Практикум по теме 9 «Элементы ... ний»

Практикум по теме 9 «Элементы теории принятия решений»
Методические указания по выполнению практикума.
Целью практикума является более глубокое усвоение материала
контента темы 9, а также развитие следующих навыков:
 нахождение оптимального решения в задаче принятия решения
в условиях риска с помощью критериев максимизации ожидаемой прибыли и минимизации дисперсии,
 нахождение оптимального решения в задаче принятия решения
в условиях риска с помощью построения дерева принятия решения,
 нахождение оптимального решения в задаче принятия решения
в условиях неопределенности с использованием различных критериев оптимальности.
Перед решением заданий практикума рекомендуется внимательно изучить материал контента темы 9 и провести самостоятельный анализ всех разобранных примеров.
Решение типовых задач.
ТЗ 9.1. У инвестора имеется возможность вложить на фондовой
бирже 10000 долларов в акции одной из двух компаний A и B . Акции
компании A являются рискованными, но могут принести 50% прибыли от суммы инвестиций при благоприятных условиях. Если условия
будут неблагоприятными, сумма инвестиций обесценится на 20%.
Компания B обеспечивает безопасность инвестиций с 15% прибыли в
условиях повышения котировок, и только 5% в условиях понижения
котировок. Прогнозируется вероятность повышения котировок – 60% и
понижения – 40%.
 В какую компанию инвестору следует вложить деньги с целью
максимизации ожидаемого дохода?
 В какую компанию инвестору следует вложить деньги с целью
минимизации дисперсии ожидаемого дохода?
Решение:
d1 – решение покупать акции компании A ,
d2 – решение покупать акции компании B ,
s1 – состояние внешней среды при повышении котировок акций,
s2 – состояние внешней среды при понижении котировок акций.
Исходную информацию можно представить в виде таблицы.
Компания A ( d1 )
Компания B ( d2 )
Вероятность
Повышение
котировок ( s1 )
Понижение
котировок ( s2 )
5000
1500
0,6
-2000
500
0,4
Вычислим ожидаемую прибыль инвестора для каждого из двух
возможных решений
H  d1   5000  0,6  (2000)  0,4  2200,
H  d2   1500  0,6  500  0,4  1100.
Оптимальным решением должна стать покупка акций компании
A , ожидаемая полезность этого решения равна 2200$.
Если в данной задаче применить критерий минимизации дисперсии принимаемого решения, то получим:
D  d1   (5000  2200)2  0,6  (2000  2200)2  0,4  11760000,
2
2
D  d 2   1500  1100   0,6   500  1100   0,4  240000.
Оптимальным решением в соответствии с этим критерием будет
решение покупать акции компании B .
ТЗ 9.2. Решить задачу ТЗ 9.1. с применением дерева принятия
решений.
Решение:
Построим дерево принятия решения:
2200
p  s1   0,6
2
d1
p  s2   0,4
2000
1
2200
5000
d2
p  s1   0,6
1100
3
1500
p  s2   0,4
500
Оптимальным решением должна стать покупка акций компании
A (решение d1 ), ожидаемая полезность этого решения равна 2200$.
ТЗ 9.3. Матрица затрат имеет следующий вид:
d1
d2
d3
d4
s1
5
8
21
30
s2
10
7
18
22
s3
18
12
12
19
s4
25
23
21
15
Найти оптимальное решение с точки зрения критериев:
 минимаксного,
 Лапласа,
 Гурвица,
 Сэвиджа.
Решение:
 Минимаксный критерий.
Найдем максимум в каждой строке матрицы затрат и выберем
из них минимальное значение.
s1
s2
s3
s4 Максимум
строки
d1
5
10 18 25
25
d2
8
7
12 23
23
d3
21
18 12 21
21
 минимакс
d4
12
22 19 15
22
Решением, оптимальным по минимаксному критерию, является решение d3 .
 Критерий Лапласа.
Будем считать, что вероятности состояний одинаковы
1
p  s1   p  s2   p  s3   p  s4   .
4
Тогда
H  d1    5  10  18  25  4  14,5 ,
H  d2    8  7  12  23  4  12,5 ,
H  d3    21  18  12  21 4  18 ,
H  d 4    30  22  19  15  4  21,5 .
Выбираем min H  di   H  d 2  , оптимальным решением по Критеi
рию Лапласа является решение d1 с минимальными ожидаемыми затратами H  d1   14,5 .
