И.П.Спицын В.А. Соколова ОБЩАЯ И РЕЧНАЯ ГИДРАВЛИКА - .. Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности «Гидрология суши» Ленинград Гидрометеоиздат 1990 УДК 532.556.536(075.8) Рецензенты: Одесский гидрометеорологический институт (д-р геогр. наук, проф. А. Г. Иваненко), Государственный гидрологический институт (заслуж. деятель науки и техники, д-р техн. наук, проф. A.J3. Караушев) Рассматриваются вопросы общей и речной гидравлики, ее теория и практические приложения, приводятся несколько характерных примеров гидравлических расчетов и необходимые справочные данные. Предназначен для студентов-гидрологов гидрометеорологических институтов и географических факультетов университетов, а также может служить пособием для студентов вузов родственных специальностей, аспирантов, соискателей и инженеров, работающих в области использования водных ресурсов. The textbook "General and Fluvial Hydraulics" by I. P. Spitsin and V. A. Sokolova deals with problems of general and fluvial hydraulics, its theory and practical applications. The book provides a number of typical examples of hydraulic calculations and the necessary reference information. The textbook is designed for use by students of hydrology at hydrometeorological institutes and in geography departments of universities. It can be also used as a manual for those who major in related subjects, including post-graduate students and engineers working in the field of water resource utilization. (Q гП <57 О </? P БИБЛИОТЕКА с 1805040700 " 0 6 2 • 26-90 069(02)-90 ISBN 5—286—00437—7 © И. П. Спицын, В. А. Соколова, 1990 г. Светлой памяти нашего учителя Виктора Ивановича Полтавцева посвящается ПРЕДИСЛОВИЕ В основу учебника положены лекции по «Общей и речной гидравлике», длительное время читаемые в Ленинградском гидрометеорологическом институте. Курс «Общей и речной гидравлики» занимает особое место в учебном плане гидрологов,- Он призван в значительной степени обеспечить инженерную (техническую) направленность в подгот о в к е ^ у д у щ е г о специалиста. Опираясь на знания высшей математики, шзики и теоретической механики, он, с одной стороны, подготавл явает базу для изучения ряда специальных дисциплин техничес! эго профиля («Основы гидротехники и гидрометрические соору] ;ения», «Водное, хозяйство и водохозяйственные расчеты», «Дина пика русловых потоков» и др.), с другой стороны, призван дать < гудентам знания, необходимые для решения ряда конкретных п >актических задач, связанных с различными случаями движения жидкости. Уч бник написан в соответствии с программой «Общая и речная п дравлика», утвержденной Учебно-методическим управлением : о высшему образованию (1984 г.). В сжатом объеме в нем излагг ются теоретические вопросы, общие д л я всех курсов гидравлики. Зсновное ж е внимание уделено свободному (безнапорному) движе шю жидкости, характерному для естественных водотоков. Учиты зая, что вопросы движения потока с переменным расходом в OTKJ ытом русле и особенности гидравлики бифуркационных и устье! ых участков рек, актуальные для гидрологов, почти не освещ потея в традиционных курсах гидравлик и последних лет, автор] : сочли необходимым дать по ним некоторые сведения в последи] х главах учебника. О с бенностью учебного плана гидрологов является наличие двух юдственных дисциплин, рассматривающих законы движения И| равновесия жидкости. Н а р я д у с курсом «Общей и речной гидра] лики» студентам читается курс «Гидромеханики», в котором эти з коны излагаются с несколько других позиций, что, безуСЛ0ВН1 , расширяет представление о закономерностях движения ж и д к А т и . Настоящий к-урс освещает положения механики жидкости ; позиций одномерного потока с жестким недеформируемым русло] , плановые и пространственные задачи, а т а к ж е расчет дефор гаруемых русел рассматриваются частично в курсе «Гидромехан [ки», а в основном — в курсе «Динамики русловых потоков», читае! ом на старших курсах. 1. В данной книге не излагаются вопросы, связанные с теорией моделирования гидравлических явлении, так как в учебном плане гидрологов есть специальный курс «Гидрологическое лабораторное моделирование». При изложении курса авторы пользовались в основном терминологией, принятой в классическом учебнике по гидравлике, написанном Р. Р. Чугаевым для гидротехников; эта книга рекомендовалась в качестве основного учебного пособия в течение многих лет. Общие вопросы курса в ней излагаются очень обстоятельно, подчас значительно шире, чем это предусмотрено нашей учебной программой; в то ж е время некоторые важные для гидрологов вопросы освещаются слишком сжато или не затрагиваются вовсе. Данный учебник преследует цель познакомить студентов с основными теоретическими положениями курса и не может служить в полной мере практическим пособием для решения инженерных задач; в нем приводится лишь несколько характерных примеров расчетов. При решении конкретных задач необходимо широко использовать рекомендуемую справочную литературу. Глава первая ВВЕДЕНИЕ 1.1. Определение науки «Гидравлика» Гидравлика — наука о законах движения и равновесия жидкости и о способах практического применения этих законов в инженерной практике. В связи с этим гидравлику часто называют еще прикладной или технической механикой жидкости. Таким образом, термины «гидравлика», «техническая гидромеханика» и «техническая механика жидкости» являются как бы синонимами. Общие законы движения и равновесия жидкости изучаются т а к ж е и теоретической гидромёханикой; т. е. создалось положение, когда в области единой науки механики жидкости мы выну, ждены различать как бы две научные дисциплины (строго говоря, два разных метода исследования): техническую гидромеханику (гидравлику) и теоретическую гидромеханику. В гидравлике при решении различных практических задач широко используются те или иные допущения и предположения, упрощающие рассматриваемый вопрос. Довольно часто гидравлические решения основываются на результатах экспериментов, и потому в гидравлике приводится много различных эмпирических и полуэмпирических формул. При этом стремятся к оценке только самых главных факторов изучаемого явления и чгасто оперируют теми или иными интегральными и осредненными величинами, которые дают достаточную д л я технических расчетов характеристику рассматриваемых явлений, например, в гидравлике часто пользуются понятием средней скорости д в и ж е н и я в том или другом поперечном сечении потока и т. п. Э к с п е р и м е н т а л ь н о теоретический метод, являющийся наиболее характерным д л я - г и д р а в л и к и , позволяет ей находить практически достаточно точные и простые решения в разнообразных случаях движения жидкости. Теоретическая гидромеханика применяет в -качестве основного метода исследования с т р о г и й математический анал и з. Однако ввиду исключительной сложности движения жидкости математический аппарат прилагается т а к ж е к несколько упрощенным схемам движения. Решения, получаемые в теоретической гидромеханике, оказываются более общими и более строгими в математическом отношении; но и при упрощениях они обычно получаются весьма громоздкими и сложными, требуют знания специальных разделов высшей математики, изучаемых главным образом в университетах. В связи с применением ЭВМ круг задач, решаемых методами теоретической гидромеханики, расширился; но, как показал опыт, 5. огромное большинство практических задач, используя эти методы, решить невозможно. Отметим, что в последнее время мы все чаще сталкиваемся с вопросами, которые приходится решать, сочетая методы технической и математической гидромеханики, причем иногда бывает трудно провести границу между этими двумя научными дисциплинами. Усиливается тенденция к сближению этих дисциплин; роль гидромеханики как теоретической основы современной гидравлики, неуклонно повышается. Само слово «гидравлика» произошло от двух греческих слов, из которых первое значит «вода», а второе — «труба», «канал», «струя». Как видно, ранее считали, что гидравлика занимается изучением движения или покоя только воды. Однако в настоящее время термин «гидравлика» (а также «гидромеханика») понимается в более широком смысле: предполагают, что объектом изучения в гидравлике являются любая капельная жидкость (нефть, различные нефтепродукты, масла и пр.), а не только вода. В связи с этим знания гидравлики служат необходимой научной основой для развития тех многочисленных отраслей народного хозяйства и техники, которые связаны с использованием водных ресурсов страны (мосты и дороги, гидротехника и гидроэнергетика, водные пути сообщения, ирригация, водоснабжение и т. п.), с нефтяной промышленностью, с трубопроводным транспортом и машиностроением. Особую роль приобретают знания гидравлики в свете' последних постановлений партии и правительства, связанных с решением комплексных проблем улучшения использования водных ресурсов в стране и их охраны. Разумеется, что для разных технических специальностей курс гидравлики должен излагаться различно. 1.2. Состав курса гидравлики Курс гидравлики состоит из двух разделов: г и д р о с т а т и к и, где рассматривается покоящаяся жидкость, и г и д р о д и н а м и к и , где изучается движущаяся жидкость. Раздел, посвященный гидростатике, сравнительно невелик. Что касается раздела гидродинамики, то он, в свою очередь, разбивается на две основные части, между которыми при изложении курса четкая граница не проводится. Первая часть гидродинамики посвящается теоретическим вопросам. В этой части даются основные понятия и определения, выводятся и поясняются общие уравнения гидравлики, рассматривается вопрос о силах трения в жидкости. Вторая часть гидродинамики содержит изложение, практических приложений теории гидравлики. По своему объему она является наболее обширной в курсе гидравлики и характеризует указанный выше экспериментально-теоретический метод исследования гидравлических явлений. Здесь рассматриваются расчеты движения жидкости в трубопроводах и открытых руслах, истече& ние жидкости через отверстия, перетекание жидкости через водосливы, построение кривых свободной поверхности в каналах и реках, расчет сопряжения струи в нижнем бьефе и т. п. Содержание курса определяет и место гидравлики в ряду дисциплин учебного плана: с од!ной стороны, освоение гидравлики требует предварительного изучения физики, высшей математики и теоретической механики в полном ее объеме, а с другой — знания гидравлики служат базовой основой для изучения большинства специальных дисциплин, таких как основы гидротехники и гидрометрические сооружения, водохозяйственные расчеты, динамика русловых потоков, гидрологическое лабораторное моделирование и др. В этом смысле гидравлику следует рассматривать не только как общетехническую, но и как специальную дисциплину, знания которой непосредственно используются инженерами-гидрологами в практической работе. 1.3. Краткие сведения из истории развития гидравлики и об ее основоположниках ч История развития гидравлики, как и всякой науки, особенно науки прикладного характера, тесно связана с историей развития промышленности и техники. « Использование водных ресурсов в технических целях начато в глубокой древности и связано с гидротехническими и судостроительными работами древних народов (Китая, Египта, Ассирии'и Вавилонии,.Средней Азии, Индии, Греции, Рима и др.), которые у ж е за тысячи лет до нашей эры строили корабли для плавания по рекам и морям, каналы для орошения полей, водопроводы и акведуки для водоснабжения населенных пунктов. Конечно, гидравлика как наука! о законах движения жидкости в те древние времена еще не существовала; ,она являлась только ремеслом без каких-либо научных основ. Человек лишь накапливал практические навыки, факты, наблюдения над отдельными явлениями из области движения и равновесия жидкости. Однако прошло много веков и д а ж е тысячелетий, прежде чем начали появляться отдельные, вначале не связанные друг с другом, попытки выполнить научные обобщения тех 'или других наблюдений, относящихся к гидравлическим явлениям. Одним из первых дошедших до нас от древних времен неученым трудом по гидравлике был общеизвестный труд греческого математика и механика А р х и м е д а о плавании тел (250 лет до н. э.). Римляне заимствовали многое у греков. В своих сочинениях римский инженер-строитель Ф р о н т и н (40—103 гг. н, э.) указывает, что во времена Траяна в Риме было 9 водопроводов, общая длина водопроводных линий которых составляла 436 км. Можно предполагать, что римляне ! уже знали о наличии связи между площадью живого сечения и уклоном дна .русла, о сопро7. тивлении движению воды в трубах, о неразрывности движения жидкости. . Период средневековья, длившийся после падения Римской имлерии о'коло тысячи лет, характеризуется, как принято считать, регрессом, в частности, и в области механики жидкости. Отдельные научные исследования по различным вопросам и разделам гидравлики стали появляться лишь -в XV в. и относятся к эпохе В о з р о ж д е н и я . В этот период в Италии появляется гениальная л и ч н о с т ь — - Л е о н а р д о д а Винчи (1452— 1519), который, как известно, вел свои научные (экспериментальные и теоретические) исследования в самых различных областях; в частности, им были изучены принципы работы гидравлического пресса, аэродинамика летательных аппаратов, образование водоворотных областей, отражение и интерференция волн, истечение жидкости через отверстия и водосливы и другие гидравлические вопросы,- Великий инженер, математик и механик, он строил плотины, судоходные и оросительные каналы, шлюзы, портовые и фортификационные сооружения. Различные работы Леонардо да Винчи отражены в сохранившихся 7 тысячах страниц его рукописей, хранящихся в библиотеках Лондона, Виндзора, Парижа, Милана и Турина. По-видимому, справедливо будет признать, что Леонардо да Винчи является о с н о в о п о л о ж н и к о м механики жидкости. . » " К периоду Возрождения относятся работы нидерландского математика-инженера С и м о н а С т е в и н а (1548—1620), определившего гидростатическое давление на плоскую фигуру и объяснившего «гидростатический парадокс». В этот период великийитальянский физик, механик и астроном Г а л и л е о Г а л и л е й (1564—1642) доказал, что гидравлическое сопротивление возрастает с увеличением скорости и с возрастанием плотности жидкой среды, а также объяснил вопрос о вакууме. В период XVII в. — начало XVIII. в. механика жидкости все еще находилась на этапе становления. Тем не менее в этот период можно отметить имена следующих ученых, способствовавших ее развитию: ученик Галилея Т о р р и ч е л л и (1608—1647) — выдающийся математик и физик — дал формулу скорости истечения идеальной жидкости из отверстия; П а с к а л ь (1623—1662) — выдающийся французский математик и физик — установил, что гидростатическое давление не зависит от угла наклона площадки действия и обосновал известный закон о передаче внешнего давления жидкостью; Ньютон (1643 н. ст. — 1727) — гениальный английский физик, механик, астроном и математик—сформулировал гипотезу о внутреннем трении в движущейся реальной жидкости, впервые введя' понятие о вязкости жидкости. К с е р е д и н е XVIII в. были заложены уже прочные основы современной механики жидкости. Это было сделано главным образом трудами трех замечательных ученых: русского ученого М. В. Ломоносова и членов Петербургской Академии наук Даниила Бернулли и Леонарда Эйлера. 8. Гениальный русский ученый М. В. Л о м о н о с о в (1711— 1765) открыл и теоретически и экспериментально обосновал всеобщий -естественный закон сохранения вещества и движения, создав теоретическую базу для дальнейшего развития гидродинамики. Д. Б е р н у л л и (1700—1782)—выдающийся голландский физик и математик. С 1725 по 1733 г. жил в Петербурге, и работал в Петербургской Академии наук. Здесь он написал и впоследствии опубликовал (в 1738 г.) в Страсбурге свой знаменитый труд «Гидродинамика», в котором осветил ряд основополагающих гидравлических вопросов, и в частности объяснил физический смысл слагаемых, входящих в современное уравнение установившегося движения (идеальной жидкости), носящее его имя. Л. Э й л е р (1707—1783)—великий швейцарский математик, механик и физик. Ж и л и работал в Петербурге с 1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца жизни. Эйлер не только подытожил и обобщил в безупречной математической форме работы предшествующих авторов, но составил известные дифференциальные уравнения движения и относительного равновесия жидкости, носящие его имя, а также опубликовал целый ряд оригинальных решений гидравлических задач, широко используя созданный к тому времени математический аппарат. Из дифференциальных уравнений Эйлера легко может быть получено и уравнение Бернулли, являющееся частным решением этих уравнений. Исследования Ломоносова, Эйлера и Бернулли, явившиеся базой для развития теоретической гидромеханики, значительно способствовали дальнейшему развитию гидравлики, которая, получив теоретическую основу и побуждаемая потребностями бурнорастущей техники и промышленности капиталистических государств Европы, со второй половины XVIII в. и особенно в XIX в. стала быстро развиваться как самостоятельная наука. В к о н ц е XVIII в. в о Ф р а н ц и и начала постепенно образовываться особая школа — школа ученых-инженеров, которые стали развивать и формировать механику жидкости как техническую (прикладную) науку. Рассматривая гидравлику как отрасль техники, а не математики, представители этой школы ввели преподавание механики жидкости в технических учебных заведениях. К концу XVIII в. французская школа стала основной гидравлической школой в области технических наук. Яркими представителями этой школы явились: А. П и т о (1695—1771)—инженер-гидротехник, член Парижской Академии наук, изобретатель «прибора Пито»; А. Ш е з и (1718—1798) — директор Французской школы мостов и дорог, сформулировавший параметры подобия потоков и обосновавший формулу для средней скорости, носящую его имя; Ж- Б о р д а (1733—1799)—военный инженер, который занимался вопросами истечения жидкости из отверстий и установил зависимость для потерь напора при резком расширении потока; П. Д ю б у а (1734—1809)—инженер-гидроI - 9. техник и военный инженер, составивший обобщающий труд «Принципы гидравлики». Техническое направление механики жидк о с т и развивалось и в других странах. Здесь можно отметить двух ученых: итальянский профессор Д. В е н т у р и (1746—1822) исследовал истечение из отверстий и насадков различной формы, описал картину сжатия транзитной струи при поступлении жидкости из сосуда в трубопровод й немецкий ученый-инженер Р. В о л ь т м а н (1757—1837), который опубликовал трактаты «Теория и применение гидрометрических крыльев», где рассматривались так называемые вертушки, служащие для измерения скоростей движения жидкости. В результате деятельности ученых-инженеров гидравлика обогатилась изобретением соответствующей измерительной аппара* туры (пьезометрами, трубками Пито, вертушками Вольтмана и т. п.); идеей использования материальных (вещественных) моделей тех или других гидравлических явлений для их изучения и для проектирования "соответствующих инженерных сооружений; идеей теоретического построения приближенных расчетных зависимостей с уточнением таких зависимостей при помощи введения в них эмпирических коэффициентов. . Вне зависимости от формирования технической механики жидкости в странах Западной Европы прикладное, инженерное направление механики жидкости, зародившееся у нас в России еще в работах М. В. Ломоносова, в XIX в. получило дальнейшее развитие в стенах Петербургского института инженеров путей сообщения. В этом институте долгое время существовала единственная гидравлическая школа России. Ученые этого института только в начале своей деятельности следовали французской гидравлической школе. , • • Большой вклад в развитие гидравлики внесли русские ученые и инженеры: профессор П. П. М е л ь н и к о в (1804—1880) организовал в 1855 г. первую в России учебную гидравлическую лабораторию; профессор Казанского университета И. С. Г р о м е к а ' (1851—1889) разработал теорию капиллярных явлений и заложил основы теории так называемых винтовых потоков; ученый-инженер, почетный член Петербургской Академии наук Н. П. П е т р о в (1836—1920) теоретически обосновал гипотезу Ньютона о внутреннем трении в жидкости и впервые сформулировал законы трения при наличии смазки; Н. Е. Ж у к о в с к и й (1847—1921) — профессор Московского высшего технического училища и Московского университета, член-корреспондент Петербургской Академии наук, создатель теории гидравлического удара. Жуковский явился основателем русской школы ^идравлики грунтовых^ вод. Его ученики и последователи, в первую очередь Н. Н. П а в л о в с к и й , работавшие уже после Великой Октябрьской социалистической революции, создали на этой основе советскую теорию фильтрации. Б. А. Б а х м е т е в (1880—1951) — ученый, инженер путей сообщения — работая в Петербургском политехническом инсти10. туте, заложил основы современной русской гидравлической школы, опубликовав ряд книг, в которых осветил различные разделы гидравлики. Бахметев решил в достаточно общей форме задачу об, интегрировании дифференциального уравнения неравномерного движения в призматических руслах. Таким образом, русскими учеными был сделан крупнейший вклад в развитие гидравлики как науки. К к о н ц у XIX в. гидравлика трудами армии ученых всего мира превратилась в самостоятельную науку. Вместе с тем в ней наметились отдельные научные направления, связанные с запросами самых различных областей техники (расчет каналов, водопроводов, канализации, отверстий плотин, шлюзов, мостов, гидроэлектростанций и т. п.). К ним можно отнести, например, инженерно-строительную (гидротехническую) гидравлику, гидромашинную гидравлику, судостроительную гидравлику, нефтяную и газовую гидравлику и т. п. Разумеется, теоретические основы этих отдельных направлений гидравлики являются в значительной мере общими; вместе с тем чисто прикладные части таких курсов оказываются существенно различными. В начале XX в. значение французской гидравлической школы значительно снизилось и научные центры в области развития гидравлики передвинулись к востоку — в Германию, а затем в Россию. Назовем имена некоторых наиболее видных представителей немецкой гидравлической школы: Ф. Ф о р х г е й м е р (1852— 1933) — немецкий профессор — рассмотрел гидравлические сопротивления, волны перемещения, колебания горизонтов воды в уравнительных резервуарах ГЭС, некоторые виды деформаций песчаных русел; М. В е б е р (1871—1951) — немецкий профессор — придал принципам гидродинамического подобия современные формы; JI. П р а н д т л ь (1875—1953)—выдающийся немецкий ученый в области прикладной механики. Разработал (наряду с Т е й л о р о м и К а р м а н о м ) полуэмпирическую теорию турбулентности; исследовал гидравлические сопротивления в трубах. С именем Прандтля связан ряд понятий из области механики жидкости. Его работы в области теории пограничного слоя явились основополагающими. После Великой Октябрьской социалистической революции в связи с бурным развитием в нашей стране промышленного и гидротехнического строительства в СССР был создан целый ряд научно-исследовательских и проектно-изыскательских институтов с гидравлическими и гидротехническими лабораториями; появилась обширная литература (журналы, труды институтов, монографии, руководства для проектирования и т. п.), освещающая самые различные, стороны технической гидромеханики; при этом в ско-. ром времени наша отечественная гидравлика выдвинулась на одно из первых мест в мире. Проектирование крупных гидроэлектростанций, плотин и водохранилищ на равнинных и горных реках и вызываемые этим 11. подпоры и затопления территории вызвали необходимость в разработке основ гидравлики открытых русел, в том числе и речной гидравлики. Здесь в первую очередь следует отметить огромные успехи советских гидравликов в области углубления и развития теории неравномерного движения воды в открытых руслах. В основу этой теории были положены труды выдающегося ученого нашей родины академика Н. Н. П а в л о в с к о г о (1886—1937). Им были разработаны новые методы интегрирования основного уравнения неравномерного движения, новые методы построения кривых подпора в призматических руслах (каналах) и были рекомендованы более совершенные способы построения кривых подпора в естественных (речных) руслах. Павловский издал первый в России «Гидравлический справочник» и монографию по основам гидравлики; на базе общеинститутской кафедры гидравлики Ленинградского политехнического института он создал научно-педагогическую школу в области гидравлики. Большой вклад в развитие гидравлики внесли отечественные ученые: Н. М. Вернадский, М. А. Великанов, В. Н. Гончаров, К. В. Гришанин, А. В. Караушев, И. И. Леви, В. М. Маккавеев, А. Н. Рахманов, К. И. Россинский, М. Д. Чертоусов, Р. Р. Чугаев, С;.А. Христианович и многие другие ученые, с именами и работами которых читатели познакомятся при изучении курса. Исключительно больших успехов добилась советская гидравлика в области теории движения грунтовых вод, теории фильтрации воды в земляных плотинах и под гидротехническими сооружениями, теории и расчетах неустановившегося движения, в области гидравлики сооружений, в изучении режима потока в нижнем бьефе и условий гашения энергии потока, в изучении турбулентности русловых потоков, в развитии теории гидравлического прыжка, но еще гораздо больше предстоит сделать. Осуществление поставленных Коммунистической партией грандиозных планов ускорения научно-технического прогресса, •комплексного рационального' использования и охраны водных ресурсов, решения Продовольственной программы в нашей стране ставит перед советскими учеными, инженерами и техниками ряд новых задач, требует дальнейшего расширения и углубления наших знаний по гидравлике, внимательного изучения передового зарубежного опыта, а также успешного обучения новых молодых кадров советских инженеров. 1.4. Основные физические свойства жидкости Жидкостью называется тело, обладающее легкой подвижностью . частиц или текучестью, вследствие чего жидкость не может сохранять свою форму в пространстве, а принимает форму сосуда, в котором она находится. Этим жидкости отличаются, от твердых тел. 12. Жидкости делят на два класса: одни оказывают большое со-, противление сжимающему усилию, а другие его почти не оказывают. По этому признаку жидкости делят на: жидкости сжимаемые — газы и несжимаемые, или капельные. Как уже отмечалось выше, объектом изучения гидравлики является любая капельная жидкость, но нас при изложении данного курса будет интересовать только вода. Многие физические свойства капельных жидкостей изучаются в общей физике, а физические свойства воды подробно излагаются в курсе «Гидрофизика водоемов суши». Рассмотрим ниже лишь основные свойства воды, с которыми нам приходится встречаться в курсе гидравлики. 1. Плотность жидкости р. Возьмем некоторый объем W жидкости, имеющий массу т. Как известно, ПЛОТНОСТЬЮ жидкости р называется отношение р = m/W, (1.1) следовательно, m = plF. Величина р имеет следующую размерность: [р] = M3/L, (1.2) (1.3) где М и L — символы соответственно массы и длины. Плотность жидкости, как и всякого другого тела, зависит от температуры и д а в л е н и я . ' В и д этой зависимости определяется экспериментальным путем и выражается в виде таблицы или формулы. Численные значения р для воды и некоторых других жидкостей приводятся в таблицах справочников [35,36]. Д л я пресной чистой воды при t = 4 °С и нормальном давлении р практически равно: р = 1000 кг/м 3 = 1 г/см 3 . 2. Сжимаемость (или объемная упругость) жидкости. Степень уменьшения объема жидкости под воздействием сжимающей силы характеризуется коэффициентом объемного сжатия . « _ 1 dW где W — первоначальный объем; dW — уменьшение объема; dp — повышение внешнего всестороннего давления. Коэффициент объемного сжатия воды уменьшается с ростом давления и температуры. Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем объемной упругости k=l/$w = W dp/dW. Д л я воды (в обычных условиях) k = 22• 105 кПа, т. е. « 220 кН/см 2 (или k та 22 ООО кгс/см 2 ). km 13 Вследствие небольших значений коэффициента k вода в природных водоемах при небольших глубинах практически может считаться несжимаемой. 3. Расширение при нагревании. Изменение объема жидкости при изменении температуры характеризуется коэффициентом объемного расширения R 1 • W Ш dt ' Числовое значение Р г равно относительному приращению объема при- нагревании его на 1 °С. Коэффициент объемного расширения воды изменяется в соответствии с ее свойствами: при значении температуры от 0 до 4 ° С Р; отрицательно, а при значении t выше 4 °С рг положительно. Среднее значение р* для обычных температурных условий незначительно (примерно 0,000015) и в обычных технических приложениях гидравлики не принимается во внимание. 4. Сопротивление растягивающим усилиям. Способность различных тел сопротивляться растягивающим силам характеризуется разрывающим напряжением. В гидравлике считают, что вода вовсе не способна сопротивляться растягивающим усилиям. Однако особыми физическими опытами было установлено, что покоящаяся жидкость (в частности, вода, ртуть) иногда способна сопротивляться очень большим растягивающим усилиям; например, вода в определенныхусловиях может выдерживать растягивающие напряжения до 2,8-10 4 к П а (?»280 кгс/см 2 ), не подвергаясь разрыву [39]. 5. Вязкость является одним из важнейших свойств движущихся жидкостей. Вязкостью называется способность жидкости оказывать сопротивление касательным усилиям. Она обусловлена силами сцепления между частицами жидкости, а т а к ж е между жидкостью и ограничивающими ее стенками и количественно выражается через динамический коэффициент вязкости или просто коэффициент вязкости ц. Величина [л зависит от рода жидкости, а т а к ж е от её температуры; чтобы подчеркнуть это обстоятельство, иногда р, называют коэффициентом молекулярной или физической вязкости. Числовые значения р, для различных жидкостей находят опытным путем при помощи особых приборов, называемых вискозиметрами. В системе СГС (сантиметр—грамм—секунда) размерность коэффициента вязкости будет: Ш 1 J = Л Ш длина • время г/(см • с); пуаз; х J ' в системе СИ: [fx] == Па • с. Коэффициент вязкости, отнесенный к плотности жидкости, называется кинематическим коэффициентом вязкости: v - и/р. (1.4) 14. В системе СГС [v] = см2/с; стокс; в системе СИ: [v] = м2/с. Величинам зависит от рода жидкости и от температуры. Значения кинематического коэффициента вязкости для воды приведены в табл. 1.1. Таблица 1.1 Коэффициент вязкости для воды при различных значениях температуры t "С 0 5 10 12 V 10-е ' М 1,78 1,52 1,31 1,24 2/С t °с 15 20 30 40 v • Ю—6 м2 / с 1,14 1,01 0,81 0,66 При изучении законов движения реальных жидкостей даже таких, казалось бы, маловязких, как вода, влияние вязкости учитывать совершенно необходимо. При аналитических исследованиях часто пользуются понятием -идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называют воображаемую жидкость, которая характеризуется: а) абсолютной неизменяемостью объема (при изменении давления и температуры); б) полным отсутствием вязкости, т. е. сил трения при любом ее движении. Идеальной жидкости в отличие от реальной («вязкой») в природе, разумеется, не существует. Ее создают в воображении как некоторую приближенную модель реальной жидкости для облегчения вывода некоторых теоретических положений гидравлики. Из сказанного выше ясно, что: 1) при изучении покоящейся жидкости нет надобности различать реальную и идеальную жидкости; 2) при изучении же движения реальной жидкости необходимо дополнительно учитывать силы трения, т. е. вязкость. 6. Капиллярное поднятие жидкости. Рассмотрим жидкость в капиллярной трубке (рис. 1.1). В месте примыкания поверхности жидкости к стенке трубки может произойти следующее: если взаимное притяжение двух молекул жидкости мало по сравнению с притяжением молекул жидкости к частице твердой стенки, то имеем случай «смачиваемой стенки» с вогнутым "мениском (рис. 1.1 а ) ; 15. если ж е взаимное притяжение двух молекул жидкости велико по сравнению с притяжением молекул жидкости к частице твердой стенки, то имеем случай «несмачиваемой стенки» с выпуклым мениском. Вода — смачивающая жидкость и поэтому у стенки капилляра образует вогнутый мениск. Величина hK. п , показанная на рис. 1.1а, называется максимальной (для данного диаметра трубки) высотой капиллярного поднятия жидкости в трубке. Чем меньше диаметр капилляра, тем с Л Рис. 1.1. Капиллярное поднятие в случае «смачиваемой» (а) и «несмачиваемой» (б) стенки. значительнее молекулярное давление в* капилляре отличается от молекулярного давления в сосуде и тем больше высота hK. п. Помимо изложенного выше объяснения причин капиллярности, в литературе приводится и иная точка зрения на данный вопрос, в основу которой положено представление о гипотетической (предположительной) силе так называемого поверхностного натяжения. Вопросы капиллярности являются весьма существенными при рассмотрении подземной фильтрации жидкости, процессов испарения и заболачивания. Подъем воды по капиллярам имеет большое значение, например, при выходе воды на лед, покрытый снегом; над нижним слоем мокрого снега образуется слой снега, смоченного за счет капиллярного поднятия. 1.5. Особые состояния жидкости При движении воды в реках, а также в практике гидротехнического строительства приходится сталкиваться со случаями, когда жидкость (вода) начинает приобретать особые состояния: так, при движении к ней начинают присоединяться газообразные или твердые тела или она сама начинает переходить в твердое или газообразное состояние. . Рассмотрим эти два случая. 16. 1-й случай. Присоединение^ движущейся жидкости газообразных и твердых тел. 1. А э р а ц и я п о т о к а . Если к потоку воды, движущейся с большими скоростями, имеется доступ наружного воздуха, то поток может насыщаться проникающими в него снаружи пузырьками воздуха. В результате получается смесь воды и пузырьков воздуха (так называемый двухфазный поток). Такое явление называется аэрацией жидкости. Аэрированные потоки можно наблюдать на водосбросах ГЭС, в нижнем бьефе гидротехнических сооружений, на участках горных рек. 2, З а х в а т п о т о к о м н а н о с о в . Если водный поток имеет размываемое русло (например, русло, образованное мелким песком), то при достаточно больших скоростях движения воды поток начинает насыщаться песчинками, которые движутся вместе с водой во взвешенном состоянии. Здесь также получаем двухфазный поток. 1 Обычно, помимо взвешенных песчинок, имеются еще песчинки, перемещающиеся непосредственно по дну русла. Двухфазные потоки такого вида получаются в случае гидротранспорта, когда транспорт, например, грунта осуществляется методами гидромеханизации. Примером могут служить также так называемые селевые потоки.^ 2-й случай. Переход воды в твердое или газообразное состояние. 1. О б р а з о в а н и е в в о д е к р и с т а л л о в л ь д а . При по^^вышении давления или при снижении температуры в воде могут j^r зарождаться кристаллы льда, причем вместо однородной жидкой среды получаем двухфазный поток (шуга). 2. О б р а з о в а н и е в в о д е областей (разрывов), V 3 а по л н ен н ых воздухом и парами воды. Обычно ^ в воде содержится растворенный воздух. Как известно из курса физики, при снижении давления в жидкости или при повышении , ее температуры такой воздух начинает выделяться из отдельных элементарных объемов воды, причем в воде образуются разрывы (воздушные «пузыри»). Появление в воде пузырьков пара (а если вода предварительно не была очищена от растворенного в ней воздуха, то — паровоздушных пузырьков) называется кавитацией (от латинского слова «пустота»). Различают (условно) как бы два разных явления: а) к и п е н и е в о д ы , когда кавитационные пузырьки, возникающие в воде, всплывают и выходят из жидкости через ее свободную поверхность; б) к а в и т а ц и ю " ' (при отсутствии кипения), когда пузырьки (паровые или паровоздушные), возникающие в движущейся воде, не выходят из нее, а захлопываются (закрываются) внутри потока воды. Захлопывание каватационных пузырьков у твердых стенок сопровождается сильными ударами, которые иногда способствуют 1 Д л я расчета двухфазных потоков разработаны специальные теории, которые в данном курсе не рассматриваются. постепенному разрушению поверхности твердых стенок, ограничивающих поток. Такое разрушение твердых стенок называется кавитационной эрозией. Кавитация обычно наблюдается в гидравлических турбинах, центробежных насосах, напорных трубах и т. д. L6. Модель сплошной среды. Силы, действующие на жидкость Однородная жидкость, которую мы далее, как правило, и рассматриваем, представляет собой не сплошное (не непрерывное) тело, а тело,'состоящее из молекул, расположенных на некотором (весьма небольшом) расстоянии друг от друга. Однако при решении различных гидромеханических задач отмеченным обстоятельством пренебрегают и рассматривают жидкость как сплошную (непрерывную) среду — континиум (от лат. continuum — непрерывное, сплошное), т. е. не учитывают внутримолекулярные процессы. ' Следует подчеркнуть, что заменив для расчета жидкость сплошной средой, мы приписываем этой среде те механические свойства, которые были найдены экспериментальным путем для действительной жидкости (в данном случае — для воды). Что касается сил, действующих на воду (рассматриваемую в виде описанной сплошной среды), то их можно разделить на две группы: внутренние силы и внешние. Внутренними силами называются силы взаимодействия между материальными точками (частицами или элементарными объемами) жидкости, например, силы вязкости, внутреннего трения по отношению ко всему рассматриваемому объему жидкости. Внешние силы — это силы, приложенные к частицам рассматриваемого объема жидкости извне со стороны других тел (или физических полей), а также и со стороны жидкости, окружающей данный объем. Внешние силы, в свою очередь, могут быть разделены также на две основные группы. 1) М а с с о в ы е с и л ы — действуют на все частицы жидкости рассматриваемого объема; величина этих сил пропорциональна массе жидкости. Вода относится к однородным жидкостям, имеющим всюду одинаковую плотность р, следовательно величина массовых сил пропорциональна также объему жидкости; поэтому при р = const массовые силы можно называть объемными силами. К числу объемных сил относится сила тяжести; силы инерции жидкости также можно рассматривать как внешние объемные силы.' 2) П о в е р х н о с т н ы е с и л ы — приложены к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости, выделенный, например, внутри покоящейся или движущейся жидкости. При равномерном распределении этих сил по данной поверхности величина их пропорциональна площади этой поверхности. Изучая механическое действие жидкости на поверхность какого-либо твердого тела, можно говорить о реакции этой поверхности, т. е. 18. реактивной силе, приложенной к жидкости со стороны твердого тела. Такая сила также должна рассматриваться как внешняя поверхностная сила (по отношению к объему жидкости, ограниченному поверхностью твердого тела). Различают нормальные и касательные поверхностные силы. В качестве нормальной силы можно привести атмосферное давление, действующее на поверхность жидкости, помещенной в открытом сосуде. Сила трения (вязкости), действующая по поверхности, намеченной .внутри жидкости, является примером касательной силы. Касательные силы действуют вдоль поверхности, а если поверхность криволинейна, то по касательной к ней. Как массовые, так и поверхностные силы в гидромеханике рассматривают обычно в виде единичных сил. Массовые силы относят к единице массы, а поверхностные — к единице площади. Так как всякая массовая сила равна произведению массы на ускорение, то, следовательно, единичная массовая сила численно равна соответствующему ускорению. Например, сила тяжести, отнесенная к единице массы, равняется ускорению свободного падения. Поверхностная сила, рассчитанная на единицу площади поверхности, называется напряжением. О напряжении, разумеется, можно говорить лишь в том случае, если поверхностная сила распределяется по поверхности непрерывным образом и не является сосредоточенной силой. В соответствии с разделением поверхностных сил на нормальную и касательную силы, разделяют также и напряжения на нормальное напряжение, называемое обычно давлением, и касательное напряжение. 2* Глава вторая ГИДРОСТАТИКА 2Л. Гидростатическое давление. Свойства гидростатического давления Гидростатика изучает законы, которым подчиняется жидкость, находящаяся в состоянии покоя, силы, действующие в такой жидкости, и давление покоящейся жидкости на различные поверхности. Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления в данной точке покоящейся жидкости. Это давление принято обозначать буквой р и для краткости именовать просто «гидростатическим давлением». Гидростатическое давление выражается в единицах напряжения, т. е. в тоннах на 1 м2, в килограммах на 1 м2, в килограммах на 1 см2 и т. д. Сила Р, действующая на ,всю рассматриваемую площадь F, называется силой гидростатического давления (или суммарным гидростатическим давлением) и выражается в тоннах, килограммах и т. д. Гидростатическое давление обладает следующими двумя свойствами. 1. Гидростатическое давление всегда нормально к площадке> воспринимающей его, и направлено по внутренней нормали, т. е. изнутри жидкости. Это свойство легко доказывается от противного и основано на отмеченной выше неспособности жидкости сопротивляться разрывающим усилиям. Представим некоторый объем жидкости, находящийся в покое (рис. 2.1). Рассечем его поверхностью АВ на два отсека: / и II. Отсек I будет с некоторой силой давить на поверхность ЛБ отсека II; с такой же силой, но обратной по направлению, отсек II будет давить на поверхность АВ отсека I. Далее условимся рассматривать только давление на отсек / / , заштрихованный на рисунке. При этом нас будет интересовать только сила, приложенная к отсеку II со стороны отсека /. Наметим на поверхности АВ точку «а». Пусть в этой точке действует внешняя сила Ра, направленная от поверхности АВ под некоторым углом а (см. рис. 2.1). Силу Ра можно разложить на нормальную составляющую Р'а и касательную составляющую Р". Поскольку жидкость не может сопротивляться разрывающим усилиям, появление таких сил неизбежно вызовет нарушение условия равновесия и приведет в движение частицы жидкости в от20 секе II. Следовательно, сила Ра в покоящейся жидкости существовать не может. Рассмотрим в точке «Ь» силу Р&, направленную внутрь отс е к а / 7 ; разложим ее на составляющие Р'ь и Р'^. Появление Касательной силы немедленно нарушит состояние равновесия^ Таким образом, в покоящейся жидкости может действовать только сила Р'ь (сжимающая), направленная по внутренней нормали, что и требовалось доказать. Рис. 2.1. К. доказательству первого свойства гидростатического давления. Рис. 2.2. К. доказательству второго свойства гидростатического давления. 2. Гидростатическое давление в данной точке не зависит от ориентировки (угла наклона) площадки действия, т. е. гидростатическое давление в точке жидкости одинаково по всем направлениям. Для подтверждения этого свойства в покоящейся жидкости произвольно выделим какую-либо точку О в качестве центра прямоугольной системы координат с осями Ox, Оу, Oz (рис. 2.2). На координатных осях отложим бесконечно малые отрезки dx, dy, dz и через полученные точки проведем плоскость ABC. Получим бесконечно малый тетраэдр с вершиной в точке О и с ребрами dx, dy, dz. Обозначим через р х гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси Ох, через ру давление на грань,, нормальную к оси Оу и через рх давление на грань, нормальную к оси Oz. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через рп, а площадь этой грани — через dFy Кроме того, на все частицы жидкости в выделенном тетраэдре действует внешняя объемная сила G (сила тяжести). Согласно законам механики, если система находится в равновесии, то сумма проекций всех действующих на нее сил на оси координат должна быть равна нулю. • 21 Напишем для выделенного элементарного объема эти условия равновесия. Спроектировав все действующие на тетраэдр силы на «рсь Ох, получим: '-i- dy dzpx — рп dF cos (п, х) = 0; (2.1) -j- dx dzpy — рп dF cos (п, у) = 0; (2.2) на ось Оу на ось Oz -у- dx dypz — pn dF cos (n, z) — pg -y- dxdy dz = 0, где произведение -jr dx dy dz — объем элементарного (2.3) тетраэдра; :p — плотность жидкости; g —ускорение свободного падения 1 . Так как dx, dy, dz — бесконечно малые величины, то третьим слагаемым в уравнении (2.3) можно пренебречь. Сделаем на рис. 2.2 следующие дополнительные построения: •опустим перпендикуляр из точки О на прямую АВ, он пересечет •ее в середине в точке К", из точки С также опустим перпендикуляр на АВ, он попадет в ту же точку К, так как ввиду бесконечно малых dx, dy и dz, отрезки АО = ОВ = ОС. Рассмотрим произведение ±rdydz= ^-АВ • ОК. (2.4) Из треугольника ОКС запишем ОК = КС • cos ОКС = КС • cos (п, х), (2.5) где ZOKC = Zn, х, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Подставляя (2.5) в (2.4), получим -j- dy dz = -j- АВ • КС • cos (п, х) = dF cos (п, х). (2.6) Сравнивая (2.6) и (2.1), приходим к выводу Рх = рп- (2.7) Аналогичным образом из уравнения (2.2) имеем Ру-Рп, (2,8) Рг = Рп- (2.9) а из уравнения (2.3) 1 Известно, что g на земной поверхности изменяется менее чем на 0,5 %; вместе с тем точность обычных гидравлических расчетов довольно часто составляет 3—5 % и более. Именно поэтому значение g следует считать постоянным: £ = 9 , 8 Н/кг. 22 Из (2.7) — (2.9) получим Px = Py = Pz = Рп, (2.10> что и следовало доказать. 2.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме О с н о в н о е у р а в н е н и е г и д р о с т а т и к и показывает,, как распределяется давление внутри покоящейся жидкости. Оно Рис. 2.3. К выводу основного уравнения гидростатики. может быть получено из дифференциальных уравнений покоя (равновесия) жидкости. Рассмотрим покоящуюся жидкость, на которую действует та или иная внешняя объемная сила (не обязательно сила тяжести). Из находящейся в равновесии жидкости выделим в произвольном месте элементарный параллелепипед (рис. 2.3) с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат Ох, Оу, Oz. Выясним действующие на него силы и составим уравнения равновесия. Действие окружающей параллелепипед жидкости на его грани заменим соответствующими силами давления жидкости,; .учитывая указанные выше свойства гидростатического, давления. На грань параллелепипеда dy dz, ближайшую к началу координат, действует гидростатическое давление рж; на грань, ейпротивоположную, будет действовать гидростатическое давление Гр Лр'х = px + ^rdx, (2.11> где дрх/дх — частная производная от рх по х, характеризующая приращение гидростатического давления на единицу длины по оси Ох. Таким образом, выражение (дрх/дх) dx дает приращение давления рх на протяжении dx. Аналогичные приращения гидростатического давления будут действовать и на другие грани параллелепипеда (см. рис. 2.3). 23 Для получения суммарного давления жидкости на каждую грань параллелепипеда необходимо полученные гидростатические давления умножить на соответствующие площади граней. Кроме давлений, в выделенном параллелепипеде действуют также объемные (массовые) силы. Проекции этих сил на оси координат, отнесенные к единице массы жидкости, пусть будут равны X, Y, Z. Таким образом, проекция объемной силы, например, на ось Ох тогда будет равна рХ dx dy dz, где р —плотность жидкости. Для равновесия жидкости, заключенной в параллелепипеде, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат равнялась нулю. Запишем уравнения равновесия: рх dy dz - (рх -1 py dx dz - {py pz dx dy- дрх дх • dxJ dy dz + pX dx dy dz = 0; dy) dx dz + pF dx dy dz = 0; + (2.12) (pz 4—-j^r* dz^j dx dy 4- pZ dx dy dz = 0. Произведя преобразования и сокращения, получим 1 dp X — 0; р дх у 1 д Р , Р ду 1 др Z р -.d z 0; (2.13) 0. Индексы при частных производных от гидростатического давления здесь опущены на оновании второго свойства гидростатического давления. Система дифференциальных уравнений (2.13) и является уравнениями равновесия "жидкости. Они впервые были выведены Л. Эйлером в 1755 г. и называются эйлеровыми уравнениями равновесия жидкости. Эти уравнения выражают связь между объемными силами, давлением и координатами, в каждой точке покоящейся жидкости. Применим систему уравнений (2.13) к выводу - основного закона гидростатического давления. Для этого умножим каждое уравнение соответственно на dx, dy, dz и сложим полученные выражения: —=r~dx • дх o{Xdx + Ydy + Zdz). dz Выражение в левой части уравнения (2.14) есть полный ференциал гидростатического давления-р *B-dx+*Ldv дх ду 24 + % . d z - d p , (2.14) диф(2.15) а выражение в скобках правой части есть, очевидно, полный дифференциал объемных (массовых) сил. Обозначая их через функцию W(x, у, г), будем иметь Xdx + Ydy + Zdz = dW. (2.16) Подставляя (2.15) и (2.16) в (2.14), окончательно получим dp = pdW. (2.17) Выражение (2.17) и есть о с н о в н о е у р а в н е н и е статики в д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й форме. гидро- 2.3. Закон распределения гидростатического давления по глубине в случае жидкости, находящейся под действием только одной объемной силы — силы тяжести Рассмотрим наиболее важный для практики частный случайравновесия жидкости, находящейся под действием только одной 0(У) _ 1» х т Рис. 2.4. Случай абсолютного покоя жидкости. объемной силы — силы тяжести (его называют иногда с л у ч а е м а б с о л ю т н о г о покоя). Представим сосуд, в котором находится покоящаяся жидкость (рис. 2.4). Оси координат располагаем так, что начало координат и оси Ох и Оу лежат на свободной поверхности жидкости, а ось Oz направлена вертикально вниз. В этом случае для составляющих объемных сил, очевидно, будем иметь X = О, К = О, Z = g, (2.18) так как сила тяжести в общем случае равна G = mg, (2.19) где т — масса жидкости; g — ускорение свободного падения. Тогда при m = l G = Z = g . Подставляя (2.18) в (2-14), получим dp = pgdz. . (2.20) 25 Интегрируя (2.20), имеем p = pgz + C, (2.21) тде С — постоянная интегрирования. На свободной поверхности 2 = О и С = ро — внешнее в результате вместо (2.21) будем иметь давление-, Р = ро + pgz'. . (2.22) Вводя вместо координаты z глубину погружения точки под уровень свободной поверхности h, получим выражение для гидростатического давления в окончательном виде p = pa + pgh. (2.23) Выражение (2.23) называется о с н о в н ы м у р а в н е н и е м (или основным законом) г и д р о с т а т и ч е с к о г о д а в л е н и я . Здесь р является абсолютным давлением в рассматриваемой точке (точка m на рис. 2.4); ро — внешнее поверхностмое давление (в открытых сосудах или водоемах внешним давлением является атмосферное давление); давление рИзб=Р<§гЛ называется избыточным гидростатическим давлением} При этом, если внешнее давление на свободной поверхности обычно постоянно, то избыточное гидростатическое давление зависит от глубины погружения данной точки под уровень свободной поверхности и щрямо пропорционально ей. В соответствии с такими обозначениями выражение (2.23) принимает вид Pa = Ро + Ризб- . (2.24) Закон гидростатического давления (2.23) показывает, что гв общем случае для всех точек жидкости абсолютное, давление зависит не только от глубины погружения точек под уровнем сво•бодной поверхности, но и от внешнего давления ро. Давление ро .действует одинаково в любой точке внутри жидкости, и с его изменением на столько же изменится и абсолютное гидростатическое давление в данной точке. Отсюда следует известный з а к о н П а с к а л я , сформулированный им в 1663 г.: внешнее давление ро, приложенное к свободной поверхности жидкости, находящейся в состоянии 'равновесия в замкнутом сосуде, передается всем частицам жидкости с одинаковой силой (без изменения). Выраженное законом Паскаля свойство жидкости передавать звнешнее давление, основанное на указанной выше малой сжимаемости реальных жидкостей, получило весьма широкое применение в технике. На законе Паскаля основано действие так называемых тидравлических или водостолбовых машин, к которым принадлежат гидравлические прессы, подъемные краны, молоты, домкраты, тмультипликаторы (повысители давления) и т. п. 1 Часто •буквой р. 26 его называют • просто гидростатическим давлением и обозначают 2.4. Пьезометрическая высота. Вакуум Слово «пьезометрическая» произошло от слияния двух греческих слов, из которых первое означает «давление», а второе — Покажем, что абсолютное давление ра в точке может быть выражено высотой некоторого столба жидкости. Представим закрытый сосуд, частично наполненный жидкостью (рис. 2.5). Наро=0 Рат \ р в \Ро - — — п т Рис._ 2.5. Пьезометры закрытого и открытого типов. метим в жидкости точку т, к которой подключим запаянную сверху тонкую стеклянную трубку. Будем считать, что в трубке создано полное разряжение (торричеллиева пустота). Под влиянием давления на. точку т. со стороны жидкости в сосуде уровень жидкости в трубке поднимется на некоторую высоту ha. Рассматривая точку т, можем написать для нее следующие соотношения: а) абсолютное гидростатическое давление в точке т со стороны жидкости в сосуде равно Ро + Рgh,. ' (2.25) где ро — единичное внешнее давление на поверхности, жидкости в сосуде; h — глубина погружения точки т под уровень свободной поверхности; б) гидростатическое давление в точке т со стороны жидкости в трубке равно 0 + р^а. (2.26) Очевидно, величина (2.25) должна равняться величине (2.26), т. е. р0 + р gh = р gha, откуда , (2.27) , К = (Ро + P g h ) l ( p g ) = ps/(9g). ;_ (2.28) 27 Величину h а называют пьезометрической высотой, отвечающей абсолютному давлению в точке, или просто абсолютной пьезометрической-высотой (иногда ее называют приведенной высотой). Можно сказать, что /га есть высота такого столба жидкости, который своим весом способен создать давление, равное абсолютному давлению в рассматриваемой точке. Размерность ha является размерностью длины; значит, абсолютное давление в точке р а может выражаться единицами длины. Таким образом, имеем два разных способа выражения абсолютного гидростатического давления в точке: 1) единицами сила/площадь, например, Н/м2, т. е. Па; 2) единицами длины (единицами . высоты) вертикального •столба жидкости, характеризуемой определенной величиной р. В настоящее время в литературе встречаются еще случаи выражения р а при помощи так называемой «технической атмосферы». Одна техническая атмосфера (в технической системе и -системе СИ) 1 а т = 1,033 кгс/см 2 = 10,33 тс/м2=*101 кН/м 2 =100 кПа. Рассмотрим точку п на рис. 2.5; подключим к ней тонкую стеклянную трубку с открытым верхним концом. В этой трубке уровень жидкости благодаря действию давления в точке п также поднимется на некоторую высоту /гИЗб. Однако /гИзб будет меньше Аа (относящегося к точке п), так как в случае открытой трубки жидкость в ней будет встречать противодавление со стороны атмосферы. Для точки п можно записать следующие соотношения: а) со стороны жидкости в сосуде на точку п действует давление ' Ро + Pgh = ра; (2.29) б) со стороны жидкости в трубке на точку п действует давление ратpg-Аизб- (2.30) Так как давления слева и справа на точку должны быть равными, то получаем' • _ Ра = Par + PgK36, (2.31) откуда Аизб = (ра — Р а т ) / ( Р £ ) - = - Р и з б / ( р г ) , (2.32) где ри3б •— избыточное давление в точке п. Величина ризб называется пьезометрической высотой, отвечающей избыточному давлению в точке, или избыточной пьезометрической высотой, или просто пьезометрической высотой. Как видно, пьезометрическая высота /гИзб, в отличие от пьезометрической высоты ha, выражает лишь разность давлений: р а — Рат- Высоту Ла измеряет п ь е з о м е т р з а к р ы т о г о т и п а, а высоту /г И З б — п ь е з о м е т р открытого! типа, 28 Легко доказать следующие два положения:. 1) разность высот стояния горизонтов жидкости в закрытом и открытом пьезометрах всегда равна (рат/р£) =/г а т (см. рис. 2.5). Отметим, что здесь речь идет о пьезометрической высоте, отвечающей реально существующему-атмосферному (барометрическому) давлению в рассматриваемом месте и в рассматриваемый момент времени; нормальному давлению (760 мм рт. ст. над уровнем моря) соответствует пьезометрическая высота 10,33 м вод. ст.; 2) в случае открытого сосуда, когда ро=Рат, h^—h, где h — заглубление данной точки под уровнем жидкости в сосуде. Рис. 2.6. Вакуумметр. ® В качестве п ь е з о м е т р о в обычно используются стеклянные трубки диаметром не менее 0,5 см; при меньших диаметрах трубок за счет сил капиллярного поднятия образуется заметный мениск, требующий внесения поправок в отсчеты. Пьезометры применяют для измерения малых давлений (до 0,3—0,4 ат.) (пьезометры открытого типа), так как при измерении значительных давлений (более 3—4 м вод. ст.) трубки пьезометров получают чрезмерную высоту. Эти простые и точные приборы широко применяются при лабораторных гидравлических исследованиях. При необходимости измерить значительное давление приходится прибегать к использованию других приборов, в частности ртутных манометров, в трубке которых вода заменяется ртутью, или механических манометров. Выше рассматривался случай, когда абсолютное давление в точке больше атмосферного. Обратимся теперь к случаю, когда P& < Рат- Если в некоторой области давление меньше атмосферного, то говорят, что в ней вакуум (от латинского слова vacuum— разряжение). Для Измерения такого давления применяется обратный пьезометр, называемый иначе в а к у у м м е т р о м , представляющий собой трубку, одним кондом соединенную с областью А, где измеряется давление, а другим опущенную во вспо' могательный сосуд В с жидкостью, на свободной поверхности которой давление равно атмосферному (рис. 2.6). Под действием атмосферного давления жидкость из сосуда В поднимется по трубке на некоторую высоту /гВак, называемую вакуумметрической высотой или высотой вакуума. 29 Рассмотрим точку т на рис. 2.6. Можно сказать, что: а) давление в точке т -со стороны жидкости в сосуде В (в соответствии с законом Паскаля) равно Par, б) давление в точке т ческой трубке равно (2.33) со стороны жидкости в вакуумметри< Pa + Pgh вак- (2.34) Так как давление, слева и справа на точку должно быть одинаковым, то получаем: Рат = Ра + 9ghBaK, (2.35) откуда Лвак = ( P a r — PaViPg). (2.36) Как видно, /гВак характеризует разность двух давлений: атмосферного и абсолютного давления в точке т. Именно эта разность, а не само давление, называется вакуумом. Можно сказать, что вакуум в данной точке жидкости есть недостаток давления в ней до атмосферного. 2.5. Удельная потенциальная энергия. Потенциальный напор Жидкость, находящаяся в покое или движении, обладает определенным запасом механической энергии, т. е. способностью, Рис. 2.7. К понятию удельной циальной энергии. потен- производить работу. Покоящаяся жидкость обладает только так называемой потенциальной энергией. Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 2.7). Примем произвольную горизонтальную плоскость ОО за плоскость сравнения. На плоскости ОО наметим начало оси z и направим ее вверх. Ординаты г различных точек жидкости будем называть отметками; «отметка» точки есть возвышение ее над плоскостью сравнения. Выберем внутри объема жидкости две произвольные точки Л и В с отметками z { и z2. и сравним потенциальную энергию в них. Для этого выделим у точки А некоторый объем жидкости весом G и подключим к этой точке открытый пьезометр. Под дейст30 вием избыточного давления р в точке А объем жидкости весом G поднимается в трубке на высоту /гИЗб над точкой Л и на высоту Я над плоскостью сравнения ОО (см. рис. 2.7). Напомним, что -в случае открытого резервуара, когда внешнее давление на поверхности жидкости равно атмосферному р<>=рат, Лизб = hi, где hi — заглубление данной точки под уровнем жидкости в резервуаре. Из сказанного ясно, что рассматриваемый объем' жидкости, сосредоточенный в точке А, может произвести работу: во-первых, за счет своего падения на плоскость ОО с высоты Zi; эта возможная работа равна Gzx; (2.37) во-вторых, за счет своего поднятия под давлением р на высоту hi; эта возможная работа будет Ghi. (2.38) Полная работа, которую может произвести объем жидкости весом G в точке А, составит полный запас потенциальной энергии этого объема £пл = 0 ( 2 , + Л , ) . \ (2.39) Удельной потенциальной энергией называется энергия, отнесенная к единице веса жидкости, находящейся в точке А: ЭПА = ЕП A/G = 2, -j- /г, = Я. (2.40) Как видно, в общем случае следует различать два вида потенциальной энергии: 1) удельную потенциальную энергию положения ЭП 2, равную 2; 2) удельную потенциальную энергию давления Эар, равную /гШбВеличина Я в гидравлике носит название потенциального напора. Можно сказать, что потенциальный напор (удельная потенциальная энергия) слагается из двух напоров: геометрического напора (удельной энергии положения) и напора давления (удельной энергии давления). Выполнив аналогичные действия с некоторым объемом в точке В, получим Э п в = г 2 + /г2 = Я. Сравнивая (2.41) и (2.42), приходим к выводу: Э„ а = ЭП в = Я = const (по всему объему). (2.41) (2.42) Таким образом, для всех точек данного объема покоящейся жидкости потенциальная удельная энергия постоянна, т. е. от положения точки не зависит. 1 1 Иногда это называют энергетическим законом в покоящейся жидкости. 31 А 2.6. Поверхности равного давления Поверхность, являющаяся геометрическим местом точек, испытывающих одинаковое гидростатическое давление, называется поверхностью равного давления. Очевидно, поверхность равного давления определяется равенством р — const, откуда следует, что dp = 0. Обратимся к уравнению (2.14). Если правая его часть (dp) равна нулю, то и левая часть должна быть равна нулю, т. е. Xdx + Ydy -V Zdz = 0. (2.43) Рис. 2.8. Относительный покой в движущемся сосуде. Уравнение (2.43) и является уравнением поверхности равного давления. Рассмотрим простейшие частные случаи определения вида поверхности равного давления в жидкости, находящейся в состоянии равновесия. С л у ч а й 1. Жидкость находится под действием только одной объемной силы — силы тяжести (см. рис. 2.4). Напомним, что этот случай называют случаем абсолютного покоя. Вода налита в сосуд, который не движется. В соответствии с выбранным расположением начала координат и осей Ох, Оу и Oz, как1 уже отмечалось выше (см. п. 2.3), проекции на оси координат единичных массовых (объемных) сил будут Х = 0, У = 0, Z = g. Уравнение поверхности равного давления принимает вид gdz = 0. (2.44) Интегрируя это выражение (без учета давления на свободной поверхности), получим z = const. _ (2.45) Это уравнение — уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, т. е. горизонтальной плоскости. Свободная поверхность покоящейся жидкости как одна из поверхностей равного давления также должна быть горизонтальна. С л у ч а й 2. Жидкость находится в сосуде, который прямолинейно, равномерно ускоренно движется по горизонтальной плоскости с ускорением а (рис. 2.8). Пока сосуд не двигался, жидкость находилась в состоянии абсолютного покоя и свободная поверхность занимала положение т.п. При поступательном равно32 мерно ускоренном движении сосуда жидкость будет находиться в покое по отношению к сосуду, в котором она находится, но по отношению к окружающему пространству она движется, Этот случай равновесия жидкости называется относительным покоем. Располагаем начало координат на свободной поверхности жидкости в точке О на средней линии сосуда; положительное направление оси Ох принимаем в направлении движения, а оси Oz — вертикально вниз (см. рис. 2.8). В этом случае на жидкость будут действовать объемные силы, состоящие из силы тяжести и силы инерцйи, характеризуемой ускорением а и направленной противоположно движению. Относя объемные силы к единице массы, получим Х=.—а, 7 = 0, Z=g. Уравнение поверхности равного^ давления (2.43) принимает вид —adx + gdz = 0, (2.46) откуда dz = adx/g. (2.4 7) Интегрируя это уравнение (без учета давления на свободной поверхности), получим г = ax/g, (2.48) т. е. поверхность равного давления в этом случае является плоскостью, наклоненной к горизонту (линия т ' п ' на рис. 2.8) под углом р, тангенс которого равен tgp = fl/g. (2.49) 2.7. Суммарное гидростатическое давление на плоскую фигуру любой формы. Центр давления Давление жидкости, действующее на площадь конечных размеров, как было сказано выше, называется суммарным гидростатическим давлением или просто силой гидростатического давления. Пусть давление жидкости действует на некоторую плоскую фигуру площадью F, расположенную наклонно к горизонту под углом а (рис. 2.9). Поверхность, лежащая в плоскости хОу (ось Ох перпендикулярна к плоскости рисунка, а ось Оу направлена вниз по наклонной плоскости), на рисунке проектируется в виде прямой АВ. Для удобства повернем фигуру вокруг оси Оу на 90°; ось Ох займет новое положение. При • этом рассматриваемая плоская фигура будет изображена без искажения (см. рис. 2.9). Будем считать, что фигура имеет неправильную произвольную форму. На основании первого свойства гидростатического давления (см. п. 2.1) можем утверждать, что во всех точках площади F давление жидкости будет направлено по внутренней нормали к стенке. Отсюда заключаем, что суммарное гидростатическое з Заказ № 33 33 давление Р, действующее на произвольную плоскую поверхность площадью F, будет также направлено по нормали (см.-рис. 2.9). Поставим перед собой цель найти: а) силу Р а абсолютного гидростатического давления на плоскую фигуру АВ; б) центр давления. 1. Сила гидростатического давления. Наметим на рассматриваемой площадке произвольную точку т, заглубленную под уровнем жидкости на глубину h и имеющую координату у; из рис. 2.9 видно, что h — у sin а. (2.50) Рис. 2.9. Давление жидкости на плоскую наклонную фигуру. У точки т выделим элементарную площадку dF. Сила абсолютного гидростатического давления, действующая на эту площадку» dPa = ра dF, (2.51) или, согласно (2.24) и (2.50), dPs = (ро + Pgh)dF = p0dF + pgy sin adF. (2.52) Интегрируя это выражение по всей площади F, получаем Ра = ро f dF + рg sin a J у dF = p0F + pg- sin а \ у dF. F F F (2.53) Интеграл j у dF представляет собой статический момент F плоской фигуры АВ относительно оси Ох: §ydF = S0x = Fyc, (2-54) где ус — координата центра тяжести (точки С) данной плоской фигуры. Подставляя (2.54) в (2.53), получаем: p0F + pgFyc sin а. 34. (2.55) Так как i г/с sin а = (2-56) где he — заглубление центра тяжести плоской фигуры под горизонтом жидкости, то Ра = PoF + pghcF, (2.57) где ро — сила, обусловленная атмосферным (поверхностным) дав- ~ лением, передающаяся через жидкость на плоскую фигуру АВ. Обычно при технических расчетах учитывают силу давления только от избыточного гидростатического давления, т. е. без учета атмосферного давления, так как последнее действует на стенки равномерно с обеих сторон и само себя уравновешивает. Сила избыточного ,гидростатического давления равна Р = pghcF. (2.58) Как видно,, сила избыточного гидростатического давления, действующая на плоскую поверхность любой формы, равна произведению площади фигуры на избыточное гидростатическое давление в центре тяжести этой фигуры. 2. Центр давления. Большой практический интерес представ^ ляет нахождение центра давления, т. е. точки пересечения линии действия силы гидростатического давления с плоскостью, в которой лежит рассматриваемая плоская фигура. Если на фигуру со всех сторон действует атмосферное давление, что наиболее часто имеет место на практике, то положение центра1 давления не зависит от силы поверхностного давления, а зависит только от силы избыточного давления, действующего на фигуру. Установим положение центра избыточного гидростатического давления для плоскости АВ. Точка D — центр давления Р (см. рис. 2.9), ув — координата центра давления. Из механики известно, что момент равнодействующей силы относительно выбранной оси равен сумме моментов сил ее составляющих относительно той же оси. В нашем случае равнодействующей силой является сила гидростатического давления Р = pghcF = pgF sin ay с. (2.59) Момент ее относительно оси Ох может быть записан в виде PyD = pgF sin аусУв(2.60) Составляющими силами, из которых слагается сила Р, являются элементарные силы давления dP, приходящиеся на бесконечно малые площадки dF. Сумму моментов всех составляющих сил выразим интегралом вида \ dPy =\ypdF F 3* F = j y2pg sin a dF = pg sin a J y dF. F (2.61) E j 35 Приравнивая выражения (2.60) и (2.61), находим yD: рgF sin аусУю = рg sin a j у2 dF, (2.62) откуда \y2dF/(Fyc)^I0x/S0x, yD= (2.63) где 2 'Ox — \ У dF (2.64) — момент инерции плоской фигуры относительно оси Ох, а S0x = Fyc (2.65) есть, как уже отмечалось, статический момент плоской фигуры относительно оси Ох. Воспользуемся известной из механики зависимостью 1ох = /о + Fyl, (2.66) где /о-^-момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести (нейтральной оси). Подставляя (2.66) в (2.63), получим . /о . ,п с-,4 = Ус + -рг— = Ус + е, (2.67) 'Ус где положительная величина е называется эксцентриситетом. Как видно, центр давления Р лежит ниже центра тяжести фигуры Уо=- — — Л- 'О + V У С РУс — 0(х) л;|см — — i&j Рис. 2.10. Вертикальный плоский щит. на величину, равную е. Единственным случаем, когда расстояния ус и уа, совпадают, будет горизонтальное расположение фигуры. Тогда гидростатическое давление будет одинаковым для всех точек площади фигуры. Поясним использование полученных выше зависимостей, на примере вертикально. установленного прямоугольного плоского щйта (гидротехнического затвора), подверженного действию гидростатического давления (рис. 2.10). Предположим, что плоский 36 щит высотой h и шириной b поддерживает жидкость в открытом водоеме, глубина которой перед щитом также равна h. В этом случае атмосферное давление действует с обеих сторон щита, и щит находится под действием только избыточного, давления. Для определения силы давления Р воспользуемся формулой ( 2 . 5 8 ) : Р =pghcF. Так как hc = h/2 и F = bh (2.68) формула для Р примет вид P = pgbh2/2. (2.69) При определении координаты центра давления будем иметь в виду, что ось Ох, относительно которой находим эту координату, совпадает с уровнем жидкости и направлена перпендикулярно к плоскости чертежа. Тогда, воспользовавшись формулой ( 2 . 6 7 ) , получим ^ = ! с+ ' . / 0 7»Г ! = h , bh? • 2 Т+1ЙГа = h , 2 , h Т + Т = ТА' /n _ЛЧ (2 70) - так как Ус — he = h/2 и 10 = bh?\\2 - (2.71) для прямоугольной фигуры с размерами b и h, где в общем случае к берется в направлении действия изгибающей силы (см. рис. 2.10). 2.8. Графоаналитический способ определения суммарного давления на плоские фигуры и положения центра давления Напишем Давления: выражение для Ризб = избыточного Pgh. гидростатического (2.72) Оно является уравнением прямой линии, следовательно, изменение гидростатического давления по глубине подчиняется линейному закону. Это свойство гидростатического давления позволяет весьма просто изображать графически картину распределения давления жидкости на плоскую поверхность и, пользуясь этим графиком, определять как суммарное избыточное давление на плоскость, так и положение центра давления. -Рассмотрим случай,вертикальной плоской стенки прямоугольной формы, имеющей высоту h. и ширину b (см. рис. 2 . 1 0 ) . Так как изменение давления по глубине происходит по линейному закону, то достаточно отложить давление только в двух точках стенки, по которым строится прямая линия. Первую точку 37 возьмем у поверхности жидкости, где h = 0 и -РИзб = 0, а вторую — у дна, где Р И з б = р ^ - Полученные точки соединим прямой линией. В результате получим треугольник АВО (рис. 2.11), который называется эпюрой гидростатического давления. Площадь прямоугольного треугольника АВО, умноженная на ширину Ь, дает нам силу гидростатического давления, действующего на прямоугольную фигуру: h • b = —- рgbh2. •Р = — Pgh ТтТГГ7ТТтТ77Т7ТЩтгП777777Ш777 У' Рис. 2.11. Одностороннее давление на вертикальную плоскую фигуру прямоугольной формы. Рис. 2.12. Одностороннее давление на наклонную - плоскую фигуру прямоугольной формы. Эта формула аналогична выражению (2.69). Отметим, что в данном случае начало координат лежит в точке О, а ось Оу проходит вдоль плоскости стенки. Эпюра давления позволяет весьма просто найти графически положение1 центра давления: для этого надо найти на пересечении медиан центр тяжести эпюры давления Сэ и провести через него перпендикуляр к стенке; точка пересечения перпендикуляра со стенкой и является центром давления D (рис. 2.11). Таким образом, сила давления на прямоугольную плоскую фигуру может быть выражена произведением площади эпюры гидростатического давления F3 на ширину фигуры Ь Р = FJ), 4 (2.73) т. е. сила гидростатического давления может быть представлена весом жидкости в объеме призмы, в основании которой лежит эпюра давления, а высота равна ширине фигуры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольный треугольник, координата центра давления Ud : 2 - h и. Эта формула также аналогична выражению (2.70), полученному ранее в п. 2.7. 38 Если поверхность, на которую давит жидкость, расположена наклонно к горизонту, то эпюра давления также будет наклонна. При всех условиях основание треугольной эпюры должно быть перпендикулярно к поверхности, так как оно выражает гидростатическое давление на нижнюю кромку стенки и должно быть направлено по внутренней нормали к ней (рис. 2.12). Воспользовавшись формулой (2.73), получим выражение для силы гидростатического давления > Р = р gbh 2. F3b=-^-pgh Рис. 2.13. Двустороннее давление на плоскую прямоугольную фигуру. (2.74) 2 sin а 77777777777777777777777777777777777777777 Рис. 2.14. Гидростатическое давление на дно сосуда. Примем точку О за начало координат; ось Оу направим вдоль наклонной поверхности. Тогда координата центра давления определится выражением (2-75) где а—-угол наклона стенки к горизонту. Рассмотрим теперь более сложный - случай, когда плоская стенка подвержена давлению жидкости с двух сторон. При наличии воды с двух сторон рассматриваемого щита OA (рис. 2.13) приходится строить отдельно две эпюры давления: для жидкости, находящейся слева от щита (см. треугольник АВО), и для жидкости, находящейся справа от щита (см. треугольник АО'В'). После этого два полученных треугольника складываем, как показано на рисунке; в результате получаем эпюру давления в виде трапеции OAMN. В рассматриваемом случае для силы гидростатического давления в соответствии с формулой (2.73) будем иметь Р = FJ, = - 1 - (А, + А2) pg {hi - Аз) b (А? - hi). (2.76) Линия действия результирующей силы Р должна проходить через центр тяжести Сэ трапеции перпендикулярно щиту OA. Координата ув результирующего давления Р равна координате по оси Оу центра тяжести эпюры давления Сэ (см. рис. 2.13). 39 В, заключение . рассмотрим частный случай — случай плоской фигуры, расположенной горизонтально. Предположим, что мы имеем ряд сосудов (рис. 2.14) различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна F и равные глубины h налитой в них . жидкости. Определим силу .давления жидкости, действующую на дно сосудов. В этом частном случае избыточное гидростатическое давление р И зб, выражаемое заглублением точек плоского дна АВ под уровнем жидкости будет распределяться равномерно по всему дну в любом из сосудов и будет равно гидростатическому давлению в центре тяжести С плоской фигуры АВ (см. рис. 2.14). Согласно зависимости (2.58), сила давления на плоскую фигуру равна площади фигуры, умноженной на гидростатическое давление в ее центре тяжести. Поскольку для всех сосудов площадь дна и давление в центре тяжести дна одинаковые, то во всех сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым P = pgFh. 4 (2.77) Таким образом, сила давления на дно сосуда не зависит от его формы, а зависит только от площади дна сосуда и от наполнения. Это положение носит в гидравлике название «гидростатического парадокса». Так как объем жидкости во всех сосудах разный и, следовательно, вес жидкости во всех сосудах тоже разный,, то это заключение может показаться неожиданным (парадоксальным). Однако кажущаяся странность этого заключения обусловлена только тем, что, говоря о давлении на дно сосуда, мы умалчиваем о давлении жидкости на стенки. У сосуда 1 давление на стенки не дает вертикальной составляющей и давление жидкости на его дно в точности равно весу жидкости. У сосуда 2 давление на стенки дает' вертикальную составляющую, направленную вниз, и давление на дно является лишь частью веса жидкости в сосуде, остальной же вес передается на стенки сосуда. У сосуда 3 давление на стенки дает вертикальную составляющую, направленную вверх; давление на дно больше веса жидкости в сосуде как раз на величину этой направленной в противоположную сторону вертикальной составляющей и, значит, сосуд в целом, т. е. дно его и стенки, взятые вместе, воспринимают, как и в случае сосудов 1 и 2, результирующее давление, в точности равное весу жидкости. 