Методы прикладной оптимизации

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной и методической работе
_______________ Д.А. Зубцов
«___»______________ 20___ г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
по дисциплине:
по направлению:
профиль подготовки/
магистерская программа:
факультет:
кафедра:
курс:
квалификация:
Методы прикладной оптимизации
Прикладные математика и физика (бакалавриат)
Компьютерные технологии и интеллектуальный анализ данных
управления и прикладной математики
проблем передачи информации и анализа данных
4
бакалавр
Семестр, формы промежуточной аттестации: 7 (Осенний) Семестр, формы промежуточной аттестации: 8 (Весенний) - Дифференцированный зачёт
Аудиторных часов: 68 всего, в том числе:
лекции: 68 час.
практические (семинарские) занятия: 0 час.
лабораторные занятия: 0 час.
Самостоятельная работа: 10 час. всего, в том числе:
задания, курсовые работы: 0 час.
Подготовка к экзамену: 0 час.
Всего часов: 78, всего зач.ед.: 2
Программу составил: М.А. Посыпкин, кандидат физико-математических наук, доцент
Программа обсуждена на заседании кафедры
14 мая 2014 года
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой
А.П. Кулешов
Декан факультета управления и прикладной математики
А.А. Шананин
Начальник учебного управления
И.Р. Гарайшина
1. Цели и задачи
Цель дисциплины
Дать представление о методах прикладной оптимизации.
Задачи дисциплины
- ввести базовые понятия задач оптимизации;
- рассмотреть постановку задачи оптимизации;
- дать постановку и изучить основные методы линейного программирования;
- рассмотреть задачи нелинейного программирования, постановку, основные методы решения;
- рассмотреть детерминированные методы глобальной непрерывной оптимизации;
- дать представления об эвристических методах оптимизации;
- рассмотреть основные методы оптимизации черного ящика;
- дать постановку, изучить базовые понятия и
основные методы решения задач
многокритериальной оптимизации.
2. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы бакалавриата (магистратуры
Дисциплина «Методы прикладной оптимизации» включает в себя разделы, которые могут
быть отнесены к вариативной части цикла Б.1.
Дисциплина «Методы прикладной оптимизации» базируется на дисциплинах:
Математический анализ;
Функциональный анализ;
Теория вероятностей;
Случайные процессы;
Математическая статистика.
Дисциплина «Методы прикладной оптимизации» предшествует изучению дисциплин:
Математические основы анализа многомерных данных;
Байесовские методы статистического оценивания оптимизации;
Методы выпуклой оптимизации;
Обработка изображений.
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
Освоение дисциплины «Методы прикладной оптимизации» направлено на формирование следующих общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций бакалавра/магистра:
способность применять теорию и методы математики для построения качественных и
количественных моделей объектов и процессов в естественной сфере деятельности (ОПК-2);
способность понимать ключевые аспекты и концепции в области специализации (ОПК-3);
способность выбирать и применять подходящее оборудование, инструменты и методы
исследований для решения задач в избранной предметной области (ПК-3);
способность критически оценивать применимость применяемых методик и методов (ПК-4).
