функции нескольких переменных. дифференциальное исчисление

Пензенский государственный университет
О.Г.Никитина
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие
Пенза, 2013
УДК 517.55
Никитина
О.Г.
Функции
нескольких
переменных.
Дифференциальное исчисление: учебное пособие / О.Г.Никитина.- Пенза,
2013. –94 с.
Данное пособие входит в серию разработок кафедры, призванных
способствовать овладению студентами теоретическими основами материала и
появлению у них навыков решения задач по основным разделам курса
математического анализа.
В пособии рассмотрены следующие вопросы теории функций нескольких
переменных: функции от двух и n
переменных, область определения,
геометрическое
производные,
толкование,
частные
дифференцирование
сложных функций, неявные функции и их дифференцирование, полный
дифференциал и его применение к приближенным вычислениям, экстремумы
функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее
значение функции в области, производная по направлению.
В
пособии
приведены
основные
теоретические
сведения.
Они
иллюстрируются разобранными примерами. Имеется большое количество
упражнений и задач для самостоятельного решения. Приведены подробные
решения всех типовых задач.
Пособие
предназначено
для
студентов
физико-математического
факультета.
© Никитина О.Г., 2013
2
§ 1. Функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
1. Понятие функции нескольких переменных.
Пусть D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.
Если задан закон f, в силу которого каждой точке M ( x1 , x 2 ,  , x n )
D
ставится в соответствие некоторое действительное число и, то говорят, что на
множестве D определена функция u
f ( x1 , x 2 ,  , x n ) .
Переменные x1 , x 2 ,  , x n называют независимыми переменными или
аргументами функции, а переменную u – зависимой переменной.
Например, формула V
R 2 h , выражающая объем цилиндра, является
функцией двух переменных: R – радиуса основания цилиндра и h – его
высоты.
Множество
u
и
{u
точек
M ( x1 , x 2 ,  , x n ) ,
для
которых
функция
f ( x1 , x 2 ,  , x n ) определена, называют областью определения этой функции
обозначают
D(f).
Множество
f ( x1 , x2 ,, xn ) ( x1 , x2 ,, xn ) D( f )}
всех
называют
чисел
вида
u
множеством
значений
функции.
Функции многих переменных можно обозначать и символом и=f(М),
указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.
Функции двух переменных принято записывать в виде z
функции трех переменных в виде u
f ( x, y ) , а
f ( x, y , z ) .
Областью определения функции двух переменных является некоторое
множество
точек
плоскости,
а
областью
определения
функции
трех
переменных – некоторое множество точек трехмерного пространства.
Пример 1. Областью определения функции z
плоскость.
3
x2
y 2 является вся
Пример 2. Функция z
y 2 определена, если 1 x 2
1 x2
есть если x 2
y
y2
1 . Таким образом областью
определения функции z
1
0 , то
y2
1 x2
y 2 является
множество точек единичного круга с центром в
начале координат.
0
1
x
Пример 3. Найдем область определения
функции z
ln( x(1 y )).
Решение. Областью определения этой функции будет множество точек
плоскости xOy , для которых определена
y
логарифмическая функция: x(1
y)
0 , что
равносильно системам неравенств
y=1
x 0,
1
1
0
y
0
или
x
x 0,
x
, то есть
1 y 0
y
или
x
y
0,
(см. рис.).
1
Пример 4. Найдем область определения функции u
Решение.
ln( 9 x 2
9 x2
y2
y2
z2
Эта
z2)
0,
функция
трех
, то есть если
0
переменных
9 x2
x2
y2
y2
z2
z2
9
0,
1
1,
1
ln( 9 x
2
y2
z2)
определена,
.
если
x2
y2
z2
8
x2
y2
z2
9
.
Таким образом, областью определения этой функции является множество точек
трехмерного пространства, расположенных внутри сферы с центром в начале
координат радиуса R 3 , из которого удалено множество точек сферы с
центром в начале координат радиуса R
2 2.
4
График
функции
двух
переменных.
Графиком
функции
двух
переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется
геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых
(х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).
Таким образом, если графиком функции
одной переменной y
f (x) является некоторая
линия на плоскости, то графиком функции двух
переменных
z
f ( x, y )
является
некоторая
поверхность в трехмерном пространстве (рис. 1).
Например,
z
x2
функции
является
x 2y 4
x 2y
z
графиком
плоскость
0 (рис.2), а графиком функции
z 4
y 2 является параболоид вращения (рис. 3).
z
z
x+2y+z-4=0
y
x
x+2y=4
y
x
Рис. 3
Рис. 2
Построение
переменных
во
графиков
многих
функций
случаях
двух
весьма
затруднительно. Поэтому существует еще один
способ изображения функций двух переменных,
основанный на сечении поверхности z
плоскостями z
f ( x, y )
C , где С – любое число, то есть
плоскостями, параллельными плоскости Оху..
Пусть
Рис. 4
имеется
которой
функция
представляет
5
z = f(x,y),
собой
график
некоторую
поверхность (см. рис. 4).
Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z=C (эта плоскость
параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z=C). Спроектируем
линию пересечения этой плоскости с поверхностью z = f(x,y) на плоскость XOY
и получим так называемую линию уровня функции z = f(x,y). Таким образом,
линией уровня функции
z
называется множество точек ( x, y )
f ( x, y )
плоскости XOY, в которых функция принимает одно и то же значение С. То
есть это линия f ( x, y )
C на плоскости XOY, в точках которой функция
принимает одно и то же значение z
C.
Придавая различные значения параметру C, можно получить множество
линий уровня функции f(x,y). Если, например, взять числа C1 , C 2 ,, C n , ,
образующие арифметическую прогрессию с разностью d, то получим ряд линий
уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление
о графике функции, то есть о форме поверхности. Там, где линии
располагаются гуще, функция изменяется быстрее, следовательно, поверхность
идет круче.
Если же для каждой линии уровня указать соответствующее ей значение
C, то получится топографическая карта поверхности, представляющей собой
график функции.
Замечание. Термин “линии уровня” заимствован из картографии. Там
линиями уровня называют линии, на которых высота точек земной поверхности
над уровнем моря одинакова. По ним можно судить не только о высоте над
уровнем моря определенной точки местности, но и о характере рельефа данной
местности. В метеорологии пользуются сетями изотерм и изобар - линий
одинаковых средних температур и линий равных средних давлений. Изотермы
и изобары являются линиями уровня температуры и давления как функций
координат точки местности (то есть функций двух переменных).
Аналогично
переменных
u
определяются
f ( x, y , z ) .
поверхности
уровня
функции
Поверхностью уровня функции
6
u
трех
f ( x, y , z )
называется поверхность f ( x, y, z )
одно и то же значение u
С , в точках которой функция принимает
C.
Пример 4. Найдем линии уровня функции z
x
.
y
Решение.
Уравнение
линий уровня имеет вид
y
C<0
C>0
x
(C
C
C=0
y
0) и x
x
y
0, y
семейства
C , то есть
0 (C
0) . Таким
образом, линии уровня данной функции
о
0
x
это гиперболы, расположенные в I и III
четвертях, если C
четвертях при C
0 , и во II и IV
0 , и ось Оу
(C
0) с
выколотым началом координат.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением функций двух переменных,
так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух
переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
2. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух
переменных. Понятия предела и непрерывности функции двух переменных
аналогичны случаю одной переменной.
Прежде всего, введем понятие
- окрестности данной точки M 0 ( x0 , y 0 ) .
Определение 1. Пусть M 0 ( x0 , y 0 ) – произвольная точка плоскости.
–окрестностью
множество
точки
всех
точек
называется
M 0 ( x0 , y 0 )
плоскости
y
M ( x, y ) ,
координаты которых удовлетворяют неравенству
( x x0 ) 2
(y
y0 ) 2
. Другими словами,
0
–окрестность точки M 0 – это все внутренние
точки круга с центром в точке M 0 и радиусом
7
y0
.
М0
x0
x
Определение 2. Число A называется пределом функции z
x
x0 , y
y 0 (или в точке M 0 ( x0 , y 0 ) ), если для любого сколь угодно малого
положительного числа
0 существует число
такое, что для всех ( x, y )
( x x0 ) 2
f ( x, y ) при
(y
D( f ) ( x
( )
выполняется неравенство f ( x, y) A
)
y 0 ), удовлетворяющих условию
x0 , y
(то есть принадлежащих
y0 ) 2
0 (зависящее от
– окрестности точки M 0 ),
.
Обозначается предел следующим образом:
A или lim f ( x, y )
lim f ( x, y )
x
y
M
x0
y0
A.
M0
Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для
функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке
М0 конечные пределы, то
1) lim c f ( M ) = с lim f ( M ) ;
М
М0
M
2) lim ( f ( M )
M
M0
M0
g ( M )) = lim f ( M )
M
3) lim f ( M ) g ( M ) = lim f ( M )
M
М
M0
f (M )
4) lim
M M g (M )
0
lim g ( M ) ;
M0
M
M0
lim g ( M ) ;
М0
M
M0
lim f ( M )
M
M0
lim g ( M )
M
, если lim g ( M )
M
M0
0.
M0
Заметим, что если предел
lim f ( M ) существует, то он не должен
M
M0
зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М 0.
x2 y2
Пример 5. Найти предел lim
.
2
x 0 ln( 1 x 2
y
)
y 0
Решение. Введем обозначение r
x
0, y
0 имеем, что r
x2
y 2 , откуда r 2
x2
0 . Тогда
x2 y2
lim
x 0 ln( 1 x 2
y2 )
y 0
lim
r
0
r
2
ln( 1 r )
8
0
0
lim
r
0
r
(ln( 1 r 2 ))
y 2 . При
lim
r
0
1 r2
lim
r 0 ( 2r )
1
1
( 2r )
1 r2
Пример 6. Показать, что функция f ( x, y )
x2
x4
.
y4
не имеет предела в
y2
точке (0;0).
Решение. Положим сначала y
x (эта прямая проходит через точку
(0;0)). Тогда
x
lim
0, y 0
( y x)
x2
lim 4
x 0 x
f ( x, y )
С другой стороны, если положить y
x4
x2
1.
x 2 (эта линия также проходит через
точку (0;0)), получим
x
lim
0, y 0
( y x2 )
f ( x, y )
x2
Следовательно, lim 4
x 0 x
y 0
x2
0 x4
lim
x
x8
x4
x 2 (1 x 6 )
0
2x 4
lim
x
1 x6
0 2x 2
lim
x
.
y4
в точке (0;0) не существует.
y2
Определение 3. Функция z
f ( x, y ) называется непрерывной в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) , если:
1) f ( x, y ) определена в точке M 0 ( x0 , y 0 ) и в некоторой ее окрестности;
2) f ( x, y ) имеет конечный предел lim f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) ;
x
y
x0
y0
3) этот предел равен значению функции в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , т.е.
lim f ( x, y )
x
y
x0
y0
f ( x0 , y 0 ) .
Функция z
f ( x, y ) называется непрерывной в некоторой области, если
она непрерывна в каждой точке этой области.
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются
точками разрыва этой функции. У некоторых функций точки разрыва образуют
9
3
имеет две линии разрыва: ось
xy
целые линии разрыва. Например, функция z
Ox ( y
0 ) и ось Oy ( x
точке (0;0), а функция z
0 ), функция z
1
у
х
2
1
х2
имеет разрыв лишь в одной
у2
имеет разрыв на параболе у
Пример 7. Найти точки разрыва функции z
x
1
y2
2
9
х2 .
.
Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых
знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где x 2
x2
y2
y 2 9 0 или
9 . Это окружность с центром в начале координат и радиусом r
Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность x 2
y2
3.
9.
Упражнения к § 1
1. Найти область определения функции. Сделать соответствующий
чертеж.
1.1. z
ln( x
1.3. z
1
x y
y) .
1.2. z
1
.
x y
1.4. z
x 1
.
y 5
ln
x
y.
1.5. z
4x y 2
.
ln( 1 x 2 y 2 )
1.6. z
x
1.7. z
x2
ln
9
1.8. z
log y ( x 2
1.9. z
1
x y
.
arccos
x
y
y2
1 .
4
1.10. z
10
y.
y 2 16) .
4 x2 y2
.
ln x
1.11. z
ln x ln cos y .
1.13. z
(x
y ) ln( y 2
1.15. z
arcsin
y
x2
y
1.17. z
1.19. z
1.21. z
1.23. u
1.25. u
4 x
x2
x2
2x
2x
ln( x ln( y
1
x
x2 ) .
1.14. z
arccos(1 x) . 1.16. z
x
2
1.12. z
y
.
1.18. z
y2
.
y2
1.20. z
2
x)) .
1
y
(x2
y
x3
arccos
xy
y 2 1)( 4 x 2
ln( y 2 1) .
x
y2
ln
arcsin(1 y 2 ) .
4
x
sin ( x 2
2
y
2
x2
arcsin( 2 y(1 x 2 ) 1) .
arcsin
1
.
z
1.24. u
ln e xy ( z
y2 ) .
1.26. u
y2
4.
y2 ) .
1.22. z
1
y
y2 ) .
x
y
arcsin
a
b
arcsin
z (2 z ) ln( 4 x 2 )
z
.
c
y.
2. Выразить площадь треугольника как функцию его трех сторон. Найти
область определения этой функции.
3. Выразить объем конуса как функцию его высоты и образующей. Найти
область определения этой функции.
4. Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар
радиуса R, как функцию двух его измерений x и y. Найти область определения
этой функции.
5. Выразить объем конуса как функцию его полной поверхности S и
длины образующей l.
6. Выразить площадь равнобокой трапеции как функцию от длин ее
сторон.
7. Выразить объем конуса как функцию от угла осевого сечения конуса α
и от радиуса r шара, вписанного в конус.
8. Найти семейства линий уровня для каждой из заданных функций.
Сделать чертеж.
11
8.1. z
x
y.
8.4. z
2 xy
.
y2
8.2. z
xy .
8.3. z
8.5. z
x2 y x .
8.6. z
x2
y2 .
1
2x 2
3y 2
.
9. Найти поверхности уровня данных функций.
9.1. u
x
y z.
2
9.3. u
x
9.5. u
32 x
y
2
y z
.
9.2. u
2
z .
9.4. u
x2
y2
x2
y2
z2 .
.
z
tg( x 2
9.6. u
y2
2z 2 ) .
10. Исследовать методом сечений график данной функции. Что
представляют собой сечения плоскостями x const , y
x2
10.1. z
y2 .
10.2. z
11. Показать, что функция z
xy .
x
x
const , z
const ?
xy2 .
10.3. z
y
при x
y
0 может стремиться
0, y
к любому пределу (в зависимости от того, как стремятся к нулю x и y).
12. Доказать, что данные функции не имеют предела в точке (0, 0).
x2
x2
12.1. z
y2
.
y2
x3 y3
, ( x, y ) (0,0),
.
x4 y2
0, ( x, y ) (0,0)
12.2. z
13. Вычислить пределы функций.
1 x2 y2 1
13.1. lim
.
2
2
x 0
x
y
y 0
sin( x 4 y 2 )
13.2. lim 2
.
2 2
x 0 (x
y
)
y 0
1
2
2
1 cos( x
y )
.
2
2 2
0 (x2
y
)
x
y
0
x
y
e
0 x2
0
13.4. lim
13.3 . lim
x
y
x2 y2
y2
.
1
13.5. lim (1 x
x
y
0
0
2
2
y )
x2 y2
1
2
2
13.6. lim (1 x y )
.
x
y
12
0
0
x2 y2
.
14. Вычислить пределы функций.
y) 2
.
y 4 )2
(x
14.1. lim 2
x
(x
y
14.2. lim ( x 2
y 2 ) sin
x
y
1
x
2
y2
.
x2 y
15. Доказать, что lim 4
не существует.
2
x
x
y
y
16. Исследовать функции на непрерывность и определить точки разрыва,
если они имеются.
16.1. z
16.3. z
16.5. z
y2
.
y2
x
x
1
sin
(x
2
2
x sin
y
2
2
y
.