2.9. Суммарное гидростатическое давление на криволинейную цилиндрическую поверхность В практике приходится определять силу гидростатического давления не только на плоские поверхности, но и на криволинейные поверхности любого вида. Особенно важно это для гидротехников, так как таким путем определяют силы, действующие на 40 секторные, сегментные и вальцовые затворы водопропускных сооружений, на внутренние стенки водяных баков, трубопроводов и т. п. Ниже рассмотрим только простейший частный случай криволинейной поверхности—-цилиндрическую поверхность, которая встречается наиболеё часто. Будем рассматривать только избыточное гидростатическое давление, вовсе не интересуясь поверхностным давлением. Рассмотрим общий вид криволинейной цилиндрической поверхности ABB'А' (рис. 2.15). Кривая АВ есть направляющая рас- сматриваемой цилиндрической поверхности. Обозначим длину образующей цилиндрической поверхности, перпендикулярной к плоскости чертежа, через b ( 6 = const). Наметим начало Координат О на уровне свободной поверхности жидкости и оси координат Ох, Оу, Oz. Если при определении силы гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, по существу производим простое сложение элементарных параллельных сил, то при решении аналогичной задачи для криволинейной поверхности приходится складывать силы давления, имеющие различные направления. Это обстоятельство усложняет задачу, требуя применения специальных расчетных приемов. В общем случае криволинейной поверхности необходимо знать проекции суммарного давления на три взаимно перпендикулярных направления. Задача упрощается, если Криволинейная поверхность является цилиндрической, так как в этом случае для определения суммарного давления достаточно знать горизонтальную составляющую давления Рх и вертикальную составляющую Pz. Суммируя эти составляющие, получим силу давления жидкости на криволинейную поверхность и ее направление. Обратимся вначале к отысканию выражений для составляющих Рх и Pz искомой силы Р. С этой целью проведем вертикальную плоскость и спроектируем на нее криволинейную поверх41 ность ABB'А'. В проекции на вертикальную плоскость она дает нам прямоугольник ЕКК'Е' (см. рис. 2.15). Рассмотрим условия равновесия выделенного объема покоящейся жидкости АЕКВ. На этот объем действуют следующие силы: 1) сила гидростатического давления Рн, действующая на вертикальную грань ЕК со стороны жидкости, расположенной слева от этой грани; 2) сила — со стороны дна АЕ (реакция дна; см. п. 2.8): Яд = 9ghFAEE'A' = pghbAE = р gbFAEKC; (2.78) 3) реакция R — со стороны цилиндрической поверхности; горизонтальную и вертикальную составляющие реактивной силы R обозначим соответственно Rx и Rz; значения и направления этих сил (в отличие от других) нам неизвестны; \ 4) сила тяжести, действующая на рассматриваемый объем жидкости: 0 = p g b F A B K B (2.79) . Проектируя все силы, действующие на покоящийся объем АЕКВ, соответственно на оси Ох и Oz, получаем следующие уравнения равновесия (не зная направления Rx и Rz, вводим их в уравнения со знаком плюс): Ph + Rx = 0; О + Я г - Я д = 0, (2.80) откуда Rx = —Рн\ Rz = Ra-G. (2.81) Так как силы Rx и Rz равны искомым силам Рх и Рг, но направлены в противоположную сторону, можем написать: P x = - R x И P z = — R z ? - (2.82) При этом из первого уравнения выражения (2.81) имеем: Px = Ph, (2.83) т. е. горизонтальная составляющая Рх силы давления на криволинейную цилиндрическую поверхность равна силе гидростатического давления жидкости на плоскую вертикальную прямоугольную фигуру ЕК, представляющую собой проекцию рассматриваемой поверхности АВ на вертикальную плоскость. В связи с этим сила Рх может быть выражена, как и в случае плоских фигур, треугольником гидростатического давления ELK (см. рис. 2.15). Преобразуем второе уравнение выражения (2.81), подставив в него (2.78) и (2.79): Rz = Р gbFAEKC — PgbFAEKB = р gbFABC; откуда, учитывая (2.82), получим Pz = -pgbFABC. ,42 (2.84) (2.85) Обозначим площадь FABC через F0 (на рисунке она заштрихована). Тогда вместо (2.85) можно написать Pz=-pgbF0, (2.86) т. е. вертикальная составляющая Pz силы давления на криволинейную цилиндрическую поверхность равна взятому со знаком минус весу воображаемого жидкого тела площадью сечения FoЭто воображаемое жидкое тело называется телом давления. Оно имеет форму призмы с основанием площадью F 0 и высотой Ь. При определении Fo руководствуемся следующим правилом: поперечное сечение тела давления (отрицательного или положительного) представляет собой фигуру, заключенную между самой цилиндрической поверхностью АВ, вертикалью, восстановленной через самую нижнюю точку пересечения криволинейной поверхности и дна, и горизонтом жидкости (или его продолжением). Если рассматриваемая цилиндрическая поверхность со стороны тела давления не смачивается жидкостью, то имеем отрицательное тело давления (на рис. 2.15 площадь Fо лежит в области воображаемой жидкости); в противном случае имеем положительное тело давления. Найдя таким образом составляющие Рх и Pz, путем их геометрического сложения определяем искомую силу давления жидкости на криволинейную цилиндрическую поверхность: Р= л/Pl+Pl (2.87) Направление силы давления Р определяется углом ее наклона к горизонту, т. е. углом а (см. рис. 2.15), который может быть установлен из соотношений: cos а = Рх/Р] sin а = Р,/Р или t ga = Pz/Px. (2.88) 2.10. Равновесие плавающих тел Как известно, жидкость оказывает давление на погруженное в нее тело. Рассмотрим действие сил давления на тело объемом W, погруженное в жидкость (рис. 2.16) и находящееся в состоянии покоя в отношении окружающей его жидкости. Очевидно, что при указанных условиях горизонтальные составляющие сил давления на тело слева и справа будут равны и противоположны по направлению, т. е. взаимно уравновесятся (в противном случае тело пришло бы в движение и условия равновесия были бы нарушены). Выделим в этом теле элементарный объем dW в виде вертикального цилиндра по всей высоте тела с площадью поперечного сечения dF. Рассматривая такой цилиндр, видим, что сверху на него давит вес столба жидкости, равный pghidF; снизу — вес столба жидкости, равный pghidF (см. рис. 2.16). 43 Разность этих давлений, направленная в сторону действия большей силы, т. е. снизу вверх, dP = (h2 — h,) рg dF = pg- dW. (2.89) Суммируя разности давлений на все цилиндры, составляющие данное твердое тело, получим P = pgW. (2.90) Это уравнение выражает закон, высказанный еще в древности (за 250 лет до нашей эры) А р х и м е д о м . Его можно сформу- Рис. 2.16. Плавающее тело. лировать следующим образом: всякое тело, погруженное в жидкость, испытывает со стороны последней давление, направленное снизу вверх и равное весу-жидкости в погруженной части тела. Сила Р, зависящая только от плотности жидкости р и объема погруженного в нее тела W, называется силой водоизмещения или подъемной силой (архимедовой силой). Точка ее приложения к телу, соответствующая центру давления D, называется центром водоизмещения. В общем случае точка D не совпадает с центром тяжести С твердого тела, где приложена сила тяжести G (см. рис. 2.16). Закон Архимеда имеет большое значение для судостроения, гидротехники и т. д. Плавучестью тела называется способность тела плавать в полупогруженном состоянии. Плавучесть тела зависит от соотношения силы тяжести G и подъемной силы Р. У с л о в и я п л а в а н и я т е л заключаются в следующем: G>P — тело тонет; G <С Р — тело всплывает на поверхность жидкости; G = P — тело плавает в погруженном состоянии. Рассмотрим случай плавания тел в полупогруженном состоянии. Этот случай особенно важен для практики. Если подъемная сила Р больше силы тяжести G, то тело начнет всплывать. После того как часть его выйдет из жидкости, подъемная сила уменьшится, так как уменьшится объем жидкости, вытесняемый телом. В тот момент, когда уменьшенная подъемная сила станет равна силе тяжести, вытеснение тела из жидкости прекратится и оно начнет плавать в полупогружениом состоянии. 44 Для плавающего тела, кроме основного условия плавучести его G = P, необходимо еще соблюдать условия «остойчивого» равновесия. Способность судна (так же, как и любого плавающего тела) восстанавливать нарушенное при крене (наклонение корпуса судна на бок) равновесие в теории плавания тел носит название статической остойчивости. Рассмотрим условие остойчивости плавающего тела. Назовем предварительно некоторые общепринятые термины: плоскость се- чения тела поверхностью воды (рис. 2.17) называется плоскостью плавания-, линия пересечения этой плоскости с поверхностью плавающего тела (след ее тп на рис. 2.17) носит название ватерлинии-, линия, перпендикулярная плоскости плавания при нормальном положении тела (ось симметрии тела) и проходящая через центр тяжести тела, называется осью плавания АВ. Положение центра водоизмещения D на оси плавания при нормальном положении судна может быть выше или ниже центра тяжести судна С. В первом случае (рис. 2.17 а), т. е., когда точка D находится выше точки С, плавающее тело будет всегда остойчивым, так как при крене силы Р и G дают всегда момент, возвращающий судно в исходное положение. Во втором случае (рис. 2.17 б), т. е. при положении точки Р ниже С, требуются дополнительные условия для остойчивого плавания судна. Положение точки D зависит от формы погруженной части судна (или любого другого плавающего тела) и не остается постоянным при крене судна, когда эта форма неизбежно изменяется и перестает быть симметричной относительно оси плавания. При небольших углах крена (до 15°) в обе стороны от вертикального положения оси плавания центр водоизмещения перемещается по дуге окружности, центром которой является некоторая точка на оси4 плавания, получающаяся на пересечении оси плавания АВ с вертикалью, проведенной через центр водоизмеще45 ния Di. Эта точка называется метацентром и обозначается буквой М (рис. 2.17 в). В этом случае, т. е. при небольших углах крена, метацентр обычно располагается выше центра тяжести С и положение судна будет всегда остойчивым, так как момент пары сил будет возвращать судно в нормальное положение. При более значительных углах крена, превышающих 15°, центр водоизмещения Dz может переместиться так, что метацентр М окажется ниже центра тяжести С и дополнительный момент' от действия пары сил будет стремиться опрокинуть судно (рис. 2.17 г). В этом случае судно будет находиться в неостойчивом положении. Детальное исследование этих вопросов уже не относится к гидравлике; а излагается в специальных дисциплинах: теория корабля, кораблестроение и пр. Практический же вывод для гидрологов, часто использующих плавательные средства при работе на реках и озерах, таков: при загрузке плавсредства самые тяжелые грузы надо размещать на дне, т. е. так, чтобы центр тяжести С оказался как можно ниже. Глава третья ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 3.1. Общие понятия и определения гидродинамики Г и д р о д и н а м и к а изучает законы движения жидкости. Основной ее задачей является нахождение скоростей' течения (расходов воды) и давлений, возникающих в движущейся жидкости, а также определение форм кривых свободной поверхности. При этом в гидравлике, как правило, не интересуются давлением и скоростью в отдельных точках пространства, а используют некоторые осредненные и суммарные (интегральные) характеристики потока. В гидравлике обычно рассматривают «реальные», т. е. вязкие, жидкости. Однако иногда используются решения, полученные для «идеальной» жидкости с внесением необходимых поправок на учет сил трения. Для и д е а л ь н о й ж и д к о с т и гидродинамическое давление р имеет тот же'смысл и обладает теми же свойствами, что и гидростатическое давление р. В случае же р е а л ь н о й ( в я з к о й ) ж и д к о с т и гидродинамическому давлению р приходится придавать особое значение. Остановимся на некоторых общих понятиях и определениях, используемых в гидродинамике. Траектория движения — путь, который проходит частица жидкости за промежуток времени At (иными словами пространственный след движущейся частицы во времени). Выделим в потоке жидкости некоторую частицу А и проследим за ее перемещением (рис. 3.1). В момент времени t\ частица имеет скорость их и движется по направлению вектора 1—2. К моменту h она окажется в точке 2 и с новой скоростью и% будет перемещаться вдоль вектора 2—3. Вдоль этого вектора к моменту времени U она переместится в точку 3, где скорость ее получит новое значение и направление. Соединим точки 1—2—3—4... ломаной линией. Заменяя ломаную линию кривой, получим траекторию движения частицы А за промежуток времени At. Рассмотренная выше картина движения частицы А в потоке осложняется тем обстоятельством, что обычно элементы движения (скорость и направление) меняются в потоке не только от положения точки относительно системы координат, но и со временем. Считают, что в каждый момент времени скорость и направление движения отдельных частиц жидкости изменяются, т. е. они п у л ь с и р у ю т . Вследствие пульсаций частица меняет свою траекторию от момента к моменту. • Линия тока — кривая, для которой векторы скорости в любой точке, взятые в один и тот же момент времени, являются каса47 тельными. Как видно, если бы не было пульсаций характеристик движения, то линия тока совпадала бы с траекторией. Система линий тока выражает мгновенную картину движения жидкости и отдельную линию тока можно рассматривать только Рис. 3.1. Траектория движения. Рис. 3.2. Линии тока. как воображаемую линию (рис. 3.2). Если поместить в поток движущейся-жидкости подкрашенную частицу и наблюдать за ее перемещением некоторый промежуток времени, то мы увидим траекторию движения. Линию тока же можно было бы получить только с помощью киносъемки мгновенного поля векторов скоростей. Элементарная струйка. Наметим внутри потока жидкости точку 1 и у этой точки, как показано на рис. 3.3, выделим эле- Рис. 3.3. Элементарная струйка. ментарную площадку dca, ограничив ее замкнутым контуром. Далее через все точки площадки dco проведем линии тока, отвечающие определенному моменту времени. Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки da, ограниченной замкнутым контуром, называется элементарной струйкой. Можно сказать, что элементарная струйка представляет собой пучок линий тока, ограниченный с боков трубкой тока. Так как боковая поверхность струйки образована линиями тока, вдоль которых одна за другой скользят жидкие частицы, то, следовательно, проникновение жидкости через боковую поверхность невозможно. Одно из важных свойств элементарной струйки заключается в следующем: так как площадь da> бесконечно малая, то- можно считать, что скорости и во всех точках поперечного сечения \струйки одинаковы. Элементарный расход с учетом упомянутого выше свойства элементарной струйки выразится так: dQ = u dсо. (3.1) 48 Живое сечение — это поперечное сечение потока, ограниченное свободной поверхностью и твердыми стенками и во всех своих точках перпендикулярное к направлению линий тока. Это определение справедливо для потока с открытой свободной поверхностью. Для потока жидкости в трубе живым сечением называется поверхность, перпендикулярная к линиям тока и лежащая внутри потока. На рис. 3.4 показано живое сечение открытого потока в плане. Оно представляет собой криволинейную поверхность. Линия тот сечение-^у \~Попер?чное сечение Рис. 3.4. Живое сечение потока. Рис. 3.5. График мгновенной скорости. Местная скорость. Нам уже известно, что^скорости движения отдельных частиц в потоке жидкости с течением времени, как правило, не остаются постоянными, а все время изменяются, пульсируют по величине. Современная измерительная аппаратура позволяет получить запись пульсации скорости в точке потока (рис. 3.5). С графика и' = f ( t ) можно снять значения мгновенных скоростей в точке в любой момент времени. Однако эти значения редко используют в гидравлических расчетах. Местной скоростью называется осредненная по времени скорость в точке потока. Ее можно получить планиметрированием графика мгновенных скоростей или вычислить по формуле и и= \ u'dt. (3.2) 11 Средняя скорость. Известно большое количество приборов, позволяющих измерить эпюру распределения местных скоростей по глубине потока u = f(h) (рис. 3.6). В каждой точке вертикали АВ будут свои значения местных скоростей ш, ыг, из, . . . Фигура ABC представляет характер распределения скоростей и по вертикали и называется эпюрой скоростей. Эту фигуру можно заменить равновеликой ей по площади фигурой ABED, если провести вертикаль DE таким образом, чтобы отсекаемые ею площади со знаком плюс и со знаком минус были одинаковыми. Таким образом, мы получили на рис. 3.6 значение средней скорости v для данной вертикали. Понятие средней скорости — условное, так как при этом мы заменяем действительную картину движения жидкости с неравно4 Заказ № 33 49 мерным распределением скоростей отдельных частиц фиктивным движением с одинаковыми скоростями движения каждой частицы. Среднюю скорость иногда относят к вертикали, но чаще — к сечению потока. Средней скоростью потока в данном сечении называется фиктивная скорость v, с которой должны перемещаться все частицы жидкости в этом сечении, чтобы через него прошел расход воды Q, равный расходу при действительном распределении скоростей. Рис. 3.6. Эпюра местных скоростей. Рис. 3.7. Поперечные сечения прямоугольного и трапецеидального русла. Если известен закон распределения местных скоростей по сечению потока, то среднюю скорость можно найти по формуле у = ^ и da/a. со (3.3) Расход жидкости. Расходом жидкости называется объем ее, протекающий в единицу времени через живое сечение потока. Размерность Q: [Q] = L3/T, например, м3/с, дм 3 /с (т. е. л/с) и т. п. Подставляя в формулу (3.3) выражение для элементарного расхода dQ (3.1), получим v = j dQ/a = Q/co, со (3.4) Q = <ш, (3.5) откуда где со — площадь живого сечения. Площадь живого сечения. В практике расчетов живое сечение часто заменяют плоским поперечным сечением и находят его площадь. Поперечное сечение потока — плоскость, перпендикулярная общему (среднему) направлению течения потока и ограниченная профилем русла, а сверху уровнем воды (для потока с открытой свободной поверхностью). 50 Для русла прямоугольной формы (рис. 3.7) площадь сечения потока определяется по формуле • со — bh, (3.6) где b — ширина русла понизу (или по дну), h — глубина потока. Для трапецеидального сечения открытого потока (см. рис. 3.7) площадь поперечного сечения рассчитывается по формуле со = {b + mh)h, (3.7) где m = ajh = ctg ф — коэффициент откоса. ' Для напорной круглоцилиндрической трубы площадь поперечного сечения равна площади круга о = я d2/4 = яг2, (3.8) где d — диаметр трубы, г — радиус. Смоченный периметр представляет собой длину линии соприкосновения движущегося потока с неподвижными стенками в пределах поперечного сечения русла. В случае прямоугольной формы русла смоченный периметр равен длине линии V—2—3—4' (см. рис. 3.7) и выражается формулой X = b+2h. (3.9) Для широкого прямоугольного русла, когда В > / г , Для русла трапецеидальной формы смоченный периметр равен длине линии 1—2—3—4 (см. рис. 3.7) и выражается формулой Х = Ь + 2кл/Т+пГ2. (3.10) В зимнее время, когда свободная поверхность воды покрыта льдом, в смоченный периметр включается и длина линии контакта воды и ледяного покрова X = b + 2h Vl +m2 + B, (3.11) где Б — ширина русла поверху, равная B = b + 2mh. (3.12) Для напорной круглоцилиндрической трубы смоченный периметр равен длине окружности X = nd — 2яг.' Гидравлический . (3.13) радиус: R = со/Х. (3,14) Размерность гидравлического радиуса [R] = L, например, м, см и т. п. Гидравлический радиус R показывает, какая доля площади поперечного сечения приходится на единицу длины смоченного 3* 51 периметра, т, е. в некоторой степени характеризует торможение потока со стороны русла. При помощи этой величины пытаются приближенно учесть влияние формы (а также размеров) живого сечения потока на движение жидкости. Для случая широкого прямоугольного русла, что характерно для большинства равнинных рек, гидравлический радиус в условиях отсутствия ледостава практически равен его средней глубине. Действительно: /? = ю/Х = Bh/(B + 2h) « h. (3.15) Рис. 3.8. Продольный профиль потока. Уклон потока. Рассмотрим понятие уклона на примере потока с открытой водной поверхностью. Возьмем продольный разрез потока для наиболее общего случая, когда глубина не остается постоянной по длине (рис. 3.8). Выберем участок движущейся жидкости между сечениями 1—1 и 2—2. Длина участка L, соотношение глубин hz > hi. Наметим горизонтальную плоскость сравнения ОО (см. рис. 3.8). Обозначим расстояния от плоскости сравнения до отметок водной поверхности в выбранных сечениях соответственно через zi и гг, расстояния до отметок дна — через yi и у2. Уклон дна потока равен отношению падения (разности отметок) дна потока на рассматриваемом участке к длине этого участка, т. е. i = (Уy2)/L = hylL = sin (3.16) где © — угол наклона линии дна к горизонту (см. рис. 3.8). Уклон свободной поверхности равен отношению разности высотных отметок уровня воды на рассматриваемом участке к длине участка, т. е. -/ = («,— z2)/L = Az/L = sinQ', (3.17) где в ' —угол между линией водной поверхности и горизонтом (см. рис. 3.8). 1 В практике, при весьма малых уклонах дна рек и каналов, с достаточным приближением sin 0 заменяют t g 0, что равносильно отсчету L по горизонтальной прямой. 52 Как видно из рис. 3.8, в общем случае Az = Ay — Ah, (3.18) где Ah-—разность глубин на рассматриваемом участке потока. Из (3.18) следует, что только при Ah = 0 будем иметь Az=Ayt а значит / = г , т. е. уклон свободной поверхности оказывается равным уклону дна потока. . 3.2. Виды движения жидкости Р е ж и м д в и ж е н и я жидкости бывает: 1) ламинарный и 2) турбулентный. При первом (ламинарномрежиме отдельные слои жидкости скользят относительно друг друга, не смешиваясь между собой, а частицы жидкости движутся прямолинейно по параллельным друг другу траекториям. При этом режиме скорости в каждой точке потока не изменяются во времени ни по величине, ни по направлению; изменение скорости течения может быть связано только с изменением расхода воды в потоке. Второй режим (турбулентный 2 ) характеризуется, нарушением «струйчатости» движения и изменением во времени местных скоростей потока по величине и направлению — пульсацией скоростей; при этом частицы жидкости движутся по сложным, все время изменяющимся и перемежающимся траекториям. Одновре^ менно с пульсацией скорости наблюдается и пульсация давления. С пульсацией скорости тесно связан и процесс турбулентного перемешивания (турбулентной диффузии), являющийся гораздо более интенсивным (иногда в десятки тысяч раз и более), чем молекулярная диффузия, характерная для ламинарных потоков. Движение воды в реках и каналах имеет турбулентный характер; ламинарный режим в природе наблюдается в тонких капиллярных трубках. Рассмотренная классификация очень важна для понимания законов движения жидкости, и ей будет уделено дальше особое внимание (см. п. 3.4). В з а в и с и м о с т и от о б щ и х у с л о в и й и х а р а к т е р а д е й с т в у ю щ и х с и л различают безнапорное и напорное движения. Безнапорное движение (свободное) характеризуется наличием свободной поверхности уровня воды и совершается под действием силы тяжести. Такое движение наблюдается в открытых естественных и искусственных руслах и в некоторых частных случаях в трубах, когда они работают неполным сечением. Представим на рис. 3.9 продольный разрез потока с открытой свободной поверхностью. Выделим частицу А и рассмотрим силы, 1 Слово «ламинарный» происходит от латинского слова, «слоистый». 2 Слово «турбулентный» происходит от латинского слова, «беспорядочный». означающего означающего 53 .действующие на нее. Движение этой частицы в потоке осуществляется под действием проекции силы тяжести на направление .движения GX = G sin 0 (3.19) :или, подставляя в (3.19) выражение для sin © по (3.16), получим: Ох = iG. (3.20) Отсюда видно, какую важную роль играет уклон дна потока при свободном, безнапорном (гравитационном) движении. Рис. 3.9. Безнапорное (свободное) жение. дви- Рис. 3.10. Напорное движение. Напорное движение — это движение, при котором поток со всех сторон ограничен твердыми стенками, а само движение возникает под влиянием сил давления, сообщаемых внешним источником. Такое движение наблюдается, как правило, в напорных трубопроводах. Оно может иметь место и в полностью заполненном водоносном пласте, перекрытым сверху и снизу водоупорным слоем (артезианские воды), и в реке при наличии плотного ледяного покрова. Рассмотрим три варианта (рис. 3.10) расположения напорного трубопровода: 1 — горизонтальная труба, 2 — уклон по течению, 3 — уклон против течения. Положение горизонта воды в напорной емкости предполагаем неизменным. Вода вытекает из труб, работающих полным сечением. Опытами установлено, что расходы на выходе во всех трех трубах одного диаметра будут примерно одинаковые, так как движение совершается под действием напора воды Я (см. рис. 3.10). Уклон потока при напорном движении практически никакой роли не играет. В з а в и с и м о с т и от х а р а к т е р а и з м е н е н и я э л е ментов поперечного сечения и г и д р а в л и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к п о д л и н е п о т о к а движение делят на: 1) равномерное, 2) неравномерное и 3) плавно изменяющееся. Равномерным движением называется движение, при котором гидравлические элементы потока (глубина, площадь живого се54 чения, расход, средняя скорость и пр.) при переходе от одного сечения к другому остаются постоянными, т. е. не изменяются по длине потока. При равномерном движении эпюры скоростей для всех сечений имеют не только одинаковую площадь, но и совершенно одинаковую форму. Это означает, что местная скорость в соответственных точках любых живых сечений данного потока также одинакова. Под соответственными точками понимаются точки, принадлежащие одной и той же намеченной прямой линии и лежащие в разных живых сечениях (см. на рис. 3.9 точки 1', 2 3', . . . , или 1", 2", 3", . . . и т . д.). Рис. 3.11. Безнапорное неравномерное движение. 71 21 Пример свободного равномерного движения представлен на рис. 3.9. Такое движение может наблюдаться в канале с постоянной глубиной, шириной и живым сечением потока, причем средняя скорость v в этих условиях постоянна вдоль потока (о = = const). В случае свободного равномерного движения уклоны водной поверхности потока и дна русла равны ( / = t ) ; линии поверхности воды и дна русла на рисунке параллельны (см. рис. 3.9). Следует иметь в виду, что в естественных условиях в реках равномерное движение невозможно и только на 'отдельных прямолинейных участках небольшой длины L оно лишь может приближаться к равномерному. Примером напорного равномерного движения является движение воды в напорной трубе, если ее форма и размеры поперечного сечения по длине потока не меняются (см. рис. 3.10). Неравномерным движением называется движение, характеристики которого изменяются по длине потока. Оно может быть вызвано: а) изменением живого сечения потока; б) изменением средних скоростей в разных живых сечениях; в) изменением и того и другого одновременно. Типичным примером неравномерного движения потока является движение воды в реке на участке перед плотиной: по- длине потока в направлении движения площадь живого сечения и глубина увеличиваются, скорости убывают (рис. 3.11). Такой же характер будет иметь движение воды в реке при ее сужении или расширении, на переходе от плеса к перекату, при выходе воды на пойму, на участке резкого поворота и т. п. 55 Примером напорного' неравномерного движения является движение воды в напорной конической трубе, где по длине меняются живые сечения потока и, следовательно, скорости. Плавно изменяющееся движение — промежуточная форма движения между равномерным и неравномерным. Для плавно изменяющегося движения характерны следующие признаки: а) в сужающихся или расширяющихся потоках угол сходимости (расходимости) струек должен быть достаточно мал; б) при движении на повороте кривизна струек должна быть незначительной, т. е. радиус кривизны должен стремиться к бесконечности; " • в) живые сечения потока являются плоскими сечениями, нормальными к оси потока. В зависимости от и з м е н е н и я характеристик д в и ж е н и я во в р е м е н и движение делят на-: 1) установившееся, 2) неустановившееся и 3) медленно изменяющееся. Установившимся движением называется движение, характеристики которого (уровень свободной поверхности, расход и скорость в данном сечении потока) не изменяются во времени. Примерами установившегося движения могут быть движение воды в канале или реке ири постоянном уровне воды и движение •воды в напорном трубопроводе при постоянном напоре. Установившееся движение может быть как равномерным, так и неравномерным. Неустановившимся движением называется движение, при котором все (или некоторые) гидравлические характеристики потока изменяются во времени. Неустановившееся движение представляет собой наиболее общий вид движения, по отношению к которому установившееся движение является частным случаем. В естественном потоке (реке) неустановившееся движение может быть вызвано волной половодья или волнами попусков из водохранилищ, когда в каждом сечении потока происходит непрерывное изменение уровней, расходов и прочих гидравлических параметров. Таким образом, свободное неустановившееся движение всегда будет неравномерным. Но даже и при отсутствии волн паводков или попусков в естественных потоках скорость и давление в каждой точке потока жидкости с течением времени изменяются (пульсируют). Однако при выполнении гидравлических расчетов мы условно считаем такие потоки установившимися, принимая в расчетах скорости и давления, осредненные за достаточный промежуток времени. Примером напорного неустановившегося движения может служить истечение жидкости через отверстие в резервуаре при переменном напоре. Неустановившееся движение является самым' сложным видом движения жидкости. Медленно изменяющееся движение — промежуточная форма движения между установившимся и неустановившимся. Например, 56 подъем уровня в реке не обязательно мал по сравнению с первоначальной глубиной водотока, но увеличение глубины происходит достаточно медленно. К этой категории можно отнести некоторые волны половодья, паводков и попусков. Более подробно об этом будет сказано в гл. 10. Д в и ж е н и е ж и д к о с т и п о с о с т о я н и ю (см. п. 6.2) делят на: 1) спокойное и 2) бурное. Спокойное состояние характеризуется сравнительно малыми скоростями движения и большими глубинами. Оно наблюдается на равнинных реках и в каналах при малых уклонах дна. Бурное состояние возникает при больших уклонах дна, больших скоростях и сравнительно малых глубинах. Оно характернодля горных рек, водосбросов ГЭС и часто сопровождается образованием периодически возникающих и разрушающихся волн на поверхности потока. В учебниках гидравлики часто приводится еще одна классификация видов движения (вихревое и безвихревое); однако на ней не будем останавливаться, так как в соответствии с учебной, программой она рассматривается в курсе гидромеханики. 3.3. Уравнение неразрывности в случае установившегося движения Представим поток (струю) жидкости и наметим два сечения 1—1 и 2—2 (рис. 3.12). Будем..считать движение плавно изменяю- Рис. 3.12. К выводу уравнения ности. неразрыв- щимся и установившимся. Рассмотрим отсек abed, заключенный между сечениями. Обозначим через Qt и Q2 расходы соответственно для сечений 1—1 и 2—2. За время dt в отсек abed через живое сечение 1—1 поступит объем жидкости, равный Qi dt\ за это же время через живое сечение 2—2 из отсека abed вытечет объем жидкости, равный Qzdt. Примем во внимание следующие обстоятельства: 1) жидкость является несжимаемой; 2) жидкость движется сплошным потоком, без образования в нем разрывов и пустот; 3) отток или приток жидкости через боковые- поверхности ad и be, а также через4 дно выделенного отсека abed исключаем. 57 Учитывая эти обстоятельства, можно утверждать, что объем жидкости Qidt должен быть равен объему жидкости Qzdt: Qldt = Q2dt (3.21) Q, = Q2- (3.22) или Помимо сечений 1—1 и 2—2, можно наметить вдоль потока по •оси s (см. рис. 3.12) целый ряд других поперечных сечений и, рассматривая их так же точно, как и сечения 1—1 и 2—2, прийти .к выводу, что dQ/ds = 0, (3.23) т. е. при установившемся движении расход Q для всех сечений лотока одинаков. Уравнение (3.23) и является искомым уравнением. Оно отражает свойства несжимаемости (см. п. 1) и неразрывности, другими словами, сплошности (см. п. 2) движущейся жидкости. Поэтому данное уравнение следовало бы назвать уравнением н е с ж и м а е м о с т и и н е р а з р ы в н о с т и (сплошности) движущейся жидкости. Мы, однако, далее будем именовать его просто уравнением неразрывности. Подставляя в выражение (3.22) расход воды Q, вычисленный по формуле (3.5), перепишем его в виде v,/v2 = С02/<д).1, (3.24) т. е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений. Заметим, что уравнение (закон) неразрывности — одно из -фундаментальных уравнений механики жидкости — может быть получено строго математически в дифференциальной форме для •общего случая движения сжимаемой жидкости. Этот вывод уравнения рассматривается "в смежном курсе гидромеханики. Запишем уравнение неразрывности в готовом виде для случая движения несжимаемой жидкости: где их, иу, uz — составляющие скорости , по осям координат (х, у, z). Здесь мы ограничимся рассмотрением уравнения неразрывности в конечных величинах, в форме (3.23), так как именно в таком виде оно широко используется при решении гидравлических задач. Ниже будет получено уравнение неразрывности в дифференциальной форме для случая неустановившегося движения жидкости (см. п. 10.3). 58 3.4. Д в а режима движения жидкости. Опыты Рейнольдса В первой половине XIX в. благодаря проведению экспериментальных исследований Пуазейля (Франция), Дарси (Франция),, Хагена (Германия) было установлено, что в природе существуют два принципиально разных режима движения жидкости. Однако- ясное представление об обстоятельствах, определяющих условия; перехода от одного режима к другому, дали только исследования английского физика и инженера О. Рейнольдса, выполненныев 1881—1883 гг. Рейнольде провел свои наблюдения на специальной установке,, принципиальная схема которой до настоящего времени используа) (Г) Рис. 3.14. Ламинарный (а) и турбулентный (б) режимы движения. ется для демонстрации режимов движения (рис. 3.13). Опытная; установка состоит из большого бака 1, заполненного водой, и небольшого бачка 2, в который налита темная краска с плотностью,, близкой плотности воды. От бачка 2 тонкая трубочка подводится, к входному сечению стеклянной трубки 3, имеющей на концекран 4. Открывая или закрывая этот кран, изменяем расход водьь в трубке, а следовательно, и среднюю скорость v. В результате таких опытов было установлено следующее: 1) при скоростях в трубке v, меньших некоторой критической скорости vK, краска, попадающая в трубку, окрашивает только' одну струйку потока (рис. 3.14а); 2) при скоростях v > ик струйка с краской сначала теряегсвою отчетливую форму, а затем при дальнейшем увеличении скорости вся жидкость, находящаяся в трубке, окрашивается по 59» всему своему объему. Жидкость в делом имеет поступательное движение слева направо, вместе с тем, все составляющие ее частицы перемещаются по случайным неопределенно искривленным траекториям; данное движение носит беспорядочный хаотический характер и сопровождается постоянным перемешиванием жидкости (рис. 3.14 6). Согласно приведенным выше определениям ч ламинарного и турбулентного движения на рис. 3.14 а имеет место ламинарный режим, на рис. 3.14 6 — турбулентный. При проведении опыта в обратном направлении, т.е. при постепенном закрытии крана 4, явление повторяется в об'ратном порядке. Однако необходимо отhf :0 Рис. 3.15. Зависимость потерь напора при различных режимах движения. метить, что переход от беспорядочного движения в струйное происходит при более низких скоростях. Очевидно, и в данном случае имеется какая-то критическая скорость, ниже которой невозможно окрашивание всей жидкости в горизонтальной трубке, т. е. турбулентное движение. Вторая критическая скорость меньше первой, поэтому первую критическую скорость называют критической скоростью верхнего предела —vK.B, а вторую — критической скоростью нижнего предела — ик. нОпытные исследования Рейнольдса показали, что разным режимам движения отвечают и различные зависимости потерь напора от средней скорости. Если в начале и конце горизонтальной трубки в описанной установке'(см. рис. 3.13) поставить пьезометры, то разность высот уровней в них покажет потерю напора hj, затрачиваемую потоком на преодоление сил трения на расстоянии I. Представим результаты опытов схематично в виде зависимости hf = f{v) (рис. 3.15). Из рассмотрения графика можно сделать следующие выводы. На участке OA при скоростях меньше ик. н зависимость потерь напора от скорости движения имеет линей' ный характер (3.25) где — коэффициент пропорциональности, зависящий-от физической вязкости жидкости. Эта область соответствует ламинарному режиму. 60 На участке ВС при скоростях больше ик. в зависимость потерь напора от скорости движения близка к квадратичной параболе - hf = k,vn, (3.26) где kt — коэффициент пропорциональности, в общем случае являющийся величиной переменной и зависящей от целого ряда факторов, а п -»- 2. Здесь действует к в а д р а т и ч н ы й з а к о н с о п р о т и в л е н и й , т. е. потери напора пропорциональны средней скорости в квадрате. Эта область на графике соответствует турбулентному режиму. В области АВ возможны оба режима движения в зависимости от характера изменения скоростей (увеличения или уменьшения их); для нее можно записать 1 hf = knv + krvn. (3.27) Особенно неустойчив в переходной области ламинарный режим, под влиянием самых незначительных причин (например, при сотрясении трубки, по которой движется жидкость) он легко переходит в турбулентный. Как видно, ламинарное и турбулентное движения отличаются не только характеров перемещения частиц жидкости в, потоке, но и видом зависимости между потерями напора и скоростью. При ламинарном режиме энергия потока расходуется только на преодоление сил внутреннего трения между движущимися с различной скоростью соседними слоями жидкости; при турбулентном же режиме, кроме этого, значительная доля энергии потока затрачивается на процесс перемешивания, вызывающий в жидкости дополнительные касательные напряжения. Из сказанного следует, что движение жидкости при турбулентном режиме всегда происходит со значительно большей затратой энергии, чем при ламинарном режиме. Это различие и является наиболее существенным для двух указанных режимов движения жидкости. 3.5. Число Рейнольдса. Определение режима движения жидкости Рейнольде провел опыты в трубках разного диаметра, кроме того, он проанализировал данные опытов Пуазейля и Дарси и пришел к выводу, что режим движения зависит от средней скорости потока v, диаметра трубки d и кинематического коэффициента вязкости воды v. На основании приближенных теоретических рассуждений, основанных на использовании особого метода, называемого методом размерностей 1 , Рейнольде составил из указанных выше трех величин (и, d и v) безразмерное характерное г 1 С основами этого метода студенты знакомятся в специальном курсе «Гидрологическое лабораторное моделирование» [30]. 61 число, получившее нольдса впоследствии название Re = v d/v. числа Рей(3.28) Подставляя размерности величин, входящих в (3.28), легко убедиться в том, что Re действительно является безразмерным. Числу Рейнольдса можно придать весьма простой смысл. Оно может рассматриваться как мера отношения кинетической энергии данного элемента жидкости к работе сил вязкости. Чем меньше число Re, тем большую роль играют силы вязкости в движущейся жидкости, а чем больше число Re, ,тем больше силы инерции. Различают два критических числа Рейнольдса: ReK — нижнее критическое число и Re' K —верхнее критическое число, соответствующие нижней (ук. н) и верхней (ик. в) критическим скоростям. Если число Рейнольдса меньше его нижнего критического значения Re < ReK, то возможен только ламинарный режим движения. Если число Рейнольдса лежит в промежутке между нижним и верхним критическими значениями ReK < Re < Re^, возможны оба режима движения. Это отчасти зависит от степени шероховатости русла или стенок трубы: при большей шероховатости турбулентность развивается при меньших значениях Re. С другой стороны, важно также и направление изменения режима движения: если поток первоначально имел ламинарный режим, то при возрастании скоростей течения переход к турбулентному режиму осуществляется при Re^; если первоначально режим был турбулентный, то при убывании скоростей переход к ламинарному режиму осуществляется, когда число Re станет ниже ReK. В этой области может также наблюдаться и переходный режим, характеризующийся не вполне развитой турбулентностью. Наконец, если Re > Re^, возможен только турбулентный режим. Представляет значительный интерес определение нижнего и верхнего критических чисел Рейнольдса. По исследованиям самого Рейнольдса нижнее критическое число Re K ( i «2000 для потока жидкости в круглой трубе. Более поздними опытами было установлено, что Re K d =2320. В расчетах часто принимают нижнее критическое число Рейнольдса для круглых труб R e K d « 2 4 0 0 . Вместе с тем, уже Рейнольдсом высказывалось предположение, что путем удаления возмущений на входе в трубу или уменьшения 62 начальной их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно больших чисел Re. Однако до сих пор еще не удалось получить определенного значения для верхней границы критического числа; эта граница многократно отодвигалась все более и более тщательными опытами. Для практических расчетов движения в трубах принимают верхнее критическое число Re' « 13 ООО. K d Сопоставление нижнего и верхнего критических чисел Re показывает, что между ними находится довольно большая зона переходных режимов, где режим движения жидкости в зависимости от внешних условий может быть ламинарным или турбулентным. Ламинарный режим движения в этой зоне неустойчив и легко переходит в турбулентный, поэтому при практических расчетах переходную зону относят к турбулентному режиму. Тогда, условия существования того или другого режима движения жидкости можно переписать в виде: 1) Re < ReK, то имеет место л а м и н а р н ы й режим; 2) если R e > R e K , имеет место т у р б у л е н т н ы й режим. Для каналов, некруглых труб и круглых труб, но работающих неполным поперечным сечением, число Re выражают обычно через гидравлический радиус R Re* = vR/v. (3.29) Установим соотношение между гидравлическим диаметром для круглой трубы /? = ю/Х = я d2/(4nd) = d/4. радиусом и (3.30) С учетом (3.30) нижнее критическое число Рейнольдса Re Kjl будет равно ReK^ = ReKd/4 « 2400/4 = 600. Однако в литературе приводятся и другие значения для этого числа. Так, А. П. Зегжда в работе «Гидравлические потери на трение в каналах и трубопроводах» [16] пишет: «.. .с некоторой осторожностью критическое значение числа Рейнольдса может быть принято равным»: ReK£ = 900 1000 и далее отмечает: «Полученная цифра значительно отличается от указываемого в некоторых курсах гидравлики критического значения числа Re для открытых русел по Хопфу»: ReK г» 300. К такому выводу А. П. Зегжда пришел на основе анализа опытов, проведенных в довольно широких лотках прямоугольного сечения. 63 Таким образом, вопрос о величине нижнего критического числа Рейнольдса для открытых потоков, так же как и верхнего критического числа, требует еще своего уточнения. Как уже отмечалось выше, ламинарное и турбулентное движение по существу представляют два совершенно различных вида движения. Они отличаются характером распределения скоростей по сечению потока и видом зависимости между потерями напора и скоростью. Именно поэтому так важно уметь их различать. Приведем примеры ламинарного и турбулентного режимов движения, встречающиеся в практике. Ламинарный режим наблюдается обычно в потоках, характеризуемых очень малыми линейными размерами, а поэтому сфера его распространения в естественных условиях ограничена. Он обычно имеет место в тонких капиллярных трубках, например, при движении (фильтрации) воды; в порах грунта, при движении крови в кровеносных сосудах. Ламинарный режим может быть и в некапиллярных трубках при движении особенно вязких жидкостей (масел, сиропов, нефти, мазута и т. п.). Все эти жидкости обладают значительно большей вязкостью, чем вода. Т у р б у л е н т н ы й р е ж и м значительно шире распространен в природе. Движение воды в каналах и реках, как правило, является турбулентным. В трубопроводах систем отопления, водоснабжения, вентиляции, газоснабжения движение также является турбулентным, так как движущаяся среда (вода, воздух, газ) является маловязкой. 3.6. Закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости Еще в 1686 г. Ньютон, рассматривая прямолинейное параллельноструйное движение жидкости, установил закон прод о л ь н о г о в н у т р е н н е г о т р е н и я , высказав его в виде следующей гипотезы: сопротивление, происходящее от недостатка скольжения между частицами жидкости, при прочих равных условиях предполагается пропорциональным скорости,.'с которой частицы жидкости отклоняются друг от друга. Эта гипотеза Ньютона, названная «О внутреннем трении в жидкости», подвергалась многократной проверке и полностью подтвердилась. Особо ценные исследования для ее доказательства были выполнены русским ученым Н. П. Петровым, который в работе «Гидродинамическая теория смазки» (1883 г.) дал следующую формулировку закона трения в движущейся вязкой жидкости: сила внутреннего трения в параллельноструйиом потоке пропорциональна скорости относительного движения слоев жидкости и поверхности соприкосновения; она не зависит от давления, а коэффициент пропорциональности зависит только от свойств жидкости. В случае твердых тел сила трения, как известно, зависит от нормального давления и практически не зависит от скорости движения тела, а также от площади соприкосновения. 64 Закон форме: Ньютона можно представить в аналитической ^ Т = \xS\du/dn1, • (3.31) где (д. — динамический коэффициент вязкости, зависящий от рода жидкости, а также от ее температуры; 5 — площадь поверхности соприкосновения данных слоев жидкости; du/dn— относительная скорость перемещения слоев по нормали п к направлению движения жидкости, или производная скорости и по нормали п. Физический смысл производной скорости по нормали поясним следующим образом. Представим на продольном разрезе потока (рис. 3.16) некоторое живое сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей ABC. Измерение местных скоростей потока жидкости в открытом русле (реке, данале, лотке) показывает, что наиболее часто у поверхности потока имеют место наибольшие скорости, а у дна — наименьшие. От поверхности ко дну потока происходит постепенное уменьшение скоростей. Выберем направление нормали п от дна к поверхности. Разделим поток по глубине на ряд бесконечно малых слоев, толщиной dn. Скорости таких слоев будут различны по величине и разность между скоростями соседних по глубине слоев потока будет равна du. Из рис. 3.16 видно, что на разных глубинах одному и тому же приращению нормали dn отвечают различные приращения скорости du, а значит и относительное изменение скорости при переходе от одного слоя жидкости к другому, выражаемое отношением du/dn, будет переменным. Величина du/dn в зависимости от выбранного направления п может быть как положительной, так и отрицательной. С тем, чтобы в формуле (3.31) величину Т получать всегда положительной, в нее введено абсолютное значение производной скорости \du/dn|. В дальнейшем для упрощения записей мы будем писать в соответствующих случаях просто du/dn, понимая, однако, под этой величиной абсолютное ее Значение. В гидравлике часто применяют понятие единичной силы трения или касательного напряжения в жидкости т = Г/З = [д. du/dn, 5 Заказ № 33 (3.32) 65 где т — сила трения, приходящаяся на единицу поверхности слоя движущейся жидкости. Выражение (3.32) применимо только для случая прямолинейного параллельноструйного движения потока, когда во внимание принимаются лишь продольные касательные силы трения, действующие вдоль линий тока. Иными словами, так же как и сам закон Ныртона о внутреннем трении (3.31), оно применимо лишь для так называемого ламинарного режима движения жидкости. 3.7. Распределение скоростей по живому сечению при ламинарном движении. Формулы для расхода жидкости и потерь напора пб длине при ламинарном движении в круглой трубе Ламинарный режим 1 движения является более простым и поддается теоретическому исследованию. Рис. 3.17. Ламинарное равномерное движение в круглой трубе. Рассмотрим ламинарное равномерное и установившееся движение жидкости в напорной круглоцилиндрической трубе (рис. 3.17), имеющей радиус го. Для простоты будем считать трубу горизонтальной. Выделим в потоке сечениями 1—1 и 2—2 отсек жидкости длиной I. Внутри отсека в окрестностях оси трубы ОО выделим центральный круглоцилиндрический столб движущейся жидкости радиусом г (на рисунке заштрихован). . Напишем для потока в выделенном цилиндре условие равновесия, воспользовавшись известным из механики принципом Даламбера, согласно которому сумма проекций на направление движения всех действующих и инерционных сил равняется нулю. 66 На выделенный между сечениями 1—1 и 2—2 объем действуют следующие силы: сила тяжести G, приложенная в его центре тяжести; единичные силы гидродинамического давления pi и рг, действующие на торцевые сечения цилиндрика со и направленные по нормали изнутри жидкости к поверхностям действия; нормальные силы гидродинамического давления, действующие на боковые поверхности выделенного объема рп, и сила трения, возникающая на поверхности соприкосновения потока со стенками, равная т г д е х—смоченный периметр сечения (см. п. 3.1); эта сила направлена в сторону, противоположную движению. Так как движение потока равномерное, то силы инерции в- выделенном объеме отсутствуют. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось движения: Pi® — {рх + Ар) со — т U = 0, (3.33) где сила рг для удобства выражена через силу pi и перепад давления Ар. Отметим, что в проекции на направление движения сила тяжести G и силы гидродинамического давления на боковую поверхность цилиндрика рп равны нулю. Поместим в сечениях 1—1. и 2—2 пьезометры (рис. 3.17) и введем в рассмотрение пьезометрический уклон < 3 3 4 > где hf — падение пьезометрической линии (потеря напора на участке длиной I); hP~ пьезометрическая высота. Заменяя в (3.33) Ар по (3.34) и выражая т по (3.32), полагая, что г это и есть нормаль к поверхности, получим —р gtJp® — Х/ц dujdr = 0. (3.35) 2 Так как со = яг , а х = 2яг, то перепишем (3.35) в виде —pglJpnr2 = \i2nrl dujdr. (3.36) Решая уравнение (3.36) относительно дифференциала скорости, после преобразований находим du = — (pgJpl2\i) г dr. Интегрирование этого уравнения дает и = - (Р£/р/4ц) г2 + с. (3.37) Постоянную интегрирования с находим из условия: при г = го величина и = 0 (непосредственно на стенке трубы скорость равняется нулю): c = (pgJP/4\i)rl (3.38) Подставляя (3.38) в (3.37) и переходя от динамического коэффициента вязкости ц к кинематическому коэффициенту 67 (v = jli/p) , получаем уравнение, по которому можно " построить кривую ABC (см. рис. 3.17), ограничивающую эпюру скоростей для сечения АВ: v u = (gJp/4v)(rl-r2). (3.39) Как видно из (3.39), кривая ABC является параболой, имеющей максимум при г = 0 , откуда «макс = 2 g V o / 4 v = gJpd /lQv, (3.40) где d — диаметр трубы. Таким образом, при напорном ламинарном движении в трубе скорости распределяются по закону параболы с максимумом на оси трубы. В случае широкого прямоугольного русла, рассуждая так же, как и выше, можно получить уравнение, аналогичное (3.99): « = fe//2v)(A2-22), (3.41) где J — уклон свободной поверхности, /г — глубина потока, г — глубина погружения точки под уровень свободной поверхности (см. рис. 3.16). ' ' Оказывается, что в этом случае эпюра скоростей также ограничена параболой АС, причем максимальная скорость иМакс получается на свободной поверхности (см. рис. 3.16). Воспользуемся выражением (3.39) для установления зависимости для расхода воды в напорной круглоцилиндрической трубе при ламинарном режиме движения. Напишем выражение для элементарного расхода dq, проходящего через элементарную часть площади живого сечения dco в виде «кольца» толщиной dr, имеющего радиус г (см. рис. 3.17): dq = и de> = u2nr dr, (3.42) где d(a = 2nrdr. Подставляя в (3.42) выражение (3.39), имеем dq = ^-{rl, - г2) 2лг dr = (г20 - г2) г dr. (3.43) Интегрируя это выражение по всей площади живого сечения, получаем г=0 или Q = MJpd\ где коэффициент М зависит только от рода жидкости: М = .-Tgy(128v). 68 . ' Формула (3.44) была впервые-получена доктором медицины Пуазейлем в 1840 г., причем он пришел к этой зависимости чисто эмпирическим путем, исследуя движение жидкости в тонких капиллярных трубках. Используя выражение для расхода воды (3.44), запишем формулу для средней скорости Сравнивая формулу (3.45) с (3.40), найдем v=~umKC, (3.46) т. е. средняя скорость при ламинарном движении в круглой трубе равна половине максимальной скорости, наблюдаемой на оси трубы. Из зависимости (3.45) получаем: / р = 32 vv/(gd2). (3.47) hf/l Заменяя в (3.47) пьезометрический уклон J p отношением и решая полученное уравнение относительно hf, имеем: hf = 32vlvl(gd2). (3.48) Из рассмотрений зависимости (3.48) можно сделать следующие существенные выводы. В с л у ч а е л а м и н а р н о г о движ е н и я п о т е р я н а п о р а А/: 1) зависит от свойств жидкости, что учитывается коэффициентом вязкости v; 2) прямо пропорциональна средней скорости v в первой степени; 3) прямо пропорциональна длине участка I; . 4) обратно пропорциональна квадрату диаметра трубы d\ 5) не зависит от шероховатости стенок — в формулу (3.48) не входят какие-либо характеристики шероховатости. Потерю напора hf для круглоцилиндрической трубы иногда представляют в виде hf = 32vlv2vl(ddg2v) = Q4vlv2[(vdd2g), (3.49) откуда где (при ламинарном режиме): A, = 64/Re d . Коэффициент X называют коэффициентом трения. Согласно (3.51) он зависит от скорости в выражение для числа Рейнольдса потока Re^ (3.51) гидравлического о, входящей 69 3.8. Модель турбулентного течения. Касательные напряжения в турбулентном потоке Намного сложнее обстоит дело, когда мы имеем турбулентный поток. В этом случае, помимо продольного перемещения отдельных частиц жидкости, наблюдается их интенсивное перемешивание (перемещение из одного слоя жидкости в другой). Для речных, потоков характерен турбулентный режим. Создание модели турбулентного течения — одна из важнейших проблем механики жидкости. Теория турбулентности нако- Р и с . 3.18. К в о п р о с у о т у р б у л е н т н ы х касательных напряжениях. а — «действительный» поток; б — модель осредненного потока. 1, 2 — эпюры скоростей соответственно для ламинарного и турбулентного режимов. пила немалый опыт в этом направлении, но вопрос этот выходит за рамки данной книги. Гидромеханический анализ турбулентного руслового потока излагается в курсах гидромеханики и динамики русловых потоков [4, 8, 10, 21]. В данном разделе рассмотрим лишь модель турбулентного течения Рейнольдса—Буссинеска. Для расчета турбулентного потока О. Рейнольде (1895 г.) и Ж- Буссинеск (1897 г.) предложили заменить этот поток некоторой воображаемой моделью, представляющей собой условный (фиктивный) поток жидкости, частицы которой движутся со скоростями, равными осредненным местным (продольным) скоростям, гидродинамические же давления в различных точках пространства, занятого этим потоком, равны осредненным местным давлениям.• Такой воображаемый поток называют осредненным потоком или м о д е л ь ю Р е й н о л ь д с а — Б у с с и н е с к а . На рис. 3.18 а приведена схема «действительного потока», который имеет поперечный обмен между частицами жидкости; на рис. 3.18 6 показана схема модели Рейнольдса—Буссинеска, в которой турбулентный обмен отсутствует (uz=0), а также действительная эпюра продольных скоростей их (которые условно обозначают буквой и). Переходя от действительного турбулентного потока к осредненному потоку (к модели), мы исключаем из рассмотрения так называемое «турбулентное перемешивание» (турбулентный обмен), т. е. отбрасываем поперечные пульсационные скорости и%. В модели осредненного потока остаются только продольные составляющие скоростей и, а для того, чтобы компенсировать их 70 " влияние на эпюры продольных скоростей, было предложено ввести в модель продольные касательные напряжения тт. При этом величину турбулентных касательных напряжений т т стремятся подобрать так, чтобы количественное влияние их на эпюру скоростей и соответствовало количественному влиянию на эту же эпюру отброшенных поперечных скоростей. Турбулентные касательные напряжения т т не следует смешивать с актуальными напряжениями т действительного турбулентного потока. Напряжения т т мысленно вводят в осредненный поток, чтобы в определенном отношении приблизить модель Рейнольдса—Буссинеска к действительности. Однако по аналогии с ламинарным движением выражение для турбулентного касательного напряжения записывают в виде формулы, по своей структуре совпадающей с зависимостью (3.32) (предложение Буссинеска): тт = Adu/dn, (3.52) где du/dn — производная скорости по нормали; она имеет тот же смысл, что и в зависимости (3.32); только здесь под « надо понимать осредненную по времени продольную скорость; А — коэффициент турбулентного обмена. Коэффициент А часто называют динамическим коэффициентом турбулентной вязкости. Природа этого коэффициента очень сложна. Мы не можем, в отличие от коэффициента физической вязкости (х, непосредственно каким-либо прибором измерить его величину, так как она различна в разных точках одного и того же живого сечения и обычно оказывается значительно больше ц. Рассмотрим равномерное установившееся движение жидкости с открытой свободной поверхностью, характеризующееся отсутствием сил инерции. Выделим в потоке элементарный объем жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания, равными единице, и высотой, равной у. Основание параллелепипеда параллельно свободной поверхности потока. Воспользовавшись принципом Даламбера, запишем условие равновесия действующих сил. На выделенный объем действует сила тяжести, проекция которой на направление движения записывается в виде: р • g • 1- IX Xy- J, где J — уклон свободной поверхности (при равномерном движении, равный уклону дна). Движущая сила уравновешивается силой сопротивления. Поскольку площадь основания элементарного объема равна единице, сила сопротивления оказывается равной касательному напряжению тт. Условие равновесия выразится так: р gyJ = A du/dy, откуда А = р gyJI(du/dy), (3.53) где у — глубина погружения точки под уровень свободной поверхности. 71 Формула (3.53) позволяет вычислять коэффициент турбулентного обмена А по данным измерений уклона и распределения скоростей в потоке. Однако, забегая несколько вперед, отметим, что закон распределения скоростей при турбулентном движении не имеет строгого теоретического решения и описывается приближенно эмпирическими и полуэмпирическими зависимостями (см. п. 3.9). Вопрос о коэффициенте турбулентного обмена рассматривался в работах В. Н. Гончарова, К. В. Гришанина, В. М. Маккавеева, А. В. Караушева и др. Для расчета коэффициента А предложен ряд эмпирических формул, подробный анализ которых приводится в курсах гидромеханики и динамики русловых потоков. Укажем для примера несколько формул, имеющих практическое применение. Широко известна для коэффициента турбулентного обмена А формула В. М. Маккавеева А = pgHv/(2mC), (3.54) где Я — глубина потока; v — средняя скорость; « — коэффициент, числовое значение которого по Базену принимается равным 24, а по Буссинеску 22,3; С — коэффициент Шези, который зависит от шероховатости русла потока и от гидравлического радиуса или глубины (подробно вопрос о коэффициенте Шези будет рассмотрен в гл. 5). Уточненное выражение для коэффициента турбулентного обмена получено А. В. Караушевым: А = р gHv/{MC), (3.55) где М не является постоянной величиной, а зависит от коэффициента Шези С. При выполнении практических расчетов часто приходится прибегать к различным упрощениям, одним из которых является использование осредненного для вертикали, для поперечного профиля или для изучаемого участка реки значения коэффициента турбулентного обмена. Такое осредненное значение Л с р находится непосредственно по формуле (3.55), где за v принимается средняя скорость соответственно на вертикали, поперечнике или участке потока. Остальные величины, входящие в формулу (3.55), также соответственно относятся к вертикали, профилю или участку. Большое теоретическое значение имеют формулы, связывающие коэффициент турбулентного обмена с пульсационными характеристиками скорости, устанавливающие связь коэффициента А с внутренней структурой турбулентного потока [4, 21]. Так, на основании достаточно общих теоретических предпосылок А. Н. Колмогоровым и А. В. Караушевым получены принципиально одинаковые структурные формулы коэффициента турбулентной вязкости, которые могут быть представлены в виде A = kpw%, (3.56) где w — среднее значение абсолютных пульсационных отклонений скорости; Я — линейный масштаб турбулентности, зависящий от 72 линейных размеров потока, например от его средней глубины Я о р ; k — эмпирический коэффициент пропорциональности. С. Ф. Савельевым, А. В. Караушевым и др. на основании натурных и лабораторных данных установлена прямая пропорциональность w от осредненной скорости потока и, что позволяет представить формулу (3.56) в виде А = k0puHcv, (3.57) где ko — новый обобщенный коэффициент. Как видим, формула (3.57) согласуется по своему виду с полуэмпирической формулой (3.55). В общем случае осредненный поток должен одновременно обладать и молекулярной, и турбулентной вязкостями. Поэтому полное суммарное касательное напряжение х для случая плоского равномерного осредненного движения с линиями тока, параллельными оси х, и осредненной продольной скоростью и записывают в виде х — fx du/dn + A du/dn. (3.58) В случае ламинарного движения второй член правой части уравнения (3.58) отпадает; при этом напряжение трения получается пропорциональным первой степени средней скорости. В случае турбулентного движения второй член значительно превышает первый, при этом молекулярную вязкость можно не учитывать. В этом случае тх = k0pHcpu du/dn или тт = kp du*/dn, где k — обобщенный коэффициент, зависящий от линейного размера потока. В результате х оказывается прямо пропорциональным второй степени среднёй скорости, откуда мы приходим к широко используемому в речной гидравлике квадратичному з а к о н у с о п р о т и в л е н и й , упоминавшемуся выше в п. 3.4. 3.9. Распределение скоростей в турбулентном потоке Характер распределения осредненных скоростей по глубине в турбулентном потоке зависит от ряда факторов: средней скорости потока, шероховатости русла, глубины, уклона водной поверхности и пр. Рассмотрению этого вопроса посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Однако в настоящее время отсутствует строгое теоретическое решение проблемы, так как система дифференциальных уравнений, описывающих турбулентное движение, остается незамкнутой. Отметим прежде всего, что распределение скоростей в потоке при турбулентном движении существенно отличается от распреде73 ления скоростей при ламинарном движениии. Указанное отличие обусловлено характерными для турбулентного потока поперечными движениями частиц, жидкости. Обратимся к рис. 3.18 6. Здесь представлены эпюры скоростей для ламинарного режима (зависимость 1) и наиболее типичная форма эпюры скорости для турбулентного режима (зависимость 2). В открытом турбулентном потоке наибольшая скорость «макс наблюдается обычно на поверхности воды. У дна показано конечное значение скорости «д, называемое донной скоростью потока на вертикали. В результате турбулентного перемешивания распределение скоростей по живому сечению в средней части потока оказывается значительно более равномерным, чем при ламинарном движении; при этом непосредственные измерения распределения скоростей в турбулентном потоке показывают, что скорости и у стенки сначала очень быстро возрастают, но по мере удаления от стенки дальнейшее их возрастание становится сравнительно медленным. Влияние турбулентного перемешивания проявляется также и в том, что отношение средней скорости к максимальной, например, в случае движения жидкости в напорной трубе, при турбулентном движении составляет порядка 0,7 0,8; при ламинарном же движении это отношение равно 0,5 (см. (3.46)). В ряде случаев кривая u = f(z) принимает более сложное очертание. В частности, наибольшая скорость «макс может наблюдаться ниже свободной поверхности воды, что вызывается встречным ветром (попутный ветер несколько повышает поверхностную скорость). Такой же тип кривой возникает при наличии ледяного покрова за счет торможения потока нижней поверхностью льда или за счет вторичных течений, когда наряду с течениями вдоль потока имеют место течения и в поперечных направлениях (так называемое явление «пространственности»). Главная сложность в исследовании распределения скоростей, в турбулентном потоке заключается в том, что, хотя имеются некоторые теоретические предпосылки (гипотезы) для описания скоростного поля потока, все известные уравнения распределения скоростей по вертикали основаны на эмпирических данных. Наилучшим образом этот вопрос изучен для напорного турбулентного движения в трубах и широких прямоугольных лотках. Более сложная картина распределения скоростей наблюдается в каналах, устраиваемых обычно с трапецеидальной формой сечения, и в особенности в реках, где форма живого сечения бывает» как правило, очень сложной (неправильной). Рассмотрим плоское равномерное движение жидкости, когда влияние боковых стенок потока и формы поперечного сечения можно не учитывать. В этом случае пренебрежимо мало влияние боковых стенок на распределение по вертикали скоростей в основной части потока. Но даже для этого наиболее простого случая вопрос о распределении скоростей по глубине не имеет одно74 значного решения. Известны логарифмические, эллиптические, параболические и степенные уравнения для профиля скорости. Так, например, изучая распределение скоростей по вертикали в реках и широких каналах, А. В. Караушев установил, что в условиях открытых потоков можно принять гипотезу о постепенном возрастании коэффициента турбулентного обмена вместе с возрастанием скорости от дна к поверхности потока, т. е. A^ku, (3.59) где k — коэффициент пропорциональности; и— местная скорость. Подставим в уравнение (3.53) равенство (3.59) и после несложных преобразований получим эллиптическое уравнение распределения скорости по вертикали, которое было записано А. В. Караушевым [21] в виДе и = и0 V l — (0,57 + 3,3/С) г//Я, (3.60) где wo — поверхностная скорость; Я — глубина потока; у — глубина погружения точки под уровень свободной'поверхности; С — коэффициент Шези (см. п. 5.3). Если использовать гипотезу о постоянстве коэффициента турбулентного обмена А по вертикали, то из уравнения (3.53) легко можно получить параболический закон распределения скорости по вертикали u= u 0 - ^ L (JL-) 2 , (3.61) где v — средняя скорость на вертикали; т — коэффициент, принимаемый по Базену, равным 24. Зависимость (3.61) (парабола Базена) является квадратичной параболой с горизонтальной осью. Следует отметить, что довольно большая группа исследователей считает логарифмический закон приемлемым для описания характера распределения скоростей по глубине с достаточной для практических целей точностью. Логарифмические зависимости были предложены Прандтлем, Ясмундом и Никурадзе, В. Н. Гончаровым, И. К- Никитиным и др. В них формирование профиля оередненных скоростей на вертикали рассматривается как результат взаимодействия придонного слоя с толщей основного потока. Приведем для примера логарифмическое уравнение Ясмунда— Никурадзе u= (3.62) где я ^ 0,4 — константа Кармана; а — характеристика относительной шероховатости; v* —динамическая скорость, определяемая равенством . o* = V i t f 7 , . (3.63) где, как и прежде, g — ускорение свободного падения, Я — глубина потока, / •—поверхностный уклон. 75 В настоящее время не существует строгого доказательства преимуществ того или иного профиля осредненных скоростей на вертикали. Обычно выбирают те из них, которые наилучшим образом удовлетворяют конкретным условиям расчета. Более подробно этот вопрос излагается в курсе динамики русловых потоков, например, в книге Н. Б. Барышникова [4]. ЗЛО. Уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости Уравнение Бернулли является фундаментальным уравнением гидравлики, оно устанавливает самую общую связь между дав- Рис. 3.19. К выводу уравнения Бернулли. лением в жидкости и скоростью движения частиц жидкости. С помощью этого уравнения выводится значительное количество расчетных формул и решаются многие инженерные задачи, связанные с расчетами турбулентного движения воды в трубах и открытых руслах. Для вывода уравнения Бернулли используем известную из механики теорему, касающуюся изменения кинетической энергии («живой силы» потока). Напомним, что эта теорема читается так: изменение кинетической энергии 1 рассматриваемого тела на некотором его перемещении равно сумме работ всех сил (внешних и внутренних), приложенных к данному телу, на том же перемещении. Рассмотрим элементарную струйку установившегося потока идеальной жидкости (рис. 3.19). Выделим сечениями 1—1 и 2—2 некоторый отсек струйки АВ. Наметим горизонтальную плоскость сравнения ОО. Обозначим через zi и превышения центров тяжести сечений 1—1 и 2—2 над плоскостью ОО, через da>i иrfco2— бесконечно малые площади живых сечений струйки. Будем считать, что за время dt отсек АВ струйки переместится в положение А'В'\ при этом сечение 1—1 струйки переместится на расстояние dsi и сечение 2—2 струйки — на расстояние dszЗаметим, что dsi = Uidt и ds2 = u2dt, (3.64) 1 76 Т. е. величины mv2j2, где т — масса тела и и — скорость его движения. где Mi и Uz— скорости в сечениях 1—1 и 2—2; по известному свойству элементарной струйки они являются постоянными в пределах рассматриваемых сечений струйки. • Рассуждая, как и в п. 3.3, можем показать, что объемы dW элементарных отсеков струйки АА' и ВВ' равны, причем dW = dcoids, = da2ds2 = d&xuxdt = da2u2dt = dq dt, (3.65) где dq — расход жидкости для струйки. Обозначим массу элементарного объема dW через dm: dm = р dW = р dq dt. (3.66) Найдем теперь изменение кинетической энергии отсека АВ при перемещении его в положение А'В' и работу сил, приложенных к этому отсеку, на указанном перемещении. Изменение кинетической энергии выделенного объема равно dmutfe — dmu2\/2 или, учитывая (3.66) и (3.65), р dq dt (ul — и?)/2 = (р dtj2) (м2 da>2 — "i dm). (3.67) Р а б о т а с и л ы т я ж е с т и проявляется как бы в том, что отсек АА' переместился в положение ВВ' (а отсек А'В остался на месте), т. е. равна р gdW(zt-z2) или, учитывая (3.65), pgcdt (ZiUid®!—z2u2da>2). (3.68) Работа сил гидродинамического давления, действующего на торцевые сечения 1—1 и 2—2 отсека АВ (со стороны окружающей его жидкости) равна pi d®j dst — р2 da2 ds2 или, учитывая (3.64), dt (и,р, da»] — u2p2da2). , (3.69) Р а б о т а в н е ш н и х с и л д а в л е н и я окружающей жидкости на боковую поверхность отсека АВ равна нулю, так как силы рп (см. рис. 3.19) направлены перпендикулярно к перемещениям жидких частиц, движущихся вдоль боковой поверхности отсека АВ. Работа внешних и внутренних сил трения равна нулю, так как в рассматриваемой нами идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Используя теорему изменения кинетической энергии, можем написать: {pdtj2) (и\ d(d2 — Mi dcoi) = рg dt [ziUirfcoi— z2u2 rfco2) + + dt(u.\pi doi — м2р2Ло2). (3.70) 77 Разделим это выражение на g и на р dW, т. е. отнесем его к единице массы того объема жидкости, который проходит за время dt через живое сечение струйки: -щ («I - и?) = 21 - 2 2 + ~ (pi - р2). Полученное уравнение представим в виде Ио Так как сечения 1—1 и 2—2 .были намечены произвольно, то (3.71) можно переписать также в виде 2+ - — — = const (вдоль струйки). ' (3.72) Уравнение (3.71) или (3.72) 1, относящееся к элементарной струйке идеальной жидкости, называется у р а в н е н и е м Д а н и и л а Б е р н у л л и , который в 1738 г. описал (словесно) соотношение величин,, входящих в данное уравнение в случае установившегося движения. Уравнение Бернулли (3.71) относилось к идеальной жидкости, т. е. к случаю, когда трением в жидкости, а следовательно, и силами сопротивления, пренебрегали. В различных практических расчетах движения жидкости инженеру приходится обращаться с жидкостью реальной (вязкой), обладающей рядом свойств, которые не учитываются при использовании понятия об идеальной жидкости. , Реальная вязкая жидкость характеризуется наличием сил трения, которые возникают при ее движении и вызывают гидравлические сопротивления. Благодаря работе сил трения часть механической энергии жидкости переходит в тепло, которое рассеивается. Переход части механической энергии жидкости в тепло происходит при всяком движении реальных жидкостей. В соответствии с законом сохранения энергии количество теряемой механической энергии в точности равно количеству возникающей взамен тепловой энергии. Так как количество тепла, выделяемого движущейся жидкостью, невелико, то мы его не замечаем. Та часть механической энергии, которая превратилась в тепло, уже не может быть использована. Поэтому ее называют потерями энергии. Благодаря непрерывному переходу механической энергии в тепло механическая энергия всякого потока реальной жидкости вниз по течению убывает. Таким образом, если мы рассмотрим 1 Более общий вывод уравнения (3.72) выполняется путем интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера и рассматривается в курсе гидромеханики. В этом случае берут не элементарную струйку жидкости, а определенную ее линию тока, вдоль которой осуществляется интегрирование (в связи с этим уравнение Бернулли (3.72) называют Иногда «интегралом Бернулли»), 78 два сечения элементарной струйки реальной жидкости, то придем к заключению о том, что удельная энергия в нижележащем сечении струйки будет меньше удельной энергии в вышележащем сечении на величину энергии, потерянной единицей массы жидкости на пути от одного сечения до другого. Обозначим эту потерянную удельную энергию через /гф. Тогда у р а в н е н и е Б е р нулли для л ю б ы х двух сечений элементарной с т р у й к и р е а л ь н о й ж и д к о с т и можно написать в виде г ,1 + Т Pg + Т 2g = г 2 +Г р§ +1 2g + Ат; . Л (3.73) ' 3.11. Интерпретации уравнения Бернулли Слагаемые уравнения Бернулли (3.73) можно истолковать (дать интерпретации) с трех точек зрения: геометрической, энер-' гетической и механической. 1. Геометрическая интерпретация. Рассмотрим элементарную струйку реальной движущейся жидкости (рис. 3.20). Наметим сечения 1—1 и 2—2 и горизонтальную плоскость сравнения ОО. Условимся относить слагаемые уравнения Бернулли к соответствующим точкам mi и т г , лежащим в центрах тяжести живых сечений струйки. Слагаемые г\ и Zz представляют собой возвышения рассматриваемых живых сечений над плоскостью сравнения ОО. Член p/(pg) представляет собой пьезометрическую высоту, отвечающую гидродинамическому давлению р в точке. Можно сказать, что р/ (pg) является высотой столба жидкости в пьезометре, подключенном к рассматриваемому сечению струйки (см. рис. 3.20). Член и2/(2g) называется скоростным напором. Размерность этого слагаемого, так же как. и размерность первых двух слагаемых, линейная. Действительно, 2 Г и2 1 [и2] _ L Т2 . L 2 8 J - [ g ] - т2 l где L — символ длины; Т — символ времени. Величина u2/(2g) представляет собой высоту, которая может быть измерена при помощи гидрометрической трубки (так называемой трубки Пито), у которой нижний конец загнут так, чтобы скорость и была направлена во входное отверстие трубки. Установим в некотором сечении струйки вертикальные трубки: пьезометрическую трубку для измерения давления р, а другую— с изогнутым концом, направленным навстречу течению (см. рис. 3.20). З а счет скоростного напора набегающего потока гори* зонт воды в трубке б устанавливается выше горизонта воды в трубке а на величину ,hu = u2l(2g). (3.74) 79 Измерив скоростной напор h u , находим скорость движения жидкости в той точке, где установлен наконечник трубки П и т о 1 по зависимости u = k*j2gha, (3.75) где к — поправочный коэффициент, который находится для данной трубки путем ее тарирования. Рис. 3.20. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли. Таким образом, подключив к точкам mi и (см. рис. 3.20) трубки Пито, получим скоростной напор в сечениях 1—1 и 2—2; причем в сечении 2—2 он будет больше, чем в сечении 1—1, так как по закону неразрывности скорость иг больше скорости ui, поскольку ®1 > отсоединив плавной кривой уровни в пьезометрических трубках, получим пьезометрическую линию (линия р—р на рис. 3.20). Можно сказать, что пьезометрическая линия проходит по горизонтам жидкости в пьезометрах, установленных вдоль оси струйки. Д л я каждого участка струйки наклон этой линии меняется. Элементарное падение пьезометрической линии р—р,- отнесенное к соответствующей элементарной длине ds струйки (отмеренной по ее оси) называется пьезометрическим уклоном и записывается следующим образом:" d (z + p / p g ) (3.76) /» = ± d s Следует запомнить, что пьезометрический уклон положителен, если линия р—р понижается по течению струйки. Сумма трёх высот z, p/(pg) и u2/(2g) называется полным напором и обозначается Н: ,(3.77) 9g 1 Иногда «трубкой Пито» называют состоящее из двух трубок а и б. 80 2g измерительное устройство (прибор), С геометрической точки зрения Я является возвышением напорной линии над плоскостью сравнения. Можно сказать, что напорная линия Я Я (см. рис. 3.20) проходит по уровням жидкости в трубках Пито, установленных вдоль оси струйки. Падение напорной линии Я Я , отнесенное к соответствующей элементарной Длине ds струйки называется гидравлическим уклоном и записывается следующим образом: / = d ( z + p / p g + u 2 / 2 g ) щ В случае равномерного напорного движения ui = uz и пьезометрический уклон JP оказывается равен гидравлическому / . Для идеальной жидкости имеем соотношение (3.72). Отсюда заключаем, что в этом случае напорная линия должна лежать в плоскости О'О' (см. рис. 3.20), параллельной плоскости сравнения. Расстояние от линии О'О' до уровня воды в трубке Пито, установленной в сечении 2—2, дает нам потерю напора hv на участке между сечениями 1—1 и 2—2. Это и есть четвертое слагаемое правой части уравнения' (3.73). -Все изложенное выше отражает геометрический смысл уравнения Бернулли. 2. Энергетическая интерпретация. Рассмотрим три слагаемых, составляющих полный напор (3.77), с энергетической точки зрения. Как-известно из гидростатики, первые два слагаемых представляют собой потенциальный напор: H = z + p/(pg), (3.79) т. е. удельную потенциальную энергию ЭП, принадлежащую единице массы жидкости (в данном случае единице массы жидкости, проходящей через живое сечение элементарной струйки). Эта энергия состоит из двух частей: удельной энергии положения Эх жидкости, находящейся на высоте г над условной горизонтальной плоскостью сравнения, и удельной энергии давления Эр, обусловленной напором давления p/(pg)Третье слагаемое в полном напоре uz/(2g) представляет собой удельную кинетическую энергию Эк, принадлежащую единице массы жидкости. Энергетическое выражение полного напора можно представить в следующем виде: Н = Эг + Э, + Эк, Э п а уравнение Бернулли (3.73) в виде 21 "Г ^р 1 + ЭР2 + ЭК2 + АЭ, (3.80) где A 3 — потери энергии в элементарной струйке на пути перемещения жидкости от сечения 1—1 к сечению 2—2, отнесенные к единице массы жидкости. 6 Заказ № 33 81 Как видно, рассмотренное уравнение Бернулли выражает известный общий закон сохранения энергии, примененный к случаю движения жидкости. 3. Механическая интерпретация сводится к доказательству того, что уравнение Бернулли является выражением закона изменения живых сил для единицы массы движущейся жидкости. Доказательство этого вытекает из самого вывода уравнения (3.73), согласно которому приращение живой силы для единицы массы движущейся жидкости равно сумме работ силы тяжести при перемещении единицы массы жидкости с высоты Zi до 22,'силы гидродинамического давления и сил сопротивления на данном отрезке движения. 3.12. