Арифметические действия в призвольных системах счисления

Арифметические действия
в призвольных системах счисления
Для выполнения арифметических действиий над двумя числами – они должны быть
переведены в одну систему счисления.
При выполнении арифметических действий следует помнить, что в одном разряде для
N-ричной системы счисления не 10, а N единиц.
Пример:
+2345
345
------3235
Нулевой разряд: 4+4=8, но в 4-ричной СС N=5. Представим число 8 в виде
суммы: 8=5+3. Пятерка – соответствует переносу в следующий разряд,
под чертой пишем 3.
Первый разряд: 3+3+1 (единица пришла к нам из предыдущего разряда) =
7. Разложим семерку. 7=5+2. Таким образом, в следующий разряд идет 1,
а в этом разряде остается 2.
Второй разряд: 2+0+1 (единица из предыдущего разряда) = 3
Ответ: 3235
Проверь себя:
1213+2013=10223
7658+1078=10748
1010111012+101112=1011101002
32,35+21,45=104,25
При вычитании дествуем аналогичным образом, при заимствовании из
следующего разряда, занимаем не 10, а N.
Пример:
+2126
346
------1346
Нулевой разряд: Так как 2<4, то необходимо занять из следующего
рядряда. Вес разряда (N) равен 6. Таким образом, в первом разряде
остается не 1, а 0, а в этом разряде: 2+6-4=4, где 6 – это число,
соотвествующее 1 занятому разряду.
Первый разряд: 1-1 (так как один разряд мы уже заняли) – 3 <0.
Необходимо занять из следующего разряда. 0 +6 – 3 = 3.
Второй разряд: Из него мы уже заняли единицу. 2-1-0=1
Ответ: 1346
Проверь себя:
7658-1078=6568
1010111012-101112=1010001102
32,35-21,45=10,45
F016-3216=BD16
Перевод из 2-й СС в 4-ричную, 8-ричную и 16-ричную
и обратно
Рассчитаем, чему равна сумма максимальных значений в разряде для 2-й,
4-й, 8-й и 16-й СС при разном кол-ве разрядов
Для 2-й СС: максимальным значением в разряде является цифра 1.
Таким образом, максимальное двоичное число с тремя разрядами будет:
1112=710
Запишем значения двоичных чисел с макисмумами от 2 до 8 разрядов.
12=110
112=310
1112=710
11112=1510
111112=3110
1111112=6310
11111112=12710
111111112=25510
Также распишем, значения для 4-й СС
34=310
334=1510
3334=6310
33334=25510
Нетрудно увидеть, что значения совпадают каждые два разряда. Отсюда
можно сделать вывод, что 1 разряд 4-й СС соответствует 2 разрядам 2-й
СС.
Проверим себя:
Переведем каждые два разряда двоичного числа в четверичное, так же
переведем и исходное и полученные числа в 10-ую СС и сравним
результаты.
23124
Начнем с конца (с нулевого разряда)
24=102
14=012
34=112
24=102
Запишем получившийся результат: 2 3 1 24 = 10 11 01 102
(23124=101101102)
Для проверки переведем оба числа в 10-ую СС.
23124=2*43+3*42+1*41+2*40=18210
101101102=1*27+0*26+1*25+1*24+0*23+1*22+1*21+0*20=18210
Ответы совпали, наш вывод был верен.
Одному разряду 4-й СС соответствует 2 разряда 2-й СС.
Пользуясь обратной аналогией, можно переводить и из 2-й в 4-ую.
111101001012
Сначала я разобью двичное число на пары разрядов, после чего переведу
каждую пару в 4-ичное число. Важно: разбиение происходит, начиная с
младшего разряда. В случае необходимости впереди дописывается
ведущий ноль.
1 11 10 10 01 012
012 = 14
112 = 34
102 = 24
102 = 24
012 = 14
012 = 14
В итоге получаем: 111101001012= 01 11 10 10 01 012 = 1322114
По аналогии распишем максимальные разряды для 8-й и 16-й СС.
12=110
112=310
1112=710
11112=1510
111112=3110
1111112=6310
11111112=12710
111111112=25510
1111111112=51110
78=710
F16=1510
778=6310
FF16=25510
7778=51110
По аналогии соотношения 4-й и 2-й СС, из таблицы очевидно, что:
Одному разряду 8-ричного числа соответствует 3 разряда 2-го и наоборот.
Одному разряду 16-ричного числа соответствует 4 разряда 2-го и наоборот.
Примеры:
10100101102 = 1 010 010 1102 = 1 2 2 68 = 12268
76038 = 7 6 0 32 = 111 110 000 0112 = 1111100000112
10100101102 = 10 1001 01102 = 2 9 616 = 29616
111011112 = 1110 11112 = E(14) F(15)16 = EF16
10D16 = 1 0 D(13)16 = 0001 0000 11012 = 1000011012
Внимание, при работе с дробными числами недостающие нули записываются в конец
(после окончания дробной части). К примеру: 11,012 = 11,01002 = 3,416
Проверь себя:
1010111010101001,11 = AEA9,C16
111010101001,11 = 7271,68
1010101001,11 = 22221,34
FA216=1111101000102
45,58=100101,1012
123,124=11011,0112
F0216=3300024