В результате освоения дисциплины обучающиеся должны
знать:
2
- постановку общей задачи математического программирования, основные классы задач оптимизации;
- классификация задач и методов оптимизации, локальная и глобальная оптимизация;
- теоретические аспекты и геометрическая интерпретация задач линейного программирования;
- симплекс-метод: прямой и двойственный;
- методы внутренней точки для задачи линейного программирования;
- методы одномерной оптимизации: метод дихотомии, метод Фибоначи, метод квадратичной
интерполяции;
- методы штрафов решения задач нелинейного программирования;
- методы последовательного квадратичного программирования;
- барьерные методы решения задач нелинейного программирования;
- методы внутренней точки для задач нелинейного программирования;
- различные варианты симплекс-метода для решения задачи линейного программирования;
- понятие функции чувствительности;
- постановку задачи и методы робастной оптимизации;
- общую схему метода ветвей и границ, понятие верхних и нижних оценок;
- метод неравномерных покрытий;
- основные понятия интервального анализа, основные интервальные методы решения задач
оптимизации;
- методы ветвей и отсечения для задач DC-программирования;
- задача об одномерном булевом ранце, приближенные и точные методы решения задачи о
ранце;
- задача линейного целочисленного программирования, метод ветвей и границ и метод Гомори для решения задач ЦЛП;
- основные понятия популяционных и генетических алгоритмов;
- метод «отжига» для непрерывных задач безусловной оптимизации;
- постановка задачи оптимизации черного ящика, основные сложности при решении таких
задач;
- детерминированные и стохастические методы локальной оптимизации задач оптимизации
«черного ящика»;
уметь:
- определять класс оптимизационной задачи по ее постановке, определять метод ее решения;
- применять различные варианты симплекс-метода и итеративные методы для решения общей задачи линейного программирования;
- применять метод ветвей и границ для решения задач булева и целочисленного линейного
программирования;
- использовать метод Гомори для решения целочисленной задачи линейного программирования;
- применять основные методы решения задач безусловной оптимизации;
- решать задачи математического программирования различными методами;
- решать задачи многокритериальной оптимизации;
- применять различные методы оптимизации для задач типа «черного ящика»;
владеть:
- навыком освоения большого объема информации;
- навыками постановки научно-исследовательских задач и навыками самостоятельной
работы.
4. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий
3
№
Тема (раздел) дисциплины
Базовые понятия. Постановка
задачи оптимизации
2
Линейное программирование
Нелинейное программирова3
ние
Детерминированные методы
4
глобальной непрерывной оптимизации
5
Дискретная оптимизация
Эвристические методы гло6
бальной оптимизации
Оптимизация «черных ящи7
ков»
Многокритериальная оптими8
зация
Итого часов
Общая трудоёмкость
1
Виды учебных занятий, включая самостоятельную работу
Практич.
Задания,
Лаборат.
Самост.
Лекции
(семинар.)
курсовые
работы
работа
занятия
работы
8
1
8
1
8
1
10
1
10
2
8
1
6
1
10
2
68
78 час., 2 зач.ед.
10
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Семестр: 7 (Осенний)
1. Базовые понятия. Постановка задачи оптимизации.
Базовые понятия. Введение в предмет. Область применения методов оптимизации.
Классификация задач и методов оптимизации, локальная и глобальная оптимизация.
Основные математические понятия (норма, компактность, выпуклость и т.п.).
Постановка задачи оптимизации. Общая постановка.
Понятие точности решения. Относительная и абсолютная погрешность.
Погрешность вычислений и ее влияние на точность нахождения оптимума.
Правильная постановка задачи.
2. Линейное программирование.
Теоретические аспекты. Геометрическая интерпретация.
Симплекс-метод: прямой и двойственный.
Проблемы дегенерации и зацикливания, варианты решения.
Методы внутренней точки.
3. Нелинейное программирование.
Методы одномерной оптимизации. Метод дихотомии. Метод Фибоначи. Метод квадратичной
интерполяции.
Методы штрафов.
Методы последовательного квадратичного программирования.
Барьерные методы.
4
Методы внутренней точки.
Функция чувствительности.
Робастная оптимизация.
4. Детерминированные методы глобальной непрерывной оптимизации.
Методы ветвей и границ. Верхние и нижние оценки. Миноранты.
Метод неравномерных покрытий.
Основы интервального анализа. Использование интервального анализа для получения нижних оценок.
Интервальный метод Ньютона для решения задач безусловной оптимизации.
DC-программирование. Методы ветвей и отсечений.
Семестр: 8 (Весенний)
5. Дискретная оптимизация.
Задача об одномерном булевом ранце. Приближенные алгоритмы решения задачи о ранце.
Методы динамического программирования для задачи о ранце.
Методы ветвей и границ для задачи о ранце.
Линейное целочисленное программирование. Метод Гомори.
Метод ветвей и границ для задачи линейного целочисленного программирования. Комбинированные алгоритмы – методы ветвей и отсечений.
