И. В. Стурова ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

УДК 532.59
И. В. Стурова
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА ПОГРУЖЕННОЕ ТЕЛО ПРИ ДВИЖЕНИИ
ПОД ЛЕДЯНЫМ ПОКРОВОМ
В рамках линейной потенциальной теории исследовано движение с постоянной скоростью
сферы, погруженной в бесконечно глубокой жидкости под ледяным покровом, который моде­
лируется тонкой упругой пластиной. Рассмотрена задача о генерации изгибно-гравитационных
волн при различных колебаниях сферы (продольных, поперечных и вертикальных). Использо­
ван метод мультипольных разложений. Представлены численные результаты для радиационной
нагрузки: присоединенной массы и коэффициентов демпфирования. При нулевых значениях
жесткости пластины и ее массы полученные результаты для гидродинамической нагрузки сов­
падают с известными данными для жидкости со свободной поверхностью.
Ключевые слова: задача радиации при наличии хода, ледяной покров, погруженная сфера,
присоединенные массы, коэффициенты демпфирования.
В последние годы значительно возрос интерес к освоению полярных районов Миро­
вого океана. В связи с этим появилась необходимость в решении новых задач, посвя­
щенных процессам волнообразования в сплошном ледяном покрове. Ранее достаточно
подробно была исследована задача о движении внешней нагрузки по поверхности льда
(см. обзоры [1; 2]). Однако воздействие движущегося погруженного тела и действующие
на него гидродинамические нагрузки еще мало изучены. В настоящее время известны
лишь работы, в которых определены коэффициенты присоединенной массы и демпфи­
рования при чисто колебательном движении горизонтального цилиндра произвольного
сечения в линейно стратифицированной жидкости [3] и сферы в однородной и двухслой­
ной жидкости [4–6].
Построено решение задачи о движении сферы в невязкой, несжимаемой и бесконеч­
но глубокой жидкости под ледяным покровом, который моделируется тонкой упругой
напряженной пластиной постоянной толщины. Частные случаи этой задачи — движение
погруженной сферы под битым льдом, мембраной, а также под свободной поверхностью
как при наличии, так и при отсутствии капиллярных эффектов. Использован метод муль­
типольных разложений в рамках линейной потенциальной теории волн. Отметим, что
решение задачи о совместном поступательном и колебательном движении погруженной
сферы под обычной свободной поверхностью получено ранее [7; 8]; ниже эти результаты
распространены на случай, когда жидкость ограничена сверху ледяным покровом.
Постановка задачи
Рассматривается задача для сферы радиусом a, которая движется поступательно с
постоянной горизонтальной скоростью u и одновременно совершает колебания по любой
ISSN 1818-7897. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, вып. 4. C. 114–122
c И. В. Стурова, 2012
�
Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело
115
из трех возможных степеней свободы (горизонтальной, поперечной, вертикальной) с уг­
ловой частотой σ. Верхняя граница жидкости является ледяным покровом. Жидкость
предполагается невязкой, несжимаемой и бесконечно глубокой. Ледяной покров модели­
руется тонкой упругой пластиной, находящейся в состоянии равномерного растяжения
или сжатия.
В подвижной системе координат (x, y, z), связанной со сферой, плоскость z = 0 сов­
падает с невозмущенной верхней границей жидкости, и ось z направлена вертикально
вверх. Центр сферы помещен в точке x = y = 0, z = −h (h > 0), где h — глубина
погружения тела. Определим также сферическую систему координат (r, θ, β) c началом
в центре сферы. Две введенные системы координат связаны соотношениями
x = r sin θ cos β,
y = r sin θ sin β,
z = r cos θ − h.
Потенциал скоростей движения жидкости представим в виде
Φ(x, y, z, t) = u[φ̄(x, y, z) − x] + Re
3
�
ηj φj (x, y, z) exp(iσt) ,
(1)
j=1
¯ — стационарный потенциал, соответствующий поступательному движению сферы
где φ
с единичной скоростью; φj (j = 1, 2, 3) — радиационные потенциалы, обусловленные
колебаниями тела с амплитудами ηj .
Малые вертикальные прогибы ледяного покрова w(x, y, t) можно по аналогии с (1)
представить в виде
w(x, y, t) = w̄(x, y) + Re
3
�
ηj wj (x, y) exp(iσt) .
j=1
Потенциал скоростей Φ(x, y, z, t) удовлетворяет уравнению Лапласа в области, заня­
той жидкостью,
ΔΦ = 0 (−∞ < x, y < ∞, z < 0).