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. Коэффициент неравномерности распределения скоростей В инженерных гидравлических расчетах мы будем иметь дело не с отдельной элементарной струйкой, а с потоком конечных поперечных размеров (например, с потоком воды в реке, канале, трубе и т. п.). Поэтому чрезвычайно важно распространить уравнение Бернулли на целый поток реальной жидкости. Структура реальных потоков очень сложна. Д л я упрощения задачи применения уравнения Бернулли к потоку жидкости представим его в виде совокупности элементарных струек. Такая схема потока накладывает на него определенное ограничение, когда в сравниваемых сечениях установившееся движение должно быть плавно изменяющимся. Напомним, что плавно изменяющимся называется движение, близкое к прямолинейному и параллельноструйному, т. е. такое, в котором угол расхождения струек весьма мал и кривизна струек весьма незначительна (радиус кривизны велик). Если не ввести этого ограничения, т. е. допустить заметную кривизну и непараллельность линий тока при пересечении ими рассматриваемых сечений, то необходимо считаться с действием на частицы жидкости сил инерции. Вследствие действия этих сил отдельные частицы жидкости будут оказывать дополнительное давление друг на друга и распределение давления в живом сечении потока окажется весьма сложным. Принимая движение плавно изменяющимся, мы получаем возможность пренебречь влиянием сил инерции на распределение давления и считать, что в рассматриваемых живых сечениях потока давление распределяется так же, как в покоящейся жидкости, т. е. по гидростатическому закону г + p/(pg) = const. Необходимо подчеркнуть, что условие плавно изменяющегося движения должно соблюдаться только в тех сечениях потока, для 82 которых составляется уравнение Бернулли. Между этими сечениями движение может и не быть плавно изменяющимся. Распространим закон изменения кинетической энергии (3.70), полученный для элементарной струйки, на поток жидкости, т. е. проинтегрируем его по площади живого сечения потока со: и2 da2 — j и] dcoi^ = pg dt f Z\ j u\ dai — z2 J u2 Л о Л + CO / \ CO CO ) + dt (pi J u\ da>i — p2[ u2 \ CO tit ) . (3.81) В выражении (3.81) временно не будем пока учитывать работу внешних и внутренних сил трения. Jwcfco и J и3 da, 0) <0 где и — скорость элементарной струйки, которая в разных точках рассматриваемого живого сечения потока различна. Выразим ее через среднюю скорость следующей формулой: u = v±Av, (3.82) Здесь встречаются интегралы двух видов: где Д о — положительная или отрицательная разность между действительной местной скоростью в данной точке живого сечения и и средней скоростью в сечении о (см. рис. 3.6). Представим себе очень широкий- поток, глубину которого по всей ширине можно принять одинаковой. Д л я такого п л о с к о г о п о т о к а распределение скоростей на вертикалях также можно считать одинаковым, а среднюю скорость на вертикали приравнять средней скорости по всему живому сечению потока. Подставим выражение (3.82) в интеграл первого вида: J и day = j (о ± До) da = ^ v da ± § Av da = va = Q. СО (В со со (3.83) Второе слагаемое этого выражения можно приравнять нулю, так как в нем суммируются все положительные и отрицательные значения До. Рассмотрим второй интеграл: \ иъ d® = J (о ± До)3 da = J о3 da ± 3 J о2 До da + 3 \ о (До)2 da ± СО (О СО СО со ± j (Ля)3 da = о З а ± Зо2 j До da + Зо j (До)2 da ± j (До)3 da. со со со со (3.84) Здесь J (Av)3da также можно принять равным нулю, так как со и в' этом интеграле суммируются в нечетной степени все положительные и отрицательные значения До. 83 , Продолжая преобразования второго интеграла, запишем: j" (Ay) 2 / 3 3 2 d a \ 3 J и da = о со + За J (Ay) ico = o co j 1 + 3 где a = l + 3 J (Av)2daJ (v2®)—величина, всегда = ao3co, (3.85) большая еди- ницы; отметим, что решить интеграл в этом выражении нельзя, так как Av характеризует форму эпюры скорости, а по исследованиям разных авторов она различна. Как указывалось в п. 3.9, многообразие встречающихся форм скоростных эпюр и отсутствие строгой теории турбулентного движения не позволяют получить общее решение для уравнения, описывающего распределение скоростей по сечению потока. Из выражения (3.85) запишем: a = j и3 diо/(и3со). (0 " (3.86) Физический смысл коэффициента а заключается в том, что он характеризует отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в - предположении, что скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости, и учитывает влияние неравномерности распределения скоростей по сечению потока. Чем больше неравномерность распределения скоростей по живому сечению, тем больше значение а. Исследования, проведенные для напорного движения в трубах и для движения в открытых руслах (реках и к а н а л а х ) , показали, что при турбулентном равномерном движении среднее значение а С р « 1 , 1 . При неравномерном движении а может иногда значительно отличаться от единицы. Вместе с тем очень часто в практике мы встречаем такие случаи движения жидкости, когда а все ж е достаточно близко к единице, поэтому обычно принимают а = 1 , 0 , т. е. при расчетах его вовсе не учитывают. Коэффициент а иногда называют коррективом кинетической энергии потока, коррективом скорости, коэффициентом Кориолиса, коэффициентом неравномерности распределения скорости по сечению потока. Подставим найденные значения интегралов (3.83) и (3.85) в выражение (3.81) (предполагая, что ai = a2 = a):~ (at>2®2 — au?wi) = pg dt {z\V\a\ — z2v2a2) + dt (pivm — p2v2a2). (3.87) Разделим все члены выражения (3.87) на р g d W , т. е. отнесем их к единице массы того объема жидкости, который проходит за время dt через живое сечение потока 2g 84 2g = i 2 i (3.88) + p g p g v / Перепишем уравнение (3.88) в виде ,.2 1 Pg 1 2g pg ' v 2g ' По аналогии с понятием средней скорости потока воспользуемся понятием о средней потере энергии в струйках между сечениями 1—1 и 2—2. Обозначая потерю энергии, теряемую в среднем единицей массы жидкости на пути от первого до второго сечения потока за счет внешних и внутренних сил трения, через hf и вводя ее в правую часть (3.89), получим уравнение Бурнулли для установившегося потока реальной жидкости в окончательном виде • 2l + _£i. + ^ L Pg 2g = z, + _£2_ + 1 - 5 i + Af. pg 2g ' (3.90) Уравнение (3.90) применимо как к напорному, так и к безнапорному установившемуся движению жидкости. 3.13. Общие указания о потерях напора Как видно из уравнения (3.90) для потока реальной жидкости, в правой части уравнения имеется четвертый член hf, определяющий количество удельной энергии, затраченной на преодоление сопротивлений движению потока на пути между выбранными в данном потоке сечениями. Гидравлические сопротивления вызывают ту или иную потерю напора (энергии) в потоке. Различают два вида потерь: 1) п о т е р и н а п о р а п о д л и н е, вызванные трением внутри жидкости и между жидкостью и стенками русла. Эти потери распределяются по длине потока равномерно (при равномерном движении) или несколько неравномерно (при плавно изменяющемся неравномерном движении). Такие потери будем обозначать через hi\ 2) м е с т н ы е п о т е р и н а п о р а , получающиеся только в отдельных местах потока, где он претерпевает ту или иную местную деформацию, вызванную резким изменением его конфигурации: расширением или сужением потока, поворотом, изгибом в плане или в вертикальной плоскости, наличием в трубе различных задвижек, кранов и диафрагм, деформирующих поток, и т. д. Каждую отдельную местную потерю напора будем обозначать через hj, причем найденное значение местной потери напора h j относят к одному поперечному сечению потока; потерю ж е по длине hi условно считают распределенной по всей длине рассчитываемого потока равномерно. Существуют прямолинейные потоки значительной длины (например, длинные трубы, участки рек и каналы), в которых местные сопротивления практически отсутствуют или доля их участия в общей потере напора в данном потоке незначительна. В таких "85 потоках основные потери напора вызываются сопротивлениями трения. Существуют также потоки с преобладающим значением местных сопротивлений, например, сравнительно короткие трубы, имеющие большое количество изгибов, задвижек, вентилей и т. п., вызывающих резкие деформации потока. В общем случае для участка потока, заключенного между двумя сечениями, можно записать: hf = ht+ Z hh - (3.91) где hf — полная потеря напора (удельной энергии) для рассматриваемого участка потока. На основании вышесказанного можно отметить, что потери напора есть мера той механической энергии жидкости, несомой единицей ее массы, которая благодаря работе сил трения, распределенных равномерно по длине потока, а также сосредоточенных в отдельных его узлах («местных сил трения»), переходит в тепло, причем жидкость нагревается, а затем с течением времени эта энергия рассеивается (жидкость остывает) и безвозвратно теряется потоком. Чем больше силы трения в жидкости, тем больше, при равных прочих условиях, потери напора hf. Между силами трения в движущейся жидкости и потерями напора hf (т. е. работой сил трения) существует определенная зависимость. Зная распределение в потоке касательных напряжений т, а также скоростей и (дающих нам величину перемещений частиц жидкости), мы могли бы подсчитать р а б о т у сил трения и тем самым о п р е д е л и т ь п о т е р и н а п о р а . Этот вопрос достаточно хорошо решается теоретически для простейших случаев ламинарного движения (см. п. 3.7, где была установлена зависимость (3.48), связывающая потери напора hf со скоростью движения жидкости в круглой трубе). В случае турбулентного движения такая задача осложняется тем, что поле скоростей и нам часто бывает неизвестно, поэтому приходится использовать особые приближенные методы расчета, освещаемые ниже. При этом, рассматривая вначале простейший случай движения жидкости — установившееся равномерное движение (местные потери отсутствуют) — мы пользуемся особым уравнением, которое дает связь между силами трения в жидкости и потерями напора по длине. Это достаточно точное уравнение принято называть о с н о в н ы м уравнением установившегося равномерного д в и ж е н и я ж и д к о с т и (см. п. 3.14). 3.14. Основное уравнение равномерного движения Рассмотрим безнапорный равномерный поток движущейся жидкости, имеющий по длине постоянную глубину h и наклоненный к горизонту под углом © (рис. 3.21).: Выделим в потоке се86 чениями 1—1 и 2—2 отсек жидкости длиной / „ Н а й д е м центры сечений С1! и С 2 и проведем через них ось потока s. В окрестностях оси потока выделим объем призматической формы, имеющий по длине постоянное живое сечение со. Наметим горизонтальную плоскость сравнения ОО (см. рис. 3.21) и обозначим через zi и z 2 возвышения центров тяжести сечений над плоскостью сравнения. Из механики известно, что прямолинейное равномерное движение возможно лишь при условии, если все действующие на тело силы взаимно уравновешены. Составим уравнение равнове- сия для выделенного объема жидкости, воспользовавшись теоремой равновесия: сумма проекций на направление движения^всех действующих и инерционных сил равна нулю. Отметим, что, так как движение потока в выделенном отсеке равномерное, т. е. без ускорения, то силы инерции отсутствуют. Рассмотрим силы, действующие на выделенный объем жидкости. 1. Сила тяжести, действующая на отсек длиной /, ограниченный сечениями 1—1 и 2—2: G = pgla, (3.92) где р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения. Проекция силы тяжести на ось s, направленную по течению жидкости: Gs = pgla sin 0 , (3.93) где 0 —угол наклона оси потока (линии дна) к горизонту. Из рисунка видно, что / sin© = zt — z2; поэтому Gs = pga(zl —Zt). (3.94) 2. Силы давления Pi и на торцевые сечения рассматриваемого жидкого отсека со стороны окружающей жидкости: Р, = р{(£> и Р2 — рг®, (3.95) 87 где pi и pz — гидродинамические давления в центрах тяжести живых сечений I—1 и 2—2. Силы Pi и Рг проектируются на ось s без искажения. Отметим, что сила Рг, действующая нормально к плоскости живого сечения 2—2, направлена против движения, поэтому будет проектироваться со знаком минус. 3. Проекции нормальных сил гидродинамического давления р„ на боковую поверхность выделенного объема равны нулю. 4. Силы трения Т, обусловленные касательными напряжениями х в движущейся жидкости, Г = тХ/, (3.96) где х — смоченный периметр сечения выделенного объема. Силы трения можно подразделить на две группы. К первой группе относятся силы внутреннего трения, развивающиеся внутри рассматриваемого объема жидкости. В общем случае отдельные струйки жидкости движутся с разными скоростями, в результате чего между ними возникают парные силы внутреннего трения; равнодействующая их равна нулю. Силы трения второй группы относятся к внешним силам трения; они возникают на границе потока со стенками русла вследствие трения между стенкой и выделенным отсеком жидкости. Сила Т направлена в сторону, противоположную движению, и проектируется на направление движения без искажения. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось движения: pgco (г, — z2) р,со — р2со — хU = 0. (3.97) Поделив выражение (3.97) на pg4o, получим z.-22 + — pg eg ( 3.98) pg® Составим для выделенного объема уравнение Бернулли; отнесем его слагаемые к центрам тяжести сечений 1—1 и 2—2 Zi + 1 J^ Pg + 1 ^ L 2g = Z2 + J ± pg + ^ L 1 2g + (3.99) hh '' v где hf — потери напора на участке длиной"/. Учитывая, что при равномерном движении t>i = t>2, и перегруппировав члены в выражении (3.99), получим р1 р2 Pg Pg hf. (3.100) Как видно из (3.98) и (3:100), xXlftpga) = hf, откуда xl(pg) =V/(/X). (3.101) Отношение hf/l, дающее потерю напора на единицу длины потока, есть гидравлический уклон J; (o/%=R— гидравлический радиус. Из (3.101) получим окончательно: т/р = gRJ. (3.102) Полученное выражение называют основным уравнением равномерного движения. Как видно из рис. 3.21, при безнапорном равномерном движении гидравлический уклон J, пьезометрический уклон 1Р (уклон свободной поверхности потока) и уклон i дна потока равны между собой-. . J = Jp — i. Действительно, напорная линия Н Н (линия удельной энергии), пьезометрическая линия Р Р (линия свободной поверхности потока) и линия дна водотока — параллельные прямые (см. рис. 3.21). Уравнение (3.102) -получено для случая безнапорного равномерного движения жидкости. При напорном равномерном движении оно будет иметь вид т/р = gRh(ЗЛ0Э) Основное уравнение равномерного движения позволяет установить расчетную зависимость для потерь напора по длине. При рассмотрении практических случаев движения воды в трубах и открытых руслах (реках, каналах) мы встречаемся обычно с турбулентным режимом движения. Как показывают опыты (см. п. 3.4) при вполне развитом турбулентном движении потери напора, обусловленные силами сопротивления, пропорциональны квадрату средней скорости потока, т. е. можно принять т/р = /ео\ . (3.104) где k — некоторый коэффициент пропорциональности, определяемый опытным путем. Тогда, приравняв выражение (3.104) и (3.102), имеем kv2 = gRJ, (3.105) откуда запишем / = hf/l = kv2jgR. (3.106) Учитывая, что при равномерном движении hf=hi, так как местные потери напора .отсутствуют, и домножая числитель и знаменатель в (3.106) на 2, запишем = (3.107) Вводя обозначение 2k = l R , (3.108) 89 где XR —: коэффициент гидравлического трения, получаем следующую общую зависимость для потерь напора по длине: ' А < = ( З Л 0 9 > Формула (3.109) пригодна как для напорного, так и для безнапорного движения жидкости. Вопрос об определении потерь напора по длине для безнапорного движения (реки, каналы и трубы, работающие неполным поперечным сечением) заслуживает особого внимания; он рассматривается в гл. 5. Ниже остановимся кратко на определении потерь напора по длине при турбулентном движении в трубах. 3.15. Потери напора по длине при движении воды в трубах Д л я круглых напорных труб диаметр d = 4R, поэтому для этих труб общая зависимость (3-109) переписывается в виде: = г-ё"' (3-110) где и =-- \%R. (зли) Формула (3.110) называется ф о р м у л о й Вейсбаха — Д а р с и , она была получена сначала эмпирическим путем; ее представляют иногда в таком виде: \ц = yt>7(2£). (3.112) где t>i = M!d — коэффициент сопротивления по длине для потока жидкости в трубе. Современные расчетные формулы для коэффициента гидравлического трения Я, входящего в выражение (3.110), предусматривают зависимость этого коэффициента от шероховатости стенок трубы и от числа Рейнольдса. В случае ламинарного напорного движения жидкости в круглой трубе мы уже получили выше теоретическую формулу (3.51) для Я: Я = 64/Red. При турбулентном течении Я находится по эмпирическим формулам. Вследствие сложности процессов движения воды при этом режиме получить точное выражение для коэффициента трения Я j невозможно. В литературе известно довольно большое число предложений по этому вопросу [35, 36]. Ограничимся в данном изло- { жении лишь некоторыми примерами. 1 1 /90 Дополнительные замечания по этому вопросу приведены в гл. 5. По опытам Ф. А. Ш е в е л е в а при соблюдении условия Red^=9,2-10 5 коэффициент Я можно определять по формуле А, = 0,021 /d 0 ' 3 ; при Re d < 9,2-10 (3.113) 5 М - ^ + Т Й Г Г . где d всюду выражается в метрах. - Формулы (3.113) и (3.114) рекомендуются для стальных и чугунных водопроводных труб с учетом увеличения сопротивления в процессе эксплуатации. А. Д. А л ь т ш у л ь с помощью полуэмпирической теории турбулентности установил общую зависимость для коэффициента гидравлического трения h в случае турбулентного движения в трубах: *-<>•» ( 4 - + - Б Г . < ЗЛ15 > где А э — эквивалентная шероховатость. Эквивалентная шероховатость зависит от материала, из которого изготовлена труба и от продолжительности ее эксплуатации, в процессе которой может возникнуть коррозия стенок трубы. Численные- значения эквивалентной шероховатости приводятся в таблицах справочников по гидравлическим расчетам [35, 36], учебниках [1, 39]. 3.16. Потери напора в трубах от местных сопротивлений Основной причиной потерь напора, вызываемых местными сопротивлениями, является резкое изменение скорости движения жидкости и ее направления. Любую местную потерю напора можно выразить общей ф о р мулой Вейсбаха: . (3-116) причем коэффициент местного сопротивления ^ в общем случае должен определяться экспериментальным путем для различных встречающихся в практике местных сопротивлений. Только в двух случаях (при резком расширении и наиболее резком сужении) этот коэффициент устанавливается теоретическим путем —путем совместного решения уравнений Бернулли и количества движения. 1 При этом нужно иметь в виду, что коэффициенты местных сопротивлений, если это специально не оговаривается, относятся 1 Этот вывод можно найти в работе [39]. 91 к средней скорости, устанавливающейся за местными сопротивлениями. Значения местных коэффициентов сопротивления приводятся в справочной литературе [35, 36]. Некоторые сокращенные данные для важнейших встречающихся в инженерной практике случаев даются ниже. 1. Резкое (внезапное) расширение трубопровода (рис. 3.22). Потери напора при резком расширении трубопровода определяются по формуле Борда . « " - О - г О ^ Ч - г - - 1 г / Рис. 3.22. Резкое . расширение потока. где коэффициент (ЗЛ17) ) * - ® - ' Рис. 3.23. Резкое сужение потока, сопротивления Cp-p-t1 при резком или расширении £р.р = й - - О2' равен <ЗЛ18) в зависимости от принимаемой в расчет скорости Vi или vz2. Резкое сужение трубопровода (рис. 3.23). Местную потерю напора при резком сужении трубопровода определяют по формуле •Ар. с = £ р .С-2§-. Коэффициент сопротивления ется по формуле при резком (3.119) сужении ? Р .с = ( 1 / е - 1 ) 2 , определя(3.120) где е — коэффициент сжатия струи, представляющий собой отношение площади сечения сжатой струи сос к площади сечения узкой трубы и 2 (см. рис. 3.23), т. е. е = сос/(о2Для определения £р. с можно воспользоваться формулой И. Е. Идельчика Ср. с = 0,5 (1 — 92 (3.121) приближенной (3.122) 3. Вход в трубу из резервуара. Полагая поперечное сечение резервуара значительно большим сечения трубы, с учетом формулы."(3.122) имеем: при острых кромках входного отверстия (рис. 3.24 а) ^вх^О.бО, при закругленных кромках (рис. 3.24 6) £вх = 0,20, при весьма плавном входе (рис. 3.24 в) £вх = 0,05-г-f- 0,06. 4. Выход из трубы в резервуар больших размеров, в реку и т. д. Данный случай является частным случаем потерь напора при резком расширении потока, когда принимаем о 2 = 0. Имея это в виду, можем написать на основании формул (3.117) и (3.118), что £ в ы х = 1, а следовательно, потеря на выход будет Лвых = v\l{2g). . (3.123) 5. Поворот трубы. Потери напора на повороте вызываются резкими или плавными поворотами трубы. На повороте трубы получаем искривление потока (рис. 3.25). Н а частицы жидкости, движущиеся по искривленным траекториям, действует центробежная сила инерции. З а счет этой силы гидродинамическое давление в месте поворота у внешней стенки трубы повышается, а у внутренней понижается. 1 Это же обстоятельство обусловливает уменьшение скоростного напора у внешней стенки и увеличение его у внутренней. Таким образом, на повороте происходит перераспределение скоростей по живым сечениям и деформация эпюр скоростей вдоль потока (как показано на рис. 3.25). В связи с этим в направлении течения создаются различия в скорости, способствующие отрыву потока от стенок, что приводит сначала к сужению струи, а затем, далее по течению, к ее расширению; при этом возникают значительные потери напора. 1 Н а у к а з а н н о м перепаде давлений основан известный расходов воды на колене трубопровода [7]. способ измерения 93 Там, где струя отрывается от стенок трубы, образуются водоворотные области А (см. рис. 3.25). При плавном повороте трубы указанные отрывы струи могут отсутствовать. В этом случае местные потери напора в значительной мере обусловливаются имеющимся на повороте винтовым движением, вызванным действием сил инерции. 1 Потери напора на повороте трубы зависят от угла поворотатрубы и отношения радиуса закругления к диаметру трубы. Соответствующие рекомендации по определению коэффициента сопротивления приводятся в гидравлических справочниках [35, 36]. 1 С Рис. 3.26. Простая задвижка. 6. Задвижка. Рассмотрим простую задвижку, перекрывающую трубу круглого поперечного сечения (рис. 3.26). В этом случае, так же как и при сужении или повороте трубы, за задвижкой образуется сжатое сечение С—С с транзитной струей и водоворотные области А. Потеря напора главным образом сосредотачивается на участке струи за сжатым сечением, где имеется расширение струи. / Коэффициент сопротивления зависит от отношения a/d, где а — открытие задвижки; значения приводятся в соответствующих таблицах гидравлических справочников. Приведенные выше рекомендации по определению местных сопротивлений относятся к развитому турбулентному движению с большими числами Рейнольдса, т. е. когда влияние вязкости на коэффициенты местных сопротивлений незначительно. В заключение отметим, что пользоваться коэффициентами местных сопротивлений, определенных для труб, при расчете открытых потоков можно только для ориентировочных подсчетов. Дело в том, что местные сопротивления меняют характер движения воды в канале или реке. На участке водотока выше расположения местного сопротивления образуется подпор, а ниже по течению может быть спад. 1 Более подробно механизм поведения потока на изгибе в курсе «Динамика русловых потоков» [4, 8, 10]. ' 94 рассматривается, 3.17. Сложение потерь напора. Применение уравнения Бернулли к расчету напорного трубопровода Если на трубопроводе имеется ряд местных сопротивлений (задвижки, колена, закругления и т. д.), характеризующиеся коэффициентами сопротивления то для участка трубопровода с постоянным расходом общие потери напора на преодоление местных сопротивлений могут быть найдены простым суммированием отдельных видов местных потерь. Однако п р и н ц и п с л о ж е н и я п о т е р ь (арифметическое суммирование их) справедлив только для случая, когда расстояние между отдельными местными сопротивлениями достаточно велико и их взаимное влияние практически отсутствует. Расстояние, на котором сказывается взаимное влияние местных сопротивлений, по имеющимся в настоящее время данным можно принимать в пределах от 20 до 50d. Предположим,, что трубопровод длиной I имеет постоянный диаметр d и расход жидкости Q. На трубопроводе имеется п местных сопротивлений. Установив значения коэффициентов местных сопротивлений £2, £з, . . £п, можно подсчитать местные потери напора, зная значение v2/(2g). Кроме того, необходимо определить потери Ы по длине трубопровода. Имеем: (3.124) Сложив левые и правые части системы уравнений (3.124), получим сумму потерь энергии на трубопроводе длиной I: (3.125) hf = ( £ , + & + • • • + £ * + £ / ) v*/(2g). Выражение в скобках представляет собой сумму всех коэффициентов местных сопротивлений и коэффициента сопротивления по длине. Вводя обозначение (3.126) получаем, что (3.127) 95 Это и есть окончательная формула для расчета полных потерь напора (когда учитывают величины hi и £ ftj)-В случае достаточно длинных водопроводных труб £ Щ по сравнению с hi оказывается пренебрежимо малой, и получается, 4 что • h f h i . Такие трубы принято называть «длинными» в отличие от т а к называемых «коротких» труб,-.когда при расчете, помимо потерь НЛ Рис. 3.27. К расчету напорного трубопровода. напора по длине hi, приходится учитывать еще местные потери напора 2 hj. Принято считать, что в случае городских водопроводных труб (диаметром до 200—500 мм) длинный трубопровод получается, когда его длина составляет более 200—1000 м. При меньшей длине местные потери напора часто более чем на 3—5 % могут превышать потери hi и их приходится учитывать. Таким образом, расчет коротких труб предполагает обязательный и возможно более полный и точный учет всех видов гидравлических сопротивлений. Это требование выполнимо только при условии применения уравнения Бернулли и указанного выше принципа сложения потерь напора. Выше hf мы в ы р а ж а л и через среднюю скорость v, имея трубу постоянного диаметра, что позволило скоростной напор в зависимости (3.125) вынести за скобки, А как быть, если трубопровод имеет переменный диаметр? Рассмотрим решение такой задачи на конкретном примере. Пример. Определить расход воды в водопроводной чугунной трубе переменного сечения (рис. 3.27) и построить линии гидравлического (а) и пьезометрического (б) уклонов при следующих данных: напор воды Я = 1 2 , 5 м; длины отдельных участков трубопровода— h = 35,5 м, / г = 9 5 , 0 м, /з = 73,5 м; диаметры — di = = 0,60 м, = 1 , 0 0 MY^з = 0,80 м. Д л я решения задачи, совместив плоскость отсчета с осью трубы ОО, принимая а = 1 и пренебрегая скоростью подхода щ, 96 составляем уравнение Бернулли (3.90) для крайних створов трубопровода 1—1,2—2\ H=Z hf = Лвх + hi, + Ар. р + А/, + Ар. с + А/, + Лвых. (3.128) Как видно из рис. 3.27 и уравнения (3.128), весь геометрический напор Н расходуется в данной системе на местные потери (вход, резкое расширение, резкое сужение и выход) и потери напора по длине на трение на участках k, h и IsМестные потери напора определяются по .формуле (3.116) 'QjV3/(2g), hj = где v — скорость потока, к которой отнесена потеря напора; — коэффициент сопротивления, который для входа в трубопровод назначается по рис. 3.24, для резкого расширения рассчитывается по формуле (3.118), для резкого сужения по формуле (3.122), для выхода потока в атмосферу принимаем £ В ых=1. Потери напора по длине трубопровода определяются по формуле (3.112) hi = где bd4(2g), — коэффициент сопротивления, равный и = и/и. Здесь: I — длина участка трубопровода; d — его диаметр; к — коэффициент гидравлического трения, который в рассматриваемом случае может быть рассчитан по формуле (3.113) . Каждое слагаемое уравнения (3.128) отнесено к своей скорости vi, v2 и оз. Д л я дальнейшего решения этого уравнения необходимо привести его к одной скорости, например к скорости оз в выходном сечении. Д л я этой цели воспользуемся уравнением неразрывности (3.24), согласно которому 0£=М, где pl = (d3/di)2. (3.129) Уравнение (3.128) с учетом формул (3.112), (3.116) и (3.129) можно переписать в виде Н = ( и + -Q, + + Lh + й . с + £вых) О з / ( 2 g ) = Z £'ОЗ 2 /(2g), где £ — сумма приведенных коэффициентов сопротивления. Решение задачи удобно вести по таблице. Из скоростного напора (графа 6 таблицы) на каждом участке трубопровода можно получить среднюю скорость потока, которая соответственно равна 8,20; 2,05 и 4,60 м/с. Расход воды Q, одинаковый по всей длине трубопровода, рассчитывается по формуле (3.5) и составляет 2,3 м 3 /с. В графе 8 таблицы представлены значения последовательного суммирования местных и путевых потерь напора по длине трубопровода. 7 Заказ № 33 97 Результаты расчета № п/п 1 1 2 3 4 5 6 7 Наименование потерь 2 Вход Путевые на участке h Резкое расширение Путевые на участке k Резкое сужение Путевые на участке k Выход к °?Аад hf 2hf 3 4 5 6 7 8 0,50 1,45 3,00 2,00 0,18 20,6 1,00 3,16 3,16 0,41 0,41 1,00 1,00 1,00 4,58 4,58 1,23 0,82 0,18 2,06 1,00 3,44 3,44 0,45 0,45 1,09 1,09 1,09 1,72 5,00 1,35 0,89 0,20 2,25 1,09 1,72 6,72 8,07 8,96 9,16 11,41 12,5 = 11,45 Линии гидравлического (а) и пьезометрического (б) уклонов (см. рис. 3.27) строятся по данным граф 6 и 8. Для этого необходимо от плоскости отсчета ОО в масштабе отложить напор Я, равный 12,5 м, и в этом же масштабе от напорной линии Я — Я вниз отложить сначала потери напора в нарастающем итоге (графа 8), а затем скоростной напор (графа 6). Глава четвертая ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ 4.1. Общие понятия и определения В инженерной практике часто приходится рассматривать вопросы истечения жидкости через отверстия различных форм и размеров, а т а к ж е через короткие патрубки, называемые насадками. К этому виду движения жидкости относится истечение из отверстий в стенках различных резервуаров, истечение из-под гидротехнических затворов на плотинах и шлюзах, расчет наполнения и опорожнения шлюзовых судоходных камер, отверстий гидротехнических сооружений, истечение из сосудов через присоединенные к отверстиям насадки, через водовыпуски, движение в эжект о р а х — водоструйных насосах, гидромониторах, пожарных устройствах и в ряде других случаев. Истечение жидкости из отверстий и насадков относится к гидравлическим явлениям, происходящим на коротких участках потока. Вследствие этого потери энергии на трение по длине потока незначительные и имеют место только потери от местных сопротивлений. При исследовании истечения жидкости из отверстий и насадков различают: 1) И с т е ч е н и е и з о т в е р с т и й в т о н к о й и в т о л стой стенке. Тонкой называется т а к а я стенка резервуара или сосуда, толщина которой не влияет на истечение жидкости и вытекающая струя (рис. 4 . 1 а ) соприкасается только с внутренней кромкой отверстия, не касаясь его боковых поверхностей. Края отверстия обычно имеют заостренную кромку. Толщина стенки 8 не оказывает влияния на расход и характер вытекающей струи. Толстой называется стенка резервуара, толщина которой может оказать влияние на истечение, вызывая постоянное или периодическое прилипание вытекающей струи (рис. 4.16) ко всей боковой поверхности отверстия или к части ее, что, в свою очередь, может отразиться на изменении пропускной способности отверстия. С гидравлической точки зрения на участке ab между входным и выходным сечениями получаем насадок длиной б. 2) И с т е ч е н и е и з м а л ы х и. б о л ь ш и х отверстий. Малым (в гидравлическом смысле) называется отверстие, вертикальные размеры которого (высота, диаметр) настолько м а л ы по сравнению с напором над центром отверстия Я (см. рис. 4.1),. что как напоры, так и скорости течения могут быть приняты практически одинаковыми для всех точек сечения потока в пло9* 99 скости отверстия. Д л я малых отверстий размер их по вертикали не более 0,1#. Большим называется отверстие, вертикальные размеры которого одного порядка с напором над центром тяжести отверстия. В этом случае напоры в верхней и нижней точке отверстия, а следовательно, и скорости в этих точках существенно различаются и не могут быть приравнены средним значениям напора и скорости; при этом абсолютные размеры отверстий не имеют значения. / о С 2 Рис. 4.1. Истечение жидкости из отверстий в тонкой (а) и толстой (б) стенке. 3) И с т е ч е н и е ж и д к о с т и и з о т в е р с т и й и н а с а д ков при п о с т о я н н о м н а п о р е н а д ц е н т р о м отверстия и при п е р е м е н н о м напоре. При постоянном напоре расход, скорость и траектория вытекающей струи остаются постоянными во времени и явление исте-. чения относится к случаю установившегося движения жидкости. При переменном напоре (например, в случае постепенного опорожнения или наполнения резервуара) элементы движения изменяются во времени, т. е. имеет место случай неустановившегося движения жидкости. 4) По характеру сопряжения вытекающей из отверстия струи с уровнем жидкости за отверстием может быть: истечение ч е р е з н е з а т о п л ' е н н о е о т в е р с т и е , если уровень жидкости за отверстием находится ниже центра отверстия ( и с т е ч е ние в а т м о с ф е р у ) ; и с т е ч е н и е ч е р е з затопленное о т в е р с т и е , если уровень жидкости за отверстием находится выше центра отверстия (истечени.е под у р о в е н ь ) . 4.2. Истечение жидкости в атмосферу из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре Картина истечения жидкости через малое отверстие в вертикальной тонкой стенке некоторого сосуда представлена на рис. 4.1а. Как показывают опыты, при выходе из отверстия струя 100 жидкости резко сжимается на протяжении до сечения С—С, которое называют сжатым сечением. Такое сжатие "обусловливается инерцией частиц жидкости, движущихся при подходе к отверстию по криволинейным траекториям (в частности, инерцией частиц Мi и М2, которые скользят непосредственно по стенке сосуда и, выйдя из него, движутся по границам струи)^ , По мере удаления от плоскости отверстия кривизна траекторий уменьшается и поперечные сечения струйки в дальнейшем изменяются незначительно, частицы в струе приобретают плавно изменяющееся движение, близкое к параллельностр-уйному. Если отверстие круглое, то расстояние от внутренней поверхности стенки до сжатого сечения можно принять /o«0,5d, где d — диаметр отверстия (см. рис. 4.1 а). В результате сжатия происходит уменьшение площади живого сечения струи до сос по сравнению с площадью отверстия в стенке со (сос < Введем обозначение: сос/со = е, (4.1) где е называется коэффициентом сжатия струи. В сжатом сечении давление равно давлению в окружающем струю воздухе, т. е. оно атмосферное р&тВыведем формулы для определения средней скорости v и расхода Q жидкости, вытекающей из отверстия, с помощью уравнения Бернулли. Учитывая, что уравнение Бернулли справедливо для сечений, в которых выполняются условия плавно изменяющегося движения, выбираем первое сечение на уровне свободной поверхности в резервуаре (сечение 1—7), а второе — г сжатом сечении струи (сечение 2—2 вдоль линии С—С на рис. 4.1). Д о сечения С—С имеется резко изменяющееся движение и уравнение Бернулли не применимо. Плоскость сравнения ОО проведем на уровне центра тяжести отверстия. Уравнение Бернулли (3.90) в известных нам обозначениях имеет вид: 2 п, <xv, + — +1 -тг 1 = Z2 + Pg 2g п „ + 2 av —i. 2g • 9 pg +hf. T Выясним значение отдельных слагаемых, входящих в это уравнение: Я; 0; Pi pg Рат . aof Pg ' Р2 Рат . 2g 2 a»2 Pg Pg ' 2g ' « П2 av^ (4.2) 2 g Скоростью движения жидкости в срсуде можно пренебречь на основании того, что скорость vi намного меньше скорости, с которой жидкость вытекает из резервуара (ui<Cf c ). 101 Потери напора hf от сечения 1—1 до сечения 2—2 представим в виде hf = &l/(2g), (4.3) где £ — коэффициент сопротивления, учитывающий потери напора от сечения 1—1 до сечения 2—2, которые сосредотачиваются в основном в районе самого отверстия и могут быть отнесены к скорости в сжатом сечении vc. Подставляя (4.2) и (4.3) в (3.90), имеем Я + ^ Рg Pg + ^ 2g . ' ® + 2g или ( 4 4 ) * H = {a + Qvl/{2g). (4.5) Из (4.5) получаем выражение для скорости струи в сжатом сечении ис = У ! / ( « + ?) У 2^77 (4-6) или, вводя обозначение Ф = л/1/(а + 0 . где ф называется коэффициентом скорости, получим ис = ф -\j2gH. (4-7) (4.8) Коэффициент скорости ф всегда меньше единицы, так как а > 0 и i > 0. Рассмотрим частный случай идеальной жидкости, когда потери напора отсутствуют ( £ = 0 ) и коэффициент Кориолиса ос= = 1, т. е. в этом случае ф = 1 и вместо (4.8) получаем »; = У 2 J E . (4.9) Формула (4.9) получена Т о р р и ч е л л и в 1643 г. экспериментальным путем и носит его имя. Действительная скорость для реальной жидкости vc всегда меньше теоретической скорости t / идеальной жидкости. ^ Зная скорость в сжатом сечении, найдем расход Q Q = (0сус = сосф V 2 i # . (4.10) Практически удобнее выразить расход воды не через площадь живого сечения струй, а через площадь отверстия в стенке. Выразив в (4.10) о>с через со по формуле (4.1), получим <2 = 8фсоУ2£#. (4.11) ' • Вводя новое обозначение ц = еф, 102 (4.12) где ]u называется коэффициентом расхода тельно получим формулу расхода в виде отверстия, оконча- Q = Ha^/2gH. (4.13) Коэффициент расхода ц всегда меньше единицы, так как ф < < 1 И8 < 1. Как видно, при рассмотрении истечения жидкости из отверстия были введены четыре коэффициента: сжатия е, сопротивления £, скорости ф, расхода отверстия ц. Перечисленные коэффициенты являются основными гидравлическими характеристиками (показателями) явления истечения жидкости через отверстия. Значения этих коэффициентов устанавливают опытным путем. 4.3. Влияние сжатия струи на истечение через отверстие Степень сжатия струи оказывает влияние на расход жидкости, вытекающей из отверстия. В зависимости от расположения LAJ Л п • -*+'ГЛ В . ш Рис. 4.2. Полное (1, 2) и неполное (3) сжатие струи. Отверстия в стенке резервуара относительно его боковых стенок или дна имеет место истечение с полным или с неполным сжатием струи. 1. П о л н о е с ж а т и е . Под полным сжатием понимается такой случай, когда сжатие струи имеет место со всех сторон отверстия. Полное сжатие может быть совершенным или несовершенным. Совершенным сжатием Называется сжатие, когда боковые стенки и дно сосуда (или водоема) практически не оказывают влияние на условия сжатия струи, т. е. не влияют на истечение. Д л я этого должны быть выполнены условия: п> За; пг > 3Ь, (4.14) где п — расстояние от отверстия до боковой стенки; m — расстояние от отверстия до дна сосуда; а и Ь — длины сторон прямоугольного отверстия (случай 1 на рис. 4.2). При соблюдении этих условий коэффициент е практически не зависит от размеров пит. 103 Как показывают опытные данные, для случая совершенного сжатия при истечении жидкости через круглые и квадратные отверстия средние значения, коэффициентов е, q> и могут быть приняты следующими: е = 0,64; £ = 0,06; ср == 0,97; ц = 0,62. (4.15) Несовершенное сжатие получается при несоблюдении условий (4.14), т. е. когда отверстие расположено сравнительно близко к боковой стенке или дну сосуда (случай 2 на рис. 4.2). При несовершенном сжатии значение коэффициента е зависит от размеров /г и /п; чем они меньше, тем меньше сжатие струи и, следовательно, тем больше s. Д л я уточнения значений s при несовершенном сжатии пользуются справочными данными. 2. Н е п о л н о е с ж а т и е получается, когда п или m или оба эти размера вместе оказываются равными нулю (случай 3 на рис. 4.2). В этом случае вытекающая из отверстия струя не испытывает сжатия с одной или нескольких сторон. При неполном сжатии площадь о)0 получается относительно больше, чем при полном сжатии, за счет чего коэффициент ц должен увеличиться. Д л я определения коэффициента ц в справочной литературе приводятся специальные рекомендации. 4.4. Траектория струи При расчете отверстий, кроме их пропускной способности, практический интерес представляет траектория струи. Траекторией струи называется ось струи жидкости, свободно падающей после истечения из отверстия в атмосферу. Рассмотрим истечение через малое отверстие, расположенное в боковой наклонной стенке резервуара (рис. 4-3). Наметим сжатое сечение С—С, местоположение которого определяется размером /о. В центре О этого сечения располагаем начало координатных осей Ох и Oz. Мысленно выделяем в точке О материальную частицу жидкости, имеющую некоторую массу и двужущуюся. со скоростью vc, наклонно к горизонту под углом в . Найдем проекции vc на оси Ох и Oz: ~ох = Ус cos 6; vz = vc sin Э. (4.16) Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая напор Н постоянным, применим к упомянутой материальной частице уравнения движения, известные из теоретической механики: x — v x t = v c cos@t, (4.17) Z = v j + gt2/2 = vc sin Of + gt2/2, (4.18) где x и z -— координаты падающей струи; t — время. 104 Отметим, что перемещение z частицы вдоль оси Oz обусловлено действием двух сил; силы инерции и силы тяжести. Решая совместно уравнения (4.17) и (4.18) исключением t, получаем уравнение траектории материальной ч а с т и ц ы, имеющей начальную скорость v c , в виде: z = х tg 0 + gx*j(2vl cos2 (4.19) где vc определяется по формуле (4.8). Рис. 4.3. Траектория струи при истечении жидкости из отверстия в наклонной стенкё. Рис. 4.4. Траектория струи (отверстие в вертикальной стенке). Полученное уравнение (4.19) дает траекторию струи в виде параболы. В случае, когда отверстие сделано ,в вертикальной стенке сосуда (рис. 4.4), уравнение оси струи получается аналогично изложенному выше; только здесь угол 0 = 0 и уравнение траектории (4.19) принимает более простой вид: г = gx2/(2vt). (4.20) Подставляя в (4.20) заданную величину zo (см. рис. 4.4), можем найти величину хо, т. е. дальность полета струи Хо = Ус V 2 z o/g- (4.21) Траекторию падающей струи и дальность ее полета необходимо знать при строительстве гидротехнических и гидрометрических сооружений, чтобы рассчитать расстояние х (рис. 4.4) и обеспечить соответствующее крепление дна нижнего бьефа от размыва. В частном случае для отверстия в дне резервуара, когда угол 0 = 9 0 ° , согласно (4.19), получаем z== оо, т.е. струя падает вертикально вниз. 105 4.5. Истечение из малого отверстия под уровень Рассмотрим истечение жидкости из малого затопленного отверстия в тонкой стенке, происходящее под уровень (рис. 4.5). Здесь Z — разность уровней слева и справа от стенки. При этом уровни по обе стороны от отверстия не изменяют своего положения, т. е. движение жидкости установившееся (Z = const). Применим уравнение Бернулли к расчетным сечениям 1—1 и 2—2 относительно плоскости сравнения ОО, в ы р а ж а я потерю напора между этими сечениями известной зависимостью hf = Z = Z &l/(2g) = (С 1 - с + Ее - а) "с2/(2g). (4.22) "Т N N1 1 . < > С Г;:.' imtiiiiiiiniimirmiitiiimiimn о Рис. 4.5. Истечение жидкости из отверстия под уровень (затопленное отверстие). Здесь через и обозначены коэффициенты сопротивления, учитывающие потери напора соответственно от сечения 1—1 до С—С и от сечения С—С до сечения 2—2. Имея в виду, что за сечением О—С получается резкое расширение струи до значительных размеров, можно считать £ с _ 2 = 1 , 0 . Исходя из (4.22), получаем формулу для расхода Q того ж е вида, что и в случае истечения в атмосферу; только в эту формулу вместо Н входит разность отметок уровней Z до отверстия и за ним Q =•(!«> V 2 g Z ; (4-23) При учете скорости подхода Vo в формулу (4.23) вместо Z подставляем величину (4.24) Z 0 = Z + vl/(2g). Что касается численного значения |л, входящего в (4.23), то, как показывают опыты, оно оказывается примерно таким же, как и при истечении в атмосферу. 4.6. Расчет истечения через большие отверстия Пусть имеется б о л ь ш о е п р я м о у г о л ь н о е отверстие в тонкой стенке (рис. 4.6). Вертикальный размер отверстия (высота а) соизмерим с напором Нс над центром отверстия, и прини106 мать одинаковыми напор и скорости истечения по всему сечению, как мы это делали для малого отверстия, уже нельзя, а потому нельзя воспользоваться и выведенной ранее зависимостью (4.13). Д л я определения в этом случае расхода Q выделим в отверстии бесконечно малую горизонтальную полоску высотой dH. Площадь полоски запишется в виде (4.25) da = b dH, где b — ширина отверстия. £ V0 Рис. 4.6. Истечение жидкости из большого отверстия. /.7777777777777777777).7 Элементарный расход dQ через площадку da>, пренебрегая скоростью подхода г>о, выразим по формуле (4.13) dQ = \ib dH У 2gH. (4.26) Расход через отверстие получим интегрированием уравнения . (4.26) в пределах изменения напора от Hi до Я 2 (см. рис. 4.6). Считая приближенно, что р, не зависит от напора, a b = const для прямоугольного отверстия, имеем Q = Hb У2^ н2 [ Я V 2 dH = -J- lib У2^ (Hlh - H\h). яi (4.27) Этой формулой на практике пользоваться неудобно, так как в ней две переменные величины Hi и Обозначим Н\ = Нс~ а/2 и Н2 = НС + а/2, где Не — напор над центром отверстия; а — высота Формула (4.27) получит вид Q - -§- ц» [(. + l ^ f - 0 отверстия. - T t f ] • («SI 107 Если разложить выражения в круглых скобках в ряд по формуле бинома Ньютона и взять первые четыре его члена, то формула расхода примет вид = |ШУ2Ж[1 - Л - ^ ) 1 ]. (4.29) Если пренебречь вторым членом в квадратных скобках, то получим формулу Q = (хсо д / 2 ^ Я с , (4.30) полностью аналогичную формуле (4.13) для малого отверстия. Рассмотрение члена 1 — 7эв (а/Нс)2 показывает, что, чем меньше Не по сравнению с а, тем больше разница между формулами (4.29) и (4.30). При а = Нс эта разница равна ( 1 — 1 М , т. е. около 1 %. Следовательно, с точностью, примерно, до 1 % отверстия, у которых d (диаметр) или а ^ Н с , можно рассчитывать как малце; если же d или а > Нс, их надо рассчитывать по фор/муле (4.29), как большие. . Коэффициент расхода р, для больших отверстий колеблется в широких пределах вследствие большого числа факторов, влияющих на его значение (размеры и форма отверстия, напор, условия подхода, несовершенство и неполнота сжатия, характер обработки кромок отверстия и т. д.). В табл. 4.1 приведены данные о коэффициентах расхода жидкости при истечении через большие отверстия, обобщенные и рекомендованные Н. Н. Павловским для предварительных расчетов. При истечении под уровень формулы расхода для малых и больших отверстий одинаковы, так как в этом случае напор над Таблица 4.1 Коэффициент расхода р для больших отверстий Типы отверстий А Отверстия средних размеров при сжатии струи со всех' сторон и при отсутствии направляющих стенон Большие отверстия с несовершенным, но всесторонним сжатием Донные отверстия без сжатия по дну со значительным влиянием бокового сжатия Донные отверстия без сжатия по дну и с уменьшенным влиянием бокового сжатия То же, без сжатия по дну и с весьма плавными боковыми подходами % То же, без сжатия по дну и с весьма плавными боковыми подходами к отверстию со всех сторон 0,65 108 0,70 0,65-И),70 0,70-Я), 75 0,80-f-0,85 0,90 любой точкой площади отверстия является величиной постоянной и равной разности уровней жидкости Z перед отверстием и за ним. 4.7. Расчет истечения жидкости из-под щита через большое отверстие Частным случаем истечения жидкости через большие отверстия в тонкой стенке является истечение из-под щитов (гидротехнических затворов), устраиваемых на водосбросных сооружениях. 0 I "о Рис. 4.7. Истечение . жидкости из-под -плоского щита. а — незатопленное отверстие; затопленное отверстие. //Л/Л//////;;/////////// б— Рассмотрим истечение жидкости из-под плоского вертикального щита в горизонтальном русле (рис. 4.7). При вытекании изпод щита с незатопленным отверстием (рис. 4.7 а) струя испытывает сжатие в основном только сверху (с боков и дна сжатие отсутствует), т. е. имеет место случай неполного сжатия. Примем следующие обозначения: Я — глубина воды перед щитом; А щ — высота открытия щита; vo — скорость подхода; tiG — глубина воды в сжатом сечении; у с — средняя скорость в сжатом сечении. Соединяя уравнением Бурнулли сечения 1—1 и С—С, получим (при а = 1) я + ^ . - Л с + ^ 2g+ ^ -2g Л с + О + О 2g (4.31) откуда ос = где полный ФЛ/2g {Н0 — Ас), (4.32) напор Яв = Я + о§/(2я). (4.33) Для отверстия прямоугольной формы шириной'& формула расхода жидкости, вытекающей из-под щита, записывается в виде Q = С0сус = Ф^АС V2g (Но с)- (4.34) 109 Вводя коэффициент расхода [л = еф, получим сжатия струи e = h c / h m и коэффициент Q = цсо л/2ё (Я 0 - е/?щ), (4.35) где со = Ыгщ — площадь сечения прямоугольного отверстия. Учитывая, что Я 0 — /гс = Z 0 , где Z 0 — разность уровней перед щитом и за ним — рис. 4.7 а, формулу для расхода (4.34) перепишем в виде Q = jxcoV2p"o- (4.36) В случае затопленного отверстия (рис. 4.7 6) выражение для расхода Q сохраняет вид (4.36) с той, однако, разницей, что величина Zo уже не связана с глубиной hc и равна Z0 = H + (vl/2g)-h, ' (4.37) где А — глубина потока за щитом. Как видим, рассматривая истечение жидкости из-под щита, мы не пришли к принципиально новым расчетным формулам по сравнению с отверстиями. Особенности истечения из-под щита отражаются на размере коэффициентов ф, е, На основании лабораторных опытов коэффициент скорости ф обычно берется равным 0,97; коэффициент сжатия е 0,65... 0,67; коэффициент расхода м* 0,63... 0,65. . - 4.8. Истечение жидкости из насадков при постоянном напоре Насадком называется короткая труба (патрубок), присоединенная "к отверстию в тонкой стенке, через которую вытекает жидкость. Как отмечалось выше (п. 4.1), насадком можно считать отверстие в толстой стенке, толщина которой удовлетворяет требованиям, предъявляемым к необходимой длине насадка. При гидравлическом расчете насадков пренебрегают потерями напора по длине и учитывают только местные потери напора. Насадки разных типов широко применяются в различных областях техники: для увеличения расхода из отверстия, получения мощной, с большим запасом кинетической энергии, струи, рассеяния излишних запасов энергии в струе и т. п. Различают следующие основные типы насадков (рис. 4.8): а —внешний Цилиндрический; б — внутренний цилиндрический; в — конически сходящийся; г — коноидальный; <3 — конически расходящийся. Так же, как и истечение из отверстий, истечение из насадков может происходить при постоянном и переменном напоре. Насадки могут быть незатопленными (истечение в атмосферу) и затопленными (истечение под уровень). В случае постоянного напора расход Q при протекании жидкости через насадки определяется по тем же формулам (4.13) и 110 (4.23), что и для отверстий в тонкой стенке, но со своими размерами коэффициентов скорости ср и расхода р. д л я каждого типа насадка. Насадки изменяют условия протекания струи и тем самым влияют на сжатие, сопротивление, скорость и расход вытекающей струи. Рассмотрим особенности истечения жидкости через различные типы насадков и условия их применения. Внешний цилиндрический насадок (насадок Вентури) имеет длину / = ( 3 - H 4 ) G ? (рис. 4.9). Истечение жидкости через цилин- Рис. 4.8. Типы насадков. Рис. 4.9. Насадок Вентури. дрический насадок существенно отличается от истечения из отверстия в тонкой стенке. Струя жидкости, попадая в насадок, благодаря силам инерции частиц жидкости (например, частиц Mi и М2 на рис. 4.9), сжимается до сечения сос, а затем, проходя через насадок, расширяется и выходит из насадка полным сечением, следовательно, коэффициент сжатия струи 8 = 1. Сужение (сжатие) и расширение струи в насадке являются основной причиной возникновения гидравлических сопротивлений. Этим можно объяснить тот факт, что коэффициент сопротивления цилиндрического насадка £ = 0,5, т. е. почти в десять раз превышает коэффициент сопротивления при истечении жидкости из малого отверстия в тонкой стенке (£ = 0,06). Вместе с тем в сжатом сечении в результате довольно резкого уменьшения диаметра струи внутри насадка давление меньше атмосферного (вакуум) р и за счет разности между этим давлением и, атмосферным р а т насадок подсасывает дополнительный расход жидкости, увеличивая коэффициент расхода и сам. расход. Согласно (4.7), при £ = 0,5 и а = 1 , 0 коэффициент скорости внешнего цилиндрического насадка ср, а следовательно, и коэффициент расхода ц (так как |л = сре, а 8 = 1) равны ср = ц = 0,82. Напомним, что при истечении жидкости из отверстия в тонкой стенке р = 0,62. Таким образом, если присоединить к отверстию ill в тонкой стенке цилиндрический насадок, то расход Q увеличится примерно на 30 % (по отношению к расходу из отверстия в тонкой стенке) при одном и том ж е напоре Я и диаметре отверстия d. Это увеличение расхода воды объясняется наличием .вакуума в насадке и тем, что насадок снижает до минимума степень сжатия выходящей струи. Если трубка насадка будет очень длинной, то эффект увеличения расхода может быть сведен к нулю за счет возрастания путевых потерь. Вместе с тем опасна и другая крайность, если длина насадка недостаточна для того, чтобы струя в нем могла свободно расшириться, то воздух с атмосферным давлением попадает в сжатое сечение струи в насадке, ликвидируя вакуум, и насадок будет работать как отверстие. В связи с этим на основании опытных данных длина насадка должна находиться в пределах -тг 4 ) d < / < — (6 -г- 7) d, где d — диаметр насадка. Внешние цилиндрические насадки Рис. 4.10. Внутренний цилинприменяют тогда, когда необходимо дрический насадок. увеличить расход воды, не изменяя диаметр отверстия. Используются они в плотинах для водоспусков, а также в гидрометрических целях для измерения расходов" воды. (3 Внутренний цилиндрический насадок (насадок Борда) отли- чается от насадка Вентури условиями входа (рис. 4.10). Он представляет собой короткий патрубок, вдвинутый внутрь резервуара. При длине насадка / = ( 3 - b 4 ) d струя вытекает из насадка полным сечением. При истечении жидкости через внутренний цилиндрический насадок имеют место добавочные сопротивления (по сравнению с внешним цилиндрическим насадком) вследствие более сложного пути движения частиц жидкости при попадании из резервуара в насадок. Поэтому коэффициент сопротивления здесь больше, а коэффициенты скорости и расхода меньше по сравнению с насадком Вентури, а именно: £ = 1,0; е = 1,0; м-= ф = 0,7.1. Таким образом, насадок Борда увеличивает расход жидкости, вытекающий из круглого отверстия в тонкой стенке, но несколько меньше, чем насадок Вентури. На практике он применяется тогда, когда необходимо увеличить расход из отверстия, а внешний цилиндрический насадок применить нельзя. Конически сходящийся насадок имеет форму усеченного конуса, сходящегося по направлению к его выходному сечению (см. 112 рис. 4.8в). В конически сходящемся насадке имеет место небольшое уменьшение давления при входе жидкости в него и незначительное сжатие струи при выходе из насадка. Потери напора в этом насадке меньше, чем в цилиндрическом, главным образом за счет уменьшения потерь на входе (меньше угол поворота струй жидкости). Отличительным свойством конически сходящегося насадка является выход струи с большим запасом кинетической энергии. Коэффициенты скорости и расхода зависят от угла конусности насадка © (см. рис. 4.8 в) и имеют относительно большие числовые значения. Опытным путем установлено, что коэффициент расхода м- наибольший при угле конусности © « 1 3 ° . Наилучшие гидравлические показатели конически сходящегося насадка характеризуются следующими значениями: £ = 0,08; е = 0,98; ср = 0,97; (х = 0,95. Наличие струи с большим запасом кинетической энергии, обладающей большой скоростью и дальностью полета, позволяет широко применять конически сходящиеся насадки в соплах гидротурбин и гидромониторов, в пожарных брандспойтах и т. п. Коноидальный насадок имеет плавное очертание входных кромок (см. рис. 4.8 г), близкое по форме к траектории вытекающей струи, благодаря чему обеспечивается плавный вход жидкости в насадок и значительно уменьшается (или вовсе исчезает) сжатие и обратное расширение струи. Сопротивления при входе в насадок незначительны, вследствие чего коэффициенты скорости и расхода велики. Согласно опытным данным, коноидальный насадок имеет £ = 0,06; е = 1,0; \i = ф = 0,97. Коноидальные насадки особенно выгодны с точки зрения увеличения расхода воды. Струя, выходящая из такого насадка, обладает еще большей, чем в конически сходящемся насадке, кинетической энергией. Применяются они в тех же случаях, что и конически сходящиеся насадки. Конически расходящийся насадок имеет форму усеченного конуса, меньшее основание которого присоединено к отверстию в стенке (см. рис. 4.8(3). В противоположность предыдущим, этот насадок гасит кинетическую энергию вытекающей струи. Угол конусности © в таком насадке не должен превышать определенных пределов, так как при очень большом угле © струя не может следовать за стенками насадка, оторвется от них и истечение будет происходить, как через, отверстие в тонкой стенке. По опытным данным угол конусности расходящегося насадка не должен превышать 5—7°. При таком угле © конически расходящийся насадок, работает полным сечением и имеет следующие гидравлические показатели (отнесенные к выходному сечению): £ = 3,75; е = 1,0; р = ф = 0,46. 8 Заказ № 33 113 Высокое значение коэффициента сопротивления £ указывает на большие гидравлические сопротивления при расширении струи в насадке. Конически расходящиеся насадки применяются в тех случаях, когда при большом расходе желательно иметь небольшие выходные скорости, т. е. погасить кинетическую энергию вытекающей струи. Они используются в гидротехнических сооружениях (отводящие трубы турбин ГЭС, трубы — водовыпуски), применяются при устройстве труб под насыпями для .уменьшения скорости и кинетической энергии потока, поступающего в отводящее воду русло. Выходная скорость не должна превышать скорости, определяемой по нормам допустимых скоростей. 4.9. Истечение жидкости при переменном напоре из призматических резервуаров Истечение жидкости через отверстия и насадки при переменном напоре относится к случаю неустановившегося движения, так как при непрерывном изменении (уменьшении или увеличении) напора непрерывно изменяются во времени и все основные характеристики вытекающей струи: скорость, расход, траектория движения. Подобные задачи во- всей их полноте решаются на основе зависимостей неустановившегося движения. Однако, если напор меняется достаточно медленно, то силой инерции жидкости, обусловленной изменением скорости во времени, можно пренебречь ввиду ее малости. Ограничимся рассмотрением нескольких простейших случаев такого движения. Подобные примеры встречаются при вытекании жидкости из баков, бассейнов, резервуаров, камер судоходных шлюзов. Основной задачей в случае расчета истечения жидкости при переменном напоре является определение времени, в течение которого произойдёт понижение или повышение уровня жидкости в резервуаре в каких-либо заданных пределах, в том числе и определение времени полного опорожнения или наполнения резервуара. Возможны два основных случая: и с т е ч е н и е жидкости и з е м к о с т и п р и з м а т и ч е с к о й ф о р м ы , когда площадь поперечного сечения резервуара постоянная (£2 = const по Я ) ; и истечение из емкости непризматической ф о р м ы , когда £2 не остается постоянной при изменении напора воды в резервуаре (£2=^const по Я ) , Истечение жидкости при переменном напоре, так же как и при постоянном, может происходить в атмосферу (случай незатопленного отверстия) и под уровень (случай затопленного отверстия). Кроме того, с точки зрения условий, в которых происходит истечение, различают истечение при постоянном притоке в резервуар, из которого вытекает жидкость, при переменном по времени притоке и без притока. 114 Рассмотрим сначала простейший случай и с т е ч е н и я ж и д к о с т и из е м к о с т и п р и з м а т и ч е с к о й ф о р м ы через малое отверстие в боковой стенке в атмосферу (рис. 4.11). Резервуар имеет постоянную площадь поперечного сечения Q. Предположим, что во время опорожнения резервуара жидкость в него не поступает. Определим время, в течение которого произойдет понижение горизонта воды в резервуаре от начального напора над центром тяжести отверстия, равного Ни до конечного напора Hz. Выше SI = const .ж -эе а? •а В1Л л _L2 -tj ±0 ® Рис. 4.11. Истечение жидкости в атмосферу при переменном напоре из емкости призматической формы (Q=const). Рис. 4.12. Истечение жидкости под уровень при переменном напоре. было установлено, что при постоянном напоре Н расход Q, вытекающий через отверстие с площадью сечения со, определяется по формуле (4.13). Но в рассматриваемом случае напор не остается постоянным, поэтому формулу (4.13) здесь непосредственно применить нельзя. Разобьем весь интервал времени t, в течение которого происходит уменьшение напора от Hi до Н2, на бесконечно малые промежутки dt, в течение которых напор изменяется на бесконечно малую величину dH (см. рис. 4.11); тогда для каждого такого промежутка времени напор можно считать постоянным, а движение жидкости установившимся и применить для Q формулу (4.13). Объем воды, вытекающей из резервуара за время dt, будет равен dW =>co -y/2gH dt, (4.38) где jo, — коэффициент расхода отверстия. С другой стороны, этот же объем равен dW = —QdH; (4.39) знак минус взят здесь потому, что напор уменьшается. 8* 115 Приравнивая (4.38) и (4.39), получим \MS)^2gHdt - .- = —QdH, (4.40) откуда dt=—QdH/(\un'y/2gH). (4.41) Проинтегрируем выражение (4.41) в пределах от Hi до Яг: Нг : я, Г QdH = 2д V / 7 (4.42) щ (.ка V2gH V2g Я2 окончательно будем иметь J = 2Q(V^-V^)/0w>V2i)- . _ (4.43) Полагая в (4.43) Я 2 = 0, получим ф о р м у л у д л я в р е м е н и полного опорожнения резервуара (опорожнение происходит до центра отверстия) • " ' t = 2Q л/Ж/(и© л/2£Х (4-44) или if = 2йНх/(\ш д/2gtf,) = 2W/Q, ' (4.45) где W — объем опорожнения; Q — расход жидкости при начальном напоре Hi. Таким образом, время полного опорожнения резервуара при переменном напоре в два раза больше того времени, которое требуется для вытекания из резервуара жидкости при начальном напоре в количестве, равном первоначальному объему. Отметим, что пользоваться формулой (4.44) в случае истечения через большие незатопленные отверстия нельзя, так как в конечной стадии истечения они работают уже не как отверстия, а как водосливы (см. гл. 8). Рассмотрим случай, когда жидкость вытекает л з отверстия в стенке резервуара не в атмосферу, а под переменный уровень в другом резервуаре (рис. 4.12). Оба резервуара имеют призматическую форму. Обозначим площади поперечных сечений резервуаров 1 и 2 через Qi и Q2. Резервуары соединены короткой трубой с площадью сечения со. В начальный момент времени / н разность уровней равнялась ZH (при напоре в первом резервуаре, равном Hi, и во втором Я 2 ), в конечный момент tK они стзлз. рявной ZrK. Требуется определить время, в течение которого разность уровней воды в резервуарах изменится от ZH до ZK. Рассмотрим изменение уровней и объемов жидкости в резервуарах за бесконечно малый промежуток времени dt. Напор над центром отверстия в резервуаре 1 за время dt изменится на —dHi, а в резервуаре 2 на . + <й/2. Уменьшение объема жидкости за время dt в левом резервуаре будет равно приращению объема 116 жидкости в правом резервуаре и равно количеству жидкости, вытекшей через отверстие с площадью со (расход Q для затопленного истечения находим по формуле (4.23)). —Й1 dHi = Q2 dH2 = цсо ^2gZ dt, (4.46) где Z = Hi — #2, а значит dZ = dHi — dH2. Из равенства (4.46) следует dHi = —9-jdH.,/Qu поэтому = \)dH2 fli dZ и dHz = ЙГ+Й2 Подстановка значения dH% в равенство (4.46) дает Qi Q2dZ —Iко '\j4.gZ Qi + fi2 dt, откуда dt = (G, + Q2) |ш V2gZ ^ (4 Произведя интегрирование (4.47) в пределах от Z<b до jx = const, получим ^_ (VZH — VZK) 47> при ^ (£2i + ^2) цсо V2g Эта формула позволяет определить время, в течение которого разность уровней в резервуарах изменится от некоторой начальной величины до заданной конечной. Если наполнение второго резервуара (например, камеры шлюза) происходит из большого водохранилища (Qi ^ оо) с практически постоянным уровнем, то, разделив числитель и знаменатель (4.48) на £2i, получим для время наполнения выражение * = _ ^ . ( у ^ - л д ; ) . цш V2g (4 49) Если выпуск воды из резервуара (например, камеры шлюза) происходит в водохранилище (£2г = 00) с практически постоянным уровнем, то, разделив в формуле (4.48) числитель и знаменатель на Q 2 , получим формулу для времени опорожнения в виде t = 2Q ' (V^-V^K)ца V2g (4.50) Принимая в выражении (4.48) ZK — 0, получим формулу для определения времени полного выравнивания уровней в двух сообщающихся резервуарах t = 2Q1Q2 V ZH (£2! + fi2) V2g (451) 117 В случае, когда площади поперечных сечений резервуаров >7 и .2 одинаковые (Qi = Q 2 ), формула (4.51) принимает вид t = Q y^/(,ii«y2i). (4.52) Формулы (4.48) — (4.52) имеют большое практическое применение при расчетах опорожнения запасных резервуаров, наполнения и опорожнения камер судоходных шлюзов, при расчете оптимальных размеров колодца и соединительного трубопровода для самописца уровня воды и других водонакопительных сооружений. 4.10. Истечение жидкости из непризматических резервуаров. Определение времени опорожнения и наполнения водохранилищ Рассмотрим истечение жидкости в атмосферу при переменном напоре из резервуара, форма и размеры поперечного сечения которого характеризуются зависимостью где Q— переменная °2 0 = /(Я), площадь сечения резервуара (рис. 4.13). Рис. 4.13. Истечение жидкости в атмосферу при переменном напоре из емкости непризматической формы (Q^const). Допустим, что в этот резервуар поступает'расход воды Q« = M*) и вытекает Q» = f , ( t ) . Если поступающий расход равен вытекающему через отверстие расходу (Qi = Q 2 ), то напор над отверстием не будет изменяться и имеет место установившееся движение; если Qi=^Q2, то резервуар будет или наполняться (при Qi > Q2) или опорожняться (при Q i < Q 2 ) . Предположим, что Qi < Q2 и за некоторый промежуток времени горизонт воды в резервуаре понизился, а напор над центром тяжести отверстия уменьшился от начальной величины Яi до конечной, равной Яг. 118 Составим уравнение баланса воды для бесконечно малого отрезка времени dt. Изменение объема жидкости dW за время dt равно dW — Q2 dt — Qi dt. С другой стороны, эта величина изменения объема равна dW —Qdll, где dH — толщина бесконечно малого слоя (см. рис. 4.13). Приравнивая значения величины dW, запишем уравнение баланса жидкости QdH = (Q, — Q2) dt, (4.53) dt = QdH/(Qi — Q2). (4.54) откуда Мгновенный расход Q2 в (4.54) можно выразить по формуле (4.13), тогда получим dt = Q dH/(Qi - м-to л/2~gH). (4.55) Считая, что моменту времени U соответствует начальный напор Hi, а моменту h — напор Я 2 , проинтегрируем выражение (4.55) при }x = const tl И2 t=\dt= ' (4.56) I \шл/2g н\ Q,/(h«d V2g) - У Я Эта формула является , самой общей для определения времени понижения или повышения уровня жидкости в резервуаре любой формы. Действительно, если предположить, что резервуар имеет призматическую форму, т. е. £2 = const и приток жидкости отсутствует (Qi = 0), то решение интеграла в (4.56) приводит нас к знакомой формуле (4.43). Решение интеграла, входящего в (4.56), в общем виде затруднительно, так как нужно знать форму и размеры резервуара, т. е. вид функции Q = f(H), причем необходимо, чтобы резервуар имел правильную форму, при которой эта функция была бы непрерывная. Кроме того, необходимо знать точную зависимость притекающего расхода от времени, т. е. вид функции Qi = fi{t). Поэтому интеграл в (4.56) решается обычно применительно к частным случаям точно или приближенно, в зависимости от вида функций Q = f (Я) и Q, = f, (t). В практике инженеров гидрологов подобные задачи встречаются при расчете наполнения или опорожнения водохранилищ, служащих для аккумуляции весенних вод перед насыпями, плотинами и т. п. Большинство ,речных водохранилищ относится m к непризматическим резервуарам (рис. 4.14), так как форма горизонтальных сечений £2 целиком зависит от рельефа поверхности речной долины, где образовано водохранилище, и является весьма сложной. Для решения такой задачи необходимо иметь план местности в горизонталях, по которому строится кривая площадей зеркал водохранилища £2= f{H), где £2 —площадь зеркала водохранилища, изменяющаяся в зависимости от изменения напора Я над центром тяжести донного отверстия (см. рис. 4.14). Так как для естественных водохранилищ кривая £2 = f(H) не имеет правильного аналитического выражения, вопрос об опреде- Рис. 4.14. К расчету опорожнения водохранилища. лении времени опорожнения или наполнения водохранилища решается приближенным способом. Воспользуемся выражением (4.56), переписав его в виде t 1 я, Г QdH /4 57ч где в общем случае приток воды в водохранилище Qi задается и гидрографом Qi = fi(0'> — начальный и конечный напоры. Введем обозначения A = Qi/(|j,a>y2g). Заметим, что при значении V' Я > А имеет место опорожнение водохранилища, а при У Я < А— наполнение. Приведем решение задачи об определении времени опорожнения водохранилища по так называемому способу трапеций. При этом будем иметь в виду, что на период опорожнения расход притока принят постоянным, т. е. А — постоянная величина при р,== const. Весь объем опорожнения водохранилища, называемый сливной призмой, разбивается по высоте на п слоев одинаковой толщины А Я. Получаем форму слоя в виде трапеции; отсюда и название метода «суммирование по способу трапеций». Введем следующее обозначение: £2/(УЯ — А) = у.' (4.58) Величину у можем найти для любого значения Я, пользуясь кривой площадей зеркал водохранилища £2 = / ( Я ) . 120 Тогда выражение (4.57), с учетом замены интегрирования суммированием, запишется в-виде п 1 t= 1 + ^ + (4.59) Вынося за знак суммы АЯ/2 и учитывая (4.58), получим формулу для расчета времени опорожнения водохранилища j. _ / Qi , 2Я2 , V л/Щ — А л/Ш-А " ~Г I 2fi{l — 1 I \ (4.60) V Нп-1 — A «jHn-A Если притекающий расход в водохранилище мал по сравнению с вытекающим через отверстие и им можно пренебречь, т. е. .Д-э-0, выражение (4.60) упрощается и принимает вид 2|ла> V2g \ л/Hi л/Н2 Л/Н,г-, УНп ) где ц — коэффициент расхода водопропускного отверстия, назначаемый по справочным данным. Формулы (4.60) и (4.61) дают удовлетворительные результаты для практических целей, если величины АН приняты небольшими. Толщину слоя АН обычно назначают в зависимости от высоты плотины (например, 7 м или 7го высоты плотины) с учетом сложности рельефа дна водохранилища. Изложенный метод расчета опорожнения и наполнения водохранилища носит приближенный характер; он уступает по точности известным балансовым методам, излагаемым в курсе «Водохозяйственные расчеты». Кроме того, здесь никак не учитывается возможность волнового движения воды в пределах водохранилища. Однако его можно использовать для ориентировочных расчетов. / Глава пятая ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В БЕЗНАПРРНОМ ПОТОКЕ 5.1. Предварительные указания В гидравлике часто пользуются термином «гидравлические сопротивления», под которым следует понимать силы трения, возникающие в движущейся жидкости и обусловленные ее вязкостью (молекулярной — в ламинарном потоке и турбулентной, виртуальной— в турбулентном потоке) и изменением формы сечения по длине потока. Гидравлические сопротивления в жидкости вызывают потери напора. Выше в п. 3.14 была получена формула (3.109) 2, I V2 ^ - ^ Т П Г ' устанавливающая зависимость для потерь напора по длине при равномерном установившемся движении жидкости. Рассмотрим ниже, как решается вопрос об определении потерь напора по длине в безнапорном потоке (реки, каналы и трубы, работающие неполным поперечным сечением). Напомним, что безнапорное (или свободное) движение характеризуется наличием свободной поверхности уровня воды, давление во всех точках которой одинаково и равно атмосферному. Основной движущей силой является проекция силы тяжести на направление движения. Следует отметить, что безнапорное движение воды представляет значительно более сложный вид движения по сравнению с напорным. Условия движения в открытых потоках осложняются непостоянством положения свободной поверхности во времени и пространстве, а также тем, что глубина потока, расход и уклон дна, так же как и уклон свободной поверхности, являются взаимозависимыми величинами. Безнапорное движение жидкости может быть равномерным и неравномерным. Равномерное движение может наблюдаться только в канале или лотке с постоянной формой живого сечения и постоянной глубиной или в цилиндрической трубе. В естественных водотоках формы и размеры сечений различны даже для прямолинейных участков, т. е. движение воды в реках всегда является неравномерным. Однако в некоторых случаях на отдельных участках естественных русел, если размер и форма их поперечных сечений, шероховатость, а также уклон дна и уклон свободной поверхности по длине потока почти не изменя- j ются, при постоянном расходе с достаточной степенью точности для целей практики можно условно рассматривать движение воды 122 как равномерное. Кроме того, плавно изменяющееся движение — промежуточная форма между равномерным и неравномерным (см, п. 3.2) часто рассчитывается как равномерное. Таким образом, расчетный аппарат равномерного движения довольно широко используется гидрологами в инженерной деятельности. Отметим, что при рассмотрении более сложных видов безнапорного движения жидкости (неравномерного и неустановившегося) мы также в ряде случаев (в частности, при решении вопроса об учете гидравлических сопротивлений) вынуждены прибегать к использованию формул равномерного движения, иногда вводя в них некоторые коррективы. В зависимость (3.109) для потерь напора hi входит коэффициент гидравлического трения Однако в практике расчетов безнапорного равномерного движения жидкости чаще пользуются скоростным коэффициентом С, входящим в формулу Шези, которую так же, как и зависимость (3.109), можно получить из основного уравнения равномерного движения. 5.2. Вывод формулы Шези: Скоростная и расходная характеристики потока Обратимся еще раз к уравнению (3.102): т / р = gRJ. равномерного движения- Учитывая, что при развитом турбулентном движении жидкости потери напора пропорциональны квадрату средней скорости течения, в п. 3.14 было записано выражение (3.105) в виде Ь2 = gRJ, откуда v = Обозначив AJJjk^jRJ. (5.1) \ -л/Ш = С, (5.2) получим окончательное выражение для средней скорости течения при равномерном движении v = C^RJ. (5.3) Формула (5.3) (с постоянным значением коэффициента С) была впервые получена из исследований французского ученого Шези в 1775 г.; она получила название « ф о р м у л ы Ш е з и » и имеет большое значение в практике расчетов. Коэффициент С, " входящий в (5.3), называется коэффициентом Шези. Размерность С равна корню квадратному из размерности ускорения, согласно (5.2), так как k — безразмерный коэффициент пропорциональности. Из формулы Шези [С] = [о/д/JRT] = L/(TL 0 ' 5 ) = L0,5/T. 123 Здесь J = hfll — величина безразмерная. Первоначально коэффициент С в формуле Шези принимался постоянным (С = 50 м°>5/с). В дальнейшем исследования показали, что величина С изменяется в больших пределах; она зависит от целого ряда факторов, и в первую очередь от шероховатости русла и гидравлического радиуса сечения (или от глубины потока). . Формула Шези широко применяется при расчетах средней скорости движения воды в реках, каналах, лотках и безнапорных трубах (канализационных и дренажных), которые с гидравлической точки зрения представляют собой открытые русла. Применима она и к напорному-движению в трубах, так как при равномерном движении справедливо равенство ( / = / Р ) , т. е. гидравлический уклон равен пьезометрическому. Вместе с тем необходимо всегда помнить, что формула Шези получена для квадратичной области сопротивления в случае установившегося равномерного движения жидкости в руслах так называемого «правильного» поперечного сечения. Выражение для расхода воды при равномерном движении с учетом формулы Шези получает вид Q = wo = аС «JW. (5.4) Установим связь между С и X. Рассмотрение (5.2) и (3.108) показывает, что они являются производными одного и того же коэффициента пропорциональности k, следовательно: . С = У2 Ж (5-5) или, учитывая (3.111), С = д/85/й ' (5.6) Как видно, зная X, легко найти С. Поскольку X является безразмерным коэффициентом, то из (5.5) и (5.6) еще раз получаем подтверждение, что размерность С равна корню квадратному из размерности ускорения. При расчетах удобно бывает пользоваться следующей скоростной характеристикой потока. Разделим в формуле Шези (5.3) левую и правую части на У / : v/^/J = C ^ R = W, (5.7) тогда v = W -у/7. (5.8) Величина W называется модулем скорости или скоростной характеристикой. Из (5.7) следует, что W представляет собой скорость & при / = 1,0. Размерность W та же, что и v. Деля обе части выражения (5.4) на У / , получим Q/УТ — « С д//? = К. 124 (5.9) Величина К называется модулем расхода или расходной характеристикой. Очевидно, модуль расхода К имеет размерность расхода жидкости и представляет собой расход Q при / = 1 , 0 . . Тогда вместо (5.4) получим Q = К д//. (5.10) 5.3. Формулы для определения коэффициента Шези С Коэффициент С, входящий в формулу Шези, играет весьма важную роль в практических расчетах. Для его определения предложено большое количество эмпирических и полуэмпирических формул. Значительное число их носит частный характер, так как получены они на ограниченном лабораторном или натурном материале и потому представляют сейчас лишь исторический интерес. Подробные обзоры существующих формул, их классификации и результаты сопоставлений рассматриваются в ряде специальных отечественных и зарубежных работ. Приведем лишь один пример. В работе советского инженера П. Ф. Горбачева, вышедшей в 1936 г., анализируется свыше 100 различных формул для коэффициента Шези С. С того времени количество формул для С значительно увеличилось, что не является случайным, а связано с многообразием условий движения потока. По-видимому, каждая из формул для определения С в наилучшей степени отвечает тем конкретным условиям течения, для которых она выведена. Остановимся ниже на формулах, которые представляют наибольший исторический интерес,- а также широко применяются в настоящее время в практике расчетов. Формула Гангилье — Куттера. В 1869 г. два Шведских инженера Гангилье и Куттер на основе обработки данных измерений расходов воды в каналах различных типов, а также измерений на многих европейских реках и на р. Миссисипи предложили формулу следующего вида: с ч _ 23 + 0,00155/7 + Мп (5 11) 1 + (23 + 0 , 0 0 1 5 5 / / ) ( г е / У £ ) ' где / — уклон свободной поверхности участка потока, отвечающего условиям равномерного движения; R — гидравлический радиус, м-, п —коэффициент шероховатости, характеризующий шероховатость стенок русла. . . Хотя формула (5.11) кажется громоздкой, она дает вполне удовлетворительные результаты и широко применяется в зарубеж^ной практике расчетов. Гангилье И Куттер составили краткую таблицу численных значений п для стенок русла разной шероховатости. В настоящее время эта таблица значительно расширена и детализирована [36], а для пользования формулой (5.11) составлены специальные номограммы. 125 При / > 0,0005 влияние уклона на коэффициент С незначительное, поэтому формулу (5.11) записывают в сокращенном виде: С = 23 +1/" 1 + 23 п/л/R . к(5.12) ' Из ранних эмпирических формул для коэффициента Шези следует отметить также ф о р м у л у М а н н и н г а (1889 г.), которую обычно записывают в виде (в метрических единицах) С = (1/п)Я' /б . (5.13) Коэффициент шероховатости, входящий в формулу (5.13), назначается по шкале Гангилье и Куттера. Благодаря простоте и достоверности формулой Маннинга широко пользуются для расчета каналов, искусственных водоводов, а иногда и естественных речных русел у нас в стране и за рубежом. Некоторые изменения в эту формулу, касающиеся показателя степени при гидравлическом радиусе, внесли Ф. Ф о р х г е й м е р (1923 г.) и Н. Н. П а в л о в с к и й (1925 г.). Ф о р м у л а Ф о р х г е й м е р а имеет вид С = (l/ti)Rl,s. (5.14) П а в л о в с к и й , проанализировав обширный материал натурных наблюдений (более 300 опытных точек, в основном по движению воды в различных каналах) п р е д л о ж и л о б о б щ е н н у ю ф о р м у л у д л я к о э ф ф и ц и е н т а Шези: C = (l/n)Ry, (5.15) где у — переменный показатель степени, зависящий от гидравлического радиуса R и коэффициента шероховатости п и определяемый по формуле у = 2,5 У » - 0,13 - 0,75 л/R {sjn — 0,10). (5.16) Д л я приближенных расчетов формулу (5.16) Павловский несколько упрощает, придавая показателю у такие значения: ^ при R < 1 м г/=1,5'Уи; (5.17) при R > 1 м г/ = 1,3 У л . (5.18) Как видим, формулы (5.13) и (5.14) являются частными случаями формулы Павловского. Формулу (5.15) Павловский рекомендовал для расчета открытых русел , при 0,1 м ^ R ^ 3,0 м и для значений п от 0,011 до 0,04. Иногда при предварительных расчетах эту формулу, так же как формулы Маннинга и Форхгеймера, экстраполируют до # = 5 , 0 м. Для назначения коэффициента шероховатости п Павловским составлена специальная таблица (см. п. 5.4).' 