Лекция по Оптике на 15 апреля 2

Лекция 15 апреля 2014 года
Угловая дисперсия. Разрешающая способность дифракционной решетки. Критерий
дифракции. Понятие о голографии
Угловая дисперсия дифракционной решетки.
Из рассмотренного на предыдущей лекции следует, что угловая ширина главных
максимумов обратно пропорциональна длине решетки. Положение главных максимумов
зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все
максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого
обращен к центру дифракционной картины, красный- наружу.
Таким образом,
дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то
время как стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная
решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.
Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его
дисперсия и разрешающая сила.
Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние
спектральными линиями, различающимися по длине волны на единицу.
между
двумя
Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн , при которой две
линии воспринимаются в спектре раздельно.
Угловая дисперсия называется величина
D


(5.31)
где -угловое расстояние между спектральными линиями, различающимся по
длине волны на .
Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, продифференцируем
условие для главных максимумов
dsin   m .
Опуская знак минус, получим
d cos m
Отсюда
D

m

.
 d cos 
(5.32)
В пределах небольших углов cos , поэтому можно положить
Dm/d..
(5.33)
Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно
пропорциональна периоду решетки d . Чем выше порядок спектра m , тем больше
дисперсия.
Разрешающая способность дифракционной решетки.
Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину
1
R


,
(5.34)
где - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти
линии воспринимаются раздельно.
Возможность разрешения двух близких спектральных линий зависит не только от
расстояния между ними, но также и от ширины спектрального максимума.
На рис. 5.12
показана результирующая интенсивность (сплошные кривые),
наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов
(штриховые кривые). В случае рис.5.12(а) оба максимума
воспринимаются как один.
В случае рис. 5.12(б) между максимумами лежит
минимум. Два близких максимума воспринимаются глазом
раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке
между ними составляет не более 80 от интенсивности
Рис. 5.12.
максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем,
такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если середина одного
максимума совпадают с краем другого (рис. 5.12(б)). Такое взаимное расположение
максимумов получается при определенном (для данного прибора) значении .
Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положение середины m-го
максимума для длины волны  определяется условием
dsin max  m .
Края m-го максимума для длины волны 
удовлетворяющими соотношению
расположены под углами,
dsin ьшт =(m1/N).
Середина максимума для длины волны  совпадает с краем максимума для
длины волны  в том случае, если
mm
Отсюда
m.
Решив это соотношение относительно , получим выражение для разрешающей
силы
R=mN
(5.35)
Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна
порядку спектра m и числу щелей N.
Дифракция рентгеновских лучей
Дифракционные закономерности, найденные в ранее имеют общий характер. Однако
в ряде случаев явления значительно усложняются благодаря тому, что дифракция имеет
место на более сложных объектах, чем на плоском экране. Дифракционные явления могут
2
возникать на объемных периодических структурах. Сюда в первую очередь следует
отнести дифракцию рентгеновских лучей, которая наблюдается в том случае, если в
качестве дифракционной решетки использовать кристалл. Эти опыты впервые выполнил
в 1912 году Лауэ, доказав тем самым, что рентгеновские лучи представляют собой
электромагнитные волны. Эти волны оказались в тысячи раз короче световых волн.
Поэтому обычные дифракционные решетки здесь неприменимы. Использование в
качестве дифракционных решеток кристаллов, представляющих трехмерную
периодическую структуру, или, как говорят, трехмерную решетку, обеспечило успех
опытов по дифракции рентгеновских лучей.
Падающие на кристалл рентгеновские лучи возбуждают атомы кристаллической
решетки, благодаря чему они становятся источниками вторичных волн, которые
интерферируют между собой подобно вторичным волнам от щелей дифракционной
решетки. Схема дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке,
представленная на рис. 5-13, дает возможность найти необходимые количественные
соотношения для данного случая. Здесь 1, 2, 3, и т.д. слои атомов кристалла, отстоящие
друг от друга на расстоянии d . По другому направлению межатомные расстояния
составляют величину d1 . В третьем измерении эта величина равна d2 . Все явления в целом
можно рассматривать как «отражение» рентгеновских лучей от кристаллических
плоскостей 1, 2, 3, , и т.д. Однако такое отражение возможно только при условии, что
отраженные лучи находятся в фазе друг с другом и интерферируют.
θ
1
А
θ
С θ θD
d
В
2
3
4
d1
5
Рис. 5-13.
Это будет в том случае, если разность хода, ∆ = CB + BD двух соседних лучей равна
целому числу волн (∆ = mλ) .
Как следует из чертежа, СВ = ВD = d·sin θ. Поэтому условием интерференции
отраженных от плоскостей кристалла рентгеновских лучей будет
2d·sin θ = mλ ,
(5-36)
где m = 1, 2, 3, …
Это выражение называется условием Вульфа-Брегга, по имени русского ученого
Вульфа и английского ученого Брегга, установивших это соотношение независимо друг
от друга.
3
Дифракция рентгеновских лучей оказалась мощным средством для изучения
структуры кристаллов, жидкостей, аморфных твердых веществ и многое другое.
Рентгеновский спектральный анализ позволяет быстро и качественно получать сведения о
химическом составе исследуемого объекта.
Критерий дифракции.
Установим количественный критерий, позволяющий определить, какой вид
дифракции будет иметь место в каждом конкретном случае. Найдем разность хода лучей
от краев щели до точки Р (рис.5). Применим теорему косинусов к треугольнику со
сторонами r, r и b:
b