1
4)( y 2
4 x)
.
1
16.2. z
sin
16.4. z
1
sin x
16.6. z
y
.
x
x
y
.
1
.
sin y
17. Доопределить данные функции в точках, где они не определены, так,
чтобы они стали непрерывными в этих точках.
17.1. z
x2 y2
.
x2 y2
( x 1) 2
17.2. z
2( y 2) 2 ( x 1) 4 ( y 2) 3
.
( x 1) 2 2( y 2) 2
§ 2. Частные производные первого порядка
Пусть функция двух переменных z
f ( x, y ) (для большего количества
переменных все рассуждения аналогичны) определена в некоторой окрестности
U точки М ( x, y ) . Дадим аргументу x приращение
x , а аргумент y оставим
х; y ) по-прежнему
неизменным ( x выбирается так, чтобы точка ( x
принадлежала
окрестности
соответствующее
приращение
U).
Тогда
f (x
x, y )
13
функция
f ( x, y ) ,
z
f ( x, y )
которое
получит
называется
частным приращением функции z
обозначается
x
f ( x, y ) по переменной x в точке ( x, y ) и
z ( x, y ) :
x
z ( x, y )
f (x
f ( x, y ) .
x, y )
Аналогично, фиксируя аргумент x и придавая аргументу y приращение
y (так чтобы точка ( x; y
y ) по-прежнему принадлежала окрестности U),
получим частное приращение функции z
f ( x, y ) по переменной
y в
точке ( x, y ) :
y
Величина
z ( x, y )
z( x, y)
f (x
f ( x, y
x, y
y)
y)
f ( x, y) .
называется
f ( x, y )
полным
приращением функции в точке ( x, y ) .
Определение. Частной производной функции двух переменных по
одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению данной переменной, когда это
приращение стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается
z z
, или f x ( x, y), f y ( x, y) .
,
x y
частная производная так: z x , z y или
Таким образом, по определению имеем:
частная производная функции z
z x ( x, y)
частная
z
( x, y)
x
производная
lim
x
f ( x, y ) по переменной x в точке ( x, y ) :
x
0
z ( x, y)
x
функции
z
lim
x
f (x
0
f ( x, y )
по
x, y)
x
f ( x, y)
;
переменной
y
в
точке ( x, y ) :
z y ( x, y )
z
( x, y )
y
lim
y
0
y
z ( x, y )
y
lim
x
0
f ( x, y
y)
y
f ( x, y )
.
Аналогично определяются частные производные функций любого числа
независимых переменных. В этом случае фиксируются все переменные, кроме
той, по которой ищется производная. Например, для функции трех переменных
u
f ( x, y , z ) :
14
u
x
ux
u
x
lim
x
uy
u
y
lim
y
uz
u
z
lim
z
Геометрический
x
y
z
0
x
u
y
u
z
0
смысл
0
lim
y
0
f (x
lim
f ( x, y, z )
y, z )
y
f ( x, y , z )
z)
z
f ( x, y, z )
f ( x, y
0
f ( x, y, z
lim
z
0
частных
переменных. Графиком функции z
x, y, z )
x
производных
,
,
.
функции
двух
f ( x, y ) является некоторая поверхность
Ф в трехмерном пространстве. Зафиксируем переменную y , положив y
В
трехмерном
пространстве
условие
описывает
y = y0
y0 .
плоскость
P,
перпендикулярную оси Oy и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P
пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии (как
показано на рисунке), заданной уравнением z
частной производной функции z
f ( x, y 0 ) . По определению
f ( x, y ) по переменной x в точке ( x0 , y 0 )
имеем:
f x ( x0 , y 0 )
где
( x)
lim
x
f ( x0
x, y0 )
x
0
f ( x0 , y 0 )
( x0 ) ,
f ( x, y 0 ) функция одной переменной x .Из геометрического смысла
производной для функции одной переменной, заключаем, что f x ( x0 , y 0 )
tg ,
где α — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой
( x)
f ( x, y 0 ) в точке M 0 ( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) (рис.1).
Аналогично, f y ( x0 , y0 )
угол
между
осью
Оу
проведенной к кривой
tg , где β —
и
касательной,
( y)
f ( x0 , y )
в
точке M 0 ( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) (рис.3).
Частные производные характеризуют
скорость изменения функции в направлении
соответствующих координатных осей.
Рис. 1
15
Из определения частных производных следует, что все правила и
формулы дифференцирования функций одной переменной применимы и для
нахождения частных производных функций любого числа переменных.
Следует только помнить, что при вычислении частной производной по
одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
В частности, при вычислении частной производной функции z
по
переменной
переменная
x
считается
y
f ( x, y )
постоянной,
при
дифференцировании же функции по переменной y постоянной считается x . А
при вычислении, например, f x ( x, y , z ) постоянными считаются аргументы y и
z.
Пример 1. Найти частные производные функций:
а) z
x3
7 x 2 y 4 xy2
y3
x
2y
б) z
2;
ex
2y
,
x
y
в) z x y
г) z ( x, y ) e .
x;
Решение. а) Чтобы найти z x считаем y постоянной величиной и
2
дифференцируем z как функцию одной переменной x :
(x3
zx
7 x 2 y 4 xy2
y3
(x3 ) x
2) x
(7 x 2 y ) x
(4 xy2 ) x
( y3 )x
2x
( y const )
3x 2
7 y (x2 )
4 y 2 xx
0 0 3x 2 14xy 4 y 2 .
Аналогично, считая x постоянной величиной, находим z y :
(x3
zy
7 x 2 y 4 xy 2
y3
(x3 ) y
2) y
(7 x 2 y ) y
(4 xy2 ) y
( y3 ) y
2y
( x const )
0 (7 x 2 ) y y
б)
x
2y
zx
( y const )
1
2y
zy
( x const )
ex
4x ( y 2 ) y
2y
ex
2y
x
3y 2
( 2xy )
0
7 x 2 8xy 3 y 2 .
(e x
2y
1
xx
2y
)x
x
ex
2y
( x 2 y) x
;
x
2y
ex
2y
y
( 2xy )
(e x
y
16
2y
)y
x
2
( 1y )
ex
y
2y
( x 2 y) y
x
(y 1) y
2
в)
ex
2y
(x2 y
zx
x
2
( 2)
x)x
2 xy
( y const )
г)
z
e
x
( y const)
x
y
1
y2
1
2 x
2e x
;
x
zy
(x2 y
zy
2e x
2y
.
x2 .
x) y
( x const )
x
1 y
e ;
y
x
2y2
2y
e
x
y
x
( x const)
y
x y
e .
y2
Пример 2. Найти частные производные функции u
2
x yz .
Решение. При дифференцировании по x функция является степенной, а
при дифференцировании по y и z – показательной. Находим
2
yz 2 x yz
2
x yz ln x ( yz 2 ) y
2
x yz ln x ( yz 2 ) z
( x yz ) x
ux
2
1
,
( y const,
z const)
( x yz ) y
uy
2
x yz ln x z 2 ( y) y
2
2
x yz ln x y ( z 2 ) z
2
x yz ln x z 2 ,
( x const,
z const )
( x yz ) z
uz
2
( x const,
y const )
2
2
x yz ln x 2 zy
2 zy x yz ln x .
Упражнения к § 2
1. Найти все частные производные данных функций по каждой из
независимых переменных.
1.1. z
5x 3 y xy4
1.2. z
(3xy2
1.3. z
4
x y
1.16. z
3y 8 .
2x 3 1) 5 .
3
y
.
x
17
2x y
1 3 2
x y
2
1.17. z
x2 2y2
.
x y
1.18. z
ln( y 2
2 x) 2 .
3 xy
3
x.
1.4. z
ln( x
y
2
2
1.19. z
x ).
ln
y2
x2
x
2
2
x
y
x
y
1.5. z
x
ln tg 2 .
y
1.20. z
e
1.6. z
1
.
arctg xy
1.21. z
xy ln( x
1.7. z
1
3
1.8. z
sin
1.9. z
y2
x
.
y) .
y2
x2
y2
x2
1.22. z
arcsin
x
y
cos .
y
x
1.23. z
xyexy .
(1 log y x) 3 .
1.24. z
(sin x) cos y .
1.25. z
(1 xy) y .
.
1.26. u
xy yz
arctg x y .
1.27. u
arcsin
1.28. u
(x
1.10. z
x xy .
1.11. z
y
x
1.12. z
x
2y
.
z2
yz
1.14. u
(sin x) .
1.29. u
yz
1.15. u
.
x
x2
1.13. u
.
.
x .
1.30. u
e
x
y
xz .
y
x2
y )( x
e
z
y
y2
z2
z )( y
z) .
.
.
y
z
x .
2. Вычислить значения частных производных z x и z y данной функции в
точке M 0 ( x0 , y 0 ) .
2.1 z
x ln y x 2 cos( y 2) , M 0 (1, 2) .
2.2. z
x
y
x2
y 2 , M 0 (3,4) .
18
y
, M 0 (1, 2) .
2x
2.3. z
ln x
2.4. z
x cos y y cos x
, M 0 (0, 0) .
1 sin x sin y
3. Вычислить значения частных производных u x , u y и u z данной
функции в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
3.1. u
arcctg
xy
, M 0 ( 2,1,1) .
z2
3.2. u
ln( x 3
y2 )
3.3. u
lg cos
4. u
x2
z2
1
, ,1 .
2
, M 0 (0,1, 3) .
ln( 1 x y 2
5. Пусть
xz , M 0 (1, 0,1) .
x
2y z , M0
4
2y
3.4. u
4
z 3 ) . Найти u x u y u z при x
2
x
r cos ,
y
r 2 sin
. Вычислить определитель
y
x
r
y
r
z 1.
x
y
.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция данному уравнению.
1
x
6.1. z
y ln( x 2
y2 ) ,
6.2. u
ln( e x e y e z ) ,
6.3. u
x y
z t
6.4. z
x y yx, x
t x
,
y z
z
x
z
x
u
x
u
x
y
1
y
z
y
z
y
u
y
u
y
z
.
y2
u
1.
z
u
z
u
1.
t
( x y ln z ) z .
19
6.5. z
6.6. z
x2
2y
x
2
y
x
1
x
1
2 z
, x
y
x
y
2 z
, x
x
x
y sin
xy
y
x
y
2
x3
.
y
x
y
yz .
7. При каком значении постоянной k для функции z = (x2 – y2)k выполнено
равенство x
Какая
8.
z
z
x
z
z
x
z
y
y
z
y
4z ?
из
данных
функций
является
решением
уравнения
3z :
1) z = (x + y)2;
2) z = x – y; 3) z = x3 + y3;
4) z = x2 + y3;
5) z = (x – y)3.
9. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс
касательная к линии
z
y
x2
y2
4
в точке ( 2, 4, 5) ?
4
10. Какой угол образует с положительным направлением оси ординат
касательная к линии
z
1 x2
y2
в точке (1,1, 3) ?
x 1
11. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся в
результате пересечения поверхностей z
y
2?
20
x
2
y2
и z
6
x2
y2
3
плоскостью
§ 3. Дифференцируемость функции двух переменных.
Необходимое условие дифференцируемости функции двух
переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции
двух переменных
1. Определение дифференцируемости функции двух переменных.
Пусть функция z
f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) .
Полным приращением функции z
f ( x, y ) в точке ( x0 , y 0 ) , соответствующим
приращениям x и y переменных х и у, называется разность
z
f ( x0 , y 0 )
Определение 1. Функция z
f ( x0
x, y 0
y)
f ( x0 , y 0 ) .
f ( x, y ) называется дифференцируемой в
точке ( x0 , y 0 ) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в
виде
z
A x
B y
( x, y ) x
где А и В – некоторые числа, не зависящие от
- функции, бесконечно малые при
lim
x
y
0
0
( x, y )
x
0 и
( x, y ) y ,
x и y, а
y
(3.1)
( x, y ) и
0 , т.е. lim
x
y
0
0
( x, y )
( x, y )
0 и
0.
Отметим, что условие (3.1) можно переписать в виде
z
где lim ( x, y )
x
y
0
0
то есть ( x, y )
0, а
A x B y
( x, y ) ,
( М 0 ( x0 , y 0 ), М ( x0
x, y 0
(3.1’)
y ))
( x) 2
( y) 2 ,
o( ) .
Покажем это:
( x, y ) x
( x, y ) y
( x, y )
21
x
( x, y )
y
.
Обозначим функцию, стоящую в скобке правой части равенства, через
x
( x, y ) . Учитывая, что
lim
x
y
0
0
( x, y )
0 и lim
x
y
0
0
y
1и
( x, y )
1, получим, что lim ( x, y )
x
y
0
0
0 , если
0.
Для функции одной переменной справедливы следующие утверждения:
1) если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой
точке;
2) если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке
конечную производную, и наоборот, если функция имеет в некоторой точке
конечную производную, то она дифференцируема в этой точке. То есть для
функции одной переменной понятия “дифференцируемость функции в точке” и
“существование в точке конечной производной функции” эквивалентны.
Рассмотрим эти свойства для функций двух переменных.
Из определения дифференцируемости функции z
f ( x, y ) в точке
следует, что если данная функция дифференцируема в точке ( x0 , y 0 ) , то она в
этой точке непрерывна (то есть это свойство аналогично случаю функций
одной переменной).
Действительно,
если
в
точке
( x0 , y 0 )
функция
дифференцируема, то ее полное приращение в этой точке
z
f ( x, y )
z представимо в
виде
z
где
( x, y )
A x
0, ( x, y )
B y
( x, y ) x
0 при x
0и y
lim
x
y
0
0
z
( x, y ) y ,
0 . Откуда и следует, что
0,
а это и означает, что в точке ( x0 , y 0 ) функция z
f ( x, y ) непрерывна.
Со вторым свойством дело обстоит иначе. Рассмотрим эту связь
подробнее.
22
2.
Необходимое
условие
дифференцируемости
функции
двух
переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции двух
переменных.
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция
z
f ( x, y ) дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет обе
частные производные.
Доказательство. В самом деле, пусть функция z
f ( x, y ) в точке
( x 0 , y 0 ) дифференцируема. Тогда имеет место соотношение
z
Положим в нем
y
A x
B y
( x, y ) x
( x, y ) y .
0 , тогда
x
z
A x
( x , 0) x .
Деля на x 0 и переходя к пределу при
lim
x
0
z
x
x
lim ( A
x
x
0 , получим:
( x,0))
0
A.
Это означает, что в точке ( x0 , y 0 ) существует частная производная
функции z
f ( x, y ) по переменной x и
z
( x0 , y 0 )
x
A.
Аналогично доказывается, что в точке ( x0 , y0 ) существует частная
производная по переменной y и
z
( x0 , y 0 )
y
Следствие. Если функция z
В.
f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x0 , y0 ) ,
то ее приращение в этой точке имеет вид
z ( x0 , y 0 )
z
( x0 , y 0 )
x
x
z
( x0 , y 0 )
y
y
( x, y) x
( x, y) y .
Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция
z
f ( x, y ) имеет частные производные в некоторой окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 ) и эти производные непрерывны в самой точке M 0 , то функция
дифференцируема в точке M 0 .
23
Доказательство. Дадим переменным x 0 и y 0 столь малые приращения
x и
y , чтобы точка M 0 ( x0
окрестности
z
f ( x0
z
( f ( x0
точки
x, y 0
M0.
y)
x, y 0
y ) не вышла за пределы указанной
x, y 0
Полное
приращение
f ( x0 , y 0 )
можно
f ( x0 , y 0
y )) ( f ( x0 , y 0
y)
функции
в
записать
y)
точке
в
M0
виде
f ( x0 , y 0 )) .
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции:
первая – по переменной x , вторая – по переменной y . Преобразует каждую из
этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
z
f x ( x0
x, y 0
y) x
f y ( x0 , y 0
1
y ) y (0
1, 0
1) .
