У С. И. Иванов, И. А. Типцова*, Н. В. Меньшутина

Успехи в химии и химической технологии. ТОМ XXIX. 2015. № 4
УДК 004.942
С. И. Иванов, И. А. Типцова*, Н. В. Меньшутина
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия
125480, Москва, ул. Героев Панфиловцев, д. 20
* e-mail: yirish@yandex.ru
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
КЛЕТОЧНЫХ
АВТОМАТОВ
С
ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ
РАЗМЕРАМИ КЛЕТОК ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА РАСТВОРЕНИЯ
Аннотация
Процесс растворения твёрдых тел находит широкое применение во многих направлениях науки и техники, поэтому
актуальной задачей является его моделирование. В представленной работе предлагается использование клеточных
автоматов с изменяющимися размерами клеток для моделирования процесса растворения твёрдых тел.
Ключевые слова: математическое моделирование, клеточные автоматы, моделирование растворения.
На сегодняшний день существует несколько
моделей описания процесса растворения твердых тел.
Наибольшее распространение получили модели на
основе клеточных автоматов [1]. Во всех ранее
известных
клеточно-автоматных
моделях
растворения клетки имеют фиксированный размер
[2], что накладывает некоторые ограничения на
модель: 1) переход вещества из твердого состояния в
жидкое происходит за одну итерацию; 2) невозможно
учесть реальное изменение размеров твердого тела
при набухании, что не позволяет учитывать этот
процесс при моделировании процесса растворения.
Данные ограничения оказывают влияние на точность
расчетов по этим математическим моделям [3].
В предлагаемой математической модели приняты
следующие допущения:
1) система представляет собой совокупность клеток;
2) поле имеет открытые границы, вещество удаляется
из граничных клеток на каждой итерации;
3) каждая клетка имеет три характеристики: тип
вещества, количество вещества и агрегатное
состояние (твердое, жидкость);
4) расчет процессов ведется итеративно (на каждой
итерации процессы растворения и диффузии
вещества происходят в один промежуток времени).
Модель процесса растворения описывается
следующим уравнением:
dC
dt
DF (Ci C j ),
вещества из твердого состояния в жидкость, т.е. в
клетке с состоянием «твердое» количество вещества
уменьшается, а в клетках в состоянии «жидкость»
количество растворяемого вещества увеличивается.
В данной модели возможны различные состояния
клеток и их соседей в клеточном автомате. Если
клетка с твердым веществом с четырех сторон
окружена клетками с жидкостью, следовательно, со
всех ее сторон происходит смещение границ клеток
жидкость-твердое вещество, и она уменьшается в
размерах. Когда клетка с твердым веществом
окружена тремя клетками с жидкостью и клеткой с
твердым веществом, следовательно, только с трех
сторон граница клеток «жидкость-твердое вещество»
будет смещаться в ее сторону. Соответственно, в
случае, клетка с твердым веществом граничит с двумя
клетками с жидкостью, смещение границы клеток
«жидкость-твердое вещество» происходит только с
двух сторон.
Расчет процесса растворения производится
следующим образом. В качестве входных параметров
задается линейный размер поля – N клеток и
максимальное содержание каждого вещества в
объеме клетки. В процессе растворения из клеток с
твердым веществом вещество переходит в клетки с
жидкостью, следовательно, объем вещества в клетках
изменяется. На этом основании можно считать, что
изменяется и размер клеток (клетка с твердым
веществом уменьшается, клетка с жидкостью
увеличивается). Все расстояния между центрами
клеток хранятся в связанной матрице, которая
представляется в таблице 1. Связанная матрица
содержит расстояния между центрами восьми
соседних клеток, что позволяет в процессе расчета
изменять размер клеток, или удалять клетки (при
полном растворении твердого вещества в клетке).
(1)
где D – коэффициент диффузии, F – площадь
поверхности контакта взаимодействующих клеток,
Ci, Cj – концентрации в i-ой и j-ой ячейках.
Во всех парах клеток жидкость–твердое вещество
происходит смещение их границы в сторону клетки с
твердым веществом, при этом происходит перенос
Таблица 1. Связанная матрица
№ i-ой ячейки
1
1
…
№ j-ой ячейки
2
3
…
Расстояние i-j
dl12
dl13
…
Расстояние j-i
dl21
dl31
…
Обозначения в таблице: dl12 – расстояние от центра клетки 1 до границы 1-ой и 2-ой клеток; dl21 – расстояние от центра
клетки 2 до границы 1-ой и 2-ой клеток; dl13 – расстояние от центра клетки 1 до границы 1-ой и 3-ей клеток; dl31 – расстояние
от центра клетки 3 до границы 1-ой и 3-ей клеток.