 Критерий Сэвиджа.
Выберем лучшее решение при каждом состоянии внешней среды, для этого найдем
min H  di , s j   h  s j  :
i
d1
d2
d3
d4
h s j 
s1
5
8
21
12
5
s2
10
7
18
22
7
s3
18
12
12
19
12
s4
25
23
21
15
15
Вычтем h  s j  из соответствующего столбца матрицы затрат. Таким образом, получим матрицу Сэвиджа. Чтобы найти оптимальное
решение, применим к матрице Сэвиджа минимаксный критерий:
d1
d2
d3
d4
s1
s2
s3
s4
0
3
16
7
3
0
11
14
6
0
0
7
10
8
6
0
Максимум
строки
10
8
 минимакс
16
14
Решением, оптимальным по критерию Сэвиджа, является решение d2 .
 Критерий Гурвица.
Результаты вычислений по критерию Гурвица представим в виде таблицы:
Решение min H  di , s j  max H  d i , s j   max H  di , s j   1    min H  di , s j 
sj
sj
sj
sj
d1
5
25
25  5 1     20  5
d2
7
23
23  7 1     16  7
d3
12
21
21  12 1     9  12
d4
12
22
22  12 1     10  12
Используя различные значения для    0,1 , получаем оптимальные решения:
Решение
d1
d2
d3
d4
  0,2
9
10,2
13,8
14
  0,5
15
15
16,5
17
  0,8
21
19,8
19,2
20
Если   0,2 и   0,5 , оптимальным решением является альтернатива d 4 , при   0,8 оптимальным является решение d1 .
Методические указания по проведению лабораторной работы №5 «Задача принятия решения в условиях риска».
ТЗ 9.4. (Конкурс на государственный заказ)
Фирма Precision Inc, производящая научные приборы, приглашена для участия в конкурсе на государственный заказ. Заказ состоит в
поставке определенного количества приборов в течении года. Конкурс
тайный (так что никакие компании не знают предложений конкурентов), выигрывает заявка с наименьшей суммой. Фирма оценила свои
возможности и установила, что подготовка заявки будет стоить $5 000,
стоимость выполнения контракта будет составлять $95 000. По опыту
участия в конкурсах на подобные заказы в прошлом известны вероятности подачи различных заявок, которые приведены в таблице 1. Кроме того, фирма уверена, что с 30% вероятностью вообще не будет
конкурирующих заявок. Какое решение следует принять компании?
Таблица 1. Вероятности подачи заявок конкурентами
Заявка конкурентов
Меньше чем $115,000
От $115,000 до $120,000
От $120,000 до $125,000
Больше чем $125,000
Вероятность
0,2
0,4
0,3
0,1
Решение:
Перечислим основные элементы задачи принятия решения.
Во-первых, у фирмы есть 2 альтернативных решения: подавать
заявку или не подавать. Если фирма решить подавать заявку, то она
должна определить ее размер, т.е. предложить свою цену. Принимая
во внимание стоимость подготовки заявки и стоимость поставки, очевидно, что заявка должна быть не меньше чем на $100 000 – в противном случае фирма не получит никакой прибыли, даже если выиграет конкурс. С другой стороны, как видно из таблицы 1, в своем выборе фирма должна ограничиться суммами $ 115 000, $120 000, $125
000.
Следующий элемент задачи принятия решения – исходы и их
вероятности. В наших предположениях фирма точно знает, сколько
стоит подготовка заявки и стоимость поставки инструментов в случае
получения контракта. Неопределенным остается размер заявки (т.е.
стоимость, указанная в заявке), она, очевидно, зависит от наличия
конкурентов и возможностей. Мы предполагаем, что фирма уже участвовала в подобных конкурсах в прошлом, так что может оценить поведение конкурентов на основе этих данных. Результатом такой оценки
является распределение вероятностей, приведенное в таблице 1, и
тот факт, что вероятность отсутствия конкурирующих заявок оценивается в 30%.
Последним элементом является анализ стоимостей, который переводит решения и исходы в значение прибыли, полученной фирмой.
