Функции многих переменных - Белорусский государственный

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Э КОНОМИЧЕ СК ИЙ ФАК У ЛЬТЕТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
Функции многих переменных
Конспект лекций и практикум
для студентов экономических специальностей
Составил В. С. Мастяница
2013 г.
1
Глава 1. Функции нескольких переменных ................................................................................................................ 3
1.1. Основные понятия ................................................................................................................................................ 3
1.2. Функции двух переменных .................................................................................................................................. 3
1.3. Предел функции двух переменных ...................................................................................................................... 6
1.4. Непрерывность функции двух переменных......................................................................................................... 7
1.5. Дифференцирование функции двух переменных ................................................................................................ 7
1.6. Частные производные высших порядков ........................................................................................................... 11
1.7. Дифференциал функции двух переменных ....................................................................................................... 11
1.8. Дифференциалы высших порядков.................................................................................................................... 12
1.9. Производная по направлению, градиент ........................................................................................................... 14
1.10. Дифференцирование неявной функции ........................................................................................................... 16
1.11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................................................................................ 17
1.12. Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................................ 19
Глава 2. Экстремумы функции двух переменных ........................................................................................................ 22
2.1. Экстремум функции двух переменных .............................................................................................................. 22
2.2 Условный экстремум функции двух переменных .............................................................................................. 27
2.3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области .................................. 30
2.4. Функции многих переменных в экономических задачах .................................................................................. 32
2.5. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................................. 39
Глава 3. Математическая обработка экспериментальных данных .............................................................................. 40
3.1. Постановка задачи.............................................................................................................................................. 40
3.2. Метод наименьших квадратов ........................................................................................................................... 41
3.3. Задачи для самостоятельного решения .............................................................................................................. 43
Ответы ....................................................................................................................................................................... 44
2
Глава 1. Функции нескольких переменных
1.1. Основные понятия
Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы. Приведем несколько
примеров.
1. Для вычисления площади треугольника известна формула Герона
S
p p a p b p c ,
где a, b, c - длины сторон треугольника, а p (a b c) / 2 - полупериметр. Площадь
треугольника зависит от длин его сторон, следовательно, S является функцией трех
аргументов.
2. Квартирная плата зависит от размера площади квартиры, от количества жильцов, от
тарифов на электричество, газ, воду холодную и горячую, значит, величина квартирной платы
есть функция от этих показателей.
3. Предприятие производит n видов продукции в объемах x1 , x2 ,, xn , которые
реализует по фиксированным ценам p1 , p2 ,, pn , следовательно, выручка от продажи равная
Q p1 x1 p 2 x2  p n x n
представляет функцию n аргументов x1 , x2 ,, xn .
x , x , , x n
Пусть имеется n переменных 1 2
и переменная y , которые связаны между
собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1 , x2 ,, xn соответствует
единственное значение переменной y . Тогда говорят, что задана функция y f ( x , x ,, x ) .
1
2
n
Переменные x1 , x2 ,, xn называются аргументами этой функции, а переменная y называется
значением функции y от n переменных.
Как и функции одной переменной, функции многих переменных можно задавать
аналитически, таблично, графически и при помощи некоторого алгоритма.
При аналитическом способе задания функции ее значение определяется формулой от
аргументов функции. Приведенная выше формула Герона площади задана аналитическим
способом.
Табличный способ для задания функций многих переменных применяется весьма часто в
экономике. Кроме того, он иногда необходим в расчетах на ЭВМ.
Графический способ задания функции более чем двух переменных почти не применяется
из-за трудностей изображения графика такой функции.
1.2. Функции двух переменных
В дальнейшем будем рассматривать функции двух переменных. Для функций большего
числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без
всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать, как правило, x и y,
а значение функции z.
Переменная z называется функцией двух переменных, если любой паре чисел ( x; y) из
некоторого множества D поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается
f ( x; y) и называется значением функции z f ( x; y) в точке ( x; y) .
Множество D называется областью определения функции.
3
Поскольку любую пару чисел ( x; y) можно рассматривать как координаты точки M на
плоскости, то вместо z f ( x; y) можно писать z f (M ) . При этом аргументами функции
являются координаты ( x; y) точки M.
Графиком функции двух переменных z f ( x; y) называется множество точек
( x; y; f ( x; y)) трехмерного пространства, где ( x; y) D и представляет собой некоторую
поверхность.
Например, область определения функции
f ( x; y )
16
x2
y2
находится из условия 16 x 2 y 2 0 или x 2 y 2 16 и это круг с центром в начале
координат радиуса 4, а графиком является верхняя половина сферы (рис. 1).
Z
4
4
O
X
4 Y
4
Рис. 1
График функции двух переменных может представлять сложную геометрическую
фигуру. Для лучшего представления графика изучают сечения графика плоскостями,
параллельными координатным плоскостям OXY, OYZ и OXZ.
Рассмотрим сечение графика функции z f ( x; y)
плоскостью z C ,
которая
параллельна координатной плоскости OXY и пересекает ось Z в точке z C . Спроектируем
линию пересечения этой плоскости с поверхностью z f ( x; y) на плоскость OXY и получим
линию уровня функции z
f ( x; y) . Придавая различные значения параметру C, можно получить
множество линий уровня функции. Из определения функции следует, что различные линии
уровня не пересекаются. Следовательно, линия уровня представляет собой множество всех
точек плоскости XOY, для которых выполняется равенство f ( x; y)
4
C (см. рис 2).
Поверхность
z
f ( x, y)
Плоскость
сечения
Z
z
c
O
Y
Линия
уровня
X
Рис. 2
Пример 1. Пусть z x 2 y 2 . Для получения линии уровня этой поверхности необходимо
рассмотреть сечение поверхности плоскостью z C .
Отсюда вытекает уравнение x 2 y 2 C . Если C 0 , то линии уровня есть окружности с
C . Если C 0 , то получаем одну точку O(0;0) .
центром в начале координат и радиуса R
При C 0 уравнение не имеет решения и, следовательно, нет пересечения поверхности с
плоскостью.
Поверхность представляет круговой параболоид (см. рис 3).
Z
O
X
Рис. 3
5
Y
1.3. Предел функции двух переменных
Пусть
- некоторое положительное число.
-окрестностью
точки M 0 ( x0 ; y 0 )
называется множество всех точек M ( x; y) , координаты которых удовлетворяют неравенствам
0
Очевидно, что
2
x x0
y
2
y0
.
-окрестность M 0 ( x0 ; y 0 ) точки представляет собой круг радиуса
с
выколотым центром.
Пусть функция
f ( x; y) определена в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 ; y0 ) за
z
исключением, быть может, самой точки. Число А называется пределом функции z
если для любого
0
существует положительное
такое, что для всех M ( x; y)
f ( x; y) ,
M 0 ( x0 ; y0 )
и удовлетворяющих неравенству
2
x x0
y
y0
2
выполняется неравенство
.
f ( x; y) f ( x0 ; y 0 )
Обозначается предел следующим образом:
lim f M
A или lim f ( x; y)
M
M0
x
x0
y
y0
A.
Из определения предела следует, что если предел существует, то он не зависит от пути,
по которому точка M ( x; y) приближается к точке M 0 ( x0 ; y0 ) . В случае функции одной
переменной таких направлений два: слева и справа, а в случае функции двух переменных таких
направлений бесконечно много.
sin xy
Пример 2. Вычислить lim
.
x
1
y
y
Функция z
0
sin xy
не определена в точке M ( 1;0) .
y
Вычислим предел, имея в виду первый замечательный предел lim
t
lim
2
Пример 3. Вычислить lim
x
0
y
0
x
x y
2
4
y4
x
1
y
0
sin xy
y
lim
x
1
y
0
sin xy
x
xy
0
sin t
t
1:
1.
.
Вычислим предел, задав направление приближения к точке (0;0) по прямым y
2
lim
x
0
y
0
x y
x
4
2
y
2
4
lim
x
0
2
x (kx)
x 4 (kx) 4
k
kx .
2
1 k4
.
Значение предела зависит от углового коэффициента k прямой, по которой происходит
приближение к точке (0;0). Следовательно, данный предел не существует.
6
1.4. Непрерывность функции двух переменных
Функция z f ( x; y) называется непрерывной в точке M 0 ( x0 ; y0 ) , если
M
lim
M0
f M
f M0
.
Это определение фактически повторяет определение непрерывности в точке для функции одной
переменной.
Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в области.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва. Точки
разрыва функции двух переменных могут составлять линии разрыва. Например, функция
1
x и y x.
имеет две линии разрыва y
z
2
2
x y
Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что график непрерывной функции
представляет нерасслаивающуюся поверхность.
Используя определение непрерывности функции и теоремы о пределах можно доказать,
что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции
приводит к непрерывной функции.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию
ln(1 xy)
, x 0, y 0,
f ( x; y)
,.
xy
1, x 0, y 0
ln(1 xy)
1 , то функция
Функция определена в окрестности точки (0;0) и так как lim
x 0
xy
y
0
непрерывна в точке (0;0).
1.5. Дифференцирование функции двух переменных
Пусть задана функция z f ( x; y) , определенная в некоторой области D. Возьмем
некоторую точку из этой области. Дадим переменной x приращение x , оставляя переменную
y неизменной. Тогда функция получит приращение
f (x
x; y) f ( x; y ) ,
xz
которое называется частным приращением функции z f ( x; y) по x , так как оно вызвано
изменением значения лишь одной переменной.
Если существует предел
z
f (x
x; y ) f ( x; y )
lim x
lim
,
x 0
x 0
x
x
то он называется частной производной функции z f ( x; y) в точке M ( x; y) по переменной x .