(2)
Кинематические и динамические условия на верхней границе жидкости (z = 0) име­
ют вид
(
) ∂φ
¯
¯
¯
∂2
∂2φ
∂w̄
∂φ
+ ρu2 2 = 0,
=−
,
DΔ22 + QΔ2 + M u2 2 + ρg
∂z
∂x
∂x
∂z
∂x
(
[
(
)2
]
∂ )
∂φ
∂
,
DΔ22 + QΔ2 + M iσ − u
+ ρg wj +
iσ − u
wj =
∂x
∂z
∂x
(
∂ )
+ ρ iσ − u
φj = 0,
∂x
(3)
(4)
где D = Eh31 /[12(1 − ν2 )], M = ρ1 h1 , Δ2 = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 , E, ν, Q, ρ1 и h1 — мо­
дуль Юнга, коэффициент Пуассона, усилие сжатия (Q > 0) или растяжения (Q < 0),
плотность и толщина ледяного покрова, ρ — плотность жидкости, g — ускорение силы
тяжести. В частном случае при D = 0, Q = −T , M �= 0 верхняя граница жидкости пред­
ставляет собой мембрану с коэффициентом натяжения T . При M = 0 в этом случае T —
коэффициент поверхностного натяжения, а возникающие волны являются капиллярно­
гравитационными. При D = Q = 0, M =
� 0 верхняя граница представляет собой битый
лед, а если при этом и M = 0, то имеем случай обычной свободной поверхности.
116
И. В. Стурова
На поверхности тела выполняются условия непротекания
∂φ̄/∂n = n1 ,
∂φj /∂n = iσnj + umj (j = 1, 2, 3)
(r = a),
(5)
где (n1 , n2 , n3 ) = (nx , ny , nz ), (m1 , m2 , m3 ) = (n · ∇)∇(φ̄ − x), n — внутренняя нормаль
к телу. В рассматриваемом случае бесконечно глубокой жидкости должно выполняться
условие затухания волновых возмущений с глубиной
(6)
∇Φ → 0 (z → −∞).
В дальнем поле требуется выполнение условия излучения, которое означает, что рас­
пространяющиеся впереди тела волны могут быть только в случае, когда их групповая
скорость больше скорости тела, в противном случае волновые движения существуют
только за телом.
Мультипольные разложения
Для решения задачи (2)–(6) использован метод мультипольных разложений [8], ос­
нованный на присоединенных функциях Лежандра Pnm , согласно которому решение для
стационарного потенциала представим в виде
¯=
φ
∞ �
n
�
A¯m
n
n=0 m=0
an+1 m
an+1 im
P
(cos
θ)
cos
mβ
+
n
r n+1
2π(n − m)!
π
−π L1
T1
Λ cos mγ dkdγ ,
Z1
(7)
где
T1 (k, γ) = Z1 (k, γ) + 2ρu2 k cos2 γ,
Λ(k, γ) = kn exp[k(z − h + i(x cos γ + y sin γ))];
Z1 (k, γ) = Dk4 − Qk2 − u2 k cos2 γ(ρ + M k) + ρg.
Подробное решение стационарной задачи дано в [9].
Радиационные потенциалы φj (x, y, z) с использованием мультипольных разложений
имеют вид
φj =
∞ �
n
�
Anm
n=0 m=0
+
∞
�
n
�
n=0 m=0
an+1 m
an+1 im
P
(cos
θ)
cos
mβ
+
n
r n+1
2π(n − m)!
Bnm
π
−π L2
an+1 m
an+1 im
P
(cos
θ)
sin
mβ
+
r n+1 n
2π(n − m)!
T2
Λ cos mγ dkdγ +
Z2
π
−π L2
T2
Λ sin mγ dkdγ , (8)
Z2
где
T2 (k, γ) = Z2 (k, γ) + 2ρ(σ − uk cos γ)2 ,
Z2 (k, γ) = k(Dk4 − Qk2 + ρg) − (σ − uk cos γ)2 (ρ + M k).
Контуры интегрирования L1 и L2 в (7), (8) проходят по вещественной оси k от нуля
до бесконечности. Подынтегральное выражение имеет простые полюса, которые опре­
деляются положительными корнями уравнений Z1 = 0 и Z2 = 0 соответственно. Для
Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело
117
выбора правильного пути обхода этих полюсов необходимо использовать условие из­
лучения и дисперсионное соотношение для изгибно-гравитационных волн, которое для
бесконечно глубокой жидкости имеет вид [9] ω = k(Dk4 − Qk2 + ρg)/(ρ + M k). Это
уравнение определяет связь между частотой волны ω и ее волновым числом k. Фазовая
скорость волны равна cf (k) = ω(k)/k, а ее групповая скорость — cg (k) = dω(k)/dk.
