Спрос на продукты длительного пользования

В.И. Чуркин
СПРОС НА ПРОДУКТЫ ДЛИТЕЛЬНОГО ПОЛЬЗОВАНИЯ 1
Санкт-Петербург, СПБГПУ
Актуальность.
позволяет
Современная
решать
теория
основные
вопросы
рационального
анализа
и
потребления
регулирования
потребительского рынка: на сколько изменится спрос на товары при
изменении цен, какие цены обеспечат заданный спрос, как изменится
спрос при выводе более качественного продукта на рынок? Ответы на эти
вопросы важны для принятия решений по налогообложению, дотированию
производства
социально
значимой
продукции,
субсидированию
социальных программ, для принятия стратегических решений по выводу
на рынок новых продуктов и др.
Полученные ранее результаты теории рационального потребления не
учитывают
того,
что
у
потребителя
могут
оставаться
продукты
длительного пользования, переходящие от периода к периоду. В развитых
странах совокупная стоимость продуктов длительного пользования
постоянно возрастает. Это подчеркивает актуальность данной работы,
посвященной анализу рационального спроса на продукты (товары и
услуги) длительного пользования. Решение данной задачи важно для
принятия стратегических решений о выводе продуктов на рынок.
Функции полезности, учитывающие остатки. Введем обозначения: xi(t)
– спрос на продукт i в периоде t; и si (t) – остатки приобретенного ранее
продукта i на начало периода t; μ i - доля (вероятность) потребления i-го
продукта в текущем периоде, μ
i
∈ ( 0 , 1 ] . В случае интерпретации μ
как вероятности, μy представляет собой среднее число потребленных
(израсходованных) за текущий период продуктов, при условии, что в
начале периода их было y. Можно показать (и не только при
1
В сб. Стратегическое управление организациями: Мировая теория и российская практика: Труды
Всероссийской научно-практической конференции. СПб.: Изд-во Политехн. Ун-та, 2008. с. 99-106
вероятностной интерпретации), что обратная величина μ −1 представляет
собой среднее время потребления продукта. Действительно, вероятность
потребления продукта за один период времени - μ , за 2 периода - (1 − μ ) μ ,
за 3 периода - (1 − μ ) 2 μ , и т.д. Т.о. среднее время потребления продукта
составит μ + (1 − μ ) μ ⋅ 2 + (1 − μ ) 2 μ ⋅ 3 + ... . Стандартный способ нахождения
суммы этого ряда состоит в использовании производящей функции
целочисленной случайной величины. В нашем случае она будет равна
∞
∞
i =1
i =0
P ( z ) = ∑ μ (1 − μ ) i −1 z i = μz ∑ [(1 − μ ) z ]i =
μz
1 − (1 − μ ) z
Производная этой функции по z в точке z=1, равная μ −1 , равна среднему
значению случайной величины. К этому же выводу можно прийти без
использования вероятностной интерпретации μ .
Обозначим
через
x(t),
s(t),
μ
–
векторы-столбцы,
содержащие
соответственно компоненты xi (t ), si (t ), μ i (t ), i = 1, n . Потребитель в текущем
периоде t предъявляет спрос на x(t ) продукта, причем он обладает также
остатком продукта в количестве s(t). Имеем следующее соотношение:
s (t ) = ( E − Eμ )[ s (t − 1) + x(t − 1)] ,
(1)
где E – единичная матрица. Решение данной системы конечно-разностных
уравнений устойчиво, если собственные значения матрицы ( E − Eμ ) лежат
внутри единичного круга, т.е. 1 − μ i < 1 ⇒ μ i > 0, i = 1, n . Что имеет место.
Рассмотрим равновесное решение s (t ) = s , которое получается из (1) при
фиксированной величине спроса x(t ) = x :
( Eμ ) s = ( E − Eμ ) x ⇒ s = ( Eμ ) −1 ( E − Eμ ) x = (( Eμ ) −1 − E ) x . Отсюда
s + x = ( Eμ ) −1 x ,
(2)
где через x будем обозначать вектор-столбец
спроса) в текущем периоде, а
спроса (предъявленного
s + x = ( Eμ ) −1 x будем называть полным
спросом (спрос в текущем периоде плюс «остатки» продуктов от
предыдущего периода). Вектор s будем называть скрытым спросом.