Обозначаются частные производные по переменной x следующим образом:
z ( x; y )
z ( x; y )
z x ( x; y ),
, f x ( x; y ),
.
x
x
Частные производные функции z f ( x; y) по переменной x в точке M 0 ( x 0 ; y0 ) :
z ( x0 ; y0 )
z ( x0 ; y0 )
z x ( x0 ; y0 ),
, f x ( x0 ; y0 ),
.
x
x
Подобным образом определяются частное приращение и частная производная функции
z f ( x; y) по y :
f ( x; y
y ) f ( x; y ) ,
yz
7
lim
y
z
lim
f ( x; y
y)
y
f ( x; y )
,
y 0
y
z ( x; y)
z ( x; y)
z ( x0 ; y0 )
z ( x0 ; y0 )
, z y ( x0 ; y0 ),
.
z y ( x; y),
, f y ( x; y),
, f y ( x0 ; y0 ),
y
y
y
y
Если частные производные функции z f ( x; y) существуют а точка, в которой
y
0
вычисляются частные производные несущественна, то применяют краткие обозначениями:
zx ;z y ; f x ; f y ;
f
f
.
;
x y
При нахождении частных производных необходимо применять правила
дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную постоянной.
Пример 5. Найти частные производные функции z
z
x
2 xy
1
2 x
x2 y
;
z
y
x.
x2 .
Пример 6. Вычислить частные производные функции z 3x 2 2 xy y 2 2 x y 2 в точке
M (1; 1) .
Найдем сначала частные производные. Пусть переменная y постоянна, тогда
z x ( x; y ) 6 x 2 y 2 .
Считая переменную x постоянной, получаем
z y ( x; y ) 2 x 2 y 1 .
Вычислим значения частных производных в точке:
z x (1; 1) 6 2 2 6 и z y (1; 1) 2 2 1 5 .
Геометрический смысл частных производных
Графиком функции z
f ( x; y) является поверхность (рис. 4).
8
11
Z
Поверхность
z=f(x;y)
12
O
y0
Y
β
x0
M(x0;y0)
X
α
и
Рис. 4
График функции z f ( x; y0 ) есть линия пересечения этой поверхности и плоскости y y0 . Из
геометрического смысла производной для функции одной переменной вытекает, что
f x ( x0 ; y0 ) tg , где
угол между осью OX и касательной к графику z f ( x; y0 ) в точке
M 0 ( x 0 ; y0 ; f ( x 0 ; y0 )) . Аналогично, f y ( x0 ; y0 ) tg , где
угол между осью OY и касательной
к графику z f ( x0 ; y ) в точке M 0 ( x 0 ; y0 ; f ( x 0 ; y0 )) .
Экономический смысл частных производных
Рассмотрим в качестве примера производственную функцию Кобба-Дугласа
z AK L ,
где A, ,
— неотрицательные константы и
1;
К — объем производственных фондов в стоимостном выражении или в натуральном
количестве, например, количество станков;
L — объем трудовых ресурсов, например, количество рабочих мест;
z — объем выпускаемой продукции в стоимостном выражении.
z
Величина l
называется средней производительностью труда (количество продукции,
L
произведенное одним рабочим).
z
Величина k
- средняя фондоотдача (количество продукции, приходящееся на одну
K
единицу производственных фондов).
K
Величину f
называют средней фондовооруженностью (стоимость производственных
L
фондов, приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов.
При фиксированном объеме фондов K и количестве рабочих L имеем объем продукции
z AK L
z ( K ; L) . Если нанять еще одного рабочего, то приращение объема выпускаемой
равно
z z( K ; L 1) z( K ; L) .
9
Это частное приращение функции z( K ; L) по трудовым ресурсам, следовательно,
z zL ( K ; L) L zL ( K ; L), ( L 1 ).
Значит, частная производная от производственной функции по объему трудовых ресурсов
приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведѐнной одним дополнительным
AK L 1 называется предельной производительностью
рабочим. Частная производная z L'
труда.
Если увеличить фонды на единицу (купить дополнительно один станок), то добавочная
стоимость продукции, произведенной на нем, приближенно равна частной производной от
производственной функции по
производственным фондам. Эта частная производная
'
1
zK
K L называется предельной фондоотдачей.
И предельная производительность труда, и предельная фондоотдача — абсолютные
величины. В экономике рассматриваются и относительные величины. Например, при изучении
следующих задач. На сколько процентов изменится объем выпускаемой продукции, если
количество рабочих увеличится на 1%, или, если фонды возрастут на 1%? Для решения таких
задач применяют эластичность функции.
Найдем эластичность объема выпускаемой продукции по фондам:
K
K
.
EK ( z )
z K ( K ; L)
A K 1L
z ( K ; L)
AK L
Следовательно, параметр
- эластичность производственной функции по фондам, он
показывает, на сколько процентов увеличится объем выпускаемой продукции, если
производственные фонды увеличить на 1%.
Аналогично параметр
— это эластичность объема выпускаемой продукции по трудовым
ресурсам
K
K
EL ( z )
z L ( K ; L)
A K L 1
.
z ( K ; L)
AK L
Пример 7. На предприятии работает 1000 человек, каждый из них за месяц производит
продукции на 1 млн. руб. Производственные фонды оцениваются в 10 млрд. руб. Чтобы
увеличить объем выпускаемой продукции на 3%, необходимо увеличить производственные
фонды на 6% или количество рабочих на 9%. Составить производственную функцию КоббаДугласа для этого предприятия и вычислить величину средней фондоотдачи.
Для производственной функции Кобба-Дугласа z AK L необходимо определить
значения параметров A, , .
Из условий задачи следует, если увеличить производственные фонды на 1%, то объем
выпускаемой продукции увеличится на 0,5 %. Значит, эластичность выпуска по производствен1 2 . Аналогично, эластичность выпуска по трудовым ресурсам
1 3.
ным фондам
Следовательно, функция Кобба-Дугласа имеет вид:
z AK 1 / 2 L1 / 3 .
Для определения параметра A, подставим исходные данные и значения параметров ,
в
производственную функцию:
1000 10 6 A(1010 )1 2 (1000 )1 3 .
Отсюда A 1000 и функция Кобба-Дугласа имеет вид:
z
Средняя фондоотдача равна k
z
K
1000 K 1 / 2 L1 / 3 .
1000 10 6
1010
10
0,1 .
1.6. Частные производные высших порядков
Пусть функция z f ( x; y) дифференцируема на некоторой области. Частные
производные z x ( x; y ) и z y ( x; y ) называются частными производными первого порядка.
Частные производные первого порядка, как функции двух переменных, можно
дифференцировать по x и по y :
z x ( x; y )
x
z xx ( x; y )
z x ( x; y )
y
z xy ( x; y )
z y ( x; y )
x
z yx ( x; y )
2
z ( x; y )
,
x2
2
z ( x; y )
,
x y
2
z ( x; y )
,
y x
2
z ( x; y )
.
y2
Эти производные называются частными производными второго порядка. Частные
производные z xy ( x; y ) и z yx ( x; y ) , отличающиеся порядком дифференцирования, называются
смешанными производными.
3
2
2
4
Пример 8. Найти частные производные второго порядка функции z x x y xy y .
z y ( x; y )
z yy ( x; y )
y
Найдем сначала частные производные первого порядка:
zx 3x2 2 xy y 2 , z y x2 2xy 4 y3 .
Отсюда
3x 2
z xx
x2
z yx
y2
2 xy
2 xy 4 y 3
x
x
6 x 2 y, z xy
2 x 2 y, z yy
3x 2
x2
2 xy
y2
2 xy 4 y 3
y
2 x 2 y,
2 x 12 y 2 .
y
В этом примере z xy z yx . В общем случае смешанные производные зависят от порядка
дифференцирования.
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные
производные одного порядка, отличающиеся только последовательностью дифференцирования,
равны между собой.
1.7. Дифференциал функции двух переменных
Рассмотрим функцию z
f ( x; y) , имеющую в точке M ( x; y) частные производные
f x ( x; y ) и f y ( x; y ) . Перейдѐм от точки M ( x; y) к точке N ( x
x и y в точке M произвольные приращения
y) , придавая переменным
x; y
x и y соответственно. При этом функция в
точке M получит полное приращение
f ( x; y)
f (N )
f (M )
f (x
x; y
y)
f ( x; y) .
Если полное приращение функции можно представить в виде
f ( x; y)
где
x; y
0,
x; y
A
x B
0
y
при
( x, y)
x
дифференцируемой в точке M ( x; y) .
11
0, y
x
( x, y)
0,
то
y,
функция
(1)
называется
Главная часть приращения функции z
f ( x; y) , линейная относительно x и у,
называется полным дифференциалом функции в точке M ( x; y) , и обозначается df ( x; y) и
справедлива формула
df ( x; y )
где
z
f x ( x; y )dx
и
d x f ( x; y )
f x ( x; y )dx
f y ( x; y )dy
f y ( x; y )dy ,
- частные дифференциалы функции
d y f ( x; y )
f ( x; y) .
Пример 8. Найти полный дифференциал функции z
x2 y
Найдем частные производные функции:
z x ( x; y ) 2 xy 2 y 2 z y ( x; y)
,
Вычислим частные производные в точке M (1;1) :
4 z y (1;1)
,
z x (1;1)
2 xy2
x2
6
2 в точке M (1;1) .
y
4 xy 1
.
.
Полный дифференциал точке M (1;1) равен dz 4dx 6dy .
f ( x; y ) 0 . Это значит, что функция
Из формулы (1) также следует, что lim
x
0, y
0
z f ( x; y) непрерывна в точке M ( x; y) . Следовательно, дифференцируемая в точке функция
непрерывна в этой точке.
Существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция
дифференцируема в этой точке. Справедливо утверждение, что если обе частные производные
функции в точке непрерывны, то функция дифференцируема в этой точке.
При малых значениях
f (x
x и
y
из (1) можно получить приближенную формулу
x; y
y)
f ( x; y )
f x ( x; y ) x
f y ( x; y ) y ,
которую применяют для приближенных вычислений значений функции двух переменных.
1.8. Дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал функции
z
f ( x; y)
называют дифференциалом первого
порядка.