√
Имеется ограничение на величину сжатия Q. Условие Q < Q∗ ≡ 2 ρgD обеспечивает
устойчивость плавающего ледяного покрова [9]. В данной работе предполагается также,
что Q < Q0 < Q∗ , где Q0 определяется условием положительности групповой скоро­
сти. Метод определения Q0 для жидкости конечной глубины дан в [11]. Значение Q0
и соответствующее ему k0 находятся из решения уравнений cg (k0 ) = dcg (k0 )/dk = 0.
В предположении малости инерционных сил (M = 0) значения k0 и Q0 определяют­
√
√
ся явно: k0 (D/ρg)1/4 = 5−1/4 ≈ 0,669, Q0 / ρgD = 20/3 ≈ 1,491. С увеличением M
значения Q0 и k0 уменьшаются.
Фазовая и групповая скорости для изгибно-гравитационных волн имеют минималь­
ные значения, которые обозначим соответственно Uf ≡ cf (kf ) и Ug ≡ cg (kg ), где kf соот­
ветствует волновому числу, при котором dcf (kf )/dk = 0, и аналогично для kg < kf имеем
dcg (kg )/dk = 0. Основные свойства изгибно-гравитационных волн в дальнем поле для
задачи о суперпозиции поступательного и колебательного движений тела определены
в [11–13] на примере решения задачи о пульсирующем давлении, равномерно движущем­
ся по ледяному покрову на поверхности жидкости конечной глубины. Для бесконечно
глубокой жидкости эти результаты можно представить в более простой форме.
Функцию Z2 (k, γ) в (8) удобно записать при |γ| < π/2 в виде
Z2 (k, γ) = (ρ + M k)Ψ2 Ψ3 ,
а при |γ| > π/2 после замены γ на π − γ — в виде
Z2 (k, γ) = (ρ + M k)Ψ1 Ψ4 ,
где
Ψ1,2 (k, γ) = ω(k) + σ ± kU,
Ψ3,4 (k, γ) = ω(k) − σ ± kU,
U = u cos γ.
Интервал интегрирования по γ в (8) сведен к отрезку [0, π/2]. Функция Ψ1 (k, γ) не
имеет положительных нулей в этой области. Функция Ψ2 (k, γ) может иметь не более
(1)
(2)
(1)
(2)
двух нулей, обозначенных k2 и k2 (k2 < k2 ). Оба нуля существуют только при
u > U1 (σ) ≡ cg (k1∗ ) и 0 < γ < γ1 , где волновое число k1∗ удовлетворяет уравнению
kcg (k) − ω(k) = σ и γ1 = arccos(U1 /u). Если указанные условия не выполняются, то
функция Ψ2 (k, γ) не имеет нулей. Функция Ψ3 (k, γ) всегда имеет только один корень
k3 для любых значений γ ∈ [0, π/2]. Уравнение Ψ4 (k, γ) = 0 может иметь не более
трех корней, причем один корень существует всегда, а два дополнительных — только
при σ < σ∗ ≡ ω(kg ) − kg Ug и U3 < U < U2 . Функции U2 (σ) и U3 (σ) определяются
следующим образом: U2 = cg (k2∗ ), U3 = cg (k3∗ ), где значения k2∗ < kg < k3∗ являются
корнями уравнения
ω(k) − kcg (k) = σ.
(9)
118
И. В. Стурова
(1)
Если для заданной частоты σ < σ∗ значение скорости u > U2 (σ), то три корня k4
<
(2)
k4
<
(3)
k4
<
существуют только для γ2 < γ < γ3 . Однако если U3 (σ) < u < U2 (σ), тогда
три корня существуют только для 0 < γ < γ3 , где γ2 = arccos(U2 /u) и γ3 = arccos(U3 /u).
Для битого льда (D = Q = 0) уравнение Ψ2 (k, γ) = 0 всегда имеет только один
(1)
корень k2 > k3 . Функция Ψ4 (k, γ) может иметь не более двух нулей, обозначенных k4
(2)
и k4
(1)
(k4
(2)
< k4 ), для некоторых значений γ и только при σ <
U∗
gρ/M . Оба нуля
существуют только при U >
≡
где
удовлетворяет (9). При u < U ∗ корни
(1) (2)
k4 , k4 существуют для всех значений γ ∈ [0, π/2]. Однако при u > U ∗ эти корни
cg (k4∗ ),
k4∗
существуют только для γ > arccos(U ∗ /u). В случае свободной поверхности (D = Q =
= M = 0) получим известный результат [7; 8]: k4∗ = 4σ2 /g, U ∗ = 0, 25g/σ.
m
m
Для определения неизвестных коэффициентов Ām
n , An , Bn в (7), (8) используют­
ся граничные условия (5) на поверхности сферы и соотношения ортогональности для
присоединенных функций Лежандра. Получающиеся бесконечные системы линейных
алгебраических уравнений совпадают с приведенными в [8] и здесь не приводятся ввиду
их громоздкости. При численном решении этих систем используется метод редукции.