Диагональную матрицу средних продолжительностей потребления
продуктов ( Eμ ) −1 будем называть мультипликатором спроса. Таким
образом, для получения полного спроса, учитывающего имеющиеся
остатки продуктов от предшествующих периодов, надо предъявленный
спрос умножить на мультипликатор спроса. В частном случае, когда
продукт полностью потребляется в одном периоде, спрос совпадает с
полным спросом.
Возьмем функцию полезности U ( x) , т.е. функцию, которая удовлетворяет
аксиомам рационального потребления для бинарного непрерывного
отношения предпочтения. Она существует согласно теореме Дебре.
Сконструируем на основе этой функции новую функцию:
U ( x + s ) = U (( Eμ ) −1 x) = Uˆ ( x)
(3)
Отметим, что новая функции Uˆ ( x) содержит мультипликатор спроса
(предъявленный в текущем периоде спрос, фактически умножается на
среднее время использования продукта, что создает дополнительную
полезность для потребителя). Функцию полезности Uˆ ( x) , построенную на
основе функции полезности U (x) , будем называть функцией полезности
для продуктов длительного пользования, или функцией полезности,
учитывающей остатки. Для продуктов быстрого использования функция
полезности U(x) совпадает с функцией полезности предъявленного спроса
Uˆ ( x) .
Убедимся в том, что функция полезности, учитывающая остатки, Uˆ ( x)
обладает обычными свойствами функции полезности.
1. Вектор предельных полезностей
T
⎛ ∂Uˆ ( x)
∂Uˆ ( x) ⎞
⎟ = ( Eμ ) −1 ∇U (( Eμ ) −1 x)
∇Uˆ ( x) = ⎜⎜
,...,
⎟
∂
∂
x
x
n
1
⎝
⎠
(4)
и, поскольку, вследствие аксиомы ненасыщения, для исходной функции
полезности ∇U ( x) > 0 , то и ∇Uˆ ( x) > 0 . Комментируя (4) следует сказать, что
при
определении предельной полезности продуктов длительного
пользования (в отличие от продуктов быстрого использования) спрос
умножается на мультпликатор спроса и на него же умножается предельная
полезность (среднее время использования продукта мультипликативно
входит в определение предельной полезности).
2. Если исходная функция полезности U(x) дважды непрерывно
дифференцируема, то из аксиомы строгой выпуклости следует, что ее
гессиан
должен
быть
отрицательно
определен.
Гессиан
функции
полезности с остатками имеет вид:
⎛ ∂ 2Uˆ
⎜
⎜ ∂x12
⎜ ∂ 2Uˆ
2 ˆ
⎜
∂
U
(
x
)
= ⎜ ∂x2 ∂x1
H (Uˆ ) =
∂x 2
⎜ ...
⎜ 2 ˆˆ
⎜ ∂U
⎜ ∂x ∂x
⎝ n 1
∂ 2Uˆ
∂x1∂x2
∂ 2Uˆ
∂x22
...
∂ 2Uˆ
∂xn ∂x2
(5)
∂ 2Uˆ
∂x1∂xn
∂ 2Uˆ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
...
−1
−1
−1
∂x2 ∂xn ⎟ == ( Eμ ) H (U (( Eμ ) x))( Eμ )
...
... ⎟
⎟
∂ 2Uˆ ⎟
...
∂xnn ⎟⎠
...
Таким образом, гессиан функции полезности, учитывающей остатки,
отличается тем, что здесь в обычном гессиане функции полезности для
продуктов быстрого использования спрос умножается на мультипликатор
спроса и на него же дважды умножается этот гессиан.
Поскольку
y T H (U ( y ) y < 0 ∀y
то,
подставив
y = ( Eμ ) −1 x ,
x T ( Eμ ) −1 H (U (( Eμ ) −1 x)( Eμ ) −1 x < 0 ∀x , таким образом, матрица
получим
H (Uˆ )
также
отрицательно определенная.