1
Так как производные f x и f y непрерывны в точке M 0 , то
lim f x ( x0
x
0, y
x, y 0
y)
f x ( x0 , y 0 ) , lim f y ( x0 , y0
0
x
0, y
f y ( x0 , y 0 ) .
y)
1
0
Отсюда
f x ( x0
где
y
x, y 0
y)
( x, y ) и
, f y ( x0 , y 0
f x ( x0 , y 0 )
y)
1
f y ( x0 , y 0 )
( x, y ) - бесконечно малые функции при
x
,
0 и
0 . Тогда
z
f x ( x0 , y 0 ) x
а это и означает, что функция z
f y ( x0 , y 0 ) y
x
y,
f ( x, y ) дифференцируема в точке M 0 .
Замечание. Теорема 2 имеет большое значение для установления
дифференцируемости функции, так как проще проверить непрерывность
частных производных, чем непосредственно проверять дифференцируемость
функции с помощью определения.
Таким образом,
для функции одной переменной:
1) y
f (x) дифференцируема в точке x 0
y
2) y
f (x) дифференцируема в точке x 0
существует f ( x0 ) ;
24
f (x) непрерывна в точке x 0 ;
для функции двух переменных:
1) z
f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x0 , y 0 )
z
f ( x, y ) непрерывна в
точке ( x0 , y 0 ) ;
2)
z
z
( x0 , y 0 ) и
( x0 , y 0 ) ;
x
y
существуют
z
f ( x, y )
дифференцируема
в точке ( x0 , y 0 )
z
и
x
существуют
окрестности точки
z
в некоторой
y
( x0 , y 0 )
и эти
производные непрерывны в самой
точке ( x 0 , y 0 ) .
В заключение обратим внимание на еще одно отличие функции двух
переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных
производных в точке не следует непрерывность функции нескольких
переменных в этой точке. Рассмотрим, например, функцию
0 при xy 0,
f ( x, y )
1 при xy
0
.
График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат
Ox и Oy, представляет собой плоскость, z 1, параллельную плоскости xOy.
Сами оси координат Ox и Oy также принадлежат графику функции. Очевидно,
что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам.
Причем обе частные производные равны нулю. Очевидно также, что в любой
окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время
как f(0, 0) = 0. То есть функция не является непрерывной в точке (0,0). (Пример
взят из [3]).
25
Упражнения к § 3
1. Показать, что функция z
xy непрерывна в точке О(0, 0), имеет в
этой точке обе частные производные z x (0,0) и z y (0,0) , но не является
дифференцируемой в точке О(0, 0).
2. Показать, что функция
xy
z
x
2
0,
y
x
2
, x2
0, y
y2
0,
0
непрерывна в точке О(0, 0), имеет в этой точке обе частные производные
z x (0,0) и z y (0,0) , но не является дифференцируемой в точке О(0, 0).
3. Показать, что частные производные функции
1
1
y 2 sin , xy 0,
x
y
1
x 2 sin , x 0, y 0,
x
1
y 2 sin , y 0, x 0,
y
0, x y 0
x 2 sin
z
не являются непрерывными в точке О(0, 0), но эта функция дифференцируема
в точке О(0, 0).
26
§ 4. Дифференциал функции двух переменных
1. Полный дифференциал функции двух переменных. Пусть функция
f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , тогда ее полное приращение в
z
этой точке можно представить в виде
z
где
( x, y ) и
f x ( x, y ) x
f y ( x, y ) y
x
y,
( x, y ) - функции, бесконечно малые при
Определение. Полным дифференциалом
(4.1)
x
функции
dz
0и y
z
0.
f ( x, y ) ,
дифференцируемой в точке ( x, y ) , называется главная часть ее полного
приращения в этой точке, линейная относительно приращений аргументов
x и
y , то есть
dz
Если положить z
f x ( x, y )
x , то dz
x
dx 1
f y ( x, y )
x 0
y
y.
(4.2)
x , т.е. dx
x , если x –
независимая переменная. Аналогично, если y – независимая переменная, то
dy
y . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с
приращениями этих переменных, и можно записать полный дифференциал
функции в следующем виде:
dz
Полный
f x ( x, y )dx
дифференциал
функции,
f y ( x, y )dy .
(4.3)
который
ещё
называют
дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и
от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от
х и у, если х, у независимые переменные.
Замечание. Для функции n переменных u
f ( x1 , x 2 ,, x n ) полный
дифференциал определяется выражением
du
f x ( x1 , x 2 ,, x n )dx1
1
f x ( x1 , x 2 ,, x n )dx2 
2
Пример 1. Найти полный дифференциал функции z
27
f x ( x1 , x 2 ,, x n )dxn .
n
ln( x 2
y2 ) .
2x
Решение. Так как z x
x
2
y
2
2y
, zy
x
2
y2
, то по формуле полного
дифференциала находим
2x
dz
Применение
2.
x
2
y
полного
2
2y
dx
x
2
y2
dy .
дифференциала
вычислениях. При достаточно малых
x и
в
приближенных
y для дифференцируемой
функции справедливо приближенное равенство (с учетом того, что именно
первое слагаемое в правой части равенства (4.1) является главной частью
приращения функции)
dz , то есть f ( x0
z
x, y 0
y)
f ( x0 , y 0 )
dz
или
f ( x0
x, y 0
y)
f ( x0 , y 0 )
f x ( x0 , y 0 )
x
f y ( x0 , y 0 )
y.
(4.4)
Эту формулу используют в приближенных вычислениях.
Пример 2. Вычислить приближенно (0,98) 2,01 .
Решение. Рассмотрим функцию z
значение этой функции при x
x
x
x0
0,98 1
0,02 ,
x y . Нужно найти приближенное
0,98 и y
2,01. Положим x0
y
2,01 2
y
y0
0,01 .
1, y 0
2 . Тогда
Найдем
частные
производные функции:
zx
Тогда
f x ( x0 ; y 0 )
(x y ) x
f x (1, ;2)
(x y ) y
y xy 1, zy
2; f y ( x0 ; y 0 )
x y ln x .
f y (1, ;2) 12 ln 1 0 .
Применив
формулу (4.4), получим
(0,98) 2, 01
f (1; 2)
f x (1; 2)
x
f y (1; 2)
y 12
2 ( 0,02) 0 0,01 0,96 .
Формула (4.4) применяется и для нахождения погрешностей вычислений.
При вычислении абсолютной погрешности величины
z , находящейся в
функциональной зависимости от n переменных x1 , x 2 ,..., x n , измеренных с
абсолютными погрешностями
x1 , x 2 ,..., x n , применяют формулу
28
z
z
x1
x1
z
x2 ...
x2
z
xn .
xn
(4.5)
Пример 3. Найти абсолютную погрешность определения объёма
цилиндра, если его высота h и диагональ d измерены с точностью
0,5 мм.
После измерения были установлены следующие размеры цилиндра: h=10мм,
d=5мм.
Решение. Применяя известную формулу, определяем объём цилиндра:
V
d2
h 196 ( мм 3 ).
4
Результаты измерений не являются абсолютно
точными, поэтому действительное значение объёма может отличаться от
полученного на некоторую величину. Условием задачи требуется установить
границы возможных отклонений. С этой целью применяем формулу (4.5) для
вычисления абсолютной погрешности
V
d
d
V
V
h
h
4
2d h
d
4
d 2 h 5 ( мм 3 ).
Таким образом, значение объёма цилиндра лежит в пределах от 191 до
201 мм3.
Упражнения к § 4
1. Найти частные дифференциалы данных функций по каждой из
независимых переменных.
1.1. z
1.3. z
1.4. z
xy
2
1.2. u
.
x
2
y
3
x
y 2 при x
2, y
5, x
ln xy при x 1, y 1,2,
x
ln( x 3
y
0,01 .
y
0,016 .
2 y3
2. Найти полные дифференциалы данных функций.
29
z3 ) .
2.1. z
arcsin
2.3 z
xy.
2.5. z
arctg
x
.
y
x y
.
1 xy
y
.
x
2.2. z
ln tg
2.4. z
e x (cos y x sin y) .
2.6. u
x yz .
3. Вычислить приближенно.
3.1. (4,05)2
(2,93)2 .
3.2. (1,02)4,05.
3.3. (0,95)2,01 .
3.5. arctg
3.7.
3.9.
3.4. 1,962 e0,08.
1,02
.
0,95
(4,05) 2
(1,04)1,99
(2,93) 2 .
3.6. (1,02)3
(0,001)2.
5e 0, 02
(2,03) 2 .
3.8.
3.10. ln( 3 1,03
ln 1,02 .
4
0,98 1) .
4. При измерении радиуса основания и высоты цилиндра были получены
следующие результаты: r
3 0,1 (м), h
5 0,2 (м). С какой абсолютной и
относительной погрешностью может быть вычислен объем цилиндра.
5. В треугольнике измерена сторона c
ней
углы
42 62 ' 1'
и
26,5 0,2 (см) и прилегающие к
38 12 ' 2' .
Найти
остальные
стороны
треугольника, угол γ, площадь треугольника и оценить погрешность найденных
значений.
30
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших
порядков
1. Частные производные высших порядков. Предположим, что
функция z
f ( x, y ) определена в области D и имеет в этой области частные
производные
z
и
x
z
. Эти частные производные являются функциями двух
y
переменных, определенными в области D .
Частными
производными
второго
порядка
функции
z
f ( x, y )
называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются
следующим образом:
z xx
( z x ) x или
2
z
x
2
x
2
z yx
z
( z y ) x или
x y
Аналогично
2
z
;
x
z
;
x
y
определяются
( z x ) y или
z xy
и
( z y ) y или
z yy
обозначаются
z
y x
2
z
y
2
частные
x
y
z
;
y
z
.
y
производные
третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции
z
f ( x, y ) имеем:
2
z xxx
n
А запись
x
k
z
yn
k
x
z
x2
2
, z xxy
y
z
x2
и т. д.
означает, что функция продифференцирована k раз по
переменной x, а затем n-k раз по переменной y.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по
различным переменным, называются смешанными частными производными.
Для функции z
f ( x, y ) таковыми, например, являются производные z xy и z yx .
Аналогично определяются частные производные высших порядков и для
функции большего числа переменных.
31
Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции
x 3 5x 2 y 3xy2
z
y3 .
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции
имеют вид:
3x 2 10 xy 3 y 2 ; z y
zx
5x 2
6 xy 3 y 2 .
Тогда
z xx
(zx ) x
(3x 2 10xy 3 y 2 ) x
z xy
(zx ) y
(3x 2 10 xy 3 y 2 ) y
10 x 6 y ;
z yx
(z y ) x
( 5x 2
6 xy 3 y 2 ) x
10 x 6 y ;
z yy
(z y ) y
( 5x 2
6 xy 3 y 2 ) y
6x 10 y ,
6x 6 y .
2
z
функции z
x y
Пример 2. Найти
Решение. Имеем
z
x
2x
,
x2 3y
ln( x 2
3 y).
2
тогда
z
x y
y
z
x
6x
.
( x 2 3 y) 2
Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:
z
y
2
3
x2
3y
,
z
x y
6x
.
( x 2 3 y) 2
В этих двух примерах смешанные частные производные z xy и z yx равны.
Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком
порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких
условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке
производится дифференцирование, дает следующая теорема.
Теорема 1. Если производные
z xy и z yx определены в некоторой
окрестности точки M ( x, y ) и непрерывны в самой точке M , то они равны в
этой точке: z xy ( x, y)
z yx ( x, y) .
Следствие. Если производные z xy и z yx определены и непрерывны в
некоторой области, то они равны в этой области.
32
Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более
высокого порядка.
Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка
непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка,
отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.
Доказательство. Пусть функция z
f ( x, y ) определена в области D и
имеет в этой области непрерывные частные производные f x ( x, y ) и f y ( x, y) .
Возьмем любые точки М ( x, y ) и М 1 ( x
y ) из этой области.
x, y
Рассмотрим выражение
A
( f (x
x, y
y)
f (x
x, y )) ( f ( x, y
y)
f ( x, y )) .
Введем вспомогательную функцию
( x)
f ( x, y
y)
f ( x, y ) .
Тогда A запишется в виде
A
(x
x)
( x, y ) .
Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим
A
где 0
1
f x (x
1
(x
1
x)
x
( f x (x
1
x, y
y)
f x (x
1
x, y ))
x,
1 . Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции
x, y ) одной переменной у на отрезке с концами в точках у, у+Δу.
Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной у), получим
A
(0
1
( f x (x
1, 0
2
x, y )) y
1
y y
2
y
x
y
f xy ( x
1
x, y
2
y)
x
y
1 ).
С другой стороны, А можно переписать в виде
A
( f (x
x, y
y)
Введя вспомогательную функцию
f ( x, y
( x)
y )) ( f ( x
x, y )
f (x
f ( x, y ) и рассуждая
x, y )
f ( x, y )) .
аналогично, получим
(y
3
y)
y
A
( f y (x
(y
y)
( x, y )
x, y 3 y) f y ( x, y
33
3
y))
y
( f y ( x, y
y )) x
3
x x
4
0
y
x
x
f yx ( x
1, 0
3
4
x, y
3
y)
x,
y
1.
4
Сравнив выражения для А, получим
f xy ( x
1
x, y
y)
2
x
y
f yx ( x
y)
f yx ( x
4
x, y
3
y)
y
x
или
f xy ( x
1
x, y
2
4
Переходя в этом равенстве к пределу при
x, y
x
3
0,
y) .
0 и учитывая
y
непрерывность производных второго порядка в области D (в частности, в
точке М ( x, y ) ), получим
lim f xy ( x
x
y
0
0
1
x, y
2
y)
lim f yx ( x
x
y
4
0
0
x, y
y) ,
3
то есть
f xy ( x, y)
f yx ( x, y) .
Методом математической индукции доказанное утверждение можно
распространить на частные производные любого порядка.
2. Дифференциалы высшего порядка.
Дифференциал функции z
dz
f ( x, y )
f x ( x, y)dx
f y ( x, y)dy
еще называют дифференциалом первого порядка.
Дифференциалом второго порядка функции
z
f ( x, y )
называется
дифференциал от ее первого дифференциала, то есть
d 2z
d (dz)
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:
d 3z
d (d 2 z ) ,
dnz
d (d n 1 z ) .
Если х и у — независимые переменные и функция z
f ( x, y ) имеет
непрерывные частные производные в некоторой области D (в этом случае по
теореме Шварца смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь
34
порядком дифференцирования, в области D равны), то дифференциалы
высшего порядка вычисляются по формулам:
2
2
d z
3
3
d z
x
z
3
x
2
z
dx
2
3
dx
3
z
2
dxdy
x y
2
2
z
y
2
dy 2 ,
3
z
z
3 2
dx dy 3
dxdy2
2
x y
x y
3
z
y
3
2
dy 3 ,…
Эти формулы напоминают разложение двучлена в соответствующей
степени. Поэтому выражение для дифференциала n-ого порядка символически
записывают в виде
n
d nz
dx
x
y
dy
z.
Это выражение формально раскрывается по биномиальному закону.
Отметим еще раз, что полученные формулы справедливы лишь в случае,
когда переменные х и у функции z
Пример
x3
z
y3
2.
Найти
f ( x, y ) являются независимыми.
дифференциал
второго
порядка
функции
x2 y2 .
Решение. Найдем сначала частные производные функции второго
порядка:
z
x
2
x
3x 2
z
2
z
x
x
2
z
y x
2
z
(
y x
z
y
2 xy2 ;
x
3y 2
2x 2 y ;
2
z
y
2
2
6x 2 y ;
z
y
y
z
y
6 y 2x 2 ;
4 xy
2
z
, так как производные второго порядка непрерывны на всей
x y
плоскости). Тогда
2
2
d z
x
z
2
2
dx
2
z
2
dxdy
x y
35
2
z
y
2
dy 2
(6 x 2 y 2 ) dx 2
2 4xy dxdy (6 y 2x 2 ) dy 2
(6 x 2 y 2 ) dx 2
8xy dxdy (6 y 2 x 2 ) dy 2 .
Упражнения к § 5
2
z
1. Показать, что для данных функций
x y
1.1. z
2x 3
xy3
x2 y
1.3. z
2 x (cos y x sin y) .
y.