r+
r
l
P
Рис.5.8
(r+) 2 =r 2 +b 2 -2rbcos().
После несложных преобразований получим
2r   2  b 2 + 2rbsin.
(5.21)
Нас интересует случай, когда лучи, идущие от края щели в точку Р, почти
параллельны. При этом условие 2  r, поэтому в уравнении (5.21) можно пренебречь
слагаемым 2. В этом приближении
b2/2r+bsin.
(5.22)
В пределе при r получается значение разности хода  ∞ = bsin, совпадающие с
выражением, фигурирующим в формуле(5.16).
При конечных r характер дифракционной картины будет определяться
соотношением между разностью    ∞ и длиной волны . Т.е.. характер дифракции
зависит от значения безразмерного параметра
𝑏2
(5.23)
𝑙∙𝜆
4
<<1 – дифракция Фраунгофера,
Если
𝑏2
=
𝑙∙𝜆
1 – дифракция Френеля,
>>1 – геометрического оптика.
Параметру (5.23) можно дать наглядное истолкование. Возьмем точку Р, лежащую
против середины щели рис.5.9.
b
l

2
l+m .
P
Рис. 5.9.
Для этой точки число m открываемых щелью зон Френеля определяется
соотношением
(l + m/ 2)2 = l 2 + (b/2)2. Раскрыв скобки и отбросив слагаемое,
пропорциональное 2, получим
m = b2/4l  b2/l
(5.24).
Таким образом, параметр (5.23) непосредственно связан с числом открытых зон
Френеля ( для точки, лежащей против середины щели).
Если щель открывает малую долю центральной зоны Френеля (m<<1),
наблюдается дифракция Фраунгофера. Если щель открывает небольшое число зон
Френеля (m1), на экране получается изображение щели, обрамленное по краям
отчетливо видимыми светлыми и темными полосами. И если щель открывает большое
число зон Френеля (m>>1), на экране получается равномерно освещенное изображение
щели.
Понятие о голографии
Голография набор технологий для точной записи, воспроизведения и
переформирования волновых полей, особый фотографический метод, при котором с
помощью лазера регистрируются, а затем восстанавливаются изображения трехмерных
объектов, в высшей степени похожие на реальные.
5
Голографией называют способ записи и последующего
восстановления структуры световых волн, основанный
на явлениях дифракции и интерференции когерентных
световых пучков. В отличие от обычной фотографии,
голография — это принципиально новый метод
получения объемных изображений предметов.
В этом методе регистрируется не оптическое
изображение
предмета,
а
интерференционная
картина, возникающая при наложении световой
волны, рассеянной предметом, и когерентной с ней
опорной волны. Эта интерференционная картина
фиксирует информацию о распределении не только
амплитуд, но и фаз в предметной волне. Таким
способом можно получить и зарегистрировать на
фотопластинке
значительно
более
полную
информацию об объекте, нежели путем обычного
фотографирования.
Рис.
5.14 Снимки получкенные с
двух ракрусов одной голограммы
Идеи, лежащие в основе голографии, были высказаны и продемонстрированы на опыте
Дэннисом Габором в 1947—48 гг он же ввёл термин голограмма и получил «за
изобретение и развитие голографического принципа» Нобелевскую премию по физике в
1971 году. Для практической реализации голографии необходимы источники света с
высокой степенью временной и пространственной когерентности. Поэтому широкое
распространение она получила после создания лазеров. Суть этого метода (голографии)
можно пояснить с помощью рис. 5.15, а. Фотопластинка Ф регистрирует
интерференционную картину, возникающую при наложении отраженной
предметной волны 1, рассеянной объектом А, и когерентной с ней опорной волны 2.
Волна 2 испускается тем же источником света, который освещает объект Ау и после
отражения от зеркала 3 падает непосредственно на фотопластинку Ф.
Интерференционную картину, зафиксированную на фотопластинке после ее
проявления, называют голограммой. В отличие от обычной фотографии, голограмма
представляет собой мелкий и замысловатый узор из чередующихся областей
различного почернения фотоэмульсии.
Голограмма в закодированной форме содержит полную информацию об
амплитудах и фазах рассеянной предметной волны.
Восстановление (декодирование) изображения предмета показано на рис.
5.15 б. Голограмму Г просвечивают как диапозитив той же опорной волной 2,
которая использовалась для ее получения, причем при той же ориентации
6
голограммы по отношению к опорной волне. Эта световая волна дифрагирует на
голограмме, в результате чего наблюдаются два объемных изображения объекта.
