Зонная теория

Основы физики твердого тела
Зонная теория: два подхода
•
•
•
лекция №3
Используют два подхода к нахождению энергий электронов в
периодическом потенциале кристаллической решетки
Подход #1: приближение “связанных” электронов (одноатомные
уровни энергий!)
– Изолированные атомы сближаются друг к другу, формируя
твердое тело
Подход #2: приближение “несвязанных” или свободных электронов (E = p2/2m)
– Свойства свободных электронов модифицируются периодическим потенциалом (т.е решеткой ионов).Оба подхода приводят к появлению групп уровней энергии с разрешенными и
запрещенными энергетическими зонами
Энергетические зоны перекрываются для металлов.
Энергетические зоны не перекрываются (или имеют “щели”) для
полупроводников и изоляторов
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Подход #1: Сближаем изолированные атомы друг к другу до
формирования кристалла
изолированные атомы
Кристаллы (уровни энергии расщепляются за счет
принципа Паули)
энергетические зоны
discrete
energy
levelsоснованы следующие методы расчета
На таком
подходе
зонной структуры
z Метод сильной связи
z Метод Вигнера-Зейтца
лекция №3
z Метод псевдопотенциала – развитие метода ортогонализованных
плоских волн
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Подход #2: Свойства свободных электронов модифицируются
периодическим потенциалом
Начнем с рассмотрения электронов в слабом периодическом
потенциале, что позволит нам понять металлы, полупроводники
и диэлектрики с точки зрения зонного приближения.
Зонная теория твердых тел разработана в одноэлектронном приближении. Предполагается, что любой электрон в
любом месте кристалла может быть описан эффективным
потенциалом U(r).
Волновая функция ψ собственного состояния с определенной
собственной энергией ε рассчитывается в предположении
идеальной кристаллической решетки.
Собственные состояния, полученные из решения уравнения
Шредингера заполняются в соответствии с распределением
Ферми-Дирака.
лекция №3
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Данный подход достаточно хорошо описывает свойства металлов I-IV
группы таблицы Менделеева (металлы с s- и p- электронами проводимости).
Почему сильное взаимодействие электронов между собой и с положительно заряженными ионами приводит к суммарному эффекту, описываемому слабым потенциалом?
1. Взаимодействие между электронами и ионами наиболее сильно на
малых расстояниях. Но электронам проводимости принцип Паули
не позволяет находиться вблизи ионов, так как эта область занята
электронами ионного остова.
2. В той области, где электроны проводимости могут находиться,
суммарный потенциал, действующий на отдельный электрон,
дополнительно уменьшается за счет экранировки поля положительных ионов электронами проводимости.
лекция №3
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Рассмотрим электрон, движущийся в одномерном периодическом
потенциале с периодом а. Для малых волновых векторов его
волновая функция будет представлять собой плоскую волну
ψ=exp(ikx). Однако, теорема Блоха утверждает, что одновременно
вблизи границы зоны Бриллюэна волновая функция электрона
может быть записана и как ψ=exp(-ikx). Это утверждение наглядно
иллюстрируется следующим рисунком:
E
− 6π − 4π − 2π
a
a
a
2π
a
4π 6π
a a
kx
Схема расширенных зон
лекция №3
Когда k=π/a очевидно, что возникают сильные интерференционные
эффекты.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Таким образом, вблизи границы зоны Бриллюэна истинная волновая
функция должна быть записана как линейная комбинация двух состояний
⎛ 2 cos kx ⎞
1
⎟
{exp(ikx ) ± exp(−ikx )} = ⎜⎜
ψ± =
⎟
2
⎝ 2 i ⋅ sin kx ⎠
Решая теперь уравнение Шредингера для электронов в кристалле
r⎞
⎛ h2
∆ + U(r )⎟⎟ψ = Eψ
Hψ = ⎜⎜ −
⎝ 2m
⎠
и ограничиваясь первым порядком в теории возмущений (напомним, что
работаем в предположении слабого потенциала) получаем, что кинетическая энергия для состояний ψ+ и ψ- одинакова, а среднее значение потенциальной энергии отличаются знаком
Uk = U± = ∫ ψ *±U( x )ψ ± dx
лекция №3
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Таким образом на границе зоны Бриллюэна получаем щель в законе
дисперсии для электронов.
Свободные электроны
ε
ε
ε
0
лекция №3
Электроны в периодическом
потенциале
k
k
j
-π/a
0
π/a
k
k
Энергетическая
щель шириной 2 Uk
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
зонные
схемы:
Аналогичные рассуждения приводят к появлению щелей в
энергетическом спектре и для
волновых векторов на границе
второй, третьей и т.д зон
Бриллюэна. Физически эффект
полностью аналогичен явлению дифракции плоской волны
на периодической решетке. В
итоге
получаем
набор
энергетических
зон
для
электронов
в
кристалле,
схематически показанный на
рисунке.
лекция №3
расширенная
приведенная
запрещенные
состояния
периодическая
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Начинаем теперь заполнять
зоны электронами с учетом
принципа Паули.
EF
лекция №3
Когда уровень Ферми лежит в зоне разрешенных состояний у электрона
есть возможность перейти в состояние с более высокой энергией.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
EF
лекция №3
С увеличением числа электронов уровень Ферми приближается к верхней границе зоны.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Когда уровень Ферми попадает в
запрещенную зону, электронам требуется
конечная энергия для перехода в разрешенную зону.
