Теорема косинусов:
c 2  a 2  b 2  2abcos 

600
cosx
Теорема Виета



Теорема синусов:
a
b
c


 2R
sin  sin  sin 
C
Трапеция
a
n
h
b
Трапеция:
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие
не параллельны, называется трапецией.
 Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна:
n
a b
2
 Площадь: S 
a b
h  nh
2
Углы на плоскости
смежные
углы


внутренние односторонние
вертикальные
Универсальная подстановка
sin 2 
2tg
1  tg 2
1  tg 2
cos 2 
1  tg 2
Уравнение движения
Пусть S (t ) - уравнение движения материальной точки,
где S – путь, t – время движения.
Тогда: vt  S t ; at vt  ,
где v – скорость, a - ускорение.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции y f x 
в точке x 0 имеет вид:
 
y  f x0   f x0 x  x0 ,
где f  x0 - угловой коэффициент касательной.
y f x 

y0
x0
касательная
Угол
 - угол наклона касательной
к оси абсцисс.
tg  f x0 
Замечание:
В уравнении прямой линии: y  kx  b , параметр k - называется
угловым коэффициентом, и две прямые параллельны, если их
угловые коэффициенты равны.
Триг уравнения с косинусом
Косинус:

 n
2
cos x  1  x  2n
cos x  1  x    2n
cos x  0  x 
cos x  a  x   arccos a  2n, n  Z
Уравнения с синусом
Частные формулы:
sin x  0  x  n

sin x  1  x   2n
2

sin x  1  x    2n
2
Общая формула:
n
sin x  a  x   1 arcsin a  n, n  Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом
tgx  a 
x  arctga  n, n  Z
ctgx  a 
x  arcctga  n, n  Z
Усеченная пирамида
H
Усеченная пирамида
1
Sбок  ( P1  P2 ) H
2
1
V  ( S1  S 2  S1  S 2 )
3
Усеченный конус
Усеченный конус
R1
1
V  H ( R12  R1 R2  R22 )
3
S бок  ( R1  R2 ) L
H
R2
Формула дополнительного угла
a sin   b cos   a 2  b 2 sin    
где
a
b
sin  
cos  
2
2
2
a b
a  b2
Формулы двойного аргумента
sin 2  2 sin  cos 
cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2 sin 2 
2tg
tg 2 
1  tg 2
Формулы обратных триг функций
arcsin x  arccos x 
arctgxarcctgx

2

2
Если 0 < x  1, то
arccos(-x) =  - arccosx
arcsin(-x) = - arcsinx
Если x > 0 , то
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) =  - arcctgx
Формулы половинного аргумента
1  cos 
2
2
 1  cos 
cos 2 
2
2

sin 
1  cos 
tg 

2 1  cos 
sin 
sin 2


Формулы произведения функций
1
cos     cos   
2
1
cos  cos   cos     cos   
2
1
sin  cos   sin      sin    
2
sin  sin  
Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Формулы суммы аргументов:
sin      sin  cos   cos  sin 
cos     cos  cos   sin  sin 
tg  tg
tg     
1  tgtg
sin      sin  cos   cos  sin 
cos     cos  cos   sin  sin 
tg  tg
tg     
1  tgtg
Формулы суммы функций
sin   sin   2 sin
 
2
cos
 
2
sin   sin   2 cos

2
sin
 
2
cos   cos   2 cos
 
sin    
tg  tg 
cos  cos 
2
cos
 
cos   cos   2 sin
2
sin    
tg  tg 
cos  cos 
Функция корень
yn x
y
y 3 x
y 5 x
x
y x
y
y4 x
x
Функция модуль
y x
y
y=x
x
Функция обратной пропорциональности
a
y
x
y
y
2
y
x
x
 
y
x
2
x
2
sin
 
2
y
y
b
a
2
b
xa
x
Хорда
C
A
B
M
D
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен
хорде.

В окружности равные хорды равноудалены от центра
окружности.

Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
AM  MB  CM  MD
Центральный, вписанный угол
вписанные
углы



центральны
й угол
Цилиндр
Цилиндр
V  R 2 H
S бок  2  RH
H
R
Четность-нечетность функций
Определение:
Функция y = f(x) называется четной, если:
Функция y = f(x) называется нечетной, если:
f(-x) = f(x)
f(-x )= - f(x)
Примеры:
четные функций:
y = x, y = x2, y = cosx
нечетные функций: y = 1/x, y = x3, y = sinx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx
Свойства:
График четной функции симметричен относительно оси Oy.
График нечетной функции симметричен относительно начала
системы координат О.
Числовые множества:
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z = N  { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа
1 1 1 1

Q = Z   ;  ; ;  ; . . .
2
2
3
3


Действительные числа
R=Q
Шар
Шар
R
4
V   R3
3
S
 4 R 2
бок
 2;

3; и т.д.;   3,14..; .
Шаровой сектор, сегмент
H
Шаровой сектор
R
H
2
V   R2 H
3
S
  R 2 RH  H 2
бок
Шаровой сегмент
R
1
V   2 H (3R  H )
3
S  2 RH
Данный материал получен с сайта: http://polzainfo.ru/