Задача оптимизации. Учитывая, что функция полезности непрерывна и
она удовлетворяет аксиоме ненасыщения, решение задачи рационального
поведения потребителя лежит на границе бюджетного множества (закон
Вальраса). Задача рационального потребления для продуктов быстрого
использования формулируется следующим образом:
U ( x) → max, px = I ,
(6)
где pT=(p1,…pn) – вектор-столбец цен; I – бюджет потребителя. Используя
для решения этой задачи функцию Лагранжа, получим необходимое
условие экстремума для функции полезности продуктов быстрого
использования:
∇U ( x ) = λ ⋅ p , p T x = I
(7)
Аналогичные соображения справедливы и для продуктов длительного
использования:
∇Uˆ ( xˆ ) = λˆ ⋅ p, pT xˆ = I
(8)
или
( Eμ ) −1 ∇U ( x) |x = ( Eμ ) −1 xˆ = λˆ ⋅ p, pT xˆ = I
(9)
Здесь через x̂ обозначается предъявленный спрос. Для оптимума получаем
обобщение закона Джевонса в следующей формулировке:
μi−1
∂U ( x)
∂xi
x = ( Eμ ) −1 xˆ *
μ −j 1
∂U ( x)
∂x j
x = ( Eμ ) −1 xˆ *
= pi p j ∀i, j ,
(10)
где предельные полезности берутся для полного спроса. Из (8) получаем
∇U (( Eμ ) −1 xˆ ) = λˆ ⋅ ( Eμ ) p, pT ( Eμ )( Eμ ) −1 xˆ = I
(11)
или
∇U ( x ) = λ ⋅ ( Eμ ) p, pT ( Eμ ) x = I
(12)
где x = ( Eμ ) −1 xˆ – n – мерный вектор-столбец полного спроса. Отсюда
видно, что решение задачи (8) xˆ * ( p, I ) получается из решения задач (12)
x * ( p, I ) и (7) x * ( p, I ) следующим образом
xˆ * ( p, I ) = ( Eμ ) x * ( p, I ) = ( Eμ ) x * (( Eμ ) p, I )
(13)
Это можно интерпретировать так, что по сравнению с продуктами
быстрого использования, оптимальный спрос на продукты длительного
использования определяется при ценах деленных на мультипликатор
спроса, с другой стороны, он уменьшается делением на этот же
мультипликатор.
Множитель λ* в решении задачи (7) следует интерпретировать как
предельную полезность добавочного дохода. Действительно, из (7) с
учетом бюджетного ограничения получаем
T
(14)
T
*
⎛ ∂x * ⎞ *
∂U * ⎛ ∂x * ⎞
*
* T ⎛ ∂x ⎞
⎟⎟ = λ*
⎟⎟ λ p = λ p ⎜⎜
⎟⎟ ∇U ( x ) = ⎜⎜
( x ) = ⎜⎜
∂I
⎝ ∂I ⎠
⎝ ∂I ⎠
⎝ ∂I ⎠
Переобозначим в (11)
∇U ( yˆ ) = λˆ ⋅ ( Eμ ) p, pT ( Eμ ) yˆ = I , где yˆ = ( Eμ ) −1 xˆ
С
учетом
(11)
получаем
λˆ* ( p, I ) = λ* (( Eμ ) p, I ) ,
затем
из
(12)
λ * ( p, I ) = λ* (( Eμ ) p, I ) , таким образом,
λˆ* ( p, I ) = λ * ( p, I ) = λ* (( Eμ ) p, I )
(15)
Это можно интерпретировать так, что, по сравнению с продуктами
быстрого использования, предельная полезность добавочного дохода
ищется
при
ценах,
деленных
на
среднее
время
использования
соответствующего продукта (мультипликатор спроса).
В предположении отрицательной определенности матрицы Гессе для
функции полезности Û (что имеет место) условия второго порядка для
решения задач (7), (8) выполняются. Поэтому эти условия являются
необходимыми и достаточными для решения задач максимизации.
Приводимые ниже результаты для продуктов длительного пользования
аналогичны результатам для продуктов быстрого использования [1], для
краткости последние не приводятся.
Из уравнения (8), согласно теореме о существовании неявной функции,
неизвестные
xˆ1* ,..., xˆn* , λˆ*
можно
разрешить
относительно
параметров
p1 ,..., p n , I , если матрица Якоби системы (8) имеет ненулевой определитель.
