поиск эффективных решений модернизации производства с

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Кафедра системного анализа
Магистерская диссертация
«ПОИСК ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ
МОДЕРНИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВИЗУАЛИЗАЦИИ
ГРАНИЦЫ ПАРЕТО »
Работу выполнил:
Ю. Б. Кузьмин
Научный руководитель:
профессор, д.ф.-м. наук Лотов А.В.
Москва, 2013
Содержание
Аннотация
3
Введение
4
I Разработка модели оценки уровня автоматизации технологических процессов (АСУТП) предприятия нефтегазодобычи
5
Описание объекта
5
Анализ объекта и подсчет параметров автоматизации
6
Модель степени автоматизации предприятия.
10
Описание метода анализа иерархий
13
Применение метода анализа иерархий
19
II Применение методов многкритериальной оптимизации для
распределения финансовых ресурсов, направленных на увеличение уровня автоматизации АСУТП предприятия.
21
Постановка задачи моделирования коэффициента автоматизации и оптимального распределения финансов для десяти предприятий нефтегазодобычи.
21
Многокритериальная задача оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Постановка задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Метод построения границы Парето и анализ результатов
25
Заключение
36
2
Аннотация
В данной работе предлагается и изучается многокритериальная методика поддержки
принятия решений о распределении финансовых средств, предназначенных для повышений уровня автоматизации технологических процессов. Методика основана на
моделировании состояния программно-технических средств автоматизации технологических процессов на предприятии.
В диссертации строится экспертная модель, предназначенная для оценки степени
автоматизации предприятия. Как это обычно делается при моделировании организационных систем, модель представляет собой систему формул с параметрами, которые
определяются расчетным путем и по таблицам, и весами, которые определяются экспертно. Наряду с разработанным автором ранее методом попарного сравнения важности параметров в работе применяется известный метод анализа иерархий, с помощью которого проводится анализ непротиворечивости экспертных оценок. На примере
предприятий нефтедобычи было показано, что оба метода дают примерно одинаковые
результаты.
Поиск оптимального решения распределения финансовых средств осуществляется в многокритериальной постановке с двумя и тремя критериями. Задача многокритериальной оптимизации решается с помощью метода достижимых целей, в рамках которого осуществляется аппроксимация оболочки Эджворта-Парето и визуализации границы Парето. Критериями являются: суммарные капиталовложения, итоговый интегральный уровень автоматизации, неравномерность распределения финансовых средств по предприятиям. Граница Парето отражает эффективную связь между
распределением финансовых средств и ростом степени автоматизации. Описывается
способ применения метода достижимых целей для поиска оптимальной стратегии на
основе предложенной совокупности показателей.
3
Введение
При модернизации автоматизированных систем управления (АСУ), к примеру, АСУ
технологических процессов (АСУТП) ставится вопрос о планировании финансовых
ресурсов, направленных на программно-техническое перевооружение предприятий.
Особенностью данной работы является использование моделирования для оценки
степени автоматизации и анализ соответствия запланированных финансовых средств
изменению коэффициента автоматизации. Для установление связи между степенью
автоматизации и параметрами уровней автоматизации предприятия была предложена
линейная модель, значения весов которой определялись по двум методикам и затем
сравнивались. С помощью метода анализа анализа иерархий Т. Саати [1] была изучена
непротиворечивость экспертных оценок и определен индекс согласованности.
Во второй части работы была сформулирована математическая модель и поставлены задачи поиска оптимальных решений для двух и трех критериев. Была применена аппроксимация и визуализация границы Парето для поиска оптимальных по
Парето вариантов распределения финансовых средств. Далее визуализация границы
Парето применялась для решения задачи с тремя критериями: итоговым интегральным уровнем автоматизации, суммарными капиталовложениями, неравномерностью
распределения финансовых средств по предприятиям. Изучалась зависимость между финансовыми средствами, интегральным уровнем автоматизации и неравномерностью финансирования предприятий. Для этого использовалась программное обеспечение VISUAL MARKET/2, предназначенное для расчета и визуализации оболочки
Эджворта — Парето.
4
Часть I
Разработка модели оценки уровня
автоматизации технологических
процессов (АСУТП) предприятия
нефтегазодобычи
Описание объекта
В иерархических структурах управления используется многоуровневое построение систем сбора обработки, передачи и отображения информации с целью контроля и выработки управляющих решений. Для АСУТП это выглядит следующим образом:
нулевой уровень -уровень получения первичной информации и управления с использованием контрольно-измерительных приборов и автоматики (КИПиА), для
каждого технологического агрегата, элемента;
первый уровень -уровень вычислителя, промышленного процессорного блока, программируемого логического контроллера (ПЛК). Контроллер обрабатывает данные поступившие с приборов нулевого уровня, обеспечивает поддержания заданных технологических режимов и передает их в диспетчерскую на следующий
уровень;
