Уравнение перетока для сообщающихся сосудов

Франц Герман
Franz Hermann
Франц Герман
Уравнение перетока для сообщающихся сосудов.
1.Общее уравнение
Рассмотрим классическую задачу гидравлики: переток жидкости в
сообщающихся сосудах. Пусть имеем два одинаковых резервуара, соединённых
трубопроводом. Один полностью заполненый, другой пустой. Для простоты будем
считать, что резервуары расположены на одном уровне (Рис. 1) и имеют постоянную
продольную (параллельно зеркалу жидкости) площадь сечения.
В абсолютном большинстве учебников по гидравлике рассматривается задача: за
какое время в обоих резервуарах уровень жидкости установится одинаковым. Мы
будем считать, что время перетока нам известно. Нас будет интересовать вид самого
дифференциального уравнения, описывающего данный процесс.
Рис. 1
Действующей силой данного процесса является сила тяжести, поэтому по
аналогии с процессом свободного падения материальной точки можем записать:
d 2H
= − kg ,
dt 2
(1)
здесь Н – напор (уровень жидкости), g – ускорение свободного падения, t – время, k –
неизвестный пока коэффициент. Знак минус в уравнении стоит потому, что процесс
явялется равнозамедленным, в отличие от равноускоренного процесса свободного
d 2S
падения ( 2 = g ).
dt
Решение уравнения (1) имеет вид:
H = −k
gt 2
+ C1t + C 2 ,
2
(2)
здесь C 1 и C 2 - константы интегрирования, определяемые из начальных и граничных
условий.
Рассмотрим данный процесс относительно полного резервуара, из которого
жидкость вытекает. При t = 0 H = H 0 . Отсюда получаем: C 2 = H 0 . При t = Т (время
1
Франц Герман
Franz Hermann
процесса, за которое происходит выравнивание уровней в резервуарах) H =
H0
. Т. е.
2
можем записать:
H0
1
= − kgT 2 + C 1T + H 0 .
2
2
kgT 2 − H 0
.
Откуда получаем: C 1 =
2T
В точке t = T должен быть экстремум (минимум, т. к. процесс останавливается,
Рис. 2)
Н
H0
H0
2
t
Т
Рис. 2
Т. е. можем записать:
•
H = − kgt + C 1 = 0
(3)
Откуда, при t = T , получаем: C 1 = kgT . Приравнивая два выражения для C 1 ,
kgT 2 − H 0
получаем такое равенство:
= kgT . Из этого равенства находим выражение
2T
для константы k:
k=−
H0
gT 2
(4)
H0
.
T
Подставляя найденные константы в (2), получаем уравнение, показывающее
зависимость напора (уровня) от времени для первого резервуара.
И с учётом (4): C 1 = −
H=
(
H0 2
t − 2Tt + 2T 2
2T 2
)
(5)
Рассмотрим данный процесс относительно второго резервуара, в который
жидкость втекает. При t = 0 H = 0 . Отсюда получаем: C 2 = 0 . При t = Т (время
2
Франц Герман
Franz Hermann
процесса, за которое происходит выравнивание уровней в резервуарах) H =
H0
. Т. е.
2
H0
kgT 2
=−
+ C 1T .
2
2
В точке t = T также должен быть экстремум (максимум, Рис. 3)
можем записать:
Н
H0
H0
2
t
Т
Рис. 3
Рис. 4
Рассуждая аналогично предыдущему, получаем:
k=
H0
gT 2
(6)
H0
.
T
Подставляя найденные константы в (2), получаем уравнение, показывающее
зависимость напора (уровня) от времени для второго резервуара (приток жидкости).
и C1 =
H=−
H0
t (t − 2T )
2T 2
(7)
С учётом найденных констант, уравнение (1) принимает вид:
H
d 2H
= ± 20
2
dt
T
(8)
Если перед правой частью уравнения (8) стоит плюс, то мы имеем уравнение,
описывающее процесс убывания уровня жидкости для первого резервуара. Если –
3
Франц Герман
Franz Hermann
стоит минус, то получаем описание симметричного процесса – притока жидкости во
второй резервуар.
На Рис. 5 показаны диаграммы практического эксперимента перетока воды из
резервуара Р1 в резервуар Р2 (данные эксперимента на диаграмме показаны точками, а
теоретические кривые , построенные по формулам (5) и (7), показаны сплошной
линией.)