Подобная модель анализа составляет основу принятия решения, но,
очевидно, достаточна сложна в реальной ситуации. Если фирма решает не участвовать в конкурсе, то получает $0 – нет ни прибыли, ни
потерь. Если участвует, но не выигрывает конкурс, то теряет $5 000,
стоимость подготовки заявки. Если фирма указывает в заявке B долларов и выигрывает контракт, то прибыль составляет B-$100 000, так
как $5 000 стоит подготовка заявки и $95 000 – стоимость поставки инструментов. Например, если фирма подаст заявку в $115 000 и выиграет конкурс (т.е. стоимость, указанная в заявке фирмы Precision,
окажется наименьшей), то прибыль фирмы составит $15 000.
Данные об исходах и величинах прибыли удобно представить в
виде платежной таблицы.
Возможные исходы и прибыли:
Минимальная заявка конкурентов
(в тыс. $)
Нет
от 115
до 115
заявки
до 120
Нет заявки
Заявка 115
фирмы 120
125
Вероятность
0
15
20
25
0,3
0
0
-5
15
-5
-5
-5
-5
0,7*0,2 0,7*0,4
от 120
до 125
более
125
0
15
20
-5
0,7*0,3
0
15
20
25
0,7*0,1
В этой таблице для каждого возможного решения и исхода записано значение прибыли (положительное число) или потери (отрицательное число). В последней строке содержатся вероятности исходов,
так, например, вероятность того, что минимальная заявка конкурентов
будет меньше чем $115 000 равна 0,7 (вероятность хотя бы одной
конкурирующей заявки), умноженной на 0,2 (вероятность того, что минимальная заявка конкурентов меньше, чем $115 000, при условии,
что есть, по крайней мере, одна конкурирующая заявка).
Эту таблицу можно упростить: в том случае, если фирма Precision делает заявку, то единственно важным для нее является следующее: меньше заявки конкурентов ее заявки или больше. Другими
словами выигрывает ли фирма конкурс при сделанной заявке или нет.
Таким образом, платежную таблицу можно записать в следующем виде.
Таблица платежей
Заявка
фирмы
(в тыс. $)
Прибыль
Вероятность
победы
Precision
Precision
Precision
выигрывает проигрывает
Нет заявки
0
0
0
115
15
-5
0,86
120
20
-5
0,58
125
25
-5
0,37
Так, например, если Precision сделает заявку в $120 000, то
фирма выиграет в том случае, если вообще не будет конкурирующих
заявок (с вероятностью 0,3) или минимальная конкурирующая заявка
будет больше чем $120 000 (вероятность этого равна 0,7*(0,3+0,1)). В
этом случае полная вероятность того, что Precision победит в конкурсе, равна 0,3+0,28=0,58.
Для выбора наилучшего альтернативного решения вычислим
математическое ожидание прибыли ( EMV – expected monetary value),
В таблице приведены значения ожидаемой прибыли для нашей
задачи:
Альтернативы
Ожидаемая прибыль (в $)
(решения)
Нет заявки
0*1=0
Заявка $115 000
15 000*0,86+(-5000)*0,14=12 200
Заявка $120 000
20 000*0,58+(-5000)*0,42=9 500
Заявка $125 000
25 000*0,37+(-5000)*0,63=6 100
Таким образом, по критерию ожидаемой прибыли фирма должна
сделать заявку в $115 000, так как это дает ей наибольшее значение
ожидаемой прибыли.
Использование дерева решений
Основными элементами дерева решений являются:
1. Вершины (узлы) и ветви.
2. Вершины представляют собой определенные моменты времени.
Различаются вершины, в которых принимается решение (изображаются квадратом) и случайные вершины (изображаются
кружками), в которых совершается (или становится известным)
результат случайного события.
3. Течение времени изображается слева направо. Это означает,
что последовательность ветвей (событий), расположенных слева
и ведущих к вершине (входящих в нее слева) уже произошла, а
ветви (события), выходящие из вершины, еще не произошли к
этому моменту.
4. Ветви, выходящие из вершины, в которой принимается решение,
обозначают возможные (альтернативные) решения. Ветви, выходящие из случайной вершины, представляют собой возможные исходы случайного события, лицо, принимающее решение,
не может управлять их осуществлением.
5. Вероятности записываются над соответствующими ветвями. Эти
вероятности являются условными вероятностями, т.е. зависят от
тех событий, которые уже произошли. Очевидно, что сумма вероятностей для всех ветвей, выходящих из любой вершины,
должна равняться 1.
6. Значения прибыли в денежном выражении записываются в концевых вершинах справа, они, естественно, зависят от принятых
решений и исходов случайных событий, расположенных слева от
них.