Рис.5.15
Мнимое изображение А' находится в том месте, где был объект А при съемке.
Оно видно сквозь голограмму как через окно. Действительное изображение А”
расположено по другую сторону голограммы. Оно как бы висит в воздухе перед
голограммой и является зеркальным изображением объекта.
Обычно пользуются мнимым изображением А которое по зрительному
восприятию практически тождественно самому объекту.
Чтобы понять принцип голографии, рассмотрим один из простейших объектов
— светящуюся прямую нить А, которая испускает цилиндрическую волну. На рис.
5.15 (для наглядности он сильно деформирован) показана слева стадия записи
голограммы; нить А перепендикулярна плоскости рисунка.
Пусть плоская опорная волна 2 падает нормально на фотопластинку.
Предметная же волна 1, когерентная с опорной, падает на пластинку так, что ее
лучи наклонны (см. рис. 5.15, а). Колебания опорной волны достигают пластинки
все в одной фазе. Колебания же предметной волны — с разными фазами.
Ясно, что вследствие интерференции в тех местах, куда колебания придут в одной
и той же фазе с колебаниями опорной волны, возникнут максимумы интенсивности,
а значит и максимумы почернения. После химической обработки полученная
голограмма будет иметь вид чередующихся светлых и темных прямых полос,
представляющих по существу зонную пластинку Френеля, только с другой формой
зон.
На стадии восстановления изображения голограмму освещают только той же
опорной волной 2 (см. рис. 5.15.б) Голограмма для этой волны играет роль зонной
пластинки в результате дифракции максимально усиливать друг друга будут только
те лучи (колебания), разность хода между которыми от соседних зон равна длине
волны λ. А здесь есть две возможности выполнения этого условия: или в
направлении продолжения лучей падавшей предметной волны, или симметрично
7
относительно нормали. В первом случае мы будем наблюдать мнимое изображение
А’, во втором — действительное А". Наибольший интерес для голографии играет
волна, дающая мнимое изображение предмета.
Отличительной особенностью этой зонной пластинки является то, что ее
пропускательная способность изменяется в направлении, перпендикулярном
интерференционным полосам (зонам) не скачком, а практически по
синусоидальному закону (между соседними максимумами). Это приводит к тому,
что возникающие интерференционные максимумы соответствуют разности хода
между колебаниями от соседних полос (зон) только в одну длину волны λ.
Интенсивность максимумов более высокого порядка практически равна нулю.
Нетрудно заметить, что изменение положения объекта А приводит к изменению
не только интенсивности интерференционных максимумов, но и к изменению
расстоянию между ними. Расстояние же между максимумами характеризует
определенную разность хода, или разность фаз.
Поэтому и говорят, что голограмма содержит информацию об амплитуде
волны и ее фазе. Этого достаточно, чтобы восстановить предметную волну в том
виде, в каком она была в действительности в месте расположения голограммы.
Зафиксированная волна «оживает» с помощью голограммы и создает полную
иллюзию реальности наблюдаемых предметов. Изменяя положение глаза, можно
видеть предмет в разных ракурсах и даже заглядывать за него.
Интерференционная картина в каждой точке голограммы определяется светом,
рассеянным всеми точками объекта. Поэтому каждый участок голограммы
содержит информацию обо всем объекте. Если голограмма случайно разбилась, то
с помощью даже небольшого ее осколка можно восстановить изображение всего
объекта. Отличие будет лишь в том, что уменьшается ее разрешающая
способность — менее четко и ярко будет восстанавливаться изображение. С
точки зрения надежности хранения информации голограмма значительно
превосходит обычный фотонегатив.
Наконец, на одной фотопластинке можно последовательно записать несколько
голограмм от разных объектов, причем изображение каждого объекта можно
восстановить без помех со стороны других изображений. Это можно сделать,
изменяя каждый раз, например, угол падения опорной волны.
В настоящее время голография представляет самостоятельный быстро
развивающийся раздел науки и техники. Трудно даже перечислить области, где она
нашла эффективное использование (включая и акустические голограммы).
8
9