18
16
P1_H
P2_H
14
H1
H2
H [sm]
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
t[min]
50
60
70
80
2. Экспоненциальный вид уравнения
Экспоненциальную функцию e − x можно разложить в ряд следующим образом:
x2
−L
2
e−x = 1 − x +
Запишем равенство (5) в таком виде:
2
⎛
H0 2
t 1 ⎛ t ⎞ ⎞⎟
2
⎜
H (t ) =
t − 2Tt + 2T = H 0 1 − + ⎜ ⎟
⎜
T 2 ⎝ T ⎠ ⎟⎠
2T 2
⎝
(
)
Очевидно, что в скобках последнего выражения стоят три первых члена
разложения экспоненциальной функции. Т. о. Можем записать:
H (t ) ≈ H 0 e
−
t
T
(9)
По аналогии с предыдущим равенство (7) будет иметь вид:
⎛ −t
⎞
H (t ) ≈ − H 0 ⎜⎜ e T + 1 ⎟⎟
⎝
⎠
4
(10)
Франц Герман
Franz Hermann
3. Формула скорости воды в трубопроводе сообщающихся сосудов
Формула для вычисления скорости жидкости в трубопроводе имеет вид:
w=
q
,
s
(11)
где q - расход жидкости, s - сечение трубопровода. Расход жидкости вычисляется по
формуле:
V (t )
(12)
q=
t
V (t )
S ⋅ H (t )
= S = const . Тогда можем записать: q =
. Подставляя
H (t )
t
полученное выражение в (11) и с учётом (9), получаем формулу скорости жидкости в
трубопроводе, соединяющем наши резервуары.
По условию задачи
w≈
S ⋅ H 0 − Tt
e
s⋅t
(13)
Под конец хотелось бы отметить, что Природа очень насыщена законами,
которые имеют вид экспоненциальных функций. И, видимо, гидродинамика здесь не
является исключением. Не задаваясь какими-то объяснениями и коментариями мы
просто просмотрели справочник по физике и выписали некоторые классические законы
(см. Приложение).
Данную задачу не сложно обобщить на случай резервуаров, расположенных на
разных уровнях и имеющих другие начальные условия.
Приложение
Экспоненциальные законы физики
1. Механические колебания
A = A0 e
−
btω 0
2n
2. Кинетическая теория газов
Распределение Максвелла
dn = ku 2 du ⋅ e
⎛ u ⎞
⎜
⎟
⎜−u ⎟
⎝ n⎠
Распределение молекул по энергиям
dn w = ξdW ⋅ e
Закон распределения свободных пробегов
5
−
Wn
kT
2
Франц Герман
Franz Hermann
dw ( x ) = nσ ⋅ dx ⋅ e − nσx
3. Статистическая физика
Распределение Гиббса
ω (E ) =
Ω(E ) − Θ
e
Z
E
Барометрическая формула
P = P0 e
−
mgz
kT
4. Квантовая статистика
Распределение Бозе - Эйнштейна
w−µ
gi
= e kT − 1
Ni
Распределение Ферми - Дирака
w−µ
gi
= e kT + 1
Ni
5. Второй закон термодинамики (статистический смысл)
P=e
S
k
6. Броуновское движение
dw = ξ ⋅ e
⎛ x2
⎜−
⎜ 2 ∆2
x
⎝
7. Теория жидкостей
Вязкость
η = Te
W
kT
Коэффициент диффузии
D = ξ ⋅e
−
W
kT
−
Te
2T
8. Теплоёмкость твёрдых тел
Длина свободного пробега фотона
λ = k⋅e
6
⎞
⎟
⎟
⎠
dx
Франц Герман
Franz Hermann
9. Теория плазмы
Потенциал поля точечного заряда
ϕ = ς ⋅e
−
r
D
10. Теория полупроводников
Концентрация электронов проводимости и дырок
n= p=
N C NV ⋅ e
−
∆W
2 kT
Зависимость тока от внешнего напряжения
⎛ eU
⎞
I = I 0 ⎜⎜ e kT − 1 ⎟⎟
⎝
⎠
Эмиссионные явления в металлах. Зависимость плотности тока холодной
эмиссии от напряжённости
j = ξ ⋅e
−
E0
E
−
Rt
L
Явление самоиндукции
I = I 0e
11. Электромагнитные колебания
Амплитуда затухающих колебаний
A = A0 e − βt
12. Основы акустики
Уравнение сферической волны
ϕ=
A i (kr − wt )
e
r
13. Молекулярная оптика
Закон Бутера - Ламберга
I = I 0 e −αd
14. Тепловое излучение
Формула Планка
7
Франц Герман
Franz Hermann
ε = ξe
−
hν
kT
15. Квантовая механика
Решение уравнения Шрёдингера
− it
E
h
f (t ) = e
Объёмная плотность электрического заряда
ρ = ρ0e
−
r
a
16. Элементарные частицы
Волновая функция
Aα ( x ) = ξ α e iPx
Потенциал взаимодействия Юкавы
V (r ) = ge
−
mCr
h
17. Электротехника
падение напряжения и тока в цепи CR
U = U 0e
−
t
CR
I = I 0e
8
−
t
CR