45
Успехи в химии и химической технологии. ТОМ XXIX. 2015. № 4
Процесс взаимодействия соседних клеток можно
описать на примере взаимодействия двух клеток –
клетка 1 с жидкостью, и клетка 2 с твердым
веществом. В процессе растворения изменяется
расстояние между центрами клеток и происходит
постепенное смещение границы в сторону клетки с
твердым веществом. При дальнейшем растворении
происходит «смещение центра» – ситуация, при
которой из клетки 2 вещество переходит в клетку 1,
при этом уменьшается объем клетки 2 (объем клетки
1 увеличивается). Рассчитанное расстояние dl2
становится при этом отрицательным, и чтобы этого
1
избежать происходит смещение центра клетки 2 (при
этом dl2` становится положительным). Если же
«смещение центра» невозможно из-за отсутствия
вещества в клетке, то такая клетка удаляется.
На рисунке 1 представлена визуализация работы
программы на выбранных итерациях. Круг в центре
поля представляет собой твердое тело. Как видно из
рисунка 1, с увеличением итераций происходит
растворение твердого тела
–
уменьшается
интенсивность цвета круга и размываются его
границы.
10
30
60
150
450
Рис. 1. Визуализация работы программы на выбранных итерациях
850
условия растворения твердого тела, либо при
достижении максимального числа итераций.
На рисунке 2 представлена блок-схема алгоритма
расчета программы. Из блок-схемы видно, что
процесс расчета заканчивается при выполнении
Рис. 2. Блок-схема алгоритма расчета программы
Данная
клеточно-автоматная
модель
с
изменяющимся размером клеток имеет ряд
преимуществ:
● дает возможность качественного изображения
геометрической формы;
● постепенное сокращение клеток с твердым
веществом уменьшает количество элементов
клеточного автомата, что ускоряет процесс расчета;
● позволяет учесть процесс набухания;
● дает возможность рассчитывать любые тела,
подвергающиеся деформации, а также гибкие тела.
На рисунке 3 представлены графики плотности
распределения вещества. Как видно из графиков, на
итерации №1 в системе существуют только два типа
клеток – с концентрацией вещества, равной 0, и с
максимально заданной концентрацией вещества,
равной 255. На итерации №100 количество клеток с
концентрацией, равной 0, уменьшилось примерно в
2,5 раза. Из графика видно, что с увеличением
итераций, в системе происходит постепенное
выравнивание значений концентрации в клетках.
46
Успехи в химии и химической технологии. ТОМ XXIX. 2015. № 4
Рис. 3. Графики плотности распределения вещества
Разработанный алгоритм является достаточно
ресурсоемким с точки зрения времени, но удаление
ячеек с твердым веществом в ходе растворения
позволяет ускорить процесс расчета. Тем не менее,
повышение производительности расчета является
приоритетной
задачей.
Поэтому,
видимой
перспективой является применение параллельных
вычислений с помощью технологии CUDA. Работа
выполнена при финансовой поддержке Министерства
образования и науки РФ в рамках проектной части
государственного задания.
Иванов Святослав Игоревич, к.т.н., с.н.с. МУНЦ РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Типцова Ирина Александровна, студентка 5 курса факультета Информационных технологий и управления
РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Наталья Васильевна Меньшутина, д.т.н., проф. кафедры Кибернетики химико-технологических процессов
РХТУ им. Д.И. Менделеева, Россия, Москва.
Литература
1. Меньшутина Н.В., Иванов С.И., Шипилова Д.Д. Моделирование растворения твердых тел с
помощью клеточных автоматов. // Программные продукты и системы. – 2012. – № 1. – C. 151-154.
2. Mathematical modeling of drug dissolution / J. Siepmann, F. Siepmann // International Journal of
Pharmaceutics. – 2013. – № 453. – P.12-24.
3. Cellular automata model for drug release from binary matrix and reservoir polymeric devices / Laaksonen
T.J. [et al.]. Biomaterials. – 2009. – №30. – P.1978-1987.
Ivanov Sviatoslav Igorevich, Tiptsova Irina Alexandrovna*, Menshutina Natalia Vasilievna
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia.
* e-mail: yirish@yandex.ru
THE USE OF ON CELLULAR AUTOMATA WITH CHANGING SIZES OF CELLS FOR THE
MODELING OF DISSOLUTION
Abstract
The process of dissolution of solids finds wide application in many fields of science and technology, so urgent task is its
modeling. In the present work, we propose the use of cellular automata with changing sizes of cells for modeling the process
of dissolution of solids.
Key words: mathematical modeling, cellular automata, modeling of dissolution.
47