126 Непосредственное использование формул (5.15) и (5.16) в инженерных расчетах встречается редко, так как для них имеются номограммы (рис. 5.1) и таблицы (см. табл. 1 приложения). С 1949 г. в практике гидравлических расчетов, наряду с формулами степенного типа для С Маннинга и Павловского, стала с Павловского. применяться полуэмпирическая формула логарифмического типа, чаще всего именуемая ф о р м у л о й А г р о с к и н а : С = Цп+ 17,72 lg Я, (5.19) где 17,72 = 4 V2g; R — в м. Формула (5.19) увязана с детальной шкалой коэффициентов шероховатости п Гангилье и Куттера и рекомендована для расчета открытых искусственных каналов. В 1965 г. И. И. А г р о с к и н и Д. В. Ш т е р е н л и х т предложили уточненное выражение формулы (5.19), желая привести ее в большее соответствие с формулой Павловского: С = 1 / я + (27,5-300га) l g # . (5.20) Формула (5.20) при R< 5 м и яг^0,020 дает значения С, меньшие на 1—2%, чем формула Павловского, а пользоваться этой формулой значительно проще, чем формулой (5.15). 127 Аналогичную формулу для значений 5 <1 R <С 10 м предложил В. Г. 'Г а л м а з а по результатам обработки большого числа натурных измерений в реках и каналах: ' С = 1/п + (21 — ЮОге) lg h, (5.21) где h — средняя глубина потока, м. В 1968 г. Г. В. Ж е л е з н я к о в , исходя из логарифмического закона распределения скоростей, предложил обобщенную формулу для коэффициента Шези: C-=-i-[.l/i-(Vi/0,13)(l-lg/?)] + л / ^ Е1 + — ( V i / o , 13) (1 —ig/?)] 2 + .(Vff/Q,iB)(i/n + л/MigR), (5.22) где п — тот же коэффициент, что и в формулах (5.11) — (5.21). Формула (5.22) в отличие от других формул справедлива в большом диапазоне глубин потока и коэффициентов шероховатости. Сложный вид формулы не является препятствием для ее практического применения, так как по ней составлена таблица (см. табл. 2 приложения). Значения С, найденные по формуле Железнякова, при R < 5 м на ± 3 — 5 % отличаются от значений, вычисленных по формуле Павловского, а при R > 5 м они полностью совпадают со значениями, определенными по формуле Талмазы. Надо подчеркнуть, что все приведенные эмпирические и полуэмпирические формулы для коэффициента Шези относятся к равномерному движению воды в области квадратичного закона сопротивления и являются приближенными. 5.4. Коэффициент шероховатости Во все рассмотренные выше формулы для С входит коэффициент шероховатости п, который устанавливается по таблицам на основании, как правило, описательных (а не количественных) характеристик поверхности русла. Отметим наиболее интересные и применяемые в практике расчетов таблицы. Таблица значений коэффициента шероховатости п по Н. Н. Павловскому (см. табл. 3 приложения) содержит 16 категорий поверхностей. Значения п изменяются в ней от 0,009 для гладких поверхностей, покрытых эмалью или глазурью, до значения 0,04, соответствующего каналам и рекам в исключительно плохих условиях. Однако сам Павловский отмечал, что на значение п, равное 0,04, не следует смотреть, как на предельное. Эта таблица рекомендована для ориентировочных расчетов искусственных и естественных русел. Д л я уточненных расчетов обычно пользуются специальными таблицами значений коэффициента 128 шероховатости, составленными для определенных типов искусственных водотоков или естественных русел. В Советском Союзе наибольшее распространение в практике гидрологических расчетов получили таблицы М. Ф. Срибного, составленные отдельно для равнинных и горных рек (см. табл. -4 приложения). В каждой из них содержится по 12 категорий 1 характеристик русла и поймы со значениями п, изменяющимися от 0,020 до 0,200. Наряду с описанием характеристики русла в таблице для горных рек и периодических водотоков для большинства категорий указывается гидравлический уклон J. В зарубежной практике широко используется таблица коэффициента шероховатости В. Т. Чоу [38]. Она представляет собой обобщение имеющихся в США данных различных авторов и иллюстрирована фотографиями русел рек и каналов. Раздел этой таблицы по естественным водотокам включает отдельно малые, большие и пойменные потоки, которые подразделяются на ряд категорий (см. табл. 5 приложения). Д л я всех категорий русел даны нормальные (средние), минимальные и> максимальные значения п, изменяющиеся от 0,025 до 0,16. Во многом близка к этой таблице шкала коэффициентов шероховатости Д ж . Бредли, также известная в нашей стране и за рубежом. Кроме таблиц обобщающего характера Павловского, Срибного и Чоу, широко используемых в практике инженерных расчетов, известны таблицы коэффициента шероховатости, составленные для определенных условий протекания потоков. Это таблицы Б. В. Поляков для равнинных рек, Н. М. Носова для горных водотоков, JI. А. Васильевой для пойм больших рек, С. X. Абальянца для каналов в земляном русле и др. Проанализировав различные таблицы для п, И. Ф. Карасев [20] пришел к выводу, что в некоторых своих частях они излишне подробны и содержат перекрывающиеся признаки. Шкала шероховатости речных русел и пойм (см. табл. 6 приложения), предложенная им сравнительно недавно, содержит разделы: равнинные, полугорные и горные реки, поймы. Она разработана на основе данных Срибного, Чоу и Бредли, а также результатов полевых наблюдений отдела гидрометрии ГГИ на участках речных пойм. Всего установлено 10 опорных (реперных, по" терминологии Карасева) значений коэффициента шероховатости я, изменяющихся от 0,020 до 0,200. Приведенная шкала шероховатости этой таблицы соответствует относительно широким и прямолинейным руслам. При назначении коэффициента шероховатости п по таблицам необходимо учитывать, что значение его носит условный характер и результаты расчетов будут отличаться от фактических данных. Выбор значения п равносилен определению сопротивления течению, природа. которого на современном этапе знаний остается не 1 В литературе чаще приводится сокращенный вариант этих таблиц, включающий всего 9 категорий поверхностей. 9 Заказ № 33 129 выясненной. Известно, что значения коэффициента шероховатости весьма изменчивы и зависят от большого числа факторов, которые далеко не всегда учитываются в таблицах. Рассмотрим влияние лишь некоторых наиболее существенных факторов на значения коэффициента шероховатости как искусственных, так и естественных водотоков. 1. Ш е р о х о в а т о с т ь поверхности, характеризуемая формой, размерами и порядком размещения зерен материала, слагающего русло по смоченному периметру и оказывающего тормозящее воздействие на поток. Этот фактор нередко рассматривается как единственный при выборе коэффициента шероховатости, но в действительности он является одним из многих важных факторов. 2. Р а с т и т е л ь н о с т ь можно рассматривать как разновидность шероховатости поверхности. Она уменьшает пропускную способность русла и тормозит движение. Действие ее зависит главным образом от высоты, густоты и типа растений. Вследствие сезонного роста растительности в русле и на берегах могут быть сезонные изменения п. Значение коэффициента п увеличивается в вегетационный период и уменьшается в период отмирания растений. 3. П р е п я т с т в и я . Наличие нагромождений валунов, корней, крупные камни, мостовые устои и другие препятствия обусловливают увеличение значений п. Степень увеличения зависит от вида препятствий, их размеров, формы, числа и размещения в русле. 4. Н е о д н о р о д н о с т ь размеров и формы русла п о д л и н е . В естественных руслах такая неоднородность связана с меандрированием рек. Вообще говоря, плавное искривление с большим радиусом кривизны дает относительно низкое значение п, в то время, как резкое искривление со многими меандрами увеличивает значение п. ' ~ Искривление русла, в свою очередь, способствует отложению наносов на дне потока, что ведет к образованию песчаных отмелей и гряд, вследствие чего увеличивается шероховатость. При этом значения п возрастают. 5. У р о в е н ь и р а с х о д . В большинстве случаев увеличение расхода и подъем уровня влечет за собой уменьшение значения п. Это связано с тем, что при низких уровнях шероховатость поверхности и изменения профиля русла потока более ощутимы, чем при высоких отметках. " ,' ч Однако значения п могут и возрастать с повышением уровня; когда расход очень велик, поток может выйти из главного русла, и часть его будет двигаться по пойме. Значения п для поймы обычно больше, чем для главного русла, так как в период ме- I жени пойма зарастает травой и кустарником, а в период паводка на пойму выносится много обломочного материала, крупные ва- j луны, корни деревьев, которые остаются на ней после спада уровня. Значение коэффициента п для поймы зависит от состояния поверхности поймы и растительности. 130 6. В з в е ш е н н ы е и д о н н ы е н а н о с ы являются потребителями энергии потока и обусловливают своим наличием дополнительные к обычным потери напора (энергии), увеличивая русловую шероховатость. Значения коэффициента шероховатости при этом возрастают. 7. Л е д я н о й п о к р о в . Русла рек и каналов в зимнее время года покрываются льдом. При этом нижняя поверхность ледяного покрова является для потока добавочным сопротивлением с коэффициентом шероховатости, отличным от дна и берегов русла. Средние значения коэффициента шероховатости нижней поверхности ледяного покрова я л рек и каналов по данным П. Н. Белоконя приведены в табл. 7 приложения. Эти значения пл относятся к моменту образования ледостава. Непосредственно после замерзания реки шероховатость ледяного покрова создается смерзшимися отдельностями в виде мелких льдин и комьев шуги. На нижней поверхности льда часто обнаруживается волнистый рельеф, напоминающий грядовые формы дна и в какой-то степени отражающий их. Под воздействием течения поверхность льда становится в'се более обтекаемой, и ее шероховатость уменьшается. Ввиду чрезвычайно большого разнообразия естественных русел, в которых коэффициенты шероховатости изменяются для одного и того ж е участка в зависимости от наполнения русла, фазы режима, сезона и других факторов, при выполнении инженерных расчетов рекомендуется поступать следующим образом. Д л я определения коэффициента Шези С естественного водотока предпочтительнее пользоваться коэффициентами шероховатости, полученными в результате полевых гидрологических исследований для данного участка реки при наполнении русла, наиболее близком к проектному. В случае отсутствия таких исследований для данного участка можно воспользоваться подобными данными по другим участкам реки или на других реках, находящихся в условиях, аналогичных с рассматриваемым участком. Если и такие данные отсутствуют, тогда рекомендуется пользоваться таблицами для коэффициента -^шероховатости п и специальными указаниями по выбору коэффициентов шероховатости. 5.5. Понятия о гидравлически гладких и шероховатых стенках. Графики Никурадзе и З е г ж д а Гидравлические сопротивления, возникающие в потоке движущейся жидкости, тесно связаны со скоростным полем. Зная закон распределения скоростей по живому сечению потока, можно получить выражение для коэффициента гидравлического трения X, а от него по (5.5) или (5.6) перейти к коэффициенту Шези С. Первая удачная попытка теоретического подхода к исследованию турбулентного течения в трубах принадлежит немецким физикам Прандтлю и Карману. В 30-х годах нашего столетия они разработали полуэмпирическую теорию турбулентности, в основу 9* 131 которой была положена модель (схема) Прандтля, которая заключается в разделении турбулентного потока на две области: турбулентное ядро течения и ламинарный подслой (рис. 5.2). Согласно исследованиям Прандтля, в турбулентном потоке скорость движения жидких частиц непосредственно у стенки равна нулю. В соответствии с этим принято считать, что вблизи стенок русла имеется тонкий слой жидкости толщиной 6М, где скорости столь малы, что в пределах этого слоя получается движение жид- j а ш VTrfymTfmn77777777l СО Рис. 5.2. Схема турбулентного потока Прандтля. Рис. 5.3. э гЛ э э / / / / / / / / / / / • / / / / / / Гладкие (а) и шероховатые стенки. (б) кости, близкое к ламинарному. Этот слой называется вязким подслоем. Толщина его измеряется обычно долями миллиметра (на рисунке она сильно преувеличина). Между турбулентным ядром потока и вязким подслоем имеется тонкий переходный участок, в пределах которого пульсации скоростей резко снижаются. С вязким подслоем связываются понятия гидравлически гладких и шероховатых стенок (рис. 5J3). При наличии схемы «а» выступы шероховатости высотой k покрываются (сглаживаются) вязким подслоем ( 6 ц > & ) , причем получаем так называемые гладкие стенки (иногда говорят «гидравлически гладкие» стенки). В этом случае потери напора по длине оказываются не зависящими от шероховатости стенок русла. При наличии схемы «б» выступы шероховатости не покрываются полностью вязким подслоем ( б р , < й ) ; эти выступы «вклиниваются» (как отдельные «бугорки») в турбулентное ядро потока; при этом обтекание выступов шероховатости происходит с отрывом струи от них. Такие стенки называются «гидравлически шероховатыми». Потери напора по длине в этом случае зависят от шероховатости стенок русла. Особыми исследованиями было установлено, что толщина вязкого подслоя б у, уменьшается с увеличением числа Рейнольдса Re. Отсюда вытекает следующий важный в практическом отношении вывод, что понятия гладкой и шероховатой стенок являются понятиями относительными: одна и та же стенка в одних условиях (при малых Re) может быть гладкой, в других же условиях (при больших Re) может быть шероховатой. Исходя из воображаемой модели потока, Прандтль получил л о г а р и ф м и ч е с к и й з а к о н распределения скоростей по жи132 вому сечению круглоцилиндрической напорной трубы и установил следующие зависимости для коэффициента гидравлического трения: ^ а) для гидравлически гладких труб 1 ' / У Г = А + B\g{Re УД- б) для вполне шероховатых труб l/^/X = A' + B'\g(rlk), (5.23) (5.24) где г — радиус трубы; А, В, А', В' — эмпирические коэффициенты; k — размер выступов шероховатости. Формулы (5.23) и (5.24) были подтверждены опытами немецкого ученого И. Н и к у р а д з е (в 1933 г.) на гладких трубах и трубах с и с к у с с т в е н н о й равномерно зернистой шероховатостью с целью установления зависимости X = f (Re, г)k), (5.25) где r/k носит название «относительной гладкости»;n это величина обратная так называемой «относительной шероховатости» k/r. Д л я создания искусственной зернистой шероховатости Никурадзе использовал песок различной крупности, который с максимально возможной плотностью наклеивался на внутреннюю поверхность труб. З а высоту выступов шероховатости k принималась средняя крупность песка. Результаты исследования Никурадзе изобразил на графике (рис. 5.4), все поле которого можно разбить на три зоны: Зона I — зона ламинарного режима; здесь опытные точки, соответствующие различным значениям rjk группируются вдоль прямой линии, построенной по уравнению (3.51) (прямая 1—1 на рис. 5.4). Величины Re<i = ud/v относительно малы, менее 2400 (lg 2400 = 3,4), и коэффициент гидравлического трения не зависит от шероховатости, а зависит только от числа Рейнольдса потока. Зона II — зона неустойчивого (переходного) режима; она за- нимает на графике то место, где опытные точки, соответствующие различной шероховатости, после разрушения ламинарного режима образуют некоторый разброс. Внутри этой зоны происходит переход ламинарного режима в турбулентный и, наоборот, турбулентного режима в ламинарный. В связи с этим данная зона иногда называется зоной перемежающейся турбулентности. ' Зона III — зона турбулентного режима. Д а н н а я зона в свою очередь разбивается на три области. 1. « О б л а с т ь г л а д к и х р у с е л » ; она представлена на гра- фике отрезком прямой 2—2, переходящей при числах Рейнольдса Red > 1 0 0 0 0 0 (lg 100 000 = 5,0) в криволинейную зависимость. Отметим, что еще в 1913 г. Б л а з и у с на основании обработки •многочисленных опытов по исследованию движения жидкости в круглых гладких трубах при числах Re<j от 4000 до 100 000 установил эмпирическую зависимость ). = 0,31fiRe/- 2 5 . (5.26) 33 2. « О б л а с т ь доквадратичного сопротивления шероховатых русел»; эта область лежит между прямой 2—2 и линией АВ. Из графика видно, что для данной области коэффициент гидравлического трения зависит как от числа Рейнольдса, так и от относительной гладкости (5.25). ЩЮОЛ) f,o 0,8 0,6 ол "'*2,В 3,0 3,4- 3,8 4,2 4,6 5,0 5,4 l g Re Рис. 5.4. График Никурадзе. С прямой 2—2, соответствующей области гидравлически гладких труб, точки сходят тем раньше (при меньших значениях чисел Re), чем меньше относительная гладкость r/k (или чем больше относительная шероховатость k/r). Физическая сущность этого явления согласуется с отмеченной ранее относительностью самих понятий «гидравлически, гладких» и «шероховатых» стенок. 3. « О б л а с т ь квадратично,го сопротивления шероховатых русел» (иногда ее называют «областью вполне развитого турбулентного движения» или автомодельной областью); эта область располагается на графике правее линии АВ, намеченной пунктиром по точкам перехода криволинейных зависимостей в прямые линии. Из графика видно, что при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса остается лишь зависимость коэффициента гидравлического трения от относительной гладкости X = f (r/k); (5.27) зависимость же от Re практически выпадает и мы имеем здесь к в а д р а т и ч н ы й з а к о н с о п р о т и в л е н и я (потеря напора. 134 •прямо пропорциональна, квадрату скорости). Сделаем и такой в а ж н ы й в практическом отношении вывод: чем меньше относительная гладкость r/k, тем раньше наступает независимость .коэффициента трения X от числа Re, т. е. квадратичный закон сопротивления. Никурадзе, проанализировав опытные д а н н ы е ' в области квадратичного сопротивления, установил значения числовых коэффициентов А' и В' в формуле (5.24) и получил зависимость для коэффициента гидравлического трения X д л я труб с искусственной равномерно зернистой шероховатостью: l/y5C = 2 1 g ( r / * ) + l , 7 4 . (5.28) С целью проверки возможного перенесения зависимостей, установленных д л я труб (напорное движение), на потоки с открытой свободной поверхностью (безнапорные) были проведены аналогичные исследования советским ученым А. П. Зегжда. В теоретическом и практическом отношении было важно знать, можно ли д л я безнапорных потоков установить зависимость типа (5.25), аналогичную напорным потокам. В 1938 г. З е г ж д а опубликовал результаты исследований, проведенных в лотках прямоугольной формы сечения при гладком и шероховатом русле [16]. Изменяя уклон, глубину и ширину потока, с одной стороны, и размер зерен шероховатости (диаметр зерен песка от 0,35 до 4,2 мм) — с другой, З е г ж д а смог охватить опытами широкий диапазон чисел Рейнольдса — от 400 до 63 000. Относительная гладкость R/k изменялась от 5 до 80. Д л я сравнения с опытами Никурадзе, относившего шероховатость к радиусу трубы, эти цифры надо увеличить в 2 раза в соответствии с известным соотношением # = d/4 = r /2. (5.29) Материалы исследований, нанесенные на график в координат а х lg 103А, и lg Re (рис. 5.5), дают семейство кривых, аналогичных рассмотренному выше графику Никурадзе. Анализ графика З е г ж д а показывает, что и в открытых потоках имеются те ж е зоны режимов движения и те ж е области сопротивлений, что и в трубах, т. е. сохраняются установленные опытами Никурадзе закономерности для коэффициента гидравлического трения X. С некоторой осторожностью по графику можно наметить нижнее критическое число Рейнольдса - ReK = 9 0 0 + 1000, где Re = vR/v. (5.30) В а ж н о отметить, что сходство графиков Никурадзе и З е г ж д а не ограничивается лишь качественной стороной; они хорошо совпадают и в количественном отношении. По данным Зегжда, для квадратичной области сопротивления (область, л е ж а щ а я правее линии АВ на рис. 5.5) при равномерно 135 зернистой шероховатости имеет место следующая зависимость для коэффициента гидравлического трения: l / y x = 4 1 g ( £ / / j ) + 4,25. (5.31) Формула Никурадзе (5.28) с учетом выражений (3.111) и (5.29) может быть приведена к виду 1 AY/A/ = 4..1g (R/k) + 4,68. (5.32) Действительно, мы видим хорошее количественное совпадение зависимостей (5.31) и (5.32). циоооъ) ' . После Зегжда экспериментальным изучением закономерностей гидравлических сопротивлений занимался ряд отечественных и зарубежных исследователей (О. М. Айвазян, П. И. ГорДиенко, В. С. Кнороз, В. Р. Лозанский, А. А. Маастик, М. М. Овчинников, И, А. Родионов, А. П. Сидоров, А. Я. Слободкин, С. А. Яхонтов, Р. Пауэл, Е. Марки и др.). В основном положения Зегжда получили подтверждение,- Однако высказываются и некоторые сомнения. Это относится в основном к той области графика Зегжда, где опытные данные либо вообще отсутствуют, либо их недостаточно. Так, в области малых значений относительной гладкости (при R/k < 10) опытных точек на графике (см. рис. 5.5) явно мало и горизонтальные прямые проведены по аналогии с прямыми для значений R/k > 10. Несмотря на это, график Зегжда до сих пор не потерял своего большого практического значения и широко используется при расчетах, связанных с моделированием гидравлических явлений. Формул логарифмического вида для области квадратичного сопротивления, подобных формулам (5.31) и (5.32), в литературе не мало. Они могут отличаться числовым коэффициентом, 136 свободным членом или содержать дополнительные слагаемые. Сопоставление, анализ и использование их ь практике расчетов встречает затруднения, связанные с учетом реальной шероховатости русел; нет единства д а ж е в терминологии и обозначениях характеристик шероховатости. При геометрическом способе оценки шероховатости важное значение приобретает вопрос о назначении плоскости отс ч е т а г л у б и н (выборе г и д р а в л и ч е с к о г о дна пот о к а ) , на что указывается в работах Г. В. Железнякова [14], К. В. Гришанина [10], А. Л. Радюка [31], В. И. Полтавцева и В. А. Соколовой [29] и др. Заслуживает внимания предложение о взаимосвязанном назначении расчетной высоты выступов шерохов.атости и положения гидравлического дна, причем, по мнению Железнякова, целесообразно решать эту задачу на статистической основе. Для описания типов шероховатых поверхностей часто используют понятие эквивалентной шероховатости k3, которая является условной величиной и устанавливается по данным гидравлических испытаний из определенного в опытах коэффициента гидравлического трения и формулы Никурадзе (5.28). 5.6. Замечания о применимости формул для С и х В практике инженерных расчетов обычно сталкиваются с квадратичной областью сопротивления, когда поток воды имеет достаточно большую скорость и число Рейнольдса получается т а к ж е достаточно большим. И д а ж е тогда, когда мы получаем доквадратичную область сопротивления, практические расчеты все ж е ведут по зависимостям, относящимся к квадратичной области. Это объясняется тем, что расчет для области квадратичного сопротивления является значительно более простым, чем для области доквадратичного сопротивления. Действительно, как показали опыты Никурадзе и Зегжда, для доквадратичной области коэффициент гидравлического трения X (а следовательно, и таэффициент Шези С) зависит от Re, а значит, и от скорости v, которая часто заранее неизвестна. В связи с этим задачи для доквадратичной области обычно приходится решать путем подбора или методом последовательного приближения, что не совсем удобно. • Отметим несколько формул, которые позволяют выполнять расчеты для доквадратичной области непосредственно, без подбора. Остановимся только на решениях для открытых русел. К числу таких формул принадлежит, например, так называемая полная формула Гангилье—Куттера (5.11); согласно этой формуле величина С оказывается зависящей не только от R и п, но и от гидравлического уклона J. А. Д. А л ь т ш у л ь , используя некоторые полуэмпирические зависимости, предложил для открытых русел обобщенную 137 ф о р м у л у , действительную для квадратичной и для доквадратичной областей сопротивления, а также для области гладких русел: Г . * (5.33) где R — в м. Эта зависимость при больших значениях RJ (квадратичная область) оказывается аналогичной формуле Маннинга; при малых же RJ и малых значениях коэффициента п (гладкие русла) она дает результаты, близкие к тем, которые получаются по формуле Рис. 5.6. Различные режимы проявления шероховатости по модели И. К. Никитина. Блазиуса. Значения коэффициента п, входящего в (5.33), можно брать из таблиц, приведенных в п. 5.4. Изучение скоростной структуры турбулентного потока методом микрофотосъемки позволило И. К. Н и к и т и н у по-новому подойти к решению вопроса об учете гидравлических сопротивлений. Физическая двухслойная модель течения вблизи шероховатой стенки была разработана Никитиным в начале 60-х годов, главным образом на основе данных лабораторных опытов [26]. В основу модели положен экспериментально установленный факт существования пристенного подслоя б с линейным распределением скоростей, плавно сопрягающийся с логарифмическим профилем турбулентного ядра. Рассмотрим модель течения вблизи шероховатой стенки при различных режимах проявления шероховатости, предложенную Никитиным (рис. 5.6). На режиме гидравлически гладкой стенки (см. рис. 5.6 а) пристенный подслой 8 является обычным вязким подслоем б й , несмотря на то, что эффективная высота выступов шероховатости может составлять до 4 / 4 толщины 6. Выступы шероховатости находятся внутри вязкого подслоя, обтекание их характеризуется малыми числами Re, и движение при этом режиме практически не отличается от течения у физически гладкой стенки. С увеличением средней скорости потока толщина вязкого подслоя бц уменьшается, а скорость в нем возрастает. В начальной 138 стадии переходного режима (см. рис. 5.6 6) в верхней части пристенного подслоя б возникает область турбулентного течения. В нижней сохраняется слой вязкого движения с утопленными в него выступами, вершины которых находятся все еще ниже границы бц. На заключительной стадии переходного режима толщина 6 ц начинает резко уменьшаться, выступы выходят в турбулентную область пристенного подслоя б, граница которого постепенно приближается к их вершинам. В режиме с полным проявлением шероховатости (см. рис. 5.6в) вязкий подслой бц уменьшается до размеров пленки, обволакивающей выступы, рельефа дна. Движение в пристенном подслое становится турбулентным и при дальнейшем увеличении числа Re картина движения вблизи выступов шероховатости больше не меняется. Как отмечает сам Никитин [26], его универсальную двухслойную модель турбулентного движения не следует противопоставлять схеме Прандтля, а следует рассматривать ее, как уточнение движения в пристенных слоях. Двухслойную модель потока Никитин использовал для получения универсальной зависимости для коэффициента гидравлического трения X, справедливой для всех режимов проявления шероховатости, от гидравлически гладкого до режима с квадратичным законом сопротивления включительно: l / V x = 4,61g (Я/6)+ 4,01. (5.34) Введением в формулу (5.34) величины б в интегральной форме учитывается влияние на поток шероховатости поверхности и форм ее проявления. Никитиным разработана специальная методика д л я определения толщины пристенного подслоя б. Как видно, в расчетные формулы для С или X может входить либо геометрическая характеристика, шероховатости поверхности {k, k9 или б ) , либо условный коэффициент шероховатости п, в отношении которого мы имеем значительно более обширные экспериментальные данные, чем в отношении величины k. Поэтому весьма важно установить связь между этими параметрами. Д л я этой цели наиболее удобны формулы для С степенного вида: C = C0(Rlk)y, (5.35) где Со — числовой коэффициент и у, в общем случае, переменные величины. Некоторые авторы значения Со и у принимают постоянными, а формулы типа (5.35) могут быть получены из логарифмических формул путем их аппроксимаций для квадратичной области сопротивления. 1 [26]. Более общий вид этой зависимости приводится в работе И. К- Никитина 139 Так, например, принимая по Гончарову Со=22,2 м1/а/с и что. совпадает с величиной показателя степени у R в формуле Маннинга (5.13), получаем ' А = (22,2 п)\ (5.36) где А —расчетная высота выступов шероховатости; по Альтшулю, принимая Со = 25 м'/г/с и у = 7е, имеем k3 = (25и)6, (5.37) где kg — эквивалентная шероховатость; по Штриклеру, при Со = = 21 м'/2/с и у = 1 / в к'э = (21/г)6, (5.38) где под k' понимается медианный диаметр частиц грунта, слагающих русло потока. В заключение отметим, что на протяжении длительного времени ведутся исследования с целью получения для рек и земляных каналов формул для коэффициента Шези С, не содержащих характеристик шероховатости. В основе таких поисков лежит высказывание М. А. Великанова о существовании специфической взаймоуправляемости русловых потоков. В реках и земляных каналах ширина, глубина, уклон и крупность донных отложений находятся в определенной зависимости друг с другом и какое-либо изменение одной из морфометрических характеристик ведет к перестройке русла. Как Отмечает Г. В. Железняков [14], «русловой поток отличается способностью создавать и управлять шероховатостью своего подвижного дна». Наиболее типичные - формулы этой группы имеют вид С = Ак%Гх, . (5.39) где А — некоторый числовой коэффициент; причем в отдельных случаях показатель степени при средней глубине /гср очень мал, ъ.у иногда равен нулю, и, следовательно, тогда остается обратная зависимость коэффициента С только от уклона водной поверхности J. Формул вида (5.39) довольно много, но широкого распространения они пока не получили, так как устанавливаются на основе данных натурных измерений и, как правило, имеют-ограниченный предел применимости. 5.7. Основные типы задач при гидравлическом расчете рек и каналов Рассмотрим основные типы задач при гидравлических расчетах рек и каналов с применением формулы Шези (5.4). Наметим здесь лишь схемы расчета. Некоторые дополнительные сведения о решении такого рода вопросов будут рассмотрены далее. 140 Задачи на определение пропускной способности рурла реки или канала : . . • • „ З а д а ч а 1. Даны размеры живого сечения (со), уклон дна (при равномерном движении / = /) и коэффициент шероховатости п. Требуется найти расход воды в русле Qr Ход решения задачи: 1) зная все размеры живоцр сечения, находим площадь сечения и длину смоченного периметра 2) находим гидравлический радиус7? = со/%; 3) зная R и п, по данным п. 5.3 и 5.6 находим С; 4) зная со, R и С, по формуле (5.4) находим расход Q: Этот тип задач очень часто встречается в практике инженеров-гидрологов; но нередко решение их осложняется тем, что при заданной отметке уровня воды неизвестным оказывается коэффициент п. Задачи на определение коэффициента шероховатости п (или эквивалентной шероховатости £э) З а д а ч а 2, Даны размеры живого сечения (со), уклон дна или уклон свободной поверхности J и расход воды Q при заданной отметке уровня воды. Требуется найти коэффициент шероховатости п (или эквивалентную шероховатость ka) русла водотока. Ход решения задачи: 1) зная размеры живого сечения, находим со и х; 2) находим R; 3) зная со, R, / , Q, находим из формулы (5.4) коэффициент Шези C = Q/(соУ^О; ' (5.40) 4) зная С, по одной из зависимостей, приводимых в • п. 5.3 и 5.6, находим п или kg. Задачи подобного типа решаются как в лабораториях, так и в натурных условиях. Например, требуется экспериментальным путем в лабораторных условиях установить коэффициент шероховатости п или найти эквивалентную шероховатость k3 для какого-то ранее не исследованного типа искусственной шероховатой поверхности, которую предполагается использовать для облицовки русла канала, лотка или безнапорной трубы. Д л я естественных русел часто бывает необходимо рассчитать максимальный расход воды QMaitc, который не был измерен в реке; известны только метки высоких вод, позволяющие установить уклон свободной поверхности. Но мы при этом располагаем расходом воды Q, измеренным в том же створе при более низкой отметке уровня воды. Тогда можно для измеренного расхода Q рассчитать значение п (решить задачу второго типа) и с некоторой осторожностью проэкстраполировать его до максимальной отметки уровня, а далее решать уже задачу первого типа на определение пропускной способности русла. -141 Задачи на определение уклона дна водотока З а д а ч а 3. Даны размеры живого сечения (со), расход воды и коэффициент шероховатости п. Требуется найти уклон дна i (или уклон свободной поверхности / ) . Ход решения задачи: 1) так же, как и выше, находим со, х, R и С; 2) зная Q, со, С, R, по формуле (5.4) находим уклон / = i = Q 2 /(CO 2 C 2 /?) (5.41) или, с учетом формулы (5.9), перепишем (5.41) в виде / = Q2/K2, (5.42) где К — модуль расхода. Задачи такого типа часто решаются при проектировании искусственных водотоков. Требуется рассчитать, какой уклон придать дну водотока, чтобы в заданных условиях он пропустил необходимый расход воды Q. При проектировании и расчете каналов и особенно лотков с большим продольным уклоном или, наоборот, очень малым необходимо учитывать, с какой скоростью течения заданный расход проходит по руслу. Слишком большие скорости вызовут размыв и разрушение канала и, наоборот, скорости ниже некоторого предела приведут к отложению в русле водотока взвешенных в воде наносов и постепенному его заилению. В этом случае удобнее пользоваться уравнением вида ; = v2/(C2R), (5.43) где v — средняя скорость течения. Верхняя граница допускаемых скоростей иМако — максимальная допускаемая скорость при равномерном движении воды (эту скорость называют также максимальной неразмывающей скоростью) зависит от характера материала ложа русла и способности противостоять размыву. Значения этих скоростей для различных материалов и естественных грунтов приводятся в соответствующих справочниках [35, 36] и СНиПах. Нижняя граница допускаемых скоростей vMim — минимальная допускаемая скорость (эту скорость называют также минимальной незаиляющей скоростью) не зависит от материала русла, а зависит от количества и размеров взвешенных наносов. Минимальные допустимые скорости назначаются по нормативным и справочным материалам и более детально рассматриваются в специальных курсах. Ограничиваясь здесь самыми общими рекомендациями, отметим, что при проектировании искусственных водотоков необходимо стремиться к тому, чтобы средняя скорость течения находилась в интервале между допустимыми скоростями, с одной стороны, на заиление и, с другой — на размыв, т. е. ^макс ^ ^ ^ ^мин* -142 Заметим, что устойчивость аллювиального русла в значительной степени зависит не столько от значения принятой скорости, сколько от соотношения между фактическим расходом наносов и транспортирующей способности потока. Однако этот вопрос выходит за рамки данного учебника; он излагается в курсах динамики русловых потоков [4, 8, 10 и др.]. Задачи на определение геометрических размеров живого сечения водотока В задачах этого типа, решаемых при проектировании искусственных водотоков, необходимо прежде всего выбрать форму поперечного сечения, которая назначается в зависимости от типа водотока (канал, лоток, безнапорная труба или туннель), от грунтовых и геологических условий, а также размеров сечения. Методика решения задач для каналов любых форм сечений аналогична. Ниже рассмотрим расчет каналов основной, трапецеидальной формы поперечного сечения. Прямоугольное сечение является частным случаем трапецеидального, при угле заложения откосов канала <р = 90° (см. рис. 3.7). Основными параметрами поперечного трапецеидального сечения канала являются: глубина наполнения h, ширина канала по дну b и коэффициент откоса tn = ctgcp. Площадь живого сечения канала описывается зависимостью (3.7) со = (Ь + mh) h\ смоченный периметр по (3.10) равен X = b + 2/г V 1 + т2 - В случае прямоугольного русла тп = 0 и основные параметры по (3.6) и (3.9) имеют вид со = &Л; X = 6 + 2/г. Коэффициент откоса т зависит от рода и качества грунта или облицовки канала и может рассматриваться как известная величина. Задача 4. Даны Q, т, b, i, п. Требуется найти глубину наполнения канала h0 (глубину равномерного движения называют нормальной глубиной и вводят для нее особое обозначение). Задачи по определению нормальной глубины не могут быть решены аналогично предыдущим непосредственно' по уравнению (5.4), так как искомая величина ho входит в параметры со, %, R и С в достаточно сложном виде. Проще всего эти задачи решаются графоаналитическим способом с помощью кривой K = f(h). По известным значениям Q и i находим модуль расхода Ко, который будет отвечать нормальной глубине ho в потоке Ko = Q y / l (5.44) -143 Далее, задаваясь различными произвольными значениями глубины h, вычисляем для каждого из них со, R, С и находим соответствующие модули расхода К — соС <\/R. (5.45) По данным расчетов строим кривую K = f(h), пользуясь которой, находим ho, удовлетворяющее требуемому значению модуля расхода Ко (рис. 5.7). Аналогичным образом может быть найдена нормальная глубина для русла любой формы, если известен поперечный профиль живого сечения реки по данным гидрометрической съемки. З а д а ч а 5. Даны Q, h, т, i, п. Требуется подобрать необходимую ширину канала по дну Ь. Задача решается аналогично предыдущей с помощью зависимости K = f(b) (рис. 5.8). Заметим, что кривая K = f(b) не проходит через начало координат. Модуль расхода К', указанный на графике, отвечает треугольному руслу (когда Ь — 0) при заданной глубине h. З а д а ч а 6. Даны Q, т, i, п. Требуется найти b и h. Так как две искомые величины связаны одним уравнением (5.4), то поставленная задача неопределенна: можно подобрать бесконечно большое число значений b и h, удовлетворяющих уравнению (5.4). Один из наиболее простых приемов определения элементов живого сечения сводится к уменьшению количества неизвестных путем использования относительной ширины по дну p = 6//i. После введения дополнительного условия в виде величины р задача становится вполне определенной и решается в отношении h или b методом подбора аналогично задачам 4 и 5. При анализе решения последнего типа задач возникает вопрос о выборе наиболее рационального соотношения размеров сечения Канала, т. е. о назначении р в таких пределах, которые определяются лучшими эксплуатационными условиями каналов или их наибольшей пропускной способностью. Для выяснения этого вопроса рассмотрим гидравлически наивыгоднейший профиль канала. ... . -144 5.8. Гидравлически наивыгоднейший поперечный профиль канала На рис. 5.9 для примера представим три варианта поперечного профиля трапецеидального канала. Будем считать, что для всех трех вариантов величины Q, п, i и т одинаковые. В первом варианте (рис. 5.9 а) поперечное сечение характеризуется весьма малой глубиной h, а в последнем (рис. 5.9 в) — весьма малой шириной Ь. Необходимая пропускная способность для первого варианта обеспечивается приданием каналу весьма большой ширины, а для последнего варианта — приданием каналу весьма большой глубины. а.) В, = ф77?77777777777р/ h р2 = h / h 2 Л— • к - * p3 = V » J ~/t f ш Ь 2t - Рис. 5.9. К обоснованию гидравлически наивыгоднейшего поперечного профиля трапецеидального канала. Д л я рассматриваемых вариантов будем иметь: | 3; (5.46) 2 X, %2 ^Ф сХ3. 3. J Легко видеть, что первый и последний варианты характеризуются относительно большой поверхностью трения, определяемой размером %; поэтому скорость v для этих крайних вариантов должна быть относительно малой. Из сказанного следует, что из ряда рассматриваемых вариантов имеется такой промежуточный вариант, для которого средняя скорость оказывается максимальной, а значит, площадь живого сечения со (равная Q/v) — минимальной. Поперечный профиль, удовлетворяющий этим условиям, и является гидравлически наивыгоднейшим. Как видно, гидравлически наивыгоднейшим профилем трапецеидального канала называется профиль, который (при заданных Q, п, i, m) характеризуется максимально возможной средней скоростью v, а следовательно, минимальной площадью живого сечения со. Обозначим относительную ширину по дну гидравлически наивыгоднейшего профиля через рг. в : Рг.„ = (6/А) г .„. (5.47) В случае трапецеидального сечения г = & + 2/гдЛ + т 2 - , откуда 10 Зак^з № 33 со = (6 — — | mh) h, (5.48) b = (©//г) — mh. 145 Подставим выражение (5.48) в зависимость для %: % = ®lfi — mh + 2h^l+m2. (5.49) Для нахождения ^минимума функции % = f(h) ренцировать (5.49) и приравнять нулю dt/dh = — (со/Л2) — т + 2 у Т + ~ т 2 = —b/h надо продиффе- — 2т + 2 у Г + т 2 = 0. (5.50) Так как при минимуме % отношение b/h = $T, в , то из получаем: Рг.н = 2 ( У 1 + m 2 - m ) . В случае прямоугольного русла ( т = 0) Рг. н = b/h = 2. (5.50) (5.51) ^ (5.52) Выше мы искали гидравлически наивыгоднейшие размеры заданной формы (трапецеидальной). Можно поставить и иную задачу: среди всех возможных форм поперечного сечения русла искать г и д р а в л и ч е с к и н а и в ы г о д н е й ш у ю ф о р м у . Легко показать, что гидравлически наивыгоднейшей формой живого сечения является полукруг (поскольку в этом случае мы имеем минимальную величину % при одинаковой площади сечения со, а следовательно, минимальную поверхность трения). Однако осуществление на практике канала полукруглого сечения в естественном грунте без облицовки невозможно, так как вертикальные откосы в грунте держаться не будут. Полукруглое сечение можно осуществить лишь у искусственных каналов и лотков из дерева, бетона или металла. По этой же причине в грунте не делаются каналы прямоугольного сечения; треугольное сечение обычно быстро заносится в нижнем углу и превращается в трапецеидальное, которое и является самым распространенным среди каналов. Гидравлически наивыгоднейшие профили на всегда являются экономически наивыгоднейшими, так как часто они-получаются относительно глубокими; величина Р для них оказывается сравнительно малой. Такие глубокие каналы часто дорого и затруднительно откапывать в грунте и эксплуатировать, поэтому в практике достаточно часто несколько отступают от условия |3=Рг.нОтметим, что в литературе имеются различные вспомогательные графики, таблицы, алгоритмы, служащие для облегчения и ускорения расчетов равномерного движения воды в естественных и искусственных водотоках (судоходных каналах, осушительных и оросительных каналах, деривационных каналах ГЭС, безнапор^ ных туннелях, дренажных трубах и т. п.). -146 5.9. Гидравлический расчет естественных речных русел Форма поперечного сечения естественных р'ечных р у с е л неправильная, кроме того, по длине русел не остается постоянной. Вдоль русла могут также изменяться коэффициент шероховатости и уклон дна (на реке наблюдается чередование глубоких мест — плесов с мелкими перекатами). Поэтому равномерное движение в реках, как уже отмечалось в п. 5.1, строго говоря, существовать не может. Однако довольно часто к речным потокам применяют модель равномерного движения и используют формулу Шези. Обычная задача, которую приходится решать применительно к речным потокам с помощью теории равномерного движения, состоит в определении расхода реки Q или средней скорости движения воды v по известному уклону свободной поверхности J, размерам живого сечения и шероховатости русла. Точность таких расчетов всегда значительно меньше точности непосредственных гидрометрических измерений, главным образом за счет ошибок при назначении коэффициента шероховатости п. Подобные расчеты часто бывают необходимы ввиду недостатка или полного отсутствия прямых гидрометрических данных. В этих случаях поступают следующим образом: 1) естественный водоток разбивают на отдельные участки, в пределах которых русло близко к прямолинейному, с примерно однородными и правильными профилями поперечных сечений русла и с однообразным продольным уклоном дна i на всем протяжении участка; 2)' заменяют осредненное по длине участка неправильное поперечное сечение русла каким-либо близким геометрически правильным сечением, например параболическим или прямоугольным; 3) уклон дна на выбранном участке принимается равным либо уклону свободной поверхности потока в естественном русле, либо осредненному уклону его дна; 4) полученное условное русло рассчитывают, как канал, по приведенным выше формулам. 5.10. Расчет пропускной способности русел при переменной по сечению шероховатости В практике встречаются случаи, когда по длине смоченного периметра русла коэффициент шероховатости п различен: Например: 1) откосы канала покрыты бетонной облицовкой, а дно оставлено в виде естественного грунта (рис. 5.10а); 2) реки и каналы в зимнее время года покрываются ледяным покровом, при этом нижняя поверхность его является для потока добавочным сопротивлением с коэффициентом шероховатости, отличным от дна и берегов русла (рИс. 5.10 б). 13 Заказ Л1» 33 147 В указанных случаях приходится осреднять значение п по длине смоченного периметра русла. Существуют различные способы такого осреднения. Рассмотрим способ, основанный на использовании приведенного коэффициента шерохов а т о с т и Пцр. Д л я случая, когда канал имеет земляное русло с коэффициентом шероховатости п\ и бетонированные стенки с коэффициентом шероховатости /г2 (см. рис. 5.10 а) Н. Н. Павловским предложена формула для приведенного коэффициента шероховатости (5.53) Рис. 5.10. Поперечное сечение русла с неоднородным по периметру коэффициентом шероховатости. где «2 = Х2/%1> причем %i и %z указаны на рис. 5.10 а. В формуле (5.53) приведенный коэффициент шероховатости рассматривается как средневзвешенный, отнесенный к соответствующим длинам смоченного периметра. Зависимость (5.53) в общем случае для т частей смоченного периметра имеет вид (5.54) где %ь %2» • •., %т—части смоченного периметра, характеризуемые коэффициентами шероховатости т, пг, . .., птПри выводе формулы (5.54) Павловский принял допущение, что площади живых сечений coi, сог, . . . , coTO участков с разной шероховатостью пропорциональны их смоченным периметрам %i, %2, ..., Хт- Такое допущение приводит к тому, что гидравлические радиусы, отвечающие участкам с разной шероховатостью, оказываются равными гидравлическому радиусу полного живого сечения. Коэффициент Шези С с неоднородной по периметру шероховатостью можно определить по формуле Павловского через приведенный коэффициент шероховатости С = (\/RINP)RV. (5.55) Подбор коэффициентов шероховатости для отдельных частей русла можно осуществить по табл. 3—6 приложения. -148 При наличии в русле ледяного покрова (см. рис. 5.10 6) приведенный коэффициент шероховатости можно определять по формуле (5.53), где %i и %2 указаны на рисунке; коэффициент шероховатости нижней поверхности льда принимается согласно табл. 7 приложения. Найденное значение приведенного коэффициента шероховатости подставляем в формулу (5.55), где гидравлический радиус для закрытого льдом потока определяется так: Я = и/(X, + Х2): (5.56) Подчеркнем, что для закрытых льдом речных потоков, когда лед закреплен с берегами, недопустима замена гидравлического радиуса R средней глубиной; эти величины обычно отличаются более! чем в 2 раза. Г. В. Железняков [14] отмечает, что для приближенных расчетов приведенного коэффициента шероховатости в этих условиях можно воспользоваться упрощенной формулой Павловского Ппр = (ЗСлПл + ХрЯр)/(*л + Хр), (5-57) где пл и п р — коэффициенты шероховатости нижней поверхности ледяного покрова и русла; Хл и %Р — соответствующие им длины смоченного периметра. А. В. Караушев [21] для широкого, прямоугольного русла (при ХЛ^ХР) вывел следующую формулу для приведенного коэффициента шероховатости при ледоставе: "пр = д / 0 , 5 (п л + Пр). (5.58) Р. Р. Чугаев [39] со ссылкой на решение Л. А, МОжевитинова приводит формулу вида где а = Хр/Хл. 5.11. Расчет пропускной способности русел, имеющих составной поперечный профиль. Русла с поймами Представим так называемый составной профиль канала (рис. 5.11). Этот профиль является «неправильным», поэтому его нельзя рассчитывать, следуя методу, изложенному в п. 5.7. Здесь приходится поступать следующим образом. Линиями АВ разбиваем все живое сечение на отдельные части /, II и III. Далее каждую выделенную часть рассчитываем как самостоятельный канал (см. п. 5:7), не включая при этом участки АВ в длины соответствующих смоченных периметров. -149 Определив для отдельных частей канала расходы Qi, Qn и Q / u , находим полный расход воды, движущейся в канале, как сумму частных расходов: Q = Qi + Qn + Qm. (5.60) Р. Р. Чугаев [39] предлагает при указанном расчете .намечать границу раздела составного русла не по линии АВ, а по линии А В ' , назначенной вдоль направления М—N, ортогонального к получающимся здесь изотахам (линиям равных скоростей), пока- Рис. 5.11. Канал составного поперечного скоростей. профиля с полем занным на рис. 5.11 пунктиром. В первом приближении линию M—N можно наметить, например, так, чтобы она делила пополам угол 6 . УВ Л2 Рис. 5.12. Русло с двусторонней поймой. . Рис. 5.13. Русло с односторонней поймой. Рассмотрим часто встречающийся случай движения потока в р у с л е с п о й м о й . Пойма может быть односторонняя или двусторонняя. На рис. 5.12 показано поперечное сечение участка речного русла с двусторонней поймой. Условия для течения воды в основном русле и в обеих поймах совершенно различны; это объясняется различиями в глубине потока и в коэффициентах шероховатости (см. п. 5.4). Д л я пойм они, как правило, выше, чем д л я русловой части потока. Если характер поверхности поймы на разных берегах различен, например, с одной стороны пойма, луговая, а с другой — заросшая кустарником, это также должно быть учтено при назначении частных коэффициентов шероховатости {табл. 4—6 приложения). Чаще всего русла с поймой представляют как составные (делят на части I, II, III, см. рис. 5.12) и общий расход воды нахо-150 дят по формуле (5.60), т. е. как сумму расхода пойм и основной части русла. Для приближенного расчета можно воспользоваться формулой (5.54) для приведенного коэффициента шероховатости тгщр, рассчитать коэффициент Шези по (5.55), где R = iо/%, a % = %i + + ЗС2 + %з (см. рис. 5.12); далее находим среднюю скорость потока v и общий расход воды Q по формуле Шези. Напомним только, что формула (5.54) выведена в предположении, что гидравлические радиусы, отвечающие участкам с разной шероховатостью, равны между собой и равны гидравлическому радиусу полного сечения, т. е. R, Рис. 5.14. Кинематический эффект безнапорного потока. R I = R3= R- Рис. 5.15. К расчету паводкового расхода. В заключение отметим одно важное обстоятельство, которое часто не учитывается при расчетах составных русел и расчетах по формулам, содержащим приведенный коэффициент шероховатости. Считается, что часть русла потока, имеющая заданную шероховатость, формирует поле скоростей и гидравлические сопротивления так, как-будто она изолирована от потока в целом. На самом деле области потока, сформированные совокупностью поверхностей с различными шероховатостями и глубинами, находятся в сложном взаимодействии. В 1947 г. Г. В. Железняковым при гидравлическом исследовании на модели русла с поймой было установлено, что в зоне раздела между основной и пойменными частями теряется часть энергии потока, что в целом приводит к уменьшению пропускной способности* -русла. Это явление получило название к и н е м а т и ч е с к о г о э ф ф е к т а безнапорного потока [14]. Главным условием возникновения кинематического эффекта является различие в гидравлических сопротивлениях по ширине потока, которые могут возникнуть как вследствие резкого изменения глубины в русловой и пойменной частях русла, так и при незначительном изменении глубины по ширине, но при резком изменении шероховатости дна по длине смоченного периметра. Проиллюстрируем кинематический эффект на примере русла с односторонней поймой (рис. 5.13). Если бы отсутствовало взаи-151 модействие русловой и пойменной частей потока по линии а—а, то кривая средних скоростей в русле выше его бровок (линия б—б на рис. 5.13) изобразилась бы графиком t / = f ( # ) , где Я — отметки уровня воды, показанные на рис. 5.14 штриховой линией. Фактически при выходе руслового потока выше бровок русла (линия б—б на рис. 5.14) вследствие взаимодействия русловой и пойменной частей скорость в основном русле, несмотря на увеличение глубины потока, резко уменьшается и образует характерную для кинематического эффекта петлю 0 Р = / ( Я ) . Уменьшение скоростей в основном русле происходит как при односторонней, так и двусторонней пойме, причем чем больше шероховатость и ширина пойм, тем уменьшение скоростей существеннее. Взаимодействие русловой и пойменной частей потока в конечном счете влияет на пропускную способность всего русла. Учету кинематического эффекта безнапорного потока при оценке гидравлических сопротивлений русла с поймой посвящено большое количество теоретических, натурных и лабораторных исследований [3, 14]. Вопрос этот рассматривается в курсе «Динамика русловых потоков». Пример. В русле реки, форма сечения которого близка к трапецеидальной, при отметке уровня воды Vi = 15,2 м в условиях равномерного движения измерен расход воды Q = 217 м 3 /с. Ширина русла по дну 6 = 30 м, коэффициент откоса т = 1 , 5 , уклон дна / = 0,0004, отметка дна русла Vo= 11,5 м (рис. 5.15). Определить: 1) коэффициент шероховатости п при отметке воды Vi; 2) максимальный паводковый расход для данного русла, который проходил при отметке высоких вод VMaKc —16,7 м, принимая значение коэффициента п одинаковым при рассматриваемых двух наполнениях русла. Как изложено в п. 5.7, первая часть этой задачи решается в следующем порядке: 1. Зная размеры живого сечения русла реки при Vi = 15,2 м, находим площадь сечения со = 131,5 м2, длину смоченного периметра х = 43,3 м и гидравлический радиус # = 3,04 м. 2. По известным Q, со, R, i находим, согласно (5.40), коэффициент Шези С = 47 м°>5/с. 3. Зная С, по одной из/ приводимых в п. 5.3 зависимостей, например по формуле Павловского (5.15), находим п = 0,026. Далее во второй части примера при отметке Умакс = 16,7 м, принимая уклон дна и коэффициент шероховатости п теми же, что и в первой части, решается задача по определению максимального расхода воды QMaKc в следующем порядке: 1. Зная размеры живого сечения при отметке VMaKc, находим площадь сечения со м а к с =197 м2, Хмакс = 48,7 м, Ямакс = 4,04 м. 2. Зная /?Макс и м = 0,026, по одной из формул п. 5.3, например по формуле Павловского (5.15), находим С м а к с = 51 м°'5/с. 3. Максимальный паводковый расход воды рассчитывается по формуле Шези (5.4). _ Ответ: QMaKC = 400 м 3 /с. -152 Глава шестая НЕРАВНОМЕРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В ОТКРЫТЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ 6.1. Понятие о неравномерном движении В инженерной практике неравномерное движение воды в открытых руслах встречается значительно чаще, чем равномерное. Как отмечалось выше (см. п. 3.2), неравномерным движением называется такое движение, характеристики которого зависят от выбора координат, т. е. изменяются по длине потока. При этом работа сил тяжести не уравновешивается работой сил трения и равенство гидравлического уклона и уклона дна водотока нарушается. Оно может быть вызвано: 1) либо изменением живого сечения по длине потока; 2) либо при постоянном живом сечении изменением распределения скоростей и ускорений в соответственных точках разных живых сечений; 3) либо изменением и того и другого одновременно. Всякое сооружение, построенное в русле (плотина, мост и т. п.), всякие более или менее значительные изменения уклона дна и профиля русла вызывают изменения гидравлических характеристик (глубин, скоростей и др.) вдоль потока, и движение становится неравномерным. В целях облегчения расчетов рассматриваемый участок реки часто разбивают на отдельные более мелкие участки небольшой длины, в пределах которых гидравлические характеристики потока не меняются, и рассчитывают эти участки по формулам равномерного движения. Но далеко не во всех случаях мы имеем право это делать. Помимо этого, искусственные сооружения, возводимые на реках (каналах), всегда сопровождаются такими участками каналов (переходами), где равномерное движение с физической точки зрения просто невозможно: например, русло с горизонтальным дном или русло о обратным уклоном дна и пр. Различают две категории русел: 1) призматические, 2) непризматические. Призматическим называется такое русло, которое имеет неизменную форму и геометрические размеры поперечного профиля по длине. Если поперечный профиль русла очерчивается кривой линией (например, квадратичной параболой), определяемой в любом сечении одним и тем же уравнением, то такое русло называется цилиндрическим. Очевидно, что цилиндрическое русло по своим свойствам аналогично призматическому. В случае непризматического русла площадь поперечного сечения потока со является функцией двух переменных — глубины h потока и расстояния s, отсчитываемого по длине потока от некоторого «начального» сечения: -со = f(h,s):. • (6.1) -153 В случае же призматического русла поперечное сечение потока не зависит от расстояния s и, следовательно, со = f(h). . (6.2) Таким образом, для призматического русла мы будем иметь: da/ds = 0. (6.3) По форме поперечного профиля открытые русла разделяют на русла правильной формы и русла неправильной формы. К руслам правильной формы относятся такие русла, для которых гидравлические элементы (ширина, глубина, площадь и др.) любого поперечного сечения являются непрерывными монотонно возрастающими функциями глубины потока, причем каждая из этих функций имеет вполне определенное аналитическое выражение для всего диапазона изменения глубины потока. Этому условию удовлетворяют русла прямоугольные, трапецеидальные, треугольные, параболические и другие, т. е. большинство искусственных русел, встречающихся в инженерной практике. К руслам неправильной формы относятся русла, не удовлетворяющие высказанному выше условию. Это русла, характеризующиеся составными профилями в пределах наибольшей глубины потока, естественные русла. В некоторых случаях в пределах отдельных участков естественное неправильное русло можно приближенно заменить призматическим или цилиндрическим руслом правильной формы. Приведем примеры, когда в открытых руслах может возникнуть неравномерное движение. 1. Призматическое русло с прямым уклоном дна ( i > 0 ) . Неравномерное движение здесь может возникнуть в следующих случаях. а) В канале устроена плотина (рис. 6.1а). Вода накапливается перед ней и переливается. Перед плотиной устанавливается некоторая фиксированная глубина кф, отличная от глубины ho, соответствующей равномерному движению. На участке А В условия равномерного движения нарушаются, движение становится неравномерным и возникает кривая подпора, которая целиком лежит выше линии нормальных глубин NN. б) В канале устроен перепад (рис. 6.16). На гребне перепада устанавливается некоторая фиксированная глубина Лф, отличная от глубины ho. На участке АВ движение становится неравномерным и возникает кривая спада. З а пределами этой зоны движение остается равномерным. в) В канале устроен щит (рис. 6.1 в). При истечении воды из-под щита глубина воды в зоне АВ НффЫ, т. е. в этой зоне устанавливается неравномерное движение и возникает кривая подпора. Необходимо помнить, что неравномерное движение воды в призматическом русле с прямым уклоном дна (г > 0) возникает -154 в тех случаях, когда в нем каким-либо искусственным путем фиксируется глубина кф, отличная от глубины fto равномерного движения при заданном расходе. 2. Призматическое русло с горизонтальным дном (i = 0) или имеющее обратный уклон ( / < 0 ) . Из анализа формулы Шези для скорости v следует, что при i = 0, а тем более при i < 0 равномерного движения физически быть не может. В этом случае в потоке устанавливается только неравномерное движение. N А Рис. 6.1. Примеры неравномерного движения воды в призматическом русле ( ( > 0 ) . В каналах устроены: а — плотина; 6 — перепад; в — щит. 3. Непризматическое русло, расширяющееся или сужающееся в плане. В этом случае устанавливается всегда только неравномерное движение воды. , Приведенные примеры показывают, что равномерное движение воды возможно только в призматическом русле с прямым уклоном дна (i > 0) при условии, что русло достаточно длинное и не имеет каких-либо устройств, 'нарушающих равномерное движение (плотины, перепады и др.). Если изменение гидравлических характеристик происходит достаточно медленно и постепенно, то движение воды называется плавно изменяющимся. При плавно изменяющемся движении местные потери энергии (напора), связанные с деформацией потока, незначительные и ими пренебрегают, а учитывают лишь потери энергии по длине. В данной главе рассматривается именно этот случай, а поэтому в дальнейшем, говоря о неравномерном движении, будем иметь в виду плавно изменяющееся установившееся неравномерное движение воды в открытом русле. Резко изменяющееся неравномерное движение рассматривается ниже в гл. 8 и 9. При рассмотрении неравномерного плавно изменяющегося движения главным образом занимаются вопросом о построении -155 кривой свободной поверхности АВ (см. рис. 6.1). Основная инженерная задача при этом сводится к следующему: 1. Найти связь глубины с длиной распространения подпора или спада, т. е. установить зависимость h = f{s). С этой задачей мы встречаемся, например, при определении судоходных глубин воды в каналах и реках. 2. Иногда приходится определять длину распространения кривой подпора или спада; найти длину участка, обеспечивающего заданные глубины и др. С этим случаем мы встречаемся при строительстве плотин на реках там, где подпор перед сооружением вызывает затопление берегов. Определение зоны затопления (ее длины и ширины) связано с экономическим и экологическим обоснованием проекта при сооружении плотины. Эта задача огромной экономической важности. Таким образом, построение кривой свободной поверхности при неравномерном движении представляет большой практический интерес. Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о том, как решается такая задача, поясним некоторые понятия и определения." 6.2. Удельная энергия сечения. График удельной энергии Рассмотрим поперечное сечение какого-либо русла (рис. 6.2), причем укажем на рисунке плоскость сравнения ОО. Полная в о' о Рис. §.2. Поперечное сечение водотока. удельная энергия для данного сечения потока, в соответствии с известным уравнением Бернулли (см. п. 3.11), выражается зависимостью (6-4) где величина удельной энергии положения 2, отсчитывается от плоскости сравнения ОО. Чтобы иметь возможность сравнивать удельную энергию положения разных сечений потока необходимо условиться о выборе местоположения плоскости отсчета. Удельной энергией сечения Э называется частное значение полной удельной энергии, подсчитанное в предположении, что плоскость сравнения проведена через самую нижнюю точку дна сечения русла (на рис. 6.2 линия О ' О ' ) . -156 Д л я плоскости сравнения О ' О ' имеем: aQ 2 2g 2 (6.5) ga>2 где h = z + Таким образом, для открытого плавно изменяющегося движущегося потока можно считать, что глубина h является мерой удельной потенциальной энергии. При заданном расходе воды Q поток через данное сечение русла может протекать с различными глубинами h (в зависимости от уклона дна русла, его шероховатости и т. п.). Поэтому выражение удельной энергии (6.5) д л я правильной формы живого сечения есть функция только глубины потока 3 = f(h). (6.6) Pg Рис. 6.3. График удельной сечения. энергии Исследуем эту функцию при Q = const. Как видно из уравнения (6.5), если h стремится к нулю, Э стремится к бесконечности (так как при /i->-0 второе слагаемое правой части указанного уравнения стремится к бесконечности). Если h стремится к бесконечности, Э также стремится к бесконечности, а уравнение удельной энергии сечения в пределе стремится к равенству 9 = h. Выполненный анализ показывает, что функция 9 = f(h) может быть представлена кривой (рис. 6.3), имеющей при некотором промежуточном значении h минимум. Эта кривая называется графиком удельной энергии сечения. Анализ его имеет большое практическое и теоретическое значение. Как видно, кривая 9 = f ( h ) имеет две асимптоты: верхней асимптотой является прямая, направленная под углом 45° к Осям координат (биссектриса прямого угла); нижней — горизонтальная ось графика. Площадь, заштрихованная на рисунке, дает картину изменения удельной кинетической энергии аи 2 /(2g). Точке перегиба на графике удельной энергии сечения придается особое значение. Этой точке соответствует минимальная удельная энергия 9мин (см. рис. 6.3). Глубина потока, при которой заданный расход Q проходит в данном сечении русла с минимальным запасом удельной энергии, называется критической глубиной и обозначается hK. Критическая точка делит кривую 9 = f (h) на две ветви. Верхняя ветвь относится к потокам с глубиной h > hK (здесь с воз-157 растанием глубины происходит увеличение удельной энергии d9ldh> 0), а нижняя — к потокам с глубиной h < hK (здесь с возрастанием глубины удельная энергия уменьшается d9/dh<. < 0 ) . В критической точке удельная энергия имеет какое-то конкретное значение, равное минимальному, и d3[dh = 0. Изложенное выше позволяет уточнить понятия о состояниях движения потока. При h > hK преобладает потенциальная энергия, доля кинетической составляющей в суммарной удельной энергии сечения мала, значит малы и скорости — это область спокойного состояния (см. рис. 6.3). При h < /гк преобладает кинетическая энергия, значит поток имеет большие скорости, потенциальная энергия здесь мала — это область бурного состояния. Если глубина h = hK, то при этом получаем так называемое критическое состояние потока. Это не означает, что при переходе потока из спокойного в бурное состояние потенциальная и кинетическая энергия равны. В критической точке 3Пот Зкив, между ними будет определенное соотношение, о котором речь пойдет ниже. 6.3. Уравнение критического состояния потока. Число Фруда Состояние потока при заданном расходе Q, соответствующее минимальной удельной энергии, называется критическим, и все характеристики этого состояния (глубина, уклон, скорость, площадь живого сечения и пр.) также называются критическими и обозначаются индексом «к», например, hK, ы vK и т. д. Установим зависимость, которой следует пользоваться для определения критических характеристик потока. Ее легко получить, если учесть, что критическому состоянию потока соответствует минимальная удельная энергия сечения, а производная dd/dh. при этом равняется нулю. Продифференцируем выражение (6.5) по h, считая Q = const, и приравняем нулю производную ddjdh: йЭ dh aQ2 , = * i S3 g«> Из рис. 6.2 видно, что dw=Bdh, ражение (6.7) перепишется в виде da 7ПГ dh п (6-7> откуда da>/dh = B. Тогда вы= S = 0 (68) ®к или окончательно получим o.Q2/g = <Л/ВК, (6.9) где гидравлические элементы площадь поперечного сечения сок и ширина русла поверху Вк отвечают критической глубине /гк. -158 Уравнение (6.9) называется уравнением критичес к о г о с о с т о я н и я п о т о к а. Из него можно получить количественную характеристику критерия перехода из бурного в спокойное состояние потока. В случае прямоугольного русла уравнение (6.8) принимает вид .I 1 = «"к т к 5 к go® = «"к . = gBKhK ( 6 10, ghK ' Стоящее в правой части (6.10) безразмерное выражение называется критическим числом Фруда и обозначается так: FrK = avl/(gh^) = 1. ' (6.11) При а = 1 для любого состояния потока можно записать: Fr = u 2 /[gh). (6.12) Это выражение называют просто числом Фруда.1 Заменяя в (6.12) глубину потока h гидравлическим радиусом R, получаем формулу числа Фруда для русла любой формы: Fr = v2/(gR). (6.13) Д л я б у р н ы х п о т о к о в Л < / i K , тогда, согласно (6.11) и (6.12), Fr > Fr K , т. е. F r > l ; для спокойных потоков h < kKy тогда Fr •< FrK,T. е. Fr < 1. Таким образом, критерий, определяющий спокойное и бурное состояние потока, можно записать в такой форме: Fr^l. Физический смысл числа Фруда можно представить так: домножив числитель и знаменатель в выражении (6.12) на 2, представим его в виде Pr V2I ( 2 g ) hi 2 ~~ Зкин •-'пот 2 Зкин ^пот (6 14) Следовательно, число Фруда можно трактовать как удвоенное отношение удельной кинетической энергии потока в данном сечении к удельной потенциальной энергии потока в том же сечении, т. е. оно является мерой кинетичности потока. Поэтому число Фруда иногда называют параметром кинетичности потока или критерием бурности потока. Примером спокойных потоков могут служить равнинные реки с малыми продольными уклонами, бурных — горные потоки с большими уклонами (числа Фруда в них могут достигать значений 3—5 и больше). Однако следует помнить, что в одном и 1 Более строгий вывод числа Фруда из уравнений движения Навье—Стокса рассматривается в курсах гидромеханики и специальном курсе «Гидрологическое лабораторное моделирование» [30]. -159 том же русле поток при одних условиях может находиться в бурном состоянии, а при других-—в спокойном состоянии. При этом уклон дна водотока может быть каким угодно (t > 0, г = 0, г<0). Используя выражение для числа Фруда . (6.14), легко можно получить соотношение кинетической и потенциальной энергии для потока в критическом состоянии (точка перегиба на графике удельной энергии сечения). Подставляя в (6.14) значение F r K = l , получим 9 = 2 -^^КИН! 9 '-'пот т. е. в точке перегиба на рис. 6.3 удельная потенциальная энергия равна удвоенной кинетической энергии. 6.4. Определение критических характеристик потока для русел разной формы поперечного сечения При соответствующих расчетах возникает необходимость в вычислении к р и т и ч е с к и х характеристик потока (глубины hK, уклона гк и скорости и к ). Для русел простой правильной формы (прямоугольной, параболической, треугольной и др.) аналитические выражения для этих характеристик можно найти довольно просто, используя уравнение критического состояния потока. Для русел неправильной формы (полигональных или составных, а также естественных речных русел) найти аналитические выражения для hK, iK и vK невозможно, так как связь оказывается слишком сложной. Рассмотрим сначала как определяются критические характеристики потока для русла любой, в том числе и неправильной формы. Определение hK для русла любой формы. В общем случае величину hK можно было бы определить, построив предварительно для данного поперечного сечения русла и заданной величины Q график 3 = f(h). Однако такой способ отыскания hK неудобен, так как минимум, кривой 5 = /(/г) (см. рис. 6.3) выражен нерезко и поэтому найти по нему значение критической глубины с достаточной точностью, обычно, не удается. Уравнение (6.9) является основным уравнением, служащим для определения критической глубины hK при любой заданной форме русла и при заданном расходе Q. Решать уравнение приходится графически или подбором. Д л я этого, задаваясь рядом значений Ы, вычисляем (или снимаем с профиля) для них величины В, со и со3/В и строим график со3/В = f(h) (рис. 6.4). Далее, пользуясь построенной кривой, находим точку, абсцисса которой равна aQzJg. Ордината этой точки, как это следует из уравнения (6.9), и будет критической глубиной hKСледует отметить, что уравнение (6.9), служащее для определения критической глубины, не содержит в себе ни уклона дна -160 русла, ни коэффициента шероховатости. Следовательно, критическая: глубина не зависит ни от уклона дна русла, ни от шероховатости его стенок и вполне определяется расходом и формой русла. Определение и к для русла любой формы. Здесь дело обстоит несколько проще. З н а я , что Q = coy, перепишем уравнение критического состояния (6.9) в виде aalvl/g = (6.15) CDK/BK- Решим уравнение (6.15) для скорости . _ ук = У£со к /(а.е к ). (6.16) Рис. 6.4. Определение критической глубины для русла любой формы. З н а я Лк, находим ВК и ci)K, а затем VK по (6.16). Определение iH для русла любой формы. Критическим уклоном называется такой уклон дна русла, при котором водоток пропускает заданный расход воды Q в условиях равномерного движения с минимальной удельной энергией. Из данного определения следует, что при критическом уклоне и критической глубине должно удовлетворяться уравнение равномерного движения, а следовательно д л я критической скорости vK д о л ж н а быть справедлива формула Шези. - З а м е н я я в (6.16) левую часть по Шези, получим CIRJk = gaK/(aBK), откуда iK = gaK/(aBKC2KRK). ' (6.17) Принимая Rk = ®k/%k, запишем выражение для гк в окончательном виде: 4 = gXK/(.aBKCl), (6.18) где %к — длина смоченного периметра, а С к — коэффициент Шези, соответствующие критической глубине. В а ж н о подчеркнуть, что критический уклон можно определить д л я любого водотока, независимо от того, имеет ли этот водоток уклон дна i > 0, или i < 0, или i = 0. Такой критический уклон всегда больше нуля. И Заказ № 33 161 Часто приходится иметь дело с руслами правильных форм или русла неправильной формы удается схематизировать и придать им какую-либо правильную форму. В этом случае расчет упрощается. Рассмотрим определение критических характеристик hK, vK и iK для некоторых частных случаев форм русла. а) П р я м о у г о л ь н о е р у с л о . Вводя в рассмотрение единичный расход q = Q/B, (6.19) преобразуем уравнение критического состояния (6.9) к виду aq2/g - hi отКуда hK = - t f w V g . (6.20) Используя выражение (6.16), запишем формулу для критической скорости: vK=^/ghK/a. (6.21) При а = 1 формула (6.21) принимает вид =л/Л. (6-22) Используя выражение (6.18), запишем формулу для критического уклона: iK^ghK/(aC2KRK). ' (6.23) б) Ш и р о к о е п р я м о у г о л ь н о е р у с л о (В^>/г), например, русло с широкими поймами. В этом случае можно принять X и R ~ h. Тогда будем иметь для вычисления критической глубины hK формулу (6.20), для критической скорости vK форм^улу (6.21), а выражение для критического уклона iK (6.23) преобразуется к виду iK = g/(aCt). (6.24) Поясним, в заключение, еще одно вспомогательное понятие. Нормальной глубиной называется глубина, которая при заданном расходе установилась бы в русле, если бы в этом русле движение было равномерным. Нормальная глубина, обозначаемая далее через ho, определяется по зависимостям гл. 5, 'где рассматривался случай равномерного движения. Все элементы, соответствующие нормальной глубине, далее обозначаем следующим образом: coo, Ro, %о и т. д. При таких обозначениях уравнение равномерного движения запишется в виде Q — щС0 л/Roi. -162 (6.25) Понятиями нормальной глубины ho и критической глубины hK далее будем широко пользоваться. На эти глубины надо смотреть, как на некоторые воображаемые, в общем случае отличные от действительно существующих глубин, обозначаемых через h. Можно считать, что ho и hK являются некоторыми удобными обозначениями, которые, будучи искусственно введены в дифференциальное уравнение неравномерного движения, позволят в дальнейшем упростить это уравнение и привести его к безразмерному виду, удобному для исследования и интегрирования. 6.5. Дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося движения жидкости в открытых руслах Рассмотрим неравномерное плавно изменяющееся движение воды в открытом непризматическом русле. Представим продольный разрез потока (рис. 6.5) . Допустим, что при заданном расходе' воды Q поток проходит участок между сечениями 1—1 и 2—2 с глубиной ho при равномерном движении. После постройки плотины равномерное движение нарушилось и на участке установилась кривая подпора АВ. Обозначим расстояние от постоянного начала до сечения 1—1 через si, до сечения 2—2 через S2, расстояние между сечениями As. _ Применим уравнение Бернулли к движению жидкости на участке 1—2. Наметим горизонтальную плоскость сравнения ОО (см. рис. 6.5). Обозначим расстояния от плоскости сравнения до отметок свободной поверхности в выбранных сечениях соответственно через Zi и zi, расстояния до отметок дна через уi и yz. Условимся относить слагаемые уравнения -Бернулли к частицам жидкости на свободной поверхности, так как главная задача при расчете неравномерного движения сводится к установлению связи h = f(s) или s = f(h), т. е. нас интересует уравнение кривой свободной поверхности потока. Запишем известное уравнение Бернулли для участка потока (3.90): , I Pi I "'"I _J_ Р2 | Wl | 1, Здесь pi и р2 — давления на уровне свободной поверхности. Д л я сечений 1—1 и 2—2 они равны атмосферному давлению р а т и поэтому слагаемые pi/(pg) и p2/(pg) в уравнении (3.90) сокращаются. Потери энергии hf при плавно изменяющемся движении можно рассматривать как потери, обусловленные трением при движении потока на участке 1—2 и приравнять их к потерям напора по длине (hf = hi). Уравнение Бернулли перепишем в следующем виде: Or,vl Z,-22 = - f ^ 13 Заказ Л1» 33 dill? + (6.26) 163 Сблизим сечения 1—/.и 2—2 так, чтобы между ними осталось бесконечно малое расстояние ds (ем. рис. 6.5), на котором потери напора составляют бесконечно малую величину dhi. Коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения скоростей по сечениям потока at И осг, в этом случае можно приравнять а, а уравнение (6.26) записать в дифференциальной форме: —dz •= ad [0*/(2g)] + dht. (6.27) Разделим все члены уравнения (6.27) на ds: dz d s .. = a rf[u2/(2g)] Рис. 6.5. К выводу дифференциального уравнения неравномерного движения. d s . d ^ d s (6.28) Рис. 6.6. К обоснованию формулы (6.41). - Выясним смысл составляющих выражения (6.28). Из рис. 6.5 следует, что — dz/ds = sin ©' = / — пьезометрический уклон (уклон свободной поверхности)-, знак минус показывает, что при понижении свободной поверхности (dz < 0) уклон будет положительным ( / > 0) . Так к а к при неравномерном* движении свободная поверхность криволинейна, то под уклоном / надо понимать уклон касательной в любой точке к свободной поверхности. Второй член выражения [dv2/(2g)]/ds = ih — это тоже уклон, который образуется за счет Изменения скорости на участке ds. Этот член уравнения (6.28) характеризует изменение уклона свободной поверхности при переходе от равномерного движения к неравномерному.. Третий член выражения (6.28) dhi/ds = ii — уклон трения, который, пользуясь формулой Шези, можно выразить как k = = vz/(CzR), т. е. потери напора на трение hi на единицу длины потока при-неравномерном плавно изменяющемся движении мы выразим формулой того ж е вида, что и при равномерном движении, что является допущением. Однако в этом случае, в отличие от случая равномерного движения, гидравлические элементы v, С и R — переменные по длине потока. -164 После необходимых подстановок в уравнение (6.28) получим: Это уравнение и является п е р в о й ф о р м о й о с н о в н о г о дифференциального уравнения неравномерного д в и ж е н и я . При равномерном движении ihv = 0, тогда / = v2l(C2R). (6.30) Преобразуем уравнение (6.29), введя в рассмотрение глубину потока h. Полагая величину Q и форму русла заданными, обратимся к рис. 6.6, из которого видно, что для произвольно выбранного сечения 2—2, отстоящего от начального сечения 1—1 на расстоянии s, можно написать: z = h-t-y — is, (6.31) где постоянная величина у — возвышение дна водотока в начальном сечении над плоскостью сравнения ОО; i — уклон дна водотока. Дифференцируя выражение (6.31) по s и имея в виду, что / = —dz/ds, окончательно для пьезометрического уклона / получим зависимость J = i — dh/ds. (6.32) Подставим выражение (6.32) в левую часть уравнения (6.29): . d h d ! v 2 \ . v 2 / с о о ч Рассмотрим слагаемые правой части выражения (6.33). Будем предполагать, что расход потока Q задан. d / v2 \ 1. Член а—-1-х— ). Выражая v через Q, получим ds \ 2g / a d d s f v \ 2 g 2 \ ) d a d s Q2 Г \ aQ2 \ 2 a 2g 2g d d s f 1 \ aQ2 \ 2 ) g w 1 a 3 d a d s ' (6.34) В общем случае для русла непризматической формы © = f (h, s). Имея это в виду, можем записать: d a да , <Э<в d h д а d s d s ' d h d s d s . + о R d h d s „ г \ —j—(.