Методы нахождения расстояния от точки до прямой

XII Региональная научно-практическая конференция
«Колмогоровские чтения»
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Агоев Лазарь Арсенович, ученик 10 класса МБОУ «СОШ № 2 ст. Архонская»
Научный руководитель Уймина Татьяна Алексеевна учитель математики
МБОУ «СОШ № 2 ст. Архонская»
Основной целью данной работы является исследование различных
методов решения одной и той же задачи на нахождение расстояния от точки
до прямой. Необходимостью обращения к данной теме послужила
подготовка к сдаче Единого государственного экзамена, а именно
формирование умения решать стереометрическую задачу № 14. Наряду с
широко используемыми в школьном курсе приёмами, рассматриваются
методы, не нашедший распространения в школьной практике.
Представленные методы можно использовать и при решении задач других
типов, предлагаемых на ЕГЭ в части заданий с развёрнутым ответом.
Введение
При решении стереометрической задачи 14 Единого
государственного экзамена на нахождении расстояния от точки до
прямой, необходимо иметь представление о расположении
перпендикуляра от данной точки к данной прямой. Имея такое
представление, подобную задачу можно решить с использованием
вычислительных методов: использование определения и метода
параллельных прямых.
При нахождении расстояний в пространстве поэтапно
вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями,
сопровождающими эти построения. Для этого необходимо иметь хорошее
пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого
вида задач.
Координатный или векторный методы позволяют избежать такого рода
трудностей. В этом случае требуются знания нескольких формул и навыки в
решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи
приходится на вычислительную часть. [2]
Решение задачи на нахождение расстояния от точки до прямой.
З а д а ч а. Дана правильная шестиугольная призма
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 2, а боковые
ребра равны 4. Найдите расстояние от точки A до прямой B1C1. [1]
Р е ш е н и е.
1) Использование определения.
Определение: Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту
точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой
точки на данную прямую. [1]
Т. к. углы оснований тупые, продлим стороны ВС и В1С1, тогда МС1 ||
КС. Проведём МК || ВВ1 и АК ⊥ КС, тогда МК ⊥ МС1 и по ТТП АМ ⊥ МС, т.
е. АМ – искомое расстояние.
Т. к. ∠ СВА = 120о, то ∠ КВА = 60о и ∠ВАК = 30о, значит ВК = 1, АК
. Из прямоугольного треугольника АМК по теореме Пифагора АМ =
=
.
С1
D1
B1
M
E1
A1
F1
C
D
B
E
K
A
F
2) Метод параллельных прямых.
Данный метод связан с утверждением о том, что расстояние от
точки М до прямой а равно расстоянию до прямой а от произвольной
точки Р прямой b, проходящей через точку М и параллельной прямой а.
Метод удобен, если искомый перпендикуляр выходит за пределы
многогранника. В этом случае его можно заменить перпендикуляром,
расположенным внутри многогранника, либо перпендикуляром, длина
которого известна. [1]
АD || BC || B1C1 , поэтому ρ(А; В1С1) = = ρ(AD; В1С1) = В1Н. В
равнобокой трапеции АВ1С1D, В1С1 = 2, АD = 4.
Из ΔАА1В1 по теореме Пифагора АВ1 = DС1 =
=
,
АН =
= 1. Из ΔВ1АН по теореме Пифагора В1Н =
С1
.
D1
B1
E1
A1
F1
C
D
B
E
Н
A
1)
F
Метод координат.
Как уже говорилось, метод координат не требует хорошего
пространственного представления, так как при его использовании
необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты
необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить
соответствующую формулу. Задача о вычислении расстояния от точки
до прямой сводится к нахождению высоты некоторого треугольника.
Поэтому необходимо напомнить учащимся некоторые формулы.
Расстояние между точками А и В можно вычислить по формулам:
в общем случае
=
;
а декартовой прямоугольной системе координат
=
где {р; q; r} — координаты вектора
;
где А(х 1 ; у 1 ; z1), В(х2; у 2 ; z 2 ).
Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить
вычисления.[2]
Расстояние от точки А до прямой В1С1 будет являться высотой
треугольника АВ1С1, но т. к. этот треугольник тупоугольный, то высота,
проведённая из вершины А опустится на продолжение стороны B1C1, т. е.
АМ – искомое расстояние.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке В;
прямая ВС – ось ординат; прямая ВВ1 – ось аппликат. Тогда точки имеют
координаты: А(
– 1, 0), В1(0, 0, 4), С1(0, 2, 4). Стороны треугольника
равны:
АВ1 =
, АС1 =
cos∠АВ1С1 = –
, В1С1 = 2. По теореме косинусов
, т. к. ∠АВ1С1 и ∠АВ1М смежные, то cos∠АВ1М =
,
sin∠АВ1М =
. Из прямоугольного треугольника АМВ1 катет АМ = АВ1 ·
sin∠АВ1М =
·
=
.
С1
D1
B1
M
E1
A1
F1
C
D
B
E
A
F
4) Векторный метод.
Рассмотрим векторный подход к решению задач данного вида. Пусть
дана прямая l с направляющим вектором
точка М вне прямoй l,
, точка А лежит на прямой l,
.
Чтобы найти расстояние от точки М до прямой
l, то есть длину перпендикуляра МР (Р
представим вектор
в виде
=
l),
+
=
+х
· .
Неизвестный коэффициент х находят из условия перпендикулярности
вектора
вектору :
Искомое расстояние выражается следующим образом:
. [1]
Обозначим
многоугольника
= ,
, тогда по правилу
,
+
. Т. К. вектор
перпендикулярен вектору , то их скалярное произведение равно нулю, т. е.
(
)·
= 0, учитывая, что скалярное произведение ·
= 0,
· = 0, получим, что х = 0,5.
. Искомое расстояние равно |
| = 0,5
, раскрыв
скобки и подставив соответствующие значения скалярных произведений и
скалярных квадратов получим, что
С1
| = 0,5
D1
B1
M
E1
A1
F1
C
D
B
A
О т в е т:
E
F
Заключение
Использование данных методов позволяет решать задачи не только на
нахождение расстояния от точки до прямой, но и на нахождение других
расстояний и углов в пространстве. При этом используются некоторые
другие методы и приёмы: метод объёмов, метод площадей, метод подобия и
т. д. Это и будет являться темой моих последующих работ, а так же поможет
подготовиться к сдаче экзамена в лучшей степени.
Литература:
1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников.
Учебно-методическое пособие. – М.: Педагогический университет «Первое
сентября», 2012. – 100 с.
2. Цукарь А. Я. О полезности интерпретации решения задачи // Математика в
школе, 2000, № 7.