2
z
.
y x
1.2. z
yx.
1.4. z
x
arctg .
y
2. Найти частные производные второго порядка и дифференциал второго
порядка от данных функций.
2.1. z
x ln y .
2.3. z
x sin xy
2.5. z
2.7. z
3. z
4. u
2.2. z
ln tg ( x
2.4. z
x
x
e xe .
2.6. z
x ln y .
sin 2 ( x 2 y) .
2.8. z
arcsin( xy) .
y cos xy .
y
x
x
y
sin( x
. Найти d 2 z(2;1) .
z ) . Найти d 2 u .
y
3
5. z
sin( x cos y ) . Найти
6. z
cos(x e y ) . Найти
z
2
x y
.
3
z
.
x y2
3
7. z
ln( x
2
y ) . Найти
2
2
z
x y
.
3
8. z
sin xy . Найти
z
.
x y2
36
y) .
y
.
y
3
9. u
e
xyz
u
.
x y z
. Найти
5
10. z
11.
5
z
x y . Проверить, что 2 3
x y
3
z
.
x3 y 2
2
Показать,
что
данные
функции
удовлетворяют
указанным
соотношениям.
11.1 z
ln( e
11.2. z
x
x
z
x
y
e ),
2
z
y
1и
2
11.3. z
12.
e ( x cos y
ln
При
1
x2
y2
каком
удовлетворяет уравнению
y sin y) ,
,
2
z
2
x
2
y2
значении
2
z
2
x
2
y2
13. z
x 2 y . Найти d 3 z .
14. z
sin( 2 x
z
x2
2
z
x2
z
2
z
2
z
z
x y
y2
z
y2
2
0.
0.
0.
постоянной
а
функция
z
x3
axy2
0.
y ) . Найти d 3 z в точках (0, ) и
, .
2 2
§ 6. Производные и дифференциал сложной функции
1. Производные сложной функции. Пусть z
y
y (t ) . Тогда функция z
f ( x, y ) , где x
f ( x(t ), y (t )) является функцией независимой
переменной t, а переменные x и y - это промежуточные переменные.
Теорема 1. Если
1) функции x
x(t ) и y
x(t ) ,
y (t ) дифференцируемы в точке t,
37
2) функция z
f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , где x
x(t ) ,
y (t ) ,
y
то сложная функция z
f ( x(t ), y (t )) также дифференцируема в точке t и ее
производная вычисляется по формуле
dz
dt
f x ( x, y)
dx
dt
f y ( x, y)
dy
или z t
dt
f x ( x, y ) xt
f y ( x, y ) y t .
Доказательство. Дадим переменной t приращение
следовательно, и z получат свои приращения
z
Так как функция z
x
x(t ) , y
y
t . Тогда x, y, а,
x , y и z . Причем
x, y
y)
f ( x, y ) .
f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , где
y (t ) , то ее приращение z можно записать в виде
z
где
f (x
(6.1)
( x, y ) и
f x ( x, y ) x
f y ( x, y ) y
x
y,
( x, y ) - бесконечно малые функции при
x
0 и
0.
Разделим обе части равенства на
z
t
Устремим
функции x
f x ( x, y)
x
t
t к нулю. Тогда
x(t ) и y
t ( t
0 ):
f y ( x, y)
y
t
x и
y будут стремиться к нулю, так как
и
будут стремиться к нулю. Кроме
того по условию существуют пределы lim
t
образом,
y
.
t
y (t ) дифференцируемы в точке t, а, следовательно, и
непрерывны в этой точке, а потому
Таким
x
t
существует
0
x
t
dx
y
и lim
t 0 t
dt
предел
левой
части
следовательно, существует предел и правой части равенства
lim
t
0
z
t
dz
,
dt
dx
dt
f y ( x, y)
причем
dz
dt
f x ( x, y)
38
dy
.
dt
dy
.
dt
равенства,
а,
Пример 1. Пусть z
dz
dt
x e y , где x
dz
z dy
или
y dt
dt
z dx
x dt
t3
e y 3t 2
Замечание. Если, в частности, z
функции z
dx
dx
переменной x: z
f ( x, y ) , где y
t3
3, y
2t 4 1 .
y (x ) , то для сложной
z
x
z dy
,
y dx
dz
- обычная производная сложной функции одной
dx
f ( x, y ( x)) .
В случае, когда z
f ( x, y ) , где x
x ( y ) , аналогично получаем:
dz
dy
z dx
x dy
z
y
z
dz
- частная производная по второму аргументу функции f ( x, y ) ,
- полная
y
dy
производная функции одной переменной y: z
Пусть теперь z
z
xe y 8t 3 , где x
z
- частная производная по первому аргументу функции
x
1 . Здесь
двух переменных f ( x, y ) , а
(
2t 4 1 . Тогда
f ( x, y ( x)) согласно формуле (6.1) будем иметь:
dz
dx
так как
3, y
f ( x, y ) , где x
f ( x( y ), y ) ).
x(u , v) , y
y (u, v) . То есть функция
f ( x(u, v), y (u, v)) является сложной функцией независимых переменных u и
v, а переменные x и y – промежуточные.
Теорема 2. Если
где x
1) функции x
x(u , v) , y
2) функция z
f ( x, y ) дифференцируема в соответствующей точке ( x, y ) ,
x(u , v) , y
y (u, v) дифференцируемы в точке (u , v) ,
y (u, v) ,
то сложная функция z
f ( x(u, v), y (u, v)) дифференцируема в точке (u , v) ,
причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам:
z
u
z x
x u
z y
,
y u
z
v
39
z x
x v
z y
.
y v
(6.2)
2.
Дифференциал
дифференцирования
дифференциал
сложной
сложной
обладает
функции.
функции,
свойством
можно
Используя
показать,
инвариантности
правило
что
полный
формы:
полный
дифференциал функции z=ƒ(х,у) сохраняет один и тот же вид независимо от
того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями
независимых переменных.
Покажем это. Пусть z=ƒ(х,у), где х и у — независимые переменные. Тогда
ее полный дифференциал (1-го порядка) имеет вид
z
dx
x
dz
z
dy .
y
Рассмотрим теперь сложную функцию z=ƒ(х,у), где х = x(u,v), у = y(u,v),
т.е. z = f(x(u,v),y(u,v)) = F(u,v), где u и v — независимые переменные. Тогда
dz
F
du
u
z
x
=
=
F
z
dv = du
v
u
x
u
z
y
z
dv =[по формулам (6.2)]=
v
y
du
u
z x
x
du
dv
x 
u 
v


z
x
x
v
z
y
z y
y
du
dv .
y 
u 
v


dx
dy
Следовательно, и в этом случае dz
Замечание.
y
dv =
v
Дифференциалы
z
dx
x
z
dy .
y
высших
порядков
свойством
инвариантности формы не обладают.
Пример 2. Найти полный дифференциал сложной функции z
где x
u cos v, y
u sin v .
Решение. Первый способ.
dz
z
dx
x
z
dy
y
2 xdx 2 ydy ,
dx
d (u cos v)
(u cos v) u du (u cos v) v dv
dy
d (u sin v)
(u sin v) u du (u sin v) v dv
40
cos vdu u sin vdv ,
sin vdu u cos vdv .
x2
y2 ,
Тогда
dz
2u cos v(cos vdu u sin vdv) 2u sin v(sin vdu u cos vdv)
2u cos 2 vdu 2u 2 sin v cos vdv 2u sin 2 vdu 2u 2 sin v cos vdv
2u(cos 2 v sin 2 v)du 4u 2 sin v cos vdv 2u cos 2vdu 2u 2 sin 2vdv .
Второй способ.
z
du
u
dz
z
dv ,
v
z
u
z
x
x
u
z
y
y
u
z
v
z
x
x
v
z
y
y
v
2 x cos v 2 y sin v
2u cos 2v ,
2 x u sin v 2 y u cos v
2u 2 sin v cos v 2u 2 sin v cos v
Тогда dz
2u cos 2 v 2u sin 2 v
4u 2 sin v cos v
2u 2 sin 2v .
2u cos 2vdu 2u 2 sin 2vdv .
Упражнения к § 6
xy y 2 , где x
1. z
x2
2. z
cos(2t 4 x 2
3. z
e xy ln( x
4. z
arctg
5. z
x 2 y xy2 , где x
6. u
y2
y) , где x
xz
1
, y
t
t
dz
. Найти
и dz .
ln t
dt
y) , где x t 3 , y 1 t 3 . Найти
x 1
, где y
y
e (1
x )2
. Найти
cos , y
1
, где x
cos z
dz
и dz .
dt
cos t . Найти
sin t , y
t v, y
41
dz
и dz .
dt
dz
и dz .
dx
sin
. Найти
t
, z
v
z
,
z
t v . Найти
и dz .
u u
,
и du .
t
v
7. z = ln(e 2 x + e 6 y), где y
8. z
1 x
ln , где x
2 y
dz
и dz .
dx
x x . Найти
tg 2 t , y
t
dz
ctg 3 . Найти
и dz .
2
dt
9. z = ln(x2 y), где x = uv , y = vu . Найти
x
, где x
y
xy 2
10. z
z
z
и
.
v
u
t ), y 10t . Найти
ln( t 2
dz
и dz .
dt
11. Найти полные дифференциалы функций, пользуясь свойством
инвариантности их формы.
11.1. z
xyarctg(xy) , где x
11.2. z
xy
y x , где x u 2
t 2 1, y
v2 , y
t3.
u2
v2 .
12. Показать, что данная функция удовлетворяет данному соотношению.
12.1. z
x2
z
y
xy
z
x
2
x
x
z
2
x2 ) ,
где
( y b) 2 ,
f
–
z
x2
2
z
y2
0.
дифференцируемая
функция,
yz .
12.3. z
2
( x a) 2
x f (y2
z
12.2.
2
1
ln , где r
r
y
x
x
2
z
2 xy
x y
2
y
2
y
, где φ и ψ – дифференцируемые функции,
x
y
z
y2
0.
42
§ 7. Неявные функции и их дифференцирование.
Рассмотрим уравнение
F ( x, y )
0.
(7.1)
Если для каждого допустимого значения x
X существует единственное
значение у, такое что пара ( x, y ) удовлетворяет уравнению (7.1), то говорят, что
это уравнение задает неявно функцию y
y (x ) на множестве Х. Разрешив это
уравнение относительно y, получаем ту же функцию, но уже заданную в явном
виде. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y
невозможно (например, 2 y
2y
x 2 1 0 ).
В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной
функции, не разрешая уравнения (7.1) относительно у.
Заметим, что неявная функция y
y (x ) , определенная уравнением (7.1),
это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (7.1), обращает
его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу
дифференцирования сложной функции, получим:
Fx ( x, y) Fy ( x, y)
Отсюда при Fy ( x, y )
dy
dx
0.
0 получим формулу для производной неявной
функции
dy
dx
Fx ( x, y )
.
(7.2)
Fy ( x, y )
Замечание. Производные высших порядков неявно заданной функции
y
y (x ) можно найти последовательным дифференцированием формулы (7.2),
рассматривая при этом y как функцию от x.
Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных
z
z ( x, y ) , заданной уравнением
F ( x, y , z )
43
0,
где F ( x, y, z ) - дифференцируемая функция переменных x, y и z, могут быть
вычислены по формулам
Fx ( x, y , z )
z
x
Fz ( x, y , z )
при условии, что Fz ( x, y, z )
F y ( x, y , z )
z
y
,
,
(7.3)
Fz ( x, y, z )
0.
Замечание. Производные высших порядков неявно заданной функции
z
z ( x, y ) можно найти последовательным дифференцированием формул (7.3),
рассматривая при этом z как функцию от x и от y.
Пример
e xy
x
1.
Пусть
y 0 . Найти
функция
у(x)
xe xy
неявно
соотношением
dy
.
dx
Решение. В данном случае F ( x, y)
Fy
задана
e xy
x y . Тогда Fx
ye xy
1,
1 и согласно формуле (7.2)
ye xy 1
.
xexy 1
dy
dx
Пример 2. Найти значение y (0) и y" (0) неявной функции у(x), заданной
уравнением xey
ye x
0.
Решение. В данном случае F ( x, y)
Fy
xey
ye x . Тогда Fx
ey
ye x ,
Чтобы найти y (0) , поступим следующим образом. Подставим x
0 в
xe y
e x и согласно формуле (7.2)
e y ye x
.
xe y e x
y ( x)
уравнение, задающее неявно данную функцию, и найдем соответствующее
значение у:
0 ey
Подставляя x
0и y
ye0
0
y(0) 0 .
0 в y (x ) , найдем y (0) :
44
e0 0 e0
0 e0 e0
y (0)
1.
Найдем вторую производную функции:
y" ( x)
(e
( y ( x))
y
yx
'
e y ye x
xe y e x
yxe
x
x
(e y
ye x ) x ( xe y
x
ye ) ( xe
y
e x ) (e y
( xe y e x ) 2
ye x ) (e y
Подставив в найденную производную x
(e 0 ( 1) ( 1)e 0
y" (0)
e x ) (e y ye x ) ( xe y
( xe y e x ) 2
xe y y x
0, y
0 e 0 ) (0 e 0 e 0 ) (e 0
(0 e 0 e 0 ) 2
ex )
0 и yx
0 e 0 )(e 0
ex )x
.
1 , получим
0 e 0 ( 1) e 0 )
=4.
Пример 3. Найти частные производные неявной функции z
заданной уравнением z 3
3xyz 1.
Решение. В данном случае F ( x, y, z)
F
y
3xz ,
F
z
3z 2
z ( x, y ) ,
z 3 3xyz 1. Тогда
F
x
3 yz ,
3xy . Подставив найденные частные производные в
формулы (7.3), получим
z
x
F
x
F
z
3 yz
3z 2 3xy
yz
z2
xy
,
z
y
F
y
F
z
3xz
3z 2 3xy
xz
z2
xy
.
Замечание. Отметим еще раз, что частные производные неявно заданной
функции можно найти непосредственным дифференцированием задающего ее
уравнения по соответствующей переменной. Причем, дифференцируя это
уравнение, например, по x считаем все остальные переменные постоянными, а z
рассматриваем как функцию этих переменных.
Пример 4. Найти полный дифференциал функции z
неявно уравнением e z
x
y z.
45
z ( x, y ) , заданной
z
dx
x
Решение. Как известно, dz
частные производные
z
и
x
F
x
1,
Тогда
F
y
1,
z
dy . Поэтому сначала найдем
y
z
. В данном случае F ( x, y, z)
y
F
z
e z 1.
Подставив
ez
x y z.
найденные
частные
производные в формулы (7.3), получим
F
x
F
z
z
x
1
e
1
Следовательно, dz
ez 1
учетом того, что e z
x
z
dx
1
1
e
1
ez 1
y z , dz
z
1
,
F
y
F
z
z
y
e
y
z 1
1
1
1
dy , то есть dz
1
x
1
z
ez 1
e
z
1
.
(dx dy) или, с
(dx dy) .
Упражнения к § 7
1. Найти производную
1.1. x 3 y xy3
a4 .
1.3. sin( xy) e xy
1.5. arctg
x
y
ey
1.9. x 2
x 2y
4y
0.
x 2y
y 2 )2
a2 (x2
1.4. xy ln y 1 .
0.
0.
1
y (x ) , заданной неявно.
1.2. ( x 2
x2 y
y
2
2
1.7. ye x
dy
от функции y
dx
2
0.
46
1.6. x 2 y
ey .
1.8. x y
yx.
1.10. ln tg
y
x
y
x
1.
y2 ) 0.
2. Найти частные производные
z
z
и
от функции z
y
x
z ( x, y ) , заданной
неявно указанным соотношением.
2.1. ln( z 2
2.3. ye x
2.5. e
x
y
2.7. z
2.9.
ex
xy)
zy
sin
2
y2 z2
2.2. z
.
cos(zx) .
z
y
2.6.
y
z x
z
z
ln
x
y 2
x
z
2.8. ze z
.
y (x ) , заданной неявно соотношением x 2
y2
y (x ) , заданной неявно соотношением x 4 y
y2
.
x
.
y
x ln y
x
.