В нашем случае мы имеем дело с наиболее простым случаем
задачи принятия решения – с одношаговой задачей принятия решения. В подобных задачах после принятия решения ЛПР ожидает исхода и соответствующей прибыли (или потерь). Таким образом, мы имеем только одну вершину принятия решения, из которой исходит столько ветвей, сколько имеется альтернативных решений. В свою очередь
за ними могут следовать случайные вершины.
После построения дерева решений анализ проводится справа
налево, или, как говорят, свертыванием дерева решений:
1. Для каждой вероятностной вершины подсчитывается ожидаемая прибыль (EMV) и записывается над вершиной.
2. Для каждой вершины принятия решения определяется наибольшее значение ожидаемой прибыли и записывается над
вершиной.
Краткая инструкция по запуску программы Treeplan
Войти в папку “TreePlan”.
Запустить программу “TreePlan.xla”.
Появится окно “Excel”.
Будет запрос: Отключать макросы? Ответить: Макросы не отключать.
 Войти в меню «Сервис». Проверить, что там появилась опция
“TreePlan”.
 Войти в меню «Файл», «Создать». Выбрать опцию «Книга».
 Работать с программой в соответствии с нижеприведенным текстом.




Использование Tree Plan
Ввод данных. Ввести исходные данные в соответствующие ячейки.
Построение нового дерева. Сделать текущей ячейку D1 и выбрать Сервис/Tree Plan, затем New Tree. Появится новое дерево,
квадратом изображается вершина принятия решения, а кружками –
– случайные вершины (далее называемые вершинами (случайных)
событий). Треугольниками изображаются терминальные вершины,
расположенные на правом конце дерева. Таким образом, имеем
одну вершину принятия решения и 2 ветви, каждая из которых заканчивается терминальной вершиной.
Построение дополнительных ветвей. Выбрать ячейку E5, содержащую вершину принятия решения, вызвать TreePlan и выбрать
Add Branch. В результате будет добавлена еще одна ветвь. Повторить эту операцию для добавления еще одной (четвертой) ветви.
Затем необходимо изменить подписи ветвей (альтернативных решений) в ячейках G2:G17 на: Нет заявки, Заявка $115 000, Заявка
$120 000, Заявка $125 000.
Добавление вершин случайных событий и ветвей. Выбрать
ячейку со второй терминальной вершиной (I8). Вызвать Tree Plan и
выбрать Change to event node, проверить, что отмечено Two
Branches, затем Ok. Появится случайная вершина с двумя исходя-
щими из нее ветвями. Изменить подписи этих ветвей на Выигрывает заявку и Проигрывает заявку.
Числовая информация. Добавить численные данные. Под каждой
ветвью принятия решения находится 2 числа. Так, например, в
ячейке G11 находится число 0, а в ячейке H11 – формула. Можно
ввести значение прибыли при заявке в $115 000 в ячейку G11, но не
следует изменять формулу в ячейке H11. Аналогично каждая ветвь
тоже имеет 3 числа, например информация для верхней ветви Выигрывает заявку располагается в ячейках K6, K9 и L9. Ячейки K6 и
K9 содержат значения, которые можно изменять, а именно вероятность этой ветви и значение прибыли для этого исхода, в то время
как в ячейке L9 находится формула, которую не следует изменять.
И наконец, в каждой терминальной вершине тоже есть формула,
например в ячейке N8, которую также не следует изменять.
Введем значение 0 в ячейку G11 (отсутствие непосредственной
прибыли от заявки в $115 000), заменим число 0,5 в ячейке K6
формулой:
=$B$7+ (1-$B$7)*СУММ($B$10:$B$12)
и число 0,5 в ячейке K11 формулой:
=1–K6.
И наконец, заменить нулевые значения в ячейках K9 и K14 формулами:
=115000–$B$4–$B$5
и
=–$B$4.
Заметим, что TreePlan сам выполняет анализ дерева справа налево.
Добавление остальных ветвей. Ветви, которые нам необходимо
добавить, аналогичны тем, которые мы уже построили. Наиболее
простой путь – воспользоваться возможностями копирования и
вставки TreePlan. Выберите случайную вершину в ячейке I10, вызовите TreePlan и выберите Copy Subtree. Затем выберите ячейку I10,
снова вызовите TreePlan, выберите Paste Subtree, подтвердите
дважды Ок. Повторите эту процедуру (необходимо заново повторить копирование) для ячейки I28. Формулы, соответствующие
вставленным ветвям, составлены с использованием абсолютных
адресов, поэтому корректны, однако их необходимо немного подправить. В ячейках K16 и K26 измените ссылку $B$10 на $B$11 и
$B$12 соответственно. Затем в формулах ячеек K19 и K29 измените 115 000 на 120 000 и 125 000 соответственно.