О.ДО) где B = d(a/dh — ширина потока поверху (рис. 6.2). Подставляя (6.35) в (6.34), получим -165 Член vz/(C2R), входящий в правую часть уравнения можно представить в виде v2/(C2R) = Q2l((s>2C2R). (6.33), Подставим в (6.33): (6.37) теперь найденные выражения (6.36) 1 4 - ( - 3 T + ^ h J ^ r Решая уравнение (6.38) в отношении dh/ds, лучим: Q d h _ 2 a C 2 ( 2 R , I ~dF~ a C х V s R gco aQ2 В o- '<*»> окончательно по- да d s и (6.37) \ J Q Q 4 ' Уравнение (6.39) является в т о р ы м в и д о м д и ф ф е р е н циального уравнения установившегося неравномерного движения; оно относится к общему случаю непризматического русла. Как видно, при помощи этого уравнения можно выразить приращение глубины потока dh на элементарной его длине ds. Подчеркнем, что уравнение (6.39) относится к случаю Q = const (вдоль потока). Вопрос о расчете неравномерного движения потока с переменным расходом излагается ниже в гл. 11. Далее будем рассматривать отдельно призматические и непризматические русла. Расчету неравномерного движения жидкости в естественных (непризматических) руслах посвящена специальная гл. 7. Д л я случая призматического русла с учётом (6.3) уравнение . (6.39) следует переписать в виде d h __ d s ~~ ю2C*R 1 aQ2 (6.40) В я Имея в виду, что orC2R = К\ (6.41) где К — модуль расхода, отвечающий действительной глубине h, уравнение (6.40) можно представить в виде dh d s - j _ oQ2 ^ В (6.42) 8 При выводе уравнения (6.42) мы предполагали, что водоток имеет прямой уклон дна (г > 0). Однако полученное, уравнение применимо также к водотокам с горизонтальным дном (г = 0) и -166 к водотокам с обратным уклоном дна ( i < C 0 ) . Эти случаи могут иметь место при постройке на водотоках тех или иных гидротехнических сооружений: а) случай i = 0. Подставляя в (6.42) i = 0, имеем: dh _ ds ' Q21K2 oQ2 В (6.43) В б) случай i < 0. Условимся обозначать через i' значение i, тогда вместо уравнения (6.42) получаем: dh _ ds ~ i' + Q2IK2 , aQ« В абсолютное (6.44) Подчеркнем, что далее, рассматривая уравнения (6.42), (6.43) и (6.44); будем иметь в виду только призматические русла «правильной» формы, для которых К и со3/В. непрерывно возрастают с увеличением глубины наполнения h (русел, имеющих составное поперечное сечение, мы не касаемся). 6.6. Исследование форм (видов) свободной поверхности потока при неравномерном движении Прежде чем перейти к интегрированию дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения, необходимо выяснить, какой вид мож;ет иметь искомая свободная поверхность потока. С этой целью обратимся к исследованию полученных выше уравнений (6.42), (6.43) и (6.44). Рассмотрим продольный профиль заданного призматического русла (рис. 6.7), причем всю область возможного расположения свободной поверхности разобьем на три отдельные зоны (а, Ь, с) путем проведения линий N—N и К—^К, соответствующих нормальной h0 и критической hK глубинам. На рис. 6.7 линия N—N лежит выше линии К — К ; однако могут иметь место случаи, когда линия К — К будет располагаться выше линии N—N или они совпадают (см. ниже). Русло с прямым уклоном ( г > 0 ) . Приведем уравнение (6.42) к виду, удобному для исследования. С этой целью рассмотрим отдельно числитель (ч) и знаменатель (з) правой части этого уравнения. Числитель правой части уравнения (6.42): где расход Q выражен по формуле равномерного движения Q = = Ко Л/U Ко — модуль расхода в условиях равномерного движения. -167 Знаменатель правой части уравнения (6.42): з = 1 aQ2 В . = 1 — f (/гк) f (А) где по уравнению (6.9) aQ2/g = (a3JBK^=f(hK), (6.46) а со3/B = f(h). Крибая подпора а. $ "S Рис. 6.7. Формы кривых свободной поверхности при г<г„. Подставляя получаем выражения dh ds Рис. 6.8. Формы кривых свободной поверхности при г>/ к . (6.45) и (6.46) в уравнение 0 -f(h4) ) 1• K (6.42), (6.47) fW Рассматривая неравномерное движение в русле с п р я м ы м у к л о н о м (i > 0), различаем три случая: 1-й, характеризуемый условиями ho > Ак и i < tK; 2-й, характеризуемый условиями ho < hK и i > 3-й, характеризуемый условиями ho = hKn i=iK. Рассмотрим отдельно каждый из намеченных случаев. 1-й с л у ч а й (см. рис. 6.7) представлен тремя кривыми свободной поверхности, соответствующими каждой из трех зон (а, Ь, с).- 3 о н е а отвечает кривая подпора типа ai. Она появляется в русле, когда h > ho > hK- Используя уравнение (6.47), д о к а ж е м , что кривая свободной поверхности в зоне а имеет форму, показанную на рис. 6.7. Так как для данной кривой имеется условие h > ho > hK, то она характеризуется неравенствами К 2 > К \ и f (h) > f (/i K ). Следовательно, в уравнении (6.47) 0 и з > О, а поэтому dh/ds >• 0; отсюда заключаем, что глубины потока h по течению увеличиваются, т. е. в зоне а действительно получаем кривую подпора. При стремлении h к бесконечности К 2 и f(h) т а к ж е стремятся к бесконечности; в то ж е время величины К \ и /(Ак) сохраняют свои значения. Следовательно, при Л - > о о , со-168 гласно (6.47), dh/dsi; отсюда заключаем, что в нижней части кривая подпора в зоне а имеет горизонтальную асимптоту АВ. Таким образом, вниз по течению кривая подпора будет все более и более приближаться к горизонтальной прямой. При стремлении h к ho (см: левый конец кривой на рис. 6.7) величина К2 стремится и /С2, поэтому, согласно (6.47), производная dh/ds-*-0, следовательно, в верхней части кривая подпора в зоне а имеет асимптоту в виде линии нормальных глубин N—N. З о н е b (см. рис. 6.7) отвечает кривая спада типа bi. Она появляется в русле, когда ho > h > hK, следовательно, К\ > К% и f(h)>f(hK). Тогда, согласно (6.47), ч <. О и з > 0 , а поэтому dh/ds <. 0; отсюда заключаем, что глубины потока h вниз по течению уменьшаются, т. е. в зоне b действительно получаем кривую спада. При стремлении h к ho величина К2 стремится к Kz , поэтому, согласно (6.47), производная dh/ds-^0, следовательно, в левой (верхней) части кривая спада в зоне b имеет асимптоту в виде линии нормальных глубин N—N. При стремлении h к hK знаменатель правой части уравнения (6.47) обращается в нуль и, следовательно, величина dh/ds ->- оо; отсюда заключаем, что в нижней части кривая спада в зоне b имеет вертикальную касательную CD (водопад), т. е. подходит к линии критических глубин К—К под углом 90°. З о н е с (см. рис. 6.7) отвечает кривая подпора типа ci. Она появляется в русле, когда h < hK < ho. Рассуждая, как и выше, ~ можно с помощью уравнения (6.47) показать, что кривая в зоне с обладает следующими свойствами: она является кривой подпора, на правом своем конце имеет вертикальную касательную CD, асимптот нет, выпуклость ее обращена вниз, длина ее является конечной. 2-й с л у ч а й , характеризуется условиями ho С hK и i > t'K (рис. 6.8). Путем исследования уравнения (6.47), проводимого точно т а к же, как и в 1-м случае, легко доказать, что имеют место три кривые свободной поверхности, отвечающие каждой из ' зон (аг, &2, Ci) . Из рисунка видно: 1) к а к а я из этих кривых является кривой подпора и к а к а я — кривой спада; 2) какие имеются у данных кривых (по их концам) асимптоты или касательные; 3) в какую сторону обращены выпуклости кривых. Та или другая из рассматриваемых кривых появляется в русле в зависимости от того, в какой зоне (a, b или с ) мы фиксируем точку свободной поверхности с глубиной h. .3-й с л у ч а й , характеризуется условиями ho=hK и i=/K (рис. 6.9). Здесь линии N — N и К — К совпадают, поэтому зона b ! исчезает и остаются только две зоны а и с. Соответственно этому получаем две кривые свободной поверхности аз и сз. Путем исследования уравнения (6.47) можно доказать, что эти кривые являются кривыми подпора и имеют форму, показанную на рис. 6.9. -169 Как видно, при i> 0 всего получаем восемь различных видов кривой свободной поверхности (относящихся к случаю неравномерного движения): шесть из них являются кривыми подпора; две — кривыми спада. Заметим, что кривой подпора называется такая кривая свободной поверхности, вдоль которой (по течению) глубины потока возрастают; кривой спада — кривая свободной поверхности, вдоль которой глубины потока уменьшаются. КпиПпя иг ппВпопа а г Рис. 6.9. Формы кривых свободной поверхности при i—iK._ Кривая спада Ъ0. Рис. 6.10. Формы кривых свободной поверхности при г = 0 . Рис. 6.11. Формы кривых свободной поверхности при £<0. Рассмотрим неравномерное движение в русле с горизонтальным дном (г = 0). После приведения уравнения (6.43) к виду, удобному для исследования, и анализа данного уравнения легко доказать, что в этом случае может иметь место одна из двух форм свободной поверхности (рис. 6.10). При г' = 0 равномерное движение невозможно, ho = °°, поэтому зона а исчезает (линия N—N располагается на бесконечно большом расстоянии от линии дна); остаются только зоны Ь и с. Зоне Ь отвечает кривая спада типа bo. На левом своем конце она имеет горизонтальную асимптоту АВ (см. рис. 6.10), удаленную на бесконечно большое расстояние от линии дна русла. На правом конце кривая спада имеет вертикальную касательную CD. Кривая в зоне с обладает следующими свойствами: она является кривой подпора типа со. На правом своем конце имеет вертикальную касательную CD, асимптот нет, выпуклость ее обращена вниз, длина ее является конечной. , Рассмотрим неравномерное движение. в русле с обратным уклоном дна (t < 0). После приведения уравнения (6.44) к виду, -1-70 удобному для исследования, и анализа данного уравнения можно показать, что в этом случае имеют место две формы свободной поверхности (рис. 6.11). Здесь, как и в случае i = 0, получаем в зоне b кривую спада типа Ь', а в зоне с — кривую подпора типа с'. Подчеркнем, что в зоне b кривая спада на левом своем конце имеет такую ж е горизонтальную асимптоту, как и в случае t = 0. Наглядное представление о возможных формах (видах) кривой свободной поверхности при неравномерном движении и условиях, когда они могут наблюдаться, дает табл. 6.1. Как видно, для случая неравномерного движения воды в призматическом русле имеют место всего двенадцать форм кривых свободной поверхности. Следует запомнить, что кривые свободной поверхности всегда подходят к линии N—N асимптотически, к линии же К — К — имея вертикальную касательную и заканчиваясь при спаде водопадом, при подпоре — гидравлическим прыжком (подробнее об этом явлении речь пойдет в гл. 9). Кривая свободной поверхности данной формы никогда не пересекает линий К — К и N—N. 6.7. Общие указания об интегрировании дифференциального уравнения неравномерного движения воды в призматическом русле Преобразуем дифференциальное, уравнение неравномерного движения воды в русле с прямым уклоном дна (6.42) к виду, удобному для интегрирования. Знаменатель правой части уравнения (6.42) представим в виде 3 = 1 - aQ2B/(ga3) = 1 - jKo/K2, где модули расхода Ko = QI л/.i и /(=соСУ./?; j = aiC2B/(g%). Подставляя выражения для числителя (6.49) в уравнение (6.42), получаем dh/ds = i(l-KVK2)/(l-jKVK2). (6.48) (6.49) (6.45) и знаменателя (6.50) Введем дополнйтельное обозначение К/К 0 = н, (6.51) где % — относительный модуль расхода. Применяя это обозначение, окончательно вместо (6.50) получаем dh[ds = i (я2 — 1)/(и2 — /). (6.52) -171 З а м е т и м , что в е л и ч и н а /, к а к в и д н о из (6.49), д л я п р и з м а т и ч е с к о г о р у с л а з а в и с и т т о л ь к о от г л у б и н ы h. У р а в н е н и е (6.42) м о ж н о п е р е п и с а т ь в в и д е ds/d/г = (и2 - / ) № - данного !)• (6-53) Таблица 6.1 Виды кривой свободной поверхности при неравномерном движении Характер кривых, свобод- Обозначение свободной Уклон днаВиды ной поверхности кривых поверхности ® N к Of // ® \ Вогнутая кривая подпора Примеры 'Т^ру^-^Плотина. А N ъt ^ Выпуклая кривая спада Порог ' / / / / / / / ЪЩит Ci Вогнутая кривая подпора -5- 1 i>o / . .——г ^ ' III К К ® "N_ п yf •ч i>zK ® \ \ ^ Л - Вогнутая кривая 'спада ^ JHum Cz -172 Выпуклая кривая подпора X V Характер Виды кривых свободной Обозначение свободной Уклон, дна поверхности кривыхповерхности Примеры N ® аз Горизонтальная . прямая подпора Cjr Горизонтальная прямая подпора Ъ0 Выпуклая кривая спада . .«Л К i>0 ® I/Щит ^—^^^L^Bqdonad />////77/ i=0 У///////////////////// с0 - Вогнутая кривая подпора | Щит IL /{/{///Р///////Г ъ/ Ъ' ъ' Выпуклая кривая спада с' Вогнутая кривая подпора i<0 3 Щит 1 ь 7777' ^ ^ ^ i<0 П о с к о л ь к у величины и и /, в х о д я щ и е в п р а в у ю часть уравнения, являются функциями только h ( к 2 - j ) / ( x 2 - l ) = /(/*), то (6.53) м о ж н о п р е д с т а в и т ь в в и д е ds - - j f (/?) dh. этого (6-54) ' (6.55) Интегрируя это уравнение между двумя сечениями 1—1 и 2—2 (см. рис. 6.5), имеем s = -±-\f(h)dh. (6.56) hi Как видно, для того чтобы получить расчетное уравнение, связывающее h и s, необходимо отыскать неопределенный интеграл: J f(h)dh, (6.57) где функция f(h) выражается формулой (6.54). К аналогичной задаче мы приходим также и при рассмотрении вопроса о'б интегрировании, уравнения неравномерного движения в призматическом русле с горизонтальным дном (t = 0) и в русле с обратным уклоном дна (г < 0). Нужно отметить, что даже для русел с простейшей формой поперечного сечения аналитический вид функции f ( h ) является весьма сложным, так что найти точное значение вышеуказанного интеграла не представляется возможным. В общем случае эта задача может быть решена только приближенно. Первоначально способы Приближенного интегрирования уравнения неравномерного движения были предложены для наиболее простых форм русла (решения Дюпюи—Рюльмана и Бресса для весьма широких до сравнению с глубиной прямоугольных русел; решение Толкмита для широких параболических русел). > Современные способы интегрирования применимы для, призматических русел с какой угодно правильной формой поперечного сечения и с каким угодно уклоном дна. Существует много способов приближенного интегрирования уравнения неравномерного движения, предложенных различными исследователями, которые являются достаточно простыми с точки зрения их практического использования и в то же время обеспечивают в расчетах необходимую точность. , Остановимся ниже на пояснении способа Б. А. Бахметева, предложенного в 1914 г., который рекомендован для большинства русел «правильного» поперечного сечения. Кроме этого, рассмотрим более общие решения для призматических русел любой, в том числе и «неправильной», формы поперечного сечения, предложенные В. И. Чарномским в 1914 г. и Н. Н. Павловским в 1924 г. Эти способы получили наиболее широкое распространение в практике расчетов. 6.8. Интегрирование уравнения неравномерного движения по способу Бахмегева Рассмотрим вначале случай i > 0. Д л я интегрирования уравнения ((152) Б. А. Бахметев предложил использовать показательную зависимость (K"\K'f = (h"/h')x, (6.58) -174 где h' и h" — две произвольные глубины, взятые для рассматриваемого поперечного сечения русла; К' и К"— модули расхода, отвечающие этим глубинам; х — постоянный для данного русла показатель степени, зависящий от формы и размеров поперечного сечения, а также от шероховатости русла, называемый гидравлическим показателем русла. Зависимость (6.58) не имеет строгого теоретического обоснования и, вообще говоря, является приближенной. Однако есть категория русел, для которых она выполняется теоретически «точно» (для этих русел х вовсе не зависит от глубины потока). Сюда относятся следующие русла: весьма узкие прямоугольные (лг = 2,0); широкие прямоугольные (л: = 3,4); узкие параболические (я = 3,7); широкие параболические ( х = 4 , 4 ) ; треугольные (л: = 5,4). Логарифмируя (6.58), получаем x = 2{\gK" -\gK')l{\gh" -\gh'). (6.59) Значение гидравлического показателя русла можно определить по выражению (6.59). Однако величина х зависит от расчетных глубин, входящих в эту формулу, поэтому их необходимо выбрать таким образом, чтобы они обеспечивали требуемую точность дальнейших расчетов. В случае положительного уклона дна русла (i > 0) расчетные глубины h' и h" следует принимать равными: h' = ho и h"=^hCp, где ho — нормальная глубина, /гср — средняя глубина на рассматриваемом участке потока. Тогда формула (6.59) будет иметь вид х = 2 (lg /Сср — lg K0)/(lg Лср — Ло). (6.60) При использовании формулы (6.60) величину hcp можно устанавливать приближенно (погрешность в величине /гср мало сказывается на окончательных результатах расчетов). Значения гидравлического показателя для русел «правильного» поперечного сечения изменяются в пределах 2 < х < 5,5. Выше мы получили дифференциальное уравнение (6.52): dh\ds = г (х2 — 1)/(х2 — j). Для интегрирования этого уравнения показательную зависимость Бахметева (6.58) переписываем в виде (К/Ко)2 = (h/h0)x, (6.61) где h — любая действительная глубина; ho — нормальная глубина, определяемая по формуле Шези, и Ко — отвечающий ей модуль расхода. Введем в рассмотрение относительную глубину rj, определяемую как отношение глубины h в данном сечении к нормальной глубине ho i\ = /?//г„. . (6.62) 175- Показательную зависимость (6.61) запишем в такой форме: 2 (6.63) % = г)х, где к — относительный модуль расхода Подставляя (6.63) в (6.52), имеем К/Ко. dhjds = i (цх —- l)/(rf — /). (6.64) Дифференцируя (6.62), будем иметь dh = h0dr\. (6.65) I ' • Подставляя (6.65) в уравнение (6.64) и отделяя переменные, после соответствующих преобразований получим -lgL = dr\ + ( 1 - / ) й т ] / ( ч х - 1 ) . (6.66) Дифференциальное уравнение (6.66) составлено для произвольной элементарной части потока длиной ds (см, рис. 6.5). После интегрирования этого уравнения от сечения 1—1 до сечения 2—2 будем иметь Цг -J— («2 — «О = Г|2 — "Л, — J (6-67) ill где T)I = h\jh0 и % = h2/h0. (6.68) Как показывают подсчеты, / обычно мало изменяется с изменением глубины потока. Имея это в виду, ( 1 — / ) можно вынести за знак интеграла, приписав величине } некоторое среднее для рассматриваемого участка потока значение, которое далее будем обозначать через /. Учитывая, что s2 — si = l, вместо лучим (6.67) по- Оз il\h, = тъ - п, - (1 - 7 ) S Л}/(1 - 4х). (6.69) v 1. Считая, что для данного русла x = const, подынтегральную функцию в уравнении (6.69) следует рассматривать как функцию только т). Поэтому можно написать = + (6-70) где £>(т]) носит название ф у н к ц и и Б а х м е т е в а , а Со —произвольная постоянная величина. Пользуясь обозначением (6.70), уравнение (6.69) окончательно можно представить в виде t7/Ao = Tfe— Л1 - ( 1 - 7 ) [ Б Ы - Б Ы ] . (6.71) Это и есть уравнение кривой свободной поверхности потока -476 АВ (см. рис. 6.5). Оно называется у р а в н е н и е м н е р а в н о ^ м е р н о г о д в и ж е н и я или иначе — у р а в н е н и е м Бахмет е в а (для случая i > 0). Величину /..входящую в уравнение (6.71), практически определяют: а) или по формуле / = 4 - 0 ' ' + Ь)> (6-72) где /1 и /г вычисляются по зависимости (6.49) соответственно для глубин hi и Аг; б) или по формуле J = aiC2B/(gf), (6.73) где С, В, % вычисляются для глубины й = (А, + А,)/2. (6.74) Значения функции Бахметева £(ri) были вычислены путем разложения подынтегральной функции в ряд для различных значений ци х и сведены в таблицу (см. табл. 8 приложения). Установив для данного русла величину х, при помощи указанной таблицы можно легко найти по вычисленным предварительно ru и т)2 соответствующие им функции 5(T]i) и 5(т]2). Рассмотрим поток в горизонтальном русле (t = 0). В этом случае показательную зависимость Бахметева (6.58) переписываем в виде (К1Кк)2 = (h/hK)x (6.75) или в виде = модуль ' (6.76) g — относительная где я к — относительный расхода и глубина: %к = К/К к ; 1 = ЩК. (6.77) Как видно, в случае t = 0 действительные элементы потока А и К относим к критическим элементам потока Ак и Кк• Пользуясь соотношением (6.76), получаем соответствующее уравнение неравномерного движения в таком виде: гУ/Ак = ( / к - O f e - i i ) - ! £ ( & ) - £ ( £ , ) ] . (6.78) Рассмотрим поток в русле с ^обратным уклоном дна (/<0). В этом случае показательную зависимость для модуля расхода переписывают в виде: (К/Ко)2 = (h/h'o)x (6.79) или в виде = 13 1 Заказ Л » 33 ' (6-80) 177 где %' — относительный модуль расхода и £—относительная глубина: к = К/Ко; £=А/Ао. _ (6.81) Как видно, в случае i < 0 действительные элементы h и К мы отнрсим к элементам фиктивного равномерного потока h'Q и /Сд. Пользуясь соотношением (6.79), получаем следующее уравнение неравномерного движения: + J') [ £ ( & ) - £ ( £ , ) ] . (6.82) Функции />(£) и £ ( £ ) определяются по таблицам, приводимым в гидравлических справочниках [35, 36]. 6.9. Интегрирование уравнения неравномерного движения по способу Павловского При интегрировании уравнения неравномерного движения в качестве независимой переменной Павловский принял отношение к = К/Ко, т. е. относительную расходную характеристику. Ограничимся рассмотрением решения для русла с прямым уклоном дна ( t > 0 ) . Исходное дифференциальное уравнение (6.52) в этом случае принимает вид dnj{a ds) = г (х2 — 1)/(х2 — /), (6.83) а = du/dh ££ (щ — И|)/(й2 — /г,). (6.84) где Здесь hi я — глубины в сечениях 1—1 и 2—2; m и хг— соответствующие им значения относительного модуля расхода. Величина а принимается постоянной ( a « c o n s t ) и равной среднему ее значению в пределах всей кривой свободной поверхности, что является допущением. Преобразуем уравнение (6.83): aids = dn + (l — ~j)d%/{%— l). (6.85) Интегрирование уравнения (6.85) дает зависимость для построения кривой свободной поверхности ail — Х2 — hi — ( 1 - / ) [ Я ( я 2 ) - Я ( н 1 ) ] , (6.86) где / — расстояние между сечениями с глубинами hz и h\\ j — среднее для рассматриваемого участка потока значение /, которое практически определяют по формуле (6.72) или (6.73); Я(хг) и IJ(%i) — функции Павловского от хг и %i. Ф у н к ц и я П а в л о в с к о г о Я (я) выражает интеграл Я(х) = J dn/{l - х 2 ) . -178 (6.87) Числовые значения функции Я ( х ) тождественно равны значениям функции 5(TI) при гидравлическом показателе русла х = 2,0. Действительно, если в равенстве (6.63) принять х — 2, то будем иметь г | = х . Поэтому для определения П ( к ) следует пользоваться таблицей значений функции £(т]) при гидравлическом показателе х = 2 (табл. 8 приложения). Значения функции Павловского, кроме таблиц, можно вычислить по следующим формулам: при к > 1 Л(и) = 1/21п[(х + 1)/(и— 1)]; (6.88) при * < 1 П{%) = 1/2 In [(1 + и ) / ( 1 — «)]. (6.89) Уравнение Павловского (6.86) применимо для русел любых форм поперечного профиля. Однако необходимо иметь в. виду, что при использовании метода Павловского величину а можно принимать постоянной для всего участка при малых уклонах (i < iK) и медленном изменении глубин, например для кривых типа а\ (см. табл. 6.1). Если изменение глубины происходит быстро, например в конце кривых типа bi, или если уклоны русла значительны i > гк, весь участок неравномерного движения следует разбить на более мелкие участки, в пределах которых можно принимать а = const. В этом случае расчет неравномерного движения выполняется по (6.86) для каждого выделенного короткого участка. 6.10. Построение кривой свободной поверхности потока по уравнению Бернулли методом конечных разностей В последнее время в связи с внедрением ЭВМ в практику инженерных расчетов все чаще стали отказываться от интегрирования уравнения неравномерного движения, а решать его численными методами. Остановимся ниже на способе расчета кривой свободной поверхности Чарномского, применимом для случая призматического и непризматического русла (канала). Напомним, что русло является непризматическим, если его поперечное сечение изменяется по длине. В этом случае дифференциальное уравнение неравномерного движения оказывается относительно сложным (см. уравнение (6.39)) и не интегрируется д а ж е приближенно. В. И. Чарномский в 1914 г. разработал способ, основанный на непосредственном применении уравнения Бернулли к расчету потока с плавно изменяющимся движением методом конечных разностей. Чтобы построить кривую свободной поверхности потока, разобьем данный канал (русло), имеющий длину L, на отдельные участки относительно малой длины, равной I. При этом каждый выделенный участок канала длиной / рассматриваем в отдельности, идя вверх или вниз по течению. 12* 179 Рассмотрим и ( т + 1 ) (см. уровне низшей нием Бернулли д л я примера участок, ограниченный сечениями т рис. 6.6). Проведем плоскость сравнения О ' О ' на точки дна в сечении ( т + 1 ) и, соединив уравнесечения т и (т+1), получим: itm + hm + av2m/(2g) = hm +1 + avl + ,/(2g) + A hu (6.90) где ilm — падение дна канала от сечения т до сечения ( т + 1 ) ; vm и Vm+i — средние скорости в сечениях т и ( т + 1 ) ; Дhi— потери напора по длине от сечения m до сечения ( т + 1 ) . Ранее было введено понятие уклона трения (см. п. 6.5): h = v2/(C2R). (6.91) Пользуясь этой величиной, потерю напора A hi можно представить в виде / Ahi — hi,,,, (6.92) где k — среднее значение уклона трения на длине 1 т Используя зависимость (6.92), уравнение Бернулли (6.90) представим в виде lm={3m+l-9m)l{i-h), (6.93) где Э то и Эт+1 •— удельные энергии сечения соответственно в сечениях т и ( m + l ) j Эт = hm + av%/(2g); 3m + i = hm+[ + av2m + l/(2g). (6.94) Величину п, входящую в (6.93), можно найти по следующей формуле: + + (6.95) где k m и к т + 1 — уклоны трения, найденные д л я сечений m и ( т + 1 ) , в которых имеют место глубины h т И hrn+1. Уравнение (6.93) и является основным расчетным уравнением. Положим, что нам заданы: русло канала, расход Q и глубина воды hm+1 в конце канала. При построении свободной поверхности потока в непризматическом русле, применительно к выделенному участку длиной I, уравнение (6.93) приходится решать подбором. При этом поступают следующим образом. З а д а в а я с ь в намеченном сечении m рядом глубин hmi, hm2, hm{ и д л я к а ж дой глубины вычисляя величины Эт и г>, отыскиваем т а к у ю глубину hm., которая будет удовлетворять .равенству (6.93). Уравнение (6.93) проще решать в отношении длины 1 т рассматриваемого участка, чем в отношении глубины (hm или hm+1) в одном из граничных сечений. Поэтому при построении кривой свободной поверхности потока задаются рядом глубин, возрастающих или убывающих через некоторый интервал Ah, начиная, на-180 пример, от известной hm+i и принимая далее каждую пару соседних глубин за глубины на границах участка (за hm и hm+i), из выражения (6.93) находят расстояние I. Д л я облегчения вычислений предварительно следует построить два вспомогательных графика: 9 = f(h) и (i — ii)=f(h). Поскольку призматическое русло можно рассматривать к а к частный случай непризматического, то описанный выше способ расчета может быть использован и д л я построения свободной поверхности потока в любом призматическом русле. - Особенно расширились возможности использования способа Чарномского с внедрением вычислительной техники в гидравлические расчеты. Этот способ легко реализуется на ЭВМ, д л я него составлены соответствующие программы счета. В заключение отметим, что полученные нами уравнения неравномерного движения позволяют решать целый ряд задач, встречающихся в инженерной практике. В уравнения для русел с любым уклоном дна входят три переменные величины: глубины hi и Ы в начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка и расстояние I между ними. Решение уравнений неравномерного движения заключается в определении одной из величин по известным значениям двух других. Исходя из этого можно выделить два основных типа задач. В задачах первого типа по двум известным глубинам отыскивается длина участка. Эти задачи называют прямыми. В задачах второго типа (обратных) заданными являются глубина в одном из сечений и расстояние между сечениями, а отыскивается глубина в другом сечении. При решении любой из з а д а ч вначале необходимо установить тип кривой свободной поверхности, подлежащей .расчету. Д л я этого следует определить зону, в которой располагается кривая (см. табл. 6.1), что, в свою очередь, требует отыскания критической глубины h K и нормальной глубины ho. П р я м ы е задачи решаются, без подбора по уравнениям (6.71), (6.78), (6.82), (6.86) или (6.93). При назначении глубин h{ и h 2 в расчетных сечениях, между которыми определяется расстояние I, следует помнить, что кривые типа а\, b\, Ь2 и с 2 асимптотически стремятся к линиям нормальных глубин N — N (см. табл. 6.1), поэтому длины этих кривых оказываются равными 1 = — оо. Д л я получения конечных значений длин кривых следует принимать несколько большее значение глубины в расчетном сечении (/г ssT,05/io), когда кривая подходит сверху к линии нормальных глубин, и несколько меньшее (h^O,95ho), когда кривая свободной"поверхности подходит Калинин N—N снизу. ^ Отметим, что к решению прямой задачи приводится и задача о построении по расчетным точкам кривой свободной поверхности. Обратные задачи решаются методом последовательных при1 ближений. . -181 4 Пример. Трапецеидальный канал шириной по дну 6 = 12 м, уклоном г = 0,0002, заложением откосов т = 1 , 5 и коэффициентом шероховатости п = 0,025 работает в условиях подпора. При расходе воды Q = 44 м 3 /с определить нормальную глубину А0 и при глубине воды у подпорного сооружения Ап = 5 м рассчитать и построить кривую свободной поверхности методом Бахметева. Необходимо также определить глубину воды hi на расстоянии L = = 14 км от подпорного сооружения. Весь расчет при выполнении данной задачи целесообразно разбить на отдельные этапы. 1. О п р е д е л е н и е н о р м а л ь н о й г л у б и н ы ho. Этот воцрос решается так, как было изложено в п. 5.7 (задача 4). Согласно исходным данным, нормальная глубина Ао = 2,88 м. 2. О п р е д е л е н и е к р и т и ч е с к о й г л у б и н ы hK. Использ у я общий случай определения Ак, с помощью построения графика, представленного на рис. 6.4 (п. 6.4), находим, что Ак = = 2 , 2 м. 3. У с т а н о в л е н и е ф о р м ы с в о б о д н о й поверхнос т и п о т о к а . Сопоставляя заданную глубину у подпорного сооружения Ап = 5 м с глубиной /го=2,88 м и Ак = 2,2 м, при / > 0, согласно табл. 6.1, имеем кривую подпора типа ai. 4. Р а с ч е т и п о с т р о е н и е к р и в о й с в о б о д н о й п о в е р х н о с т и . Выберем для решения поставленной задачи способ Бахметева, изложенный в п. 6.8. Д л я расчетов по уравнению .(6.71) необходимо определить гидравлический показатель русла х я величину /. Для вычисления величины х воспользуемся зависимостью ,(6.60) * = 2(lg*-lgKo)/(lgA-lgAo), где нормальная глубина Ао = 2,88 м; Ko = Q/ V i = 3120 м 3 /с — •соответствующий ей модуль расхода; А — средняя глубина рассматриваемом дуль расхода. участке потока; К — соответствующий на ей мо- Величину А можно установить приближенно как среднюю из глубины у подпорного сооружения Ап и глубины в конце кривой лодпора, принимаемой равной Ао+0,05 м = 2,93 м. В рассматриваемом примере А = 3,96 м, К = 5600 м 3 /с. Найденное по (6.60) значение х = 3,66 округляем до табличн о го х = 3,70. Входящую в уравнение (6.71) величину / определяем по форм у л е (6.73), в которой значения С, В и % вычисляются для сред-382 ней глубины h на рассматриваемом участке. Величина j составляет 0,048. Расчет координат кривой свободной поверхности по способу Бахметева представлен в табл. 6.2. Глубина у подпорного сооружения hn принята за глубину h 2 = 5 м. Как показано на рис. 6.12, вся кривая подпора разделена на четыре участка и за глубину /и приняты следующие з н а чения: 4,50; 3,96; 3,50 и 2,93 м. Расстояния I от Л2 до верхней границы каждого участка, о г р а ниченного глубиной Ьл, представлены в графе 10 табл. 6.2. По данным этой таблицы построена кривая подпора (см... рис. 6.12). Здесь ж е нанесена линия дна потока, построенная: в соответствии с выбранными вертикальным и горизонтальным, масштабами строго в заданном уклоне, и линия нормальной г л у бины N—N. При построении на графике линии дна с учетом двух масштабов необходимо иметь в виду, что г = A z № lt = 0,0002 = 2/10000. Таблица 6.2 Расчет кривой свободной поверхности по способу Бахметева ы Й| Ча П1 I 2 3 4 5,0 4,50 3,96 3,50 2,93 1,735 1,553 1,375 1,213 1,018 l 5(tl 2 ) S(Hi) (6)-(7) (8) (1-/) 5 6 7 8 9 10 0,182 0,360 0,522 0,717 0,090 0,120 0,182' 0,288 0,901 -0,030 —0,092 —0,198 —0,811 —0,0286 —0,0878 —0,1887 —0,7750 3 200 6 450 10 250 21500' "П2—Til M 183- Поэтому величину Azm — 2м необходимо выразить и отложить на "рисунке в принятом вертикальном масштабе, а соответствующую ей в е л и ч и н у / = 1 0 0 0 0 м в горизонтальном масштабе. 5. О п р е д е л е н и е г л у б и н ы hi н а р а с с т о я н и и L = = 14 км от подпорного сооружения. Искомую глубину можно снять с кривой (см. рис. 6.12), а при необходимости уточнить аналитически следующим образом. . Воспользуемся уравнением (6.71), левая часть которого равна •iL/h0 = 0,0002 : 2,88 • 14000 = 0,970. Подставляя в уравнение (6.71) известные величины, получим 0,679 = тп — 0 , 9 5 2 5 (пО = /= (6.96) Решим это уравнение графически. Результаты подсчетов д л я построения графика (рис. 6.13) приведены в табл. 6.3. Т а б л и ц а 6.3 Расчетная таблица •П1 Б (ГЦ) 1,06 1,08 1,10 1,12 0,580 0,510 0,456 0,412 0,952 Б (1(10 . 0,5520 0,4353 ' ' 0,4338 0,3920 ' f(T)l) 0,5080 0,5947 0,6662 0,7280 . По графику находим, что уравнению (6.96) удовлетворяет r\i = 1,101. Следовательно, искомая глубина будет равна hi = = r)iAo = 3,15 м. Следует иметь в виду, что широко используемый трудоемкий метод последовательного приближения при решении уравнений типа (6,96) может быть упрощен путем применения ЭВМ. -184 Глава седьмая Н Е Р А В Н О М Е Р Н О Е УСТАНОВИВШЕЕСЯ Д В И Ж Е Н И Е В ЕСТЕСТВЕННЫХ ( Р Е Ч Н Ы Х ) РУСЛАХ 7.1. Общие указания. Разбивка водотока на участки ВОДЫ 1 В гл. 6 указывалось, что неравномерное движение характерно для речных потоков, русло которых значительно изменяет свою форму и размеры поперечного сечения по длине. В связи с этим русла естественных водотоков (рек) должны рассматриваться как непризматические. Д л я неравномерного движения воды в реках характерно изменение по длине потока скорости течения, средней глубины, площади сечения, коэффициента шероховатости и уклона дна. При проектировании плотин на реках, а также при проектировании расчисток естественных русел и решении вопросов, связанных с разработкой карьеров в руслах и на затопляемой части, поймы реки, приходится строить кривые свободной поверхности, потока, которые будут наблюдаться после изменения его естественного режима. Так, в зоне влияния плотины имеет место явно» выраженное замедленное движение, а свободная поверхность принимает форму кривой подпора. То ж е явление образования подпорной кривой имеет место на реке при ее слиянии с другим потоком, на котором в данный момент проходит паводок, или при ее впадении в водоем в период высокого стояния уровня воды в нем. Ускоренное движение, сопровождающееся формированием: кривой спада, наблюдается на реке, впадающей в водоем, уровни которого в рассматриваемый период оказываются ниже обычного. Кривая спада может сформироваться и на участке предполагаемой расчистки естественного русла. Таким образом, задачи о расчете неравномерного движения речных потоков сводятся к расчету (проектированию) кривых свободной поверхности. Знать заранее положение кривой свободной поверхности потока с нарушенным естественным режимом весьма важно; этопозволит вычислить убытки от затопления, вызванного подпором,, доставить проект обвалования, если оно требуется по топографии местности, и т. д. Отметим, что в данной главе речь пойдет только об установившемся движении жидкости. Вопросы расчета неустановившегося движения воды рассматриваются в гл. 10. Полученное выше дифференциальное уравнение неравномерного движения воды (6.39) в случае естественных (непризматических) русел интегрированию не поддается. В этом случае приходится обращаться к различным приближенным методам расчета, причем выбор того или иного метода, а равно и точность расчета, -185 зависят от полноты и надежности гидрометрических и топографических материалов, имеющихся в распоряжении проектировщика. При проектировании кривой свободной поверхности в естественных водотоках приходится оперировать с некоторыми средними значениями гидравлических элементов потока, которые и принимаются за действительные характеристики данного водотока. Так как гидравлические элементы потока в естественных условиях отличаются значительными * изменениями по его длине, то при установлении средних значений этих элементов данный во- Рис. 7.1. Продольный профиль естественного водотока и разбивка его на участки. доток необходимо разбить .с помощью отдельных створов (или раздельных сечений) на участки и для каждого из них установить средние значения гидравлических элементов, которые примерно соответствовали бы действительным их значениям и, следовательно, более или менее правильно отражали естественное состояние потока. При разбивке русла на Отдельные р а с ч е т н ы е у ч а с т к и руководствуются тем, чтобы каждый из них был более или менее однородным в отношении его поперечных сечений, шероховатости и уклонов свободной поверхности, имеющихся в естественном состоянии (до постройки плотины или выполнения расчисток) . Разбивку водотока на участки осуществляют различными способами в зависимости от имеющегося гидрометрического материала. ^ Если имеется наблюденный естественный продольный профиль свободной поверхности, то разбивку рекомендуется осуществлять таким образом, чтобы в пределах данного участка наблюдался по возможности однообразный уклон свободной поверхности и вместе •с тем чтобы живое сечение не претерпевало резких изменений по форме. В пределах каждого такого участка кривую свободной поверхности потока считают прямой линией, имеющей тот или другой уклон (рис. 7.1). Если наблюденных естественных продольных профилей свободной поверхности нет, то при разбивке водотока на участки приходится руководствоваться, только лишь данными о живых се-186 чениях потока. В этом случае при решении задачи можно идти; двумя путями: во-первых, водоток можно разбить таким образом,, чтобы на протяжении участков площади живого сечения были: примерно постоянны; во-вторых, водоток можно разбить на участки так, чтобы в пределах одних участков наблюдалось только^ увеличение площади живого сечения (расширяющийся участок),, а в пределах других — только уменьшение ее (суживающийся, участок). Д л я такой разбивки используется график изменения площади: живого сечения по длине потока (рис. 7.2). На этом рисунке у к а - Рис. 7.2. График изменения площади живого сечения <в по длине потока s и разбивка его на участки. заны схемы разбивки водотока на участки, причем сплошная л и ния указывает, разбивку водотока на участки по первому приему,, а пунктирная — по второму. Первый из отмеченных здесь приемов нужно признать более целесообразным, так как в этом случае можно точнее подсчитать потери напора на трение по длине.Что касается выбора длины участков, измеряемой или по геометрической оси потока, или по стрежню (по линии наибольших, глубин), то эта длина определяется принятым способом разбивки, водотока на участки и падением свободной поверхности потока А-. в пределах участка (см. рис. 7.1). Падение уровня воды в пределах каждого расчетного участка в естественных условиях обычноне превышает 0,5—1,0 м. Длина расчетных участков может быть, различной; иногда она достигает нескольких километров. Излагаемые ниже способы расчета кривой свободной поверхности для естественных водотоков применимы лишь в тех случаях,, когда расход потока в пределах каждого расчетного участка, остается постоянным. Поэтому, если водоток имеет притоки, то* разбивать его на участки нужно таким образом, чтобы в устьях притоков или в непосредственной близости от них находились р а з дельные створы. В отдельные расчетные участки рекомендуется также выделять части естественных водотоков с поймами и у ч а стки в случае раздвоения русла. Задача проектирования свободной поверхности для заданного* естественного водотока, как видно из рис. 7.1, заключается в отыскании отметок уровней воды в граничных сечениях (т — 1), т, ( т + 1 ) и т.-д. Обычно для решения этой задачи имеют з а д а н ными: расход Q и отметку уровня воды в одном из сечений. Например, если выполняется расчет кривой подпора, то заданной, является отметка уровня воды в створе плотины zm+i (см. рис. 7.1). 187- В этом случае кривую свободной поверхности приходится строить, идя вверх по течению: по отметке уровня воды в сечении ( т + 1 ) находим отметку в сечении т (z m ); по последней определяем отметку уровня воды Zm-i и т. д. Таким образом, следует рассмотреть вопрос о том, каким образом можно определить отметку уровня воды в начале расчетного участка, если известна отметка в конце этого участка, а также расход воды Q. Д л я решения этого вопроса имеются два основных метода: Первый метод заключается в замене действительного естественного русла в пределах расчетного участка фиктивным призматическим или цилиндрическим р у с л о м с однообразным уклоном дна и неизменной по длине потока формой поперечного сечения. Далее для намеченного фиктивного призматического русла по уравнению неравномерного движения, полученному в гл. 6 (см. выше), находим искомую отметку уровня воды в начале расчетного участка. Этот метод построения кривой свободной поверхности имеет грубо приближенный характер и рекомендуется главным образом для ориентировочных расчетов, поэтому мы на нем останавливаться не будем. В т о р о й м е т о д заключается в непосредственном применении к выделенному расчетному участку основного дифференциального уравнения неравномерного движения (6.39). Этот метод является основным; его называют м е т о д о м н е п о с р е д с т в е н ного суммирования, причем суммирование может осуществляться различными способами. Здесь наряду с аналитическими способами имеется целый ряд графоаналитических и графических приемов, по которым отыскиваем отметку горизонта воды в начале расчетного участка. К методам второй группы можно отнести способ В.-И. Чарномского, рассмотренный в п. 6.10 я рекомендованный для расчета непризматических русел и использующий метод конечных разностей. В заключение отметим, что относительно точное решение для естественных русел может быть получено только при наличии достаточных данных о форме поперечных и продольного профилей русла, коэффициентах шероховатости русла, ожидаемых расходах, кривых связи Q = f(z) для отдельных створов водотока в естественном его состоянии. Рассмотрим традиционные методы расчета кривых свободной поверхности, специально предназначенные для речных потоков. 7.2. Дифференциальное уравнение установившегося неравномерного движения в условиях естественного водотока Основным уравнением при построении кривой свободной поверхности в естественных водотоках является уравнение установившегося неравномерного плавно изменяющегося движения, которое в дифференциальной форме было получено нами в виде (6.27). При рассмотрении неравномерного движения в призмати-188 ческих руслах мы приняли, что потери напора на преодоление местных сопротивлений dhj = 0. Учитывая возможность появления в естественных водотоках местных потерь напора, обусловленных изменением живых сечений по длийе потока, зависимость (6.27) в данном случае следует переписать в более полном виде: —dz = dhv + dhi + dhj, (7.1) где dhv = d[av2/(2g)], (7-2) = (7.3) dhi = -j^-ds. JWI • Iь "1 Рис. 7.3. К выводу основных расчетных зависимостей для естественного водотока. п1тп+1 "Г ТП -О Что касается местных потерь dhj, то их принято представлять в виде •... dhi = & ( ^ ) = l d h v , (7.4) где £ — коэффициент сопротивления, зависящий от характера изменения живых сечений. - , Подставляя (7.2), (7.3) и (7.4) в (7.1) , имеем (7.5) Рассмотрим один из участков естественного водотока, ограниченный раздельными створами m и ( т + 1 ) ; отсчет сечений ведем по течению (рис. 7.3). Интегрируя уравнение (7.5) от сечения m до сечения ( т + 1 ) , получим zm — zm +i = (1+0 егот + 1 2в аи„ 2g "> Т I + Q2 \ ds/K2, (7.6) где zm и Zm+i — отметки уровней воды в раздельных створах, отсчитываемые от плоскости сравнения 00; vm и vm+1 — скорости в этих сечениях. -189 С некоторым приближением можно считать, что s m+ 1 2 Q J dsjK2 = (Q 2 /K 2 ) ( s m + , - s m ) = Q 2 / / r , (7.7) s tn где Д" — среднее значение модуля расхода на рассматриваемом участке. Подставляя (7.7) в (7.6), получаем: 1) п о л н у ю форму уравнения, учитывающую как изменение скоростного напора по длине потока, так и местные потери напора: 1 1 \ , / (7.8) А —• z m — z m + , — Q2 ( 1 + 0 2g 1 «4 + 1 а?п ) К2 2) п р о м е ж у т о ч н у ю ф о р м у , учитывающую изменение скоростного напора, но не учитывающую местные потери напора: а / 1 1 \ , / (7.9) А = zm — zm +1 — Q2 2g I co?„ + 1 «2m ) ' K2 3) у п р о щ е н н у ю ф о р м у л у , не учитывающую изменений скоростного напора и местных потерь напора и учитывающую только потери напора на трение по длине потока hi: А = z m — z m + 1 = Q2ljK2. (7.10) Местные потери, обусловленные неровностями русла, учитываются в (7.10) заданием соответствующего значения коэффициента шероховатости, от которого зависит модуль расхода К. Величину /С2 можно определять по формуле К* = ± ( К 2 т + К2т + 1). (7.11) 7.3. Общий прием построения кривой свободной поверхности Как видно, первый этап проектирования свободной поверхности заключается в разбивке с помощью раздельных створов естественного русла на расчетные участки. При построении кривой свободной поверхности обычно известны: расход потока Q и отметка уровня воды в одном из граничных створов рассматриваемого участка водотока. Пусть, например, нам будет известна отметка Zm+i уровня воды в конечном створе последнего (считая вниз по течению) расчетного участка. Последним обычно является участок, непосредственно прилегающий к подпорному сооружению, так что построение кривой подпора ведется от сооружения вверх по течению. -190 Расчет отметок свободной поверхности можно выполнить, пользуясь одним из уравнений (7.8), (7.9) или (7.10), применяя их к каждому расчетному участку водотока. Д л я решения задачи перепишем уравнение (7.8) в таком виде: Q2 - ^ - ( l + a — V " ] = 2m-M+(i+a К 2g®m J J ° Т 2g< + 0 . (7-12) r Введем обозначения: f(Zm) = Zm-Q> [ к "I; 2 g« m J Л = ; 2m +, + (1 + p aQ2/(2go/m + ,). (7.13) (7.14) Имея в виду, что при заданной отметке zm+1 уровня воды в конечном створе расчетного участка величина Л является известной, можно написать: f(zm) = A. (7.15) Так к а к величины со т и К, входящие в левую часть уравнения (7.15) являются функциями искомой отметки zm, то это уравнение приходится решать методом последовательного приближения или графически. Задаваясь произвольно рядом значений отметки zm, находим соответствующие величины © т и К 2 и далее по выражению (7.13)—значения функции f(zm). На основании этих расчетов строится график функции f(zm), с помощью которого по величине А определяется zm. Найденная отметка zm уровня воды в начале последнего участка является граничной отметкой для предпоследнего участка и, следовательно, этот участок может быть подвергнут расчету аналогично тому, как это было изложено выше, т. е. по отметке zm находим отметку zm-\ и т. д. В результате подобных расчетов мы получим отметки уровня воды во всех интересующих нас створах и, таким образом, будем иметь возможность построить проектную кривую свободной поверхности. Разумеется, что вместо отметки z m + i можно было зад а т ь отметку zm и из уравнения (7.12) найти, подобно изложенному, отметку zm+1. Очевидно, порядок решения задачи остается таким же, какмы его наметили здесь, и в тех случаях, когда для построения кривой свободной поверхности используется уравнение (7.9) или <7.10). В целях сокращения объема вычислительных работ при решении уравнений неравномерного движения можно пользоваться предварительно построенными вспомогательными графиками, изображающими зависимость различных гидравлических элементов от отметки уровня воды в данном створе, например со = f(z), R = f{z) и т. д. Отметим, что решение уравнений (7.8), (7.9) и (7.10) можно заменить численными расчетами по методу конечных разностей и -191 реализовать на программирующем калькуляторе или при помощи ЭВМ. 7.4. Модуль сопротивления. Постулат инвариантности модуля сопротивления При построении кривых свободной поверхности в естественных водотоках в гидротехнике пользуются понятием модуля сопротивления. По предложению Н. Н. Павловского величину A/Q2 = F называют модулем сопротивления (7.16) расчетного участка реки. Ь 1/2 ^ , 1/2 тп Рис. 7.4. К постулату инвариантности модуля сопротивления. + 1-гг г3 тп+1 Рис. 7.5. Построение графика F= = f ( z ) по продольным профилям потока. Н. М. Вернадский и А. Н. Рахманов показали, что модуль сопротивления F для равнинных рек не зависит от уклона свободной поверхности и его можно рассматривать как функцию только средней отметки уровня воды на участке, т. е. F = f®, (7-17) где + + j). (7.18) Это положение и составляет сущность п о с т у л а т а и н в а риантности (неизменности) модуля сопротивления, который можно иллюстрировать следующим образом. Представим продольный разрез расчетного участка русла, ограниченный раздельными створами m и ( т + 1 ) (рис. 7.4). Пусть на данном участке при расчете Qi кривая свободной поверхности занимает положение аФи чему соответствует падение уровня на -192 участке. Ai, а при расходе Qz — положение а2Ъ2 с падением Дг, причем и в том и в другом случаях средняя отметка z уровня воды на участке одна и та же. В соответствии с высказанным выше постулатом инвариантности модуль сопротивления в обоих рассматриваемых случаях должен быть одним и тем же, т. е. отношения Ai/Q 2 и Дг/Q22 должны быть одинаковыми. i' Постулат инвариантности оказывается приемлемым для многих естественных русел, что позволяет с его помощью просто и притом достаточно точно построить кривую свободной поверхности. В случае приемлемости постулата инвариантности величина F целиком определяется двумя отметками: zm и zm+i любой величины, так как z, согласно (7.18), выражается через zm и zm+i. Зависимость F = f(z) для рассматриваемого участка русла можно представить кривой, изображенной на рис. 7.5. Построение графиков функции F = f(z) можно осуществить различными приемами. В одних случаях они могут быть построены с помощью непосредственного использования г и д р о м е т р и ч е с к и х д а н н ы х , в других, когда наблюдений недостаточно, с помощью г и д р а в л и ч е с к и х расчетов. Предположим, что в нашем распоряжении имеется целый ряд н а б л ю д е н н ы х естественных продольных профилей потока на расчетном участке, отвечающих расходам Qi, Q2, Q3 и т. д. (см. рис. 7.5). Следовательно, для этого участка мы можем найти значения средней отметки z и падения А свободной поверхности, соответствующие наблюденным расходам. Затем, пользуясь зависимостью (7.16), вычислим значения модуля сопротивления: • f i = Ai/Qi, F2 = A2/Qt F3 = A3/Q3 и т. д. • По полученным данным строим график функции F = f(z) для расчетного участка. График модуля сопротивления можно построить также с помощью к р и в ы х с в я з и Q = f{z), если эти кривые имеются для всех створов, которыми данный водоток разграничен на участки. Как видно из рис. 7.6, и в этом случае график функции F = f ( z ) строится весьма просто. Если гидрометрические данные по интересующему нас водотоку ограничены, то при построении графика F = f(z) приходится прибегать к г и д р а в л и ч е с к и м р а с ч е т а м . Важным этапом; ' этих расчетов является установление расчетного значения коэффициента шероховатости, которое существенным образом отражается на точности результатов. 13 Заказ Л1» 33 193 В целях упрощения расчетов воспользуемся уравнением (7.10). Тогда выражение для модуля сопротивления (7.16) можно представить в виде - 1 F = l[K2, (7.19) где для вычисления модуля расхода /С пользуются формулой К ~ = с о ( в связи с чем приходится устанавливать для данного русла коэффициент шероховатости п, форму естественного русла и т. п.). Стдор т-1 Qs Рг Qi <? F,F2F3 Рис. 7.6. Построение графика по кривым Q = f ( z ) . F — f ( z ) К можно определять по формуле (7.20) т. е. оперируя средними значениями гидравлических в пределах данного участка потока, или по формуле где K m и участка. Km+i элементов К - 1/2(/\„Н-КтьО, (7.21) — значения модуля расхода на границах расчетного Задав ряд произвольных значений средней отметки 2 и определив соответствующие значения модуля сопротивления по формуле (7.19), мы получим данные для построения графика функции /•' — j (г). Из рассмотренных двух приемов построения графика функции F^=f(z) предпочтительным является первый, основанный на использовании гидрометрических данных, суммарно учитывающих все особенности водотока; кроме того, в этом случае отпадает необходимость в назначении коэффициента шероховатости, выбор которого в большой степени является субъективным. Если подпорные отметки проектируемой кривой свободной поверхности превышают наивысшую наблюденную отметку свободной поверхности, то график F = f(z) может быть п р о э к с т р а п о л и р о в а н графическим способом по тенденции на 10— 15 %, как это показано пунктирной линией на рис. 7.5 и 7.6. -194 7.5. Построение свободной поверхности по способу Рахманова Способ построения свободных поверхностей А. Н; Рахманова заключается в использовании при расчете кривой F = f (г), найденной одним из указанных выше приемов. Как видно, в' основу этого способа положено упрощенное уравнение неравномерного движения (7.10). ' Предположим, что графики функции F = f(z) для каждого участка рассматриваемого водотока уже построены. Кроме того; изг вестны расход Q и отметка zm+i в конце последнего участка водотока. Задаем для этого участка п р о и з-в о л ь н о е значение средней отметки z уровня воды, затем по графику F = f(z) для рассматриваемого участка находим соответствующее значение модуля сопротивления F. Далее с помощью (7.16) определяем падение А свободной поверхности в пределах д а н н о г о участка водотока и находим среднюю отметку 2 уровня воды на участке по формуле : • z = z m f i + Д/2. (7.22) Если найденное значение z совпадает со значением этой отметки, заданным ранее, то можно считать, что отметка z найдена правильно. В противном случае нужно задать новое значение z и весь расчет повторить заново. После того как подобрана отметка z на участке, можно найти отметку zm в начале участка по формуле z m = z + A/2. (7.23) На этом заканчивается расчет рассматриваемого участка водотока. Подобным же образом можно рассчитать соседний участок, приняв найденную отметку zm за исходную. Переходя, таким образом, от одного участка к другому, можно определить отметки свободной поверхности во всех интересующих нас створах и по ним построить кривую свободной поверхности. Как видно, проектирование кривой свободной поверхности по способу А. Н. Рахманова осуществляется методом последовательных приближений. 7.6. Построение свободной поверхности по способу Павловского Н. Н. Павловский предложил два способа для построения кривых свободной поверхности в естественных водотоках: графо12* 195 аналитический и графический. Рассмотрим ниже только г р а ф и ческий способ, основанный на использовании уравнения (7.10), при условии, что постулат инвариантности для рассматриваемого естественного русла оказывается приемлемым. Предположим, что весь водоток разделен на пять расчетных участков, расход Q и отметка Zm+i в конце последнего участка водотока нам известны. Совместим графики функции F = f(z) для всех участков на одном рисунке (рис. 7.7). При построении гра- F Рис. 7.7. Определение отметок свободной поверхности по способу Павловского. фиков F = f(z) перемещать их в горизонтальном направлении нельзя. Выполним следующее построение (см. рис. 7.7). Из точки А, лежащей на оси ординат и определяемой отметкой zm+i уровня воды в конце пятого участка, проведем прямую под углом qp к горизонту до встречи с кривой F = f(z) этого участка в точке В, причем величину tg(p (с учетом масштабов шкал) подчиним условию: (7.24) tg<p = Q72. Из рисунка имеем: tg Ф ± АС/ВС = AC IF = ACQ2/А. Приравнивая правые части (7.24) и (7.25), получим АС = Л/2. (7.25) (7.26) Отсюда следует, что если мы проведем из точки В прямую BAi под углом ф к горизонту, то точка At определит нам отметку zm уровня воды в начале рассматриваемого участка. Она же будет являться конечной отметкой для четвертого участка. Производя указанные построения для каждого из расчетных участков (см. рис. 7.7), нетрудно определить отметки уровня воды во всех интересующих нас створах и по ним построить кривую свободной поверхности. -196 При построении угла ср, как указывалось, необходимо учитывать м а с ш т а б ш к а л графика функции F = f(z). Так, например, если для отметок z принят масштаб 1 см — а [м], а для функции / v масштаб 1 см — b [с2/м5], то величину tgcp нужно вычислять по формуле tgcp = • Q2 Ъ (7.27) 7.7. Построение свободной поверхности по способу Вернадского Введем в рассмотрение вместо модуля обратную функцию ¥ . = 1/F = Q2/A. Рис. 7.8. График функции Функция '4r = f(z) y сопротивления F (7.28) ¥=f(z)~. обладает тем же свойством инвариантности, что и функция F = f(z). Графики этой функции могут быть построены с помощью тех же приемов, что и графики модуля сопротивления. Представим себе, что для рассматриваемого участка водотока мы имеем зависимость Чг = / ( з ) (рис. 7.8). Возьмем на этой кривой две точки с и d, определяемые отметками свободной поверхности в начале и конце участка, т. е. отметками zm и zm+1. Через точки с и d проведем прямые ad и be, параллельные оси абсцисс. Очевидно, расстояние между этими прямыми равно падению свободной поверхности А на участке. Подсчитаем площадь й фигуры abed, рассматривая последнюю как трапецию: Q = Ae f , где ef —средняя линия трапеции abed. -197 . Отрезок ef с достаточной степенью точности можно приравнять значению функции Т при средней отметке уровня воды на данном участке. Тогда получим ,;:..Q = AQ2/A-Q2, т. е. площадь фигуры abed равна, с учетом масштабов/квадрату расхода Q, который соответствует заданному падению уровня воды А на участке. Аналитически это можно записать в виде т 2 Q = \ f(z)dz. . . (7.29) т 1 Отсюда следует, что если постулат инвариантности модуля сопротивления справедлив, то интеграл в правой части выражения (7.29), независимо от числовых значений-отметок zm и Zm+1, мы можем определять как площадь, ограниченную кривой W = f(z), ocbto ординат и двумя горизонтальными прямыми, отвечающими отметкам zmVL zm+1' Так как величина ^ является функцией только средней отметки z, то -и площадь, ограниченная кривой W = f(z) и осью ординат, будет функцией средней отметки; иными словами, правая часть выражения (7.29), написанная в форме неопределенного интеграла, может быть представлена в таком виде: 0 ( z ) = \ f ® d z + C, (7.30) где Ф ( г ) — некоторая функция средней отметки z. Принимая во внимание это соотношение, перепишем выражение (7.29) так: Q2 = a > ( 2 m ) - < D ( z m + 1 ) , (7.31) где Ф (2m) и Ф (zm+i) —частные значения функции Ф ( г ) , отвечающие границам рассматриваемого участка. Кривую, определяемую уравнением (7.30), Н. М. Вернадский называет «опорной кривой». Важно отметить, что функция Ф(г) обладает тем же свойством инвариантности, что и функция 4 я = •=f (z) . Это свойство функции Ф(г) и дает возможность применять опорную кривую для построения кривой свободной поверхности. Предположим, что водоток разграничен на четыре расчетных участка и для каждого участка построены опорные кривые, причем : Все эти кривые сормещены на одном рисунке (рйс. 7.9). Рассмотрим кривую четвертого участка; возьмем на ней точки В и Bi, ординаты которых определяются отметками zm+i и zm свободной поверхности в конце и в начале участка. Тогда по смыслу уравнения (7.31) разность абсцисс точек В и В± должна быть -198 равна Q2, где Q —расход, отвечающий падению Д свободной поверхности на участке. Отсюда следует, что если мы, располагая отметкой zm+1 в конце участка, отложим горизонтальный отрезок ВВ2, равный в принятом масштабе Q 2 (см. рис. 7.9), и через точку В2 проведем вертикальную линию до встречи с опорной кривой й точке Вi, то последняя точка, определит собой отметку. zm в начале участка. Таким образом, располагая опорными кривыми и имея в своем распоряжении расчетный расход Q и отметку Zm+i в конце последнего участка, мы можем выполнить построения, аналогичные предыдущим, .для каждого участка и получить отметки кривой свободной поверхности во всех раздельных створах. Опорные кривые можно построРис. 7.9. Определение отме 1 ить двумя приемами. В п е р в о м г ток свободной поверхности приеме используется кривая Ч = по способу Вернадского. —f(z). Площадь, ограниченную этой кривой и осью ординат, разделяем горизонтальными прямыми на .ряд элементов I, II и т. д. (рис. 7.10) с достаточно малым вертикальным размером б. Далее подсчитаем размер плоZ s/У У My м3/) 'V '//f // / а> M2/\/v »i Ч h Am // ф Рис. 7.10. Построение опорной кривой по . Рис. 7.11. Построение опорной кривой графику 4 r = / ( z ) . по кривым связи Q=f(г). щадок /, II и т. д. и, выбрав масштаб, построим точки Mi, М% и т. д., как это показано на рис. 7.10 (размер площадок в принятом масштабе выделен жирно). Соединяя плавной кривой точки Mi, М2 и т. д., получим опорную кривую. ; В т о р о й прием требует наличия кривых связи Q = f(z), построенных для каждого створа в общих координатах. Рассмотрим один участок водотока, ограниченный створами т и ( т + 1 ) , -199 для которых на рис. 7.11 показаны кривые связи Q = f(z). С помощью этих кривых для ряда расходов Qi, Q 2 и т. д. можно определить соответствующие падения свободной поверхности Ai, Д2 и т. д. на рассматриваемом участке и далее построить опорную кривую (см. рис. 7.11). Отметим, что уравнение опорной кривой (7.30) содержит в себе произвольную постоянную С, так что положение начальной точки М опорной кривой по отношению к оси ординат можно выбирать произвольно, т. е. опорную кривую можно перемещать 7 вдоль горизонтальной оси. _ Опорные кривые, так же как и графики F=f(z), могут быть проэкстраполированы. 7.8. Построение кривой свободной поверхности в русле с поймой и при раздвоении русла Рассмотрим особенности расчета кривой свободной поверхности в е с т е с т в е н н о м р . у с л е с п о й м о й , когда гидрометппЛмп I Гшбное оисло stf Рис. 7.12. К расчету кривой свободной поверхности в русле с поймой. рические данные отсутствуют, и для построения зависимостей F = f(z) или Ф==/(г) приходится прибегать к гидравлическим расчетам. Основной прием расчета водотока в русле с поймой заключается в том, что поперечное сечение такого водотока рассматривается как составное (см. п. 5.11), при этом профиль водотока разбивается вертикальной раздельной плоскостью АА на части, характерные д^я главного русла и для поймы (рис. 7.12). Далее, пренебрегая взаимодействием частиц в плоскости раздела, полный расход потока обычно определяют как сумму расходов отдельных его частей: Q = Qr + Qn, (7.32) где Q r — расход главного русла; Q n — расход поймы. Построение кривых свободной поверхности в руслах с поймой всегда носит приближенный характер, поэтому для решения задачи вполне уместно применить упрощенное уравнение (7.10). -200 Воспользовавшись этим уравнением, получим: Ar = QX/Kl и Ап = Q l k / K l (7.33) и Qn = / ( n V A X (7.34) откуда Qr = ^ V M r где Аг и Д п — падения свободной поверхности, отвечающие главному руслу и пойме. Полагая, что в пределах рассматриваемого участка водотока можно принять Аг = Ап = А, (7.35) и подставляя (7.34) с учетом (7.35) в (7.32), будем иметь Q = K^/Ajr r > (7.36) К = К г + Кпл/ТЖп. (7.37) где Если П р И Э Т О М /г — In — то формула (7.37) принимает вид ~К = К г + ~ К п . (7.38) При наличии Двух пойм (см. рис. 5.12) формула общего модуля расхода записывается таким образом: К = Кт + К л . п л / Щ Г ^ + К п р . п л / Щ Г п . (7.39) Индексами «л. п» обозначены величины, относящиеся к левой пойме, а индексами «пр. п» — относящиеся к правой пойме. Выражение (7.36) принимает вид обычного уравнения неравномерного движения (7.10) А = где общий модуль расхода К рассчитывается по формулам (7.37), (7.38) или (7.39). Таким образом, далее при построении кривой свободной поверхности в русле с поймой можно воспользоваться теми же приемами, которые применимы к руслам без пойм. В целях упрощения расчетов можно предварительно построить график модуля сопротивления F, определяя последний с помощью зависимости (7.19). Однако в пределах пойменного участка в зоне отметок, расположенных на уровне прямой аа (см. рис. 7.12), постулат инвариантности модуля сопротивления обычно нарушается, в силу чего в этой зоне приходится обращаться непосредственно к уравнению (7.10). Рассмотренный прием построения кривых свободной поверхности может быть использован также и при р а з д в о е н и и (бифуркации) естественного русла, где имеется главное русло и более или менее значительный рукав (рис. 7.13). -201 Рассуждая подобно предыдущему и принимая в пределах рассматриваемого участка водотока падения свободной поверхности, отвечающие главному руслу и рукаву, одинаковыми Аг = Ар = А, (7.40) Q = (Кг + КР У / г / / р ) л/Д//г, (7.41) вместо (7.36) получим где Л —падение свободной поверхности между и 2—2 (см. рис. 7.13), а общий модуль расхода створами 1—1 (7.42) Гладмое русло - Рукав Рис. 7.13. К расчету кривой свободной поверхности в русле с рукавом. Если при этом /г = /р, то последняя формула получит вид соответственно К = КГ + К Р . (7.43) При расчетах модуля расхода К коэффициенты шероховатости для главного русла, рукава и поймы следует назначать в соответствии с имеющимися данными о шероховатости водотока, так как они могут значительно отличаться друг от друга, в особенности коэффициенты шероховатости для пойм рек. В заключение отметим, что вопросы расчета пропускной способности и построения кривой свободной поверхности для бифуркационных участков рек дополнительно будут рассмотрены в гл. 12. 7.9. Построение кривой водной поверхности для зимних условий Когда водоток покрывается ледяным покровом, изменяются условия движения и его гидравлические элементы. Если лед прочно смерзается с берегами и не следует за изменением уровней воды, может наступить напорное движение, когда вода через лунки выходит на поверхность льда; это явление обычно наблюдается на малых реках. Случай напорного движения подо льдом рассматривать не будем. -202 Если ледяной покров не скован с берегами водотока, что, как правило, наблюдается на больших реках, то общий характер движения потока остается таким же, как и при отсутствии ледяного покрова, т. е. и в зимних условиях поток будет находиться в состоянии безнапорного движения. Однако силы сопротивления при движении потока в зимних условиях будут иными, так как нижняя поверхность ледяного покрова будет создавать дополнительные сопротивления. В силу этого один и тот же расход в летних и зимних условиях будет протекать при различных глубин а х — зимой глубины потока будут больше, чем летом, и, следовательно, кривая водной поверхности в зимних условиях "будет расположена выше, чем в летних условиях. Наибольшие трудности при построении кривой водной поверхности в зимних условиях заключаются в том, что в рассматриваемом случае в дополнение к оценке шероховатости самого водотока требуется дать оценку шероховатости ледяного покрова. В оценке коэффициентов шероховатости для льда нет достаточной ясности. Вопрос этот рассматривался в п. 5.10. Приводя лишь краткие сведения о построении кривых водной доверхности в зимних условиях, остановимся на рассмотрении двух задач: 1) построение кривой водной поверхности в зимних условиях с помощью графиков функции F — f(z), имеющихся для летних условий; 2) пересчет кривой свободной поверхности, построенной в летних условиях, на зимние условия. Так как оценка шероховатости ледяного покрова носит несколько условный характер, то при решении указанных задач будем пользоваться уравнением движения в упрощенной форме (7.10). При решении первой задачи предполагается, что для летних условий графики функции F = f(z) для расчетных участков водотока уже построены. Если допустить, что постулат инвариантности модуля сопротивления соблюдается также и в зимних условиях, то с помощью этих графиков можно построить кривую водной поверхности для зимних условий. . Рассмотрим какой-либо участок водотока. Из предыдущего известно, что для л е т н и х условий можно написать: _ Ai/Q? = f i = f ( z ) , (7.44) где Fi — модуль сопротивления, отвечающий средней отметке, на участке, которая, в свою очередь, соответствует падению Ai на участке и данному расходу Qi (все гидравлические элементы, относящиеся к летним условиям, будем отмечать индексом «1»). С другой стороны, модуль сопротивления Fi определяется так: F1 = 1/Ж1 (7.45) -203 где Ki — среднее значение модуля расхода, отвечающее средней отметке на участке в летних условиях. В условиях ш и р о к о г о речного русла можно принять: • %i at Si и Ri « hi, где В1—-средняя в пределах участка ширина живого сечения пот верху; h\ — средняя глубина потока на участке. Тогда будем иметь: К\ = Ж й ь . (7.46) Д л я з и м н и х условий, при том же падении на участке и той же средней отметке, получим . ; (7.47) Где Kz — среднее значение модуля расхода в зимних условиях; смоченный периметр %2~2Bi, поэтому соответственно R%=hij2\ СПр — некоторый приведенный коэффициент также и шероховатость ледяного покрова Спр = Шези, учитывающий Пар (7.48) Рекомендации по определению приведенного коэффициента шероховатости л п р , входящего в формулу (7.48), рассматривались в п. 5.10. Сопоставляя зависимости (7.46) и (7.47), получим К1 = ± ( С П р/СШ (7.49) Модуль сопротивления для зимних условий определяется так: Fz = 1/К1. (7.50) Подставляя в (7.50) выражение (7.49) и имея в виду (7.45), получим зависимость, с помощью которой график F = f (z) летних условий можно пересчитать на зимние условия: для ~F2 = 2(Cl/Cj2Fl. (7.51) После пересчета указанных графиков на зимние условия сам процесс построения кривой водной поверхности закрытого потока производится аналогично изложенному выше (см. п. 7.5).-Разумеется, что построение кривой водной поверхности с помощью перестроенных графиков функции F=f(z) нужно проводить уже при зимнем расходе ,Q2, т. е. при том расходе, при котором и должна быть построена кривая водной поверхности. -204 .Если графиков функции F=f{z) для летних условий нет — из-за отсутствия, например, гидрометрических данных, — то графики функции F = f(z) для зимних условий могут быть построены с помощью соответствующих вычислений (каК это указывалось в п. 7.4), причем среднеё значение модуля расхода в этом случае нужно определять по формуле (7.49), т. е. с учетом шероховатости ледяного покрова. Говоря здесь о кривой водной поверхности в зимних условиях, мы имеем в виду, что построение дает поверхность воды, непо. га т+1 Рис. 7.14. К пересчету кривой свободной поверхности для летних условий на зимние условия. средствеино совпадающую с н и ж н е й п о в е р х н о с т ь ю лед я н о г о п о к р о в а , именно поэтому на конечном створе первого расчетного участка берется отметка нижней поверхности льда. Д л я получения поверхности уровня воды следует добавить к отметкам нижней поверхности льда, найденным расчетным путем, толщину погруженной в воду части льда, которая составляет обычно 0,8—0,9 всей его толщины. В инженерной практике иногда возникает вопрос о построении кривой водной поверхности в зимних условиях при том расходе, при котором кривая водной поверхности в летних условиях уже построена. В этом случае л е т н ю ю кривую свободной поверхности можно пересчитать для з и м н и х условий. Пусть на некотором участке водОтока кривая водной поверхности в летних условиях при расходе Qi занимает положение АВ (рис. 7.14), а в зимних условиях при том же расходе — положение A'BF, причем в первом случае падение свободной поверхности на участке будет Ai, а во втором Дг. Применяя уравнение (7.10) к этим двум случаям, получим: А] = QiljXi и Л2 = Qh/Kl Если летний расход Qi равен зимнему расходу Q2, то из этих соотношений найдем: Л2 = Л ^ Ж (7.52) В условиях ш и р о к о г о русла с учетом (7.49) выражение (7.52) принимает такой вид: Д2 = 2Ai (Ci/Cnp)2. (7.53) -205 Эта формула и является основной при решении рассматриваемой задачи. 7.10. Определение значений гидравлических элементов для естественных русел Рассмотрев в предыдущих параграфах вопрос о построении кривой свободной поверхности в естественных руслах, необходимо остановиться на тех приемах, которые используются на практике для определения числовых значений гидравлических элементов в условиях естественных водотоков. Площадь живого сечения со определяется при помощи планиметра: или же по известному правилу трапеции, причем обработке подвергается поперечный профиль русла, заснятый гидрометрическим путем. Смоченный периметр % для естественных русел обыкновенно принимается равным ширине русла поверху В при данной отметке уровня воды: % = В. Правильнее, однако, для определения % пользоваться такой зависимостью: % = B + 2/iCp, где hep—.средняя глубина потока для рассматриваемого поперечного профиля при данной отметке уровня воды, определяемая из соотношения: ftcр = = ю/В. <4 Д л я определения гидравлического радиуса R, в соответствии с вышеуказанными формулами, получаем такие зависимости: R = со/В = hcр или R = со/(б + 2Аср). Среднее значение площади живого сечения со в пределах данного участка водотока, чаще всего определяется по формуле со— l/2.(com + oom + i), где ю т и com+i — площади живых сечений на границах рассматриваемого участка. Если в пределах рассматриваемого участка заснято п поперечных профилей, то для определения со можно воспользоваться такой зависимостью: ® = 4 " (ш1+®2 + •• • + где oil, «г и т. д. обозначают площади живых сечений в соответствующих поперечниках. Подобные же зависимости применяются и для определения среднего значения смоченного периметра %. Д л я определения среднего значения гидравлического радиуса можно пользоваться такими зависимостями: Я = ю/Х или . £ = 1 / 2 (/?„ + /?„ +1). -206 Правильное установление коэффициента шероховатости п является одним из важнейших этапов при проектировании кривой свободной поверхности в естественном водотоке. Принятое расчетное его значение в значительной мере определяет проектную кривую свободной поверхности и, следовательно, погрешность в определении коэффициента п обусловливает погрешность всего расчета. • Определить коэффициент шероховатости для естественных условий можно различными приемами. Все зависит от гидрометрии ческого материала, который имеется в распоряжении проектирующего. Здесь могут представиться такие случаи, когда имеется, например, несколько наблюденных естественных продольных профилей, или всего лишь один-два наблюденных продольных профиля, или, наконец, наблюденных продольных профилей не имеется совсем. Пусть мы имеем, наблюденный естественный профиль для данного водотока. Напишем применительно к нему уравнение неравномерного движения для какого-либо участка. Если пренебречь изменением кинетической энергии по длине потока и потерями напора, обусловленными изменением живых сечений на рассматриваемом участке, то, пользуясь зависимостью (7.10), запишем где все гидравлические элементы, за исключением коэффициента Шези Си могут быть найдены из естественных условий. Из уравнения (7.54) получим C l = Qt д/V/A,) . ; (7.55) Зная величину Си нетрудно найти и соответствующее значение коэффициента шероховатости. Обращаясь, например, к формуле Н. Н. Павловского, будем иметь «г = Rf/Си (7.56) где Ri—среднее значение гидравлического радиуса для данного участка. Если имеется несколько естественных профилей, то, пользуясь зависимостью (7.55), для каждого из этих профилей можно определить значение коэффициента Ci и коэффициента шероховатости щ и для каждого расчетного участка построить зависимости n = / ( z ) , которые при необходимости.могут быть проэкстраполированы. При наличии двух продольных профилей по (7.55) определяем Сг, и С\2. Подставляя последние в (7.56) и принимая, что коэф-207 фициент шероховатости на данном участке водотока не зависит от отметки уровня воды, получим два уравнения, которые при известных Ri t и Ri2 будут содержать две неизвестные величины: п и у. Решая эти уравнения, найдем значения п и у, которые и могут быть положены в основу дальнейших расчетов. В случае, когда имеется всего лишь один наблюденный естественный продольный профиль потока, при расчетах приходится пользоваться постоянным для рассматриваемого участка значеCmBopf 2 ! Участок j j I I 1 ' ' 3 j - J T I Q I I у л - 4 I i i v 5 1 ! ^ j I I A. — j I S Рис. 7.15. Кривые свободной поверхности в реке. a _ естественная; о — проектная нием коэффициента шероховатости, найденным из естественных условий по эмпирическим зависимостям. Нередко за расчетное значение коэффициента шероховатости принимается средневзвешенное его значение, постоянное для всего водотока, которое определяется из соотношения + «2^2 + • • • + Пп1п /7 Кт\ я ll + h + ...+ln . (7-57) где т , Пг и т. д. — значения коэффициента шероховатости для соответствующих участков, найденные из естественных условий; h, k и т. д. — длины участков. Если совершенно отсутствуют данные о наблюденных естественных продольных профилях, позволяющие судить о коэффициенте шероховатости в естественном состоянии, то значение этого коэффициента выбирают на основании рекомендуемых норм. Из эмпирических формул для определения коэффициента Шези С в условиях естественных водотоков чаще всего используют зависимости показательного вида при у = const (см. п. 5.3), например, формулу Маннинга C = {\!n)R4\ Значения коэффициента шероховатости для естественных водотоков выбирают в соответствии с рекомендациями, рассмотренными в п. 5.4. Пример. По исходным топографическим и гидрометрическим данным (табл. 7.1) необходимо графоаналитическим методом А. Н. Рахманова и графическим методом Н. Н. Павловского построить естественную и проектную кривые свободной поверхности в реке (между створами 5—5 и 1—1, рис. 7.15) при расчетном -208 расходе Qp = 2400 м 3 /с и подпорной отметке уровня воды в створе ПЛОТИНЫ (СТВОР 5—5) 25 = 4 м.. Для получения естественной кривой свободной поверхности при заданном расходе воды Qp, воспользовавшись данными табл. 7.1, построим совмещенный график кривых Q = f(z) для ZM ^ Vл \ Л \ ——д_ \ \ Zt 5 — Л \ z2 \ \ W Z* ^\ V —-—пТ~~7~ та _ 3 4 0 Q-lQ3M3/c Рис. 7.16. К расчету естественной кривой свободной поверхности. X/ 2 4- 1 F-10'°C2/HS Е Рис. 7.17. Кривые модуля сопротивления. пяти створов, которыми река разграничена на четыре участка. По значению Qp, (рис. 7.16) снимаем отметки уровня воды в каждом створе и заносим в табл. 7.3. Таблица 7.1 Исходные топографические и гидрометрические данные Отметки поверхности воды z м в створах Q м3/с 1 2 2000 2600 3000 3500 4000 4500 4,145 4,720 5,255 5,745 6,205 6,595 3,750 4,250 4,715 5,205 5,635 6 (045 Отметка дна 20 м 0,60 0,20 4 Длина участка, м 14 5440 3 4 3,350 3,795 4,220 4,625 5,005 5,360 2,885 3,265 3,642 4,005 4,305 4,570 —0,71 —0,15 4950 5 5910 2,455 2,770 3,065 3,335 3,565 3,780 —1,05 6150 "• Заказ Л» 33 209 Таблица ,7.2. Расчет модуля сопротивления Расход Q 2000 2500 3000 3500 4000 4500 . . П е р е п а д уровяя Q2. Юб Д 4,0 6,25 9,0 12,25 0,395 0,470 0,540 0,540 0,570 ,0,550 д 1 16,0 20,25 п 0,400 0,455 0,495 0,580 0,630 0,685 Средняя о т м е т к а г 1 «II 3,948 4,485 4,985 5,475 5,920 6,320 3,55 4,022 4,468 4,915 5,320 5,702 .. 2 А AlV Ш 0,465 0,530 0,578 ' 0,620 0,700 0,790 0,430 0,495 0,577 0,670 0,740! 