2
6, y
2 от функции
4 x 10 y 4 0 .
4. Найти производную второго порядка при x
y
x2
ye z .
2.10. e xz cos( yz)
0.
z
z
1.
y
ln
3. Найти производную второго порядка при x
y
y 2 tg
2.4. tg( x z)
y
.
xz
x arctg
x2
xy4
a, y
ax 2 y 2
a от функции
a5 .
5. Найти производную третьего порядка от функции y
y (x ) , заданной
неявно.
5.1. x 2
xy y 2
5.2. x 3 y 2
0.
xy5 5x y
0.
6. Найти частные производные второго порядка в точке (0; 1) неявной
функции z
z ( x, y ) , заданной уравнением z 2 x x 2 y
y 2 z 2x y
0.
7. Найти частные производные второго порядка в точке (2; 0) неявной
функции z
x2
8. 2
a
z ( x, y ) , заданной уравнением yz 2
y2
b2
z2
c2
xz xy 2 .
1. Найти d 2 z .
9. z 3 3xyz 1. Найти d 2 z .
10. 3x 2 y 2
2 xyz2
2 x 3 z 4 y 3 z 4 0 . Найти d 2 z в точке (2, 1, 2).
47
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала
Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется
плоскость, содержащая все касательные к кривым, проведенным на этой
поверхности через точку М.
Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая
через точку М и перпендикулярная касательной плоскости к данной
поверхности в точке М.
Если поверхность задана уравнением
F ( x, y , z )
0 , то уравнение
касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) этой поверхности имеет вид
Fx (M 0 ) ( x x0 ) Fy (M 0 ) ( y
Уравнение
нормали
к этой
y0 ) Fz (M 0 ) ( z z0 ) 0 .
поверхности
в
точке
(8.1)
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
записывается в виде
x x0
Fx ( M 0 )
y y0
Fy ( M 0 )
z z0
.
Fz ( M 0 )
(8.2)
Если же уравнение поверхности задано в явном виде z
f ( x, y ) , то
уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) этой поверхности
имеет вид
z z0
f x ( x0 , y0 ) ( x x0 )
f y ( x0 , y0 ) ( y
y0 ) ,
(8.3)
а уравнение нормали записывается в виде
x x0
f x ( x0 , y 0 )
y y0
f y ( x0 , y 0 )
z
z0
.
1
Из (8.3) видно, что геометрически дифференциал функции z
(8.4)
f ( x, y )
двух переменных в точке ( x 0 , y 0 ) есть приращение аппликаты касательной
плоскости к соответствующей поверхности в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) при переходе
от этой точки к точке M ( x, y, z ) .
48
Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности гиперболического параболоида z
x2
y 2 в точке M 0 ( 2,1, 3) .
Решение. 1) Найдем значения частных производных z x и z y в точке (2;1):
zx
zy
2x ,
z x (2;1)
2y ,
4,
z y (2;1)
2.
2) Подставим найденные значения и координаты данной точки M 0 ( 2,1, 3)
в уравнение касательной плоскости (8.3) и в уравнение нормали (8.4), получим
уравнение касательной плоскости:
z 3
4 ( x 2) 2 ( y 1) или 4 x 2 y
z 3
0;
уравнение нормали:
x 2
4
y 1
2
z 3
.
1
Пример 2. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности x 3
y3
z3
xyz 6 0 в точке M 0 (1, 2, 1) .
Решение. 1) В данном случае F ( x, y, z)
x3
y3
z3
xyz 6 . Найдем
значения частных производных Fx , Fy и Fz в точке M 0 (1, 2, 1) :
Fx
3x 2
yz ,
Fx (1; 2, 1)
Fy
3y 2
xz ,
Fy (1; 2, 1) 3 4 1 11 ,
Fz
3z 2
xy ,
Fя (1; 2, 1)
3 2 1,
3 2
5.
2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
M 0 (1, 2, 1) в уравнение касательной плоскости (8.1) и в уравнение нормали
(8.2), получим уравнение касательной плоскости:
( x 1) 11( y 2) 5( z 1)
0 или x 11y 5 z 18
уравнение нормали:
x 1
1
y 2
11
49
z 1
.
5
0;
Упражнения к § 8
1. Для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и
нормалей в указанных точках.
1.1. z
xy в точке M 0 (1,1,1) .
1.2. z
sin
1.3. z
y
в точке M 0 (1, , 0) .
x
x3
3axy y 3
в точке M 0 (a, a,
a2
1.4. z
x2
1.5. z
arctg
y2
xy в точке M 0 (3, 4,
12 в точке M 0 (1, 2, 2) .
z3
1.7. 3x 4
4 y 3 z 4xyz2
1.9. 4
y2
z2
x
2. К эллипсоиду x 2
параллельную плоскости x
3. К поверхности
y
x2
a2
z в точке M 0 ( 2, 3, 6) .
1 провести касательную плоскость,
2y2
z2
y 2z
0.
xy z 2
параллельную плоскости x
4. К эллипсоиду
4xz3 1 0 в точке M 0 (1, 1, 1) .
16 в точке M 0 ( 2, 1, 2) .
2x z 3
x2
7) .
y
в точке M 0 (1, 1, ) .
4
x
1.6. xy2
1.8. x 2 y 2
a) .
y 2z
y2
b2
xz 1 провести касательную плоскость,
0.
z2
c2
1 провести касательную плоскость,
отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
5. Показать, что поверхности x 2 y ln z 4
0 и x2
xy 8x z 5 0
касаются друг друга (т.е. имеют общую касательную плоскость) в точке
(2, 3,1) .
50
6. Показать, что касательная плоскость к поверхности xyz a 3 в любой ее
точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти
этот объем.
7. Для поверхности z
перпендикулярной прямой
8.
x
Доказать,
y
z
xy написать уравнение касательной плоскости,
x 2
2
что
y 2
2
z 1
.
1
касательные
плоскости
к
поверхности
a , проведенные в любой точке, отсекают на координатных
осях отрезки, сумма которых равна а.
§ 9. Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция z
f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 ) .
Определение 1. Если существует такая окрестность точки M 0 , что для
любой точки M ( x, y ) из этой окрестности, отличной от точки M 0 , выполняется
неравенство
f ( x, y )
f ( x0 , y 0 ) ,
то точка M 0 ( x0 , y 0 ) называется точкой локального максимума (или просто
точкой максимума) функции z
f ( x, y ) .
Определение 2. Если существует такая окрестность точки M 0 , что для
любой точки M ( x, y ) из этой окрестности, отличной от точки M 0 , выполняется
неравенство
f ( x, y )
f ( x0 , y 0 ) ,
то точка M 0 ( x0 , y 0 ) называется точкой локального минимума (или просто
точкой минимума) функции z
f ( x, y ) .
51
Точки минимума и максимума функции z
f ( x, y ) называются точками
экстремума (или точками локального экстремума). Значения функции в этих
точках называются локальными экстремумами функции (минимумом и
максимумом соответственно).
Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер,
так как значение функции в точке M 0 сравнивается с ее значениями в точках,
достаточно близких к точке M 0 .
Теорема
z
1
(необходимые
условия
экстремума).
Если
функция
f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y 0 ) локальный экстремум, то в этой точке ее
частные производные первого порядка равны нулю
f y ( x0 , y 0 )
( f x ( x0 , y 0 )
0
и
0 ) или хотя бы одна из них не существует.
Доказательство. Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 ) является точкой локального
экстремума, например, точкой максимума функции z
f ( x, y )
f ( x, y ) , то есть
f ( x0 , y 0 )
для любой точки M ( x, y ) из некоторой окрестности точки M 0 ( М
пусть функция z
f ( x, y ) имеет в точке M 0 частные производные первого
порядка. Докажем, что
f x ( x0 , y 0 )
0 . Рассмотрим в окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 ) только те точки, для которых y
переменной z
M 0 ). И
y 0 . Поличим функцию одной
f ( x, y 0 ) , для которой в некоторой окрестности точки x 0
выполняется неравенство
f ( x, y 0 )
f ( x0 , y 0 ) .
52
То есть точка x 0 является точкой максимума функции одной переменной
z
f ( x, y 0 ) ,
которая
по
условию
имеет
производную
в
точке
x0 .
Следовательно, в этой точке выполняется необходимое условие экстремума
функции одной переменной, тогда f x ( x0 , y 0 )
получим f y ( x0 , y0 )
0 . Аналогично, положив x
x0 ,
0 . Теорема доказана.
Точки, в которых частные производные первого порядка функции равны
нулю, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых
частные производные не существуют, называются критическими.
Из теоремы 1 следует, что функция может достигать экстремальных
значений только в критических точках.
Таким образом, при нахождении точек возможного экстремума функции
не следует забывать, что точками экстремума непрерывной функции могут
быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют
“острия” поверхности - графика функции).
Так, например, функция
координат
минимум,
равный
z
x2
нулю,
имеет, очевидно, в начале
y2
но
в
этой
точке
функция
не
дифференцируема. График этой функции есть конус с вершиной в начале
координат и осью, совпадающей с осью Oz .
Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и
вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума
могут
быть
стационарные
точки
и
точки,
в
которых
функция
не
дифференцируема.
Аналогично
u
определяется
понятие
экстремума
функции
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) любого числа независимых переменных и устанавливаются
необходимые условия экстремума. А именно: дифференцируемая функция n
переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x1 , x2 ,..., xn ,
при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:
f x ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 , f x ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 ,… f x ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 .
1
2
n
53
Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными. Решив
ее, найдем все точки, подозрительные на экстремум.
Заметим еще раз, что из теоремы 1 следует, что функция может
достигать экстремальных значений только в критических точках.
Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример 1. Рассмотрим функцию z
x2
y 2 . Найдем стационарные точки
этой функции, решив систему уравнений:
zx
0,
zy
0
2 x 0,
2y 0
x 0,
y 0.
Эта функция имеет лишь одну
стационарную
возможного
точку
(точку
экстремума)
(0,0) .
Однако, точка (0,0) не является ее
точкой экстремума, так как f (0, 0)
а
f (0, y )
0
y
f ( x, 0)
0
x
0,
и
0
0 . То есть в любой сколь угодно малой окрестности точки
(0,0) функция принимает как значения большие, чем f (0, 0) , так и значения
меньшие, чем f (0, 0) (см. рисунок). Напомним, что уравнением z
x2
y2
задается поверхность гиперболического параболоида.
Таким образом, пользуясь теоремой 1, можно найти лишь точки
подозрительные на экстремум. Достаточные условия экстремума функции
дает следующая теорема.
Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 ) стационарная точка функции z
f ( x, y ) и пусть
в некоторой ее окрестности существуют непрерывные частные производные
второго порядка.
Введём обозначения:
A
f xх'' ( x0 , y0 ) , B
f xy'' ( x0 , y0 ) , C
54
f yy'' ( x0 , y0 ) ,
AC
B2 .
Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 )
стационарная
f y ( x0 , y 0 )
точка
функции
z
(то
f ( x, y )
есть
f x ( x0 , y 0 )
0
и
0 ) и пусть в некоторой ее окрестности существуют непрерывные
частные производные второго порядка.
1. Если
>0, то функция z
f ( x, y ) в точке М0 имеет экстремум, причём
максимум при А<0 и минимум при А>0.
2. Если
3. Если
<0, то в точке М0 экстремума нет.
=0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный
случай), то есть в этом случае функция в точке возможного экстремума может
иметь экстремум, а может и не иметь.
При
исследовании
функции
двух
переменных
на
экстремум
рекомендуется использовать следующую схему.
1. Найти частные производные первого порядка: z x и z y .
2. Решить систему уравнений
zx
0,
zy
0,
и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка: z xx , z xy , z yy .
4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой
критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о
наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример 2. Найти экстремумы функции z
x3
y 3 6 xy .
Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :
zx
3x 2 6 y , z y
3 y 2 6x .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
3x 2 6 y 0,
x2 2y
или
3 y 2 6x 0
y 2 2x
55
0,
0.
Из первого уравнения системы находим: y
x2
. Подставляя найденное
2
значение y во второе уравнение, получим
x4
4
Откуда x1
0,
x2
Находим
Подставляя
y1
0, y 2
2x
0 , x( x 3 8) 0 .
0 , x 4 8x
2.
значения
значения
соответствующие
y,
x1
0, x 2
в
2
значениям
уравнение
y
x1
x2
,
2
0, x 2
2.
получим:
2.
Таким образом, имеем две критические точки: M 1 (0, 0) и M 2 ( 2, 2) .
3. Находим частные производные второго порядка:
z xx
(3x 2 6 y) x
6x ; z xy
(3x 2
6 y) y
6 ; z yy
(3 y 2
6 x) y
6y .
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой
критической точке. Для точки M 1 (0, 0) имеем:
A
Так как
0, B
z xx (0, 0)
AC B 2
z xy (0, 0)
0 0 ( 6) 2
6, C
z yy (0, 0) 0 .
36 0 , то в точке M 1 экстремума
нет.
В точке M 2 ( 2, 2) :
A
и, следовательно,
z xx (2, 2) 12 , B
AC B 2
z xy (2, 2)
12 12 ( 6) 2
6, C
z yy (2, 2) 12
144 36 108 0 .
Значит, в силу достаточного условия экстремума (теорема 2), в точке M 2
функция имеет минимум, так как в этой точке
0 и A 0.
5. Находим значение функции в точке M 2 :
zmin
z (2, 2) 23 23 6 2 2
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z
8.
( x 2) 2
Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :
56
( y 1) 2 .
2( x 2) , z y
zx
2( y 1) .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
z x'
0,
z 'у
0,
x 2 0,
у 1 0
x
2,
.
у 1.
Функция имеет одну критическую точку М(-2;1).
3. Находим частные производные второго порядка:
''
z xх
4.
C
''
2, z xу
Для
z yy ( 2,1)
0, z 'уу'
точки
2.
AC B 2
2,
имеем
A
z xx ( 2,1)
2 2 02
4
0
M ( 2,1)
2,
и А>0.
B
z xy ( 2,1) 0 ,
Значит,
в
силу
достаточного условия экстремума (теорема 2), в точке M функция имеет
минимум.
5. Находим значение функции в точке M ( 2;1) :
z min
z ( 2,1) ( 2 2) 2
(1 1) 2
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию z
0.
2x 4 5 y 6 .
Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :
10y 5 .
8x 3 , z y
zx
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
z x'
0,
z 'у
0,
8 x 3 0,
10 у 5 0
x
у
0,
.
0.
Функция имеет одну критическую точку M (0, 0) .
3. Находим частные производные второго порядка:
''
z xх
4.
C
''
24 x 2 , z xу
Для
z yy (0,0) 0 ,
0, z 'уу'
точки
AC
50 y 4 .
M (0, 0)
B2
имеем
A
z xx (0,0)
0,
B
z xy (0,0) 0 ,
0 . В этом случае (теорема 2) в точке M (0, 0)
функция может иметь экстремум, а может и не иметь. В данном случае
экстремум в точке M (0, 0) есть, так как f (0, 0)
57
0 и f ( x, y)
2x 4
5y6
0 во
всех остальных точках. То есть в точке M (0, 0) функция z
2x 4
5 y 6 имеет
минимум.
5. Находим значение функции в точке M (0;0) :
z min
z (0, 0)
0.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию z
2x 3 5 y 3 .
Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :
15y 2 .
6x 2 , z y
zx
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
z x'
0,
'
у
0,
z
6 x 2 0,
15 у 2 0
x
у
0,
.
0.
Функция имеет одну критическую точку M (0, 0) .
3. Находим частные производные второго порядка:
''
z xх
4.
C
''
12 x, z xу
Для
0, z 'уу'
точки
z yy (0,0) 0 ,
AC
30 y.