второй уровень -уровень диспетчерского управления и сбора данных, человеко-машинного
интерфейса. Используется программный пакет SCADA (аббр. от англ. Supervisory
Control And Data Acquisition -диспетчерское управление и сбор данных) для сбора, обработки, отображения и архивирования информации об объекте управления. Позволяет контролировать весь технологический процесс в реальном времени, отображая на экране ПК в виде мнемосхем состояний объектов и его параметров;
третий уровень -уровень центральной диспетчерской или производственного управления, автоматизированной системы управления производством. Позволяет про5
изводить дальнейший анализа, обработку информации и поддержку принятия
решений с помощью специализированного ПО, к примеру MES (аббр. от англ.
Manufacturing Execution System-система исполнения производства) – по улучшению параметров работы всей технологической системы (уменьшению простоев,
оптимизации загрузки, учета и планирования). Данные с серверов управлений
аккумулируются и могут использоваться для дальнейшего анализа и передачи
на другие вышестоящие сервера. см рис. 1
Рис. 1. Структура
Анализ объекта и подсчет параметров автоматизации
Степень автоматизации по предприятию устанавливается путем определения интегрального коэффициента автоматизации. Коэффициент (параметр) автоматизации в
данной методике отражает:
1. степень функциональности программно-технических средств, как величина, определяемая по таблицам (для уровней ПЛК, SCADA, MES);
6
2. доля (процент) измеряемых, регулируемых, контролируемых параметров от необходимого количества данных параметров принятых для объектов нефтегазодобычи согласно нормативам, определяется расчетным путем (для уровня КИПиА).
В основу расчета был заложен иерархический принцип определения коэффициента автоматизации, а именно: как по уровням автоматизации 0-ой уровень локальной местной автоматики - КИПиА, 1-ый уровень – контроллера (ПЛК), 2-ой уровень
- SCADA, 3-ий уровень – управления производством (MES), так и, соответственно,
по уровню технологического/административного деления («ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
ЭЛЕМЕНТ», «ОБЪЕКТ», «ЦЕХ», «УПРАВЛЕНИЕ», «ПРЕДПРИЯТИЕ»).
Расчет основывался на стандарте компании АСУТП нефтегазодобычи [5], где были
определены для систем (подсистем) входящих в состав в зависимости от степени соответствия их функциональных и других возможностей, нормативным требованиям и
современным достижениям для трех классов автоматизации: минимальный, базовый
и перспективный. Каждому классу автоматизации предъявлялись свои требования
как к объему автоматизации, так и к уровню обеспечения программно-технических
средств (ПТС)[6].
На каждом уровне автоматизации рассчитывался коэффициент автоматизации
для соответствующей технологической/административной единицы в структуре. Рассчитанные коэффициенты со своим весом участвуют в определении интегрального коэффициента автоматизации по каждому уровню автоматизации: коэффициент предыдущего уровня вносит вклад со своим весом в интегральный коэффициент последующего уровня. Такое представление было названо, как «МОДЕЛЬ СТЕПЕНИ АВТОМАТИЗАЦИИ». Модель рассмотрена ниже.
В общем виде коэффициент автоматизации состоит из двух слагаемых: первое
определяло вклад предыдущего уровня, как средневзвешенное по объекту, второевклад данного уровня в интегральный коэффициент этого уровня. Сумма весов по
каждому уровню равна единице.
Вес нулевого уровня устанавливался на первом уровне ПЛК, другим слагаемым
определялся вклад уровня ПЛК. Вес первого уровня устанавливался на втором уровне
SCADA, другим слагаемым определялся вклад SCADA и так до последнего уровня.
Для 0-го уровня (КИПиА) коэффициент автоматизации Kкип
п,фун состоял из двух
слагаемых со своим весом, где определяющим, является вклад расчетного коэффициента полноты автоматизации, который равен:
7
Kэл
п =
Sэл
т
,где
Sэл
ст
Sэл
т – текущее количество контролируемых/управляемых сигналов «технологического элемента»,
Sэл
ст – максимальное количество контролируемых/управляемых сигналов «технологического элемента» для перспективного класса (согласно стандарту);
Множество возможных значений Kэл
п ∈ [0, 1]
Второе слагаемое учитывало наличие интеллектуального КИПиА, коэффициент
Kэл
фун
, см. табл. 1. Для интеллектуального КИПиА характерно: функция поддержки
современных цифровых протоколов обмена, дистанционная диагностика, калибровка,
настройка и корректировка; наличие процессора с возможностью самостоятельного
выполнения управляющих и регулирующих функций.
Kэл
фун
количество интеллектуального КИПиА
0
менее 20 %
0.5
более 20, но менее 50 %
0.75
более 50, но менее 75 %
1
более 75 %
Таблица 1. Зависимость Kэл
фун от количества интеллектуального КИПиА
Множество возможных значений Kэл
фун ∈ {0; 0, 5; 0, 75; 1}
Для 1-го уровня (ПЛК), 2-го уровня (SCADA), определяющие вклады вносят коэфscada
фициенты характеризующие функциональность соответствующих ПТС Kплк
фун , Kфун
.см. табл. 2 и табл.3.
Множество возможных значений Kплк
фун ∈ {0; 0, 5; 0, 75; 1}
Множество возможных значений Kscada
фун ∈ {0; 0, 5; 1}
На 2-ом уровне так же учитывался коэффициент связи Kscada
, который понижал
св
функциональность всего уровня SCADA, если передача данных осуществляется со
скоростью ниже 64 Кбит/сек. Коэффициент принимал значения: 1 для скорости свыше 64,0 Кбит/с; 0,95 для скорости 32-64,0 Кбит/с; 0,9 для 9,6-32,0 Кбит/с ; 0,8 ниже
9,6 Кбит/с.
8
Kплк
фун
Класс
0
-
Функциональность ПЛК
Микропроцессорное устройство отсутствует