0,790 М о д у л ь сопротивления Ш Ч V. 3,118 3,530 3,931 4,315 4,655 4,965 2,670 3,018 3,354 3,670 3,935 4,175 Fx- Ю-8 9,88 7,58 6,00 4,41 3,56 2,72 Fn-10-8 10,0 7,28 5,50 4,73 3,94 3,38 Fjjj-10-8 11,62 8,48 6,42 5,06 4,38 3,90 FIV. 10-8 10,75 7,92 6,41 5,47 " 4,62 3,90 Д л я построения кривой свободной поверхности при подпоре воспользуемся- приемами, основанными на применении постулата инвариантности модуля сопротивления. Используя данные табл. 7.1, по формуле (7.16) выполним расчеты модуля сопротивления F по участкам (табл. 7.2) и построим совмещенный график зависимостей F = f(z) (рис. 7.17). Имея для каждого участка реки кривую F = f(z), переходим к расчету проектной кривой свободной поверхности указанными двумя методами. Основные положения метода А. Н. Рахманова приведены в п. 7.5. Зная отметку уровня воды в конце IV участка Z5=Zm+i = = 4 м, задаем произвольное значение средней отметки уровня на участке znr = 4,12 и для этой отметки с кривой IV участка (см. рис. 7.17) снимаем соответствующее значение F — 4,1 X ХЮ~ 8 с 2 /м 5 . Имея значение F, определяем по (7.16) падение свободной поверхности на протяжении IV участка Arv = .FQ2 = 0 , 2 4 м, а затем находим среднюю отметку уровня- воды на участке Ziv = Z +1 4- А/2 = 4,12 м. m Как видим, это значение г совпадает с тем, которым мы задавались выше. Следовательно, можно считать, что отметка ziv 210 найдена правильно. Если совпадение рассчитанного и заданного значений z не достигнуто, то расчет повторяют еще раз при новой заданной отметке z. Соответствующая будет отметка уровня воды в начале участка zm — z -j- Д/2; = 4,24 м. Определив, таким образом, проектную отметку в начале IV участка, можно перейти к расчету следующего участка. Результаты подсчетов приведены в табл. 7.3. Таблица 7.3 Результаты расчетов отметок естественной и проектной кривой свободной поверхности № створов 5 4 3 2 1 Отметки естественной кривой zm м 2,70 3,20 3,70 4,15 4,65 . Отметки по А. Н. Рахманову z m+i 4,00 4,24 4,52 4,80 5,14 м Z м 4,12 4,38 4,60 4,97 mrм F • Ю-8 с2/м 5 Л м z 4,1 4,9 5,1 6,0 0,24 0,28 0,29 0,34 4,24 4,52 4,80 5,14 Отметки по Н. Н. Павловскому zm м 4,00 4,24 4,53 4,81 5,14 Основные положения метода Н. Н. Павловского изложены в п. 7.6. В этом методе используют те же графики функции F — — f(z) для всех участков реки, совмещенные на одном рисунке (см. рис. 7.17). При построении графиков перемещать их относительно начала координат в горизонтальном направлении нельзя. При определении угла ср, как указывалось в п. 7.6, необходимо учитывать масштабы шкал графика. Так, в рассматриваемом примере для оси отметок z принят масштаб 1 см = 0,20 м, а для оси модуля сопротивления F масштаб 1 см = 1-10~ 8 с 2 /м 5 . При этих масштабах и заданной величине Q p , согласно (7.27), tgcp = = 0,144. Дальнейшее определение отметок проектной кривой легко уясняется из рассмотрения рис. 7.17. Результаты расчетов приведены в табл. 7.3. -По данным- табл. 7.3 на рис. 7.15 построены естественная и проектная кривые свободной поверхности в реке между ство•рами 5—5 и 1—1. Здесь же показана линия дна nofoKa, построенная по данным табл. 7.1. 15 Заказ № 33 211 Глава восьмая ВОДОСЛИВЫ 8.1. Терминология и классификации водосливов Водосливом в самом общем значении этого понятия называется всякая преграда (стенка, порог), через которую перели- Рис. 8.1. Истечение через водослив с тонкой стенкой. в а — в продольном р а з р е з е ; б — в плане. вается поток воды. Перелив жидкости происходит через верх (гребень) этого порога или через специальный вырез в гребне порога. Гидравлическое явление движения жидкости через такую преграду называется переливом жидкости через водослив. Гребнем водослива называется верхняя кромка водосливной стенки в пределах переливающейся струи. В дальнейшем будем пользоваться следующими терминами и обозначениями (рис. 8.1). Участок потока перед водосливом называется верхним бьефом ( В Б ) ; область потока за водосливом — нижним бьефом (НБ). Величина Я (см. рисунок), измеряемая в сечении в —в, называется геометрическим напором на водосливе и представляет собой превышение над гребнем водослива уровня воды в сечении в — в, где еще нет заметного спада свободной поверхности, обусловленного переливом воды через водослив. Расстояние 1В, определяющее положение сечения в — в, в котором измеряется Н, как показывают опыты, следует принимать равным (2>~Ъ)Н. Введем еще такие обозначения: Ь — ширина водослива, или, иначе, ширина водосливного отверстия; Ь с — ширина струи; обычно Ь с < Ь за счет искривления струй в плане (см. рис. 8 . 1 , 6 ) ; б — толщина водосливной стенки; С в и С н — высота водосливной стенки соответственно в верхнем и нижнем бьефах; в случае -212 С в = С н эта высота обозначается через С; Въ и Вн — ширина русла, в котором устроен водослив, соответственно в верхнем и нижнем бьефах; в случае Вв — Ва эта ширина обозначается через В; hB и глубина воды соответственно в верхнем и нижнем бьефе; Z — геометрический перепад на водосливе (разность горизонтов воды в верхнем и нижнем бьефах); vo — скорость подхода, т. е. средняя скорость, измеряемая в указанном выше сечении в — в\ Но — полный напор на водосливе, или, о.) 6) ' в) Рис. 8.2. Водосливы со стенкой практического профиля. а — п р я м о у г о л ь н ы й ; б — т р а п е ц е и д а л ь н ы й ; в — криволинейный. иначе, напор с учетом скорости подхода, равный (4.33)) (см. формулу Но = Я + fo/(2g); Zo — полный перепад на водосливе, или, иначе, перепад с учетом скорости подхода, равный (см. формулу (4.24)) Z 0 = Z + e§/(2g); Q — расход через водослив, равный объему жидкости, переливающейся через гребень водослива в секунду. Водосливы принято классифицировать по следующим признакам: 1) в з а в и с и м о с т и о т ф о р м ы и р а з м е р о в п о п е р е ч ного сечения водосливной с т е н к и различают: а) водосливы с тонкой стенкой (или водосливы с острым гребнем). «Тонкой стенкой» называется порог водослива, толщина гребня которого настолько незначительна, что не влияет на поток, переливающийся через водослив, не вызывая прилипания струи к оголовку гребня (см. рис. 8.1 а). Водослив с тонкой стенкой имеет место, когда 6 = (0,1 4-0,5) Я . (8.1) - Эти водосливы получили широкое распространение в, гидрометрической практике и на оросительных системах для измерения расходов воды; б) водосливы практического профиля (рис. 8.2). Эти водосливы могут йметь самую различную форму профиля водослив-213 ной стенки: прямоугольную, трапецеидальную, криволинейную и т. д. Криволинейные водосливы, у которых низовая грань очерчена по форме траектории падающей струи, наиболее распространены -в гидротехнической практике. Д л я этого типа водосливов характерно соотношение 2Я>6>0,5Я; (8.2) в) водосливы с широким порогом, имеющие водосливную стенку любой высоты, гребень которой обычно (в случае прямоугольного отверстия) представляет собой горизонтальную плоа) б) Рис. 8.3. Водослив с широким порогом. а — нормальный режим работы; б — р е ж и м р а б о т ы водослива профиля. практического скость (рис. 8 . 3 а ) . Толщина (длина) порога б в случае водослива с широким порогом должна удовлетворять двум условиям: 1) на расстоянии 6 потеря напора по длине hi должна быть пренебрежимо мала; 2) в пределах расстояния б должен быть хотя бы небольшой участок потока, характеризуемый наличием плавно изменяющегося движения. В случае прямоугольного водослива с широким порогом толщина стенки б, удовлетворяющая указанным условиям, лежит в пределах 8Я>6>2Я. (8.3) Если водослив сделать очень длинным (б > 8Н), то движение воды будет происходить практически как в канале, путевые потери по длине станут значительными и потребуется другая методика расчета. Если толщина порога б окажется недостаточной (б < 2 Я ) , то водослив начнет работать в режиме практического профиля (рис. 8.3 6). Рассмотренная классификация является наиболее важной; 2) в з а в и с и м о с т и от о ч е р т а н и я гребня водос л и в н о й с т е н к и в п л а н е различают: а) водосливы с прямолинейным в плане гребнем водосливной стенки: прямые, -или, иначе, лобовые (рис. 8 . 4 а ) ; косые (рис. 8.4 б); боковые (рис. 8.4 в); -214 б) водосливы с непрямолинейным в плане гребнем водосливной стенки: полигональные (рис. 8.5 а ) ; криволинейные (рис. 8.56); замкнутые (в частности, кольцевые, рис. 8.5в); . 3) в з а в и с и м о с т и от геометрической формы в о д о с л и в н о г о о т в е р с т и я различают (рис. 8.6): а) пря- Рис. 8.4. Водосливы с прямолинейным гребнем в плане. а —прямой; б —косой; в — боковой. Рис. 8.5. Водосливы с непрямолинейным гребнем в плане. а — полигональный; б — криволинейный; в — з а м к н у т ы й . а; 1 ь л tl Рис. 8.6. Различные формы водосливного отверстия. моугольные; б) треугольные; в) трапецеидальные; г) круговые; д) параболические; е) с наклонным .гребнем; ж) пропорциональные; з) равноточные; и) щелевые. Это деление чаще всего относится к тонкостенным водосливам; 4) в з а в и с и м о с т и о т в л и я н и я ниж.него бьефа на истечение различают: а) неподтопленные водосливы, когда Q и Н не зависят от глубины воды в нижнем бьефе /гн; б) подтопленные водосливы, когда нижний бьеф оказывает влияние на характер истечения и на пропускную способность водослива. Эта классификация, так же как и классификация 1), является весьма важной и общей для всех типов водосливов; -215 однако критерии (признаки) затопления будут в дальнейшем рассмотрены для каждого типа водослива в отдельности; 5) в з а в и с и м о с т и о т с о о т н о ш е н и я ш и р и н ы в о д о с л и в а b и ш и р и н ы р у с л а в е р х н е г о б ь е ф а Вв (в случае прямоугольных водосливов) различают: а) водосливы без бокового сжатия, когда b — Вв (см. рис. 8.4 а); 6) водосливы с боковым сжатием, когда b < Вв (см. рис. 8.1 б). Ширину струи Ьс иногда называют эффективной шириной водослива-, б) п о в е л и ч и н е д а в л е н и я в о з д у х а п о д п е р е л и в а ю щ е й с я с т р у е й различают: а) безвакуумные водосливы, у которых давление под струей ; больше или равно атмосферному; , б) вакуумные, у которых давление под струей меньше атмосферного. Эта классификация относится чаще к водосливам практического профиля и имеет существенное значение для больших водосливных плотин. В п. 8.6 ей будет уделено особое внимание. Рассмотренные выше классификации являются основными, наиболее общими. Кроме того, водосливы иногда классифицируют по отдельным частным признакам. 8.2. Основная расчетная формула для водосливов В настоящее время имеется несколько способов вывода расчетной формулы для водосливов; однако все их нельзя считать достаточно строгими с теоретической точки зрения. Отсутствие строгой формулы объясняется следующим: 1) теоретическую формулу для расчета Q на водосливе можно было бы получить с помощью, уравнения Бернулли. Однако оно хорошо подходит для плавно изменяющегося движения жидкости, а у-нас в головной части сооружения имеет место большая кривизна струй; 2) объясняется это также тем, что еще не решена одна из важнейших проблем гидравлики — учет гидравлических сопротивлений. Невозможно строго теоретически оценить потери энергии на водосливе. Однако хорошая экспериментальная изученность большинства типов водосливов обеспечивает достаточно высокую точность расчетов по имеющимся формулам и позволяет уверенно пользоваться ими. _ , Воспользуемся методом размерностей 1 при выводе основной расчетной формулы для тонкостенного прямоугольного водослива 1 Основы метода размерностей излагаются в курсе «Гидрологическое лабораторное моделирование» [30]. -216 без бокового сжатия (см. рис. 8.1 и 8 . 4 а ) . Наблюдая истечение жидкости через водослив, можно заведомо предположить, что,егопропускная способность (расход воды Q) при ширине водослива b будет зависеть от напора Я и ускорения свободного падения g. Тогда для единичного расхода q = Q/b можно представить этот процесс в виде функциональной зависимости q = f(H,g) (8-4) или . q = kHxgu, (8.5) где k — безразмерный коэффициент пропорциональности, который определяют обычно экспериментальным путем; х и у—неизвестные показатели степени, которые при переходе от физических величин к их размерностям могут быть определены на основе свойства однородности. Заменяя в уравнении (8.5) физические величины их размерностями, получим L 2 T - 1 = L* + y T~ 2l/ , , (8.6)» : где L и Т— соответственно символы длины и времени. Приравнивая показатели степени в левой и правой частях: выражения (8.6) у одинаковых единиц измерения, получим два уравнения с двумя неизвестными, из которых найдем значения показателей степени х и у: х = 3/2, у = 1 / 2 . Подставляя эти значения в исходное уравнение (8.5), находим* q ------ к Л / # Я 3 / : . Обозначая k = т«/2, (8.7)- введем его в выражение (8.7): q = m^/2gH3'2. (8.8)? Умножая левую и правую части (8.8) на ширину Ь, получим о б щ у ю ф о р м у л у д л я р а с х о д а в о д ы Q на водосливе Q = mb3<s/TgH4i, (8.9)? где т — коэффициент расхода, определяемый по результатам опытов для каждого, типа водосливов. Заменяя в (8.9) геометрический напор Я полным напором Я 0 „ мы тем самым можем учесть влияние скорости подхода v0 на расход Q: Q = mb^2gHlh. (8.10)* Экспериментальными исследованиями установлено, что коэффициент расхода т, а следовательно и пропускная способность водослива (расход Q), зависят от многих факторов, в числе ко217" торых можно назвать следующие: тип водослива, величина напора воды Я, степень подтопления, боковое сжатие, скорость подхода оо, наличие вакуума под струей и т. д. Степень влияния этих факторов на т, (или Q) для различных типов водосливов будет неодинакова, поэтому на этом вопросе остановимся более подробно при рассмотрении каждого из основных типов водосливов в отдельности. 8.3. Водосливы с тонкой стенкой При истечении через т о н к о с т е н н ы е в о д о с л и в ы встречаются различные типы (формы) струи: i!mmiii)tiiniiiiinnmi//!/,>n//.'Jih//. Рис. 8.7. Тонкостенный водослив со свободной струей. 1 ) - ' с в о б о д н а я с т р у я имеет место, когда под струей давление р равно атмосферному давлению рат, т. е. р — рат- Д л я того чтобы это условие могло быть выполнено, в пространство под струю с боков - должен быть обеспечен свободный доступ воздуха или необходимо обеспечить его подачу по трубке А (рис. 8.7). Водослив со свободным истечением отличается устойчивым переливом воды через его гребень, и вследствие этого находит широкое применение в качестве измерителя расхода воды в лабораторных исследованиях и при гидрометрических работах на каналах и малых реках: 2) с т р у я поджатая, не подтопленная снизу; в этом случае под струей давление, воздуха меньше атмосферного, т. е. р < р а т (рис. 8.8а). Такая струя образуется, когда пространство под струей не сообщается с атмосферой. Струя увлекает (отсасывает) воздух и создает вакуум, благодаря чему струя несколько прижимается к водосливной стенке, а коэффициент расхода т увеличивается; 3) с т р у я п о д ж а т а я , п о д т о п л е н н а я с н и з у (рис. 8,86); здесь'все подструйное пространство заполнено водой; вакуум под струей в этом случае больше, чем в предыдущем (при прочих равных условиях); 4) п р и л и п ш а я с т р у я , (рис. 8.8 в); здесь, вакуум под струей весьма велик, благодаря чему коэффициент расхода т получается наибольшим. Прилипшая струя образуется в особых случаях, например при постепенном нарастании напора от нуля и при отсутствии доступа воздуха под струю. Струя эта обладает -218 наименьшей устойчивостью; достаточно вызвать механическое повреждение кромки струи, она переходит в поджатую и не возвращается в начальное положение. Возникающий и развивающийся под струей вакуум оказывает существенное влияние на размер коэффициента расхода т, а следовательно, и на пропускную способность водослива, увеличивая: ее в случае прилипшей струи до 28 % по сравнению со свободной струей [35]. Неподтопленный прямоугольный водослив с вертикальной; стенкой при наличии свободного истечения и при отсутствии босу - ' Р<Ра т в] Р^Рат в) Р«<Рат Рис. 8.8. Несвободное истечение через тонкостенный водослив (а — поджатая струя, не подтопленная снизу; б.— поджатая подтопленная струя; в — прилипшая струя). кового сжатия называется нормальным водосливом (см. рис. 8.7)^ Расход воды Q в случае нормального водослива обычно определяют по формуле Q = maHbs/2iHVl, (8.11> где Я — геометрический (а не полный) напор на водосливе; здесь скорость подхода z>o учитывается коэффициентом расхода т о н , а не путем замены Я на Я 0 . Существует несколько различных эмпирических формул дляопределения коэффициента расхода т о н нормальйого водослива (Базена, Ребока и др.). Наиболее рациональной является формула, предложенная Р. Р. Ч у г а е в ы м д л я технических условий и норм [39]: т0Н = 0,40 + 0,05Я/С В ; (8.12> ее можно применять, когда С в ^ 0,5 Я и Я ^ 0,1 м. Д л я других: условий значения т о н следует уточнять лабораторными опытами. Относительно высокая точность расчетных формул для нормальных водосливов позволяет применять их в качестве измерительных водосливов на каналах. Измерив в натуре напор Я на, водосливе, специально устроенном в канале, по формулам (8.11) и (8.12) легко можно найти расход воды в нем. 219-' ' В случае н е п о д т о п л е н н о г о в о д о с л и в а с б о к о в ы м с ж а т и е м в формулу (8.11) вместо коэффициента т о н следует ввести коэффициент т'0, определяемый по формуле Эгли т'о = А\А2, (8.13) Л, = 0,40 — 0,03 (В в — Ь)/Вв, (8.14) где н А3 = 1 + 0,55 ( - § в в я + СЕ /77777777777777/77777 -у. (8.15) Рис. 8.9. Подтопленный водослив с тонкой стенкой. Формула (8.13) справедлива при условиях: С В > 0 , 5 Я ; Я > 0 , 1 0 м; Я/6 < 1 , 0 ; при расчетах по ней учитывается одновременно как влияние бокового сжатия, так и влияние скорости подхода. Д л я облегчения расчетов по формулам (8.14) и (8.15) в справочной литературе [32, 35, 36] приводятся таблицы со значениями коэффициентов Ai и А2, там ж е приводятся координаты нижнего и верхнего профилей струи, переливающейся через нормальный водослив. Картина истечения через п о д т о п л е н н ы й прямоугольн ы й в о д о с л и в с вертикальной тонкой стенкой показана на рис. 8.9. Если уровень воды в нижнем бьефе поднимается выше гребня водослива на высоту подтопления h„ = Я — г, то водослив может начать работать как затопленный. У с л о в и я м и з а т о п л е н и я водослива являются следующие неравенства: 1) hu > С н или hn > 0 или Z < Я ; 2) < ( С„ ) к ' (8.16) (8.17) где критическое значение (Z/C H ) к может быть найдено по особому экспериментальному графику (рис. 8.10) в зависимости от отношения Я/С н . Как видно из этого рисунка, часто (Z/CU)K = 0,70-f-Р 0,75, поэтому для предварительных расчетов можно считать (Z/Ch) « 0,75. " -220 В случае п о д т о п л е н н о г о деляется по формуле водослива расход Q опре- Q = тф (8.18) где при отсутствии бокового сжатия т0 = оптвН, причем т о н определяется по формуле (8.12); или при наличии бокового сжатия (8.19) то = а„т'о, (8.20) причем m'Q определяется по формуле (8.13). Р/с») к 1,0 0.75 Рис. 8.10. Кривая зависимости (Z/C H ) K = 0-5 =f(H/Cu). ' 10 ' /5" ' ?п ' ?т н/п~ / н ' Коэффициент подтопления а„, входящий в формулы (8.19) и (8.20), находится (для hJC от 0,0 до 1,5) по эмпирической формуле Базена о п = 1,05 (1 + 0,2/г п /С„)^2/Я. (8.21) Числовые значения коэффициента сгп приведены в табл. 8.1. Формула (8.21) применима при условии 0,15 ^ Я/С ^ 1,90 и 0 < hJC s g 1 , 6 . Необходимо подчеркнуть, что снижение расхода, получающееся при подтоплении любого водослива, обусловливается тем, что под струей, нисходящей с водосливной стенки, при поднятии Таблица 8.1 Зависимость коэффициента подтопления стп от относительной глубины i подтопления (/г п /С н ) и относительного перепада ( 2 / С „ ) *п/ с п z c /„ 0,10 0,20 0,30 0,40 '0,50 0,60 0,70 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,85 0,94 0,97 0,99 1,01 1,02 1,02 0,76 0,87 0,92 0,95 0,98 0,99 1,00 0,70 0,82 0,88 0,92 0,95 0,98 0,99 0,66 0,79 0,85 0,90 0,93 0,96 0,98 0,64 0,76 0,83 0,88 0,92 0,94 0,96 0,61 •0,74 0,81 0,87 0,90 0,93 0,96 0,60 0,72 0,80 0,85 0,89 0,92 0,95 0,58 0,71 0,79 0,84 0^89 0,92 0,94 0,57 0,70 0,78 0,84 0,88 0,91 0,94 0,57 0,69 0,77 0,83 0,87 0,91 0,94 / 221 горизонта воды нижнего бьефа повышается давление. До тех пор, пока давление под струей не зависит от горизонта воды нижнего бьефа, водослив будет не подтоплен. 8.4. Водосливы с тонкой стенкой, отличные от прямоугольных Д л я измерения расходов воды на оросительных каналах, малых естественных водотоках и в лабораторной практике часто применяют водосливы с формой выреза, отличной от прямоугольной (треугольные, трапецеидальные, параболические и др.). Ниже остановимся на рассмотрении некоторых из них, ограничиваясь случаем незатопленного водослива со свободным истечением. • Наиболее общей для этой группы водосливов является трапецеидальная форма (см. рис. 8.6 в). Основной формулой расхода т р а п е ц е и д а л ь н о г о в о д о с л и в а можно считать формулу Q = щ (Ь + 0,8 tg ©Я) <yj2g Нч\ где b — Для 0 = 14° &>4Я, (8.22) ширина трапецеидального выреза понизу. трапецеидального водослива с тонкой стенкой при угле ( t g © = 0,25) в том случае, если ширина его порога расход можно определять по-обычной формуле Q = mb У Н ч \ причем коэффициент расхода т = 0,42 принимается постоянным, не зависящим от напора Я. Расход через такой водослив, называемый водосливом Ч и п п о л е т т и, может быть выражен еще формулой <2=1,866Я° / 2 , (8.23) где b и Я в метрах. Трапецеидальные водосливы, особенно водослив Чипполетти, находят применение при измерении сравнительно больших расходов, когда пропускная способность треугольного водослива оказывается малой, а применение прямоугольного водослива почемулибо затруднительно. Из формулы (8.22) можно как частные случаи получить формулы для водосливов прямоугольного, треугольного, трапецеидального, суживающегося книзу и кверху, щелевого. Для измерения расходов на малых водотоках и в лабораториях часто применяется водослив с треугольным отверстием (см. рис. 8.6 б) с углом при вершине © = 90°, а иногда © = 45, 60 и 120°. , Общая формула расхода т р е у г о л ь н о г о водослива имеет вид ~ Q = 0,8m «J2g tg (0/2) -222 (8.24) Если угол © = 90°, то можно считать расход н о Томсона ••••'• формуле (8.25) Q= 1 где напор Я в м. Более точное значение расхода воды через треугольный водослив при © = 90° дае^г ф о р м у л а К и н г а Q = 1,343Я-2,47 (8.26) Она применима при Я + С в > 3 Я; S > 5 Я и Я = 0,06 4- 0,65 м, где В — ширина прямоугольного подводящего, русла. Треугольными водосливами малые расходы воды измеряются с большей точностью, чем трапецеидальными или прямоугольными. 8.5. Точность определения расходов воды водосливами При использовании тонкостенных водосливов в качестве расходомеров необходимо знать точность измерения ими расходов воды Q. При проектировании гидрометрических водосливов возникает необходимость определить, Какая форма выреза водослива может обеспечить большую точность измерения расходов воды в заданном диапазоне Q. Приходится также решать вопрос о том, с какой точностью надо определять параметры водослива и потока для обеспечения требуемой точности измерения"расхода ВОДЫ. . : ; Рассмотрим точность определения расходов воды незатопленными водосливами с тонкой стенкой при трех основных формах выреза водосливного отверстия (прямоугольной, трапецеидальной и треугольной). Для п р я м о у г о л ь н о г о в о д о с л и в а формула расхода имеет вид (8.11) Q = тир V 2 g Я 3 / \ гДе b —• ширина гребня водослива; Я — напор на водосливе (см. рис. 8.7); тон — коэффициент расхода, определяемый по формуле (8.12). Найдем точность определения расхода Q по формуле (8.11) в зависимости от погрешностей изменения, входящих в эту формулу элементов потока и параметров водослива. Для этой цели воспользуемся приемом определения погрешностей, который широко используется в физике, метрологии и других науках. Сначала прологарифмируем формулу (8.11), а затем продифференцируем dQ __ dmm Q m0„ db b . 3 dH ^2 H (8.27) -223 :, После замены в (8.27) полных дифференциалов на конечные разности, принимаемые за абсолютные погрешности, получим формулу для относительной погрешности при измерении расхода прямоугольным водосливом в следующем виде: AQ _ ои , 1 Ат тоН ЛЬ , 1 b 3 2 АН Н ^ щ , Поступая аналогичным образом с формулами (8.23), (8.25) и (8.26), для трапецеидального и треугольного водосливов получим следующие формулы погрешностей: для водослива Чипполетти AQ _ М , З А Я , 1 Q b 2 Н ' для водослива с треугольным вырезом при 0 = 9 0 ° ваемым водосливом Томсона) л<? Q - 5 2 ХН (8 2 9 ) (часто назы- (8.30) Н Исследования Г. В. Железнякова и Б. Б. Данилевича [15] показали, что два первых члена правой части выражения (8.28) и первый член правой части (8.29) пренебрежимо малы по сравнению с членом (3/2) (ДЯ/Я). Это позволяет при практическом использовании формул (8.28) и (8.29) учитывать только относительную погрешность измерения напора Д Я / Я , т. е. для прямоугольного и трапецеидального водосливов пользоваться формулой Q - ~ 3 ЛЯ 2 Н ' (8.31) Из сравнения формул (8.30) и (8.31) видно, что при одинаковой погрешности измерения напора Я на водосливе (абсолютной погрешности ДЯ) и при одинаковых напорах воды Я относительная погрешность определения расхода воды треугольным водосливом больше, чем прямоугольным. Однако известно, что один и тот же расход воды через треугольный и прямоугольный водосливы будет проходить с разными напорами. При пропуске Малого расхода воды на треугольном водосливе создается значительно больший напор Я, чем на прямоугольном, и следовательно, относительная погрешность Д Я / Я будет существенно меньше. Поэтому треугольные водосливы и рекомендуются для измерения небольших расходов воды (в основном в лабораторных условиях). При больших расходах воды прямоугольные и трапецеидальные водосливы обеспечивают большую точность измерения Q, чем треугольные. -224 8.6. Водосливы практического профиля Из водосливов практического профиля наибольший интерес представляют водосливы, у которых низовая грань очерчена по форме траектории свободно падающей струи. Такой профиль в большинстве случаев имеют водосливные плотины гидроэлектростанций, которые используются для измерения сбрасываемых через них расходов воды. В случае водосливов со стенкой практического профиля различают два основных вида водосливов: Рис. 8.11. К пояснению понятий безвакуумного и вакуумного профиля водосливной плотины. 1) б е з в а к у у м н ы е в о д о с л и в ы , очертание сливной поверхности которых выполнено по кривой, обеспечивающей для заданного напора Я плотное прилегание переливающейся струи к сливной поверхности; 2) в а к у у м н ы е в о д о с л и в ы , характеризуемые тем, что на поверхности гребня водосливной стенки (или вблизи него) под струей образуется вакуум. Одна и та ж е водосливная Стенка в зависимости от напора Я может работать и как безвакуумная, и как вакуумная. Поясним это положение, пользуясь рис. 8.11. Предположим, что имеется нормальный водослив с тонкой стенкой (рис. 8.11а), причем напору Н\ -отвечает струя, ограниченная снизу кривой Ъс\. Под струей, ниспадающей с водосливной стенки, имеется атмосферное давление. Если выполнить водосливную стенку практического профиля по кривой be, то давление под струей ни в одной точке не окажется меньше атмосферного и мы получим б е з в а к у у м н ы й профиль водослива. Если теперь увеличить напор на водосливе до Я 2 , то при этом очертание нижней кромки струи примет положение 6с 2 ; что касается водосливной стенки практического профиля (рис. 8.11 б), то струя будет стремиться оторваться от сливной поверхности be, давление под струей станет меньше атмосферного и мы получим в а к у у м н ы й п р о ф и л ь в о д о с л и в а. Вакуум, возникающий под струей, действует как насос, значит пропускная способность вакуумных водосливов должна быть 15 Заказ № 33 225 больше,^ чем безвакуумных. Существуют методы, позволяющие рассчитывать допустимую степень вакуума на водосливе. В гребне водосливной плотины практического профиля ,(рис. 8.12) может быть устроено несколько водосливных отверстий, разделенных быками. Крайние отверстия (левое и правое) ограничены со стороны берегов так называемыми устоями. Отметки гребня водосливных стенок в пределах отдельных отверстий могут быть разными. Рассмотрим наиболее простой случай, когда указанные отметки одинаковы. Гребень / водослива быки Рис. 8.12. с нижнего Вид водосливной плотины бьефа (а) и в плане {б). Д л я расчета водосливов практического профиля удобно пользоваться формулой, записанной в виде Q - апетВ У 2 g H'q (8.32) где В — ширина водосливного фронта: b; здесь b — ширина отдельных водосливных отверстий; 0 П — коэффициент подтопления, учитывающий уменьшение Q, вызываемое подтоплением водослива нижним бьефом; для неподтопленного водослива стп = = 1;е — коэффициент бокового сжатия: Вс/В. (8.33) здесь Вс — действительная, или иначе, эффективная ширина водосливного фронта: Вс — ^Ьо, где Ьс — так называемая сжатая ширина отдельных струй (см. рис. 8.12 6); m — коэффициент расхода водослива; Яо — напор с учетом скорости подхода. В случаях, когда удовлетворяется неравенство £2В > 4 (ВН), (8.34) где £2В — площадь живого сечения верхнего бьефа по линии в — в (см. рис. 8.1), скоростью подхода следует пренебрегать и считать Я 0 = Я. Основным вопросом расчета водослива со стенкой практического профиля является вопрос об определении значений коэффициентов (Уп, 8 И Ш. , -226 Д л я приближенной оценки коэффициента бокового сжатия при наличии одного водосливного отверстия рекомендуют фор* мулу "следующего вида: е = 1-ОДбЯ0/&, (8.35) где |б — коэффициент уменьшения, учитывающий форму быков в плане (рис. 8.13а). ' . а) б) Рис. 8.13. Различные очертания в плане быков (а) и устьев (б), ограничивающих сбоку водосливнре отверстие. В случае ряда отверстий (см. рис. 8.12) при Н 0 /Ь 1,0 приближенное значение 8, входящее в зависимость (8.32), рекомендуют определять по формуле s = 1 - 0,2 Ц у + (п - 1) Ы) Но/пЬ, (8.36) где п — число отдельных водосливных отверстий (одинакового размера); — коэффициент уменьшения, учитывающий скругление вертикальных ребер устьев (см. рис. 8.13 6). В технических условиях [32] приводятся уточненные зависимости для коэффициента бокового сжатия е (формулы Г. К. Дерюгина, полученные на основании обобщения соответствующих экспериментальных данных). Рассмотрим определение к о э ф ф и ц и е н т а расхода т для водосливной стенки нормального очертания (Кригера—Офицерова), особенно часто применяемой при сооружении водосливных плотин (рис. 8.14). Поперечный профиль этой стенки в общем 15* 227 случае состоит из вертикального участка АВ высотой а, прямолинейного участка ВС, наклонного к горизонту под углом а в , криволинейного участка CD, строящегося по особым координатам, прямолинейного участка DE, наклонного к горизонту под углом а н и дуги окружности EF, сопрягающей участок DE с линией дна нижнего бьефа. В справочной литературе [32, 35, 36] приводятся координаты, по которым можно построить очертание гребня безвакуумной водосливной стенки Кригера—Офицерова. Величины углов а в и а н и высота а принимаются по строительным соображениям, кроме того учитывается их влияние на величину коэффициента расхода т. Для безвакуумного профиля, построенного по координатам Кригера—Офицерова, коэффициент расхода рекомендуется определять по формуле Н. Н. Павловского т = т пр аф0„, (8.37) где т„р — приведенный коэффициент расхода, найденный опытным путем ( т п р = 0,504); Оф— коэффициент формы, принимаемый в зависимости от углов а в и а н и от отношения ajCB по табл. 8.2; о и — коэффициент полноты напора, определяемый по табл. 8.3 в зависимости от угла а в и отношения Я / Я п р ф , где •йпрФ — профилирующий напор. Таблица 8.2 Коэффициенты формы с?ф для безвакуумной водосливной стенки Кригера—Офицерова а а/ С в а в град н град 16 35 / а СВ а «в град н град 0,3 о.,з 0,6 0,9 1,0 15 30 45 60 0,88 0,91 0,92 0,92 0,86 0,88 0,90 0,90 0,85 0,88 0,89 0,90 0,93 0,97 0,99 1,00 55 15 30 45 60 0,92 0,96 0,98 0,98 15 30 45 60 0,90 0,94 0,96 0,96 0,90 0,93 0,95 0,95 0,91 0,94 0,96 0,96 0,93 0,97 0,99 1,00 75 15 30 45 60 0,93 0,97 0,99 1,00 0,6^ 0,9 1,0 0,92 0,96 0,98 0,98 0,93 0,96 0,98 0,99 0,93 0,97 0,99 1,00 0,93 0,97 0,99 1,00 0,93 0,97 0,99 1,00 0,93 0,97 0,99 1,00 Поясним понятие профилирующего напора. Д л я построения участка профиля плотины CD (см. рис. 8.14) выбирается некоторый определенный напор Я, который может быть назван профилирующим Я п р ф . Величину Я П р ф обычно принимают равной величине максимального напора определенной обеспеченности, допустимого на гребне водосливной стенки, а кривая CD профиля строится таким образом, чтобы при напоре, меньшем или равном профилирующему, на сливной поверхности CDE не мог появиться вакуум, поскольку он в ряде случаев считается нежелательным. -228 Из в а к у у м н ы х водосливов практического профиля наиболее изученными являются профили с эллиптическим (в частности, круговым) очертанием оголовка (см. рис. 8.116). По исследованиям Н. П. Розанова коэффициент расхода т для таких водосливов рекомендуется принимать в зависимости от отношений Но/гф и ///, где Гф — фиктивный радиус окружности, которую можно вписать в эллиптический оголовок, I и jF — соответственно большая и малая полуоси эллипса (в справочной литературе для определения коэффициента т имеются специальные таблицы). Рис. 8.15. График для определения коэффициента подтопления аш в случае вакууьщрго родосдива (I) и нормального безвакуумного (II). Коэффициент расхода т для вакуумных профилей в среднем равен 0,55... 0,57. Значение коэффициента подтопления о п , входящего в формулу (8.32), определяется в зависимости от отношения hJH0, где hn — глубина подтопления (см. рис. 8.9). В случае вакуумных водосливных стенок с эллиптическими оголовками значение о п находят по экспериментальной кривой Розанова (рис. 8.15); для этих стенок при h n /H 0 ^ — 0 , 1 5 имеет место неподтопленный водослив, для которого о п = 1,0. Таблица 8.3 Коэффициенты полноты напора 0 Н для безвакуумной водосливной стенки Кригера—Офицерова а в град 20 0,2 0,4 0,6 о;в 1,0 1,2 1,4 1,6 i;s 2,0 0,89 0,93 0,96 0,98 1,00 1,02 1,03 1,04 1,06 1,07 3Q 40 50 0,89 0,93 0,96 0,98 1,00 1,02 1,03 1,05 1,06 1,07 0,88 0,92 0,95 0,98 1,00 1,02 1,04 1,05 1,06 1,08 0,87 0,92 0,95 0,98 1,00 1,02 1,04 1,05 1,07 1,08 ед 0,86 0,91 0,95 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,07 1,09 70 8fi 0,86 0,91 0,95 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,07 1,09 0,85 0,91 0,94 0,97 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 i ,09 ; 90 0,84 0,90 0,94 о;97 1,00 1,02 1,05 1,06 1,08 1,10 -229 В случае безвакуумной водосливной стенки Кригера—-Офицерова значение о п определяют по табл. 8.4 или по графику на рис.' 8.15; для этой стенки при hn/H0 sg: 0 имеет место неподтопленный водослив, для которого а п = 1 , 0 . Таблица 8.4 -Коэффициенты подтопления <тп для безвакуумной водосливной стенки Кригера—Офицерова ftalff0 . . . 0,20 0,40 0,50, 0,60 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 СТп 0,98 0,97 0,89 0,85 0,80 0,70 0,59 0,41 1,00 0,93 Как видно, у вакуумного водослива затопление наступает несколько раньше, чем у безвакуумного. Вода со стороны нижнего бьефа прижимает струю к телу плотины и вакуум исчезает; при этом пропускная способность водослива уменьшается. 8.7. Водосливы с широким порогом Как было отмечено выше, водослив прямоугольного профиля г о м . Такой водослив может быть неподтопленным или подтопленным! Неподтопленный водослив с широким порогом обычно характеризуется наличием двух перепадов свободной поверхности: ZB И Z h (рис. 8.16). Один перепад имеет место при входе потока . на водослив, а второй — при выходе с водослива. С физической точки зрения причиной возникновения первого перепада Zb является местное сжатие, обусловленное уменьшением живого сечения потока над порогом водослива. Это приводит к увеличению скорости течения и кинетической энергии потока в месте сжатия. Следствием этого будет уменьшение потенциальной энергии и снижение свободной поверхности потока при входе на водослив. В данном случае возникновение перепада Z B обусловливается стеснением потока снизу порогом водослива. -230 Надо учитывать, что в месте сжатия (с боков или снизу) безнапорного потока (при спокойном движении жидкости) всегда получается резкое снижение его свободной поверхности. Нижний перепад свободной поверхности ZH обусловлен переливом потока через препятствие. Второй характерной особенностью перелива воды через водослив с широким порогом является наличие участка потока на пороге с плавно изменяющимся движением, что позволяет получить довольно строгое теоретическое решение вопроса о расчете пропускной способности водослива с широким порогом. Пренебрегая потерями напора по длине, свободную поверхность потока в пределах гребня водослива можно принять близкой к горизонтальной и полагать, что hi = h2 — h = const, где h — глубина и 2—2 (см. рис. Длины 6i и как показывают (8.38) воды на пороге водослива между сечениями 1—1 8.16). б2, определяющие положение сечений 1—1 и 2—2, опыты, зависят от напора Я и равны: 6 , « 2 Я ; 62 = 0 -=-Я. Соединим уравнением Бернулли сечения в — е й 1—1. Плоскость сравнения ОО наметим на уровне порога водослива. Относя слагаемые уравнения Бернулли к точкам, лежащим на уровне свободной поверхности, напишем я + 4 - Л + - £ . + с - £ . ••• <8-39> где слагаемое lv2J2g учитывает местные потери напора между сечениями в—в и 1—1 (потери, получающиеся на входе при обтекании потоком входного горизонтального ребра водослива); £ — коэффициент сопротивления, зависящий от формы обтекаемого входного ребра. Из (8.39) получаем v = <f<yj2g{Hb-h), (8.40) где v—• средняя" скорость на пороге (в любом вертикальном сечении, намеченном между вертикалями 1—1 и 2—2); <р — коэффициент скорости (4.7). Д л я прямоугольного водослива, пользуясь формулой (8.40), выражение для расхода Q можно записать в виде Q = М Ф ^2g (H 0 — h). (8.41) Как видно, для того чтобы по формуле (8.41) найти расход, необходимо знать глубину h, которая при заданном напоре Я о сама собой устанавливается на пороге водослива. Д л я определения h и Q в случае водослива с широким порогом было предложено много различных способов. Рассмотрим некоторые из них. -231 Первое решение вопроса о расчете пропускной способности водослива с широким порогом принадлежит французскому ученому Беланже и относится к 1845 г. Б е л а н ж е выдвинул постулат (положение, принимаемое без доказательств) о максимуме расхода над водосливом с широким порогом, содержание которого сводится к следующему: при заданном напоре Но глубина h на пороге водослива сама собой устанавливается такой, при которой расход на водосливе из всех возможных получается наибольшим. Этот постулат называют иногда п р и н ц и п о м н а и б о л ь ш е г о р а с х о д а . Опираясь на этот постулат и помня о том, что, если непрерывная функция Q = f(h) имеет в некоторой точке максимум, то первая производная этой функции обращается в ноль, Беланже установил, что искомая глубина h должна удовлетворять уравнению /г = Я0. (8.42) Учитывая, (8.42) и вводя обозначение k = h/H0, где k — относительная глубина, уравнение (8.41) можно переписать в виде Q = fpb 0 / Я о ) Но л/2gH 0 (1 - h/H0) (8.43) или в виде Q = b(pk^T=k^/2gHy\ (8.44) Q = mb <\/2g Но\ (8.45) или, наконец в виде где тп = ф V 1 —k. (8.46) Как видно, (8.45) ничем не отличается от основной расчетной зависимости (8.10), приведенной в п. 8.2. Подставляя в (8.46) k = 2/3, по Беланже, получим m = ф2/3 V 1 — 2/3 — 0,385ф. (8.47) Таким образом, Беланже было получено первое теоретическое решение для коэффициента расхода m в случае водослива с широким порогом. Помня, что входящий в (8.47) скоростной коэффициент ф [см. (4.7) ] обычно меньше единицы, можно утверждать, что значения коэффициентов расхода для водослива с широким порогом будут m 0,385. Исходя из значений ф да 0,85 -4-0,92, что зависит от скругления входного ребра водослива, в соответствии с (8.47) получим коэффициент расхода m да 0,32 -f- 0,35. Б. А. Б а х м е т е в вместо принципа наибольшего расхода для определения глубины h воспользовался другим постулатом» согласно котррому на пороге водослива сама собой должна уста-232 навливаться глубина h, отвечающая минимуму удельной энергии сечения (минимуму величины 9=h+av2/(2g)). Этот постулат называют еще э н е р г е т и ч е с к и м принципом Бахметева. Отсюда вытекает, что, согласно Бахметеву, на пороге рассматриваемого водослива должна устанавливаться критическая глубина: h = Ак, (8.48) т. е. по Бахметеву k = Ак/Яо, (8.49) или, поставляя в (8.49) формулу для /гк (6.20), получим k = д/aCf/iHogb2). Заменяя в (8.50) Q по (8.44), будем иметь k = 2аср2/(1 + 2аф2), (8.50) (8.51) откуда Анализ формулы (8.51) показывает, что при а = 1,0 и ср = = 1,0 по Бахметеву, так ж е как и по Беланже, получаем k — 2/3. Выражая в (8.46) коэффициент скорости ср по (8 .52), окончательно получим формулу для коэффициента расхода в виде m = УЩ* (8.53) или & = л!Шп\ (8.54) Расчетная формула для Q здесь остается та ж е [см. (8.45)]; значение коэффициента расхода m получается из (8.46), ,если в эту зависимость подставить ср, найденное по (8.52). Выразим коэффициент расхода m через коэффициент скорости Ф, подставляя в (8.46) формулу для k (8.51) при а = 1,0, m = 2ф3/д/ (1 + 2ср2)3. (8.55) Принимая в (8.55) указанные выше числовые значения ср, получаем по Бахметеву примерно те ж е значения пг, что и по Бел а н ж е ( m « 0,32 -s- 0,35). Значение ж е k, согласно (8.54), при а = 1,0 оказываются равными 0,59... 0,63. В дальнейшем было показано, что постулат .Беланже и постулат Бахметева не вполне отвечают действительности. Оказывается, что действительная глубина на пороге h меньше критической глубины, а также меньше глубины, получаемой по Беланже; только при весьма плавном скруглении входного ребра водослива величина h приближается к критической глубине. -233 Эксперименты также показали, что значение коэффициента расхода т существенно зависит от отношения CJH, а также от отношения Ь/В, т. -е. от степени сжатия потока, поступающего на водослив с боков. Рядом авторов были проведены теоретические и экспериментальные исследования водослива с широким порогом. Остановимся на кратком изложении метода расчета водослива с широким порогом, нашедшем отражение в Рекомендациях по гидравлическому расчету водосливов [32]. В значительной степени этот метод расчета основан на работах Д. И. Кумина. В.. случае н е п о д т о п л е н н о г о в о д о с л и в а расчет выполняется следующим образом. Расход воды, переливающийся через водослив,, определяем по формуле Q = smb Ио\ • (8.56) где е — коэффициент бокового сжатия струи, поступающей в водосливное отверстие (см. рис. 8.1 б) , равный е = bjb. (8.57) Когда b = В ( в о д о с л и в б е з б о к о в о г о с ж а т и я ) , г — = 1,0. П р и н а л и ч и и б о к о в о г о с ж а т и я (е < 1,0) s назначается в зависимости от очертания (в плане) входных вертикальных- ребер устоев, ограничивающих данное водосливное отверстие (см. рис. 8.13 6), Д л я приближенной оценки s рекомендуется формула следующего вида: е = 1 - ОЛуНо/Ь, (8.58) где — коэффициент уменьшения, учитывающий скругление или притупление вертикальных ребер устоев (величину £у — см. на рис. 8.13 6). В случае, если QB>4 \ЬН), (8.59) где £2В — площадь живого сечения по линии b—b (см. рис. 8.16), скоростью подхода ио пренебрегаем и считаем Н0 = Н. Коэффициент расхода т в формуле (8.56) берется из специальных таблиц (составленных на основании опытов Д. И. Кумина) в зависимости от величины т) = С в /Я, а также в зависимости от очертания входного горизонтального ребра водослива (рис. 8.17а). Таблицы для m приводятся в справочной литературе [32, 35, 36]. . - Значения коэффициента расхода т для водослива с вертикальным входным ребром (ctg© = 0, см. рис. 8.17) приведены в табл. 8.5. В случае водослива без порога (С в = 0), когда ЩЬ *С2,0, произведение" em, входящее-в формулу (8.56), находится по специ-234 Таблица 8.5 - Коэффициенты расхода т для водослива с широким порогом с вертикальным входным ребром ц=Св/Н . 0,0 т 0,385 0,2 0,4 0,6 0,8 0,366 0,356 0,350 0,345 1,0 '2,0 4,0 8,0 со 0,342 0,333 0,327 0,324 0,320 альным таблицам [32, 35, 36] в зависимости от относительной Ширины водосливного отверстия в верхнем бьефе (Зв = Ь/Вв и в зависимости от очертания (в плане) входных вертикальных ребер водослива (см. рис. 8.17 6). В) <*а Ав 7 V Ч . 45° JC, Рис. 8.17. Разные случаи очертания входного горизонтального ребра водослива с широким порогом в продольном разрезе (а) и в плане (б). Значения произведения е т для водослива без порога при прямоугольном очертании входных ребер в плане приведены в табл. 8.6. Таблица 8.6 Значения коэффициента ,ет для водослива без порога ( С в = 0 ) при прямоугольном очертании входных ребер в плане Рв = Ь/Вв em . . . . 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0 . 0,320 0,325 0,330 0,340 0,355 0,367 0,385 Глубину h н а п о р о г е н е п о д т о и л е н н о г о в о д о с л и в а можно определить, зная Q, b и Я 0 , из уравнения (8.41) Q= ybh-y/2g(Ha-h), причем здесь ср берется (согласно экспериментальным данным Д . И. Кумина) из табл. 8.7 в зависимости от величины гт, где е й т найдены указанным выше способом. В общем случае картина истечения воды через п о д т о п л е н н ы й в о д о с л и в с широким порогом выглядит, как показано на рис. 8.18. Как видно,. подтопленный водослив .характеризуется -235 Таблица ,7.2. Значения коэффициента скорости ф по данным Д. И. Кумина em . . 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,94 0,96 0,97 0,98 1,00 Ф , наличием одного положительного перепада ZB и одного отрицательного перепада ZBC, называемого перепадом восстановления. Свободная поверхность за сечением 2—2 может подниматься вверх на величину ZBC, благодаря тому, что часть кинетической энергии потока в этом месте переходит в потенциальную энергию. Рис. 8.18. Подтопленный водослив с широким порогом. По рекомендациям [32] водослив с широким порогом следует считать подтопленным, если высота подтопления hn>nH0, (8.60) где п = 0,75 -г- 0,85 (критерий подтопления). Уточненное значение критерия подтопления п может быть найдено по специальному графику [32, 36] в зависимости от коэффициента расхода m и от коэффициента расширения потока при выходе в нижний бьеф vH = bhJQH, где £2Н — площадь живого сечения нижнего бьефа, измеряемая в сечении Я — Я (см. рис. 8.18). При п о д т о п л е н н о м и с т е ч е н и и связь между п и Я нарушается и расход воды на водосливе рассчитывается по формуле Q = фпbhi У 2 г ( Я о - Л , ) , (8.61) где ф п берется, в соответствии с экспериментальными данными Д . И. Кумина, из табл. 8.8 в зависимости от величины sm, которая должна быть предварительно установлена, как указано выше. Таблица 8.8 Коэффициент скорости <рп в Случае подтопленного водослива с широким порогом по данным Д . И. Кумина em. 0,30 0,32 0,34 -0,36 0,38 Фп. . 0,77 0,84 0,90 0,96 0,99 236 Глубина hi в сечении 1—1 (рис. 8.18), входящая в формулу (8.61), принимается равной: Л, = h2 = hn - ZBC, (8.62) где ZBC = SbcAK, (8.63) причем здесь критическая глубина ha находится по формуле (6.25); £вс — относительный перепад восстановления, определяемый по специальному графику [32, 36] в зависимости от величин lu = hu/hK и vH = Kb/ (hnB). В заключение подчеркнем, что в случае подтопленного водослива с широким порогом расчетная формула (8.61) имеет вид, отличный от общей формулы, используемой в расчетах для других типов водосливов. Отметим также, что последними исследованиями было установлено, что на работу водослива с широким порогом оказывает влияние к р и в и з н а с в о б о д н о й п о в е р х н о с т и , имеющая место над порогом водослива. Наличие кривизны свободной поверхности связывают с влиянием центробежной силы на пропускную способность водослива. Однако, ввиду сложности учета влияния кривизны струй, окончательного решения этого вопроса пока нет. , 8.8. Расчет пропускной способности стеснения русла Выше рассмотрены случаи возникновения перепада ZB (см. рис. 8.16 и рис. 8.18), обусловленного стеснением потока снизу порогом водослива. Однако картина, аналогичная перетеканию жидкости через водослив с широким порогом, может наблюдаться совсем в других условиях. Автомобильные й железные дороги на своем пути пересекают русла различных больших и малых водотоков (рек, речек, ручьев, оврагов, балок и т. д.). Д л я безопасного пропуска через дорогу паводковых расходов малых водотоков в дорожной насьши устаиваются различные в о д о п р о п у с к н ы е сооружения, которые должны иметь достаточную пропускную способность, определяемую гидравлическим расчетом. Гидравлический расчет отверстий коротких дренажных труб прямоугольного сечения, малых мостов и стеснения русла перемычками издавно производится по аналогии с расчетом движения воды через неподтопленный или подтопленный водослив с широким порогом. Аналогия эта основывается на сходстве общей картины движения потока. В этом случае высота водосливной стенки С = 0 (водосливного порога здесь нет). Отсутствие порога на дне компенсируется значительным боковым сжатием потока. Таким образом, водослив без порога (С = 0) с некоторым приближением можно рассматривать как частный случай водо-237 слива с широким порогом и рассчитывать всеми теми способами, которые были изложены ранее. В связи с этим остановимся на наиболее распространенных частных случаях водослива без порога: на гидравлическом расчете безнапорного водопропускного мостового отверстия и расчете стеснения русла перемычками [39]. Задача расчета безнапорного водопропускного м о с т о в о г о о т в е р с т и я ставится несколько иначе, чем для обыкновенных водосливов. Д л я этого обычно задают (рис. 8.19): Рис. 8.19. Водослив без порога (мостовое отверстие). 1} скорость v в водосливном отверстии (в пролете мостика); в качестве такой скорости, как правило, принимают максимальную. допустимую скорость t>макс, для крепления русла в пределах водосливного отверстия; 2) высоту насыпи Я н ас; при пропуске через водбслив расчетного расхода Q заданной обеспеченности напор на водосливе Я должен получаться меньше Я н а с : я < Я„ ас , . (8.64) иначе дорожное полотно будет затоплено. Иногда в формуле (8.64) под величиной Я н а с понимают превышение низа пролетного строения моста над дном водотока Я в .л (см. рис. 8.19); 3) расход Q; расход Q заданной обеспеченности обычно устанавливают на основании особых гидрологических расчетов (сообразуясь с площадью бассейна водотока, через который устраивается мостик и т. п.); 4) глубину воды в нижнем бьефе /гн, получающуюся при пропуске расхода Q; эта глубина, как правило, принимается равной естественной (бытовой) глубине в русле, соответствующей расходу Q. Исходя из указанных величин, при помощи гидравлического расчета устанавливают ширину водослива Ъ, т. е. отверстие проектируемого мостика. Такая задача решается следующим образом. Предполагаем, что рассматриваемый водослив является неподтопленным. При этом, имея значение скорости v, определяем Напор на водосливе Я 0 •• ' Яо = ФО7(2£). (8.65) -238 где величина Ф, найденная .из формулы определяется зависимостью (8.40) при h/Ho—k, ф = 1 Дф* (1 - Щ . (8.66) Величину Ф можно определить, установив предварительно коэффициент расхода т, а затем е, ср и k (как пояснялось в п. 8.7), используя для этой цели табл. 8.5—8.8. Следует подчеркнуть, что в рассматриваемом случае почти всегда допустимо пренебрегать скоростью подхода со. Поэтому можно считать, что Но да Я. Зная, таким образом, геометрический напор на водосливе, сопоставляем его с высотой насыпи Я на с. Если условие (8.64) оказывается невыдержанным, то приходится уменьшать скорость v в пролете мостика, добиваясь соблюдения неравенства (8.64). Заметим, что уменьшая скорость v, мы при этом пролет мостика, как будет показано ниже, должны увеличивать, т. е. получать г более дорогой мостик. Установив величину Но да Я, проверяем, действительно ли наш водослив является неподтопленным. Для этого (см. п. 8.7), сопоставляем заданную глубину нижнего бьефа hB с величиной, равной 0,75 Я. Если оказывается, что К < 0,75Я, (8.67) то водослив неподтоплен; обращаемся к определению ширины водослива Ъ, которую находим по формуле b = Qftvh), (8.68) h = kH0. (8.69) где Здесь коэффициент k определяем, как указано выше, в зависимости от ф и т или em; величину k можно также найти по формуле (8.51). Если неравенство (8.67) оказывается невыполненным, то заключаем, что водослив будет подтоплен. При этом проделанные выше вычисления Я отбрасываем и рассчитываем водослив как подтопленный. Здесь можно придерживаться следующей схемы расчета. 1) Пренебрегая перепадом восстановления ZBB (см. п. 8.7, рис. 8.18) считаем, что глубина воды в пролете мостика h = h'H. (8.70) 2) Имея скорость v, вычисляем ширину пролета мостика: b = Q/{vfb). (8.71) -239 3) Воспользуемся формулой (8.40), записав ее в следующем виде: у= где (ZB) о — полный верховой перепад, учитывающий подхода (см. рис. 8.18). Решая уравнение (8.72) в отношении (Z B ) 0 , получим (Zu)0 = v*/(2g<f). (8.72) скорость (8.73) По этой зависимости, подставив вместо ф величину ф„ (см. п. 8.7, табл. 8.8) и считая (ZB) о » Z B , находим перепад свободной поверхности Z„ (рис. 8.19). 4) Зная Z B , определяем Я: Я = Ан + ZB. (8.74) 5) Найденное по (8.74) значение Я сопоставляем с величиной Янас- Если оказывается, что неравенство (8.64) не выдержано, то приходится уменьшать скорость v в пролете мостика и идти на увеличение ширины водосливного отверстия. При этом будем получать снижение перепада ZB, а следовательно уменьшение напора Я. В гидрометрических целях часто приходится использовать уже построенные водопропускные сооружения для решения обратной задачи, т. е. определения расхода воды Q по известным гидравлическим характеристикам водопропускного сооружения. Ограничимся рассмотрением небольшого мостового отверстия прямоугольного сечения, устроенного в водотоке, уклон дна которого в районе сооружения можно принять равным нулю. Такое отверствие (см. рис. 8.19) можно рассматривать как водослив без порога (С в = 0) и воспользоваться с некоторым приближением для определения Q способами, которые были изложены выше для водослива с широким порогом, когда Св > 0. Если скорость потока vo неизвестна, а известными являются глубина (напор) воды в верхнем бьефе (hB = H), ширина отверстия b и ширина водотока Вв, в первом приближении расход воды Q определяется по формуле (8.56) в предположении Яо = = Я, в которой коэффициент гт принимается _ по справочнику в зависимости от относительной ширины водосливного отверстия в верхнем бьефе рв = Ь/Вв и от формы вертикальных ребер устоев в плаце. Д л я прямоугольного очертания входных ребер величину s т можно взять из табл. 8.6. По полученному расходу воды Q и известной площади сечения потока в верхнем бьефе й в определяется скорость vo и окончательно расход воды вычисляется по (8.56) с учетом скорости подхода. Следуя описанному выше методу, в некоторых случаях можно рассчитывать (с известным приближением) стеснение рек, вызванное постройкой перемычек, сооружаемых при возведении -240 плотин. Под защитой таких временных перемычек и осуществляется возведение основных сооружений, входящих в гидротехнический узел, создаваемый на реке. Перемычки стесняют естественное (бытовое) русло реки и вызывают деформацию потока, распространяющуюся на участок реки значительной протяженности. В случае спокойного движения воды в русле на участке деформации потока Ьо можно выделить следующие участки (рис. 8.20): участок подпора Li, участок ежак Hi Рис. 8.20. Стеснение русла перемычкой. тия L2, участок растекания L ? и участок перехода к естественному состоянию потока L 4 . По длине участка подпора происходит увеличение глубин потока, сопровождающееся уменьшением скоростей, а следовательно, и уменьшением потерь напора. В результате получаем накопление потенциальной энергии, необходимой потоку для преодоления сопротивлений, обусловленных перемычкой- П. Превышение подпорного уровня воды в сечейии Ъ — b над естественным уровнем обозначаем через Z' и называем максимальным подпором. Участок сжатия, ограниченный сечением Ъ — b и сечением н — н, намеченным в месте выхода потока из отверстия, образованного перемычкой, характеризуется интенсивным преобразованием потенциальной энергии в кинетическую. Потери напора на этом участке сравнительно малы. Как видно из рис. 8.20, на данном участке возникает максимальный перепад Z", обусловленный в основном переходом потенциальной энергии в кинетическую. Участок растекания, ограниченный сечением н — н и сечением к — к, намеченным в месте, где заканчивается водоворотная область, характеризуется переходом кинетической энергии в потенциальную; здесь имеют место значительные потери напора. 15 Заказ № 33 241 На участке перехода, ограниченном сечением к — к и сечением б — б, намеченным в месте, где эпюра скоростей приобретает нормальный вид, повышенные пульсации скоростей и давлений снижаются до величин, свойственных естественному потоку. Рассматривая стесненное русло как подтопленный водослив с широким порогом, под геометрическим перепадом Z на водосливе принято понимать превышение подпорного уровня в сечении b — b над уровнем воды в сечении к — к, который мало отличается от уровня воды в сечении б — б. Если пренебречь малой разницей в кинетических энергиях, подсчитанных для сечений в — в и б — б, то можно сказать, что Z (перепад) представляет собой потерю напора в пределах участков сильной'деформации потока (сжатия и растекания), a Z' (подпор) —разность потерь напора на этих же участках потока в стесненном и естественном руслах. Гидравлический расчет естественного русла выполняется, в предположении, что оно неразмываемое и заданными являются: а) само неразмываемое русло; б) расчетный расход; в) размеры и очертание перемычки в плане; т ) кривая связи бытовых (естественных) глубин и расходов реки. В результате гидравлического расчета необходимо найти перепад Z и подпор Z' (см. рис. 8.20) с тем, чтобы, зная эти величины, установить отметку гребня перемычки. Такую задачу для русла прямоугольного поперечного сеченйя приближенно можно решить, пользуясь следующими расчетными формулами [42]: Z = (if - /б) (LBX + + (in - 1в) Ln + e V / ( 2 g ) ; 2 =lf (LBX + LB) + i„L„^+ QVc/(2g). (8.75) (8.76) Здесь © — степень стеснения русла: © = ЬП/ВР, где Bp —ширина естественного русла; b n — длина заданная для расчета (см. рис. 8.20); г'б — уклон трения для естественного русла: ie = перемычки, vl/iClRe),' где V6, С б и R& подсчитываются для сечения б — б; in — уклон трения для «протоки»: in = v'c/(CcRc), причем здесь vc, С с и Rc подсчитываются для сечения н — н, уровень воды в котором принимается (в первом приближении) тот же, что и в сечении б — б; if — средний уклон трения для входного участка (длиной LBX; см. ниже) и участка растекания, равный, например, J if = V n V; -242 Lsx — длина равной ширине Ln —длина LB — длина входного участка. Ее рекомендуется принимать В стесненной части русла («протоки»); <. «водосливного канала» (задана для расчета); водоворотной области, равная L 3 (см. рис. 8.20): LB = bn/tg ф, причем здесь угол -ф (см. рис. 8.20) вычисляется по формуле tg "Ф = aXBpQ/RpAg [1/(1 — ©)], где % — коэффициент гидравлического трения: Я = 8 g/Cl Величины Bv, Rp и С р , входящие в указанные формулы, вычисляются для сечения б — б при уровне воды в нем, совпадающем с естественным уровнем. Коэффициент а, входящий в формулу для t g ф, будет а = 0,01 + 0,0560; Эта. формула справедлива для случая, когда 0,2 < © < 0 , 8 и XBp/Rp > 3 -ь 4. Д л я решения обратной задачи — определения расхода Q по измеренному перепаду Z — можно воспользоваться зависимостью (8.41) для неподтопленного водослива и подтопленного водослива (8.61), записав их в следующем виде: Q = (pBh ^/2gZ; (8.77) Q = <pnBhi <\/2gZ, (8.78) где Z = # 0 — h — верховой перепад. Здесь значения tp и % определяются указанным выше способом (см. п. 8.7); В — ширина «водосливного канала» (см. рис. 8.20) является известной. 8.9. Расчет пропускной способности водослива при частичном открытии затвора, находящегося на гребне водосливной стенки В случае неподтопленного истечения из-под з а т в о р а , н а х о д я щ е г о с я на в о д о с л и в е с широким п о р о г о м (рис. 8.21а), расход воды следует определять по зависимости Q = щ'аЬ л/2ё\Нй — г'а), (8.79) где а — открытие затвора; коэффициент скорости ср следует принимать равным 0,99; е' — коэффициент вертикального сжатия, определяемый по рекомендациям [32] в зависимости от конструкции затвора. 15* 243 В случае неподтопленного истечения из-под затвора, н а х о д я щ е г о с я на г р е б н е водосливной с т е н к и с п р о ф и л е м К Р и г е р а — О ф и д е р о в а (рис. 8.21 б ) , расход воды определяют по зависимости Q = фе'ab<\/2g(H 0 а/2), (8.80) где ф и е определяются так же, как в предыдущем случае. При подтопленном истечении, если уровень нижнего бьефа стоит непосредственно у низовой грани затвора (рис. 8 . 2 1 s ) , расход воды определяется по формуле Q = щ'аЬ У 2 g (Z + ZBC), а/ (8.81) 5) wm и Рис. 8.21. Водосливы при частичном открытии затвора. где Ф принимается равным 0,95; е' определяется т а к же, к а к в предыдущих случаях; перепад восстановления ZBC рассчитывается по формуле ZBC = hn{\ - 0,5Л — Уо,25Л 2 — AH0/hn + l). (8.82) Входящая в формулу (8.82) величина А вычисляется по, зависимости А = 4ф 2 (1 — hcjhn) (hc/hn), (8.83) где глубина в сжатом сечении hc = аг'. Если с перепадом восстановления не считаться, т а к как он сравнительно мал, то расчет расхода воды можно выполнять по формуле Q = ц© V2^Z0, (8.84) где (л — коэффициент расхода отверстия, равный произведению фе'; площадь отверстия © == ab\ Z 0 — разность уровней воды в верхнем и нижнем бьефах, подсчитанная с учетом скорости подхода. Во многих случаях скоростью подхода и о можно пренебречь и считать, что Z 0 л ; Z. -244 8.10. Особые случаи водосливов В заключение отметим некоторые особые случаи расчёта пропускной способности неподтопленных водосливов. При эксплуатации ирригационных каналов часто встречаются: случаи, когда требуется определить расход воды Q, поступающий в распределительный канал через водослив, расположенный под. углом © к оси магистрального канала (рис. 8.22 а ) . Такой водослив называется косым. 1-1 А. ъ- Wm WWWWWXj . J- I-— •Ъi^WWWS, firgg \\ЧЧ\\ЧЧЧ\\Ч\ЧЧЧЧЧЧЧ\Ч\Ч\ЧЧ\\\\\\\ Рис. 8.22. Косой (а) и полигональный (б) водосливы в плане. Рис. 8.23. Боковой водослив. При свободном и с т е ч е н и и через к о с о й прямоугольн ы й в о д о с л и в е т о н к о й с т е н к о й расход рассчитывают по формуле Q = oKm0nb^/2gHv\ (8.85) здесь все величины, кроме а к , извесны (см. п. 8.3); размер Ъ показан на рисунке. Величина 0 К (поправка на косину водослива) назначается по справочнику [33, 35, 36] в зависимости от величины HjB и угла ©, указанного на рис. 8.22 а. В с л у ч а е в о д о с л и в а со с т е н к о й К р и г е р а — Офиц е р о в а в формулу (8.85) вместо коэффициента т о н следует подставлять коэффициент т и вместо геометрического напора Н — полный напор Но. Величина а к назначается по справочнику. Отметим, что при косом подходе потока к водосливному сооружению пропускная способность сооружения уменьшается. Д л я снижения высоты переливающегося слоя воды (напора) проектировщики обычно стремятся увеличить длину водосливноп> фронта, переходя на непрямолинейные плановые формы гребня водослива. -245 В частности, для расчета п о л и г о н а л ь н ы х (ломаных) в п л а н е в о д о с л и в о в (рис. 8.22 6) пользуются приближенной ; формулой Q = m(E&II + a K S & K ) V ^ , (8.86) где 2 Ьп — сумма длин всех «прямых» участков гребня водослива; 2 Ьк — сумма длин всех «косых» участков гребня водослива; а к — то же, что и в формуле (8.85). Если в магистральном канале устроен б о к о в ой в о д о с л и в (рис. 8.23), то расход Q по длине канала от сечения AAI до сечения ВВi быть переменным. Поэтому и глубина воды в канале на этом его участке также должна быть переменной. Отсюда следует, что истечение через порог водослива АВ в данном случае будет происходить на разных участках гребня водосливной стенки при различных напорах. Чтобы решить задачу об истечении воды через рассматриваемый водослив, необходимо знать закон изменения напоров Я вдоль гребня водослива. Существует несколько попыток решить этот вопрос. Некоторые из них излагаются в гл. 11, посвященной движению потока с переменным расходом. Д л я приближенной оценки полного расхода воды Q, переливающейся через н е п о д т о п л е н н ы й б о к о в о й водослив, можно рекомендовать следующую формулу: Q6 = 0,4b V ^ t f c ' p , где Я с р — средний напор на водосливе. (8.87) Глава девятая . ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЫЖОК И СОПРЯЖЕНИЕ БЬЕФОВ 9.1. Понятие о гидравлическом прыжке При описании возможных форм свободной поверхности потока при плавно изменяющемся движении жидкости (см. п. 6.6) Рис. 9.1. Схема гидравлического прыжка и его энергетическая интерпретация. мы отмечали несколько случаев появления особой формы неравномерного движения — резкого изменения глубины потока от некоторой глубины h', меньшей hK, к некоторой глубине h", большей критической. Этот переход происходит на сравнительно небольшой длине потока при помощи гидравлического прыжка. Так как при бурном состоянии глубина потока h < /гк, а при спокойном состоянии h > hK, где hK — критическая глубина, то гидравлический прыжок есть форма перехода от бурного к спокойному состоянию потока (рис. 9.1). Таким образом, гидравлическим прыжком называется форма резко изменяющегося неравномерного движения жидкости, соответствующая переходу потока от бурного состояния к спокойному или от глубины меньше критической, через критическую глубину, к глубине больше критической. При помощи прыжка сопрягаются две глубины потока, из которых одна глубина — меньшая — отвечает нижней ветви кривой удельной энергии сечения (см. рис. 9.1), а другая глубина — большая — верхней ветви этой кривой. Так как гидравлический прыжок вызывает весьма резкие изменения в скоростном режиме потока, то он сопровождается потерей энергии. Поэтому удельная энергия сечения потока до прыжка Э', как это показано на рис. 9.1, всегда больше удельной энергии Э" после прыжка. Из рассмотренных ранее форм кривых свободной > поверхности (см. табл. 6.1) видно, что все кривые свободной поверх-247 згости, расположенные ниже линии критической глубины (бурное -состояние), могут закончиться прыжком и, следовательно, кажд а я из этих кривых может перейти с помощью прыжка в другую жривую, расположенную выше линии критической глубины (спожойное состояние), а сама функция h = f(s) претерпевает у линии критических глубин разрыв непрерывности. Будем иметь в виду, как и в предыдущей главе, что движение зодьг установившееся, безнапорное, турбулентное (отвечающее квадратичной области сопротивления). с к d X Рис. 9.2. Примеры гидравлических прыжков. а — при истечении из-под щита; б— в нижнем бьефе преграды; в — на горной реке. В целях пояснения вопроса о возникновении гидравлического прыжка рассмотрим несколько наиболее характерных примеров. Прыжок может сформироваться при истечении из-под щита в канал, дно которого является горизонтальным (рис. 9.2 v .a). При вытекании воды из-под щита струя претерпевает сжатие, в силу чего на некотором расстоянии от щита, в сечении С — С, в канале установится наименьшая глубина потока h c , которая, как правило, меньше глубины hK. Следовательно, после сжатого сечения поток будет находиться в бурном состоянии, а так как канал горизонтальный, то кривая свободной поверхности ab является Кривой подпора типа Со, при которой наибольшей возможной глубиной является В случае достаточно большой длины канала, при бытовой глубине Hq = h" больше критической, кривая подпора ab заканчивается в сечении К — К• Так как при критической глубине поток характеризуется минимальным значением удельной энергии, то бурное состояние, при отсутствии добавочной энергии извне, не может поддерживаться потоком в пределах всей длины канала, в силу чего состояние потока должно качественно измениться, т. е. возникновение прыжка в рассматриваемом случае является неизбежным. Правее сечения К — К кривая свободной поверхности bd является кривой подпора типа bo. Кривые ab и bd, одна из которых отвечает бурному движению, а другая — спокойному, сопрягаются гидравлическим прыжком (см. рис. 9.2 а ) . -248 Гидравлический прыжок может наблюдаться в нижнем бьефепотока, переливающегося через какую-либо преграду (плотину, водослив и т. п.). Там, где струя касается дна отводящего русла, возникает сжатое сечение с глубиной hc < hK, т. е. поток находится в бурном состоянии. Если естественные условия движения потока воды в нижнем бьефе отвечают условиям спокойного состояния, то струя, ниспадающая с водослива, сопрягается с нижним бьефом при помощи гидравлического прыжка (рис. 9.2 б). К рассмотренным выше схемам образования гидравлического* прыжка можно отнести и такой случай, когда в водотоке наблюдается резкое изменение уклона дна (рис. 9.2 в). При этом; должны быть выполнены условия: i\i,> гк, соответственно h\ < /гк, a г2 < г'к, соответственно /г2 > /гк; -т. е. до сечения А — А поток должен находиться в бурном состоянии, а после сечения А — А — в спокойном состоянии. Такой тип потоков характерен для горных условий. Поясним характер движения воды в пределах гидравлического прыжка и назовем элементы прыжка. В потоке, характеризующемся сравнительно гладкой свободной поверхностью, появляется резкий скачок поверхности воды вверх, напоминающий своим видом остановившуюся волну (рис. 9.3). Живые сечения потока 1—1 и 2—2, взятые до и после прыжка, ограничивают область прыжка, где и происходит изменение гидравлических характеристик потока — увеличение глубины- и соответственно уменьшение средней скорости течения. Глубины h' и h", измеряемые в сечениях 1—1 и 2—2, называются сопряженными. Величина аП, показанная на рис. 9.3, называется высотой прыжка; /п — длиной прыжка. В пределах области прыжка на свободной поверхности потока образуется водоворотная область (поверхностный валец), который прикрывает собой т р а н з и т н ы й (основной поток), причем последний оказывается прижатым к дну водотока. 249" Между поверхностным вальцом и транзитным потоком (см. рис. 9.3) можно заметить поверхность раздела ABC: валец насыщен пузырьками воздуха и потому малопрозрачен, тогда как транзитный поток почти не содержит пузырьков воздуха. Движение воды, заполняющей водоворотную область, являясь беспорядочным, все же носит характер вращательного движения. В нижней зоне водоворота, соприкасающейся с транзитным потоком, •осредненные скорости течения направлены в сторону движения •основного потока, а в верхней зоне — в сторону, обратную этому движению. При этом между транзитным потоком и водоворотом наблюдается непрерывный обмен частицами воды. Все явление прыжка носит бурный характер, причем прыжок не находится на одном месте, а совершает небольшие поступательные перемещения то по течению, то против него. Непосредственно за прыжком (см. рис. 9.3) располагается т а к называемый послепрыжковый участок потока длиной /пл. В сечении 2—2 за прыжком эпюра осредненных местных скоростей характеризуется следующим: скорости у поверхности невелики, вместе с тем придонные скорости в сечении 2—2 являются довольно большими. Прыжок способствует резкому повышению п у л ь с а ц и й с к о р о с т е й и д а в л е н и й ; в связи с этим за прыжком получаем поток, который характеризуется и н т е н сивным перемешиванием. На длине / пп послепрыжкового участка, в пределах между сечениями 2—2 и 3—3, происходит затухание пульсаций и выравнивание эпюры осредненных скоростей до той формы, которая •отвечает равномерному движению. Послепрыжковый участок представляет особый интерес в связи с проектированием устройств нижнего бьефа гидротехнических и гидрометрических сооружений. В заключение отметим, что вопрос о гидравлическом прыжке •впервые был исследован (в прошлом столетии) Беланже и Бус•синеском, которые, использовав теорему о количестве движения, нашли уравнение, связывающее сопряженные глубины h' и h". Это уравнение получило название о с н о в н о г о уравнения л р ы ж к а. 9.2. Основное уравнение гидравлического прыжка Рассмотрим схему продольного разреза гидравлического п р ы ж к а в призматическом русле (рис. 9.4), причем ось s наметим, как указано на рисунке. Так как прыжок имеет малую длину, то падением дна русла -на этой длине пренебрегаем и считаем, что в пределах прыжка оно горизонтально, т. е. i = 0. Наметим_два сечения 1—1 и 2—2 с сопряженными глубинами •h' и h". Применим к выделенному объему жидкости ABCD закон изменения количества движения: изменение количества движения за некоторый промежуток времени dt равно сумме проекций им-250 пульсов всех действующих сил на направление движения за тот же промежуток времени. . Изменение количества движения на участке от сечения 1—1 (до п р ы ж к а ) до сечения 2—2 (после прыжка) при расходе воды Q выразится так: m (v2 — vt) = a 0 pQ dt (v2 — vt), ' (9.1) где Vi и V2 — средние скорости в живых сечениях АВ и CD; ao — корректив количества движения потока, учитывающий влияние неравномерности распределения скоростей по живому сечению на количество движения ( к о э ф ф и ц и е н т Буссинеска). I к . Рис. 9.4. К выводу уравнения гидравлического прыжка. р,— 777777 I 1 2 I /////// Так к а к И, = Q/(O, и v2 = Q/CO2, перепишем выражение (9.1) в виде m (р2 — v,) = a 0 pQ 2 (1/о>2 — dt. (9.2) Подсчитаем теперь сумму проекций на ту ж е ось импульсов сил, действующих на объем жидкости ABCD в течение времени dt. Д л я этого примем следующие допущения (дополнительно к отмеченному выше, согласно которому полагаем i — 0): 1) будем считать, что в сечении 2—2 движение плавно изменяющееся (так же, как и в сечении 1—1) ; при этом можно будет полагать, что в сечениях 2—2 и 1—1 давление распределяется по гидростатическому закону; 2) ввиду малой длины прыжка пренебрегаем силами внешнего трения, приложенными к отсеку А В CD со стороны стенок русла. В связи с принятыми допущениями при подсчете импульсов сил нам придется учесть только силы давления жидкости P i и указанные на рис. 9.4, т а к как проекция веса жидкости, заключенного в объеме между сечениями 1—1 и 2—2, на направление движения обращается в нуль (G s = 0) . С учетом первого допущения, предусматривающего распределение давления в сечениях 1—1 и 2—2 по гидростатическому закону, запишем сумму проекций импульсов сил давления за время dt в виде (-Pi — Р») dt = pg (г/,®, — г/2ю2) dt, (9.3) -251 где Pi и Рг — силы, приложенные в центре давления (ЦД) сечений; г/i и г/г —• заглубления под уровнем жидкости центров тяжести (ЦТ) живых сечений АВ и CD; coi и со2 — площади живых сечений АВ и CD. Приравнивая, согласно закону приращения количества движения, выражения (9.2) и (9.3), получаем a0pQ2 (}/о)2 — l/ajdt = pg (ууср} — у2ср2) dt. (9.4) Сократим это выражение на величину pdt и перегруппируем •слагаемые aoQ2/(g">2) + у2(о2 = a0Q2/(gco,) + г/!®,. (9.5) Уравнение (9.5) называется основным уравнением гидравлического п р ы ж к а . При выводе этого уравнения корректив количества движения «о для сечений АВ и Ср был принят одинаковым (четвертое допущение). Заметим, что в практике расчетов ао часто принимают равным единице, хотя в сечении CD в связи со значительной неравномерностью распределения осредненных скоростей (см', рис. 9.3) коэффициент а 0 может значительно отличаться от единицы. Рассматривая уравнение прыжка, видим, что левая часть его представляет собой некоторую функцию от глубины h', правая часть является точно такой же функцией от глубины h". Введем обозначение: a0Q2/(gv) + y® = n(h), (9.6) где h — глубина в данной сечении; у и со — соответствующие величины, отвечающие этой глубине. Функция П ( к ) называется прыжковой функцией. Единица измерения ее —длина в кубе (например, м 3 ). Пользуясь обозначением (9.6), основное уравнение прыжка можно записать в виде 77 (h') = 17 (h"), (9.7) где 17 (hr)—значение прыжковой функции, отвечающее глубине h'; П (h")—значение прыжковой функции, отвечающее глубине h". Из (9.7) видно, что сопряженные глубины обладают следующим свойством: для сопряженных глубин прыжковая функция имеет одну и ту же величину. Этим свойством и пользуются при •отыскании одной сопряженной глубины, когда другая задана. В литературе приводится подробное исследование функции 17(h). Д л я любого сечения потока при заданном расходе можно построить кривую 77(h), показанную на рис. 9-5. Эта кривая называется графиком, прыжковой функции. На рисунке нанесена т а к ж е уже знакомая нам кривая удельной энергии сечения 9(h), рассчитанная по зависимости (6.5). Очевидно, нижняя ветвь кривой, для которой d77/dh < 0, соответствует бурному состоянию потока, а верхняя ветвь кривой, -252 для которой dn/dh >• О, отвечает спокойному состоянию потока. Пользуясь этой кривой, можно по заданной глубине h' найти глубину h" и, наоборот, зная h" — найти глубину h'. Из рис. 9.5 видно, что если глубина hr уменьшается, то сопряженная с ней глубина h" увеличивается (и наоборот). Если сопряженные глубины известны, то нетрудно найти высоту прыжка, представляющую собой разность этих глубин а п = h" — h'. " (9.8) Располагая совмещенным графиком кривых 11(h) и 9(h), можно проследить, как изменяется при переходе через гидравли- ческий прыжок соотношение между кинетической и потенциальной энергией сечения и определить потери энергии в прыжке ДЭ графическим путем (см. рис. 9.5). Отметим, что величина потерь энергии в прыжке относительно начальной энергии в сечении перед прыжком может достигать 50—60 % и д а ж е более. Относительно большие потери энергии в зоне прыжка обусловлены тем, что через поверхность раздела ABC (см. рис. 9.3) происходит непрерывный обмен массами и количеством движения между транзитным потоком и поверхностным вальцом. При этом энергия транзитного потока расходуется на интенсивное движение в водоворотной области прыжка, валец гидравлического прыжка цасыщается пузырьками воздуха; часть кинетической энергии потока переходит в тепло и рассеивается. Определение одной из сопряженных глубин прыжка по заданной другой его глубине можно произвести и непосредственно по уравнению (9.5), решая его подбором, без построения графика прыжковой функции 11(h). В случае. прямоугольного призматического русла основное уравнение прыжка (9.5) значительно упрощается и позволяет непосредственно, без подбора, вычислить одну из сопряженных глубин по заданной другой глубине. Д л я прямоугольного русла имеем о = y=h/2; где q — единичный расход ницу ширины русла). воды q = Q/b; Q = qb, (9.9) (расход, приходящийся на еди-253 Вводя (9.9) в (9.5), уравнение прыжка для русла запишется в виде gbh' п 2 прямоугольного gbh" или . aoq2/(gh ) + ti'l2 = a0q2/(gti) + Cj2. (9.10) Преобразуя это равенство, получаем квадратное уравнение, симметричное относительно обеих сопряженных глубин А' и А": 2a0q2/g = h'2h+h."2h. (9.11) Имея в виду, что для прямоугольного русла, согласно (6.20), hl = aq2/g, уравнение (9.11) при а (9.12) а 0 представим в виде h'h(h+h') = 2hl. (9.13) Решая это уравнение относительно А' и А", получаем h' = ^-Wl+8(hKlh"f-l]-, ti = tij2 [ V 1 + 8 ihjh'f (9.14) — 1 ]. (9.15) Пользуясь формулами' (9.14) и (9.15), можно определить в случае прямоугольного русла одну сопряженную глубину (h' или h"), если другая сопряженная глубина нам известна. 