Матрица Якоби для системы (8) выражается через матрицу Гессе
следующим образом:
⎛ H (Uˆ ) − p ⎞
⎟
J (Uˆ ) = ⎜⎜ T
0 ⎟⎠
⎝ p
Эта матрица имеет обратную:
(16)
⎛ Vˆ
J (Uˆ ) −1 = ⎜⎜ T
⎝ − qˆ
(17)
qˆ ⎞
⎟
θˆ ⎟⎠
(18)
⎧ˆ
1
−1
T
−1
⎨V = H (Uˆ ) ( En − pqˆ ), qˆ = θˆH (Uˆ ) p,θˆ = T
p H (Uˆ ) −1 p
⎩
Матрица Гессе
H (Uˆ ) = Hˆ отрицательно
определена, и потому имеет
ненулевой определитель. Поскольку матрица Ĥ представляет собой
произведение
обратимых
диагональных
матриц
и
отрицательно
определенного гессиана (5), то
H (Uˆ ) = ( Eμ ) −1 H (U (( Eμ ) −1 xˆ )( Eμ ) −1 ⇒ H −1 (Uˆ ) = ( Eμ ) H −1 (U (( Eμ ) −1 xˆ )( Eμ )
(19)
Исследование зависимости спроса от дохода. Исследуем зависимость
решения задачи потребительского выбора от ее параметров путем
сравнения положения оптимума до и после изменения ее параметров. Для
продуктов
длительного
использования
имеют
место
следующие
результаты:
⎧⎪ ∂xˆ *
∂λˆ*
−1 ˆ
ˆ
p
I
θ
H
U
p
(
,
)
(
)
,
( p, I ) = θˆ
=
⎨
∂I
⎪⎩ ∂I
(20)
Здесь первое равенство определяет чувствительность спроса на все товары
к изменению бюджета I. Это можно переписать в следующем виде:
⎧⎪ ∂xˆ *
∂λˆ*
−1
−1 *
ˆ
ˆ
p
I
θ
E
μ
H
U
E
μ
x
E
μ
p
(
,
)
(
)
(
((
)
))(
)
,
( p, I ) = θˆ
=
⎨
I
I
∂
∂
⎪⎩
(21)
Исследование зависимости спроса от цен. Исследуем влияние изменения
цены k-го продукта на спрос. Для продуктов длительного использования
имеют место следующие результаты:
∂xˆ * ˆ* −1 ˆ
= λ H (U )[ E n − θˆpp T H −1 (Uˆ )] − θˆH −1 (Uˆ ) pxˆ *T
∂p
(22)
∂xˆ *
= λ* (( Eμ ) p, I )( Eμ ) H −1 (U (( Eμ ) −1 xˆ )( Eμ )[ En −
∂p
− θˆpp T ( Eμ ) H −1 (U (( Eμ ) −1 xˆ )( Eμ )] −
(23)
− θˆ( Eμ ) H −1 (U (( Eμ ) −1 xˆ )( Eμ ) p( Eμ ) x*T (( Eμ ) p, I )
где
⎛ ∂x1*
⎜
*
⎜ ∂p1
∂x
= ⎜ ...
∂p ⎜ ∂x *
⎜ n
⎜ ∂p1
⎝
∂x1*
∂p n
... ...
∂x n*
...
∂p n
...