Пусть функция z
f ( x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка.
Дифференциал второго порядка определяется как дифференциал от дифференциала первого
порядка, т.е. d 2 z
d (dz) . Найдем выражение для дифференциала второго порядка:
2
d z
2
z
Учитывая, что
y x
d
z
dx
x
z
dy
y
z
dx
x
z
dy
y
2
z
2
x
2
dx
'
dx
x
z
dy
y x
2
z
, получим
x y
12
z
dx
x
2
dx
z
dx
x y
'
z
dy
y
2
dy
y
z
y2
dy
dy.
2
2
z
z
dxdy
dy .
2
x y
x
y2
Символически дифференциал второго порядка записывается следующим образом:
d 2z
z
2
dx 2
2
z
z
d z
dx
dy
z.
x
y
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:
2
3
d z
z
dx
x
2
d (d z )
z
dy
y
3
z,
где
3
3
z
z
dx
dy
dx 3
x
y
x3
Дифференциал n го порядка:
2
3
x
2
2
dx 2
y
dy 3
x
dx
y
2
3
dy
z
y3
dy 3 .
n
z
z
d z d (d z )
dx
dy z ,
x
y
Полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z
являются независимыми.
n
n 1
Пример 9. Вычислить дифференциал второго порядка для функции
z x 2 y 4 2x 3 y .
Вычислим частные производные первого порядка:
z
z
2 xy 4 2,
4x 2 y 3 3 .
x
y
Вычислим частные производные второго порядка:
2
2
2
z
z
z
4
3
2
y
,
8
xy
,
12 x 2 y 2 .
2
2
x
xdy
y
2
4
2
3
2 2
2
Следовательно, d z 2 y dx 16 xy dxdy 12 x y dy .
13
f ( x; y)
1.9. Производная по направлению, градиент
Для функции двух переменных нельзя ввести понятия монотонности (возрастания или
убывания). Рассмотрим функцию z
f ( x; y) , график которой изображен на рис. 5.
Z
z(l2)
z(M0)
z(l1)
O
M0(x0;y0)
X
l2
Y
l1
Рис. 5
В области определения зададим два луча l1 и l2 , выходящие из точки
М 0 ( х 0 ; у0 ) . Из рисунка видно, что функция убывает в направлении l1 и возрастает в
направлении l2 .
При исследовании функции в некоторой точке находят направления, по которым
функция убывает или возрастает и скорость изменения функции по этим направлениям. В связи
с этим вводится понятие производной по направлению.
Пусть функция z f ( x; y) определена в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 ; y0 ) и
(cos ; cos ) - единичный вектор. Определим прямую, проходящую через точку M 0 ( x0 ; y0 )
по направлению вектора l :
x x0 t cos , y y0 t cos
, t R.
x x0
t cos , y1 y0
t cos
На прямой выберем точку M 1 ( x1 ; y1 ) с координатами 1
.
Вычислим приращение функции
z z ( M1 ) z ( M 0 ) f ( x0
t cos ; y0
t cos ) f ( x0 ; y0 )
.
Предел отношения
z
f ( x0
t cos ; y0
t cos ) f ( x0 ; y0 )
lim
lim
t 0 t
t 0
t
,
z
если он существует, называется производной по направлению и обозначается
или zl .
l
Производная по направлению zl определяет скорость изменения функции по
направлению l .
Частные производные z x ( x; y ) и z y ( x; y ) это производные по направлениям,
l
параллельным координатным осям OX и OY соответственно.
14
Вычисляют производную по направлению по формуле:
z ( x0 ; y 0 )
l
z ( x0 ; y 0 )
cos
x
z ( x0 ; y 0 )
cos .
y
Градиентом функции z
f ( x; y) называется вектор
z ( x; y ) z ( x; y )
grad z ( x; y )
;
.
x
y
Теперь производную по направлению можно вычислить как скалярное произведение
градиента и единичного вектора, задающего направление:
z ( x0 ; y 0 )
z ( x0 ; y0 )
z ( x0 ; y0 )
grad z ( x0 ; y0 ), l
cos
cos .
l
x
y
Пусть
- угол между векторами grad z ( x0 ; y0 ) и l , тогда
z ( x0 ; y 0 )
grad z( x0 ; y0 ) cos .
l
Из этой формулы следует, что производная по направлению от функции z
f ( x; y) в
точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) принимает наибольшее значение, если это направление совпадает с
градиентом.
Иначе говоря, градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего
возрастания функции в этой точке. Кроме того, наибольшее значение производной по
направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно
длине вектора-градиента функции в этой точке. Если вектор grad z ( x0 ; y0 ) задает направление и
величину роста функции в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) , то вектор
grad z ( x0 ; y0 ) - направление и
величину наибольшего убывания.
Пример 10. Для функции z x 2 xy 7 вычислить производную в точке M 0 (1; 1) по
направлению к точке M 1 (4;3) . Найти направление наибольшего роста функции в точке
M 0 (1; 1) .
Вычислим частные производные первого порядка:
z
z
2 x y,
x.
x
y
Найдем вектор M 0 M1 и его направляющие косинусы:
M 0 M1
(3;4) , M 0 M1
32
42
25
5, cos
3 5, cos
4 5.
Производная функции по направлению M 0 M1 в произвольной точке равна
z ( x; y )
3
4
(2 x у )
x
l
5
5
и
z (1; 1) 3 4
1
.
l
5 5
5
Найдем градиент функции: grad z( x; y) 2 x y; x , grad z (1; 1) 1;1 .
Производная по направлению градиента:
15
z (1; 1)
grad z (1; 1)
1 1
2.
l
Теорема. Пусть градиент функции z f ( x; y) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) не равен нулю. Тогда
градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
Доказательство. Линия уровня определяется уравнением f ( x; y) С , где константа
C находится из равенства f ( x0 ; y0 ) C . Пусть это уравнение можно разрешить относительно
y , т.е. на линии уровня справедливо равенство y g (x) .
Вектор касательной к линии уровня имеет координаты k
(1; g ( x )) . Умножим этот
вектор на dx , получим вектор kdx (dx; g ( x)dx) (dx; dy) , касающийся линии уровня.
На линии уровня f ( x; y) С , следовательно, df 0 или
z x dx z y dy 0 .
Левая часть этого равенства – скалярное произведение градиента z x ; z y и касательного
вектора к линии уровня (dx; dy) . Значит, эти векторы перпендикулярны.
Пример 11. Показать, что градиент функции z 2 x 2 5 xy 3x 2 y 1 в точке M (1;2)
ортогонален к линии уровня, проходящей через эту точку.
Линия уровня определяется из уравнения z(1;2) С , т.е. C 14 и
2 x 2 5 xy 3x 2 y 1 14 .
Разрешим это уравнение относительно y :
13 3x 2 x 2
.
y
5x 2
Вычислим производную y x в точке M (1;2) :
yx
59 8 x 10 x 2
и y x (1)
(5 x 2) 2
11
.
7
Вектор касательной равен k (1; 11 7) .
Найдем градиент функции в заданной точке:
grad z ( x; y) 4 x 5 y 3;5x 2 и grad z (1;2)
Векторы k
(1; 11 7) и grad z (1;2)
11;7 .
11;7 , легко проверить, ортогональны.
1.10. Дифференцирование неявной функции
Функция z
f ( x; y) называется неявной, если она задана уравнением F ( x; y; z) 0 .
Если это уравнение неразрешимо относительно переменной z , то для вычисления частных
производных z x ( x; y ) и z y ( x; y ) поступают следующим образом.
В уравнение F ( x; y; z) 0 вместо z подставляют z
f ( x; y) и получается тождество:
F ( x; y; f ( x; y)) 0 ,
где функция зависит от двух переменных.
Частные производные функции, тождественно равной нулю, тоже равны нулю. Считая
y постоянной, находят частную производную по x :
Fx ( x; y; f ( x; y ))
Отсюда, если Fz
0,
16
Fx
Fz z x
0.
Fx
.
Fz
Подобным образом, приняв переменную x постоянной, из уравнения
Fy ( x; y; f ( x; y )) Fy Fz z y 0
получают
Fy
, Fz 0 .
zy
Fz
Пример 12. Найти частные производные неявной функции xy z cos z 0 в точке M (1; 1) .
Так как F ( x; y; z) xy z cos z , то Fx y, Fy x, Fz 1 sin( z ) . Отсюда
zx
Fx
y
Fx
x
и zy
.
Fz sin z 1
Fz sin z 1
1 из уравнения xy z cos z 0 получаем z 0 и поэтому
1
1
z x (M )
1 , z y (M )
1.
sin 0 1
sin 0 1
zx
При x 1 и y
1.11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением z f ( x; y) , где функция дифференцируема в
некоторой точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) (см. рис. 6).
Поверхность
z=f(x;y)
11
Z
l1
N0
Y
P
O
x= x0
X
A(a;b)-точка минимума
M0
Касательная плоскость к
поверхности z=f(x;y)
Рис. 6
Построим сечения поверхности плоскостями x x0 и y y0 . Подставив x x0 в
уравнение z f ( x; y) , получим уравнение линии z z1( y) , по которой плоскость x x0
рассекает поверхность.
17
Функция z f ( x; y) дифференцируема в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) , значит, и функция z z1( y)
дифференцируема при y y0 . Поэтому в плоскости x x0 к линии z z1( y) в точке y y0
можно провести касательную l1 :
z z 0 f y ( x 0 ; y0 )( y y0 ), x x0 .
Подобным образом можно получить уравнение z z 2 ( x) линии пересечения
поверхности плоскостью y y0 и построить касательную l2 к линии пересечения:
z z 0 f x ( x 0 ; y0 )( x x0 ), y y0 .
Прямые l1 и l2 определяют единственную плоскость, которая называется касательной
плоскостью к поверхности.