9.3. Особые виды гидравлического прыжка Можно сказать,, что выше мы ограничивались рассмотрением только с в о б о д н о г о незатопленного прыжка в правильном призматическом русле достаточно большой длины. Найденное выше основное уравнение прыжка (9.5) может оказаться недостаточно точным при малой разности глубин к' и h", т. е. в случае, когда эти глубины близки к критической глубине. При этих условиях внешний вид свободного прыжка качественно изменяется. Следует считать, что описанный ранее свободный прыжок, который может быть назван здесь совершенным,. получается только в случае, когда А'<0,60/гк. При больших значениях h', а именно: а) в случае 0,60Ак < А ' < 0,70Ак. j имеем так называемый несовершенный прыжок; здесь на поверхности прыжка получаем относительно небольшой валец, в связи 254 " Х с чем интенсивность турбулентности потока непосредственно за прыжком повышается не сильно; б) в случае 0,7бйк < h' < 0,85hK имеем волнистый прыжок в виде затухающих волн (рис. 9.6); здесь валец вовсе отсутствует; за первой волной следуют небольшие волны, затухающие на короткой длине, причем в конце этого ряда волн получаем глубину, близкую к глубине h", вычисленной по формуле (9.15). Рис. 9.6. Свободный гидравлический прыжок В виде затухающих волн. л^Г ПТТТГГГТТ7ТТГ7777Т77Г/7^777777777ТГГГН77Т В практике приходится сталкиваться с явлением так называемого несвободного прыжка, который получается в недостаточно длинном русле, например, в особом колодце, устраиваемом за плотиной (этот колодец стесняет развитие горизонтальных размеров прыжка, причем длина его получается относительно небольшой). Встречаются случаи косых прыжков, т. е. прыжков, фронт которых в плане не ортогонален к оси струи. В отличие от косых прыжков, описанные выше прыжки могут быть названы прямыми. Изучая гидравлические прыжки, интересуются не только длиной прыжков и сопряженными глубинами, но также вопросами о распределении скоростей в районе прыжка, пульсации скоростей и давлений, размывающей способностью потока в пределах прыжка, аэрацией потока. 9.4. Основные типы сопряжения бьефов Знание теории гидравлического прыжка позволяет решать весьма важные в практическом отношении задачи по определению формы сопряжения потока, пришедшего с большим запасом кинетической энергии из верхнего бьефа гидротехнических или гидрометрических сооружений в нижний бьеф, в котором имеет место естественный (бытовой) режим движения потока. Естественный режим потока в отводящем русле может быть как равномерный, так и неравномерный. В дальнейшем для простоты будем предполагать, что поток в нижнем бьефе движется равномерно, так что бытовая глубина hб является нормальной глубиной. При проектировании нижнего бьефа разного рода водосбросных сооружений необходимо прежде всего установить: будет ли, в каясдом данном случае, иметь место гидравлический прыжок, какую форму он может принять, в каком месте нижнего бьефа (по отношению к сооружению)'он будет развиваться. Далее, необходимо предложить и обосновать гидравлическим расчетом -255 способы уничтожения (или, хотя бы, смягчения) опасных для сооружения форм прыжка. Если по каким-либо причинам погасить избыточную энергию гидравлического прыжка окажется невозможным и проектирующий придет к решению о необходимости допустить существование прыжка, следует определить размеры и типы крепления русла в нижнем бьефе сооружения, способные сопротивляться разрушительному воздействию прыжка в зоне сопряжения бьефов. Этот очень важный в практическом отношении Крибая поВпора С, 7777777 Рис. 9.7. Донный (а) и поверхностный режимы сопряжения бьефов. Рис. 9.8. Типы сопряжения струи при спокойном состоянии потока в отводящем русле. раздел гидравлики получил сокращенное название —- с о п р я ж ение бьефов. Рассмотрим ниже основные типы сопряжения бьефов. При этом будем иметь в виду только Случай, когда ширина потока в нижнем бьефе равна ширине фронта струи, переливающейся через преграду (см. рис. 9.2 б) или вытекающей из-под щита или затвора (см. рис. 9.2 а). Типы сопряжения бьефов зависят от многих факторов. В зависимости от устройства водосбросных сооружений и гидравлических характеристик потока в отводящем русле различают три режима сопряжения: 1) сопряжения, при которых в нижнем бьефе сооружения наблюдается донный режим; 2) сопряжения, при которых в нижнем бьефе сооружения наблюдается поверхностный режим; 3) сопряжения смешанного типа, при которых в нижнем бьефе наблюдается поверхностно-донный режим. Д о н н ы й р е ж и м возникает в отводящем русле в тех случаях, когда поток, прошедший через сооружение, достигает дна отводящего русла в непосредственной близости от сооружения (рис. 9.7 а ) . Струя в сжатом сечении С—С «прижата» к дну, что обусловливает донный режим, при котором наибольшие скорости на вертикали наблюдаются вблизи дна отводящего русла. -256 П о в е р х н о с т н ы й ' р е ж и м в потоке мы можем наблюдать, например, при наличии вертикального уступа в нижнем бьефе сооружения (рис. 9.7 б). Этот режим характеризуется наибольшими скоростями на вертикали вблизи свободной поверхности потока в нижнем бьефе. При донном режиме непосредственно за сжатым сечением скорости течения очень велики и поток оказывает значительное гидродинамическое воздействие на крепление нижнего бьефа, а само речное русло подвергается интенсивному размыву. Именно поэтому первый режим сопряжения является наиболее неблагоприятным с гидротехнической точки зрения и требует более прочного крепления русла. Д л я сопряжения, характеризующегося д о н н ы м режим о м , могут представиться два случая: а) естественные условия потока в отводящем русле отвечают спокойному с о с т о я н и ю , т. е. Аб > Ак, где Ак — критическая глубина; при ртом уклон дна нижнего бьефа i <С iK, где iK — критический уклон; — б) естественные условия потока в отводящем русле отвечают бурному с о с т о я н и ю , т. е. Аб < Ай; при этом уклон дна нижнего бьефа i > iK. Рассмотрим с л у ч а й «а». Струя, перетекая через водослив и достигая дна -русла, образует на некотором расстоянии от водослива сжатое сечение С—С, где поток имеет наименьшую глубину Ас (рис; 9 . 8 j } ) . Примем, что уклон дна потока i > 0, но достаточно мал и поэтому линию дна на рисунке можно показать в виде горизонтальной прямой. Так как в сжатом сечении поток всегда находится в бурном состоянии (Ас С А к ), а естественные . условия движения потока в нижнем бьефе отвечают спокойному состоянию, и так как переход из бурного состояния в спокойное возможен только при помощи прыжка, то в рассматриваемом случае струя, ниспадающая с водослива, должна сопрягаться с потоком нижнего бьефа при помощи прыжка. Примем, что известная нам бытовая глубина Лб есть одна из сопряженных глубин в прыжке (большая), т. е. А б = А " , и определим, пользуясь известными приемами, например по графику прыжковой функции (см. рис. 9.5), другую сопряженную глубину А' (меньшую). Сопоставляя эту глубину с глубиной в сжатом сечении, получим, очевидно, три возможных случая: 1) А' >А С ; 2) А' = АС; 3) А ' < Ас. В первом случае А' > Ас, следовательно, начиная от сжатого сечения, глубина потока должна увеличиваться и перед прыжком должна достигнуть значения А'. Обратившись к анализу форм кривых свободной поверхности, известному из п. 6.6, заметим, что при наших условиях (Ас < Ак < Аб) на участке между сжатым сечением и прыжком установится кривая подпора типа ci (см. рис. 9.8 а). Таким образом, кривая подпора заканчивается прыж15 Заказ № 33 257 ком, сопрягающим две взаимные, глубины к ' и /т. Полученную здесь форму сопряжения называют сопряжением по типу отогнанного прыжка. I, Во втором случае A' — hc, значит прыжок начинается непосредственно в сжатом сечении (рис. 9.86); он надвинут на сжатое сечение, а поэтому такую форму сопряжения называют сопряжением по типу надвинутого прыжка. Заметим, что эта форма ; сопряжения—промежуточная— Кривая подпора с как бы служит границей между первой и третьей; на этом основании ее называют еще критической. : В третьем случае на участке потока между сжатым сечением с глубиной Ас и сечением с бытовой глубиной Аб должно быть сечение с глубиной h' •< hc- Но так как глубина hc есть наименьшая возможная глубина, то, следовательно, прыжок придвинется к самой водосливной стенке и за\ топит, ниспадающую струю тс h c -'!i S i-i* (рис. 9.8 в). Полученную здесь форму, сопряжения называРис. 9.9; Типы сопряжения струи при бурном, состоянии потока в отводяют сопряжением по типу пощем русле. крытой струи или по типу затопленного прыжка. Выше мы предположили, что отводящее русло имеет прямой уклон дна (г > 0). Однако все рассуждения останутся справедливыми также и в тех случаях, когда отводящее русло будет иметь горизонтальное дно (i = 0) или дно с обратным уклоном ( t < 0 ) . Различие будет лишь в том, что в последних случаях вместо кривой- подпора с\ возникнут соответственно кривые подпора с0 и б'] (см. табл. 6.1). Наиболее неблагоприятным с гидротехнической точки зрения является первый тип сопряжения. Действительно,. в пределах кривой подпора сi поток, находясь в-бурном состоянии, обладает большими скоростями, и, следовательно, на этом участке,- длина которого иногда может быть весьма значительной, требуется прочное крепление русла. Исходя из этих соображений, при проектировании сооружений стараются достигнуть сопряжения по третьему типу, т. е. по типу покрытой струи, сделав гидравлический прыжок затопленным. Рассмотрим с л у ч а й «б». Естественные условия потока в отводящем русле отвечают бурному состоянию (Аб < Ак, По аналогии с предыдущим, будем рассматривать перетекание потока через преграду (тонкостенный водослив) в правильном призматическом русле (рис. 9.9). 2 -258 Так как - естественные условия движения потока в - отводящем русле отвечают бурному состоянию, и в сжатом сечении поток также находится в бурном состоянии, то сопряжение бьефов будет происходить без прыжка. В зависимости от глубины в сжатом сечении, здесь можно отметить следующие случаи: 1) hc<k6; 2) hc = h6; 3) hc>h6. В первом случае hc < Лб, следовательно, начиная от сжатого сечения, глубина потока должна увеличиваться. Обратившись к анализу форм кривых свободной поверхности, известному из п. 6.6, видим, что при наших условиях (hc < Лб < hK) на участке между глубинами hc и he должна установиться кривая подпора типа с2, т. е. начиная с глубины hc, глубина потока увелич и в а е т с я ^ асимптотически приближается к бытовой глубине йб (рис. 9.9 а). Во втором случае (рис. 9.9 б) /гс = / г б , значит в отводящем русле непосредственно после сжатого сечения устанавливается равномерное движение (при нашем предположении, что бытовой режим является равномерным), т. е. бытовой режим в отводящем русле не нарушается. • В третьем случае при наших условиях (he < hc < hK) между глубинами hc и ha должна установиться кривая спада типа &2, характеризующаяся, как известно, уменьшением глубины вниз по течению (рис. 9.9 в). Начиная с глубины hc, глубина потока асимптотически приближается к бытовой глубине Лб. Из этих трех форм сопряжения наиболее неблагоприятной с гидротехнической точки зрения является первая форма сопряжения, так как в пределах кривой подпора с% в потоке могут наблюдаться • скорости, значительно превышающие бытовую. По этой причине на протяжении длины кривой подпора с 2 русло должно иметь прочное крепление. Рассмотренные типы сопряжения бьефов можно наблюдать при устройстве различных гидротехнических и гидрометрических сооружений (плотин, водосливов, лотков, водосбросных устройств и т. п.). 9.5. Расчет сопряжения струи в нижнем бьефе в условиях донного режима Рассмотрим случай сопряжения бьефов по типу отогнанного прыжка (рис. 9.10). Водопропускное сооружение выполнено по схеме водослива с тонкой стенкой. Полагаем, что уклон дна i > 0, но невелик (г < г к ), поэтому проведем на рисунке линию дна в виде гориз.онтальной прямой. Считаем, что отводящее русло имеет правильную призматическую форму. В условиях донного режима особое значение приобретает глубина в сжатом сечении hc. Поэтому прежде всего установим зависимость, с помощью которой можно было бы определить эту глубину. 15* 259 Напишем уравнение Бернулли для сечения 1—1, расположенного до сооружения (верхний бьеф) и сечения 2—2, совмещенного со сжатым сечением (см. рис. 9.10). Движение воды в сечениях 1—1: тп 2—2 плавно изменяющееся. Намечаем плоскость сравнения ОО на уровне, дна потока. Будем иметь: 2 2 ОФп СГУ,. = + откуда ^ (9Л6) 2 T 0 ^ h c + - 2 ~ J r hf, (9.17) где Т0 — глубина в верхнем бьефе, исправленная на скорость подхода; vc — средняя скорость в сжатом сечении; hf — потери напора от сечения 1—1 до сечения 2—2. Полагая, что потери напора обусловлены в основном потерями в ниспадающей струе, относим их к скорости vt и выражаем известной формулой hf = lvtl{2g), где £ — соответствующий коэффициент сопротивления. Подставляя (9.18) в (9.17) и вводя обозначение 1/Ф2 = <Х-К, где ф — коэффициент скорости, получим (9.18) (9.19) Го = Ас + 0С7(2£Ф2). (9-20) В практике расчетов часто бывает известен расход воды Q, тогда скорость в сжатом сечении можно найти по формуле d c = Q/Oc, (9.21) где сос — площадь сжатого сечения. -260 Подставляя (9.21) в (9.20), окончательно получаем То — К + Q2/(2g^t). ' (9.22) Уравнение (9.22) является о д н и м и з о с н о в н ы х уравн е н и й в т е о р и и с о п р я ж е н и я б ь е ф о в . Оно позволяет определить глубину в сжатом сечении. Значение коэффициента ф, входящего в уравнение (9.22), назначается по рекомендациям Н. Н. Павловского в зависимости от вида водопропускного сооружения, приводимым в гидравлических справочниках [35, 36]. З н а я глубину в сжатом сечении hc и используя уравнение гидравлического прыжка (9.5), приемами, описанными в п. 9.4, устанавливается форма сопряжения бьефов. Как мы условились выше, будем рассматривать сопряжение по типу отогнанного прыжка (см. рис. 9.10). Рассчитаем длину участка нижнего бьефа, которую необходимо защитить от воздействия потока (полную длину крепления русла I): t = h + h + tn + ln п, (9.23) где li — расстояние от напорной грани водослива до сжатого сечения; 12 — расстояние от сжатого сечения до прыжка (длина отгона прыжка).; / п — длина прыжка; 1тт — длина послепрыжкового участка. ' Выражение (9.23) можно переписать так: / = / в + 'ш„ 4 (9.24) где длина водобоя 4 = А+ 4 +4, (9.25) а длина послепрыжкового участка приближенно принята за длину рисбермы (/р ~ Iш). Рассмотрим определение каждой из величин, входящих в зависимость (9.23). Подчеркнем, что местоположение сжатого сечения С—С целиком определяется конструкцией водопропускного соружения. Если допустить, что сжатое сечение находится там, где струя, переливающаяся через водослив, достигает дна отводящего русла, то длину 1\, как видно из рис. 9.10, можно определить следующим образом: / , = * 0 + *i, (9.26) где Хо — расстояние от напорной грани водослива до начального сечения Я — Я , проведенного через начало координат (точка О). Заметим, что начало координат мы расположили в центре падающей струи, там, где наблюдается наибольшее поднятие струи над гребнем водослива. Д л я водослива с тонкой стенкой по данным опытов можно принять хо«?0,ЗЯ 0 , где Я 0 — напор, исправленный на величину скорости подхода vo. -261 Длину х\ обычно называют дальностью полета струи. Эту величину можно определить как дальность полета частицы воды, которая в начальный доомент находилась в точке О, т. е. в центре .сечения Я — Я , и обладала горизонтальной скоростью v, равной средней скорости в этом сечении. ; Располагая координатные оси так, как это показано на рис. 9.10, запишем уравнение траектории OA рассматриваемой частицы воды (см. п. 4.4) в таком виде: x = v^2yjg. (9.27) Д л я прямоугольного водослива, выражая в этой формуле среднюю скорость v через единичный расход q — Q/b, получим x^q/h^fy/g, ; (9.28) где h — вертикальный размер струи в сечении Я — Я . Если в (9.28) подставить значение ординаты точки А 0 . = C + ri + A/2, (9.29) где С — высота стенки водослива, а т] — наивысший подъем нижней поверхности струи над гребнем водослива, то выражение для дальности полета струи принимает вид x ^ q / h ^ / Щ С + ^ + Щ . (9.30) С учетом основного уравнения водослива (8.8) q m Яу'2 вместо (9.30) получим *, = 2 fnfj'l" j p - V C + л + А/ 2. (9.31) Это соотношение может быть использовано для определения дальности полета с т р у и при различных схемах сооружения. . Д л я водослива с тонкой стенкой | в соответствии с экспериментальными данными можно принять: т! = 0,11Яо; А = 0,67Я 0 ; кроме того, для водослива с тонкой стенкой в среднем можно считать m = 0,42. Тогда формула (9.31) получит вид (с округлением коэффициентов) Xi = 1,25 •у'Яо (С + 0,45Я 0 ). (9.32) Длина k представляет собой длину кривой подпора типа cj (при 0 < i < . /к) между сжатым сечением с глубиной hc и сечением перед прыжком с глубиной h' (см. рис. 9.10), и, следовательно, она может быть определена по одному из известных нам способов (п. 6.7). -262 Вопрос о длине гидравлического прыжка неоднократно, подвергался теоретическому и, экспериментальному изучению, в результате чего различными авторами предложен ряд эмпирических и полуэмпирических формул для определения /п. Из большого числа этих формул приведем лишь некоторые, которые находят себе применение в инженерной практике при расчетах длины прыжка в прямоугольном русле с малым уклоном дна; а) формула Н. Н. Павловского 1П = 2,5(1,9/г" — Л'); (9.33) б) формула Сафранеца I, - 4,5/г"; в) формула Бахметева и Матцке / п = 5а п = 5 (h" — h'). (9.34) (9.35) Нужно подчеркнуть, что указанные здесь формулы определяют некоторое осредненное во времени значение длины Прыжка. Пульсационные явления, возникающие в области прыжка, могут, изменить это значение длины прыжка на 12—15 % как в сторону увеличения его, так и в сторону уменьшения!. Переходя к вопросу о длине послепрыжкового участка п о т о к а , отметим, что в пределах этого участка предполагается з а т у х а н и е п у л ь с а ц и й с к о р о с т е й .и давления и, следовательно, в конце послепрыжкового участка поток в отношении скоростного режима обладает теми, ж е свойствами, что и равномерный турбулентный поток за пределами влияния гидравлического прыжка. Д л я определения длины послепрыжкового участка потока в условиях широкого прямоугольного русла наибольшее распространение в инженерной практике получила зависимость, предложенная М. С. Вызго /„„ = (0,4/п) h6, (9.36) где п — коэффициент шероховатости; Аб — бытовая глубина. Нужно отметить, что процесс переформирования эпюры осредненных скоростей протекает более быстро, чем процесс затухания пульсации скорости, вследствие чего выравнивание осредненных скоростей осуществляется на длине, значительно меньшей, чем длина послепрыжкового участка. Общая длина участка гашения энергии п р ы ж к а определяется зависимостью /о = *п-Ипп«(18-г-21)Ав. (9.37) Заметим, что все указанные здесь зависимости даны в предположении, что русло на всей длине участка гашения энергии является неразмываемым. Таким образом, мы рассмотрели определение всех элементов, из которых складывается длина водобоя и полная длина крепле-263 ния русла. В случае отогнанного прыжка полная длина крепления русла получается довольно большой. Поэтому, руководствуясь экономическими соображениями, отогнанного прыжка . за сооружением, как правило, не допускают и проектируют сопряжение бьефов по типу затопленного прыжка. Если в нижнем бьефе сооружения наблюдается сопряжение по типу покрытой струи (затопленный прыжок), то и в этом случае при определении длины водобойной части и длины рисбермы можно пользоваться приемами, которые были указаны выше. 'Изложенный прием определения длины крепления русла в нижнем бьефе сооружения, разработанный применительно к схеме водослива, распространяется и на другие схемы сооружений. В таких случаях необходимо лишь вносить соответствующие поправки при определении величины 1\. Длина водобойной части, а также длина рисбермы зависят от расхода воды, пропускаемого через сооружения. Поэтому, если расход через сооружение будет изменяться, то и величины / в и / р будут изменяться. 9.6. Методы гашения энергии в нижнем бьефе сооружения Важным этапом гидравлического расчета сооружения является решение вопроса о погашении в нижнем бьефе избытка кинетической энергии, которую несет в себе поток, прошедший сооружение. Как уже отмечалось выше, при Донном режиме за сжатым сечением дно потока подвергается интенсивному гидродинамическому воздействию со стороны переливающейся струи, особенно при больших расходах воды. Струя обладает большой разрушительной силой и способна вызвать значительный размыв русла и д а ж е подмыв самого сооружения. Создание в нижнем бьефе сооружения сопряжений, характеризующихся поверхностным и поверхностно-донным режимом, не снимает ^вопроса о креплении русла в нижнем бьефе, так как и в этом случае размыв русла может быть значительным, особенно, если русло сложено из легкоразмываемых грунтов. Наличие больших скоростей за сооружением заставляет создавать в нижнем бьефе мощное, а следовательно, дорогостоящее крепление. Д л я того чтобы уменьшить крепление и снизить его стоимость, необходимо на возможно более короткой длине за сооружением преобразовать часть получившейся в нижнем бьефе избыточной кинетической энергии в потенциальную и погасить оставшуюся часть ее путем преобразования в тепло за счет работы сил трения. Например, длину отгона прыжка 12 можно сократить, если применить в нижнем бьефе так называемую усиленную шероховатость, т. е. искусственно увеличить коэффициент шероховатости п и увеличить тем самым потери энергии на трение по длине потока. Гася за сооружением избыточную кинетическую -264 энергию, вместо отогнанного гидравлического прыжка (см. рис. 9.8 а) стремятся получить затопленный прыжок (см. рис. 9.8 в). В результате чего мощность крепления в нижнем бьефе снижается. При проектировании гидротехнических и гидрометрических сооружений стремятся создать такие условия, при которых избыток энергии погашается в непосредственой близости от сооружения, т. е. стремятся создать причины к появлению местных потерь напора. Специальные устройства, сооружаемые в нижнем бьефе с целью гашения энергии, называются гасителями энергии. Различают следующие типы гасителей энергии: 1) в о д о б о й н ы й к о л о д е ц (рис. 9.11а), идея которого заключается в искусственном увеличении глубины - нижнего бьефа /г'б за счет опускания дна русла нижнего бьефа непосредственно за сооружением на величину а; 2) в о д о б о й н а я стенка (рис. 9.116). Здесь глубина воды в нижнем бьефе hf6 увеличивает-. ся на величину z за счет подпора, вызываемого специальной водобойной стенкой, порогом или уступом, устраиваемым в нижнем бьефе; 3) в о д о б о й н ы й колодец комоинированного т и п а (рис. 9.11-е). В этом случае глубина нижнего бьефа увеличивается и 3£ счет опускания дна русла нижнего бьефа, и за счет подпора, вызванного водобойной стенкой; 4) с п е ц и а л ь н ы е г а с и т е л и э н е р г и и . Идея этих гасителей заключается в том, что на пути потока устраиваются всевозможные препятствия (пирсы или шашки), заставляющие его соответствующим образом деформироваться, В результате такой деформации потрка происходит интенсивная диссипация (рассеивание) энергии. В отличие от водобойных колодцев и водобойных стенок специальные гасители не поддаются гидравлическому расчету. Размеры их, как правило,- приходится назначать на основании опытов, проводимых в лаборатории с моделью проектируемого сооружения. Гидравлический расчет гасителей энергии, а также некоторые другие вопросы, касающиеся сопряжения бьефов за гидротехническими и гидрометрическими сооружениями, изучаются в специальном курсе «Основы гидротехники и гидрометрические сооружения». -265 Глава десятая НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ БЕЗНАПОРНОЕ Д В И Ж Е Н И Е ЖИДКОСТИ 10.1. Определение неустановившегося движения жидкости Напомним, что неустановившимся движением жидкости,; в частности воды,- называется такое движение, при котором гидравлические характеристики потока изменяются во времени. В общем случае неустановившегося плавно изменяющегося движения несжимаемой жидкости средняя скорость v и расход Q во всех плоских живых сечениях рассматриваемого потока должны иметь отличные от нуля частные производные по времени: dvjdt Ф 0; dQldt -ф 0. Наиболее простым (в отношении исследования) случаем неустановившегося движения жидкости является напорное движение, однако для гидрологов несомненно больший интерес представляет безнапорное движение (движение в открытом русле). При безнапорном неустановившемся движении происходит не Только изменение расхода-воды Q, но изменяется и площадь живого сечения потока ю, причем и Q, и со зависят от времени i и от расстояния s, т. е. Q = f(t, s) и со = f(t, s). Очевидно, средняя скорость течения в рассматриваемом случае также зависит от t и s, т. е. v = f(t, s). Неустановившееся движение в открытых руслах (каналах и реках) в инженерной практике встречается весьма часто. Маневрирование. гидротехническими затворами плотин, работа гидроэлектрических станций по суточному графику нагрузки, аварийный сброс всей нагрузки станции или ее части, колебания стока в бассейне реки, вызванные паводками и половодьями и пр. — все это нарушает первоначальный (обычно установившийся) режим потока и приводит к возникновению неустановившегося движения, т. е. движения, переменного во времени. Эти факторы, нарушающие первоначальный режим потока, обычно проявляются или в виде изменения отметки уровня воды, или в виде изменения расхода потока во времени в каком-либо створе, вызывая волновой характер движения масс воды. 10.2. Классификация волн Нарушение первоначального установившегося движения на водотоке может произойти в результате изменения расхода в некотором створе, который называется створом возмущения. Створ возмущения является источником волны или целого ряда волн, что составляет характерную особенность неустановившегося без-266 напорного движения. Поэтому неустановившееся движение часто называют волновым движением. Отличительной особенностью рассматриваемых волн является их способность переносить значительные массы воды в направлении движения волны, поэтому эти волны называют волнами перемещения в отличие от ветровых волн, характерной особенностью которых является чётко выраженное колебательное движение частиц жидкости в вертикальной плоскости относительно первоначального уровня равновесия и небольшая способность перемещать в направлении движения волн массы воды. Волны перемещения подразделяются на непрерывные (длинные) и прерывные (короткие), а само неустановившееся движение подразделяется соответственно на медленно изменяющееся и быстро изменяющееся (резко нестационарное, возникающее, например, в деривационном канале при внезапной остановке турбин гидроэлектрической станции). Непрерывные волны перемещения имеют малую кривизну продольного профиля. Длина волны в несколько раз (иногда в несколько десятков раз) превышает глубину потока. Гидравлические параметры потока изменяются медленно как во времени, так и по длине волны. Неустановившееся движение подобного вида можно рассматривать как движение плавно и медленно изменяющееся, для которого при дальнейшем рассмотрении можно пренебречь местными потерями напора. Прерывные волны возникают при быстром появлений возмущения и характеризуются значительной кривизной мгновенного продольного профиля и резким изменением параметров потока во времени на сравнительно коротком участке. Неустановившееся движение, при котором наблюдается простое повышение уровня (без дальнейшего понижения его) или простое понижение уровня (без дальнейшего его повышения), называется волной одного направления. Если возникшая волна распространяется вниз по течению, то она называется прямой (нисходящая волна); в противном слу'чае волна называется обратной (восходящая волна). При возрастании уровня волну принято называть положительной (волна повышения), при убывании уровня — отрицательной (волна понижения). Как положительная, так и отрицательная волна может быть и прямой, и обратной. Комбинации двух направлений и двух знаков волны позволяют выделить несколько типов волн. Прямая положительная волна обычно называется волной наполнения. Эта волна может появиться в открытом русле, если, например, в створе возмущения (сечение А—А, рис. 10.1) произошло резкое увеличение расхода воды на величину Q', вызванное^ повышением отметки уровня воды в водоеме от Vi до V2 или благодаря быстрому открытию затворов на гидроэлектростанции при попусках воды в нижний бьеф. При этом величина расхода воды (Q + Q') в дальнейшем сохраняется. -267 В г любом из створов водотока площадь сечения и скорость со временем при прохождении волны наполнения увеличиваются; по длине водотока эти параметры уменьшаются, т. е. да dt ^ п >0; да ds ^ A < 0; dv _ „ >0; ~дГ до ds <0. (10.1) При таком изменении параметров после увеличения расхода воды в течение некоторого времени (период неустановившегося движения) свободная поверхность потока поднимается от начального положения 1—1 до конечного 2—2, отвечающего новой ттггггптт, Рис. 10.1. Прямаяположительная волна (волна наполнения). Рис. 10.2. Прямая отрицательная волна (волна отлива). величине расхода воды (см. рис. 10.1). Процесс заполнения здесь показан несколькими свободными поверхностями, соответствующими различным моментам времени t\, U, ^з- Как видно, волна наполнения переносит увеличение расхода воды по течению, вызывая повышение уровня воды. Прямая отрицательная волна называется волной отлива. Эта волна образуется в результате уменьшения расхода воды в створе возмущения (сечение А—А, рис. 10.2) на величину Q' Волна отлива может возникнуть при резком уменьшении отметки уровня воды от Vi до V2 в водоеме, из которого вытекает вода, или при вызванной прекращением попуска на гидроэлектростанции (перекрытием водосливной плотины). Волна отлива переносит уменьшение расхода воды вниз по те-' чению и вызывает понижение уровня. Изменения площади живого сечения и скорости в волне отлива во времени и по длине противоположны по сравнению с волной наполнения, а именно: da dt <0; CCD ds >0; dv <0; ~дГ dv >0. (10.2) Изменение продольного профиля свободной поверхности потока в период прохождения волны отлива для двух промежуточных моментов времени t\ и t2 (между начальным t = 0 и конечным t = оо) схематично показано на рис. 10.2. Обратная положительная волна называется волной подпора. Она может возникнуть при резком увеличении отметки уровня воды от V] до ?2 в створе возмущения (створ А—А, рис. 10.3). Резкое увеличение отметки уровня в конечном створе может быть -268 вызвано подпором ео стороны водоема, куда поступает вода из открытого русла, или резким уменьшением расхода воды в водопропускном сооружении, расположенном в конце водотока. Если в водоеме произошел быстрый подъем уровня воды от отметки Vi до отметки V2, которая в дальнейшем сохраняется по-> стоянной, то в открытом русле свободная поверхность будет деформироваться. Деформация свободной поверхности потока показана на' рис. 10.3 тремя продольными профилями поверхности воды, отвечающими различным моментам времени t. Рис. 10.3. Обратная положительная волна (волна подпора). Рис. 10.4. Обратная отрицательная волна (волна излива). В любом из створов водотока при волне подпора площадь живого сечения потока будет увеличиваться как во времени, так и по'длине потока, а скорость уменьшаться, т. е. <1М> •$-><* т г > < * ; £ < * - * - < « • Волна подпора переносит уменьшение- расхода воды и повышение уровня вверх против течения. Процесс неустановившегося движения завершается к моменту, когда свободная поверхность потока от положения 1—1 перейдет в положение 2—2 и поток примет установившийся неравномерный характер движения, вызванный подпором. Необходимо отметить, что положительные волны (наполнения и подпора) в большинстве случаев характеризуются крутым «лбом», который на рис. 10.1 и 10.3 условно показан вертикальной линией. Обратная отрицательная волна называется волной излива. Она возникает, когда в конечном сечении А—А открытого русла происходит резкое снижение отметки уровня воды от Vi до V2 (рис. 10.4), например, вследствие увеличения расхода воды через водопропускное сооружение. Волна излива переносит увеличение расхода воды и уменьшение уровня в открытом русле вверх против течения. Характеристики потока в волне излива изменяются следующим образом: ' - т г « * - £ - < * тг>*.-аг>°- ' <1М> Отрицательные волны (отлива и излива), как это'видно из рис. 10.2 и 10.4, характеризуются пологим «лбом», который no -269 мере продвижения волны становится все более и более распластанным. Рассмотренные выше типы волн можно отнести к простым волнам. Волны, наблюдающиеся в реках (паводки, попуски, половодья, нагоны, приливы), как правило, являются сложными, т. е. состоят из двух волн одного направления — положительной и отрицательной. Например, представленная на рис. 10.5 волна попуска в простейшем случае состоит из волны наполнения (продольный профиль BD) и волны отлива (продольный профиль АВ). Такой же характер имеют так называемые паводочные волны, особенности движения которых рассматриваются в п. 10.9. А , Рис. 10.5. Схема волны попуска. Неустановившееся течение в низовьях рек представляет чередующиеся между собой волны подпора и излива, причиной образования которых являются периодические изменения уровня воды (приливы и отливы) в море или океане, куда впадает река. «Лоб» волны подпора при сильных приливах может достигать высоты в несколько метров и распространяться вверх по течению с большой скоростью. При распространении волны излива происходит. падение уровней воды в водотоке, увеличение уклонов водной поверхности и скоростей течения. Отметим еще один характерный вид волн перемещения — волны прорыва. Эти волны являются прерывными и характеризуются резкой нестационарностью потока. Они возникают на водотоках и суходолах вследствие разрушения плотин, дамб, искусственных и естественных перемычек. Для волны прорыва характерно наличие резкого фронта в виде вала, достигающего высоты нескольких метров и движущегося с большой скоростью и большой разрушительной силой. Волна прорыва относится к волне наполнения. Согласно принятой терминологии [12], граница на свободной поверхности потока, по которой в данный момент происходит нарушение предшествующего (установившегося или неустановившегося) режима рассматриваемой волной, называется фронтом волны. На мгновенном плане потока фронт волны представляется линией, на мгновенном профиле волны — точкой (точка D на рис. 10.5). Участок BD волны называется «лбом» волны. За гребнем волны (точка В на рис. 10.5) следует тело волны (участок АВ), в котором изменение параметров потока происходит медленнее, чем в лобовой части. ! При рассмотрении вопросов неустановившегося движения будем предполагать далее, что всюду Движение одномерное, т, е. -270 такое, при - котором основной, характеристикой потока в данном сечении является .средняя скорость течения, что обусловливает пренебрежение поперечными составляющими скоростей в от-Дель-j ных точках живого сечения. ' , ' В отношении принятых обозначений в настоящей главе условимся о следующем. Все основные гидравлические параметры потока (расход, глубину, площадь живого сечения, отметки свободной поверхности, среднюю скорость, уклон свободной поверхности и пр.) будем обозначать так же, как и раньше, причем гидравлические элементы, относящиеся к первоначальному установившемуся режиму, будем отмечать индексом «О». Кроме того, примем следующие обозначения: с'— скорость распространения отдельных точек «лба» волны (см. рис. 10.5); Сф — скорость распространения возмущения (скорость фронта волны); с3 — скорость распространения заметного возмущения (заметных объемов воды или главной части волнового возмущения); сг — скорость движения (добегания) гребня волны; cQ — скорость добегания данного расхода (скорость, с которой распространяется граница установившегося движения с данным расходом Qo); | — в ы с о т а волны; I —длина, волны; AQ = Q — Qo— изменение расхода воды (волновой расход). Задачей расчета неустановившегося движения воды в открытых руслах является определение перечисленных выше характеристик потока и, в первую очередь, получение зависимостей Q = f(t, s) и h =.f{t, s), полностью описывающих одномерное движение. По величинам Q и h могут быть определены другие характеристики потока, необходимые для решения вопросов, связанных с потребностями различных отраслей народного хозяйства (гидроэнергетики, мелиорации, судоходства и т. д.). Для решения этой задачи рассмотрим прежде всего зависимости, описывающие неустановившееся движения жидкости. 10.3. Дифференциальные уравнения неустановившегося плавно изменяющегося движения жидкости Рассмотрим сначала вывод дифференциального уравнения неустановившегося движения для элементарной струйки реальной несжимаемой жидкости. С этой целью выделим внутри потока элементарный цилиндр длиной ds и площадью основания d® (рис. 10.6) и составим для него уравнение динамического равновесия. Пусть ось s элементарного цилиндра наклонена к горизонту под углом ©, причем положительное направление оси s совпадает с направлением течения. Установим прежде всего силы, действующие на выделенный элемент. С и л а т я ж е с т и жидкости равна: dG = pgdsda. (10.5) -271 Силы и правое равны: гидродинамического д а в л е н и я на левое основание элементарного цилиндра соответственно dPt — pda> (10.6) и dP2 = (p+^-ds)d<i>, где р — единичное гидродинамическое жести левого основания. (10.7) давление в центре тя- Силы гидродинамического давления, действующие на боковую поверхность элементарного цилиндра, нормальны к оси цилиндра и в окончательное уравнение не войдут. Сила и н е р ц и и , возникающая в связи с изменением местной скорости и струйки во времени, равна: pdsd&~. (10.8) При ускоренном движении сила' инерции будет направлена в сторону, противоположную движению. Сила т р е н и я , действующая на боковой поверхности цилиндра, равна: х ds dl, (10.9) где х — касательное напряжение на поверхности цилиндра; d% — периметр живого сечения элементарной струйки. Направлена сила трения параллельно оси цилиндра, против движения жидкости. Проектируя, в соответствии с принципом Даламбера, все силы, действующие на элементарный цилиндр, на ось s — s, получим уравнение динамического равновесия для выделенного элемента в таком виде: pg da> ds sin 0 -f- p da —(p + ds^j da — p da ds xdl ds = 0. (10.10) -272 Произведя сокращение и поделив все члены этого уравнения на g и массу жидкости^в элементарном цилидре, т. е. на величину рdads, будем иметь: s i n r\0 1 I du -—г; Pg ds g X dt pg d% /1П1«\ (10.11) = п0. v da> ' Производную du du/dt du можно . duпредставить ди , д так: / и? \ т\ Подставляя (10.12) в (10.11) и имея в виду, что sin © = = —dz/ds, где z — координата центра тяжести левого основания цилиндра по отношению к горизонтальной плоскости сравнения, получим dz ds . 1 Pg dp ds д fu2\__ ds \ 2 J , 1 * g — t ( dtЮ pg da .1 .du1 3v ) g dt > Так как координата z не зависит от времени, то уравнение (10.13) можно представить в таком виде: дг (10.14) ds V Pg 2g / da pg g dt x ' Уравнение (10.14) и является о с н о в н ы м дифференциальным уравнением неустановившегося движения для элементарной струйки. Перейдем теперь к дифференциальному уравнению неустановившегося движения для целого потока, считая, что рассматриваемое движение является плавно изменяющимся и местными потерями напора можно пренебречь. При этом выполним следующее: 1) умножим каждый член уравнения (10.14) на массу воды, протекающей в единицу времени через элемент живого сечения da, т. е. на величину pdQ, где 4Q—элементарный расход, равный: dQ — и da; 2) проинтегрируем полученное уравнение в живого сечения со; 3) разделим полученный результат на массу щей в единицу времени через все живое сечение чину pQ, где Q — расход потока, определяемый пределах всего воды, протекаюсо, т. е. на велизависимостью Q = v со; здесь v —: средняя скорость течения. В результате этих операций получим: Q ^ ^ ds V = 18 Заказ № 33 _-l Q J 41 pg 1 da Pg 1 1 gQ 2g / i ^ d t (10.15) v > 273 Рассмотрим отдельно' каждый из трех членов, входящих ! в уравнение (10.15). ' В условиях плавно изменяющегося движения величина z ~\-plpg одинакова для всех точек данного живого сечения; кроме того, величина dQ в данном сечении не зависит от координаты s, поэтому левую часть уравнения (10,15) можно представить в виде ~ Q ds i\ т р^ 1 2g 7 ==-k4r(z + . - £ - ) ! u d * + w ^ H и Ч ( Л - (10Л6) Здесть встречаются знакомые нам по гл. 3 интегралы,- которые соответственно равны: ^ и da = va — Q со И \u*d® = аи3со = a v2Q, со где.а — корректив кинетической энергии (назовем коррективом с к о р о с т и ) . Это позволяет уравнения (10.15) записать в виде его п е р в ы м левую часть Первый член правой части уравнения (10.15) в соответствии с (10.9) представляет удельную работу сил трения для всего потока, которая равна гидравлическому уклону h в данном сечении. Г и д р а в л и ч е с к и й у к л о н в рассматриваемом случае можно выразить- формулой = (10.18) где hf — потери энергии (напора) от некоторого начального сечения до данного сечения; при плавно изменяющемся движении, пренебрегая местными потерями напора, обусловленными изменением живого сечения по длине потока, можно принять hf =hi, т. е. приравнять их к потерям напора по длине. Таким образом, будем иметь <1(U9> Второй член правой части уравнения (10.15) можно представить в следующем виде: -274 у Пользуясь приемом, изложенным в п. 3.12 при выводе уравнения Бернулли, можно показать, что интеграл, входящий в (10.20), равен j U?d(i) = <схоЛо, где ао — корректив количества коэффициентом Буссинеска рости). Следовательно, gQ j d t ~ (10.21) движения (второй 2gQ dt V > потока, называемый корректив -ско- g dt • Имея в виду (10.17), (10.19) и (10.22), лучим: d s (z - | — — \ ' pg 1 2g J — ^ вместо (10.15) по- — -^т-• d s g d (Ю.23) v t ' Это уравнение -и является о с н о в н ы м дифференциальным у р а в н е н и е м неустановившегося плавно и з м е н я ющ егося движения для целого потока {напорного и безнапорного). Умножая левую и правую части уравнения (10.23) на ds и интегрируя полученное уравнение между сечениями 1—1 и 2—2, будем иметь: в1 + _£L +1 ' Pg 2g = 2а + Pg +1 ^ L +1 2g hl + 1 ' Д, " (Ю.24) где Z\ и z2 — координаты каких-либо точек в сечениях 1—1 и 2—2; pi и pz — давления в этих точках; ui и v2 — средние скорости течения в сечениях 1—1, и 2—ai и a 2 — первые коррективы скорости в этих сечениях; hi — потери энергии (напора) на участке между сечениями 1—1 и 2—2; hi — изменение во времени кинетической энергии массы жидкости, заключенной в выделенном отсеке потока. Величину hi называют инерционным напором и определяют зависимостью S. Инерционный напор hi может быть и положительным, и отрицательным, т. е. его не следует понимать как безвозвратную потерю напора, аналогичную потерям напора h . При ускоренном движении величина Ы положительная, при замедленном— отрицательная. В слуаче установившегося движения скорость движения не зависит от времени, в силу чего hi = 0, и, следовательно, уравнение (10.24) совпадает с известным нам уравнением Бернулли для установившегося движения. 19 Заказ № 33 275 Уравнение (10.24) используется как основное при расчетах неустановившегося движения воды в трубопроводах с жесткими недеформируеМыми стенками. . Преобразуем уравнение (10.23) к уравнению неустановившегося плавно изменяющегося движения воды в открытом русле. В условиях открытого потока координату г удобно относить к точкам, расположенным на свободной поверхности потока (рис. 10.7). При этом избыточное давление р в рассматриваемых точках на поверхности равно нулю. , 1 йш 5 Рис. 10.7. К выводу уравнений неустановившегося движения для открытого потока. Кроме того, при плавно изменяющемся движении в открытых руслах в уравнение (10.23) можно ввести вместо гидравлического уклона 1\ уклон трения ц, выражаемый приближенно формулой того же вида, что и при установившемся движении, т. е. v2 __ Q2 C2R К2 dhi Н = ds (10.26) где К — модуль расхода в данном сечении. Имея в виду сказанное выше и учитывая, что величина — dz/ds определяет уклон свободной поверхности / , перепишем уравнение (10.23) в виде д / av2\ ds \ 2g ) C2R dv dt cto (10.27) Уравнение (10.27) отличается от известного дифференциального уравнения неравномерного плавно изменяющегося движения (6.39), полученного для установившегося движения, дополнительным членом a0/g(dv/dt), выражающим локальные силы инерции. Как было показано в п. 6.5, величина J может быть выражена зависимостью J = i — dh/ds, (10.28) где г —уклон дна водотока; полная производная dh/ds заменена частной производной dh/ds, так как в случае неустановившегося движения глубина потока h зависит и от s и от t. С учетом (10.26) и (10.28) уравнение (10.27) можно переписать в виде I -276 dh ds av g dv ds , cto dv dt , Q2 K2 (10.29) Это уравнение и является о с н о в н ы м дифференциальным уравнением неустановившегося плавно изменяющегося движения воды в открытом русле ( у р а в н е н и е м динамического равновесия). Для получения второго дифференциального уравнения, -пред-^ ставляющего собой уравнение неразрывности, рассмотрим продольный разрез потока несжимаемой жидкости, представленный на рис. 10.7. Пусть в момент времени t свободная поверхность занимает положение АВ, а в момент времени t + dt — положение А'В'. Выделим в потоке элементарный отсек длиной ds и площадью со в сечении 1—1. Определим изменение количества жидкости в выделенном отсеке за интервал времени dt. Через сечение 1—1 в отсек поступает расход воды Q, а через сечение 2—2 вытекает расход Q + + (dQjds)ds, следовательно, за время dt количество (объем) жидкости в отсеке изменится на величину dW^Qctt — ^Q + ^-dtydt = -^-dsdt. (10-.30) Это изменение количества воды в силу постоянства массы должно быть равно изменению объема отсека за промежуток времени dt. Так как изменение площади живого сечения в створе^ 1—1 за время dt составляет (d(ajdt)dt, то изменение объема в силу условия неразрывности жидкости будет равно dW = (da/dt) dsdt. (10.31) Приравнивая выражения (10.30) и (10.31) dsdt, получим da/dt + dQ/ds = 0. и сокращая на (10.32) Это уравнение и является у р а в н е н и е м неразрывн о с т и в условиях неустановившегося движения воды в открытом русле. Так как Q = <ОУ, то уравнение (10.32) можно переписать в таком виде: дсо/дг - f д (av)/ds = 0. (10.33) В случае наличия боковой приточности + q' или отточности —q' уравнение неразрывности (10.32) записывается в виде da/dt + dQ/ds = q ( 1 0 . 3 4 ) в практике гидрологических расчетов оно известно и как у р а в нение водного баланса участка реки. Таким образом, неустановившееся плавно изменяющееся движение воды в открытом русле при отсутствии бокового притока описывается системой дифференциальных уравнений . , а0 И Г - g ds ' d&jdt + dQ/ds =• 0. g 1 dh _ av dv dv , Q2 > dt "т" К2 ' I j (10.35) -277 Эти уравнения обычно называют у р а в н е н и я м и С е н - В е в а н а 1 , хотя, строго говоря, Сен-Венаном было получено лишь первое уравнение системы. Сен-Венан не учитывал неравномерность распределения скоростей по живому сечению, поэтому в выведенном им уравнении динамического равновесия отсутствовали коэффициенты а и ао. Появление в уравнениях (10.27) и (10.29) коэффициентов а и ао, не равных единице, является следствием неравномерного распределения скоростей по живому сечению потока. Выражения для этих коэффициентов имеют вид a = -^-j«3dcD, (10.36) со a0 = —J— J и2 dot, (10.37) to где v — средняя скорость по сечению потока; и — скорость в данной точке сечения. В расчетах неравномерного установившегося движения воды (т. е. в случае отсутствия члена dv/dt) обычно принимают коэффициент Кдриолиса а= 1,1 — значение, характерное для каналов. В большинстве случаев расчета неустановившегося движения воды пренебрегают отклонением коэффициента а от единицы. Для беспойменных русел это не приводит к значительным ошибкам, так как намного большие ошибки будут связаны с неполнотой и неточностью исходных данных. В случае русла с поймой сложного строения неравномерность распределения ^скоростей по сечению очень велика и значения а могут превышать 1,5 и даже 2. Значение коэффициента Буссинеска а0 также принимают обычно равным единице. Первое и второе слагаемые правой части уравнения (10.29) учитывают влияние на неустановившееся движение скоростей частиц воды, участвующих в нем. Эти слагаемые принято называть инерционными членами. Первое слагаемое учитывает изменение скоростей по длине, т. е. отражает неравномерность течения. Этот член для рек обычно невелик и может быть значительным лишь в зонах резкого изменения сечения. Второе слагаемое связано с изменением скоростей во времени, т. е. непосредственно с неустановившимся движением. Этот член также обычно мал, кроме зоны резкого неустановившегося движения, например, вблизи ГЭС при попусках суточного регулирования. Третье слагаемое правой части уравнения (10.29)—уклон трения—-при расчетах неустановившегося движения в реках играет главную роль. М. С. Грушевский [12] отмечает, что в числителе этого слагаемого правильнее было бы писать произведение скорости v и ее абсолютной величины v \v\, а не и2 [см. формулу (10.27)], 1 Сен-Венан дал также решение этих уравнений для прямоугольного канала с постоянным уклоном дна в случае отсутствия сил сопротивления. -278 так как о2 не учитывает изменения знака силы трения при изменении знака скорости, что возможно при большой обратной волне. В заключение перечислим кратко основные допущения, при которых выведена система уравнений (10.35). 1. Рассматривается одномерное неустановившееся движение жидкости. Это означает пренебрежение поперечными и вертикальными составляющими скорости в открытом русле по сравнению с продольной составляющей. 2. Движение принимается плавно изменяющимся, что позволяет не учитывать местные потери напора. 3. Применяется гипотеза длинных волн — глубина воды считается малой по сравнению с длиной волны. Это позволяет принимать гидростатический закон распределения давления по глубине. При этом плотность воды принимается постоянной. 4. Силы сопротивления вводятся в уравнения в таком же виде, как и для равномерного движения. 5. Уклон дна принимается малым по сравнению с критическим. Наиболее важны первые два допущения. При резких изменениях сечения (особенно в случае широкой поймы), при крутых изгибах и т. д. скорости могут быть существенно различными по ширине русла. Поэтому в таких случаях одномерная схема значительно упрощает явление, и возможность ее применения требует специального рассмотрения. В других случаях (ледяной покров, шуга, заторы) скорости могут, кроме того, существенно разлит чаться и по длине русла. Третье допущение практически всегда выдерживается. Четвертое допущение является пока неизбежным ввиду невозможности учета сопротивлений при плавно изменяющемся неустановившемся движении иначе, чем приравнивая их таковым для соответствующего равномерного движения. Наконец, пятое допущение всегда справедливо для спокойных потоков, которые только и рассматриваются. Допустимость для практических целей описывать неустановившееся движение жидкости указанными уравнениями подтверждается достаточно хорошим соответствием результатов расчетов для обычных условий (открытое, устойчивое, беспойменное русло) многочисленным данным натурных наблюдений и лабораторных экспериментов, несмотря на неясность области применения некоторых допущений, прежде всего о равенстве гидравлических сопротивлений при установившемся и неустановившемся движении. В результате решения системы (10.35) можно получить две функции Q = fi(s, t) и со = f 2 (s, t)- [или функции v = fi(s, t) и /г = /2 (s, £)], полностью описывающие безнапорное неустановившееся движение жидкости. Зная их можно решить ряд практических задач, как например: построить график изменения расхода в данном створе, построить мгновенный профиль свободной поверхности потока и пр. 1 -279 10.4. Общие указания об интегрировании системы уравнений неустановившегося движения Из предыдущего изложения вытекает, что задача о расчете неустановившегося движения воды в открытом русле сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (10.35). Трудности математического решения этой системы связаны с тем, что она является системой нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Различные исследователи пытались найти приближенное решение данной системы уравнений, которое удовлетворяло бы требованиям практики. Этим объясняется большое количество методов расчета неустановившегося движения воды в открытых руслах, различные их классификации. В СССР в рассматриваемой весьма сложной и вместе с тем актуальной области работали многие исследователи: В. А. Архангельский, Н. М. Вернадский, В. В. Ведерников, И. В. Егиазаров, Н. А. Картвелишвили, В. М. Маккавеев, Н. М. Мастицкий, Н. Т. Мелещенко, С. А. Христианович, М. Д. Чертоусов и др. По рекомендации М. С. Грушевского подавляющее большинство существующих методов можно условно разделить на строгие и упрощенные. Наиболее полно и систематизированно обзор строгих методов приводится в работе М. С. Грушевского [12], а обзор упрощенных методов в работе И. А. Железняка [13]. С т р о г и е методы базируются на непосредственном решении системы уравнений (10.35), хотя сами эти уравнения выведены при определенных, указанных выше допущениях и поэтому термин «строгие» является в известной мере условным. В строгих методах исходные данные в какой-то мере схематизируются, однако здесь отчетливо видно, что именно и как схематизируется или отброшено. При использовании у п р о щ е н н ы х методов система уравнений (10.35) непосредственно не интегрируется, а заменяется какой-либо упрощенной моделью явления. Большинство упрощенных методов основано на моделях, описываемых обыкновенными лийейными дифференциальными уравнениями. Простота расчетов в этих моделях обычно связана с отказом от детального задания некоторых частей исходной информации. Это, с одной стороны, приводит к неполному учету влияния этих частей информации на результаты расчета, с другой стороны, позволяет вполнять расчеты в случаях, когда информации недостаточно для использования строгих методов. Преимущество упрощенных методов перед строгими заключается в простоте расчетов и возможности быстро получить приближенное решение задачи, произведя расчеты вручную. Строгие методы весьма трудоемки. Однако с развитием вычислительной техники в последнее время они успешно реализуются на быстродействующих электронно-вычислительных машинах. -280 Наряду со строгими методами расчета, основанными на численном решении уравнений Сен-Венана, и упрощенными, в которых уравнение динамического равновесия не используется и заменяется каким-либо иным соотношением, существуют еще методы, занимающие промежуточное положение между этими двумя группами методов. К. ним можно отнести -модели диффузионной и кинематической волн, имеющие хорошую базу вычислительных алгоритмов. Строгие методы, в свою очередь, подразделяются на линейные и нелинейные. К н е л и н е й н ы м относятся, например, методы характеристик, сеток, мгновенных режимов, превышений, в которых система уравнений в частных производных (10.35) решается путем замены производных разностными отношениями. В л ин е й н ы х строгих методах уравнения Сен-Венана линеаризуются, например, метод волн малой амплитуды. Ниже кратко остановимся на изложении основных идей и понятий лишь некоторых наиболее распространенных в инженерной гидравлической практике строгих методов. Что касается упрощенных методов расчета неустановившегося движения воды в реках, то дальнейшее развитие этого вопроса излагается в специальных курсах. 10.5. Метод характеристик Одна из удачных попыток найти общий интеграл уравнений (10.35) с помощью строго математического анализа была осуществлена С. А. Христиановичем в 1938 г. При интегрировании системы (10.35) в условиях призматического русла он применил метод дифференциальных характеристик, которые для получения решения, доведенного до практических расчетов, потребовалось заменить уравнениями в конечных разностях. Важно отметить, что это решение позволяет рассматривать самые разнообразные задачи практики, не требуя пренебрежения силами сопротивления. Изложим основные идеи метода. Пусть в некоторый момент времени в определенном створе реки создалось какое-то малое возмущение (например, подан дополнительный объем воды). Это возмущение будет распространяться вниз и вверх в виде двух волн — прямой и обратной. Законы распространения этих волн могут быть получены из уравнений фронтов всех мыслимых волн, накладывающихся на установившийся или неустановившийся режим, существовавший до их прихода в данный створ. В волновой плоскости (s, t) указанные уравнения будут изображать два семейства кривых, называемых прямыми и обратными характеристиками (рис. 10.8), точки пересечения которых образуют узлы сетки характеристик. Густота сетки будет зависеть от выбора положений точек, из которых проводятся характеристики. Характеристики одного семейства (одноименные) не могут пересекаться друг с другом. 28! Рассмотрим математическую сторону метода. Д л я русла призматической формы имеем да да dh dh (10.38) dh ds - в ds ds где В = да/дh — ширина русла (см. рис. 6.2). Подставляя dh/ds из (10.38) в уравнение (10.29) и принимая « = ао = 1, получим В da ds da ds dv dt • ( - я г - О- (10.39) Рис. 10.8. Сетка характеристик. Вводя обозначение - l ) = уравнение (10.39) в виде (10.40) -N, и уравнение неразрывности dv dt dv ds da dt , ' -si- + co-^ dv ds g В da ds , da ds 1Ь V —g— запишем N; (10.41) 0. (10.42) = = (10.33) n Представим себе, что в координатной плоскости (s, t) задан отрезок некоторой кривой s = f(t), расположенный в области решений уравнений (10.41) и (10.42), и значения функций v = f (s, ty, co = f(s, t) (10.43) вдоль этого отрезка. Для определения вида зависимости s = f(t) . преобразуем уравнения (10.41) и (10.42), предварительно записав выражения для полных производных функций' (10.43). dv ИГ -282 dv dv ds ds dt da ~dT da ~df da ds ds dt (10.44) Подставляя (10.44) в уравнения (10.41) и (10.42) и преобразуя их, получим следующую систему уравнений: ды , ( дs dv , I ® ~ds~ V В Решая иметь систему dv _ ds ~ ds ^ dv dt 1 ds ds \ da . d f j ~ds~ (10.45) дj- dv dt da (10.45) „ ~ относительно dv/ds — (N — dv/dt) (v — ds/dt) — g (v — ds/dt)2 — ga/B и da/ds, da/(B'dt) da _ — (v — ds/dt) da/dt— jN — dv/dt) ds ~~ (v — ds/dt)2 — ga/В a будем . ' (10.46) (10.47) Для данного решения значения частных производных в любой точке кривой s = f(t) не зависят от величины ds/dt, которая определяет направление этой кривой в данной точке. Таких на : правлений можно представить себе бесконечное множество, но мы рассмотрим то из них, при котором знаменатель выражений (10.46) и (10.47) обращается в нуль. Решая с этой целью уравнение вида (v — ds/dt)2 — gu/В = 0, (10.48) ds/dt = о ± л/ga/B, (10.49) получим т. е. в каждой точке кривой s = f(t) существуют два направления, определяемые выражением (10.49). В случае, если числитель выражений (10.46) и (10.47) имел бы конечное значение, производные да /ds и dv/ds обращались бы в бесконечность. Следовательно, должны быть равны нулю также И числители выражений (10.46) и (10.47). Так как согласно (10.49) v — ds/dt - ± л/ga/В. то, подставляя (10.50) в числитель выражения (10.47) и приравнивая его нулю, получим dv = dz л/gKBa) da> + N dt. (10.50) (10.46) или (10.51) Выражение (10.51) дает связь между изменениями функций v и со при следовании вдоль направлений (10.49). Таким образом, в методе характеристик система двух уравнений в частных производных (10.35) заменяется эквивалентной ей системой четырех обыкновенных дифференциальных уравнений— двумя уравнениями характеристик (прямой и обратной), вытекающими из выражения (10.49), и двумя уравнениями из 28а (10:51), связывающими: между собой элементы потока вдоль этих характеристик. После введения обозначений о + л/ga/B -- w, (10.52) V — -\JgO)/B --Q (10.53) эта система может быть представлена в конечных разностях и в предположении, что величины W, £3, N имеют внутри интервалов интегрирования некоторые постоянные значения. Рис. 10.9. Схема расчетного участка потока к методу характеристик. В результате получим (10.54) As, = W Л*,; A s2 = QAt2; (10.55) (10.56) A»i = — VgftBto) Acor + Ni A*i; (10.57) AV2 = Vg/(Btoj A 0)2 + JV2 M2. Для решения системы уравнений (10.54) — (10.57) рассмотрим в плоскости (s,t) две точки а и b (рис. 10.9), в которых значения функций и и со известны. Точка т — промежуточная, ее координаты должны удовлетворять уравнениям (10.54) и (10.55). Обозначим координаты точек a, b и т соответственно через sa, ta, Sb, tb, Sm И trh- Так как в расчетах чаще оперируют расходами и отметками уровня воды, а не скоростями и площадями живых сечений, то после соответствующих замен и преобразований получив систему уравнении в виде sm~sa = W(t (10.58) -ta); sm — sb = Q (t, • h ) ; .(10.59) Zm — Sm — Zq Qm-Qa Ql к2 Sa V Sm — Sa Qtn — Qa (10.60) Zm — Qm — Qb -284 Qm — Qb \ Sm — Sb 7? , Qb Sm — Sb • K2 Qm-Qb ' (10.61) где Za, Zb, Zm и Qa, Qb, Qm —отметки уровня и расходы в створах а —а, Ъ — b, m — rrt рассматриваемого расчетного участка (рис. 10.9); К — средний модуль расхода на участке; sm — sa — расстояние, на которое распространяется фронт прямой волны за время tm — ta\_sm — sb — расстояние, на которое распространяется фронт обратной волны за время tm — tb\ W и Q — скорость фронта прямой и обратной волны, вычисляемые по формулам W = Q/co + л/gajB (10.62) и Q = Q/co — V i a / 5 - (10.63) За средние величины W, £2, l/BW, 1/BQ принимаются те, которые получаются при среднеарифметических значениях Q и z на участках (s m — Sa) и (s m — sb). После разбивки русла на призматические участки производится подготовка исходных материалов, определяются морфологические параметры сеченйя (ю—-площадь сечения и 5 —ширина поверху) и модули расхода для каждого участка. При расчете неустановившегося движения с помощью уравнений (10.58) — (10.61), задаваясь начальными и граничными условиями, строится сетка характеристик в плоскости s, t (см. рис. 10.8). За начальные условия принимаются уровни и расходы воды на границах расчетных участков. В качестве граничного условия принимается входной гидрограф в начальном створе. На границах двух участков русла граничные условия заменяются условиями равенства уровней и расходов по обеим сторонам границы. , Собственно расчет медленно и плавно изменяющегося неустановившегося движения начинается с вычисления искомых величин Q и Z в точках нулевой характеристики (линия М0М0Ро на рис. 10.8), представляющей в волновой плоскости кривую движения фронта волны, нарушающей первоначальный режим. Расчет нулевой характеристики заменяет, по существу, задание начальных условий. Далее производится расчет первой (для нижнего бьефа прямой, для верхнего обратной) характеристики от точки к точке, начиная от точки М\, соответствующей входному створу и кончая точкой Ри отвечающей другой границе бьефа. Затем производится расчет второй характеристики и т. д. Для всех узлов сетки характеристик, кроме точек нулевой характеристики, расчет по уравнениям (10.58) — (10.61) приходится выполнять в несколько приближений, что является весьма трудоемким. ^ Построив сетку характеристик по всей интересующей нас области s, t, можем начертить графики изменения Q и z во времени по всем створам водотока или построить продольные профили потока для отдельных моментов времени. -285 В настоящее время метод характеристик находит все боле! широкое применение в современных машинных расчетах неустановившегося движения воды. Кроме того, он представляет интерес в исследовательских целях, так как позволяет легко получить границы области существования данного волнового режима, в частности, проследить момент и створ перехода йолны в прерывную по пересечению одноименных'характеристик. 10.6. Метод мгновенных режимов Метод мгновенных режимов предложен Н. М. Вернадским в 1933 г. и в дальнейшем усовершенствован (для ручного счета) В. А. Архангельским и Я. Д. Гильденблатом. Суть метода заключается в том, что последовательно с переходом от участка к участку рассматриваются картины движения жидкости, относящиеся к различным моментам времени t', t" и,т. д., таким образом, что At — t"— t' является достаточно малой величиной. Для каждого момента времени, соответствующего окончанию расчетного интервала At, определяются значения мгновенных расходов Q = f(s) и уровней4 2 = f(s) на границах расчетных участков — «мгновенные режимы», что объясняет происхождение традиционного названия метода. ~ В основе метода, при кратком изложении которого будем придерживаться схемы А. В. Караушева [21], лежат следующие два уравнения: уравнение неразрывности в виде : dQ/ds = —da/dt (10.64) и уравнение динамического равновесия, которое записывается в наиболее простом виде, не включающем инерционные члены (предполагается, что эти члены пренебрежимо малы), / = Q2/K2. (10,65) Выражая уклон водной поверхности J через отношение падения уровня Az к длине участка As и решая уравнение (10.65) относительно расхода, получим = (10.66) здесь F = As/К2 — модуль сопротивления; |Аг|—абсолютная величина падения уровня. Знак расхода ( ± ) определяется знаком падения. Падение является положительным, если в направлении оси s, совпадающей с направлением течения реки, отметки уровня снижаются. Если отметки уровня повышаются вдоль s, падение Az будет отрицательным и, естественно, расход окажется со знаком минус. Последний случай отвечает перемещению обратной положительной волны (см. рис. 10.3). Основное допущение метода сводится к предположению о сохранении при неустановившемся движении полученных для уста-286 повившегося режима однозначных зависимостей среднего модуля расхода К, модуля сопротивления F, площади водной поверхности Q и объема воды W на расчетном участке от полусуммы уровней на концах участка K = f(i), F = f(z), Q = f(i), W = f(г), (10.67) где z — средняя отметка уровня воды на участке, равная полусумме отметок уровней в начале и конце участка. Это допущение является тем более справедливым, чем короче участок и чем менее резко выражена нестационарность движения воды. 1 Рис. 10.10. Нумерация створов и расчетных участков реки (пунктиром показаны середины участков). Часть реки, для которой предполагается выполнить расчет неустановившегося движения, делится поперечниками 1, 2, 3 и т. д. на расчетные участки /, II, III и т. д. одинаковой длины As (рис. 10.10). Ось s располагается вдоль динамической оси потока. Для всех участков в условиях установившегося движения йри разных отметках z вычисляются и строятся графики зависимостей (10.67). Расчет неустановившегося движения начинается с задания промежутка времени At и ведется последовательно для всех участков и для каждого момента времени. Исходные для расчета величины Q и z, относящиеся к начальному поперчнику, задаются в виде функций Q(t) и z(t). Запишем уравнение неразрывности (10.64) для первых двух участков водотока в форме конечных разностей: (-Q2 — Qi) At = AW\\ (10.68) (Q3 — Q2) А^ = AW'u, где величина AW — AcoAs выражает изменение объема воды на рассматриваемом участке за первый интервал времени At; индекс штрих служит для обозначения момента времени. -287 Изменение объема воды на участке обусловливает соответствующее изменение средней отмеки уровня Az Az = AW/Q, - (10.69) где Q — площадь водной поверхности на рассматриваемом участке, определяемая по зависимости £2 = / ( z ) для данного участка. Именно на эту величину к концу интервала времени At изменится средняя отметка уровня воды z на рассматриваемом участке. Поскольку конец первого интервала совпадает с начат лом второго, для рассматриваемых двух участков потока запишем: • ~zl = z{ + A z'i; (10.70) —7// —/ —/ 2ц = 2ц -f- AZn- По найденным средним значениям уровней на первых двух участках можно вычислить падение свободной поверхности, которое определяет гидравлический режим потока для поперечника 2 (см. рис. 10.10) к концу второго интервала времени Az"2=~zi — zu.' (ю;71) Теперь по динамическому уравнению (10.66) могут быть вычислены значения расходов воды, содержащиеся в формулах (10.68). Запишем указанное уравнение применительно к соответствующим расчетным участкам и интервалам времени: Q2 = ± <\/\AZ I2/F2; (10.72) Q3 = ± д / | Az ^ з 3 и т. д. для второго интервала времени: ; Q2 = ± ^ / | a z 12/^; . (10.73) <3з = ± д / | Az^/Fz И т. Д. Расчеты выполняются по интервалам времени At последовательно вдоль потока, начиная от первого поперечника, где значения расходов принимаются из начальных условий, а для всех остальных поперечников в первый интервал времени принимаются расходы, отвечающие установившемуся режиму, имевшему место до начала неустановившегося движения; уровни в начале расчета принимаются равными соответствующим уровням установившегося режима. -288 Произведя вычисления для всех участков вплоть до конечного, возвращаемся к первому участку и выполняем расчет для следующего интервала времени At. В результате расчетов получаем значения Q и z для всех участков и всех расчетных интервалов времени, по ним можно построить продольные профили свободной поверхности z = f (s) и кривые Q = f(s) для отдельных моментов времени. При реализации метода мгновенных режимов на машинах без особых затруднений удаётся решить полные уравнения Сен-Венана с учетом инерционных членов. Алгоритм и программы для машинных расчетов разработаны Б. Л. Историком [19]. 10.7. Линейные методы В этих методах решение системы дифференциальных уравнений неустановившегося движения (10.35) представляется в виде рядов, коэффициенты которых являются функциями некоторых новых переменных. Исходя из граничных и начальных условий, определяются коэффициенты этих рядов. В результате задача расчета неустановившегося движения сводится к решению алгебраических и дифференциальных уравнений с использованием математических методов. Линейные методы по сравнению с конечно-разностными лучше приспособлены для случая, когда вместо начальных условий задано условие периодичности решения. Н. А. К а р т в е л и ш в и л и [22] предложил использовать прямой вариационный метод Бубнова—Галеркина для расчета периодического неустановившегося движения воды (например, суточного регулирования). Это позволяет свести решение системы уравнений (10.35) в частных производных к решению сначала системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем системы алгебраических уравнений, что оказалось удобным при использовании в расчетах электронных цифровых машин. Линейные методы, основанные на использовании теории волн малой амплитуды, нашли отражение в работах Н. Т. Мелещенко, Г. Г. Самородова, В. П. Симонова и др. В частности, Н. Т. М ел е щ е н к о [37] был разработан метод для расчета периодического неустановившегося движения воды (суточного регулирования). Основное допущение метода — все изменения параметров режима полагают малыми по сравнению с их значениями при первоначальном установившемся режиме. Пренебрегая квадратами и произведениями малых величин, уравнения (10.35) приводятся к одному лнейному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами d 2 z/dt 2 + (v! — с2) d 2 z/ds 2 + 2v0 d2z/(dtds) + p dz/dt + у dz/ds = 0, (10.74) 19 Заказ № 33 289 где коэффициенты с, р и у, определяемые из начальных и граничных условий, рассчитываются по следующим формулам: c2 = gco0/B„; p = 2g//i>0; у — Jc2x/h0. (10.75) Здесь х — гидравлический показатель русла [см. формулу (6.70)]. К интегрированию линейного уравнения (10.74) и приводится в методе Н. Т. Мелещенко задача о неустановившемся движении воды в открытом призматическом русле. Граничное условие в створе возмущения часто задается в виде гидрографа Q = f(t) или z — f(t) и представляется суммой нескольких гармоник, в другом крайнем створе принимается z = const или Q = const. В качестве начального условия обычно задается установившийся режим со среднесуточным расходом. Для суточного регулирования стока, когда в бьефах наблюдаются периодические колебания горизонтов уровня и расходов воды, Н. Т. Мелещенко ищет решение уравнения (10.74) в виде 2 = A (s) cos kt — В (s) sin kt, ' (10.76) где J4(S) И B(S)—некоторые функции от s; k — постоянная величина (частота колебаний). Полученные Мелещенко зависимости дают возможность найти расходы и отметку уровня воды в любом створе для любого момента времени. Однако этот метод весьма трудоемок, а отсутствие программ для машинного счета препятствует его широкому распространению. 10.8. Метод Института гидродинамики Этот метод относится к группе методов сеток с неявной схемой, когда весь процесс расчета неустановившегося движения разбивается на последовательное решение системы уравнений для каждого отдельного расчетного интервала времени. В результате расчета определяются характеристики потока на волновой плоскости (s, t) во всех створах бьефа в любой момент времени. M e т о д с е т о к с н е я в н о й с х е м о й получил в настоящее время широкое развитие, в значительной мере благодаря работам сотрудников Сибирского отделения АН СССР "О.Ф. Васильева, С. К. Годунова, С. М. Шугрина и др. [6]. В неявной схеме, применяемой- в Институте гидродинамики СО АН СССР (метод ИГ), исходные уравнения неустановившегося движения берутся в виде (dQ/dt + 2v dQ/ds) + [1 - (t'/c)2] dz/ds = [i0 + 1 IB (da,lds)](vlcf-Q\Q\K\ h = const В dzjdt + dQ/ds = 0, -290 = (10.77) где с = -д/§(й/В — скорость" распространения фронта волны в неподвижной воде; z — отметка свободной поверхности; Q | Q \ /К2 — уклон трения. В такой записи уклона трения учитывается изменение знака силы трения при изменении знака скорости, что возможно при большой обратной волне. Численный метод решения дифференциальных уравнений (10.76) состоит в продвижении от известных значений уровня и расхода в расчетный момент к неизвестным их значениям в следующий расчетный момент. Счет ведется по неявной разностной 2Ls я-}, к+1 At 71, К 3 Рис. 10.11. Неявная разностная схема ИГ. схеме, показанной на рис. 10.11. Шаг As может быть различным для разных участков, шаг At может меняться в течение времени. Производные в (10.77) заменяются разностными отношениями: dQ dt Qn — Qn At dz dt Zn — Zn At (10.78) dQ ds Qn+'i — Qn2 As ' dz ds Zn+ I — zn- 1 2 As где Q и z — искомые величины в верхнем слое, т. е. в момент t + At. Коэффициенты при производных берутся из п-й точки нижнего слоя, т. е. в момент t. Слагаемое Q | Q | / K 2 берется в точке из верхнего слоя с точностью до значений второго порядка малости. Начальные условия для i = to должны быть заданы в виде Zo = f(s) и Qo = f(s). Граничные условия в створе возмущения имеют вид Q ~ f ( t ) или z = f(t), в другом крайнем створе один из этих видов или вид Q = f(z). Исходные данные по морфометрии или гидравлическим сопротивлениям русла должны быть представлены в виде уравнения линии дна zm = f(s) или, как это бывает чаще, заданием на этой линии отдельных точек, между которыми производится линейная интерполяция, а также в виде функций и = f(h) и K = f(h), задаваемых в ряде створов. В дальнейшем система койечно-разностных уравнений представляется в матричной форме. Не углубляясь в математическую сторону решения задачи, отметим только, что решается она 19* 291 так называемым методом прогонки. Болёе подробные сведения можно найти в работе [6]. Институтом гидродинамики составлена программа для реализации метода на ЭВМ М-20. Этот метод широко апробирован расчетами для конкретных объектов и гипотетических русел простейшей формы. Программа предусматривает возможность расчета одного русла без разветвлений или простейших схем русел: слияние двух русел или разветвление одного русла. Разработана также программа, позволяющая рассчитывать более сложные русла, имеющие ряд притоков, и учитывать сосредоточенный или распределенный боковой приток или отток. Не имея возможности более подробно останавливаться на рассмотрении методов решения уравнений неустановившегося движения, рекомендуем более подробно ознакомиться с ними в указанной выше специальной литературе. 