Гидродинамическая нагрузка, действующая на погруженное тело, определяется в ре­
зультате интегрирования распределения давления жидкости по его поверхности. Стаци­
онарная нагрузка, действующая на равномерно движущуюся сферу, определяется толь­
ко силой F = (F1 , F2 , F3 ), где
1
Fj = − ρu2
2
S
∇(φ̄ − x)∇(φ̄ − x)nj dS
(j = 1, 2, 3),
так как моменты относительно центра сферы равны нулю. Ненулевыми компонентами
стационарной нагрузки являются только компоненты сил в направлении осей x и z,
соответствующие волновому сопротивлению и подъемной силе. Расчеты для этих ха­
рактеристик даны в [9].
Радиационная гидродинамическая нагрузка равна
τij = σ2 µij − iσλij = −ρ
S
[iσφj + u∇(φ̄ − x)∇φj ]nj dS,
где µij и λij представляют соответственно присоединенные массы и коэффициенты демп­
фирования. Для сферы ненулевыми компонентами радиационной нагрузки являются
только диагональные элементы τjj (j = 1, 2, 3), а также τ13 и τ31 . Выражения для этих
m
m
компонент через коэффициенты Ām
n , An , Bn совпадают с приведенными в [8].
Численные результаты
Для выполнения численных расчетов использованы следующие значения исходных
параметров: E = 5 · 109 Па, ρ = 1 025 кг/м3 , ρ1 = 922,5 кг/м3 , ν = 0, 3, a = 10 м.
Рис. 1 показывает зависимости Uj (j = 1, 2, 3) от частоты для льда толщиной h1 = 1 м
при Q = 0. Кривые Uj делят плоскость (σU ) на четыре области Sn (n = 1, . . . , 4).
При значениях параметров σ и U из области S1 в дальнем поле существуют все шесть
(1) (2)
(1) (2) (3)
возможных волн: k2 , k2 , k3 , k4 , k4 , k4 . Для областей S2 и S3 существуют четыре
Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело
119
Рис. 1. Зависимость Uj (j = 1, 2, 3) от частоты при h1 = 1 м, Q = 0
(1)
(2)
(1)
волны: k2 , k2 , k3 , k4
(1)
волны: k3 , k4 .
(1)
(2)
(3)
и k3 , k4 , k4 , k4
соответственно. Для области S4 — только две
В случае битого льда значение критической скорости U ∗ в виде безразмерного ком­
плекса σU ∗ /g в зависимости от частоты показано на рис. 2 для различных толщин льда.
В этом случае плоскость (σU ) делится на две области: S1 и S2 . Существуют четыре вол­
(1)
(2)
ны (k2 , k3 , k4 , k4 ) в дальнем поле для значений из области S1 и две волны (k2 , k3 ) для
области S2 .
Рис. 2. Влияние частоты на безразмерную величину σU ∗ /g для битого льда
120
И. В. Стурова
Рис. 3. Зависимость присоединенных масс (а) и коэффициентов демпфирования (б) от частоты
для свободной поверхности и битого льда
Рис. 4. Зависимость присоединенных масс (а) и коэффициентов демпфирования (б) от частоты
для сплошного ледяного покрова
Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело
121
Поведение радиационной нагрузки в зависимости от частоты колебания тела показа­
но на рис. 3 для сферы, погруженной на глубине h = 2a под свободной поверхностью и
√
битым льдом, при значении скорости u/ ga = 0, 4. Использованы безразмерные значе­
ния: µ̄ij = µij /(πρa3 ), ¯λij = λij /(πρa3 σ). Результаты для случая свободной поверхности
сопоставлены с табличными значениями [7]. Значения τ31 здесь не представлены, так
как при относительно малой скорости движения тела выполняется равенство τij = −τji
(i �= j). Некоторые коэффициенты радиационной нагрузки резко меняются в окрест­
ности критической частоты, которая при заданной скорости движения сферы для сво­
бодной поверхности составляет σ2 a/g ≈ 0,3906. Критические частоты уменьшаются с
толщиной битого льда, как это следует из рис. 2: σ2 a/g ≈ 0,34603; 0,31456; 0,27118 при
h1 = 0, 5; 1; 2 м соответственно.