Дерево решений построено полностью. Это дерево находится на
листе Tree1. Значения ожидаемой прибыли для 4 альтернативных
решений содержатся в ячейках H4, H11, H21 и H31. Наибольшее из
них записано в ячейке D17. В ячейке E16, которая соответствует
ячейке принятия решения, записано значение 2 – это означает, что
выбор второй из четырех альтернатив (сверху) дает наибольшее
значение ожидаемой прибыли.
Эквивалентное дерево.
Есть другой способ построения дерева решений. Напомним, что
значения под ветвями решений (в ячейках G4, G11, G21 и G31) представляют непосредственное значение прибыли (платежа) после принятия соответствующих решений. Так в нашем примере, если фирма
сделает заявку, то в любом случае, независимо от исхода, подготовка
заявки стоит $5000. Поэтому можно ввести эти значения в ячейки
G11, G21 и G31, а именно: ввести формулу
=–$B$4
в ячейку G11 и скопировать ее в ячейки G21 и G31.
Однако следует убрать ссылки на ячейку B4 в формулах ячеек
K9, K19 и K29. Необходимо также убрать эти ссылки в ячейках K14,
K24 и K34. В эти ячейки можно просто ввести значение 0. Модифицированное дерево находится на листе Tree2. Единственное отличие
состоит в распределении по времени значений прибыли. Теперь
стоимость подготовки заявки $5000 появляется сразу после принятия
решения сделать заявку, а ожидаемая прибыль – как только будет ясно, выиграла ли фирма конкурс.
Анализ чувствительности
TreePlan, возможно, немного медлителен и трудоемок, а результат занимает достаточно много места на рабочем листе, однако с его
помощью можно быстро выполнить анализ чувствительности задачи
по исходным данным. Так, например, можно определить, насколько
оптимальное решение чувствительно по отношению к стоимости подготовки заявки, стоимости поставки инструментов, а также к вероятностям тех или иных событий. Подобный анализ особенно важен для
реальных приложений.
Для того, чтобы провести анализ на чувствительность, понадобится ввести новые данные в столбец B. Так как в остальные ячейки
введены формулы, то все значения будут пересчитаны автоматически. Например, можно убедиться в том, что если стоимость подготовки
заявки возрастет до $10 000, то наибольшее значение ожидаемой
прибыли составит $7 200, но заявка в $115 000 останется наилучшим
решением. На самом деле, изменяя в определенном диапазоне значения стоимости подготовки заявки, стоимость поставки инструментов, вероятности конкурирующих заявок можно видеть, что решение
сделать заявку в $115 000 остается наилучшим. Однако все зависит от
диапазона изменения этих величин. Так, если стоимость подготовки
заявки будет равна $10 000, стоимость поставки инструментов – $105
000, а вероятность отсутствия конкурирующих заявок – 0, то наилучшим решением будет не делать заявку вообще. В этом случае значения ожидаемой прибыли для всех остальных альтернативных решений будут отрицательны (т.е. будут потерями).
Задания к лабораторной работе №5 «Задача принятия решения в условиях риска».
В задачах 9.1. – 9.13. найти оптимальное решение, используя
дерево решений, с помощью программы TreePlan проверить найденное решение:
9.1. Сети супермаркетов требуется 24 000 люминесцентных ламп
для продажи. Эти лампы поставляют два поставщика. Поставщик А
предлагает их по $4 за лампу и заменяет бракованную за $4. Поставщик В предлагает по $4,15 за лампу и осуществляет замену за $1.
Распределение вероятностей процента брака для обоих поставщиков
приведено в таблице (это распределение было оценено по прошлым
данным о поставках).
Процент
брака
3%
4%
5%
6%
Поставщик
А
0,10
0,20
0,40
0,30
Поставщик
В
0,05
0,10
0,60
0,25
Из таблицы следует, в частности, что с вероятностью 0,4 у поставщика А будут бракованными 5% объема поставок или 1200 из 24000
ламп. Супермаркеты планируют продавать эти лампы по $4,40 и бесплатно осуществлять их замену.