6. Эвристические методы глобальной оптимизации.
Методы, основанные на использовании свойства Липшицевости целевой функции.
«Генетические» алгоритмы.
Другие популяционные алгоритмы (алгоритмы муравьиной колонии, роя частиц и т.п.).
Метод отжига.
7. Оптимизация «черных ящиков».
Постановка задачи «черного ящика».Детерминированные методы локальной оптимизации
(Методы нулевого порядка). Метод Розенброка. Метод Пауэлла.
Стохастические методы локальной оптимизации. Метод случайного поиска. Метод СолисаВетса. Метод basin-hopping.
Стратегии глобализации в задачах «черного ящика». Ограничения и специфика применения
методов глобального поиска в задачах черного ящика.
8. Многокритериальная оптимизация.
Теория отношений порядка.
Понятие оптимальности по Парето и Слейтеру. Оболочка Эджворта-Парето.
Методы многокритериальной оптимизации (методы без участия ЛПР, методы выявления
предпочтений, интерактивные методы, целевые методы, методы на основе аппроксимации
(построения) границы Парето).
Методы аппроксимации (построения ) границы Парето (оболочки Эждворта-Парето): Понятие приближенного решения. Множество эпсилон-Парето. Детерминированный метод неравномерных покрытий для построение множества эпсилон-Парето. Методы свертки критериев.
Генетические методы аппроксимации ОЭП.
5
5. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Учебная аудитория, оснащенная мультимедийным оборудованием (проектор или плазменная
панель), доской.
6. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины
(модуля)
Основная литература
1. Jorge Nocedal, Stephen J. Wright. Numerical Optimization // Springer, 2006. - 664 р.
2. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. Linear programming. 1: Introduction // Springer-Verlag,
1997. - 474 с.
3. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. Linear Programming. 2: Theory and Extensions // Springer-Verlag, 2003. - 448 р.
4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 256 с.
5. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. - 370
с.
6. Хансен Э., Уолстер Дж. У. Глобальная оптимизация с помощью методов интервального
анализа. Изд-во УдГУ, 2012. - 516 с.
7. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на
неравномерной сетке) // Журнал вычислительной математики и математической физики,
1971. Т. 11. № 6. С.1394-1403.
7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по
дисциплине (модулю)
1. Лотов В.А., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений: учебное пособие. М.: МАКС Пресс, 2008. - 197 с.
2. Сигал И.Х., Иванова А.П. Введение в прикладное дискретное программирование. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 240 с.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет", необходимых
для освоения дисциплины (модуля)
9. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)
На лекционных занятиях используются мультимедийные технологии, включая демонстрацию
презентаций.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Студент, изучающий дисциплину, должен, с одной стороны, овладеть общими понятийным
аппаратом, а с другой стороны, должен научиться применять теоретические знания на практике.
В результате изучения дисциплины студент должен знать основные определения, понятия,
аксиомы, методы доказательств.
6
Успешное освоение курса требует напряженной самостоятельной работы студента. В программе курса отведено минимально необходимое время для работы студента над темой. Самостоятельная работа включает в себя:
- чтение и конспектирование рекомендованной литературы;
- проработку учебного материала (по конспектам занятий, учебной и научной литературе),
подготовку ответов на вопросы, предназначенные для самостоятельного изучения, доказательство отдельных утверждений, свойств, решение задач;
- подготовка к дифференцированному зачёту.
Руководство и контроль за самостоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.
Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания. При
затруднении изучения отдельных тем, вопросов следует обращаться за консультациями к лектору.
11. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам обучения
Приложение.
7
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Методы прикладной оптимизации»
1. Перечень типовых контрольных заданий, используемых для оценки знаний, умений, навыков
Перечень контрольных вопросов к дифференцированному зачёту:
1. Область применения методов оптимизации. Классификация задач и методов оптимизации, локальная и глобальная оптимизация. Основные математические понятия (норма, компактность, выпуклость и т.п.).
2. Общая постановка задачи оптимизации. Понятие точности решения. Относительная и абсолютная
погрешность. Погрешность вычислений и ее влияние на точность нахождения оптимума. Правильная постановка задачи.