0.5
Мин.
Наличие
микропроцессорного
уст-ва,
обеспечивающего обработку сигналов по
мин. классу (согласно стандарту компании )
0.75
Баз.
Пид-регулирование, Тип в/в AI,AO,
DI,DO,релейные выходы, программирование на современных языках МЭК, высокоскоростной интерфейс Ethernet.
1
Перспект.
Наличие базовых функций, а так же возможность построения распределенных
систем (DCS), поддержка полевых шин
(FF, ModBus, ProfiBus...)
Таблица 2. Зависимость Kплк
фун от функциональности ПЛК
Kscada
фун
0
0.5 .
Функциональность Scada
Отсутствует прикладной пакета уровня SCADA
Базовые функции: регистрация в БД, сигнализация,
отображения-мнемосхемы, управление и контроль, генерация отчетов, обеспечение информационной безопасности)
1
Наличие баз. функций, а так же возможность
масштаб., инструментарий разработчика, поддержка
совр. техн., интерфейсов, доступ к современным БД
и т.п.
Таблица 3. Зависимость Kscada
фун от функциональности Scada
И наконец, для 3-го уровня (MES) коэффициент функциональности Kmes
фун был получен путем учета функций и систем характеризующие данный уровень для нефтегазового промысла. Это следующие коэффициенты:
9
Kmes
стоир – коэффициент учитывающий наличие по НГДП системы технического обслуживания и ремонта (СТОиР);
Kmes
смд - коэффициент учитывающий наличие по НГДП системы мониторинга добычи (СМД);
Kmes
бал - коэффициент учитывающий наличие по НГДП системы расчета балансов;
Kmes
БД - коэффициент учитывающий наличие по НГДП единой базы данных реального времени технологической информации АСУТП;
Kmes
отч - коэффициент учитывающий наличие по НГДП системы сводной аналитической отчетности.
Коэффициенты принимают следующие значения: равно 1, если система или функция присутствует и 0, если система или функция отсутствует. Множество возможных
значений Kmes
фун ∈ {0; 1}
Таким образом, были получены коэффициенты (параметры) на всех четырех уровнях автоматизации, которые мы затем сопоставили со степенью автоматизации предприятия и далее везде их будем называть коэффициенты автоматизации.
Следующая задача состояла в учете всех полученных коэффициентов с соответствующими весам для расчета интегрального коэффициента автоматизации по предприятию. Для этого была введена модель степени автоматизации предприятия для
коэффициентов автоматизации. Забегая вперед скажем, что затем были получены
значения близкие к этим весам в методе анализа иерархий через вектор приоритетов.
Модель степени автоматизации предприятия.
Для расчета интегрального показателя степени автоматизации предприятия необходимо учитывать расчетные коэффициента Kaj по каждому уровню автоматизации
j = 1 . . . 3., а так же табличные значения Kфун для соответствующих уровней. На
каждом уровне автоматизации соответствующие коэффициенты входят в интегральный показатель Ka со своим весом. Для этого была предложена простая модель определения приоритетов на каждом уровне автоматизации с нулевого по третий. Суть
которой заключалась в следующем:
На каждом уровне автоматизации путем сравнения по относительной важности
в общий вклад автоматизации экспертно устанавливались веса v̂ для коэффициентов данного уровня и вклада коэффициентов автоматизации с предыдущего уровня В частном случае, мы рассуждали следующим образом, что на каждом уровне
10
Kaj состоял из двух слагаемых со своими весами. В сумме веса составляли единицу.
v̂j−1 + v̂j = 1, где j = 1 . . . 3.
Вес нулевого уровня устанавливался на первом уровне ПЛК, другим слагаемым
определялся вклад уровня ПЛК. Вес первого уровня устанавливался на втором уровне
SCADA, другим слагаемым определялся вклад SCADA и так до последнего уровня
Таким образом, устанавливая веса мы предполагали рассчитывать коэффициент автоматизации для которого каждая сумма с предыдущего уровня входила составной
частью в последующий уровень автоматизации уже с другим весом установленным на
этом уровне. Таким способом мы могли получать относительную степень автоматизации относительно каждого уровня начиная с нижних, не затрагивая вышележащие
уровни автоматизации. В работе из-за не принципиальности этих результатов эти формулы опущены. Ниже приведены формулы для расчета окончательного абсолютного
значения интегрального коэффициента автоматизации.
Схематично это отраженно в виде дерева на рис. 2
Выполнив свертку весов для соответствующих коэффициентов и суммируя веса
для нулевого уровня, так как там два коэффициента, получили абсолютные весовые
значения результирующего вектора весов (0,535; 0,23; 0,135; 0,1), применяя который
мы могли получить уже интегральный коэффициент автоматизации и промежуточные значения по уровням.
Итак, v ∈ {0, 535; 0, 23; 0, 135; 0, 1} - распределение весов по 4 уровням.
Интегральное значение коэффициента автоматизации для i-го предприятия по
уровням j = 0 . . . 3 равно Kai = v0 Ka0 + v1 Ka1 + v2 Ka2 + v3 Ka3 или
Kai
=
3
X
vj Kaij ,
где
(0.1)
j=0
Kaij определялось как среднее арифметическое взвешенное по параметрам Sl для
l технологических элементов, объектов, цехов, управлений в зависимости от уровня j
т.е емкость или вес по S.
Kaij
n
1 X ij
=P
K Sl ,
Sl l=1 a,l
где l = 1. . . n.
l
S – множество управляющих сигналов n-го объекта.
Причем согласно уровню технологического/административного деления:
Ka0 соответствовало автоматизации 0-го уровня/технологических элементов;
11
(0.2)
12
Рис. 2. Модель степени автоматизации предприятия
Ka1 – автоматизации 1-го уровня/объектов;
Ka2 – автоматизации 2-го уровня/ цехов;