Необходимо определить поставщика из условия максимизации
ожидаемой прибыли супермаркетов.
9.2. Каждый год сотрудникам университета предлагается выбрать одну из трех программ медицинского страхования. Условия этих
программ следующие:
Программа 1. Ежемесячная стоимость $24. Застрахованный самостоятельно оплачивает все счета общей суммой до $500 в год, после этого страховка оплачивает 90% суммы счетов, сверх этих $500.
Программа 2. Аналогична программе 1, но стоимость страховки в
месяц $1 и самостоятельно оплачиваются счета, составляющие в
сумме до $1 000 в год.
Программа 3. Ежемесячная стоимость $30. Застрахованный оплачивает 30% всех счетов, остальные 70% оплачивает страховка.
Распределение вероятностей годовых затрат на медицинское
обслуживание приведено в таблице:
Затраты
Вероятность
$200
0,30
$600
0,50
$1 000
0,15
$5 000
0,03
$15 000
0,02
Требуется определить, какая из программ страхования наиболее
выгодна для сотрудников.
9.3. Компания Acme рассматривает возможность выпуска на общенациональный рынок нового продукта. В этой ситуации есть много
неопределенностей относительно того, будут ли продажи нового продукта достаточно успешными или нет. Компания предполагает, что
было бы предусмотрительно представить новый продукт сначала на
региональный рынок. Более того, компания должна сначала решить:
проводить ли предварительно маркетинговое исследование рынка.
Стоимость подобного исследования рынка по оценкам компании составляет $50 000. Если сначала будет проведено исследование рынка, компания должна дождаться его результатов до выпуска продукта
на рынок. Основываясь на полученных результатах, компания сможет
решить, стоит ли выпускать продукт на общенациональный рынок. С
другой стороны, если компания решит не проводить исследование
рынка, окончательное решение – выпускать ли продукт на общенациональный рынок – может быть принято без какой-либо задержки.
Компания считает, что успешные продажи на общенациональном рынке принесут $1 200 000, а неудачные продажи будут стоить компании
$500 000. По оценкам компании вероятность успешных продаж на общенациональном рынке без проведения каких-либо маркетинговых
исследований равна 0,5. Вероятности получения различных прогнозов
и соответствующих продаж приведены в таблицах.
Вероятности прогноза маркетингового исследования рынка:
Успешные продажи
(благоприятный прогноз)
Неудачные продажи
(неблагоприятный прогноз)
0,6
0,4
Вероятности продаж на общенациональном рынке в случае
благоприятного прогноза маркетинговых исследований:
Успешные продажи
Неудачные продажи
0,7
0,3
Вероятности продаж на общенациональном рынке в случае
неблагоприятного прогноза маркетинговых исследований:
Успешные продажи
Неудачные продажи
0,2
0,8
Необходимо найти наилучшую стратегию поведения компании.
9.4. Компания Oilco должна решить, бурить ли скважину на участке шельфа или нет. Стоимость бурения скважины составляет
100000 долларов. Если нефть будет обнаружена, то ее стоимость составит 600000 долларов. На настоящий момент компания уверена, что
вероятность наличия нефти на участке составляет 0,45. Компания
может заказать геологическое бурение на участке за 10000 долларов.
Прогноз результатов исследования наличия нефти на основе такого
бурения с вероятностью 0,5 ожидается благоприятным и с той же вероятностью 0,5 – неблагоприятным. В случае получения благоприятного прогноза вероятность наличия нефти на участке повышается до
0,8. В случае неблагоприятного прогноза вероятность наличия нефти
на участке составит лишь 10%. Необходимо определить оптимальную
стратегию поведения компании.
9.5. Компания Nitro разработала новый тип удобрений. Если
компания начнет производство этих удобрений, и они будут продаваться успешно, то прибыль составит $50 000. Если же продажи будут
низкими (неудачными), то потери компании составят $35 000. По опыту предыдущих продаж удобрений вероятность успешных продаж составляет 60%. Можно провести дополнительное тестирование эффективности новых удобрений. Стоимость такого исследования составляет $5 000. В случае получения благоприятных результатов тестирования (подтверждающих высокую эффективность удобрений), вероятность успешных продаж возрастает до 80%. Если же результаты тес-
тирования будут неблагоприятные (покажут всего лишь удовлетворительную эффективность), то вероятность успешных продаж уменьшается до 30%. Вероятность получения благоприятных результатов тестирования равна 60% и, соответственно, вероятность получения неблагоприятных результатов – 40%. Необходимо определить оптимальную стратегию поведения компании.