Плоскость P проходит через точку N 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , где z0 f ( x 0 ; y0 ) , поэтому еѐ
уравнение можно записать в виде
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 ,
коэффициенты A, B и C необходимо определить.
Пусть C 0 , тогда
A
B
z z0
( x x0 )
( y y0 ) .
С
С
Касательная l1 лежит в плоскости P, значит, координаты любой еѐ точки удовлетворяют
уравнению плоскости. Это условие запишем в виде системы уравнений:
A
B
z z0
( x x0 )
( y y0 ),
С
С
z z 0 f y ( x 0 ; y0 )( y y0 ),
x
x0 .
B
f y ( x 0 ; y0 ) .
С
Далее, учитывая, что прямая l2 также лежит в плоскости P, из системы уравнений
Отсюда находим
z
A
B
( x x0 )
( y y0 ),
С
С
z z 0 f x ( x 0 ; y0 )( x x0 ),
z0
y
y0
A
f x ( x 0 ; y0 ) .
С
Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности z
M 0 ( x 0 ; y 0 ) имеет вид:
z z 0 f x ( x 0 ; y0 )( x x0 ) f y ( x 0 ; y0 )( y y0 ) .
получаем
f ( x; y) в точке
Если поверхность задана уравнением F ( x; y; z) 0 , то частные производные найдем как
производные неявной функции
Fy ( x0 ; y0 ; z0 )
Fx ( x0 ; y0 ; z0 )
и f y ( x0 ; y0 )
.
Fz ( x0 ; y0 ; z0 )
Fz ( x0 ; y0 ; z0 )
Уравнение касательной плоскости к поверхности F ( x; y; z) 0 в точке N 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) имеет вид:
Fx ( x0 ; y0 ; z0 )( x x0 ) Fy ( x0 ; y0 ; z0 )( y y0 ) Fz ( x0 ; y0 ; z0 )( z z0 ) 0 .
f x ( x0 ; y0 )
18
Прямая, проходящая через точку M 0 ( x 0 ; y 0 ) и перпендикулярная к касательной
плоскости поверхности z f ( x; y) , называется нормалью.
Каноническое уравнение нормали:
x x0
y y0
z z0
.
f x ( x 0 ; y0 ) f y ( x 0 ; y0 )
1
Если поверхность задана уравнением F ( x; y; z) 0 , то уравнение нормали имеет вид:
x x0
y y0
z z0
.
Fx ( x 0 ; y0 ; z0 ) Fy ( x 0 ; y0 ; z0 ) Fz ( x 0 ; y0 ; z0 )
Пример 13. Написать, уравнение касательной плоскости к поверхности z x 2 y 2 в точке
M (1; 1) .
Вычислим частные производные функции в заданной точке:
2.
z x 2 x , z x (M ) 2 и z y 2 y , z y (M )
Так как при x 1 и y
1 z 2 , то уравнение касательной плоскости имеет вид:
z 2 2( x 1) 2( y 1) или 2x 2 y z 2 0 .
1.12. Задачи для самостоятельного решения
В следующих задачах найти область определения функции z f ( x; y) и изобразить еѐ
в плоскости OXY .
1.1. z
1.2. z
xy ;
x 1 1 y;
1
2x x2 y 2 ;
1.3. z
1.4. z
;
25 x 2 y 2
1
1.5. z ln( x 2 y 2 4 y ) ;
1.6. z
;
2
2
( x y 1)(4 x 2 y 2 )
1.7. z
1.9. z
ln(1 x 2 y 2 )
;
x y
x2
x2
y2
y2
2y
;
2x
В задачах 1.11 – 1.20 для функции z
1.8. z
1.10. z
4 x2 y 2
;
x2 y 2
ln(16
x2
x2
y2 )
y2 1
f ( x; y) построить линии уровня в плоскости
OXY .
1.11. z
1.13. z
1.15. z
1.17. z
1.19. z
y;
x
x
2
y
2
2y ;
xy ;
4 x2 y 2 ;
1
;
2
x y2
.
1.12. z
1.14. z
2x 3 y ;
4x x2 y 2 ;
1.16. z
ln x ln y ;
1.18. z
1.20. z
В следующих задачах найти предел функции.
19
x2
x2
2x
1
y2 ;
y2 1
.
2x 3 y
;
1 x2
y2
2
x
y
x2
1.23. lim
x 1 x
y 1
x
y
y2
;
y
sin xy
;
1 x
y
1
1.26. lim
2 xy
;
2
0 x
y
0
1.28. lim
ln(1 xy)
;
0
xy
0
1.30. lim
1.27. lim
x
y
x
y
2
x
y
1.29. lim
x
y
0
1
x3
1.24. lim
x 3
x
y
3
1.25. lim
x
y
x 4y
;
x2 y2
1.22. lim
1.21. lim
x
y
y3
;
y
sin xy
;
1
xy
0
0
0
2
x
2
y2
;
e xy 1
.
0
xy
0
В задачах 1.31 – 1.40 найти частные производные функции.
1.31. z 3x 2 4 y 2 xy x 2 y 2 ;
1.32. z x3 y 3 x 2 y
2x 3 y
x y
1.33. z
;
1.34. z
;
2
2
x2 y2
x y
2
xy2
xy ;
2
1.35. z
1.37. z
x2 y 2 ;
x sin( x 2 y) ;
1.36. z 3x y ;.
1.38. z y cos(4x
1.39. z
e xy ;
1.40. z
y
y) ;
x .
В задачах 1.41-1.50 вычислить значения частных производных функции в указанной
точке.
1.41. z
x2
y2
x2
1.43. z
xy
x
y 1 , M (1;1) ;
y 2 , M (3;4) ;
xy2 , M (1;1) ;
1.45. z
3
1.47. z
ln( x 2
y 2 ) , M ( 1;1) ;
1.42. z
1.44. z
x 2 y xy2 2 x 3 y , M (0;1) ;
1
, M (1;3) ;
2
x y2
x3 y , M (1;1) .
1.46. z
4
1.48. z
ex
2
y2
, M (1; 1) ;
2
x
x
y
, M ( 2;2) ;
1.50. z x y
, M (1;2) .
2
y y
x2
В задачах 1.51-1.60 вычислить частные производные второго порядка.
1.51. z x3 y 3 2 x 2 y xy2 1 ;
1.52. z x 2 y xy 2 x 2 y 2 xy ;
xy
x y
1.53. z
;
1.54. z
;
x y
x y
1.49. z
1.55. z
x2
1.57. z
xy ;
y2
xy ;
1.56. z
ln( x 2
1.58. z
3
xy2 ;
1.59. z e ;
1.60. z e .
В задачах 1.61-1.70 вычислить дифференциалы.
1.61. z x 2 y 2 xy 2 x 4 y 2 ;
1.62. z x 2 y
ln( x 2
1.65. z
xy ;
xy) ;
x
y
xy
1.63. z
y2
y2 ) ;
1.64. z
x2
1.66. z
3xy ;
20
xy2
y2 ;
3x 2 4 y 2 ;
1.67. z
3
2
1.68. z
x y;
1
5
3
5
x y ;
x y
.
y x
В задачах 1.71 – 1.74 вычислить производную функции z
1.69. z
xy
e
;
1.70. z
вектора l в заданной точке M .
1.71. z x 2 y xy2 x 2 y 2 , l
1.72. z
x2 y 2
1.73. z
2
1.74. z
ln( x
x
xy2
2
x2
y ), l
2
y
y2
( 4;3) , M (1;1) .
2x 4 y , l
(1;1) , M ( 1;2) .
(1;2) , M (4;4) .
2
, l ( 2;1) , M (3;1) .
xy
В задачах 1.75 – 1.78 вычислить производную функции z
ln
f ( x, y) по направлению
f ( x, y) по направлению
вектора MN в точке M (заданы точки M и N).
1.75. z x 2 xy y 2 , M (1;1) , N (4;5) .
1.76. z 3x 2 2 xy 4 y 2 , M (1;2) , N (3;4) .
1.77. z
x2
y 2 , M (1;1) , N (4;4) .
1.78. z e xy , M (1; 1) , N (3;3) .
В задачах 1.79 – 1.82 найти направление и величину градиента функции z f ( x, y) в
заданной точке M ( x; y) .
1.79. z x 2 y 2 xy x y , M (2;2) .
1.80. z x 2 y 2 xy 2 x 4 y , M ( 1;2) .
1.81. z ln( x 2 y 2 ) , M (2; 1) .
1.82. z ln e x e y , M (1;1) .
В задачах 1.83 – 1.84 показать, что градиент функции z f ( x, y) в заданной точке
M ( x; y) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку.
1.83. z
x2
y2
4 x 2 y , M (4;3) . 1.84. z
21
xy , M (2;2) .
Глава 2. Экстремумы функции двух переменных
2.1. Экстремум функции двух переменных
При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и
наименьшее значения. В качестве примера рассмотрим задачу. Пусть x1 , x 2 ,, x n - количества
производимых товаров, p1 , p2 ,, pn - цены на товары и затраты на производство товаров
определены функцией издержек f ( x1 , x2 ,, xn ) . Тогда прибыль от реализации данных товаров
выражается функцией
F ( x1 , x2 ,, xn ) p1 x1 p 2 x2  pn xn f ( x1 , x2 ,, xn ) .
Естественной целью каждого производства является обеспечение максимальной прибыли, т.е. в
этом случае необходимо находить максимум функции F ( x1 , x2 ,, xn ) .
Точка M 0 ( x0 ; y0 ) называется точкой максимума функции z
f ( x; y) , если найдется
такая окрестность точки M 0 , что для всех точек M ( x; y) из этой окрестности выполняется
неравенство f ( x; y )
f ( x0 ; y0 ) (рис. 1).
Z
Z=f(a;b)- максимум
Y
O
A(a;b)-точка максимума
X
Рис. 7
Точка M 0 ( x0 ; y0 ) называется точкой минимума функции z f ( x; y) , если найдется такая
M0
окрестность точки
, что для всех точек M ( x; y) из этой окрестности выполняется
неравенство f ( x; y )
f ( x0 ; y0 ) (рис. 2).