M (0, 0)
B2
имеем
A
z xx (0,0)
0,
B
z xy (0,0) 0 ,
0 . В этом случае (теорема 2) в точке M (0, 0)
функция может иметь экстремум, а может и не иметь. В данном случае
экстремума в точке M (0, 0) нет, так как f (0, 0)
y
0 , и f ( x, y )
0 , если x
0 и y
0 , f ( x, y )
0 , если x
0 и
0 . То есть в любой сколь угодно малой
окрестности точки M (0, 0) функция z
2 x 3 5 y 3 принимает значения как
большие f (0, 0) , так и меньшие f (0, 0) .
Пример 6. Найти кратчайшее расстояние от точки A(1,2,3) до плоскости
2x 2 y
z 9
0.
Решение. Квадрат расстояния от точки A(1,2,3) до произвольной точки
плоскости записывается в виде следующей функции
u ( x 1) 2
( y 2) 2
58
(2 x
2 y 9 3) 2 .
Решение задачи сводится к отысканию минимального значения этой
функции. С этой целью находим частные производные функции u ( x, y ) ,
приравниваем их к нулю и решаем получившуюся систему уравнений:
u
10 x 8 y
x
u
y
50,
10 y
10 x 8 y
10 y 8 x
8 x 52,
50 0,
52 0.
Получим точку предполагаемого экстремума М (7 / 3,10 / 3) . Находим
частные производные второго порядка функции u ( x, y ) , вычисляем их значения
в точке и вычисляем определитель в этой точке
2
2
А
u 7 10
,
x2 3 3
7 10
,
3 3
AC B 2
u 7 10
,
x y 3 3
С
10,
u 7 10
,
x2 3 3
0, А
u ( x, y ) имеет минимум u min
36 .
0, то в точке М (7 / 3,10 / 3) функция
4 . После извлечения корня из полученного
значения определим искомое расстояние d
u min
2.
Упражнения к § 9
1. Исследовать функции на экстремум.
1.1. z
2xy 3x 2
1.3. z
x2
1.5. z
xy(1 x
1.7. z
xy ln( x 2
1.9. z
(x2
1.10. z
8,
2
7 10
,
3 3
Так как
2
u 7 10
,
y2 3 3
В
10,
1.2. z
4( x y) x 2
1.4.. z
x2
4x y
y) .
1.6. z
x3
y 3 3axy .
y2 ) .
1.8. z
x ey
x sin y
2 y 10 .
xy y 2
y 2 )(e
x y 1.
( x2 y2 )
y2.
2x 5 y .
.
1) .
sin x sin y cos( x
y ) , где 0
59
x
3
,0
2
y
3
.
2
2. Исследовать на экстремум функцию z
уравнением z 2
xyz xy2
x3
z ( x, y ) , неявно заданную
0.
3. Убедиться, что функция z
x
2
xy
y
2
a3
x
a3
имеет минимум в
y
2x 2
2 y 2 имеет минимум в
a a
;
.
3
3 33
точке
4. Убедиться, что функция z
точках ( 2; 2 ) и (
2;
x4
4 xy y 4
2) .
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z
x2
y2
x2
x
0, y
y 2 в круге
значения
функции
4.
Найти
6.
z
x2
наибольшее
в
2 xy 4 x 8 y
0 ,. x 1, y
и
наименьшее
прямоугольнике,
ограниченном
2.
7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z
треугольнике, ограниченном прямыми x
Найти
8.
z
e
x2 y 2
9.
z
(2 x 2
z
наибольшее
3 y 2 ) в круге x 2
Найти
Найти
xy
2
x2 y
6
и
y2
наибольшее
0, y
0 ,. x
6.
значения
функции
наименьшее
значения
функции
4.
и
наибольшее
xy2
в области x
8
y
x 2 y (4 x y ) в
наименьшее
y ) в прямоугольнике 0
sin x sin y sin( x
10.
прямыми
и
0, y
x
2
,0
наименьшее
0,
x
3
y
4
y
2
.
значения
функции
1.
11. На плоскости Oxy найти точку, сумма квадратов расстояний которой
от трех прямых x
0, y
0, x
2 y 16
0 была бы наименьшей.
12. Через точку (a, b, c) провести плоскость так, чтобы объем тетраэдра,
отсекаемого ею от координатного трехгранника, был наименьшим.
60
13. Даны три точки A(0, 0,12) , B (0, 0, 4) и C (8, 0, 8) . На плоскости Oxy
найти такую точку D, чтобы сфера, проходящая через точки A, B, C и D, имела
наименьший радиус.
§ 10. Условный экстремум функции
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи,
когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на
всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому
условию.
Пусть z
f ( x, y ) – функция двух переменных, аргументы x и y которой
удовлетворяют условию
( x, y )
0 , называемому уравнением связи.
Определение. Точка M 0 ( x0 , y 0 ) называется точкой условного минимума
(максимума) функции z
f ( x, y ) , если существует такая окрестность точки
M 0 , что для всех точек M ( x, y ) из этой окрестности, отличных от точки M 0 и
удовлетворяющих
f ( x0 , y 0 )
условию
( x, y )
0,
выполняется
f ( x, y ) (соответственно неравенство f ( x0 , y 0 )
неравенство
f ( x, y ) ).
Геометрически задача отыскания условного экстремума сводится к задаче
нахождения экстремальных точек кривой, по которой поверхность z
пересекается с цилиндром
( x, y )
f ( x, y )
0.
То есть, в отличие от обычной точки экстремума значение функции в
точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех
точках некоторой ее окрестности, а только в тех из них, которые лежат на
линии L, задаваемой уравнением связи
( x, y )
0.
Очевидно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного
экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии,
61
проходящей через эту точку. Обратное же утверждение неверно: точка
условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума.
Пример. Графиком функции
z
1
x2
y2
является верхняя
полусфера (см. рис.).
Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует
вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и
В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии
наибольшее значение функции
P
z
1
x2
y2
достигается в точке
1 1
, , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка
2 2
условного экстремума (максимума) функции z
1
x2
y 2 на данной
линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о
каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
При нахождении условного экстремума возможны две ситуации.
1. Уравнение связи
( x, y )
0 можно разрешить относительно одной из
переменных (например, выразить y через x: y
y (x) ). В этом случае задача
отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к
нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют
найденное значение y
y (x) в функцию двух переменных. В результате
получают функцию одной переменной x: z ( x)
будет условным экстремумом функции z
62
f ( x, y ) .
f ( x, y ( x)) . Ее экстремум и
2. В более сложных случаях, когда уравнение связи
( x, y )
0 не
разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного
экстремума используется метод множителей Лагранжа.
В этом случае составляется вспомогательная функция по данной функции
и уравнению связи (так называемая функция Лагранжа)
F ( x, y , )
где
f ( x, y )
( x, y ) ,
- неопределенный множитель (параметр).
Точки возможного экстремума этой функции F ( x, y, ) находятся из
системы уравнений
Fx
0,
fx
x
0,
Fy
0,
fy
y
0,
F
0,
( x, y )
Исключив из этой системы параметр
0.
и решив ее относительно х и у,
получим точки ( x, y ) , которые и являются точками возможного условного
экстремума функции z
f ( x, y ) при уравнении связи
( x, y )
0 . Чтобы
выяснить, будут ли действительно найденные точки точками условного
экстремума функции z
f ( x, y ) , и если будут, то каков характер этого
экстремума, нужны дополнительные исследования. Однако в большинстве
случаев, при решении конкретной задачи непосредственно из геометрических
или физических соображений бывает ясно, является ли найденная точка точкой
условного экстремума или нет.
Пример 1. Найти экстремумы функции z
3x 2 6xy 2 y 2 7 при
условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи y 3x
Решение. Из уравнения связи находим функцию y
ее в функцию z
3x 2
1.
3x 1 и подставляем
7 . Получим функцию одной переменной
6xy 2 y 2
z( x) 3x 2
6 x(3x 1) 2(3x 1) 2
или
z( x) 3x 2
63
6x 5
7
Находим экстремум данной функции:
6 x 6 , 6x 6
z ( x)
0 , x 1.
Таким образом, x 1 – точка, подозрительная на экстремум. Исследуем
эту точку.
z’(х)
-
+
х
1
z(х)
Таким образом, в точке x 1 функция z (x) имеет локальный минимум.
Из уравнения связи находим: y
3 1 1 2 . Следовательно, функция
3x 2
z
6xy 2 y 2
7
в точке M (1, 2) имеет условный минимум:
z(1, 2) 3 12 6 1 2 2 22 7
z min
Покажем
на
примере
этой же
8.
задачи,
как применяется
метод
неопределенных множителей Лагранжа.
Пример 2. Найти экстремумы функции z
аргументы удовлетворяют уравнению связи y 2
x2
xy при условии, что ее
1.
Решение. Уравнение связи запишем в виде y 2
Лагранжа F ( x, y, )
x 2 1 0 . Функция
( x, y ) будет иметь вид:
f ( x, y )
F ( x, y, )
(y2
xy
x 2 1) .
Соответствующая система для определения точек возможного условного
экстремума запишется в виде:
Fx
0,
fx
x
0,
y 2 x
0,
y
2 x,
Fy
0,
fy
y
0,
x 2 y
0,
или x
2 y,
F
0,
( x, y )
y2
0.
x2 1 0
y2
x 2 1 0.
Исключив параметр λ из первых двух уравнений системы, получим .
y2
x2 ,
y2
x2
1.
Откуда x
64
2
,y
2
2
.
2
Таким образом, нашли четыре точки возможного условного экстремума:
M1
2 2
,
, M2
2 2
2
,
2
2
, M3
2
2 2
,
, M4
2 2
2
,
2
2
.
2
Очевидно, что точках М1 и М2 функция имеет условный максимум, а в
точках М3 и М4 функция имеет условный минимум, z max
z min
2
2
,
2
2
z
2
,
2
z
2
2
1
,
2
1
.
2
Можно аналогично искать условный экстремум функции f(x, y, z) при
двух уравнениях связи:
1(x,
y, z) = 0 и
2(x,
y, z) = 0.
Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом, задача
сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает
экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в
точках рассматриваемой линии.
Метод множителей Лагранжа в этом случае применяется следующим
образом: строим вспомогательную функцию
F ( x, y , z ,
где
1
и
2-
1
,
2
)
f ( x, y , z )
1
1
( x, y , z )
2
2
( x, y , z )
новые дополнительные неизвестные, и составляем систему
уравнений для отыскания экстремумов этой функции:
Fx
0,
fx
1
( 1)x
2
(
2 x
)
0,
Fy
0,
fy
1
( 1) y
2
(
2 y
)
0
Fz
0,
fz
1
( 1)z
2
(
2 z
)
0,
0
1
( x, y )
0,
0
2
( x, y )
0.
F
F
1
2
Получили систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z,
1,
2.
Искомыми точками условного экстремума могут быть только те точки,
координаты х, у, z которых являются решением этой системы.
65
Упражнения к § 10
1. Исследовать данные функции на условный экстремум при данных
уравнениях связи.
1.1. z
e xy при y
1.2. z
1
x
1.3. z
a cos 2 x b cos 2 y при y
x
1.4. u
cos x cos y cos z при x
y
1.5. u
x
2.
3x 2 y
1
1
при 2
y
x
y z при
Доказать,
y 3 6x
x 1.
что
1
y2
1
x
1
y
1
.
a2
4
z
.
.
1
1.
z
функция
z
x 3 3xy2 18 y
при
0 , достигает экстремума в точках ( 3; 3) и (
условии,
3;
что
3) .
3. Доказать, что произведение трех неотрицательных чисел, имеющих
заданную сумму, будет наибольшим тогда и только тогда, когда все эти числа
равны друг другу. Справедливо ли это утверждение для n сомножителей?
4. Доказать, что сумма нескольких положительных чисел, имеющих
заданное произведение, является наименьшей тогда и только тогда, когда все
эти числа равны между собой.
5. Найти кратчайшее расстояние между параболой y
x
y 2
6.
x 2 и прямой
0.
В
данный
прямой
круговой
конус
вписать
прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
7. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и тем же
углом при вершине найти наибольшей по площади.
8. Из всех треугольников, вписанных в круг данного радиуса, найти тот,
площадь которого наибольшая.
66
9. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наибольший
по площади.
10. На плоскости 3x 2 z
0 найти точку, сумма квадратов расстояний
которой от точек A(1,1,1) , B (2, 3, 4) была бы наименьшей.
11. На плоскости x
y 2z
которой от плоскостей x 3z
0 найти точку, сумма квадратов расстояний
6 и y 3z
2 была бы наименьшей.
12. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при
данной полной поверхности S максимальный объем.
13. При каких размерах прямоугольного открытого ящика с заданным
объемом V=32 m3 его поверхность будет наименьшей?
14. Нужно построить конический шатер наибольшего объема из данного
количества материала S. Какими должны быть его размеры?
15. Определить наружные размеры котла цилиндрической формы с
заданной толщиной стенок d и емкостью V так, чтобы на его изготовление
пошло наименьшее количество материала.
16. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху прямым
круговым конусом.
а) При данной полной поверхности шатра определить его измерения так,
чтобы объем был наибольшим.
б) При данном объеме шатра определить его измерения так, чтобы его
полная поверхность была наименьшей.
17. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции данной площади.
Как выбрать его размеры, чтобы омываемая
поверхность канала была наименьшей?
l
α
b
67
§ 11. Производная по направлению. Градиент
Производная
по
направлению.
Рассмотрим
функцию
z=f(x;у),
определенную в некоторой окрестности точки М(х, у), и произвольный

единичный вектор l {cos , cos } .
y
Производная

l
y
y
M1
β
y
l
вводится
характеристики
α
для
скорости
изменения функции в точке
M
0
направлению
по
x
x
x
x
М(х, у) в направлении вектора

l.
Проведем через точку М
прямую l так, чтобы одно из направлений на ней совпадало с направлением

x, y
y) .
вектора l . Возьмем на этой направленной прямой точку M 1 ( x
Пусть
( M , M 1 ), если MM 1
l

l,
,
l
( M , M 1 ), если MM 1
то есть
l
( x) 2
( x) 2
( y ) 2 , если MM 1

l,
( y ) 2 , если MM 1
.
l
Определение. Производной функции z=f(x;у) в точке М(х, у) в

направлении вектора l называется предел отношения
z
при
l
l
0 (где
f ( x, y ) ) при условии, что этот предел существует.

Производная функции z=f(x;у) в точке М(х, у) в направлении вектора l
z
f (x
x, y
обозначается
y)
z
( x, y) . То есть
l
68
z
( x, y)
l
lim
l
0
z
.
l
Теорема. Если функция z=f(x;у) дифференцируема в точке М(х, у), то ее
производная
в
точке
М(x;у)
в
направлении
вектора
l
(cos ; cos )
вычисляется по формуле:
z
( x, y)
l
z
( x, y ) cos
x
z
( x, y ) cos .
y
(11.1)
где сos , сos - направляющие косинусы вектора l .
Доказательство. Так как функция z=f(x;у) дифференцируема в точке
М(х, у), то ее приращение в этой точке вдоль прямой l можно записать в виде
z
где
1
и
2
f x ( x, y ) x
f y ( x, y ) y
1
- бесконечно малые функции при
l
0 . Разделим обе части равенства на
y
l
cos . Получим
z
l
( x, y ) x
f x ( x, y) cos
f y ( x, y) cos
1
Переходя в этом равенстве к пределу при
z
( x, y ) cos
x
l
x
2
0, y
0 , то есть при
0 и учтем, что
( x, y) cos
l
( x, y ) y ,
2
x
l
cos ,
( x, y) cos .
0 , получим
z
( x, y ) cos .
y
Теорема доказана.
Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в
направлении соответствующих координатных осей, то производная по
направлению
вектора
l
определяет
направлении вектора l .
69
скорость
изменения
функции
в
Производной
функции
по
направлению можно дать геометрическую
интерпретацию.
Если
через
прямую
l
провести вертикальную плоскость P, то эта
плоскость
пересечет
поверхность,
являющуюся графиком график функции
вдоль
z = f(x,y)
некоторой
пространственной кривой L. Тангенс угла
между плоскостью хОу и касательной к
этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по
направлению l.