9.6. Эрика собирается лететь в Лондон 5 августа и возвратиться
обратно 20 августа. Сейчас (1 июля) она может купить билет в одну
сторону за $350 или билет туда и обратно за $660. Она может дождаться 1 августа, когда билет в одну сторону будет стоить $370, а билет туда и обратно – $730. В период между 1 июля и 1 августа есть
вероятность того, что ее сестра, работающая в авиакомпании, может
получить для нее бесплатный билет в одну сторону. Эта вероятность
равна 30%. Если Эрика купит предварительно (1 июля) билет туда и
обратно, а ее сестра получит для нее бесплатный билет в одну сторону, то Эрика может обменять в авиакомпании свой билет туда и обратно на обратный билет. В этом случае стоимость обратного билета
будет равна $330 плюс $50 комиссионных за обмен билета. Используя
дерево решений, необходимо определить, каким образом Эрика может минимизировать ожидаемую стоимость полета в Лондон и обратно.
9.7. Фирме, занимающейся печатью фотографий, необходимо определить стоимость печати пленок с 24 кадрами. Имеются следующие
возможности:
 Установить стоимость печати всей пленки в $5,25;
 Установить стоимость печати 1 кадра (по выбору клиента) в
$0,24.
По опыту работы известно, что обычно клиенты отказываются от
печати 0, 1, 2, 3 или 4 кадров соответственно с вероятностями 0,6;
0,15; 0,1; 0,08 и 0,07. Используя дерево решений, определить ценовую
политику, доставляющую максимум ожидаемой прибыли фирмы. Если
предположить, что стоимость печати пленки равна С долларов, зависит ли ответ от значения С?
9.8. Компании, производящей конфеты, необходимо в течение последующих 6 месяцев 10 тонн сахара. У компании есть 2 альтернативы. Во-первых, она может покупать сахар по мере потребности по текущим на момент покупки ценам в течение этих 6 месяцев, а вовторых, может прямо сейчас заключить фьючерсный контракт на поставку сахара. Этот контракт гарантирует поставку сахара в течение
6 месяцев, но по ценам, фиксированным на настоящий момент. Есть
2 типа таких фьючерсных контрактов: на 5 тонн и на 10 тонн. Таким
образом, у компании есть следующие возможности:
 Купить один контракт на поставку 10 тонн;
 Купить один контракт на поставку 5 тонн, а остальные 5 тонн покупать в течение 6 месяцев по текущим ценам;
 Покупать все 10 тонн в течение 6 месяцев по текущим ценам.
Фиксированная цена сахара, поставляемого по фьючерсному
контракту в течение 6 месяцев, составляет $0,188 за килограмм.
Стоимость самого фьючерсного контракта на 5 тонн равна $65, а на 10
тонн – $110 (поэтому компании невыгодно покупать 2 контракта на 5
тонн вместо 1 контракта на 10 тонн). Компания предполагает, что цены на сахар (за килограмм) в течение следующих 6 месяцев будут
равны $0,172; $0,183; $0,191; $0,2 и $0,21 соответственно, с вероятностями 0,04; 0,28; 0,38; 0,18 и 0,12. Какое решение следует принять
компании для того, чтобы минимизировать ожидаемые затраты на закупку необходимого количества сахара?
9.9. Фирма рассматривает вопрос о приобретении одной из двух
копировальных машин (копиров). Обе машины полностью отвечают
потребностям фирмы на следующие 10 лет. Копир 1 стоит $2 000.
Имеется соглашение на техническое обслуживание, по которому ежегодная плата за обслуживание составляет $150. По этому договору
все неполадки устраняются без дополнительной оплаты. Копир 2 стоит $3 000, его техническое обслуживание не оговаривается. По оценкам фирмы есть 40% вероятность того, что ежегодная стоимость обслуживания копира 2 будет составлять $0, 40% вероятность того, что
стоимость обслуживания составит $100 и 20% вероятность того, что
стоимость обслуживания составит $200.