22
Z
z=f(a;b)- минимум
Y
O
A(a;b)-точка минимума
X
Рис. 8
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Значения функции в точках максимума или минимума называются соответственно
максимумом или минимумом (экстремумами).
В области определения функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни
одного. Значение функции в точке экстремума сравниваются со значениями функции в точках,
достаточно близких к точке экстремума. Поэтому экстремумы имеют локальный характер.
Сформулируем необходимое условие экстремума.
Теорема. В точке экстремума дифференцируемой функции z
f ( x; y) все еѐ частные
производные первого порядка равны нулю.
Доказательство. Пусть точка M 0 ( x0 ; y0 ) - точка максимума функции z
для
всех
точек
M ( x; y) ,
неравенство f ( x0 ; y0 )
одной переменной
достаточно
близких
к
f ( x; y ) . Фиксируем y и пусть y
z
f ( x; y0 ) имеет максимум при x
точке
M 0 ( x0 ; y0 )
f ( x; y) . Тогда
справедливо
y0 . Тогда получим, что функция
x0 и поэтому z x
f x ( x0 ; y0 )
0.
Подобным образом доказывается, что z y f y ( x0 ; y0 ) 0 .
Геометрическая интерпретация равенств
z x f x ( x0 ; y 0 ) 0 z y f y ( x 0 ; y 0 ) 0
и
означает, что в точке экстремума функции z f ( x; y) касательная плоскость к поверхности
функции параллельна плоскости OXY и еѐ уравнение имеет вид z z0 , где z0 f ( x0 ; y0 ) .
Кроме того, следует отметить, что если функция z f ( x; y) в точке экстремума имеет
частные производные по всем переменным, то градиент функции в этой точке равен нулю.
23
Точки, в которых частные производные первого порядка функции z f ( x; y) равны нулю,
называются стационарными точками.
Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные
частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в
которых все первые частные производные равны нулю.
Z
Y
O
A(a;b)-точка минимума
A(a;b)-точка минимума
X
Рис. 9
Необходимое условие экстремума не гарантирует существование экстремума. Например,
рассмотрим функцию z xy (см. рис.3). Еѐ частные производные z x y и z y x равны нулю в
точке (0;0) . Несложно показать, что эта точка не является точкой экстремума. Действительно,
функция z xy равна нулю в точке (0;0) . В любой еѐ окрестности, где x и y одного знака,
z xy 0 и есть также точки, где функция отрицательна.
Точка (0;0) называется седловой точкой. Седловые точки являются двумерным аналагом
точек перегиба функции одной переменной.
Следует заметить, что функция может иметь экстремум в тех точках, где хотя бы одна из
частных производных не существует. Например, функция z
минимум в точке (0;0).
x2
y 2 (см. рис. 4) имеет
Z
Y
O
X
A(a;b)-точка минимума
A(a;b)-точка минимума
Рис. 10
Но частные производные этой функции в точке не существуют: z x
24
x
x2
y2
и zx
y
x2
y2
.
Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой
экстремума, необходимо применять достаточное условие экстремума.
Теорема. Пусть для функции z
f ( x; y) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) выполняются условия:
1. частные производные первого порядка равны нулю:
f x ( x0 ; y0 ) 0 и f y ( x0 ; y0 ) 0 ;
2. частные производные второго порядка равны:
f xx ( x0 ; y0 )
A, f xy ( x0 ; y0 )
и
f yx ( x0 ; y0 ) B, f yy ( x0 ; y0 )
A B
AC B 2
B C
C
Тогда:
если
0 , то функция z
f ( x; y) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) не имеет экстремума;
2. если
0 , то функция z
f ( x; y) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) имеет экстремум: максимум,
1.
если A 0, минимум, если A 0 ;
3. если
0 , то функция z
f ( x; y) может иметь или не иметь экстремум в точке
M 0 ( x0 ; y0 ) (необходимы дополнительные исследования).
Исследование функции двух переменных на экстремум происходит следующим образом.
Записываются необходимые условия экстремума:
f x ( x0 ; y0 )
f y ( x0 ; y0 )
0,
0.
Решением этой системы является некоторое множество точек. В каждой из этих точек
вычисляется значение
и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию z
xy .
Вычислим частные производные первого порядка:
zx
Из системы уравнений
y, z x
y.
y 0,
находим одну точку A(0;0) .
x 0
Находим частные производные второго порядка:
A
z xx
0, B
z xy
z xy
1, C
z yy
0 и
0 1
1 0
1 0.
Функция не имеет экстремума.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z
x2
y2
Вычислим частные производные первого порядка:
25
xy 4 x 2 y 2 .
Из системы уравнений
z x 2 x y 4, z x
x 2y 2.
2 x y 4 0,
находим одну стационарную точку M (2;0) .
x 2y 2 0
Далее, находим частные производные второго порядка:
A
z xx
2, B
z xy
z xy
1, C
z yy
2
1
2 и
1
2
4 1 3 0.
Следовательно, функция в точке M (2;0) имеет экстремум. И так как A 2 0 , то эта точка
минимума. И вычислим минимум функции
zmin
2.
z(M )
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z
x3
y 3 15 xy 2 .
Вычислим частные производные первого порядка:
zx
Из системы уравнений
3 x 2 15 y, z x
15 x 3 y 2 .
3x 2 15 y 0,
находим две стационарные точки M1 (0;0) и M 2 (5;5) .
15 x 3 y 2 0
Находим частные производные второго порядка:
A
z xx
6 x, B
z xy
z yx
6x
15
15
6y
15, C
z yy
6y
и
( x; y )
В точке M1 (0;0)
(0;0)
В точке M 2 (5;5) , так как
минимум и
36 xy 225 .
225 , значит, функция не имеет экстремума.
(5;5) 36 5 5 225 0 и A(5;5) 30 0 , функция имеет
zmin
z (5;5)
26
123 .
2.2 Условный экстремум функции двух переменных
Дана функция z
f ( x; y) с областью определения D . Рассмотрим задачу нахождения
экстремума этой функции на множестве S D , удовлетворяющем некоторому условию.
В практических задачах чаще всего множество S задается системой уравнений и
неравенств. Ограничимся случаем одного уравнения. Пусть множество S задано уравнением
g ( x; y) a , которое называется уравнением связи.
Точка M 0 ( x0 ; y0 ) называется точкой условного максимума (минимума) функции
z
f ( x; y) , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек M ( x; y) из этой
окрестности удовлетворяющих условию g ( x; y)
f ( x; y )
f ( x0 ; y0 ) ( f ( x; y )
a , выполняется неравенство
f ( x0 ; y0 ) ).
z
Z
безусловный
минимум
f ( x; y)
условный
минимум
z z(M1 )
z z(M 2 )
O
Y
A(a;b)-точка минимума
M1
X
.
g ( x; y) a
M2
Рис. 11
На рис. 5 точка M 1 - точка безусловного минимума , точка M 2 - точка условного минимума
и значения функции в этих точках z z ( M1 ) и z z (M 2 ) , соответственно, безусловный минимум
и условный минимум.
Задачу нахождения условного экстремума можно свести к задаче отыскания экстремума
функции одной переменной. Допустим уравнение g ( x; y) a можно разрешить относительно
одной из переменных, например, выразить у через x : y h( x) . Подставив полученное выражение в
функцию z f ( x; y) , получим функцию одной переменной z f ( x; h( x)) . Экстремум этой
функции является экстремумом функции z=f(x,y) при условии g ( x; y) a .
Пример 5. Найти экстремум функции z
Из уравнения x
Эта функция имеет минимум при x
2x2
y 2 при условии x
y 3.
y 3 выражаем y 3 x и подставляем в функцию z
z
функция z
2x2
2x2
(3 x)2
x2
27
y2 :
6x 9 .
3 . Из условия x
y 2 имеет условный минимум
zmin z ( 3;6) 2( 3) 2
2x2
y 3 находим y 3 ( 3) 6 . Значит,
62
18 .
Уравнение g ( x; y) a , задающее условие не всегда возможно разрешить относительно
одной из переменных. Для отыскания условного экстремума в таких случаях применяется метод
Лагранжа или метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
L( x; y; ) f ( x; y)
( g ( x; y) a) .
Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множителем Лагранжа.
Теорема. Если точка ( x0 ; y0 ) является точкой условного экстремума функции z f ( x; y) при
условии g ( x; y) a , то существует значение 0 такое, что точка ( x0 ; y0 ; 0 ) является точкой
безусловного экстремума функции L( x; y; ) .
Доказательство теоремы основывается на следующем. Если координаты точек ( x; y)
удовлетворяют уравнению g ( x; y) a , то значения функций z f ( x; y) и L( x; y; ) совпадают.
Если же координаты точек ( x; y) не удовлетворяют уравнению g ( x; y) a , то значения функции
f ( x; y) не совпадают со значениями L( x; y; ) .
Таким образом, задача вычисления условного экстремума функции z f ( x; y) при условии
g ( x; y) a сводится к вычислению безусловного экстремума функции трех переменных
L( x; y; ) .
Сначала находятся стационарные точки функции L( x; y; ) . Для этого необходимо найти
решение системы:
Lx ( x; y; ) f x x; y
g x x; y 0,
Ly ( x; y; ) f y x; y
g y x; y 0,
L ( x; y; ) g x; y a 0.
Если сложить первое и второе уравнения, то получим равенство
f x x; y
f y x; y
( g x x; y g y x; y ) ,
grad f ( x; y )
gradg ( x; y ) .
Это значит, что в точках условного экстремума градиенты функций f ( x; y) и g ( x; y)
коллинеарны. Последнее уравнение из этой системы уравнений совпадает с уравнением, задающим
условие g x; y a 0 .