Влияние сплошного ледяного покрова на поведение радиационной нагрузки пред­
√
ставлено на рис. 4 при u/ ga = 0, 4 и h = 2a для различных толщин льда, а также
значений усилия сжатия. Для сравнения показаны значения радиационной нагрузки
при замене ледяного покрова твердой крышкой. В этом случае ненулевыми значени­
ями радиационной нагрузки являются только µjj (j = 1, 2, 3) и λ13 = −λ31 . Из рис. 4
следует, что диагональные коэффициенты присоединенной массы для ледяного покрова
и твердой крышки при заданной скорости движения тела практически совпадают, но
для коэффициента демпфирования λ13 это имеет место лишь при относительно толстом
ледяном покрове h1 = 2 м. Из сравнения результатов, представленных на рис. 3, 4, вид­
но, что радиационная нагрузка в случае сплошного ледяного покрова меньше, чем в
случаях битого льда и свободной поверхности. Однако следует отметить, что представ­
ленные на рис. 4 значения радиационной нагрузки относятся к случаю, когда скорость
движения тела относительно мала и не превышает минимальной групповой скорости
изгибно-гравитационных волн для всех рассмотренных случаев толщины льда и усилия
сжатия. С увеличением скорости движения тела появятся критические частоты, соот­
ветствующие границам областей Sn (n = 1, . . . , 4) на рис. 1. В окрестности критических
частот возможно резкое увеличение радиационной нагрузки.
Заключение
Следует отметить, что используемое моделирование ледяного покрова тонкой упру­
гой пластиной может быть применено только в случаях, когда толщина пластины мно­
го меньше длины образующихся волн. Применяемый метод мультипольных разложений
наиболее эффективен при исследовании движения сферы, и полученные результаты
могут быть использованы для тестирования вычислительных алгоритмов, предназна­
ченных для решения задачи о движении тела более сложной формы.
Список литературы
1. Squire V. A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J. Moving Loads on Ice Plates.
Dordrecht: Kluwer, 1996.
122
И. В. Стурова
2. Bukatov A. E., Zharkov V. V. Formation of the Ice Cover’s Flexural Oscillations by
Action of Surface and Internal Ship Waves. Pt. I. Surface Waves // Int. J. Offshore and Polar
Engng. 1997. Vol. 7. No. 1. P. 1–12.
3. Стурова И. В. Гидродинамические нагрузки, действующие на колеблющийся ци­
линдр, погруженный в стратифицированную жидкость, при наличии ледяного покро­
ва // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 3. С. 102–115.
4. Das D., Mandal B. N. Water Wave Radiation by a Sphere Submerged in Water with
an Ice-Cover // Arch. Appl. Mech. 2008. Vol. 78. No. 8. P. 649–661.
5. Das D., Mandal B. N. Water Wave Radiation by a Sphere Submerged a Two-Layer
Ocean with an Ice-Cover // Appl. Ocean Res. 2010. Vol. 32. No. 3. P. 358–366.
6. Mohapatra S., Bora S. N. Radiation of Water Waves by a Sphere in an Ice-Covered
Two-Layer Fluid of Finite Depth // J. Advvanced Res. Appl. Math. 2010. Vol. 2. No. 1.
P. 46–63.
7. Wu G. X., Eatock Taylor R. Radiation and Diffraction of Water Waves by a Submerged
Sphere at Forward Speed // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1988. Vol. 417. No. 1853. P. 433–
461.
8. Wu G. X. Radiation and Diffraction by a Submerged Sphere Advancing in Water Waves
of Finite Depth // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1995. Vol. 448. No. 1932. P. 29–54.
9. Стурова И. В. Движение погруженной сферы в жидкости под ледяным покро­
вом // ПММ. 2012. Т. 76, № 3. С. 406–417.
10. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.
11. Букатов А. Е. Влияние продольно сжатой упругой пластинки на неустановив­
шееся волновое движение однородной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 5.
С. 68–75.
12. Букатов А. Е., Черкесов Л. В. Неустановившиеся колебания упругой пластинки,
плавающей на поверхности потока жидкости // Прикл. мех. 1977. Т. 13, № 9. С. 103–107.
13. Букатов А. Е., Ярошенко А. А. Развитие трехмерных изгибно-гравитационных
волн при движении области давлений переменной интенсивности // ПМТФ. 1986. № 5.
С. 54–60.
Материал поступил в редколлегию 15.07.2012
Адреса авторов
СТУРОВА Изольда Викторовна
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН
пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090, Россия
e-mail: sturova@hydro.nsc.ru