Перед покупкой копира 2 фирма может дополнительно его протестировать. Если тест покажет высокое качество, то имеется 60% вероятность того, что стоимость ежегодного обслуживания будет отсутствовать и 40% вероятность того, что стоимость ежегодного обслуживания составит $100. Если результат теста будет всего лишь удовлетворительным, то с вероятностью 20% ежегодная стоимость обслуживания будет $0, с вероятностью 40% – $100 и с вероятностью 40% –
$200. Ожидается, что результат теста будет удовлетворительным с
вероятностью 50%. Стоимость дополнительного тестирования равна
$40. Какое решение следует принять фирме?
9.10. Пит намеревается заключить пари на результат матча между командой А и командой В. Он предполагает, что обе команды имеют равные шансы на выигрыш. Если он выиграет пари, то его выигрыш будет равен $10 000, если проиграет, то проигрыш составит $11
000. Перед заключением пари Пит может заплатить Бобу $1 000 за
предсказание результата матча. Боб обычно предсказывает в 60%
случаев, что выигрывает команда А, а в 40% случаев – что выигрывает команда В. Когда Боб предсказывает, что выиграет команда А, то
ее шансы (вероятность) выиграть равны 70%, а когда Боб предсказывает, что выиграет команда В, то ее шансы (вероятность) победить
составляют только 20%. Необходимо определить, как Пит может максимизировать свою ожидаемую прибыль.
9.11. Фермер может выращивать либо кукурузу, либо соевые бобы. Вероятности того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равны соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай кукурузы даст
$30000 чистого дохода, а урожай соевых бобов - $100000 дохода. Если цены останутся неизменными, фермер лишь покроет расходы. Но
если цены станут ниже, то урожай кукурузы и соевых бобов приведет к
потерям в $35000 и $5000 соответственно. Какую культуру следует
выращивать фермеру?
9.12. Пусть у вас имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда: простой, специальный и глобальный. Прибыль
от инвестиции может измениться в зависимости от условий рынка.
Существует 10%-ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится, 50%-ная вероятность – что рынок станет умеренным и
40%-ная вероятность того, что ситуация улучшится. Таблица содержит
значения процентов прибыли от суммы инвестиций при трех возможностях развития рынка.
Фонды
ухудшающийся умеренный растущий
простой
+5
+7
+8
специальный -10
+5
+30
глобальный +2
+7
+20
Какой фонд следует выбрать?
9.13. Фирма планирует производство новой продукции быстрого
питания в национальном масштабе. Отдел исследований и разработок
убежден в большом успехе новой продукции и предлагает внедрить ее
немедленно без рекламной кампании. Отдел маркетинга ситуацию
оценивает иначе и предлагает провести рекламную кампанию, которая обойдется в 100000 долларов и в случае успеха принесет 950000
долларов годового дохода. В случае неуспеха, вероятность которого
30%, годовой доход оценивается в 200000 долларов. Если рекламная
кампания не проводится вовсе, годовой доход оценивается в 400000
долларов, при условии, что покупателям понравится новая продукция
(вероятность 0,8), и 200000 долларов с вероятностью 0,2, если покупатели останутся равнодушными к новой продукции. Как должна поступить фирма в связи с производством новой продукции?
Задания практикума.
В задачах 9.14. – 9.17. заданы матрицы полезностей. Найти оптимальное решение, пользуясь различными критериями:
9.14.
d1
d2
d3
d4
9.15.
s1
12
8
20
28
s2
10
16
18
22
s3
18
12
12
14
s4
25
23
16
15
9.16.
d1
d2
d3
d4
s1
14
8
2
28
s2
10
16
18
22
s3
16
14
24
4
s4
6
20
16
15
s3
8
12
12
14
s4
24
22
16
14
s1
4
18
12
8
s2
16
6
8
22
s3
16
24
24
14
s4
26
20
26
20
d1
d2
d3
d4
s1
18
16
12
14
s2
16
16
8
22
s3
8
12
12
14
s4
24
22
16
14
s1
4
18
12
8
s2
16
6
8
22
s3
16
14
12
4
s4
6
20
16
15
9.19.
s1
20
8
12
26
s2
12
16
18
20
s3
18
16
12
14
s4
24
24
16
14
9.20.
d1
d2
d3
d4
s2
16
16
8
22
9.17.
9.18.
d1
d2
d3
d4
d1
d2
d3
d4
s1
10
8
20
8
d1
d2
d3
d4
9.21.
s1
14
8
12
28
s2
10
16
8
22
s3
16
14
12
4
s4
6
20
16
15
d1
d2
d3
d4