Далее, для каждой стационарной точки существование и характер условного экстремума
решается на основе анализа знака второго дифференциала функции L( x; y; ) . Для этого
необходимо вычислить определитель
a11 a12 a13
( x; y; )
a21 a22
a31 a32
a23 ,
a33
где
a11
Lxx ( x; y; ), a12
Lxy ( x; y; ), a13
Lx ( x; y; ),
a21
Lyx ( x; y; ), a22
Lyy ( x; y; ), a23
Ly ( x; y; ),
a31
L x ( x; y; ), a32
L y ( x; y; ), a33
L ( x; y; ).
Если в стационарной точке M 0 ( x0 ; y0 ; 0 ) ( x 0 ; y0 ; 0 ) 0 и a11 0 , то эта стационарная
точка – точка минимума функции L( x; y; ) .
Если же в стационарной точке M 0 ( x0 ; y0 ; 0 ) ( x 0 ; y0 ; 0 ) 0 и a11 0 , то эта
стационарная точка – точка максимума функции L( x; y; ) .
Пример 6. Найти экстремум функции z
2x
y при условии x 2
28
y2
5.
Составим функцию Лагранжа L( x; y; ) 2 x y
( x 2 y 2 5) .
Найдем частные производные первого порядка этой функции и запишем систему
уравнений для вычисления стационарных точек:
Lx 2 2x , Ly 1 2 y , L
x2 y2 5
x
Из первых двух уравнений находим x
уравнение, получим уравнение для
1
2 2 x
0,
1 2 y
0,
2
y
2
5 0.
1
, далее, подставив эти значения в третье
2
и y
:
1
2
1
4 2
5.
1
1
и 2
. Значит, система имеет два решения и функция Лагранжа – две
2
2
стационарные точки: M1 ( 2; 1;1 2) и M 2 (2;1; 1 2) .
Вычисляем частные производные второго порядка:
a11 2 , a12 0, a13 2 x,
Отсюда
1
a 21
0, a 22
2 , a 23
a31
2 x, a32
2 y,
2 y, a33
0.
Вычислим определитель:
2
( x; y; )
0
2x
0
2
2y
2x
2y
0
В стационарной точке M1 ( 2; 1;1 2) вычисляем
имеет минимум: zmin z ( 2; 1)
5.
В стационарной точке M 2 (2;1; 1 2) (2;1; 1 2)
максимум: zmах z (2;1) 5 .
29
8 (x2
( 2; 1;1 2)
20 и a11
y2 ) .
20 и a11
1 , значит, функция
1 , значит, функция имеет
2.3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Областью называется множество точек плоскости, удовлетворяющих свойствам
открытости и связности.
Свойство открытости: любая точка принадлежит области вместе с некоторой
окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точка области можно соединить линией, которая вся
расположена в области.
Точка А называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в
любая еѐ окрестность содержит точки области. Множество граничных точек области
называется границей области.
Область D вместе с границей области называется замкнутой областью и обозначается
D.
Область называется ограниченной, если все еѐ точки принадлежат кругу конечного
радиуса R, в противном случае – неограниченной.
Теорема. Если функция z f ( x; y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D ,
то в этой области:
1.
функция z f ( x; y) ограниченна в области D , т.е. найдется такое число R, что
f ( A) R
для всех точек A D справедливо неравенство
;
z
f
(
x; y) принимает
2.
в области D существуют точки, в которых функция
наименьшее m и наибольшее M значения;
3.
в области D существует хотя бы одна точка, в которой функция z f ( x; y)
принимает любое численное значение из промежутка [m; M ] .
Наименьшее m и наибольшее M значения функция z f ( x; y) принимает или во
внутренних точках области D или в граничных точках.
Правило вычисления наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой
функции z f ( x; y) в ограниченной замкнутой области D :
1.
найти все критические точки функции z f ( x; y) , принадлежащие D и
вычислить значения функции в них;
2.
3.
вычислить наименьшее и наибольшее значения функции z f ( x; y) на границе
области D ;
выбрать наименьшее m и наибольшее M значения среди вычисленных значений
функции.
Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z
ограниченной замкнутой области D : x 0, y 0, x
x2
y2
ху х
у 5
y 3.
Найдем стационарные точки функции, принадлежащие области D :
z x 2 x y 1, z y 2 y x 1 ,
2x
2y
y 1 0,
x 1 0.
Из этой системы находим x 1 и y 1 . Стационарная точка M (1;1)
этой точке:
z(1;1) 4 .
Рассмотрим граничные точки (рис. 6).
30
D и значение функции в
в
На отрезке OA x 0 и 0 y 3 функция z ( y ) y 2 y 5 . Находим еѐ стационарную
точку y 1 2 и вычисляем:
z(0;0) 5, z (0;1 2) 4,75, z(0;3) 11 .
Y
A 3
O
B 3
X
Рис. 12
Аналогично, на отрезке OB 0 x 3 и y 0 функция z ( x;00)
стационарную точку x 1 2 и вычисляем:
z(0;0) 5, z (1 2 ;0) 4,75, z(3;0) 11 .
x2
x 5 . Находим еѐ
На отрезке AB y 3 x и 0 x 3 получаем функцию z ( x;3 x) 3x 2
Вычислим значения этой функции:
z(0;3) 11, z (3 2 ; 3 2) 4,25, z (3;0) 11 .
Сравнив все вычисленные значения функции, получим:
zmin z (1;1) 4, zmax z (3;0) z (0;3) 11 .
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z
замкнутой области D : x 2
y2
9 x 11 .
y 2 в ограниченной
x2
1.
Найдем стационарные точки функции z x 2 y 2 , принадлежащие области D :
z x 2 x 0, z y
2y 0 ,
Отсюда находим x
0и y
0 , стационарная точка M 1 (0;0)
D.
Исследуем функцию на границе области, т.е. на окружности x 2
Составим функцию Лагранжа:
L( x; y; ) x 2 y 2
( x 2 y 2 1) .
Вычислим частные производные первого порядка:
Lx 2 x 2 x , Ly
Отсюда получаем систему уравнений
2y 2y , L
x2
y2
1.
y 2 1.
2 x 2 x 0,
2 x 2 y 0,
x2
Из системы находим: при
y 2 1 0.
1 x
1 и y 0.
1 , а для
y нашли ещѐ четыре стационарные точки:
Следовательно, для функции z x
M 2 (0; 1), M 3 (0;1), M 4 ( 1;0), M 5 (1;0).
1 x
0и y
2
2
31
Вычислим значения функции в стационарных точках:
z ( M1 ) 0, z ( M 2 )
1, z ( M 3 )
1, z ( M 4 ) 1, z ( M 5 ) 1 .
Сравнив эти значения, получим:
zmin z ( M 2 ) z ( M 3 )
1, zmax z ( M 4 ) z ( M 5 ) 1 .
2.4. Функции многих переменных в экономических задачах
Производство – любая деятельность по использованию природных, материальнотехнических и интеллектуальных ресурсов для получения материальных и не материальных
благ. Основным понятием в описании производства является технологический способ.
Математически существующие технологии описываются производственными функциями.
Пусть в технологическом процессе используются n ресурсов x1 , x 2 ,, x n и y - объем
выпускаемой продукции, тогда функция y f ( x1 , x2 ,, xn ) называется производственной
функцией.
Применяются производственные функции следующих видов.
Линейная производственная функция
n
y
a0
ai xi ,
i 1
где a0 , a1 ,,a n - числа.
Степенная производственная функция Кобба-Дугласа
n
y
a0
xi i ,
i 1
где a0 ,
,, n - числа.
На множестве допустимых наборов производственных ресурсов выделяют такое
подмножество, что для каждого набора из этого подмножества f ( x1 , x2 ,, xn ) С , где C постоянная, т.е. выпуск продукции одинаков. График такого соотношения называется
изоквантой.
Основными производственными ресурсами являются капитал K и труд L . Тогда имеем
производственную функцию двух переменных
y f ( K , L) .
Если функция линейная:
y a0 a1K a2 L ,
то еѐ изокванты – параллельные прямые (рис. 7):
1
32
L
изокванта
L1
увеличение объема
продукции
L2
O
K1 K2
K
Рис. 13
Наборам ресурсов ( K1 , L1 ) и ( K 2 , L2 ) соответствует один объем выпускаемой продукции.
В случае степенной производственной функции
y AK L ,
изокванты представлены на рис. 8.
L
изокванта
увеличение объема
продукции
L1
L2
O
K1 K2
K
Рис. 8
Наборам ресурсов ( K1 , L1 ) и ( K 2 , L2 ) соответствует один объем выпускаемой продукции.
Производство продукции ограниченно имеющимися ресурсами. Пусть используются
ресурсы x1 , x 2 ,, x n , стоимость которых соответственно p1 , p2 ,, pn и общая сумма денежных
средств, которая может быть затрачена на производство ограничена величиной S . Тогда
множество допустимых ресурсов удовлетворяет неравенству:
p1 x1 p2 x2  pn xn S .
Если денежные средства используются полностью, то ограничение записывают в виде
равенства:
p1 x1 p2 x2  pn xn S .
График этого соотношения называется изокостой. Если используются два ресурса
капитал и труд, то уравнение изокосты имеет вид (рис. 9):
p1K p2 Ln S
33
L
изокоста
L2
увеличение общей
суммы средств
L1
L3
O
K1 K2
K3
K
Рис. 9
Для набора ресурсов ( K1 , L1 ) используются не все средства, для наборов ( K 2 , L2 ) и
( K 3 , L3 ) - используются все средства.
Используя изокванты и изокосты, можно геометрически иллюстрировать решение
задачи об оптимальном распределении ресурсов:
z AK L
max ,
при бюджетном ограничении p1K p2 Ln S (рис. 10).
L
L1
L2
L3
O
K1
K2
K3
K
Рис. 10
Из трех наборов ресурсов ( K1 , L1 ) , ( K 2 , L2 ) и ( K 3 , L3 ) предпочтительнее ( K1 , L1 ) . Для
этих значений выпуск продукции наибольший с наименьшими затратами.