Ka3 – автоматизации 3-го уровня/ управлений.
Сложность данной модели определения весов заключается в достаточно широком
разбросе значений на каждом уровне, связанной с оценкой их вклада в итоговый
коэффициент автоматизации. Скажем для принятия решения на первом уровне о
степени автоматизации нулевого уровня мог быть 0,7 +/-0,1, а вклада первого уровня
тогда в итоговое занечение 0,3 +/-0,1. ЛПР достаточно сложно определиться в данном
разбросе значений.
Поэтому далее будет рассмотрен еще один метод определения вектора весов или
приоритетов и определение непротиворечивости оценок– метод анализа иерархий предложенный Т. Саати.
Описание метода анализа иерархий
Метод анализа иерархий был предложен американским математиком Томасом Саати
[1].
В своей работе Т.Саати говорил,что социальные величины в нашем сложном обществе требуют удобного метода шкалирования, который позволил бы на практической
повседневной основе получить разумные соотношения между деньгами, качеством
окружающей среды, здоровьем, счастьем и подобными реальностями. При принятии
управленческих решений и прогнозировании возможных результатов лицо, принимающее решение, обычно сталкивается со сложной системой взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели, лица или группа лиц и т.д.), которую
нужно проанализировать. По-видимому, чем глубже человек вникает в эту сложность,
тем лучше будут его прогнозы или принимаемые решения.
Теория, которую определяет Т. Саати, отражает то, что представляется естественным ходом человеческого мышления. Сталкиваясь с множеством контролируемых или
неконтролируемых элементов, отражающих сложную ситуацию, разум объединяет их
в группы в соответствии с распределением некоторых свойств между элементами. Модель метода позволяет повторять данный процесс таким образом, что группы, или
скорее определяющие их общие свойства, рассматриваются в качестве элементов следующего уровня системы. Эти элементы, в свою очередь, могут быть сгруппированы в
соответствии с другим набором свойств, создавая элементы еще одного, более высоко13
го уровня, и так до тех пор, пока не будет достигнут единственный элемент – вершина,
которую зачастую можно отождествить с целью процесса принятия решений.
То, что описано выше, обычно называют иерархией, т. е. системой наслаиваемых
уровней, каждый из которых состоит из многих элементов, или факторов. Центральным вопросом на языке иерархии является следующий: насколько сильно влияют отдельные факторы самого низкого уровня иерархии на вершину – общую цель? Неравномерность влияния по всем факторам приводит к необходимости определения интенсивности влияния, или, как мы предпочитаем говорить, приоритетов факторов.
Определение приоритетов факторов низшего уровня относительно цели может быть
сведено к последовательности задач определения приоритетов для каждого уровня, а
каждая такая задача - к последовательности попарных сравнений. Сравнения остаются основными составляющими теории Саати, даже если исходная задача осложнена
условиями обратной связи между различными уровнями или факторами.
Метод анализа иерархий, отмечает Т.Саати, представляется более обоснованным
путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими
структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход,
основанный на линейной логике.
Суть метода заключается в следующем. Нужно сравнить элементы какого либо
уровня попарно по силе их влияния на сформулированную цель, поместить числа,
отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений. Метод исследования согласованности не только показывает несогласованность при отдельных сравнениях, но и дает численную оценку того, как сильно
нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.
В общем случае, под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть
получены из них.
Рассмотрим математическую постановку задачи, предложенную Саати [1], которую мы предлагаем применить в наших исследованиях для анализа иерархии АСУТП.
Пусть C1 , C2 , ...Cn — совокупность объектов (возможных действий, параметров,
другое) некоторой иерархии. Количественные суждения ЛПР о парах объектов (Ci , Cj )
представляется матрицей размера n × n :
14
A = (aij ), (i, j = 1, 2, . . . n),
причем числа aij из которых состоит матрица, соответствуют значимости элемента Ci
по сравнению с Cj и неотрицательны. Для выявления количественных показателей
при рассмотрении значимости различных суждений в методе анализа иерархий предлагается следующая шкала важности объектов: от 1 — объекты одинаково важны, до
9 — один объект абсолютно важнее другого см. табл. 4
Элементы матрицы определены по следующему правилу: aij = 1/aji и если суждения таковы, что объекты Ci и Cj имеют одинаковую относительную важность, то
aij = aji = 1; в частности, aii = 1 для всех i (элементы стоящие на главной диагонали).
Определение 1. матрицу для которой выполняется aij = 1/aji относительно главной единичной диагонали назовем обратно-симметричной (от анлгийского reciprocal
matrix).
После построения количественных суждений о парах (Ci , Cj ) в числовом выражении через aij задача сводится к тому, чтобы поставить в соответствии числовые веса,
которые в наилучшей степени соответствовали бы зафиксированным суждениям экспертов. Рассмотрим этот вопрос. Если бы ЛПР давал логически правильные ответы
в соответствии с весами ω1 . . . ωn , то мы бы получили:
aij =
ωi
i, j = 1, 2 . . . n
ωj
(0.3)
и матрица A, которую в таком случае обозначим как Â, приобрела бы вид:

ω1 /ω1 ω1 /ω2 . . .
ω1 /ωn

 ω2 /ω1 ω2 /ω2 . . . ω2 /ωn
 = 
..
..
..
..

.
.
.
.

ωn /ω1 ωn /ω2 . . . ωn /ωn






Определение 2. Если суждения ЛПР логичны и основанны на точных значениях
весов (0.3), то
aij ajk =
ωi ωj
= aik для всех i, j, k,
ωj ωk
и матрица Â называется согласованной.
15
Степень
Определение
Пояснения
Одинаковая значимость
Два действия вносят одинаковый
важности
1
вклад в достижение цели
3
5
Некоторое преобладание значи-
Опыт и суждение дают легкое
мости одного действия перед дру-
предпочтение одному действию
гим (слабая значимость)
перед другим
Существенная или сильная зна-
Опыт и суждение дают сильное
чимость
предпочтение одному действию
перед дру- гим
7
Очень сильная или очевидная
Предпочтение одного действия
значимость
перед другим очень сильно. Его
превосход ство практически явно.
9
Абсолютная значимость
Свидетельство в пользу предпочтения одного действия другому
в высшей степени предпочтительны
2, 4, 6, 8
Промежуточные значения между
Ситуация, когда необходимо ком-
соседними значениями шкалы
промиссное решение
Обратные
Если действию i при сравнении с
Обоснованное предположение
величины
действием j приписывается одно
приведён-
из приведенных выше чисел, то
ных
чисел
выше действию j при сравнении с i приписывается обратное значение
Таблица 4. Шкала определения значимости суждений Т. Саати
16
Метод анализа иерархий допускает несогласованность суждений при попарных
сравнениях как неотъемлемую часть. Тем не менее, надежные решения не могут быть
приняты без приемлемого уровня согласованности и МАИ предъявляет математический аппарат для выяснения степени надежности получаемых решений.
Начнем с того, что можно сформулировать следующую задачу: если A – матрица
значений парных сравнений, то для нахождения вектора приоритетов нужно найти
вектор ω, который удовлетворяет:
(0.4)
Aω = λmax ω
Используется общая теорема существования и единственности при решении задачи
о собственном значении для неотрицательной матрицы по [1, 2].
Теорема 1. (Перрон). Пусть A > 0 – положительная матрица. Тогда:
1. A имеет положительное собственное значение λmax > 0, причем модули остальных собственных чисел матрицы A, как действительных, так и комплексных,
не превосходят λmax .
2. Существует положительный собственный вектор ωA , соответствующий собственному значению λmax , единственен.
Далее для идеального случая согласованной матрицы Â выполняется:
(0.5)
Âω = nω
Эта формула отражает то, что ω – собственный вектор матрицы A с собственным значением n. Это соотношение, расписанное поэлементно, выглядит следующим
образом:

ω1 /ω1 ω1 /ω2 . . .
ω1 /ωn

 ω2 /ω1 ω2 /ω2 . . . ω2 /ωn

..
..
..
..

.
.
.
.

ωn /ω1 ωn /ω2 . . . ωn /ωn






ω1
ω2
..
.
ωn






 = n




ω1
ω2
..
.
ωn



.


Основная идея Саати – матрица A является достаточно малым возмущением Â. В
реальной ситуации aij основаны не на точных измерениях, а на субъективных суждениях и aij будет отклоняться от «идеальных» отношений ωi /ωj . Заметим, что строки
17
согласованной матрицы Â линейно зависимы и поэтому ее ранг равен 1. В этом случае
уравнение Âυ = 0 · υ имеет n − 1 линейно независимых решений и при малых изменениях в aij наибольшее собственное значение λmax остается близким к n , а остальные
собственные значения – близкими к нулю.
Метод состоит в вычеслении вектора приоритетов по матрице A. В математических терминах это – вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. Это можно сделать с использованием
ПО Matlab и Excel проведя соответствующие вычисления. Получить его оценку, к
примеру, можно так:
• умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени. Нормализовать делением каждой суммы на сумму всех элементов.
Собственное число λmax рассматривается как возмущение собственного числа λ =
n невозмущенной матрицы A.
Главное собственное значение матрицы сравнений λmax используется для оценки
согласованности. Чем ближе λmax к размерности матрицы сравнений n, тем более согласован результат. Отклонение от согласованности может быть выражено величиной
индекса согласованности (ИС), который равен отношению (λmax − n) / (n − 1). Индекс
согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, Саати назвал случайным индексом (СИ) . Были сгенерированны средние (СИ) для матриц
порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Получили, что (СИ) увеличивались
с увеличением порядка матрицы [1].
Ниже в таблице представлены порядок матрицы (N) (первая строка) и средние
(СИ) (вторая строка):
(N)
1
2
(СИ)
0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49
(N)
11
(СИ)
1,51 1,48 1,56 1,57 1,59
12
3
13
4
14
5
6
7
8
9
10
15
Отношение (ИС) к среднему (СИ)для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС) или отклонением от согласованности. Значение (ОС),
меньшее или равное 0,10 (10%), будем считать приемлемым.
18
Применение метода анализа иерархий
Как уже писалось выше, метода анализа иерархий позволяет оценить вклад того или
иного критерия в общую итоговую цель, которою мы формулируем в исследованиях.
В нашем случае критериями являются коэффициенты на каждом уровне автоматизации от 0-го до 3-го, а целью является их вклад в интегральный уровень автоматизации
предприятия. Для этого была получена следующая таблица и из нее матрица попарных сравнений см. табл. 5:
Критерии
Kкип
п,фун
Kплк
фун
Kскада
фун
Kмес
фун
Kкип
п,фун
1
3
5
7
Kплк
фун
Kскада
фун
Kмес
фун
1/3
1
3
5
1/5
1/3
1
3
1/7
1/5
1/3
1
Таблица 5. Попарных сравнений

1
3
5
7




 1/3 1
3
5


 1/5 1/3 1 3 


1/7 1/5 1/3 1
Где, для примера, в первой строки табл. 5 определялся вклад в интегральный
коэффициент автоматизации коэффициента 0-го уровня объединенного в один коэффициент Kкип
п,фун по сравнению с коэффициентами 1-го, 2-го и 3-го уровня. Согласно
шкалы важности в табл. 1 были определенны соответственно предпочтения Kкип
п,фун по
сравнению с другими коэффициентами как: 3 – некоторое преобладание значимости
вклада перед другим (слабая значимость) по сравнению с Kплк
фун , 5 – существенная
или сильная значимость (сильное предпочтение одного действия перед другим) по
мес
сравнению с Kскада
фун и 7 – предпочтение вклада по сравнению с Kфун очень сильно,
превосходство практически явно. Рассуждая таким образом, были получены интересующие нас оценки вкладов остальных коэффициентов.
Используя метод подсчета, который дает наилучшие результаты по мнению Саати,
получаем вектор-столбец v приоритетов, записанный в виде строки (3,20109; 1,49535;
0,66874; 0,31239) и нормализовав его делением каждого элемента на сумму всех компо19
нент вектора получим нормализованный вектор приоритетов v, записанный в строку
(0,56381; 0,26338; 0,11779; 0,05502). Соответственно λmax = 4, 12, ИС = 0, 039(4, 45%).
Попробовав незначительно изменить попарные сравнения практически не влияя
на качество оценок, мы получим следующую матрицу:

1
2
4
6




 1/2 1
2
5


 1/4 1/2 1 3 


1/6 1/5 1/3 1
Вектор приоритетов, записанный в строку уже для этой матрицы (0,50283; 0,28566;
0,149494; 0,06202) и λmax = 4, 05, ИС = 0, 016(1, 7%).
Видно, что подбирая таким образом различные решения мы улучшаем результат согласования ответов ЛПР.
Примечательно, что вектор приоритетов v полученный по другой методике, предложенной в этой работе и описанной в первом разделе равен (0,535; 0,23; 0,135; 0,1).
Решая обратную задачу, получим обратно-симметричную матрицу попарных сравнений. В силу построения предложенной выше модели мы сразу получаем согласованный результат суждений с λmax = 4, ИС = 0
Матрица будет иметь вид:

1

 3/7

 1/4

3/16
2, 33 3, 97 5, 36
1
1, 7
3/5
1
3/7
3/4


2, 3 

1, 35 

1
И эти оценки попарных сравнений вполне сопоставимы с оценками полученными
в МАИ Саати.
Можно заметить, что пользуясь удобным инструментарием программы libreOffice
Calc (аналог Excel) по нахождению главного собственного числа, вектора приоритетов
и построению матрицы попарных сравнений можно согласовывать результаты двух
описанных выше методик. Подбирать показатели относительной важности в матрице
в целых числах и рассматривать как они коррелируют с весовыми коэффициентами
по уровням рассмотренные в предложенной модели уровнего построения. Получать
различные наборы векторов приоритетов, отмечая отношение согласованности полученных суждений.
20
Часть II
Применение методов
многкритериальной оптимизации для
распределения финансовых ресурсов,
направленных на увеличение уровня
автоматизации АСУТП предприятия.
Постановка задачи моделирования коэффициента автоматизации и оптимального распределения финансов
для десяти предприятий нефтегазодобычи.
Многокритериальная задача оптимизации
Рассмотрим классическую задачу многокритериальной оптимизации (МКО) по [3, 4].
Пусть задано множество решений X ⊆ Rn и отображение из пространства решений
Rn в критериальное пространство Rm :
f : X → Rm .
Тогда множество
Y = f (X) = {y : y = f (x), x ∈ X}
называется множеством достижимых критериальных векторов (множеством достижимых целей).
Определение 3. Критериальная точка y 0 ∈ Y называется оптимальной по Парето, если не существет y ∈ Y для которой выполнялось бы y ≻ y 0 , т.е {y ∈ Y |y ≻
y 0 } = ∅.
21
Такая точка так же называется недоминируемой (или неулучшаемой) по Парето
на Y , а так же парето-эффективной.
Определение 4. Множество критериальных точек, оптимальных по Парето на
Y , называют границей Парето и обозначают P (Y ), а соответствующее решение –
оптимальным по Парето.
Пусть мы хотим минимизировать значения критериев, тогда:
Определение 5. Будем говорить, что точка y ′ ∈ Rm доминирует по Парето точку
y ′′ ∈ Rm , если y ′ 6 y ′′ и y ′ 6= y ′′ .
Определение 6. Множество недоминируемых по Парето векторов носит название
границы Парето и определяется как
P (Y ) = {y ∈ Y : {y ′ ∈ Y : yi′ 6 yi , i = 1, m, y ′ 6= y} = ∅}.
Определение 7. Оболочкой Эджворта-Парето (ОЭП) множества Y называют
множество
H(Y ) = {y ∈ Rm : y > f (x), x ∈ X} = Y + Rm
+.
Таким образом, для решения задачи МКО необходимо найти не множество Y , а его
ОЭП. Для нахождения отдельных точек этих множеств применяется метод сверток
критериев. В настоящее время свертки критериев используют для того, чтобы сформулировать условия оптимальности, и применяются при разработке методов МКО.
Модель
В предлагаемой модели, рассмотренной в части 1, уровень автоматизации для i-го
предприятия рассчитывается по формуле:
Kai
i
=a
3
X
xij vj + K0i ,
i = 1 . . . 10 где
(0.6)
j=0
vj – вектор весов, полученный в предыдущей главе;
xij
– средства на модернизацию для j-го уровня i-го предприятия;
∆K i
(По
i
C
данным служб АСУ известно, что для какого-то целевого значения Kaц i-ое предпри-
ai – коэффициент эффективности роста Kai для i-го предприятия равный
ятие будет затрачивать определенную сумму средств C i );
22
K0i – исходный уровень автоматизации;
Бюджет для модернизации i- го предприятия ограничен и не может превосходить
фиксированной суммы C i , т.е.
3
X
xij ≤ C i ,
i = 1 . . . 10.
(0.7)
j=0
Наложенно ограничение на неотрицательность величины xij .
xij ≥ 0,
(0.8)
Общая сумма средств Cоб определяется как
Cоб =
3
10 X
X
xij ;
(0.9)
i=1 j=0
Интегральный коэффициент автоматизации для всех i-ых предприятий равен:
Ka =
10
X
Kai .
(0.10)
i=1
Постановка задач
Задача1
Рассмотрим двухкритериальную задачу с критериями Ka , который жела-
тельно увеличивать и Cоб , который желательно уменьшать. Для модели 0.6 – 0.10 требуется распределить финансовые средства эффективным образом по предприятиям
Задача состоит в построении эффективной границы (границы Парето) и ее анализе.
Задача2
Рассмотрим задачу с тремя критериями. Исходя из полученных результа-
тов анализа задачи 1 был введен дополнительный критерий δ, который характеризовал неравномерность распределения финансовых средств между десятью предприятиями
23
где
(0.11)
β = max xi ,
i = 1 . . . 10
(0.12)
α = min xi ,
i = 1 . . . 10
(0.13)
i = 1 . . . 10
(0.14)
δ = (β − α) −
→ min,
xi =
3
X
xj ,
j=0
Представляет интерес уменьшения величины δ. Записывая через неравенства, получим:
β ≥ xi ,