EF
лекция №3
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Из лекции №2 вспомним, что полное число значений волновых векторов электронов в кристалле равно N - числу элементарных ячеек в
нем. Отсюда следует, что каждая элементарная ячейка в каждой
энергетической зоне дает точно одно независимое значение k.
Если учесть, что электрон обладает спином 1/2, то общее число
независимых состояний (орбиталей) в каждой энергетической зоне
равно 2N. Отсюда, например, если на каждую элементарную ячейку
кристалла приходится один атом одновалентного элемента, то в
энергетической зоне будет занято электронами ровно половина
возможных состояний (уровней). Если кристалл состоит из атомов
двухвалентного элемента и каждый атом отдает в энергетическую
зону два электрона, то зона будет заполнена целиком. Таким образом
получаем две возможности:
I. Часть зон полностью заполнена, остальные зона пусты
изолятор (щель ∆ >> kB · T) или
полупроводник (щель ∆ > kB T)
лекция №3
II. Частично заполненные зоны
⇒ металл
или полуметалл (одна из зон
почти заполнена, следующая за
ней зона почти пуста)
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
изолятор
лекция №3
полуметалл
металл
Вышеприведенные рассуждения упрощены. В соответствии с ними,
например, бериллий должен был бы быть изолятором (два
двухвалентных атома → четыре электрона на элементарную ячейку).
Дело в том, что энергетические зоны могут перекрываться и это –
довольно частое явление. Поэтому с точки зрения зонной теории
кристаллы, у которых имеются частично заполненные зоны являются
металлами или полуметаллами, а кристаллы с полностью
заполненными зонами – диэлектриками или полупроводниками.
Полупроводниками называют обычно электронные проводники, электросопротивление которых (при комнатной температуре) лежит в интервале значений от 10-2 до109 Ом·см то есть между хорошими проводниками (10-6Ом·см) и изоляторами (1014-1022Ом·см). Электросопротивление полупроводников обычно сильно зависит от
температуры.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Металл
EC,V
EC,V
EF
T=0K
•
•
•
EF
Конечная T
При T = 0, уровни энергии ниже EF заполнены электронами, а все
уровни выше EF пусты.
Электроны легко переходят в “пустые” состояния зоны проводимости при приложении сколь угодно малого электрического поля
E, что приводит к высокой электрической проводимости!
При T > 0, имеется вероятность перехода электронов из состояний
ниже уровня Ферми в состояния над уровнем Ферми за счет
тепловых возбуждений.
лекция №3
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Полупроводник с не слишком широкой запретной
зоной
T>0
Зона проводимости
(частично заполнена)
EF
EC
EV
Валентная зона
(частично пуста)
•
•
лекция №3
При T = 0, валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости пуста, что приводит к нулевой проводимости.
При T > 0, тепловые флуктуации перебрасывают электроны из валентной зоны в зону проводимости, что ведет к частично пустой
валентной и частично заполненной зоне проводимости.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Допированный полупроводник
•
•
•
лекция №3
Увеличим проводимость полупроводника добавляя в
кристалл малые количества другого материала называемого
допирующей примесью (вместо того чтобы нагревать
кристалл!)
Для элемента IV группы Si, добавляем элемент V группы дающий
дополнительный электрон и получаем Si n- типа
“Дополнительные” электроны попадают в зону проводимости с
энергетического уровня ED, находящегося вблизи дна зоны проводимости EC.
n-type Si
EC
EF
ED
EV
Электронная проводимость возрастает за счет роста
концентрации свободных носителей n.
Уровень Ферми EF сдвигается вверх т.к. возросло число свободных
носителей.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Прямые и непрямые переходы
h 2k 2
E (k ) = E g +
*
2me
h 2k 2
E (k ) = −
*
2mh
лекция №3
Ширина запрещенной зоны в полупроводниках определяется как
разность между наиболее низкой точкой зоны проводимости и наиболее высокой точкой валентной зоны. Эти точки называются,
соответственно, краем зоны проводимости и краем валентной зоны.
Величина собственной проводимости полупроводника и концентрация
соответствующих носителей тока определяется отношением ширины
запрещенной зоны к температуре Eg/kBT.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
По мере возрастания температуры электроны валентной зоны вследствие термического возбуждения будут переходить в зону проводимости.
Электроны в зоне проводимости и дырки (вакантные состояния),
образующиеся в валентной зоне, будут давать вклад в электропроводность. Переходы электронов из одной энергетической зоны в другую
называются межзонными переходами.
лекция №3
В случаях, когда края валентной зоны и зоны проводимости находятся
при одинаковом значении волнового вектора, происходят прямые
электронные переходы.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Прямые и непрямые переходы
лекция №3
Однако зачастую верх валентной зоны и дно зоны проводимости находятся при разных значениях волнового вектора. Более того, форма
зон может иметь несколько экстремумов при различных волновых
векторах, как показано на приведенном рисунке.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Прямые и непрямые переходы
лекция №3
Тогда возможны непрямые электронные переходы. При этом квазиимпульс электрона изменяется (в случае прямых переходов квазиимпульс сохраняется) на некоторую величину q (см. рисунок). Для таких
межзонных переходов необходимо участие в процессе дополнительных видов возбуждений, изменяющих квазиимпульс электрона(и,
соответственно, энергию). Такими дополнительными возбуждениями
зачастую выступают фононы (кванты тепловых колебаний
кристаллической решетки).
© А.В.Белушкин, 2005