Пример 9. Предприятие производит два вида продукции x и y . Затраты на их производство
определяются функцией
g x; y 2 x 2 4 xy 4 y 2 .
Продукция продается по 300000 д.ед. и 400 000 д.ед. соответственно за штуку. Необходимо
определить оптимальный план выпуска продукции, при котором прибыль максимальна.
Запишем функцию прибыли
z ( x; y ) 300000 x 400000 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 .
Вычислим частные производные первого порядка:
34
zx
300000 x 4 x 4 y,
zx
400000
4 x 8 y.
4x 4 y
4x 8 y
300000 ,
400000 ,
.
Решив систему уравнений
находим стационарную точку M1 (50000 ;25000 ) .
Найдѐм частные производные второго порядка:
A
z xx
4, B
z xy
z xy
4, C
z yy
8
и
( x; y )
4
4
4
8
16
0.
Так как A 0 , то стационарная точка M1 (50000 ;25000 ) - точка максимума и
zmax
z (50000 ,25000 ) 1250000000 0 .
Пример 10. Найти максимальный выпуск продукции, если известна производственная функция
z x; y 1000 xy
при бюджетном ограничении
2 x y 100 .
Составим функцию Лагранжа
L( x; y; ) 1000 xy
(2x y 100) .
Вычислим частные производные первого порядка функции L( x; y; ) :
y
Lx 500
2 ,
x
Ly
500
x
y
Ly
2x
y 100 .
, .
Составим систему уравнений
500
y
x
500
x
y
2x
y 100
Из первых двух уравнений находим
35
2
0,
0,
0.
y
,
x
250
Далее
250
y
x
500
x
или 2 x
y
x
.
y
500
y . Теперь из третьего уравнения системы получим:
4x 100 .
Значит, получаем координаты стационарной точки функции Лагранжа:
x 25, y 50,
250 2 .
Покажем, что эта точка есть точка максимума функции L( x; y; ) . Вычислим частные
производные второго порядка функции Лагранжа.
y
1
a11 Lxx
250 3 , a12 Lxy 250
, a13 Lx 2,
x
xy
a21
Lyx
250
1
, a22
xy
a31
Вычислим определитель
Lx
2, a32
Ly
y
x3
1
250
xy
2
Так как
zmax
(25,50, 250 2 )
1, a33
L
250
0 и a11(25,50)
x
, a23
y3
250
1
xy
x
250 3
y
1
250
( x; y; )
Lyy
Ly
1,
0.
2
1
250
4x2
4 xy
y2
x3 y 3
.
0
0 , то стационарная точка - точка максимума и
z(25,50) 25000 2 .
Построим графики функции 1000 xy
25000 2 или y
Y
изокванта
100
50
O
25
50
изокоста
Рис. 11
36
X
1250
и 2x
x
y 100 :
Пример 11. Определить объемы потребления благ x и y , обеспечивающие максимальную
полезность
z x; y 1000 xy
при бюджетном ограничении
2000 x 1000 y 1000000 .
Составим функцию Лагранжа
L( x; y; ) 1000 xy
(2000 x 1000 y 1000000 ) .
Вычислим частные производные первого порядка функции L( x; y; ) :
Lx
500
y
x
2000 ,
Ly
500
x
y
1000 ,
.
Ly 2000 x 1000 y 1000000 .
Составим систему уравнений
y
500
2000
0,
x
500
x
y
1000
0,
2000 x 1000 y 1000000
0.
Из первых двух уравнений находим
y
x
Отсюда следует, что
Далее 2
x
y
0 и
y
или 2 x
x
1 y
,
4 x
4 ,
x
y
2 .
1 x
.
2 y
y . Теперь из третьего уравнения системы получим соотношение для
x:
4x 1000 .
Значит, получаем координаты стационарной точки функции Лагранжа:
2
x 250 , y 500 ,
.
4
Покажем, что эта точка есть точка максимума функции L( x; y; ) . Вычислим частные
производные второго порядка функции Лагранжа.
37
a11
Lxx
a21
Lyx
a31 L x
Вычислим определитель
250
250
Так как
zmax
(250,500,
z(250,500)
Lxy
1
, a22
xy
Lyy
2000 , a32
y
x3
1
250
xy
2000
250
( x; y; )
y
, a12
x3
Ly
250
1000 , a33
1
xy
x
250 3
y
1000
250
250
1
, a13
xy
Lx
x
, a23
y3
L
Ly
2000 ,
1000 ,
0.
2000
1000
250000000
4x2
4 xy
x3 y 3
y2
.
0
2
) 0 и a11(250,500 ) 0 , то стационарная точка - точка максимума и
4
250000 2 .
38
2.5. Задачи для самостоятельного решения
В следующих задачах найти экстремумы функции z f ( x; y) .
x 2 xy y 2 6 x 4 y 10 .
2 x 2 4 xy y 2 12 x 2 y 2 .
2.1. z
2.2. z
2.3. z x 2 xy y 2 12 x 14 y 2 .
2.4. z x 2 xy y 2 x 14 y 12 .
x 3 y 3 15 xy .
2.5. z x 2 y xy xy2 .
2.6. z
В задачах 2.7. – 2.14 найти условные экстремумы функции z f ( x; y) .
2.7. z 2 x 2 y 2 1 , если 2x y 6 0 .
2.8. z 3x 2 y 2 , если 6x 4 y 12 0 .
x 2 y 2 xy x y 12 , если x y 4 0 .
2.9. z
2 x 2 2 y 2 4 xy x y 7 , если x y 6 0 .
2.10. z
2.11. z 8x 4 y , если x 2 y 2 5 0 .
2.12. z 6 x 4 y 3 , если x 2 y 2 13 0 .
2.13. z 2 16 x 4 y , если 4 x 2 y 2 20 0 .
2.14. z 4 4 x 8 y , если x 2 2 y 2 12 0 .
В задачах 2.15. – 2.20 найти наименьшее и наибольшее значения функции z
в ограниченной замкнутой области.
2.15. z xy x y , x 0, y 0, x y 2 0 .
2.16. z xy x y , x 0, y 0, x y 4 0 .
2.17. z x 2 y 2 xy 3x 3 y 7 , x 0, y 0, x y 3 0 .
2.18. z x 2 y 2 2 x 2 y 8 , x 0, y 0, x y 1 0 .
10 xy 2 x 2 10 x 4 , x y 5 0 .
2.19. z
2.20. z
x2
y 2 10 , 2 x
y
4 0.
В задачах 2.21. – 2.24 найти наибольшее значение функции z
ax by c . Построить изокванту и изокосту.
1
1
2
1
f ( x; y)
1
Ax y
1
2.21. z 100 x 2 y 2 , если x 2y 100 . 2.22. z 100 x 3 y 3 , если 2x 2 y 100 .
2
1
3 3
2.23. z 100 x y , если 2x 2 y 120 . 2.24. z 100 x 3 y 3 , если 3x 6 y 180 .
39
при условии
Глава 3. Математическая обработка экспериментальных данных
3.1. Постановка задачи
Пусть в результате исследования функциональной зависимости между x и y значениям
y , y , , y n
x , x ,, xn
аргумента 1 2
поставлены в соответствие значения функции 1 2
т.е. имеем
таблично заданную функцию:

x
xn
x1
x2
y

yn
y1
y2
Такой способ задания функции часто встречается в экономических задачах. Иногда необходимо
найти значения функции для значений аргумента, не содержащихся в таблице. В этом случае
определяют функциональную зависимость между x и y . Эта задача решается приближенными
методами.
Задача состоит в нахождении функции
y f (x) ,
значения которой при x xi , i 0,1,, n , мало отличаются от табличных значений yi , т.е.
yi y( xi ) i i 1,2,, n
,
.
Вид функции выбирается графическим способом. Для табличной функции строится график и
примерно угадывается функциональная зависимость путем сравнения известных функций с
расположением данных на графике. Обычно рассматриваются такие функции:
линейная функция y ax b ;
квадратичная функция y
ax2 bx c ;
1
ax b ;
x
ax b ;
y
дробно-рациональная функция вида
y
дробно-рациональная функция вида
x
показательная функция y ab ;
логарифмическая функция y a ln x b ;
b
степенная функция y ax .
x
y
Пусть связь между i и i описывается уравнением y f ( x, a, b, c,) . Коэффициенты
a, b, c, следует искать так, чтобы ошибка была минимальной. Возможны такие варианты.
1. Минимизировать сумму абсолютных отклонений:
n
S
min
i
,
2. Минимизировать наибольшее абсолютное отклонение:
max i
min
i
.
3. Минимизировать сумму квадратов отклонений:
i 0
n
2
F
i
i 0
40
min
.
Последний вариант является оптимальным. Для вычисления параметров функции
y f ( x, a, b, c,) используется метод наименьших квадратов.
3.2. Метод наименьших квадратов
( y , x ), i 1,2,n,
Методом наименьших квадратов для табличной функции i i
построим
линейную функцию y ax b . Коэффициенты a и b найдем из условия
n
n
2
S ( a, b)
( yi
i
i 1
b))2
(axi
min .
i 1
Из необходимого условия экстремума функции двух переменных запишем систему
уравнений
S
0,
a
S
0.
b
Отсюда
n
2
( yi
(axi
b))( xi )
( yi
(axi
b))
0,
i 1
n
2
0.
i 1
И получаем систему линейных уравнений для вычисления коэффициентов a и b :
n
n
n
xi2 a
xi b
i 1
yi xi ,
i 1
i 1
n
n
xi a nb
yi .
i 1
i 1
Эта система имеет единственное решение, так как еѐ определитель
n
n
xi2
xi
i 1
n
n
i 1
xi
n
x
xi
i 1
n
2
n
2
i
0
i 1
i 1
.
b
a
Убедимся, что значения коэффициентов и , полученные из системы, дают минимум
функции S (a, b) . Найдем частные производные второго порядка функции S (a, b) :
2
S
a2
2
n
xi2 ,
2
i 1
2
S
a b
2
n
S
b a
2
S
b2
xi ,
i 1
2n.