3. Теоретические аспекты линейного программирования. Геометрическая интерпретация.
4. Симплекс-метод: прямой и двойственный. Проблемы дегенерации и зацикливания, варианты решения. Методы внутренней точки.
5. Методы одномерной оптимизации. Метод дихотомии. Метод Фибоначи. Метод квадратичной интерполяции.
6. Методы штрафов. Методы последовательного квадратичного программирования.
7. Барьерные методы. Методы внутренней точки. Функция чувствительности. Робастная оптимизация.
8. Методы ветвей и границ. Верхние и нижние оценки. Миноранты.
9. Метод неравномерных покрытий.
10. Основы интервального анализа. Использование интервального анализа для получения нижних
оценок.
11. Интервальный метод Ньютона для решения задач безусловной оптимизации.
12. DC-программирование. Методы ветвей и отсечений.
13. Задача об одномерном булевом ранце. Приближенные алгоритмы решения задачи о ранце.
14. Методы динамического программирования для задачи о ранце. Методы ветвей и границ для задачи о ранце.
15. Линейное целочисленное программирование. Метод Гомори.
16. Метод ветвей и границ для задачи линейного целочисленного программирования. Комбинированные алгоритмы – методы ветвей и отсечений.
17. Методы, основанные на использовании свойства Липшицевости целевой функции.
18. «Генетические» алгоритмы.
19. Популяционные алгоритмы (алгоритмы муравьиной колонии, роя частиц и т.п.).
20. Метод отжига.
21. Постановка задачи «черного ящика».Детерминированные методы локальной оптимизации (Методы нулевого порядка). Метод Розенброка. Метод Пауэлла.
22. Стохастические методы локальной оптимизации. Метод случайного поиска. Метод СолисаВетса. Метод basin-hopping.
23. Стратегии глобализации в задачах «черного ящика». Ограничения и специфика применения методов глобального поиска в задачах черного ящика.
8
24. Теория отношений порядка.
25. Понятие оптимальности по Парето и Слейтеру. Оболочка Эджворта-Парето.
26. Методы многокритериальной оптимизации (методы без участия ЛПР, методы выявления предпочтений, интерактивные методы, целевые методы, методы на основе аппроксимации (построения)
границы Парето).
27. Методы аппроксимации (построения ) границы Парето (оболочки Эждворта-Парето).
2. Критерии оценивания
Оценка
Баллы
10
отлично
9
8
7
хорошо
6
5
4
удовлетворительно
3
Критерии
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины,
проявляющему интерес к данной предметной области, продемонстрировавшему умение уверенно и творчески применять их на
практике при решении конкретных задач, свободное и правильное
обоснование принятых решений.
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины
и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых
решений.
Выставляется студенту, показавшему систематизированные,
глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач,
правильное обоснование принятых решений, с некоторыми недочетами.
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные
знания на практике, но недостаточно грамотно обосновывает полученные результаты.
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные
знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач
некоторые неточности.
Выставляется студенту, если он в основном знает материал,
грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач достаточно большое количество неточностей.
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом он освоил
основные разделы учебной программы, необходимые для дальнейшего обучения, и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации.
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, допускающему ошибки в формулировках базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, слабо владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для
дальнейшего обучения и с трудом применяет полученные знания
даже в стандартной ситуации.
9
2
неудовлетворительно
1
Выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает
грубые ошибки в формулировках основных принципов и не умеет
использовать полученные знания при решении типовых задач.
Выставляется студенту, который не знает основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубейшие
ошибки в формулировках базовых понятий дисциплины и вообще
не имеет навыков решения типовых практических задач.
3. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков
и (или) опыта деятельности
Дифференцированный зачёт проводится в устной форме.
При проведении устного дифференцированного зачёта обучающемуся предоставляется 30 минут на
подготовку.
Во время проведения дифференцированного зачёта обучающиеся могут пользоваться программой
дисциплины, а также справочной литературой, вычислительной техникой и проч.
10