i = 1 . . . 10
(0.15)
α ≤ xi ,
i = 1 . . . 10
(0.16)
Постановка задачи При заданных ограничениях на средства (0.7), (0.8), (0.9),
(0.14)– (0.16) и уравнений (0.6), (0.10) построить и проанализировать границу Парето
для трех критериев
Ka −
→ max
(0.17)
Cоб −
→ min
(0.18)
δ−
→ min
(0.19)
Граница Парето показывает связь между критериями так же как и в первой задаче
для эффективного распределения финансовых средств, причем критерий δ характеризовал распределение финансовых средств между предприятиями от полной равномерности до наиболее эффективного (неравномерного) распределения финансовых
средств.
Задача была реализована, так чтобы можно было проследить рост интегрального Ka при выделяемых финансовых средствах Cоб с учетом того, что δ принимал
значения равное от 0 до 100% через равные промежутки.
Задача решалась для пяти значений δ. При δ = 0 – ноль процентов от бюджета,
имеет место полная равномерность выделяемых средств (всем, но по немногу) и δ =
100% – свободное распределение, т.е наиболее эффективное (получали прежде всего
предприятия, обеспечивающие максимальный рост Ka )
24
Визуализация подобных решений с помощью построения границы Парето позволило нам находить оптимальный баланс между равномерностью распределения объемом
выделяемых финансовых средств и ростом интегрального Ka .
В этом заключалась цель исследования. До каких пор мы могли увеличивать
неравномерное выделение средств сохраняя эффективность роста интегрального Ka ,
а где эффективность роста Ka уже не была так заметна и увеличение неравномерного
(свободного) распределения финансовых средств уже не оказывало заметное влияние
на рост Ka .
Практически наша задача представляет из себя систему линейных уравнений с
наложенными на них ограничениями, решение которых осуществлялось с использованием ПО Matlab.
Метод построения границы Парето и анализ результатов
Запишем условие для M задач линейного программирования:
Задача построения границы Парето сводится к решению M следующих задач:
Cоб ≤ bm , m = 1, . . . M
с дополнительными ограничениями
Ka −
→ max при выполнении условий (0.7) (0.8) (0.9) и одного из ограничений на
средства bm , m = 1, . . . M, где bm принимает значения b1 = 0, b2 = 400, b3 = 800, . . . ,
bM = 6800.
Задача решалась с использованием программного пакета Matlab.
На рис. 3 приведена граница Парето для двух критериев. Зависимость интегрального Ka от Cоб по 10-ти предприятиям при эффективном распределении средств . На
рисунках 4-8 приведены решения для различных эффективных точек границы Парето
модернизации АСУТП (выделены красным).
Граница Парето показывает эффективное распределения финансовых средств (недоминируемые точки).
Красными точками указан текущий уровень коэффициент автоматизации для каждого из предприятий в зависимости от вкладываемых средств. Решения приведены через определенные промежутки выделяемых финансовых средств: Cоб = 0, Cоб = 200,
25
Cоб = 500,Cоб = 1000 и Cоб = 2000 у.е.
Затем к описанной выше задачи были добавлены условия (0.11)- (0.13), (0.15) (0.16)
задачи 2 и мы получили задачу оптимизации с тремя критериями. Для построения
границы Парето были наложены ограничения на Cоб и δ, при выполнении которых
решалась задача (0.17). Были получены альтернативные недоминируемые критериальные точки ( см. табл.6)
Эти значения затем подставив в программу VISUAL MARKET/2, мы получили
окончательный результат и визуализацию оболочки Эджворта — Парето для различных ситуаций и в различных расположениях трех координат Ka , Cоб , δ смотри рис.
9, рис. 10, рис. 11, рис. 12.
На рисунке 9, как и в первой задаче при δ равному 100%, что соответствует полной
свободе распределения финансовых средств Cоб между десятью предприятиями мы
имеем границу Парето эффективного роста Ka .
Далее мы попытались ответить на вопрос, который ставился в целях решения
задачи 2: посмотреть каким образом будет изменяться граница Парето для различных
δ и попытаться ответить на вопрос оптимального выбора парметра δ для различных
ограничений на бюджет Cоб ?
Из рисунка 10 видно, что уже начиная с δ равному 25% от выделяемых средств
оболочка Эджварто-Парето приближается к границе, как если бы мы выделяли средства полностью свободно. Это дает нам делать предположение, что вполне достаточно
ограничиться неравномерностью выделения средств между десятью предприятиями в
25% для максимального оптимального роста Ka . Розовая область оболочки, что отвечает δ = 0 - полной равномерности (не свободе) распределения финансовых средств,
показывает, что существует ограничение (0.7), (0.8) на выделяемые средства для каждого из десяти предприятий C i и при полной справедливости бюджет i-го предприятия
не может превышать самое минимальное значение из всех C i . В нашем примере оно
равно 1024 у.е для одного из предприятий. Поэтому после достижения определенного
интегрального Ka граница сечения становится горизонтальной, что означает неэффективное использование бюджета.
На следующем рис. 11 мы смогли более подробнее проанализировать ситуацию с
различными значениями δ в зависимости от различных ограничений на общий бюджет выделяемых финансовых средств Cоб . Если при Cоб = 400 эффективность роста Ka сохраняется где-то до δ равному 70-80 % , что соответствует равномерному