Далее,
2
S
a2
2
S
a b
n
2
S
a b
2
S
b2
n
xi2
2
2
i 1
n
2
xi
n
i 1
xi
4 n
x
i 1
2n
и
S
a2
41
n
xi2
2
i 1
xi
i 1
i 1
2
2
n
2
i
0
.
0
Следовательно, функция S (a, b) при вычисленных значениях a и b принимает
минимальное значение.
2
При построении квадратичной функции y ax bx c методом наименьших квадратов
для табличной функции
коэффициенты a, b и c вычисляются из условия
( yi , xi ), i 1,2,n,
n
S (a, b, c)
n
2
( yi
i
i 0
(axi
2
bxi
c))2
min .
i 1
S
Из необходимого условия экстремума функции трех переменных a
для вычисления коэффициентов a, b, c получаем систему
n
n
4
n
3
xi a
i 1
i 1
n
n
n
3
i 1
2
n
i 1
S
c
0
xi yi
i 1
xi c
i 1
xi yi ,
i 1
n
2
xi a
0,
n
xi b
i 1
S
b
2
xi c
i 1
xi a
n
2
xi b
0,
n
xi b nc
yi .
i 1
i 0
►Пример 1. Выпуск продукции на предприятии за первые четыре месяца задан в таблице
январь
600
февраль
640
март
620
апрель
650
Построить линейную зависимость для этой таблицы и определить предполагаемый выпуск
продукции в мае.
Составим вспомогательную таблицу.
i
1
2
3
4
xi
1
2
3
4
10
yi
600
640
620
650
2510
1
4
9
16
30
1280
1860
2600
6340
xi
2
600
xi y i
Из системы линейных уравнений
30 a 10b 6340 ,
10 a 4b 2510
595 . Следовательно, получили функцию у 13х 595 . Предполагаемый
выпуск продукции в мае равен у 13 5 595 660 . Графики исходной табличной функции и
построенной линейной функции приведены на следующем рисунке.
находим a 13 и b
42
700
650
yi
600
f( t )
550
500
0
1
2
3
4
5
xi t
Рис. 14
◄
3.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 3.1. – 3.6 методом наименьших квадратов найти линейную зависимость
y ax b между x и y .
3.1.
1
2
3
4
xi
2,5
4
5,2
6,3
yi
3.2.
xi
1
2
3
4
yi
0,5
1,4
3,5
4,6
xi
-2
-1
0
1
2
yi
-5,5
-3,4
0,5
3,6
5,4
xi
1
2
3
4
5
yi
2,4
0,22
-2,3
-4,6
-6,4
xi
10
20
30
40
50
yi
-8
-15
-20
-30
-40
xi
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
yi
2
5
8
12
13
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
43
Ответы
1.21. 7 5 . 1.22. -2. 1.23. 2. 1.24. 9. 1.25. 1 . 1.26. 1 . 1.27. не существует. 1.28. .1.29. 1.1.30. 1.
x 8 y 2 . 1.32. zx 3x2 2 xy y 2 y, z y x2 2xy 3 y 2 x .
1.31. z x 6 x y 1, z y
2x2
1.33. z x
1.35. z x
2 y2
x
x
2
y
1.37. z x
1.38. z x
4 y sin( 4 x
yexy , z y
1.41. z x (1,1)
2 2
, zy
x2 y 2
sin( x 2 y )
1.39. z x
6 xy
x
y
2
y ), z y
cos(4 x
xexy .
1.40. z x
1.50. z x (1,2)
2 4, z y (1,2)
1.52. z xx
2, z xy
z yx
1.53. z xx
1.54. z xx
1.55. z xx
1.56. z xx
1.57. z xx
1.58. z xx
1.59. zxx
2y
, z xy
( x y )3
4y
, z xy
( x y )3
z yx
3y2
4 ( x2
y2
xy)3
2 ln 3 x3x
y ) 4 sin( 4 x
4 x y
x
3, z y (0,1)
, zy
x
z yx
y2
2
y
2 xy
2 2
x2
, zx
2 ln 3 y3x
, zy
1
2 y
2
y2
x
2
y
2 xy
2 2
.
.
2 3 . 1.46. z x (1,1)
2e .1.49. z x ( 2,2)
2e , z y
6 x 4 y, z xy
3 5 , z y (0,1)
z yx
7 4 , z y ( 1,1)
4 x 2 y, z yx
2x 2 .
3xy
4 ( x2
y2
xy)3
(1 xy)e xy , z yy
, z yy
3x 2
4 ( x2
x
x
1 y
x y y
x( x 2 y ) y
1.60. z xx
e , z xy z yx
e , z yy
e .
2
3
y
y
y4
1.61. dz( x, y) (2x y 2)dx ( x 2 y 4)dy .
1.62. dz( x, y ) ( y 2 2 xy 6 x)dx ( x 2 2 xy 8 y )dy .
2( xdx ydy)
ydx x ln xdx
1.63. dz( x, y)
. 1.64. 1.65. dz( x, y ) x y
.
2
2
x
x y
44
y2
x 2 2 y 2 2 xy
.
( x 2 y 2 xy) 2
x2e xy .
4 5.
3 4 , z y (1,1) 1 4 .
2 xy
2x2
, z yy
.
( x y )3
( x y )3
2( x y)
4x
, z yy
.
3
( x y)
( x y )3
z yx
2
.
2
2 4 1. 1.51. z xx
, z xy
y2
x
3 . 1.43. z x (3,4)
2 x 2 y 2 2 xy
x 2 y 2 4 xy
,
z
z
, z yy
xy
yx
( x 2 y 2 xy) 2
( x 2 y 2 xy) 2
y
1
x
, z xy z yx
, z yy
.
4 x xy
4 xy
4 y xy
2y
2y
2x
.
, z xy z yx
, z yy
2
2
3
3
3
9x x y
9 x y
9 y x2 y
y 2e xy , zxy
2
x
y2
y) .
1
2 x 2 y 1, z yx
z yx
2 2
3 50 .1.45. z x (1,1) 1 3 , z y (1,1)
1, z y ( 1,1) 1 . 1.48. z x
2
x2
. 1.34. z x
2 x cos( x 2 y ) .
2 . 1.42. z x (0,1)
1 50 , z y (1,3)
4 xy
. 1.36. z x
1.47. z x ( 1,1)
2y
y
x2 y 2
x cos( x 2 y ), z y
2, z y (1,1)
1.44. z x (1,3)
3x 2 3 y 2
, zx
xy)3
.
1 2.
2x 6 y .
1.66. dz( x, y )
2 ydx xdy
ln 3 3xy ( ydx xdy) . 1.67. dz( x, y)
3
1.69. dz( x, y )
1
e
2
xy
ydx xdy
. 1.70. dz( x, y)
xy
1.73. 3 5 / 20 . 1.74.
4 5 / 75 . 1.75. 21 5 .1.76.
1.79. grad z( x; y) (2x
grad z (2;2)
1.81. grad z ( x; y )
1.82. grad z ( x; y )
x
(2 xy2
y 2;2 x 2 y
2x
x
2
y
2
;
5 5, grad z (2;2)
grad z (1;1)
xy2
5 5 x4 y 2
ydx xdy
. 1.71. 7. 1.72. 5 2 / 2 .
y2 )
x2 y 2
3
.
5 (5e) .
2 2 . 1.77. 1. 1.78.
2 2 , cos
y 1;2 y x 1), grad z(2;2) (7;7), cos
7 65 65, grad z (2;2)
cos
ydx 3xdy
2 2,
7 2.
1.80 grad z ( x; y )
cos
( x2
. 1.68. dz( x, y)
ex
ex
e
;
y
x 4), grad z ( 1;2)
( 4;7), cos
4 65 65,
65 .
2y
x
2
, grad z (2; 1)
y2
(4 5 ; 2 5), cos
2 5 5,
2 5 5.
ey
ex
ey
, grad z (1;1)
2 2 . 1.83. Линия уровня x 2
y 7 0 , вектор касательной k
2
(1 2 ;1 2), cos
( y 1) 2
(1; 1) , grad z(M )
2 2, cos
2 2,
8 , уравнение касательной
(4;4) . 1.84. Линия уровня xy 1 ,
уравнение касательной x y 4 0 , вектор касательной k (1; 1) , grad z(M ) (1;1) .
2.1. zmin z (0; 2) 14 . 2.2. Экстремума нет. 2.3. Экстремума нет. 2.4. zmin z ( 4;9)
49 .
2.5. zmin z(1 3;1 3)
1 27 . 2.6. zmax z (5;5) 125 . 2.7. zmin z(2;2) 14 .
2.8. zmin z ( 6;12)
36 . 2.9. zmах z (2;2) 4 . 2.10. zmах z (3;3) 1 .
2.11. zmin z ( 2; 1)
20 , zmах z (2;1) 20 . 2.12. zmin z ( 3;2)
23 , zmах z (3; 2) 29 .
2.13. zmin z (2;2)
38 , zmах z ( 2; 2) 42 . 2.14. zmin z (2;2)
20 , zmах z ( 2; 2) 28 .
2.21. zmax z (50,25), y 1250 / x, x 2 y 100 . 2.22. zmax z (30,30), y 900 / x,2 x 2 y 100 .
2.23. zmax z (40,20), y 32000 / x 2 ,2 x 2 y 120 . 2.24. zmax z (40,10), y 16000 / x,3x 6 y 180 .
3.1. y 1,26 x 1,35 . 3.2. y 1,44 x 1,1 . 3.3. y
2,242 x 4,59 . 3.4. y 2,88 x 0,12 .
3.5. y
0,79 x 1,1 . 3.6. y 5,8x 3,6 .
45