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Уравнение Слуцкого. Для экономического анализа представляет интерес
такой режим изменения цен, при котором одновременно меняется бюджет
потребителя так, что уровень потребления сохраняется (не меняется
полезность), т.е. происходит компенсированное изменение цен. При этом
бюджет
I(p),
определяемый
постоянством
достижимого
уровня
потребления, называют компенсирующим бюджетом, а соответствующий
ему спрос компенсированным спросом. Для продуктов длительного
использования чувствительность компенсированного спроса от цен имеет
вид:
⎛ ∂xˆ * ⎞
⎟⎟
⎜⎜
= λˆ* H −1 (Uˆ )[ E n − θˆp T pH −1 (Uˆ )]
p
∂
⎠ comp
⎝
(24)
⎛ ∂xˆ * ⎞
⎜⎜
⎟⎟
= λ* (( Eμ ) p, I )( Eμ ) H −1 (U (( Eμ ) −1 xˆ * ))( Eμ )( E n −
∂
p
⎝
⎠ comp
− θˆp T p( Eμ ) H −1 (U (( Eμ ) −1 xˆ * ))( Eμ ))
(25)
Из (22), (20) и (24) получается аналог уравнения Слуцкого для продуктов
длительного пользования:
∂xˆ *
∂xˆ * ⎛ ∂xˆ * ⎞
⎟⎟
−
( p, I ) xˆ *T
= ⎜⎜
∂p ⎝ ∂p ⎠ comp ∂I
(26)
Результаты для конкретной функции полезности. В работе [2] получена
функция спроса для параболической функции полезности:
xk =
bk ∑
i≠k
bi Pi 2
bP
− k k (∑ bi Pi − I )
MU i (0) MU k (0) i ≠ k
, k = 1, n,
n
bi Pi 2
∑
i =1 MU i (0)
(27)
где MUi(0) – предельная полезность i-го продукта при нулевом спросе, bi –
параметры функции полезности. Используя формулу (13) получаем:
xk = μ k
bk ∑
i≠k
bi μi2 Pi 2
bμ P
− k k k (∑ bi μi Pi − I )
MU i (0) MU k (0) i ≠ k
, k = 1, n
n
bi μi2 Pi 2
∑
i =1 MU i (0)
(28)
Примеры. П р и м е р 1 . Допустим, на данном сегменте рынка, емкостью
I=110000 руб., торгуют мясом два продавца со следующими параметрами:
MU1(0)=0,95; P1=250 руб/кг.; MU2(0)=0,8; P2=200 руб/кг. Значения
b1=b2=3000 кг. Требуется оценить объем спроса. Вычисления проводим по
формуле (27): x1=181.8 кг., x2=322.7 кг.
П р и м е р 2 . Рассмотрим товары длительного пользования, например,
холодильники.
Производители
отечественных
холодильников
устанавливают срок пользования ими 15 лет. Некоторые иностранные
производители (например, итальянские) считают, что холодильник
морально устаревает уже через 5 лет и поэтому нецелесообразно
закладывать в конструкцию более длительную продолжительность работы.
Используем, по возможности, исходные данные примера 1, но цены и
бюджет увеличим в 100 раз (это не влияет на спрос). Допустим товар 1 –
это импортный холодильник со сроком службы 5 лет, а товар 2 –
отечественный, со сроком службы 15 лет. В качестве единицы времени
примем 1 год, тогда μ1−1 = 5 лет, а μ2−1 =15 лет. Вычисления по формуле (28)
дают: x1 =304.4, x2 =169.5. Этот пример показывает, что производитель,
продукт которого имеет меньший срок использования, но большую
полезность и цену, может иметь большие продажи.
Выводы. 1. Разработана модель рационального спроса для продуктов
длительного пользования, которая обобщает традиционную модель.
2. «Скрытый спрос», связанный с наличием остатков продуктов от
предыдущих периодов, непосредственно не наблюдаем, но повышает
полезность потребителя. В принципе, при формировании системы
предпочтений
потребителя
должна
учитываться
длительность
использования продукта. В работе удалось выделить эту составляющую
полезности, что позволяет сделать продукты более однородными и
упростить для них оценку полезности.
3. Показано, что при конструировании функции полезности для продуктов
длительного пользования можно использовать функцию полезности не
учитывающую длительность использования, но предъявленный спрос надо
умножать на среднее время использования продукта. Это создает
дополнительную полезность для потребителя.
4. Показано также, что такая функция полезности обладает обычными
свойствами функций полезности и среднее время потребления продукта
входит в определение его предельной полезности мультипликативно.
5.
Получены
соотношения
между
оптимальными
решениями
для
продуктов «быстрого» и долговременного использования.
6.
Поскольку
разные
продукты
имеют
разную
длительность
использования, то это необходимо учитывать в моделях рационального
спроса.
7. Проанализирована чувствительность оптимальных решений к бюджету
потребителей и ценам.
Литература
1.
Чуркин
В.И.
Рациональный
спрос
на
продукты
длительного
пользования. Планирование инновационного развития экономических
систем: Труды конф. / Под ред. д-ра экон. наук, проф. Глухова В.В., д-ра
экон. наук, проф. А.В. Бабкина: - СПб.: Изд-во Политехн. Ун-та, 2007, с.
449 – 457.
2. Чуркин В.И. Оценка объема спроса и продаж и принятие решений.
Экономические реформы в России: Сборник научных трудов. СПб.: Издво Политехн. Ун-та, 2007, с. 256 - 265