Градиент функции. Определение. Градиентом функции f(x,y) в точке
М(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим
частным производным функции в точке М(x,y). Обозначают градиент функции
f(x,y) в точке М(x,y) символом grad f x; y .
Таким образом,
grad f ( x, y)
f x, y
,
x
f x, y
y
.
Возвратимся теперь к формуле (11.1). Ее правую часть можно
рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них - градиент
функции z = f(x,y) в точке M(x,y): grad f ( x, y)
Второй – вектор l
cos ;cos
f x, y
,
x
f x, y
y
.
. Это единичный вектор, составляющий
угол наклона к оси Ох равный , а к оси Оу – угол β.
То есть
f x, y
l
f x, y
cos
x
f x, y
cos
y
gradf ( x, y ) l .
С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем
70
где
grad f ( x, y ) l
grad f x, y
- угол между вектором
grad f x, y
l cos ,
(11.2)
и вектором l , задающим
направление, по которому берется производная. Учитывая, что l
grad f ( x, y ) l
grad f x, y
1 , получим
cos .
Из этого равенства следует, что производная по направлению l от
функции f(x,y) в точке M(x,y) достигает наибольшего значения, если это
направление
l
совпадает
с
направлением
рассматриваемой точке, так как cos
если
градиента
функции
в
1, и равенство достигается только
= 0.
Таким образом, градиент функции f(x,y) в точке M(x,y) характеризует
направление и величину максимальной скорости возрастания функции в
данной
точке.
Кроме
того,
наибольшее
значение
производной
по
направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания
функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.
Пример.
Требуется
найти
производную
функции
z
y
y x
по
направлению, составляющему угол в 60 с осью OX, в точке (1;3).
Решение.
zx
y
( y x)
точке
l
; zy
2
(1;3):
Найдем
x
( y x) 2
grad z 1;3
частные
производные
функции:
Теперь можно определить градиент функции в
3 1
;
.
4 4
Принимая
во
внимание
равенство
1 3
;
, воспользуемся формулой (11.2):
2 2
z (1;3)
l
3
3
8
.
Аналогично определяется производная по направлению для функции трех
переменных u
f ( x, y, z ) , которую можно вычислить по формуле
71
f x, y , z
l
f x, y , z
cos
x
f x, y , z
cos
y
где направление задается вектором l
f x, y , z
cos ,
z
cos ;cos ;cos
.
Выделим свойства градиента функции.
1. Производная
вектора l
z
имеет наибольшее значение, если направление
l
совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее
значение производной равно grad z .
2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту,
равна нулю.
Упражнения к § 11
Найти
1.
z
x2
проекции
на
оси
координат
градиента
функции
2 xy 3 y 1 в точке (1;2).
2. Найти градиент функции в указанной точке.
2.1. z
2.2. z
3.
u
x sin z
4 x2
y 2 , (2;1).
y
arctg , (3;4).
x
Каково
направление
наибольшего
изменения
функции
y cos z в начале координат?
4. Найти точку, в которой градиент функции z
ln x
 16 
1
равен i
j.
y
9
5. Найти точки, в которых модуль градиента функции z
равен 2.
72
(x
2
3
2 2
y )
6. Найти производную функции z
arctgxy в точке (1;1) в направлении
биссектрисы первого координатного угла.
7. Найти производную функции
xy y 3 в точке (1;2) в
3x 4
z
направлении, составляющем с осью Ox угол 60˚.
8. Найти производную функции
x 2 y 2 y 2 1 в точке (3;2) в
z
направлении, идущем от этой точки к началу координат. Возрастает или
убывает функция в этом направлении?
9. Найти производную функции u
xy2
z3
xyz в точке (1;1;2) в
направлении, образующем с осями координат углы соответственно в 60˚, 45˚ и
60˚.
10. Найти производную функции u
xyz в точке (5,1,2) в направлении,
идущем от этой точки к точке (9,4,14).
11. Показать, что производные по любому направлению функции
z
x 3 3x 2
4 xy y 2 в точке
2 4
равны нулю.
;
3 3
12. Найти точки, в которых производные функции z
x2
2 xy y 2 по
любому направлению равны нулю.
13. Найти производную функции
z
ln( x 2
y2 )
в точке (3,4) в
направлении градиента функции.
14.
u
Найти
величину
и
направление
tgx x 3sin y sin 3 y z ctgz в точке
15. Найти производную функции z




направлении вектора r 2i 4 j 4k .
73
градиента
функции
; ; .
4 3 2
ln( x 2
y2
z 2 ) в точке (1,2,1) в
Индивидуальные задания для студентов
Задание 1. Найти область определения указанной функции. Сделать
рисунок.
y2
1. z
x2 .
x
13. z
y x
.
2. z arcsin( x2
y) .
14. z
1
arccos( y
ln(9 x2
y2 ) .
15. z
e
3. z
4. z
xy
x
2
y
2
5. z
3 y2
6. z
y
16. z
.
x2 .
x 2
7. z ln( y 2
18. z
y 2.
ln(4
y2 ) .
10. z
y
y
x 2
11. z ln( y 2
12. z
x
21. z
22. z
y 2.
4 x2 ) .
1
y2
xy .
x2 9
23. z
24. z
.
74
2
4x
y.
y2 ) .
x
16 x 2
2
y2 .
9
25 x 2
ln( y 2 x)
y2
.
2) .
1
20. z
y
9. z sin x3
x2 )
x2
y
.
.
1
y2
19. z ln(9 x2
4 x 8) .
8. z arccos( x
x 2 y 2 16
17. z ln( xy
x
x)
y2 .
x 1.
cos x 4
1
y x 9
y
xy .
81 x 2
y2 .
Задание 2. Найти все частные производные первого порядка следующих
функций.
1. а) z
2. а) z
x4
x y
2
t
4. а) z
5
5. а) z
x 2e
6. а) z
x3
x
7. а) z
2 xy 2
8. а) z
x xy
e ;
y
9. а) z
y2
e
б) z
arctg( y 2
3x 2 y ) .
б) z
sin 3
;
б) z
ctg xy3 .
24 y x 2 x 5 ;
б) z
cos
б) z
e
б) z
ln( x
б) z
ctg
б) z
tg 2 ( x
б) z
arctg
3x
y2
б) z
arcsin( 1 2 x 2 y) .
x2
б) z
ln( xy ln xy) .
б) z
sin
б) z
x3
arcctg 2 .
y
3
y
5y ;
y5
3
y
t3
13. а) z
3
14. а) z
y xy
e ;
x
y 10
x
y
y
24 x y 4
y3
5x
t2
x3
3 yx
;
y
3 yx
x
5
3x
3x 2
y
10. а) z
12. а) z
log 2 ( y 2
t sin 2
2
xy 2
б) z
2y ;
x 3y
;
x y2
3. а) z
11. а) z
y
x
x4 y
5 xy ;
2x ;
;
x
5
y
sin
y
x
3
y 2x5 ;
2
;
ey
x3 ;
2
75
y
.
x3
x
x
y
.
y2
2
x y2
.
x2
x
x
x
x
).
y
y2 ).
.
y3 ) .
x y
.
1 xy
y
.
y
15. а) z
4
x
xy 2
x
y2x
16. а) z
17. а) z
x
3
3
x
18. а) z
t
19. а) z
y3
y
2 xy ;
;
xy
x
ex
y3 ;
б) z
ln( xy 1) .
б) z
cos( y
б) z
tg
t2
23. а) z
x2 y
x
y
24 x 3 y ;
б) z
e
б) z
ln( x 3 y
б) z
cos
б) z
y2
arctg 3 .
x
б) z
tg
б) z
arccos xy3 .
23 y x 2
2x ;
t 3 sin
;
y xy
e ;
x
2
24. а) z
.
log 3 ( x 2
3 yx
;
x
y
22. а) z
y
б) z
x
y3
x5
y
cos 2 ;
y xy
e ;
x
21. а) z
x
t3
3
20. а) z
x3 y ) .
3
x2 y
e
).
.
x
x
x) .
y
.
y
y2
2x
x
.
Задание 3. Вычислить значения частных производных u x , u y и u z данной
функции в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
z
1. u
x
2
ln( x 3
, M 0 (0, 1,1)
13. u
y
, M 0 (1, 2,1) .
2z
14. u
z xy,
15. u
y sin
y
2
2. u
ln x
3. u
(sin x) yz ,
M0
6
,1, 2 .
76
3
y
z ) , M 0 (2,1, 8) .
M 0 (1, 2, 4) .
x
,
z
M 0 (0, 4, 2) .
4. u
ln cos( x 2 y 2
5. u
z ln( x
x2
6. u arcsin
y
7. u
8. u
9. u
16. u
ze
y ) , M 0 (4,1, 4) .
17. u
arctg
z , M 0 (2, 5, 0) .
18. u
M 0 (2, 0, 4) .
19. u
y
,
x
z sin
y
x2
z) , M 0 0, 0,
, M 0 ( 1,1, 0) .
20. u
xz
, M 0 ( 2,1,1) .
y2
21. u
z2
arctg
4
.
( x2 y2 )
2
10. u
ln sin x 2 y
11. u
y
x
z
y
12. u
z e
xy
z
1
, M 0 1, ,
4
2
x
, M 0 (1,1, 2) .
z
, M 0 (0,1,1) .
,
M 0 (0, 0,1) .
yx
, M 0 (1,1, 2) .
z2
x zy,
M 0 (4, 2,1) .
z
, M 0 ( 2,1,1) .
2x
ln y
xz
x y
M 0 (3,1,1) .
,
ln( x y 2 )
2x
. 22. u
y2
z2
xz , M 0 (1, 0,1) .
, M 0 (3, 0,1) .
23. u
arctg( xy2
24. u
sin( x y )
, M0
, , 3 .
z
2 3
z) , M 0 (2,1, 0) .
Задание 4. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала.
1. (1,001) 2
2. 0,97
1
.
0,98
13. (2,009)3 (2,007)2.
(1,03) 2
14.
.
3 0,98
2,02
.
3. ln(0,01 + (0,01) 2 + (1,02) 2 ) .
15. 1,04
4. 1,002 ∙ 2,0032.
16. (2,003)2 (3,004)3.
5. 3,0043 ∙ 0,001.
17.
6. sin 29˚ ∙ tg46°.
18. (1,003)2,07.
77
3
3
0,97 .
(1,02) 2
(0,03) 2 .
7.
3
4
0,97
8. (1,02) 3
9.
(6,03) 2
(1,05) 3 .
19.
(2,03) 2
5e 0, 02 .
(1,97) 3 .
20.
(1,04) 2
ln 1,02 .
21. (1,02)2,001.
(8,04) 2 .
10. (3,001) 2
1,002 .
22. e0,01 (2,01)2.
(0,99)3).
23. arctg
3
3
11. ln((0,09)
3
12. ln ( 4,004
1,02
.
0,95
24. (1,02)3 (0,97)2.
1,006 - 2) .
Задание 5. Найти частные производные первого и второго порядков для
следующих функций.
1. u
x2
.
y 2z
2. u
x 2 sin
3. u
y
z.
y2
.
2z
x
13. u
xe yz .
14. u
ln( x 2
15. u
xyez .
y 2z) .
4. u
x z tg y .
16. u
x yz .
5. u
2x 2 y
.
z x
17. u
ye x .
6. u
xy cos z .
18. u
x ln( y
19. u
x 2 ze y .
20. u
y zx .
21. u
y 2 xez .
22. u
x y
.
ln( z x)
7. u
8. u
9. u
10. u
y2
x z
.
xarctgyz.
x
y
2
2z
.
z sin x cos y .
78
2
z) .
2
x2 z
.
y2
11. u
x
12. u
.
sin zy
2
23. u
ze x y .
24. u
xy z .
Задание 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция данному
уравнению.
1. u
2
u
y
2
, x
x2
x
2. u
ln
x
y
x3
2
2
u
2 xy
x y
u
x
y3 , x
2
y
y2
u
y
y
2
3. u
ln( x
4. u
y
2
2
u
x2
2
( y 1) ) ,
5. u
xy
x
u
x y
y
y
u
x
, x
u
y
2
xy
2
u
x2
2
u
6. u
e , x
7. u
u
sin ( x 2 y) , 4 2
x
8. u
y
2
u
y
2
, x
x
x2
9. u
e
0.
y2
2
2
2
2
y
, 4
y
u
, x
x
x
10. u
x ln
11. u
ln( x 2
y2 ) , y
y
u
y2
u
y
u
x
u
.
0.
y2
2
u
x2
u
y2
2
2
cos( x 2 y )
0.
2u .
2
y
u
u
.
x
(1 y ln x)
y
3( x 3
y2
2
x ,
u
.
u.
x
u
y
0.
79
0.
y3 ) .
12. u
y2
3x
13. u
x y
,
arctg
1 xy
u
x
arcsin( xy) , x 2
xy
2
u
x y
0.
2
u
x2
14. u
ln( x
15. u
2x 3y
u
,
x
x
x2 y2
y
u
y
u
16. u
2x 3y
u
, x
2
2
x
x y
y
u
y
2u .
y
2 x 1) ,
17. u
e
2
18. u
xe , x
19. u
y
arctg ,
x
20 u
arctg
21. u
arcsin
22. u
x2
x
23. u
u
x2
2
2
u
x2
x
x
y
y
u
x
u
y
x
x
u
x
24. u
ln( x
y ),
u
x2
y
2
0.
y
2
2
u
y
u
x
y2 ,
y2
0.
y2
, x
y2
,
y
2
u
u
y
u
y
0.
y
.
y
2y
.
u
2
u
y2
u
0.
2
u
2 xy
x y
x
u
, x
y
x
2 xy
2
2
2
0.
0.
u
sin( x 3 y) , 9 2
x
y
x
u
y2
2
( x 3 y)
y2
2
2
2
u
y
0.
80
u
y2
0.
0.
Задание 7. Вычислить значения частных производных первого порядка
неявно заданной функции z
z ( x, y ) в данной точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
3
1. x
y3
z 3 3xyz 4 , M 0 ( 2,1,1) .
2
2. x
y2
z2
3. 3x 2 y
xy 2 , M 0 ( 1, 0,1) .
z
xz 5 ,
z
4. e
x 2y z 4,
2
5. x
y2
3
6. z
z2
M 0 ( 2,1, 1) .
M 0 (1,1, 0) .
z 4 0 , M 0 (1,1, 1) .
3xyz 3 y 7 , M 0 (1,1,1) .
2
2
7. cos x cos y
8. x cos y
2
9. x
3
3
, M0 , ,
.
2
4 4 4
cos 2 z
y cos z z cos x
y2
2
, M 0 0, ,
2
.
z 2 2 xy 5 , M 0 (0, 2,1) .
2 2
10. 3x y
2 xyz2 2 x 3 z 4 y 3 z 4 , M 0 (2,1, 2) .
2
11. x
2y2
2
12. x
y2
z
13. e
xyz x 1 0 ,
3
14. x
2 y3
2
15. x
2 xy 3 y 2 6 x 2 y z 2 8z 20 0 , M 0 (0, 2, 2) .
2
16. x
y2
z2
2
17. x
y2
z 2 2 xy yz 4x 3 y z 0 , M 0 (1, 1,1) .
2
18. x
y2
z2
19.
x2
2
20. x
y2
z 2 4 x 2 z 2 0 , M 0 (1,1,1) .
z 2 2 xy 2 , M 0 (0,1, 1) .
M 0 ( 2,1, 0) .
z 3 3xyz 2 y 15 0 , M 0 (1, 1, 2) .
y z 3 , M 0 (1, 2, 0) .
z2
2 y 2 3z 2
2 x 4 y 6 z 12 0 , M 0 (0,1, 1) .
3z
3 , M 0 (4, 3,1) .
59 , M 0 (3,1, 4) .
81
2
21. x
y2
3
22. x
z 3 3xyz 27 , M 0 (3,1, 3) .