(справедливому) распределению средств на 20-30% от общего бюджета Cоб , то за26
тем неравномерное распределение финансовых средств уменьшается до 25% для того
чтобы сохранить оптимальный рост Ka . Дальнейшее повышение параметра δ, которое увеличивает свободное распределение финансовых средств нецелесообразно и не
приводит к заметному росту Ka , то есть нет смысла предоставлять полную свободу в
финансировании предприятий, а достаточно соблюдать неравномерность финансирования на 25%. На рис. 12 показаны границы Парето для набора значений Ka в зависимости от процента свободы распределения δ при различном бюджете выделяемых
финансовых средств Cоб . Была найденна эффективная точка, которая соответствует
25,49% неравномерного (свободного) распределения средств δ при Cоб = 3077.. для
достижения Ka = 0, 75.
27
Рис. 3. Граница Парето. Зависимость интегрального Ka от Cоб по 10-ти предприятиям при
эффективном распределении средств
Рис. 4. Коэффициент автоматизации предприятий для эффективной точки границы Парето
Cоб =0
28
Рис. 5. Коэффициент автоматизации предприятий для эффективной точки границы Парето
Cоб = 200 у.е
Рис. 6. Коэффициент автоматизации предприятий для эффективной точки границы Парето
Cоб =500 у.е
29
Рис. 7. Коэффициент автоматизации предприятий для эффективной точки границы Парето
Cоб =1000 у.е
Рис. 8. Коэффициент автоматизации предприятий для эффективной точки границы Парето
Cоб =2000 у.е
30
Альтернативы Ka
+
Cоб
δ
-
-
Альтернативы Ka
+
Cоб
δ
-
-
alt1
46.835 400
0
alt53
77.925 4400 50
alt2
50.760 400
25
alt54
77.925 4400 75
alt3
54.419 400
50
alt55
77.925 4400 100
alt4
55.880 400
75
alt56
54.961 4800 0
alt5
56.202 400
100
alt57
78.387 4800 25
alt6
51.437 800
0
alt58
78.446 4800 50
alt7
58.818 800
25
alt59
78.446 4800 75
alt8
61.500 800
50
alt60
78.446 4800 100
alt9
62.320 800
75
alt61
54.961 5200 0
alt10
62.320 800
100
alt62
78.795 5200 25
alt11
54.961 1200 0
alt63
78.909 5200 50
alt12
63.008 1200 25
alt64
78.909 5200 75
alt13
65.644 1200 50
alt65
78.909 5200 100
alt14
66.551 1200 75
alt66
54.961 5600 0
alt15
66.551 1200 100
alt67
79.138 5600 25
alt16
54.961 1600 0
alt68
79.294 5600 50
alt17
66.556 1600 25
alt69
79.294 5600 75
alt18
68.806 1600 50
alt70
79.294 5600 100
alt19
69.178 1600 75
alt71
54.961 6000 0
alt20
69.178 1600 100
alt72
79.327 6000 25
alt21
54.961 2000 0
alt73
79.669 6000 50
alt22
69.329 2000 25
alt74
79.669 6000 75
alt23
71.243 2000 50
alt75
79.669 6000 100
alt24
71.243 2000 75
alt76
54.961 6400 0
alt25
71.243 2000 100
alt77
79.456 6400 25
alt26
54.961 2400 0
alt78
79.966 6400 50
alt27
71.814 2400 25
alt79
79.966 6400 75
alt28
73.087 2400 50
alt80
79.966 6400 100
alt29
73.087 2400 75
alt81
54.961 6800 0
alt30
73.087 2400 100
alt82
79.552 6800 25
alt31
54.961 2800 0
alt83
80.000 6800 50
alt32
73.822 2800 25
alt84
80.000 6800 75
...
...
alt85
80.000 6800 100
...
...
31
Таблица 6. Альтернативы решений
32
Рис. 9. Граница Парето зависимости роста интегрального Ka от выделяемых финансовых средств при δ = 100% – неравномерном (свободном) распределении средств
33
Рис. 10. Сечения границы Парето зависимости роста интегрального Ka от выделяемых финансовых средствах при различных δ в процентах от 0 -равномерного выделения средств до 100 -неравномерного (свободного) выделения средств
34
Рис. 11. Сечения границы Парето, описывающих зависимость роста Ka от δ при различных ограничениях на бюджет Cоб
35
Рис. 12. Сечения границы Парето для набора значений Ka в зависимости от процента неравномерности δ при различном
бюджете выделяемых финансовых средств Cоб .
Заключение
В данной работе была рассмотрена методика поддержки принятия решений о распределении финансовых средств с применением ее к модернизации производства АСУТП
предприятия нефтегазодобычи. Был использован, как известный метод для поддержки принятия решений Т. Саати, так и разработанный ранее метод определения весовых коэффициентов. Для обоих методов была изучена непротиворечивость экспертных оценок и определен индекс согласованности. Показано, что оба метода дают примерно одинаковые результаты.
Были сформулированы математическая модель и задача поиска оптимальных решений. При использовании математического аппарата многокритериальной оптимизации были получены результаты, позволяющие судить об эффективном распределении средств для двух и трех критериев. Применение программных средств позволило
визуализировать границу Парето, провести анализ и получить результаты для оптимальных решений.
36
Список литературы
[1] Т.Саати.Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.
[2] С.А Ашманов. Математические модели и методы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.
[3] А.В. Лотов, И.И. Поспелова. Многокритериальные задачи принятия решений.
М.: МАКС Пресс, 2008.
[4] В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007.
[5] Стандарт компании АСУТП нефтегазодобычи, ОАО «НК «Роснефть», 2008г.
[6] Ю.Н.Федоров. Справочник инженера по АСУТП: проектирование и разработка,
изд-во «Инфра-Инженирия», 2008г.
37