23. ln z
24.
z 2 2 xy 2 xz 2 yz 17 , M 0 ( 2, 1, 2) .
x 2 y z ln 3 , M 0 (1,1, 3) .
z2
y2
x 2 3x 3 , M 0 (1, 3, 4) .
Задание 8. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
данной поверхности F в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
1. F: z
ln( x 2
y 2 ) , M 0 (1, 0, 0) .
2
2. F: x
y2
2
3. F: x
z2 4y2
4. F: z
z 2 6z 4x 8 0 , M 0 (2,1, 1) .
2 xy , M 0 ( 2,1, 2) .
sin x cos y , M 0
1
, , .
4 4 2
2
5. F: x
y2
z2
2
6. F: x
y2
z 2 6 y 4 x 8 , M 0 ( 1,1, 2) .
7. F: z
xy 3z 7 , M 0 (1, 2,1) .
2x 2 3 y 2
xy 3x 1, M 0 (1, 1, 2) .
2
8. F: x
y2
xz yz 0 , M 0 (0, 2, 2) .
2
9. F: x
y2
z 2 2 yz y 2z 2 , M 0 (1,1,1) .
2
10. F: y
11. F: z
2
12. F: x
13. F: z
z2
2
16. F: 2 x
z , M 0 (1,1,1) .
x 2 2 y 2 4xy 5 y 10 , M 0 ( 7,1, 8) .
2y2
y2
2
14. F: 4 y
15. F: z
x 2 2xz 2x
z2
xz 4 y 13 , M 0 (3,1, 2) .
x 2 2xy 3 y , M 0 (1, 1,1) .
z 2 4 xy xz 3z 9 , M 0 (1, 2,1) .
x2
y 2 4xy 3x 15 , M 0 ( 1, 3, 4) .
y 2 2z 2
xy xz 3 , M 0 (1, 2,1) .
82
x2
17. F: z
2
18. F: x
y 2 2 xy 2 x y , M 0 ( 1, 1, 1) .
y2
z 2 4 x 2 y 14 , M 0 (3,1, 4) .
2x 2 3 y 2 4x 2 y 10 , M 0 ( 1,1, 3) .
19. F: z
2
20. F: x
y2
z2
2
21. F: x
y2
xz yz 3x 11 , M 0 (1, 4, 1) .
x2
22. F: z
2
23. F: x
y 2 3xy x y 2 , M 0 (2,1, 0) .
2y2
x2
24. F: z
xz 4 y 4 , M 0 (1,1, 2) .
z 2 4 xz 8 , M 0 (0, 2, 0) .
y 2 2xy 2 y , M 0 ( 1,1,1) .
Задание 9. Исследовать функцию на экстремум.
1. z
2x 3 6 xy2 30x 24 y .
13. z
x3
2. z
6 xy2
14. z
x 3 8 y 3 6 xy 1.
3. z
x3
xy2 3x 2
15. z
e
4. z
x
3
2
18x 18 y .
16. z
e (5 x 2
5. z
3x 2 6xy y 3 12x 12 y .
17. z
2x3
xy2 5x 2
6. z
x2 y 2 y3
18. z
2x 3
y2
7. z
2x 3 12x 2 y 15 y 3 9x 2 .
8. z
2 y 3 24x 30 y .
6xy 3 y
8x
3
y2 1.
x2 5y2 .
6 xy
9. z
1 3
x y
y
3
10. z
1 2
x
2
11. z
2y x
12. z
x2 y y3
2
2
y
2x
2
3
9y .
3y
2 x2
20. z
1.
(x
x
4
19. z 8x 3
2
2
y3 .
y2 ) .
6 yx 12x .
e (x2
(x2
y2 ) .
21. z
e
8 xy y 3 13x 12 y .
22. z
e
y2
3x 8 y .
23. z
x 3 5xy2 5 y 2
x2 3y 2 3.
24. z
2x 2
83
y2 .
y 3 12 yx 1 .
x
2
y
2
y2 ) .
2 y2
(x2
y) .
y) .
7 x 15 y .
3xy 2 y 3 5x .
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z
f ( x, y ) в замкнутой области D, ограниченной указанными линиями.
1. z
x2
2. z
5x 2 3xy y 2 , D: x
3. z
x2
2xy y 2
4. z
x2
y2
5. z
2x3
6. z
3x 6 y x 2
7. z
x2
2y2
8. z
x2
2 xy 10 , D: y
9. z
1 2
x
2
2xy 4x 8 y , D: x
0, x 1, y
0, x 1, y
4x , D: x
xy2
y 2 , D: x
0, x 1, y
0, y
3x 2
3y 2
11. z
2x 2
3 y 2 1, D: y
12. z
x2
13. z
3x 2
3y 2
x y 1, D: x
14. z
2x 2
2 xy
1 2
y
2
15. z
x2
16. z
x 2 y(4 x y) , D: x
17. z
x3
y 3 3xy , D: x
18. z
x2
2xy y 2
19. z
6 xy 9 x 2 9 y 2
20. z
x2
21. z
4 2x 2
2xy y 2
0, y 1 .
0, y
0.
0.
2x 2 y 2 , D: x
5 2
y
2
0.
2x 2 , y 8 .
10. z
2 xy y 2
0, y
y 3 0, x
4, y
0.
6.
0, x 1, y
4 xy 6 x 1, D: x
x2
3, y
y 1 0, x
xy y 2 , D: x
xy , D: y
2 xy
0, y 1 .
y 1 0, x
2x 2 y 8 , D: x
2.
0, y
9
y 1 0, x
9 2
x , y
4
4 x 1, D: x
4 x , D: y
2 x , D: x
0, x
4x , D: x
0, x
2, x
2, y
0, y
6 x.
2, y
3, y
2 x 2 y , D: x
1 x2 , y
84
y 1 0.
y 1 0.
0, x
4 x 4 y , D: x
y 2 , D: y
0, x
2 x, y
0, y
0.
0.
3, y
5, y
0, y
1, y
0, y
0.
0, y
2.
x 1.
0, x 1, y
2, y
0.
2.
0, y
0, y
x 2.
2.
22. z
5x 2 3xy y 2
23. z
x2
2xy 4x y 2 , D: x
0, y
0, y
x 2
24. z
2x 2 y x 3 y x 2 y 2 , D: x
0, y
0, y
x
4 , D: x
1, x 1, y
1, y 1 .
0.
6.
Пример выполнения индивидуального задания
1
Задание 1. Найти область определения функции z
( y 2 1)( x 1)
.
Сделать рисунок.
Решение. Областью определения этой
функции будет множество точек плоскости
y
xOy , для которых ( y 2 1)( x 1)
0 , что
равносильно системам неравенств
y=1
1
0
-1
-1
x
x
1,
y2
1
или
x
1,
y
1 или y 1
или
x
1,
y2
1
x
, то есть
1,
1
y 1
(см. рис.).
Задание 2. Найти все частные производные первого порядка функции
z
x2
2y2
x.
Решение. Чтобы найти
zx
считаем
y
постоянной величиной и
дифференцируем z как функцию одной переменной x :
z
x
( y const )
2x 1
(частная производная от слагаемого 2y 2 равна 0, так как аргумент у в данном
случае принимают за постоянную).
85
Аналогично, считая x постоянной величиной, находим z y :
4y .
zy
( x const )
Задание 3. Вычислить значения частных производных u x , u y и u z
функции u
x y 2 sin z в точке M 0
Решение.
Тогда u x
1, 1,
Находим
2
1, u y
2
.
y 2 sin z; u y
ux
1, 1,
1, 1,
2 , ux
2
2 x y sin z; u z
1, 1,
Задание 4. Вычислить приближенно
x y 2 cos z .
0.
2
(1,97) 2 с помощью полного
5e 0,06
дифференциала.
Решение. Рассмотрим функцию
приближенное значение этой функции при x
x0
0, y 0
2 . Тогда
x
x
x0
0,06 0
y 2 . Нужно найти
5e x
f ( x, y )
0,06 и y 1,97 . Положим
0,06 ,
y
y
y0
1,97
2
0,03 .
Найдем частные производные функции:
f x ( x, y)
f y ( x, y )
Тогда f x ( x0 ; y0 )
( 5e x
f x (0;2)
( 5e
y2 )y
x
5e x
2
y )x
2 5e
x
2y
2 5e x
5
; f y ( x0 ; y 0 )
6
y
2
,
y
y2
5e x
f y (0, ;2)
y2
.
2
. Применив формулу
3
(4.3), получим
5e 0, 02
(1,97) 2
3
f (0; 2)
f x (0; 2)
5
2
0,06
( 0,03)
6
3
86
x
f y (0; 2)
3,03 .
y
Задание 5. Найти частные производные первого и второго порядков для
функции u
ln( x 2
y z) .
Решение.
u
x
2x
x2 y
2
u
x2
2
u
y
2
2
u
z
2
z
x
u
x
y
u
y
z
u
z
2
u
x y
y
u
x
z
u
x
2
u
x z
u
y
,
2( x 2
y
(x2
(x
2
(x
2
(x2
(x
2
x2
1
y
z
z) 2
1
y
z) 2
x2
u
x
y
u
y
z
,
,
,
2x
,
y z) 2
2
2x
,
y z) 2
u
y z
u
y
z
(x
Задание 6. Проверить, удовлетворяет ли функция u
u x
1
y
2 y 2z 2x 2
,
( x 2 y z) 2
z) 2x 2x
y z) 2
1
y
u
z
,
2
xy
1
y
z) 2
.
y
уравнению
x
xy .
Решение. Найдем частные производные данной функции:
u
x
y
2
1
y
xy
y2 1
y
x
2y
xy
u
,
y
y
x
x
2
x
y2
xy
x( y 2 1)
y
x
2y
2
xy
y
x
.
Подставим найденные производные и функцию в левую часть данного
уравнения:
87
xy
y
x
x
y2 1
2y
y
x
xy
x( y 2 1)
y
2y2
x( y 2 1)
2y
y
x
xy
x( y 2 1)
2y
xy .
Следовательно, данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Задание 7. Вычислить значения частных производных в точке M 0 (0,1, 2)
неявной функции z
Решение.
z ( x, y ) , заданной уравнением z 3
Перепишем
уравнение
в
y2
виде
xz 9 .
z3
y2
xz 9 0
и
воспользуемся формулами (7.3):
Fx ( x, y , z )
z
x
Fz ( x, y , z )
В нашнм случае F ( x, y, z)
z
x
Следовательно
z
(0,1, 2)
x
F y ( x, y , z )
z
y
,
z3
3z 2
x
Fz ( x, y, z )
xz 2 . Тогда
y2
z
.
,
z
y
2y
.
3z 2 x
1 z
,
(0,1, 2)
6 y
1
.
6
Задание 8. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
данной поверхности z
x2
2xy y 2
x 2 y в точке M 0 (1,1,1) .
Решение. 1) Найдем значения частных производных f x и f z в точке
M 0 (1, 2, 1) :
f x ( x, y )
f y ( x, y)
f x (1;1)
2 x 2 y 1,
2x 2 y 2 ,
f y (1;1)
1,
2.
2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
M 0 (1, 2, 1) в уравнение касательной плоскости (8.3) и в уравнение нормали
(8.4), получим уравнение касательной плоскости:
z 1
( x 1) 2( y 1) или x 2 y
88
z
0;
уравнение нормали:
x 1
1
y 1
2
Задание 9. Исследовать функцию z
z 1
.
1
x2
4 x 8 y на экстремум.
xy y 2
Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :
zx
y 4 , zy
2x
x 2y 8 .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
2x
Получим x
0, y
y 4
0,
x 2y 8
0
.
4 . То есть точка M (0, 4) является стационарной.
3. Находим частные производные второго порядка:
z xx
(2 x
y 4) x
2 ; z xy
(2x y 4) y
1 ; z yy
( x 2 y 8) y
2.
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в
найденной стационарной точке. Для точки M (0, 4) имеем:
A
Так как
z xx (0, 4)
2, B
z xy (0, 4) 1, C
z yy (0, 4)
2.
2 2 1 3 0 и A 0 то в точке M (0, 4) функция
AC B 2
имеет минимум.
5. Находим значение функции в точке M (0, 4) :
z min
z (0, 4) 16 32
16 .
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z
x2
2xy 3 y 2
y
ограниченной линиями x
в
0, y
замкнутой
0, x
области,
y 1.
Решение. Область задания функции представляет
y
1 В
собой треугольник, ограниченный координатными
осями и прямой x
А
0
y 1.
89
1
x
1). Найдем стационарные точки функции внутри области задания:
2x 2 y , z y
zx
2x 2 y
0,
2x 6 y 1 0
1 1
,
8 8
Точка
2x 6 y 1,
, x
1
, y
8
1
.
8
не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение
функции в этой точке нас не интересует.
2). Исследуем функцию на границе области.
а) Уравнение отрезка ОА: y
вид: z
x 1 . На этом отрезке функция имеет
0, 0
x 2 . Она принимает наименьшее значение в точке О(0, 0), а наибольшее
– в точке А(1, 0).
б) Уравнение отрезка ОВ: x
вид: z
y . Тогда z
3y 2
точка - M 1 0,
y 1 . На этом отрезке функция имеет
0, 0
0 при y
6 y 1, z
1
. То есть стационарная
6
1
.
6
в) Уравнение отрезка АВ: x
y 1, 0
x 1 . Подставив
y
1 x в
выражение для функции, получим:
x2
z
Тогда z
точка - M 2
(1 x) или z
2 x(1 x) 3(1 x) 2
8x 7 , z
7
7
, y 1
8
8
0 при x
4x 2
7x 2 .
1
. То есть стационарная
8
7 1
, .
8 8
Вычислим значения функции во всех найденных точках О(0, 0), А(1, 0),
M 1 0,
1
7 1
, M2 ,
и в точке В(0, 1):
6
8 8
z (O)
z (0,0)
z(M 1 )
z 0,
0 , z ( A)
1
6
z (1,0) 1 , z ( B)
1
, z(M 2 )
12
90
z
7 1
,
8 8
z (0,1)
17
.
16
2,
Получили, что в данной области функция принимает наименьшее
значение в точке В(0, 1), z min
M2
7 1
, , z max
8 8
z
7 1
,
8 8
z (0,1)
2 , а наибольшее значение в точке
17
.
16
Литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.:
Наука. 1977.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. М.: Высшая школа. 1980.
3.
Ивашев-Мусатов
О.С.
Начала
математического
анализа.
М.:
Физматлит. 2002.
4. Задачник по курсу математического анализа. Часть II / под ред.
Н.Я.Виленкина. М.: Просвещение. 1971.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа.
1982.
6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука.
1977.
7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2 /
под ред. А.П.Рябушко. Минск: Высшая школа. 1991.
8. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа. 2002.
91
Содержание
§ 1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность
функций нескольких переменных.……………………………………3
Упражнения к § 1……..............................................................................10
§ 2. Частные производные первого порядка………………….……….......13
Упражнения к § 2……………………………………………………....17
§ 3. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое
условие дифференцируемости функции двух переменных.
Достаточное условие дифференцируемости функции двух
переменных………………….……………………………………….....21
Упражнения к § 3………………………………………………………26
§ 4. Дифференциал функции двух переменных…………………………27
Упражнения к § 4………………………………………………………29
§ 5. Производные и дифференциал сложной функции.............……….......31
Упражнения к § 5………………………………………………………36
§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.………37
Упражнения к § 6………………………………………………………41
§ 7. Неявные функции и их дифференцирование…...……………………43
Упражнения к § 7..…………....................................................................46
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический
смысл полного дифференциала…………………….…………………48
Упражнения к § 8………………………………………………………50
§ 9. Экстремумы функции двух переменных………………….…………51
Упражнения к § 9.………………………………………………………59
§ 10. Условный экстремум функции..…………………………………….61
Упражнения к § 10.……………………………………………………66
§ 11. Производная по направлению. Градиент.……………………………68
92
Упражнения к § 11………………………………………………............72
Индивидуальные задания для студентов……………………………..74
Пример выполнения индивидуального задания……………………….......85
Литература………………………………………………………………….91
93