10.9. Особенности движения паводочных волн Установившееся движение воды в реках весьма часто нарушается перемещением паводочных волн, которые могут возникнуть на зарегулированных реках при попусках воды в нижнем бьефе, а на незарегулированных реках при паводках и половодьях, являющихся следствием обильного выпадения дождевых осадков или интенсивного снеготаяния в бассейне реки. Движение паводочной волны относится- к непрерывному медленно изменяющемуся движению воды в открытом русле с очень небольшой кривизной профиля свободной поверхности. Поэтому изменение гидравлических параметров речного потока при таком Движении происходит достаточно медленно с течением времени и достаточно плавно по длине потока. При рассмотрении, неустановившегося движения имеем две независимые друг от друга координаты; s — координата профиля реки, отсчитываемая по направлению ее течения от некоторого начального створа; t — координата времени. В качестве основных элементов паводочного режима примем Отметку (уровень) свободной поверхности потока z и расход воды Q. Располагая рядом числовых значений указанных величин, можно графически изобразить их в системе координатных осей s и t. В результате получится система кривых (изолиний), дающая наглядную картину хода рассматриваемого явления. Каждая такая изолиния связывает между собой расстояние s и время t, т. е. является графиком некоторого движения («графиком следования» по терминологии Н. М. Вернадского [5]), объектом которого служат: постоянный уровень z и постоянный расход Q (рис. 10.12). Аналитически графики описываются функциями Z = /(s, s t), Q = f ( > 0292 _ ' (10.79) (10.80) Принимая графики следования за исходные, можно получить целый ряд производных зависимостей, всесторонне характеризующих особенности движения паводочной волны. Такими зависимостями могут быть графики мгновенных уровней (рис. 10.13) или мгновенных расходов воды, характеризующие изменение г и Q вдоль реки (при t = const). Для конкретных створов реки (s = const) можно построить графики колебания уровней воды и расходов воды во времени (гидрографы). Исключением из исходных уравнений (10.79) и (10.80) сначала переменной t, а затем s можно получить графики «местных и мгновенных кривых расходов» (терминология Н. М. Вернадского). Схематизируя картину прохождения паводочной волны, изобразим на рис. 10.13 два продольных профиля свободной поверхности потока, соответствующие двум моментам времени t\ и t2. Перемещаясь вниз по течению, паводочная волна распластывается. За время At = t2 — U гребень паводочной волны передвинулся на расстояние As. Делением величины As на промежуток времени между двумя фазами, можно получить скорость движения гребня паводка сГ = As/At. (10.81) Эта скорость будет отличаться от скорости распространения начала и конца паводка. Если волна характеризуется повышением уровня, а затем понижением его, то уклон на лобовом склоне паводочной волны будет больше, чем на тыловом склоне, и скорость в лобовой части больше, чем в тыловой. При этом происходит постепенное опережение частиц тыловой части волны частицами лобовой части, и вся паводочная волна распластывается. В результате распластывания длина ее в момент времени t2 будет больше, чем в момент времени U, т. е. h > к, а высота волны соответственно меньше, т. е. < ti. Эти изменения элементов паводочной волны отражаются на характере кривых -293 колебания уровней (расходов) во времени в отдельных створах реки. Примем ось абсцисс одновременно за длину реки, нанеся на нее местоположение гидрологических постов, и за время, нанеся одновременные показания этих постов. На рис. 10.14 приведено совмещенное изображение трех прохождений одного паводка через различные гидрологические посты (верхний створ 1—1, средний 2—2 и нижний 3—3); NN— плоскость отсчета уровня. Рис. 10.14. Ход паводочной волны во времени в трех створах и кривые продольного профиля в моменты времени ti и На графиках хода уровней видно, что в момент времени t\ в первом створе был уровень КА, во втором — KB и в третьем — КС. Относя эти отметки горизонтальными линиями к соответствующим постам, получим линию продольного профиля реки А'В'С' в момент времени t\. Аналогичным построением можно получить продольный профиль водной поверхности реки для любого другого момента времени. Например, моменту времени t2 на рис. 10.14 соответствует профиль, свободной поверхности D'E'F'. Полученные профили свободной поверхности позволяют четко проследить изменение уклона водной поверхности на рассматриваемом участке во время прохождения паводочной волны. На подъеме уровня воды уклон получается, очевидно, больше, чем на спаде. Также непосредственно из рис. 10.14 можно получить и другие интересующие нас элементы: скорость гребня, профиль огибающей кривой и др. Например, делением расстояния между постами на время перемещения гребня паводка между ними Af можно получить осредненную скорость движения гребня паводочной волны. Отмеченная выше закономерность изменения уклона водной поверхности в реке при прохождении паводочной волны отражается на характере изменения других гидравлических элементов потока, например, расходе воды, средней скорости, уровне. Каждая изолиния графического изображения рассмотренных выше элементов паводочного режима может быть охарактеризована своим градиентом, как это показано, например, на рис. 10.12 для графика следования постоянного уровня. К этой совокупности -294 градиентов можно отнести градиенты изолиний графика следования постоянного уровня ®г = ds/dt, постоянного расхода &q = = ds/dt, графика мгновенного уровня (продольного уклона) Jz = dz/ds (при t — const), мгновенного расхода JQ = dQ/ds (при t = const), графика колебания уровня воды Wz = dz/dt (при ,s = const), гидрографа Wq = dQ\dt (при s = const), местных кривых расхода qs = dQ/dz (при s = const) и мгновенной кривой р а с х о д а qt = dQ/dz (при t = const). : 0 г = -W~JJZ. Перечисленные выше градиенты основных элементов паводочной волны находятся между собой в определенной кинематической зависимости и могут быть использованы при исследовании режима паводка. Так, аналитическая связь скорости поступательного перемещения постоянного уровня воды @z со скоростью подъема (спада) уровня воды Wz и продольным уклоном водной поверхности потока Jz имеет следующий вид: (10.82) Связь скорости поступательного перемещения постоянного расхода ©Q, изменения расхода в единицу времени WQ и нарастания его на единицу длины реки JQ может быть представлена так: JQ = -WQIJQ. (10.83) Градиенты местной кривой расхода qs, нарастание расхода в единицу времени Wq И скорость подъема (спада) уровня воды Wz связаны между собой соотношением qs = Wq/Wz, (10.84) Зависимость градиента мгновенной кривой расхода qt от нарастания расхода на единицу длины реки JQ и продольного уклона водной поверхности J z может быть представлена как qt — J q/Jz- (10.85) Дополнительные зависимости между элементами паводочного режима можно получить, если воспользоваться уравнением неразрывности (10.32). Рассматривая бесприточный участок реки с поперечным сечением, близким к прямоугольному, шириною В, Н. М. Вернадский установил цепную зависимость между градиентами изменения основных кинематических характеристик паводочной волны:, • ' BWZ = JQ, _ JQ®Q = (-WQ), (_WQ) (~qs) (10.86) х (10.87) = Wz(-qs), (10.88) = eQB; (10.89) связь эта изображается геометрически в виде схемы, названной Н. М. Вернадским «кинематическим кругом naeodKa». -295 В круге вписан четырехугольник с двумя взаимно перпендикулярными диагоналями, на четырех направлениях которых отложены числовые значения величин В, JQ, WQ, qs (рис. 10.15). Тангенсы углов между сторонами и диагоналями четырехугольника могут быть легко вычислены на основании цепной схемы (10.86) — (10.89). Определяя значения этих тангенсов, нетрудно убедиться, что углы, опирающиеся на одну и ту же сторону четырехугольника, измеряются одинаковыми тангенсами, т. е. равны между собой. + / у + I/W К/в, Рис. 10.15. Кинематический круг паводка. Рис. 10.16. Паводочные волны на двух соседних створах реки. В ft ^ k / А \ \ J< . / 3 / Is / * * / Г ' ! 1 1 j1 1 Ь Z Изображенный четырехугольник обладает свойствами фигуры, вписанной в круг. Из каждого помеченного цифрами прямоугольного треугольника вытекает соответствующая зависимость (10.86) — (10.89). «Кинематический круг» является наглядной схемой связи между постоянно изменяющимися элементами движущейся паводочной волны и может служить как для лучшего понимания этих связей, так и для графического их построения. Рассмотрим изменение величины Q во времени для двух последовательно расположенных по течению реки створов (рис. 10.16). Точки Л и В соответствуют максимальным расходам воды в этих створах. В процессе движения паводочной волны она распластывается, поэтому по мере прохождения паводка расход на верхнем посту Л будет падать быстрее, чем на ближайшем нижнем В. В некоторый момент времени tc расходы воды в двух соседних створах окажутся одинаковыми, т. е. dQ/ds — 0. Тогда, согласно уравнению (10.32), будет da>/dt = 0. Это означает, что в ,момент времени tc будет наблюдаться максимальная площадь живого сечения со, а следовательно и максимальный уровень. Так как точка С соответствует более позднему моменту времени, чем точки Л и В, то отсюда следует вывод: максимум pacxoda при паводке наступает раньше максимума уровней. Для определения времени наступления наибольшей скорости течения продифференцируем общее уравнение Q = av по времени: dQjdt = и da/dt + со dv/dt. (10.90) -296 Ни v, ни со по своей природе не могут быть отрицательны, поэтому в момент, когда dQ/dt = 0, могут иметь место два случая: или производные да/dt и dv/dt одновременно равны нулю, или они имеют разные знаки. Раньше мы отмечали, что в то время как расход Q достигает своего наибольшего значения dQ/dt = 0, уровни еще растут, т. е. da/dt > 0, а следовательно, dv/dt < 0. Это означает, что, когда проходит наибольший расход воды, скорости течения в реке уже уменьшаются. Отсюда следует вывод: скорости течения имеют свое наибольшее значение ранее наибольшего расхода воды. Представим себе, что в данный момент наблюдается максимум скорости, следовательно dv/dt — 0. Воспользуемся формулой Шези v = C's/Ri. Заменим в ней гидравлический радиус R на среднюю грубину h и продифференцируем по времени, считая С постоянным: 2 v-^- = C2h di/dt+ СЧ dh/dt. (10.91) Так как h и i по своей природе положительны, то в момент, когда dQ/dt = 0, di/dt и dh/dt должны иметь разные знаки; но мы уже установили, что максимум скорости наступает раньше максимума уровней, т. е. когда dv/dt = 0, то dh/dt > 0, следовательно, di/dt < 0. Отсюда следует вывод: максимум уклонов наблюдается раньше максимума скоростей. Таким образом, при движении одиночной паводочной волны вначале наступает максимум уклона, затем максимум скорости, максимум расхода и позже всего максимум уровня. Эта закономерность в развитии изменения процессов режима реки называется правилом о четырех максимумах. Здесь необходимо отметить, что полученная закономерность установлена при весьма существенной схематизации процесса развития паводочной волны и справедлива для условий перемещения одиночной волны без боковой приточности. Фактические закономерности движения паводочных волн в реках являются более сложными и рассматриваются в специальной литературе [3, 12 и др.]. Интенсивность распластывания волны вдоль реки определяется целым рядом морфологических, гидравлических и других факторов — конфигурацией русла реки в плане (извилистостью, наличием и частотой сужений-расширений, наличием рукавов и т. д.), типом руслового процесса, его интенсивностью, зарегулированностью, инженерными сооружениями (водозаборы, сбросы, мосты) и т. д. Распластывание зависит и от формы волны во входном створе рассматриваемого протяжения реки, т. е. от характеристик процесса, определяемых условиями формирования стока на соответствующем водосборе. Установленные выше закономерности можно проследить при резко выраженных волнах пропусков, возникающих при сбросе воды из водохранилищ в нижний бьеф. В этом случае уклоны -297 водной поверхности на подъеме и спаде паводочной волны могут существенно отличаться. Однозначная зависимость 1 между расходами воды и уровнями (рис. 10.17), свойственная установившемуся движению, нарушается. При одних и тех же уровнях воды расход Q„ на подъеме уровня больше расхода на спаде Qcn- В результате образуется неоднозначная кривая расходов, имеющая ветвь подъема 2 и ветвь спада 3. Такая зависимость расхода от уровня называется паводочной петлей. Рис. 10.17. Паводочная петля. Ширина петли, отсчитываемая по оси Q, увеличивается с возрастанием инерционного члена ( a 0 / g ) (dv/dt) в уравнении динамического равновесия (10.29). По мере перемещения волны попуска вниз по течению водотока максимальные расходы, в силу распластывания волны, снижаются, а минимальные увеличиваются, амплитуда уровней снижается и уменьшается различие между расходами на подъеме и спаде при одних и тех же уровнях. t На достаточно большом удалении от створа возмущения волна гасится и движение приобретает установившийся характер с однозначной зависимостью расхода воды от уровня. - Характер медленно изменяющегося неустановившегося движения воды в открытых потоках в значительной мере определяется максимальным значением (при прохождении волны) отношения абсолютного добавочного продольного уклона, вызванного неустановившимся движением воды, к первоначальному уклону при установившемся режиме, т. е. параметром % = тах\1ё\/1у. Чем меньше значение к для данного неустановившегося режима, тем ближе синхронная связь расходов и уровней к однозначной. Если это значение достаточно мало (х < 0,03-Ь 0,05), ширина петли не выходит за пределы точности измерений расхода (обычно принимается 3—5 % значения расхода). В этом случае изменение уровней воды практически успевает следовать за изменением расходов и синхронную связь между расходами и уровнями можно считать однозначной и совпадающей с кривой расходов для установившегося режима. Такой частный случай медленно изменяющегося неустановившегося движения воды можно назвать квазиустановившимся движением. "298; 10.10. Неустановившееся движение при прорыве плотины Движение, которое могло бы возникнуть в русле при внезапном разрушении плотины, носит резко выраженный н е с т а ц и о н а р н ы й х а р а к т е р , при котором на сравнительно коротком участке очень быстро распространяется волна возущения и происходит резкое изменение параметров потока во времени. В рассматриваемом случае при прорыве плотины (створ П — П на рис. 10.18) из водохранилища глубиной Я в верхнем бьефе ,п — —77? V - — — ~ „it: Рис. 10.18. Профиль свободной поверхности при разрушении плотины. f2\ А а; -S / / ! / / / / / / j / '/7/ /, возникает обратная отрицательная волна (волна излива, см. рис. 10.4), а- в нижнем бьефе — прямая положительная волна (волна наполнения, см. рис. 10.1). Основной задачей гидравлического расчета неустановившегося движения при прорыве плотины является определение изменения во времени основных элементов движения потока по длине верхнего и нижнего бьефов. В литературе известны различные предложения по решению данной задачи. Остановимся ниже лишь на использовании у р а в н е н и й С е н - В е н а н а для наиболее простого случая, когда русло имеет широкую прямоугольную форму сечения, а уклон дна и уклон трения принимаются равными нулю. Этот случай, решенный самим Сен-Венаном, характеризуется условиями: i = 0; со = В/г; h = Q2/K2 (10.92) 0. Подставляя соотношения (10.92) в уравнения (10.35), получаем систему дифференциальных уравнений в виде: dv/dt + v dv/ds + g dh/ds dh/dt + v dh/ds + h dv/ds = 0. } (10.93) При решении этих уравнений в качестве независимых переменных принимаются t и /г, а неизвестными функциями будут v = = fi (t, h) и s — f2 (t, h). Решение системы (10.93) осуществляется обычными приемами' математики [37]. Не останавливаясь здесь на этой чисто математической стороне вопроса ограничимся лишь -299 пояснением окончательных результатов решения, которые1 дают следующие расчетные зависимости: ~ О = о0± (10.94) с = wo ± (3 л/gh - 2 л/gho), (10.95) s = h ± ( 3 У£Л2<yjgh 0 )]t +№,. (10.96) где ho и Vo — соответственно глубина и средняя скорость установившегося движения в начальный момент времени; h = hQ ± | — высота положения рассматриваемой точки при неустановившемся движении, т. е. той точки, где измеряется скорость с'; /(£) —некоторая произвольная функция от высоты «лба» волны | (см. рис. 10.5). Выражением (10.94) определяется средняя скорость течения при неустановившемся движении, уравнением (10.95)—скорость перемещения любой точки «лба» волны в зависимости от ее высотного положения. Формула (10.96) дает возможность определить путь, проходимый отдельными точками «лба» волны в течение данного промежутка времени,-и, следовательно, построить очертание волны в данный момент времени. Каждое из трех уравнений имеет два решения, из которых одному в формулах (10.94) — (10.96) отвечает знак плюс, а другому — знак минус. Первое решение определяет собой волну, распространяющуюся вниз по течению (прямая волна), а второе — волну, распространяющуюся вверх по течению (обратная волна). Как прямая, так и обратная волна может быть и положительной ( | > 0) и отрицательной ( | < 0). Ранее при описании типов волн перемещения отмечалось, что положительная волна имеет крутой «лоб» (см.. рис. 10.1), поэтому его практически можно принять вертикальным. Для отрицательной волны (см. рис. 10.4) «лоб» волны оказывается достаточно пологим, причем в различных точках линии «лба» имеем разную скорость с С р е д н ю ю скорость с', относящуюся к разным точкам линии «лба» волны, называют волновой скоростью с. В практических расчетах часто требуется знать волновую скорость с, которая может быть найдена из такого соотношения: с = \ц\с'й1. (10.97) о Подставляя в (10.97) выражение для с' по (10.95) и выполняя интегрирование, получим формулу И. В. Егиазарова [40] с = о 0 ± < \ Ж ( 1 +3ША0). (10.98) Если высота волны сравнительно невелика (£ С 0,10 Ао), то в формуле (10.98) можно пренебречь членом, содержащим В этом случае формула для определения волновой скорости принимает вид c = v0±^/gha. (10.99) -300 Если предположить, что волна с небольшой высотой распространяется в п о к о я щ е й с я жидкости (уо = 0), то формула для определения скорости распространения волны приводится к формуле Лагранжа c = ±ViA 0 . (lo.ioo) Все вышеуказанные формулы для с даны в предположении положительной волны; если волна будет отрицательной, то в этих формулах величину g следует считать отрицательной. В рассматриваемом решении предполагается, что русло, в котором распространяется волна, имеет прямоугольную форму поперечного сечения. Если волна распространяется не в прямоугольном, а в призматическом русле иной формы сечения, то в формулах для определения скорости распространения волны ho заменяют отношением а>о/В', где соо — первоначальная площадь живого сечения до возникновения неустановившегося движения, а В' — ширина живого сечения на высоте половины волны. Опыты показывают, что силы сопротивления оказывают весьма незначительное влияние на скорость распространения волны перемещения. Поэтому формулы для с, полученные выше для идеальной жидкости (без учета силы сопротивления) могут иметь практическое применение в естественных руслах. По волновой скорости с можно' вычислить волновой расход AQ = Q — Q0 = Blc, (10.101) I = AQ/Bc = (Q - Q0)/Bc; (10.102) откуда высота волны здесь В — ширина прямоугольного русла; для призматического русла другой формы сечения принимается В = В'. Располагая зависимостями (10.94) — (10.102), можно решать , различные практически важные задачи. Вернемся к рассмотрению задачи о расчете неустановившегося движения при Прорыве плотины (см. рис. 10.18). Поскольку вода в водохранилище до разрушения плотины имеет нулевую скорость, т. е. Vo = 0, средняя скорость волны, излива, согласно выражению (10.94), будет равна v = 2^gH -2^/gh; (10.103) зависимость (10.95) для скорости распространения точек «лба» волны принимает вид с' = 3 xj~gh — 2 VffH; (10.104) так как скорость с' имеет отрицательное направление, то путь, проходимый отдельными точками «лба» волны, согласно (10.96), записывается в виде = (10.105) -301 где h—глубина профиля волны; t — время, прошедшее с момента разрушения плотины; s — расстояние, измеряемое от плотины. Для нулевого створа (s = 0) при полном разрушении плотины уравнение (10.105) принимает вид 2 = (10.106) h = ha = 4 / 0 Я. (10.107) откуда Значение глубины hn сохраняется неизменным в течение всего времени излива и в точке А на рис. 10.18 поддерживается постоянный уровень, через который проходят все кривые свободной поверхности в различные моменты времени. В начальный момент, согласно (10.104), скорость распространения гребня волны излива (при h — Я) составляет cT = «JgHy а скорость распространения гребня волны наполнения (при h — 0) будет сг = 2 У g l i . Уравнение (10.105) представляет параболу с вертикальной осью и вершиной у дна водотока. На рис. 10.18 показано положение свободной поверхности потока для двух моментов времени t\ (линия BAD) и U (линия B'A'D'), рассчитанное по (10.105). Вследствие трения в нижнем бьефе реки, влияние которого особенно ощутимо при сравнительно небольших глубинах воды, профиль свободной поверхности будет отличаться от рассчитанного; его очертание показано на рис. 10.18 пунктирной линией. Этот профиль имеет закругленный «лоб» в низовом конце, образующий валец. Как видно из рис. 10.18, с увеличением времени от момента разрушения плотины длина волны увеличивается и происходит выравнивание свободной поверхности, в результате которогоуклон водной поверхности уменьшается. Пренебрежение силамк трения при распространении волны вдоль бьефов становится грубым допущением. Поэтому дальнейшие расчеты неустановившегося движения воды в бьефах должны выполняться методами,, рассмотренными ранее для медленно изменяющегося неустановившегося движения с учетом влияния сил трения. Расход воды Q в момент разрушения плотины по предложению И. Франка можно найти, если предположить, что в момент разрушения глубина в нижнем бьефе устанавливается равной критической глубине, т. е. hn — hK. Тогда, согласно (10.107) и (6.25), можно принять К = 4А Я = $Q2/(gB>), (10.108) Q = 0,935 НЧг, (10.109); откуда где Я — ширина бреши. -302 Аналогичную зависимость для определения расхода воды в момент разрушения плотины можно получить, если воспользоваться формулой (10.103) для средней скорости при волновом движении, а живое сечение потока в момент разрушения плотины = 0) принять равным Bhn. Действительно, с учетом (10.107), будем иметь Q = v a = 2 ^ g { ^ H - - y / V J { ) B % H = 0,93BH 4 \ (10.110) 10.11. Рекомендации к выбору метода расчета неустановившегося движения воды в реках Рассмотренный выше краткий обзор традиционных методов расчета неустановившегося движения показывает, что имеется большое количество приемов для решения этой задачи. Однако наличие методов расчета еще не гарантирует успех в решении конкретной практической задачи, так как применение их на практике связано с целым рядом осложняющих обстоятельств. Первое такое обстоятельство заключается в недостаточной полноте и малой точности имеющихся обычно исходных данных для расчетов — как по морфометрии русла и особенно поймы, так и (в еще большей степени) — по гидравлическим сопротивлениям для открытого русла и для зимних условий. Кроме того, расчеты распространения волн попусков и паводков затрудняются отсутствием достаточно полных представлений о физической картине процесса неустановившегося движения воды в сложных условиях естественных русел, что особенно важно для случаев, когда существенно влияние поймы, зимних условий и, возможно, переменного подпора. Таким образом, успешное решение практических вопросов, связанных с расчетами неустановившегося движения воды в реках, все в большей степени зависит не только от разработки теории и методов расчета, но и от того, как будут применяться существующие методы расчета. Поэтому в последнее время центр тяжести данной проблемы все больше перемещается в область разработки оптимальных способов подготовки исходных данных, наилучшим образом учитывающих специфику явления и позволяющих проводить расчеты на основе одномерных уравнений СенВенана или с помощью упрощенных методов. Не менее важной задачей является приведение в систему, апробация и оценка возможностей и ограничений области применения существующих методов с целью разработки рекомендаций о том, когда имеет смысл использовать тот или иной метод и как задавать исходные данные для расчетов. Эти рекомендации должны определяться как свойствами методов, так и спецификой объекта и поставленной задачи, требуемой точностью расчета, •совокупностью имеющихся исходных данных и их точностью и надежностью, наличием материалов наблюдений над неустано-303 вившимся движением и т. д. Успешная попытка составления таких рекомендаций принадлежит М. С. Грушевскому [12]. Его рекомендации получили широкое распространение в проектных, научно-исследовательских и сетевых подразделениях Госкомгидромета. Ввиду сложности вопросов расчета неустановившегося движения и многообразия возникающих задач для выбора метода расчета необходимо выяснить: а) характер явления — вид неустановившегося движения (попуски, паводки или половодья, сгонно-нагонные явления, приливы-отливы) и его интенсивность, которую можно выразить через интенсивность изменения расхода, отнесенную к какому-то осредненному расходу или к его начальному значению; б) влияние различных факторов естественных русел (поймы, зимнего режима, притоков, фильтрации в почвогрунты, переменного подпора, резких изменений живых сечений, крутых поворотов русла и т. д.); в) требования к решению задачи — решается прямая или обратная задача; нужен полный или частичный расчет; какая нужна детальность, точность и надежность результатов расчета; каковы сроки расчетов и возможности использования ЭВМ; г) наличие, полноту и надежность исходных материалов для расчета — детальных данных по морфометрии русла (поперечные сечения, план в изобатах, продольные профили) и его пропускной способности (кривые расходов или кривые объемов); материалов наблюдений над уровнями и расходами при неустановившемся движении, начальных и граничных условий. Поясним понятия прямой и обратной задачи. К прямой относится задача расчета неустановившегся движения воды, в которой по заданным начальным и граничным условиям, морфометрическим и гидравлическим характеристикам рассчитывается неустановившееся движение воды в пределах бьефа. Из обратных задач наиболее важным является определение (или уточнение) морфометрических и гидравлических характеристик русла по заданным начальным и граничным условиям и по известным данным наблюдений, например за ходом уровней в нескольких створах. Это, собственно говоря, задача строгого задания (выбора) значений расчетных параметров при наличии материалов наблюдений над неустановившимся движением воды. Обратные задачи более сложные и менее изученные, чем прямая задача. Собрав все указанные сведения, можно решать, какие именно расчетные характеристики подлежат определению и с какой детальностью и точностью целесообразно их вычислять. В соответствии с этим можно выбрать подходящий метод расчета, решить не требуется ли постановка специальных натурных наблюдений над неустановившимся режимом (хотя бы над ходом уровней), если речь идет о действующем (а не проектируемом) объекте; а также решить вопрос о целесообразности постановки лабораторных исследований. -304 При лабораторном исследовании неустановившегося движения воды в определенном масштабе создается гидравлическая модель объекта, на которой при интересующих случаях - неустановившегося движения (обычно задаваемых в форме входного гидрографа) может быть выявлена специфика явления на данном участке конкретного русла. Как видно из изложенного выше, решение уравнений неустановившегося движения (10.35) требует довольно обширной информации о морфометрических и гидравлических характеристиках русла, а также о начальных и граничных условиях. Поэтому специалисты стремятся отыскать более простые методы расчета. В частности, В. В. Коваленко [24] предложил оригинальный подход к решению задачи, основная идея которого заключается в упрощении уравнений (10.35) за счет инструментального получения и использования более детальной информации о явлении в рассматриваемом створе, чем обычно имеется в распоряжении расчетчика. Кроме обычно имеющихся данных о явлении и характеристиках русла, он предложил также измерять поверхностный уклон в рассматриваемом створе. Использование таких данных позволило В. В. Коваленко перейти от уравнений (10.35) в частных производных к одному уравнению в полных производных, отнесенному к данному створу. При этом исключаются изменения -переменных по координате и остаются только функции времени. Таким образом, полученное уравнение можно использовать для решения ряда гидрометрических и гидравлических задач — косвенного измерения расхода воды, экстраполяции и интерполяции расходов, к определению гидравлических сопротивлений путем решения обратной задачи. Однако метод этот не прошел еще полной апробации натурными данными. '20 Заказ № 33 Глава одиннадцатая ДВИЖЕНИЕ ПОТОКА С ПЕРЕМЕННЫМ РАСХОДОМ П Л . Предварительные указания В инженерной практике часто встречаются случаи н е р а в номерного движения жидкости, с переменным в д о л ь п о т о к а р а с х о д о м в о д ы . В реках изменение расхода вдоль пути может вызываться различными причинами: боковой приточностью, инфильтрацией в грунт, водозабором, сбросом воды и т. д. К этому случаю можно отнести непрерывную раздачу и сбор расхода воды в трубах, боковые водосливы,-а также каналы оросительной сети и каналы водосборно-сбросной и дренажной сети. В последние годы поиски решений подобных задач привлекают все большее внимание, хотя теория движения жидкости с переменным по пути расходом еще не получила своего полного развития. Основные закономерности движения жидкости с переменным расходом были установлены нашими советскими учеными В. М. Маккавеевым и И. М. Коноваловым, Я. Г. Ненько, А. Н. Патрашевым. В дальнейшем их идеи получили развитие в работах Г, А. Петрова, П. Г. Киселева, А. И. Егорова, К. Ш. Латипова и М. Шаюсупова и др. Однако в учебной литературе этот вопрос освещен слабо. Некоторые сведения по нему можно найти в работах [1, 27, 28, 36]. В гидравлике в основу вывода уравнений движения потока с переменным расходом положены идеи И. В. Мещерского о движении тела с переменной массой. Уравнение динамического равновесия для такого тела записывается в виде = F+ + (11.1) где т — масса тела, двужущегося в момент времени t со скоростью v; dtni — добавочная масса, присоединившаяся к телу за время dt с проекцией скорости на направление движения, равной vi; dm2 — отделившаяся масса за тот же промежуток времени с соответствующей проекцией скорости v2\ F — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тело. Уравнение динамического равновесия для тела переменной массы отличается от такового же для постоянной массы главным образом учетом потерь энергии на так называемое «смешение» масс. В потоке жидкости эти потери могут значительно превышать потери на преодоление обычных гидравлических сопротивлений, вызываемых внутренним трением. Физически значительные потери на смешение объясняются гашением относительной ско-306 рости присоединяемой (или отделяемой) к потоку массы за счет непрерывного перемешивания потоков с разными скоростями. Отметим, что потери энергии на трение при турбулентном режиме движения также связаны с перемешиванием массы внутри рассматриваемого потока, поэтому принятые термины — потери на «смешение» масс и потери на «трение» только формально разделяют потери энергии на два вида. Далее при выводе общего уравнения движения жидкий поток представляется разделенным на весьма большое число элементарных струек с переменным расходом в каждой из них. Такая схема предусматривает изменение общего расхода потока не за счет добавления (уменьшения) количества струек, а за счет увеличения (или уменьшения) расхода в существующих струйках. Эффект этот можно сравнить как бы с расширением (или сужением) струек. Принятая модель движения , позволяет наиболее полно учесть потери внутри потока жидкости, при перемешивании массы. 11.2. Уравнение движения потока жидкости с переменным расходом Предположим, что поток жидкости с переменным расходом состоит из большого постоянного числа элементарных струек, Рис. 11.1. Отрезок элементарной струйки жидкости. в каждой из которых закон изменения расхода различен. Напомним, что элементарная струйка характеризуется весьма малым поперечным сечением. Рассмотрим в момент времени t отрезок элементарной струйки длиной As (рис. 11.1) и составим для нее уравнение динамического равновесия (11.1). Предположим, что в выделенной струйке идет непрерывное изменение расхода q, который можно выразить так: q = <7о + <71 — (И-2) где <7о — начальный постоянный расход, q\ — присоединившийся расход, qi — отделившийся расход к моменту времени t. Обозначим среднюю площадь сечения выделенного элемента струйки До, тогда его масса будет равна m = pAo>As, (11-3) где р — плотность жидкости. 9.0* 307 Присоединение массы к элементу и отделение массы от него может происходить только через боковую поверхность площадью %As. Предположим, что смоченный периметр элемента " / = + + %2, где xi — смоченный периметр, через который поступает масса т \ , а Х2 — смоченный периметр, через который отделяется масса т 2 . Так как масса в отрезке элементарной струйки изменяется непрерывно, то непрерывно изменяются и mi и т2. Присоединенная за промежуток времени Af масса будет равна Ami = р и / Л As At, (11.4) где иП[ —проекция скорости присоединившейся массы на нормаль к направлению движения жидкости. Отделившаяся за промежуток времени Д^ масса будет равна Д т 2 = pun2%2As At, (11-5) где Un2 — проекция скорости этой массы на нормаль к направлению движения. Разделив выражения (11.4) и (11.5) на Д^ и переходя к пределам, получим dm.ildt = рмге,Х, As (11-6) dm2/dt = p«„2X2As, 01-7) и где ««XiH « Л Д2 — боковые расходы на единицу длины элемента. Следовательно Мп.Хч = dqjds (11.8) и иПгХ2 = dqjds. (11.9) После подстановки значений (11.8) и (11.9) в (11.6) и (11.7) будем иметь: dmvldt = p(dqi/ds)As (11.10) и dm2jdt = р (dq2/ds) As. (11.11) Внешние силы, действующие на выделенный отрезок элементарной струйки, слагаются из поверхностного давления, сил тяv жести и сил трения. Из сил давления на направление движения будут проектироваться только силы давления на торцевые сечения выделенного элемента. Силы давления, действующие со стороны окружающей жидкости на боковую поверхность струйки, перпендикулярны к перемещению частиц жидкости и в проекции дают ноль. Если гидродинамическое давление в центре верхнего сечения струйки призов нять равным р (см. рис. 11.1), то в центре нижнего сечения оно будет Р+ -%-As. Проекция сил давления на ось движения равна - ^ - А ш Л s. (11.12) Сила тяжести, действующая на выделенный элемент (см. рис. 11.1), равна pgAcoAs, а ее проекция на ось движения записывается в виде pg Асо As sin 0 , (11.13) sin 0 = — d z f d s . (П-14) где С учетом в виде (11.14) проекцию силы тяжести можно записать — p g Асо A s dz/ds, (11.15) где z — возвышение центра тяжести сечения струйки над плоскостью сравнения ОО. Пусть на единицу боковой поверхности элементарной струйки действует единичная сила трения т (касательное напряжение трения), тогда проекция равнодействующей силы трения будет равна —xXAs. (11.16) Таким образом, сумма проекций внешних сил равна F = — - ^ - A c o A S — pgAcoAs-j|p _ T X A s . (11-17) Подставив в уравнение (11.1) значения его членов по выражениям (11.3), (11.10), (11.11) и (11.17), получим р Асо A s - ^ j - — §J-AcoAs — p g A t o A s - ^ - — — TXAs + p(u, — m ) - ^ - A s + p ( m - « 2 ) - ^ - A s , (11.18) где и — средняя скорость выделенного элемента, одинаковая по всему сечению струйки; щ и «2 — проекции на ось движения соответствующих скоростей присоединившейся и отделившейся масс. -309 Сократим все члены уравнения (11.18) на р, Д о и As, т. е. отнесем их к массе рассматриваемого отрезка элементарной струйки, и разделим на g: 1 g du dt . 1 pg dp ds . dz "г" ds . . тХ ' pgAco . ' (и—Mi) gAco dqi ds (11.19) = Полные производные в уравнении частные: du dt du dt , dqi ds dq i ds 1 dq2 _ ds dq2 ds , dq2 ' dt 1 du ds . ds dt (11.19) выразим через du dt dqx dt dt ds dqt ds 1 d qi (11.21) 1 и dq2 dt (11.22) и dt _ d<}2 ds ds 1 dt После подстановки (11.20), (11.21) и (11.22) в (11.19) получим 1 ди dt , 1 ' g du ds , (u — Mi) • g« Дш , 1 ' pg dqi dt dp ds , dz | ' ds ~ (u — u2) g Дм , (и — щ) gAco dqt ds (u — u2) gu Aco dq2 _q dt * * тХ PgAco dq2 ds Л123) ' Проинтегрируем уравнение (11.23) no s: "-Lf-1" g J dt g <fe +r _ L f O - P ' ) g J Aw г (1-р,)я J Аю d 1,1 _ l S > <3if d s r g J - - L f 0-Р») g J A<b До 42 1+ + ^ 2g ^ pg + г + hf = const, ^ (11.24) где Pi = ui/u и $2 = u2/u. Значение hf= J [x%/(pg A to)] ds —- потери напора на трение. Выражение (11.24) является о б щ и м у р а в н е н и е м д в и ж е н и я элементарной струйки ж и д к о с т и с переменным расходом. Для установившегося движения уравнение (11.24) принимает вид _L Г SLzhlJLda а g i А» * 1 Т ) f (t —Рг)и d q Ш + 2-+Af = const. 2d + , _«!._£, 2 g ^ p g + (11.25) Из уравнения (11.2) следует, что dq = dqx — dq2. -310 (11.26) . В инженерной практике чаще всего встречаются случаи, когда имеет место или только. присоединение, или только отделение расхода, т. е. dq = dq{ или dq = —dq2. (11.27) В этом случае уравнение (11.25) можно записать в следующем виде: где dq=dqi и P = Pi в случае притока и dq=—dqz и Р = Р г при оттоке жидкости. При постоянном расходе струйки dq = 0. Это возможно, когда dqt = dq2 (11.29) или ' d<7, = 0 и dq2 = 0. (11.30) Первое условие характеризуется постоянным расходом струйки, но непрерывным обменом жидкости с соседними струйками, что в некоторой степени аналогично обмену при турбулентном режиме движения. Второе условие указывает на постоянный расход без всякого обмена. Для случая постоянного расхода струйки уравнение (11.25) принимает обычный вид уравнения Бернулли " 2 /(2g) + pl(pg) + 2 -¥ hf — const. (11.31) Полученные выше уравнения для элементарной струйки можно применить к потоку жидкости, если предположить, что присоединение или отделение расхода распределено достаточно равномерно по всему живому сечению потока. Ограничимся здесь рассмотрением только случая установившегося движения жидкости. Уравнения (11.2) и (11.26) принимают вид: Q = Qo + Q , - Q 2 (11.32) dQ = dQ,~dQ2, (11.33) и где Qo — начальный, постоянный расход потока; Qi — расход присоединившейся, a Q2 — расход отделившейся жидкости. Используя понятие средней скорости v и принимая для упрощения корректив скорости а = 1 , вместо уравнения (11.28) получим следующее: _l_ f ( 1 - В ) Р (Ц.34) + А const> g J M 1 2g 1 pg r v > где со — площадь поперечного сечения потока; dQ = dQ\ и (3 = pi при присоединении расхода и dQ = —dQ2 и р = р2 при отделении расхода. -311 Полученное у р а в н е н и е д в и ж е н и я ж и д к о с т и с п е р е м е н н ы м р а с х о д о м применимо как для напорного, так и для безнапорного (открытого) потока. 11.3. Движение жидкости с переменным расходом в трубах постоянного диаметра Рассмотрим установившееся движение потока жидкости с переменным расходом в трубе постоянного диаметра. Для простоты будем полагать, что в трубе происходит только присоединение расхода или только отделение его. Кроме того, будем рассматривать достаточно равномерное присоединение (или отделение) массы по сечению потока, для которого применимо выведенное И. К. Коноваловым уравнение (11.34). Случай движения жидкости в трубе постоянного диаметра с равномерно изменяющимся расходом по пути наиболее простой, но довольно широко распространен в инженерной практике. Примером такого движения является непрерывная раздача воды в водопроводной сети или сбор ее канализационной системой. Рассмотрим общий случай, не зависимо от того, каким способом осуществляется равномерное присоединение дополнительного расхода или отделение его по длине потока. Так как расход в любом сечении трубы равен сои, то dQ = adv. (11.35) После подстановки (11,35) в уравнение (11.34) получим - i - j (1 _ р) 0 d o + + z+ = const. (11.36) Если в уравнении (11.36) принять р постоянной по всей длине трубопровода, то величину ( 1 — Р ) можно вынести за знак интеграла и представить (11.36) в дифференциальной форме: (2 — р) v dv/g + dz' + dhf = 0, (11.37) где z' — потенциальный напор, являющийся мерой удельной потенциальной энергии. Примем в первом приближении dhf = {Q2IK2) ds, (11.38) где К — модуль расхода. Уравнение (11.37) с учетом выражения (11.38) принимает вид (2 - р) v dv/g + dz' + (Q2/K2) ds = 0. (11.39) Ниже рассмотрим интегрирование полученного уравнения. Пусть имеется труба с постоянной по длине s площадью сечения со (рис. 11.2). Расход в начальном сечении Qi задан. Через боковые стенки трубы в нее по пути равномерно поступает (вытекает) расход, равный величине q на 1 м погонной длины. При -312 этих условиях расход в любом сечении трубы на расстоянии s от начального будет равен Q = Ql + qs. (11.40) Выражая в уравнении (11.39) среднюю скорость v через расход по (11.40), dv из (11.35) и принимая dQ = qds, решим его относительно теряемого потенциального напора' на участке длиной s — S2 — Si: -dz'= (Q2/K2)ds + [(2-V)QI(g<*2)]qds. (11.41) к Р i пьезометрическая линия j Рис. 11.2. Схема движения потока с переменным расходом. Проинтегрировав (11.41) по s с учетом получим Z\—Z2-- Q2 - Q i 3 дК2 (2-Р) 2 g a 2 выражения (Qt — Ql), (11.40) у (11.42) где zi и Z2 — потенциальный напор соответственно в начальном и конечном сечениях (см. рис. 11.2); Q2— расход в конечном сечении, который, согласно (11.40), равен Q2 = Q: + qs. (11.43) Величина q в уравнениях (11.42) и (11.43) при боковом притоке является положительной, при оттоке — отрицательной. В случае присоединения (отделения) расхода к трубе через боковые поверхности нормально к оси движения проекции скорости притока щ == 0 (или для ,оттока и2 = 0), при этом р = О, уравнение (11.42) принимает вид z\ — z'2 = (Qs — Q?)/( 3qK2) + (Ql - Ql)/{gu). (11.44) При отделении расхода в трубе, когда проекцию скорости оттока можно принять равной скорости основного потока и2 = иг Р = 1, уравнение (11.42) принимает вид г\ - z2 = (Ql - Qb/(3qK2) + (Ql- (11 -45) 313. Модуль расхода К, входящий в уравнения (11.44) и (11.45), не зависит от длины рассматриваемого участка, а зависит от диаметра трубы d и коэффициента шероховатости п; она рассчитывается по формуле (5.45): К = а>Сл/Я, тде R — гидравлический радиус потока; С — коэффициент Шези. Формулы (11.44) и (11.45) могут быть применены к расчету водопроводных труб с непрерывной раздачей или присоединением расхода воды. 11.4. Дифференциальное уравнение движения жидкости с переменным расходом в открытом непризматическом русле Рассмотрим установившееся неравномерное движение воды s открытом непризматическоус русле. Будем считать его плавно изменяющимся. Рис. 11.3. К выводу уравнения (11.57). Напомним, что в случае непризматического русла площадь •поперечного сечения потока со является функцией двух переменных— глубины потока h и расстояния s, отсчитываемого по длине потока от некоторого «начального» сечения: ® = f(h,s). :Кроме того, при плавно изменяющемся движении местные потери энергии (напора), связанные с деформацией потока, отсутствуют, а имеют место лишь потери энергии на трение по длине потока. С целью упрощения задачи ограничимся рассмотрением потока только с возрастающим или только убывающим расходом по пути, поскольку этот случай охватывает почти все возможные .задачи инженерной гидравлической практики. Для вывода уравнения движения с переменным расходом воспользуемся уравнением (11.34), справедливым при достаточно равномерном присоединении (или отделении) массы по сечению яотока. Рассмотрим продольный разрез потока (рис. 11.3). Наметим горизонтальную плоскость сравнения ОО. При плавно изменяющемся движении под координатой z в уравнении (11.34) можно подразумевать координату любой точки живого сечения, •отсчитываемую от некоторой горизонтальной плоскости. В усло-314 1229. виях открытого потока ее удобно относить к точкам, расположенным на свободной поверхности. Избыточное давление р в этих; точках принимается равным нулю. Дифференцируя уравнение (11.34), с учетом принятых допущений получим • ( 1 - Р ) » щ+JUbL + to + A2Tds = 0, (11.46) где dhf записано по (11.38). Разделим все члены уравнения (11.46) на ds: ;(1-P)„ QL = ga> 1 ds g ds ds 1 К2 0, (1L47> K ' 2 2 Вспоминая, что dz/ds — —J (см. п. 6.5) й выражая Q /K по(6.37), после несложных преобразований и перегруппировки слагаемых в (11.47) запишем: J ds \2g C2R + J^ gco ds ' in.wj" Присутствием последнего члена, учитывающего изменение расхода вдоль потока,-уравнение (11.48) отличается от полученного* выше (см. п. 6.5) уравнения неравномерного движения (6.29). В конечных разностях уравнение (11.48) имеет вид +1 2gL C2R Q «L7 Q . g® , (11.49)) где v\ и v2, Qi и Q2 — соответственно средние скорости и расходы: в верхнем и нижнем створах водотока; L — длина участка; черта сверху над параметрами v, С, R и со обозначают осреднение по* участку; / — у к л о н водной поверхности. . -. Отметим, что уравнение неравномерного движения в форме (11.49) было использовано Д. Е. Скородумовым [34] в речной; гидрометрии при экстраполяции кривых уклонов водной поверхности для пойменных русел. Подчеркнем, что в уравнении (11.48) как и в уравнении (6.29), все потери напора на рассматриваемом участке выражаются членом vz/(CzR), т. е. гидравлические сопротивления учитываются посредством коэффициента Шези С, что* представляет лишь некоторое приближение. Продолжим анализ уравнения (11.47). Выражая в нем среднюю скорость потока v через расход воды Q и площадь сечения со, запишем: (i-P)Q ^ / & A + * L + (11.50) + = gw2 ds ' gco ds \ ш ] 1 ds ' К2 x Обратимся к продольному разрезу потока на рис. 11.3. Координата z = у -\-h, следовательно: dz^dy+dh, (11.51) где у — возвышение h — глубина потока. линии дна над плоскостью сравнения ОО, Разделив все члены выражения (11.51) на ds, получим где i — уклон дна водотока. Величина d ( Q\__ ds V <в / Для тельно: русла 1 dQ со ds непризматической _Q__d©_ со2 ds ' П1 ' формы a = f(h,s), da I Зм d/г. dco , ds ~ ds ' <?/z "ds - " - ds da следова- dh' p ,o\ ,n (H.&4) где В — da/dh — ширина потока поверху (см. рис. 6.2). Подставляя выражения (11.52) — (11.54) в уравнение (11.50), получим (1 — Р) Q ga2 dQ , ds ^ , Q ga2 dh ds Q2 ( da ga3 \ ds dQ ds . , . 0 dh Q2 = 0. K2 1 (11.55) Раскрывая в (11.55) скобки и приводя подобные члены, запишем ds \ g а3 / К2 ga3 ga2 ds ds v ' Отсюда получаем о с н о в н о е у р а в н е н и е н е р а в н о м е р ного д в и ж е н и я жидкости с переменным расходом д л я о т к р ы т о г о п о т о к а в н е п р и з м а т и ч е с к о м русле: Q2 (2 — Р) Q dQ , Q2 дсо 1 dh ЧГ~ a2C2R ga2 • Q* g ga3 ds ds в a3 Для случая призматических русел (da/ds = 0) получим . Q2 (2 — Р) Q dQ dh ds a2C2R j ga2 Q В g <в3 2 ds n . -_v l11-*'' ^jj gg^ Уравнение (11.57) является общим для открытых потоков.' Уравнение (6.39) неравномерного движения при Q = const может быть получено из него как частный случай. Отметим, что для естественных потоков производная площади поперечного сечения по продольной координате da/ds в общем случае не может быть выражена аналитически, а поэтому расчеты выполняют по фрагментам, подобно тому, как это делают при построении кривых свободной поверхности речных потоков (о чем сказано в гл. 7). -316 ' Остановимся ниже на основных свойствах полученного уравнения (11.58). Приравняем нулю знаменатель в уравнении (11.58): 1 — g o- 46 - = 0. \(11.59) ./ Выражению (11.59), как известно, соответствует критическая глубина в потоке; при этом уравнение (11.58) будет отвечать условию dhjds = ± о о . (11.60) Таким образом, при переменном расходе, так же как и при постоянном, имеет место критическая глубина, характеризующая наличие минимума удельной энергии. Движение потока с переменным расходом может быть как бурное, так и спокойное, возможна смена состояний движения. Приравняем нулю числитель в уравнении (11.58): Так как при этом dh/ds обращается в нуль, то h = const и уравнение (11.61) выражает соотношение между гидравлическими элементами в потоке при постоянной глубине. Это означает, что равномерное движение с переменным расходом невозможно даже в русле призматической формы, так как,, хотя h и остается постоянной, но вследствие изменения расхода изменяется скорость по длине потока. Действительно, выражение для средней скорости из (11.61) записывается в виде И только если d<a/ds = 0 и dQ/ds = 0, то уравнение (11.61) превращается в уравнение равномерного движения: i - Q7(co2C2tf) = 0, (11.63> откуда для расхода получаем известную формулу Шези (5.4). 11.5. Формы свободной поверхности в открытом русле при движении жидкости с переменным расходом При движении потока с изменяющимся расходом вдоль пути формы свободной поверхности весьма разнообразны и зависят от количественного соотношения действующих сил и внешних: условий (уклона дна, изменения поперечного профиля русла подлине, гидравлических условий нижнего бьефа и пр.). Типы кривых свободной поверхности в основном здесь те же, что и для случая движения потока с постоянным расходом (подробно рассмотрены в п. 6.6). 1231. Однако особенностью движения потока с переменной массой является изменение вдоль пути соотношения между гидравлическими элементами на отдельных участках (при сохранении постоянного уклона дна), которое зависит только от закона изменения расхода. Вследствие отмеченного обстоятельства при одном и том же уклоне дна вдоль потока могут существовать различные формы свободной поверхности, например, сопряжение кривой Я — _ ^-<0 Рис. 11.4. Формы кривых свободной поверхности в случае присоединения расхода по пути. •a) [«f + ( 2 - f l ) Q | g o > 2 d Q | d s ] ; б) I < [if + ( 2 - Р ) Q | ga1 dQ | ds]. l> Рис. 11.5. Формы кривых свободной поверхности в случае по пути. a) if < [ ' + ( 2 - Р ) Q I ga' dQ \ ds]; отделения расхода б) if > [i + ( 2 - P ) : Q I gco2 dQ | d s ] , подпора с кривой спада. При движении потока с постоянным расходом и сохранении постоянного уклона дна такой переход свободной поверхности от одной формы к другой невозможен. Для анализа ф о р м к р и в ы х с в о б о д н о й п о в е р х н о с т и может быть использовано уравнение (11.57) для открытого потока в непризматическом русле или уравнение (11.58) в случае призматического русла. Рассмотрим в качестве примера несколько форм кривых свободной поверхности для случая призматического русла (да/ds = 0). Уравнение (11.58) перепишем в виде dh (2-P) Q dQ Q2 В •), (11.64) ds i — if ds К где if = Q2/(a>2c2R) — уклон трения! В предельных условиях возможны dh/ds = 0 и dh/ds — ± оо. При dh/ds = 0 знак производной (dh/ds) может измениться. Значениям dhfds^>0 соответствуют кривые подпора, значениям dh/ds < 0 — кривые спада. Отметим, что для переменного расхода критическая глубина кк также переменна по длине. На рис. 11.4 представлены формы свободной поверхности для русел прямоугольной формы с прямым уклоном дна (i > 0) -318 в случае равномерного присоединения расхода вдоль пути, а на? рис. 11.5 при непрерывной равномерной раздаче расхода. Более полный анализ форм кривых свободной поверхности; можно найти в работах [28, 36]. 11.6. Интегрирование уравнения движения жидкости с переменным расходом и постоянной глубиной потока Большое распространение в практике инженерных расчетов получили задачи о каналах с равномерно изменяющимся: Рис. 11.6. К интегрированию уравнения (11.68). расходом по пути при постоянной глубине. Можно указать на ряд случаев, когда расход равномерно возрастает или убывает. В качестве примера равномерно возрастающего расхода можно назвать задачу о расчете осушительного канала, принимающего воду с достаточно широкого водослива. Примером равномерно убывающего расхода является расчет каналов оросительной сети,, фильтрующих каналов при весьма низком уровне грунтовых вод.. Для равномерно изменяющегося по пути расхода dQ/ds = q = const, вследствие чего уравнение (11.61) записывается в виде . Q2 a2CzR , Q2 dm ( 2 - Р ) Qg = 0. (11.65) gffl* Рассмотрим сначала случай русла призматической формы, для: которого д®/ds = 0 и уравнение (11.65) получает вид g o 3 * d s ^ ш 2 %R % (11.66) При h = const значения С, R и со в уравнении (11.66) постоянные, но Q — переменно. Следовательно, для пропуска переменного расхода по длине канала должен изменяться уклон дна (рис. 11.6). Так как i= —dy/ds, -319 то уравнение (11.66) записывается в виде В (11.67) вместо ds можно записать dQ/q, так как по (11.40) Q = Ql qs и dQ — qds. Тогда вместо (11.67) будем иметь После интегрирования (11.68) рис. 11.6) (при р — const) получим Ql — Qi в пределах от si до s2 (см. Q? — Q? Полученное уравнение (11.69) позволяет при заданной глубине h построить кривую уклона дна призматического русла. В случае боковой приточности, т. е. для положительного q, при отсутствии начального расхода, когда Qi = 0, уравнение (11.69) принимает вид ^ — f - - - а ^ Г О Ч Г + (2 — Р ) - a g s - • (П.70) Профилирование канала с криволинейным уклоном в ряде практических случаев представляет значительные неудобства. Поэтому в инженерной практике прибегают к устройству на небольших участках постоянного среднего уклона, который легко получить из уравнений (11.69) и (11.70). Так, например, из уравнения (11.69) видно, что средний уклон дна канала Ниже рассмотрим решения уравнения (11.65) для русла или канала непризматической формы (dco/ds Ф 0). Наибольший практический интерес при h — const и q = const по длине потока представляют два случая. В одном постоянным принимается уклон дна водотока, а в другом — скорость течения. Для первого случая (при i0 — const) уравнение (11.65) принимает следующий вид: г'п — сosC2R ' S - ^ds- ( 2к - p )' ^gffl- = 0. gcо3 (11.72) В общем виде это уравнение решается только приближенно. При рассмотрении коротких каналов с интенсивным присоединением расхода потерями на трение по длине потока мож:но пренебречь и уравнение (11.72) запишется в виде . -320 + (Ч- 73 ) или, после замены ds=dQlq и некоторых преобразований, da (2 — Р)а> . dQ Q ' r g/ott)3 _ 0 2 п Л 1 7ЛЛ q ~ Решение уравнения (11.74) (при р = const) дает где Qi и (Oi — расход и площадь живого сечения в начальном створе; Qz и сог — расход и площадь живого сечения в конечном створе; Q2 = Qi + sq. В случае присоединения или отделения расхода в канале с нормальными к оси движения скоростями (р = 0) уравнение (11.75) принимает вид Ш] а при р = 1 - S — f c V ' + ^ e S - O - (»•") Полученньге уравнения (11.75) —(11.77) показывают, что конечные размеры площади поперечного сечения канала по всей длине возможны только в случаях, когда подкоренное выражение в них больше нуля. Когда подкоренное выражение стремится к нулю, со стремится к бесконечности. Во втором случае (при vo = const) по формуле расхода имеем © = QAv Следовательно, с учетом принятого ранее условия dQ/ds = q = = const, запишем dco/ds = qjVa = const, откуда следует, что изменение площади сечения по длине остается постоянным за счет изменения уклона дна. После соответствующих замен в (11.65) и некоторых преобразований получим dy/dQ + vl/(C2Rq) + (1 - Р) vlf(gQ) = 0 (11.78) или, пренебрегая потерями на трение по длине для коротких каналов, dy/dQ + (1 - Р) vt/(gQ) = 0. (11.79) Интегрирование (11.79) (при р = const) дает У\ — УГ = (1 — Р) Vo/g In (Q2/ QI), (11.80) где Qi и г/i — расход и отметка дна в начальном створе; Q2 и у2 — расход и отметка дна в конечном створе; Q2 = Qi + SQ19 З а к а з № 33 321 Полученное уравнение (11.80) может быть использовано не только для расчета уклона дна коротких каналов, но и при расчетах боковых водосливов, высота гребня которых (от дна канала) постоянна (С = const) (рис. 11.7). Если в боковом водосливе (3 принять равным единице, то уравнение (11.79) примет вид dy/dQ = 0, откуда, следует, что при h = const и v = const «у» тоже будет постоянным. 6) 1 // 2 >/Щ')/л V / / / & / & / & / / / / / / / / / / / / Рис. 11.8. Сборный (а) и абсорбирующий (б) мелиоративные каналы. Рис. 11.7. Боковой водослив. Таким образом, пренебрегая потерями на трение, можно получить простой способ расчета бокового водослива в канале переменной ширины и постоянной скорости. Расход q в этих условиях может быть определен по формуле q = т -у/2 g Н Чг (11,81) где т — коэффициент расхода бокового водослива, Я — напор над гребнем водослива. С достаточной для практических целей точностью полученные 'решения можно использовать для расчета сборных и поглощающих (абсорбирующих) каналов, у которых расход на один метр длины равен q = k (Я2 - h2)jl, (LI.82) где k — коэффициент фильтрации, Я — отметка грунтовых вод от дна канала и I — действующая ширина осушающей или поглощающей зоны (рис. 11.8). -322 11.7. Интегрирование уравнения движения жидкости с переменным расходом и переменной глубиной потока Ввиду сложности рассматриваемой задачи, ограничимся лишь некоторыми наиболее важными и простыми случаями интегрирования уравнения (11.58), пренебрегая силами трения. Для длинных каналов при наличии незначительного изменения расхода по пути эти решения неприемлемы. При расчетах коротких каналов с интенсивным изменением расхода (поперечные каналы, принимающие и отводящие воду от водослива, боковые водосливы, короткие поглощающие и фильтрующие каналы и др.) приводимые ниже решения могут обеспечить достаточную для практических целей точность. Так, для канала прямоугольного сечения (со = bh) с равномерно изменяющимся по пути расходом (q — dQ/ds = const), пренебрегая силами трения (Q 2 /co 2 C 2 # = 0), уравнение (11.58) после подстановки в него соответствующих значений, принимает вид ~ dh __ igb3hs — (2 — Р) Qqbh ds gb3h3 — Q2b ' Л 1 83) I • / гдеЪ — ширина канала. В (11.83) вместо ds можно записать dQ/q, так как по (11.40) Q == Q0 qs (Q — расход в любом сечении канала, Qo — расход в начальном сечении канала) и dQ = qds. Тогда вместо (11.83) будем иметь 1 q dQ gb2h? - Q2 2 2 dh — igb h — (2 — P) Qqh ' (11.84) Для канала с горизонтальным дном (t = 0) получим dQ __ Q2 — gb2h3 ~dh~ ~~ (2 — P) Qh ' m R ~ I11**®) При p = const уравнение (11.85)—линейное. Рассмотрим ниже его решения для двух значений р. Для Р = 0, когда скорость присоединяющегося или отделяющегося расхода принимается равной нулю, т. е. поток присоединяется или отделяется под прямым углом к основному потоку, решение уравнения (11.85) имеет следующий вид: Qi=Qt^ + ^-(hl-hi), (11.86) где Qi и hi — расход и глубина в начале расчетного участка, Q2 и h2 — расход и глубина в конце участка канала длиною s. 19* 323 Для '/3 = 1, когда скорость присоединяющегося или отделяющегося расхода может быть принята равной средней скорости основного потока (при отделении расхода это часто имеет место), решение уравнения (11.85) имеет вид Qi = Ql {hi/h2f.+ 2gb 2 {h2 - Ai) hi (11.87) В случае Q0 = 0 [dQ/ds > 0) из уравнений (11.86) и (11.87) можно записать выражения для определения расстояния между двумя заданными глубинами: и ! S = / \/~^~+2g{fl2~hi)' ( 1 L 8 9 ) Формулы (11.88) и (11.89) могут быть использованы для построения кривой свободной поверхности потока в коротких каналах, для которых можно пренебречь потерями на трение по длине с интенсивным изменением расхода по длине. Пример. Рассчитать уклон дна оросительного канала трапецеидального сечения, из которого равномерно отделяется расход воды под прямым уклоном к основному потоку (р = 0). Расход в начальном сечении канала Q = 12 м 3 /с,-отметка дна у = 10,0 м, равномерно отделяющийся расход q = —0,001 м 2 /с, ширина канала 6 = 5 м, глубина воды Л = 1,5 м, коэффициент откоса стенок канала т = 1,5, коэффициент шероховатости земляного русла п = 0,025, длина канала s = 1 2 км, расход в конце канала равен нулю. Для решения задачи воспользуемся уравнением (11,69), которое принимает вид У 1 - У 2 = (Q32 - Q?)/(3qK 2 ) + (Ql - Q?)/(g®2), (11 -90) где yi и г/2 — отметки дна в начале и конце расчетного участка; Qi — расход воды в начальном сечении; расход в конце участка лри равномерном отделении по длине равен Q2 = Qi + qs. Подсчитаем модуль расхода К: К = а>Сл/Ц= 10,88 • 40,4 V ^ 0 4 5 = 450 м 3 /с, найдем величину 3qK2 = 3[—0,001)4502 = —610 и величину = 9,81-10,82 2 = 1160. Принимая s = 2, 4, 6, 8, 10 и 12 км, по уравнению (11.90) определяем отметки дна канала по длине, т. е. получаем проектируемый профиль дна канала (см. таблицу). -324 По данным гр. 10 таблицы построен проектируемый криволинейный профиль дна канала (рис. 11.9). Средний уклон дна канала, согласно уравнению (11.71), равен 'ср 2 , 7 0 : 12 000 = 0,000225. Рис. 11.9. Криволинейный профиль дна канала. ' 10 s км Результаты расчетов 5 КМ Q м 3 / с Q2 Q3 QI~Q\ 1 2 3 4 0 12 10 8 6 4 2 144 100 64 36 16 4 1728 1000 512 216 64 8 0 0 0 2 4 6 8 10 12 3qK* gffl2 Графы (7) +48) У м 5 6 7 8 9 10 —728 —488 —296 —152 —56 —8 —44 —36 —28 —20 1,192 0,799 0,485 0,250 0,092 0,013 —0,038 —0,031 —0,024 —0-.017 —0,010 —0,003 1,154 0,763 0,461 0,233 0,082 0,010 10,0 8,85 8,08 7,62 7,39 7,31 7,30 —12 —4 Глава двенадцатая НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРАВЛИКИ слияния, ДЕЛЕНИЯ ПОТОКА И УСТЬЕВЫХ УЧАСТКОВ РЕК 12.1. Предварительные указания В инженерной гидравлической практике встречаются случаи, когда поток в открытом русле делится на части или образуется из соединившихся нескольких потоков. Примером такого движения является п о т о к с д е л е н и е м р а с х о д а при разветвлении канала, слияние притока с потоком основного русла реки, р а з д в о е н и е 4 ( б и ф у р к а ц и я ) русла с последующим соединением и разветвление реки на рукава в дельтах устьевых участков рек. Задачей гидравлического расчета в этих случаях является определение характеристик водного режима потоков, и в первую очередь определение расхода воды и построение кривых свободной поверхности, использование которых позволяет решить целый ряд практически важных вопросов. Сложность решения таких задач, особенно для устьевых областей рек, заключается в том, что режим их формируется под воздействием колебаний речного стока и различных колебаний уровня моря (сгонно-нагонных, приливо-отливных, сезонных и т. д.). В целом картина движения потока в месте руслового разделения и соединения зависит от большого числа переменных факторов: количества разветвляемых и соединяемых русел, углов их пересечения, формы сечения и уклонов русел, направлений течения и расходов потоков, транспорта -наносов и деформации русел, закругленности углов при соединении и т. д. Решение подобных задач в общей постановке представляет собой довольно сложную проблему, поэтому ограничимся рассмотрением этого вопроса для условий квазиустановившегося движения потока (см. п. 10.9) в недеформируемых руслах, свободных ото льда, для некоторых частных случаев. 12.2. Слияние двух потоков Процесс слияния потоков рассмотрим на примере слияния притока с основной рекой [38]. Особый интерес в этом случае представляет продольный профиль соединяющихся потоков в области, на которую этот процесс распространяется. Для расчета профиля потока необходимо определить отметку уровня водной поверхности непосредственно в месте слияния притока и реки, т. е. в створе А—А (рис. 12.1). Решая задачу для спокойного режима движения, местными потерями напора при слиянии потоков можно пренебречь. Расход -326 воды Q 3 ниже узловой точки А в главной реке равен сумме расходов соединяющихся потоков Q3 = Qi + Q2. Начальные условия движения в реке, в пр итоке выше места слияния и в реке ниже слияния принимаются равномерными; им соответствуют глубины ho,, hoi, ho,, уклоны дна A, к, h и коэффициенты шероховатости пи п2, «з- По этим данным, используя формулы равномерного движения, могут быть вычислены расходы Qo,,Qo2 и Q 0 ,. При установившем^ режиме выше места слияния в реке и в притоке образуется неравномерное движение в форме подпора. Рис. 12.1. Слияние притока с рекой. Рис. 12.2. Участок деления потока. пппт открытого тгпппптпититп/тт/ии/// 7777777777777777777777 Ниже узловой точки А в реке движение может быть принято, как и ранее, равномерным. Рассматривая потоки, находящиеся в обычном для равнинных рек спокойном состоянии, можно считать, что расход в верхнем течении реки остается прежним, т. е. Qi = Qo,; глубина потока во всех трех руслах в месте слияния (точка А на рис. 12.1) одинакова и равна hen (при s = 0 ) . Задаваясь значением Нел для условий равномерного движения, можно вычислить Q3, а затем найти Q2 — Qз — Qo,. Поскольку значения /гсл = h2 и Q2 теперь известны методами, изложенными в гл. 7, можно рассчитать кривую подпора в притоке и найти длину L, на которую он распространяется. j Что касается подпора в главной реке выше места слияния потоков, то он д а ж е при весьма больших расходах притока не распространяется далеко вверх по течению, т. е. кривая подпора в верхнем течении реки должна быть относительно короткой. 12.3. Деление расхода при разветвлении русла Рассмотрим вначале качественную картину процесса отделения части потока от целого на примере простейшей наиболее изученной схемы прямоугольного канала постоянной ширины В, от -327 Условие, определяющее характер движения выше точки, записывается в виде следующего неравенства: /гл = /г1 + с = /г2 + 6 ^ / г , узловой (12.5) где На — глубина подводящего канала в узловой точке A; А — глубина равномерного движения в этом канале. При hA = А движение в подводящем канале будет равномерным; при hA> h будет кривая подпора, а при Ад < А— кривая спада. Если разностью кинетической энергии АЭ к в отводящих каналах пренебречь нельзя (или нежелательно), то построение кри- о — Г А Рис. 12.5. Забор воды из реки. Рис. Раздвоение русла. (бифуркация) вых 1, 2, 3 на рис. 12.4' должно выполняться с учетом скоростного напора, т. е. по оси ординат должны быть отложены не глубины, а удельные энергии потоков 9 = h + v2/ (2g). Порядок определения искомых значений /и и А2, а также Qi и Q2, по построенным зависимостям остается прежним. В случае, когда один из отводящих каналов имеет уклон дна i~>iк (бурное движение), в нем устанавливается неравномерное движение в форме кривой спада; кривая спада установится также и в подводящем канале. Принимая движение во втором отводящем канале равномерным, решение задачи о делении расхода можно выполнить по той же методике, только уравнение (12.2) заменяем выражением hA + о У (2 g) = h, + с + vV(2g) = Ак + Ь + vll{2g) (12.6) или hx+vV{2g) + a = hK + vll{2g), (12.7) где Ак и vK •— соответственно критическая глубина и критическая скорость в канале с бурным течением, определяемые по уравнению критического состояния потока (6.10). Частным случаем деления расхода является з а б о р воды и з р е к и . Если из реки при помощи отводящего канала забирается расход <2к, то ниже по течению от створа А—А (рис. 12.5) -330 в реке сохраняется равномерное движение с расходом Q' = = Q — QK. Отметка ZA горизонта воды в узловой точке А определяется по зависимости Q = F(Z) данной реки для расхода Q'. В реке вверх по течению от створа А — А устанавливается кривая спада с расходом Q и отметкой горизонта воды в конце кривой га- Расчет этой кривой выполняется одним из методов, изложенных в разделе о неравномерном движении воды в реках (гл. 7). Расчет отводящего канала производится по изложенной выше методике для расхода воды QK. Рассмотрим теперь случай, когда на одной и той же реке происходит разделение потока на части, а потом их слияние. Такое движение имеет место на участках б и ф у р к а ц и и р е к (некоторые сведения по расчету неравномерного движения на участках раздвоения русел были рассмотрены в п. 7.8). Пусть в створе А — А река длинным островом разделяется на две ветки (рис. 12.6), а в створе В — В снова соединяется в одно общее русло. Будем считать, что движение воды в реке и в обоих разветвленных руслах находится в спокойном состоянии. В процессе расчетов принимается, что сумма расходов, подразделенных потоков Qi и (?2 равна расходу основного потока, т. е. Q = Qi + + Q2. Длина веток АСВ и ADB может быть неодинакова; разными могут быть и уклоны дна (й ф t 2 ). Допускают, что ниже по течению от створа В — В движение воды в реке будет равномерным, а выше по течению от этого створа, как на участках АСВ и ADB, так и выше створа разветвления, движение будет в общем случае неравномерное. Форма свободной поверхности (кривая подпора или кривая спада) обусловливается гидравлическими параметрами потоков между створами А — А И В — В. В рассматриваемом случае основная гидравлическая задача сводится к определению расходов воды Qi и Q2, а также к построению линии свободной поверхности потоков на участках неравномерного движения. Решение ее возможно, если известна отметка ZB свободной поверхности в створе В —В и известны или могут быть вычислены зависимости модулей расхода К от средней отметки 2 для основного русла выше створа А — А и для каждой ветки в отдельности. Если отметка ZB неизвестна, она может быть определена по заданному расходу Q с помощью кривой расходов, построенной для полного расхода в этом сечении. Решение задачи проще всего производится графоаналитически. В инженерной практике предложено несколько вариантов такого решения, рассмотрим два из них. В первом варианте [36] задаются несколькими значениями г // т расходов Qi, Qi, Qi и т. д. (Qi С Q) и одним из способов построения кривой свободной поверхности, изложенных в гл. 7, определяем отметки горизонта воды в створе А — А для первой ветки z ' a z " a и т - д - П Р И одной и той же отметке ZB в створе В — В. При расчетах используют зависимость модуля сопротивления F t -331 от средней отметки уровня воды 2 на участке для этой ветки По данным этих вычислений строится кривая Ql — f(zA)1 где Qi расход первой ветки (рис. 12.7). Аналогичным образом выполняется расчет координат кривой Ог — f(zA) для второй ветки и она строится на том же рис 12 7 Построение суммарной кривой расходов Q == Qx -f- Q2 = f(zA) производится путем графического суммирования непосредственно по графику. ' ч в2 й^+Иг Рис. 12.7. Кривые расходов в раздвоенном русле. Рис. 12.8. К расчету параметров потока при раздвоении русла. По известному общему расходу воды в реке Q с полученного графика (см. рис. 12.7) снимаем значения расходов Qi и Q2, а также определяем отметку свободной поверхности zA. После этого построение кривой свободной поверхности для основного русла выше створа А — А производится по общим правилам расчета неравномерного движения. Во втором варианте расчета [38] известными также являются общий расход воды Q — Qi + Q2 и отметка свободной поверхности zB В створе слияния потоков. В процессе расчетов задаются несколькими значениями Qi < Q и определяют отметку водной поверхности zA для обоих разветвленных русел соответственно по •Qi'и Q2 = Q — Qi изложенным выше способом. Таким образом, может быть построена кривая zAl = f{zA2) для различных соотношений расходов Qi и Q2 (рис. 12.8 а ) . При правильном делении общего расхода воды Q две вычисленные отметки уровня в точке А для обоих русел должны быть одинаковыми. Отметка z A , соответствующая такому делению расхода, находится в точке пересечения построенной кривой и биссектрисы координатного угла. По этой отметке, перенесенной пунктирной линией на кривую Qi = f(zAi)._ (рис. 12.8 6), определяется расход воды Qi в первой ветке раздвоенного русла, а затем находим расход во второй ветке Q2 = Q — QiВ случае бурного состояния потоков в разветвленном русле за исходный принимается створ А — А с отметкой свободной поверхности z A . В этом случае деление расхода будет зависеть от условий входа потоков в подразделений^ русла; местными потерями напора здесь пренебрегать нельзя. -332 При обычных условиях течения с некоторой погрешностью можно допустить, что все рассматриваемые потоки равномерны и приближенно определить деление потока из следующих выражений: Qi = iC, V ^ ; Оа-ЯаУй Q = Qi + Q 2 , где KI и КГ— модули расхода для соответствующих русел. (12.8) 12.4. Деление потока в устьевых участках рек Сложнее обстоит дело при решении гидравлической задачи расчета кривых свободной поверхности потоков и распределения расхода воды в рукавах дельт устьевых участков рек. Сложность эта объясняется тем, что деление основного потока в дельтах может происходить по очень сложной системе рукавов, течение воды в которой находится не только под воздействием колебаний речного стока, но зависит и от переменного подпора, вызванного различными колебаниями уровня моря (сгонно-нагонными, приливо-отливными и др.). Немалая трудность в изучении русловых разветвлений состоит в том, что плановые очертания русел далеко не всегда могут свидетельствовать о структуре течения. Отсюда ясно, что одним из важнейших элементов исследований многорукавных русел должно быть изучение рельефа свободной поверхности в местах деления потоков. Этой практически важной, сложной и весьма трудоемкой в гидравлических расчетах проблеме в настоящее время уделяется •определенное внимание, а трудности в расчетах успешно .преодолеваются путем использования современной вычислительной техники. При рассмотрении вопроса ограничимся наиболее простыми примерами гидравлического расчета распределения расхо- " дов воды в сложно разветвленных дельтах устьевых участков рек. Более подробно теоретические основы и примеры гидравлического расчета элементов водного режима в дельтах рек рассматриваются в работах К. В. Гришанина [111 и В. В. Иванова [17,18]. При всем разнообразии форм разветвлений естественных русел движение воды в местах деления подчиняется одним и тем же •общим законам. Упрощая задачу расчета распределения расхода воды, воспользуемся уравнением неравномерного движения потока в естественных руслах (7.10), которое не учитывает местные потери напора и изменения кинетической энергии потока по длине русла. Подготовительная работа к расчетам состоит в разбивке рукавов дельты на расчетные участки и определении размеров граничных сечений. Она включает также вычисление и построение кривых зависимости модуля сопротивления F от средней отметки уровня воды z на каждом расчетном участке. Приемы построения таких зависимостей по гидрометрическим данным'или с помощью -333 гидравлических расчетов изложены в п. 7.4. Общие рекомендации по определению значений гидравлических элементов для естественных русел рассмотрены в п. 7.10. Расчет, как обычно, ведется снизу вверх по течению от сечения, где известна отметка уровня воды при заданном расходе Q. Д л я вычисления падения свободной поверхности Д2 по уравнению (7.10) можно воспользоваться одним из способов, изложенных в гл. 7. При выполнении расчетов необходимо учитывать Рис. 12.9. Двухузловые разветвления, а —деление русла на рукава; б —дельта. к- Рис. 12.10. Многоузловое русла. разветвление 1—5 — рукава; /—IV — узлы. морфологию разветвленного участка дельты реки. В этом отношении различают двухузловые разветвления, показанные на рис. 12.6 и 12.9 схемами а и б, и многоузловые (рис. 12.10). С расчетных позиций море, куда впадают все рукава дельты реки (рис. 12.9 6), есть один узел. При заданном общем расходе воды и отметке водной поверхности в одном из узлов двухузЛового разветвления, независимо от числа рукавов, расчет выполняется за один прием (без подбора). В случае многоузлового "разветвления расчет распределения расхода по рукавам ведется методом последовательных приближений, причем эта задача решается совместно с увязкой отметок свободной поверхности в узлах разветвления. Расчет двухузлового разветвления для случая бифуркации русла был рассмотрен в п. 12.3. Остановимся ниже на случае расчета двухузлового разветвления, когда число рукавов может быть два и более. Обозначим число рукавов двухузлового разветвления через N, порядковый номер рукавов — /, заданный полный расход воды в реке — Q; каждый рукав длиною I разбит на расчетные участки длиною А1 (см. рис. 12,9 а ) ; для каждого расчетного участка модуль сопротивления равен , F=Al/Kz, где К — средний модуль -334 расхода на расчетном участке. Исходная система в рассматриваемой задаче имеет следующий вид: уравнений ( I A?)i = ( S Аz)2 = • • • = (Е Az)/ = • • • = ( S Azk (12.9) Q, + Q2 + ... + Q / + . - - + Qiv = Q. (12.10) Равенство (12.9) показывает, что падения свободной поверхности во всех рукавах двухузлового разветвления, состоящие из суммы падений на расчетных участках, одинаковы. Уравнение (12.10) есть уравнение неразрывности, выражающее равенство суммы расходов воды в параллельных рукавах полному расходу воды в реке Q. Ограничиваясь только учетом потерь энергии потока на трение, падения Дz в пределах каждого расчетного участка можно представить формулой Az = Q2F, (12.11) после чего, равенство (12.9) получает вид <Й(Х = Q|(Z F)2 = . . . = QKS F)I = • • • = QMZ F)N. (12.12) Вводя в (12.12) обозначение a = л/F, запишем уравнение «iQi = a2Q2 = •.. = a,Qj = ... = aNQN: (12.13) Уравнение (12.13) вместе с уравнением (12.10) образует неоднородную систему N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными. При небольшом значении N эта система легко решается вручную. Если число рукавов велико, в расчетах можно воспользоваться вычислительными машинами. Д л я случая двухрукавного разветвления (бифуркации) русла (при N = 2) решение системы уравнений (12.10) и (12.13) имеет вид j Qi=— ai х+— a 2 Q ; Q2 = — a !x+— a2 Q . Д л я трехрукавного разветвления русла (при N = 3) fl a Q = Q. Q = '3 Q. аха2 + а2а3 + Q3 = 4 : 2 ахаъ аха2 a a2 axa2 + ' a2a3 + a , ^ + Q. ^ а2а3 + a x a v(12.14) ' z (12.15) \ . / Расчет кривых свободной поверхности в рукавах при двухузловом разветвлении выполняется при заданной отметке уровня в верхнем или нижнем конце рукава методами, изложенными выще. Общий случай расчета кривых свободной поверхности и распределения расхода воды по рукавам дельты устьевой области реки, когда полный расход Q не задан, а число узлов больше двух, рассматривается в работе [11]. Конкретные примеры гидравлического расчета в дельтах рек можно найти в работах [17, 18]. В заключение отметим, что, если число рукавов очень велико (это встречается в дельтах рек), то затруднения вычислительного характера, возникающие при использовании метода последовательных приближений, преодолеваются с помощью ЭВМ. -335 Приложение - Таблица 1 Значения коэффициента С по формуле Павловского C—^—Rv, где г/=2,5<\/я — 0,13 — 0 , 7 5 V Я ( У " — 0,10) Коэффициент шероховатости п Rм 0,011 0,013 • -ч 0,017 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,05 - 0,06 0,07 0,08 0,10 0,12 61 63 6465 67 69 49 50 51 . 52 54 56 33 34 36 36 38 40 26 27 28 •29 31 33 19 20 20 21 22 24 14 15 16 16 17 18 11 12 12 13 14 15 9 9 10 10 11 12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 70 72 73 74 75 76 57 58 60 60 61 62 41 42 43 44 44 45 33 34 35 36 36 37 25 25 26 27 28 28 19 20 21 21 22 23 15 16 17 17 18 19 13 13 14 15 15 16 0,26 0,28 0,30 -0,35 0,40 0,45 76 77 78 79 81 82 63 64 64 66 67 68 46 47 47 49 50 51 38 38 39 40 . 42 43 29 29 30 31 32 33 23 24 24 25 26 , 27 19 19 20 21 22 23 16 16 17 18 19 19 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,80 83 84 85 86 87 88 70 70 71 72 73 75 52 53 54 55 55 57 44 44 45 46 47 48 • 34 35 36 36 37 38 28 29 29 30 30 32 23 24 25 25 26 27 20 21 21 22 22 23 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,50 89 91 92 93 94 96 76 77 78 79 80 82 58 59 • 60 61 62 63 49 50 51 52 53 54 39 40 41 42 42 44 32 33 ' 34 35 36 37 28 29 29 30 31 32 24 25 26 26 27 28 1,70 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 97 99 102 104 106 108 83 85 87 89 91 93 64 66 68 70 71 73 55 57 59 60 62 63 .45 46 48 49 50 51 38 39 41 42 43 ' 44 33 34 35 37 37 38 29 30 32 33 33 34 5,00 111 95 • 74 64 52 45 39 35 ; -336 ' Таблица 2 Значения коэффициента С по ф о р м у л е Ж е л е з н я к о в а Коэффициент шероховатости п R м С,010 0,015 ' 0,030 0,040 0,050 0,080 21 14 17 19 20 21 11 13 14 16 17 5 7 8 9 10 5 6 7 8 1 2 2 3 3 0,020 .0,025 35 39 41 43 45 26 30 32 34 35 26 28 29 0,10 0,20 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 81 86 90 92 94 49 '54 57 60 61 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 96 97 98 99 100 63 64 65 66 67 46 47 48 49 50 37 38 38 39 40 30 31 32 33 33 23 23 24 24 25 17 18 19 19 20 10 11 12 12 13 8 9 9 10 10 4 4 4 5 5 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 102 103 104 105 106 68 69 71 72 72 51 53 54 55 55 41 42 43 44 45 35 36 37 37 38 26 27 28 29 29 21 22 23 23 24 13 14 15 15 16 11 11 12 13 13 6 6 7 7 7 2,5 3;0 3,5 4,0 4,5 108 110 111 112 113 74 76 77 78 79 57 59 60 61 62 47 48 , 49 51 ' 51 40 41 42 43 44 31 32 33 34 35 26 27 28 29 30 17 18 19 20 21 14 15 16 17 18 8 9 10 11 12 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 114 115 116 117 117 80 81 82 82 83 63 64 64 65 66 52 53 54 54 55 45 46 46 47 48 36 37 37 38 39 30 31 32 32 33 22 22 23 24 24 19 19 20 20 21 12 13 13 14 14 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 118 119 119 120 120 84 84 85 85 86 66 67 67 68 68 56 56 57 57 58 48 49 49 50 50 39 40 40 41 41 33 34 34 35 35 25 25 25 26 26 21 22 22 23 23 15 15 16 16 16 10 11 12 13 14 121 122 122 123 124 86 87 88 89 89 69 70 70 71 72 58 59 60 60 61 51 52 52 53 54 41 42 43 44 44 36 36 37 38 38 27 27 28 29 29 24 24 25 26 26 17 18 18 19 19 15 16 17 18 19 20 124 125 126 126 126 127 90 91 91 92 92 93 72 73 73 74 74 75 62 62 63 63 64 64 54 55 55 56 56 57 45 45 46 46 47 47 39 40 40 41 41 30 30 31 31 32 32 27 27 28 28 29 29 20 20 21 21 22 22 22 З а к а з № 33 2 4 v 41 Л 1 4 337 Таблица 3 Значения коэффициента шероховатости по Павловскому № п/п 1 2 3 4 5 6 7' 8 9 10 11 12 338 Характеристика поверхности п 1/и Поверхности, покрытые эмалью или глазурью. Весьма тщательно остроганные доски, хорошо пригнанные Строганые доски. Штукатурка из чистого цемента Цементная штукатурка ('/з песка). Чистые (новые) гончарные, чугунные и железные трубы, хорошо уложенные и соединенные. Нестроганые доски, хорошо пригнанные. Водопроводные трубы в нормальных условиях, без заметной инкрустации. Весьма чистые водосточные трубы. Весьма хорошая бетонировка Тесовая кладка. Весьма хорошая кирпичная кладка. Водосточные трубы в нормальных условиях. Несколько загрязненные водопроводные трубы. Нестроганые доски, не вполне тщательно пригнанные «Загрязненные» трубы (водопроводные и водосточные). Кирпичная кладка. Бетонировка каналов в средних условиях Грубая кирпичная кладка. Каменная кладка (не тесовая) с чистой отделкой поверхностей, при ровном постелистом камне. Чрезвычайно загрязненные водостоки. Брезент по деревянным. рейкам Обыкновенная бутовая кладка в удовлетворительном состоянии. Старая (расстроенная) кирпичная кладка. Сравнительно грубая бетонировка. Гладкая, весьма хорошо разработанная скала Каналы, покрытые толстым, устойчивым илистым слоем. Каналы в плотном лессе и в плотном мелком гравии, затянутые сплошной илистой пленкой (при всем этом — в безукоризненном состоянии) Очень грубая бутовая кладка. Сухая кладка из крупных камней. Б у л ы ж н а я мостовая. Каналы, чисто высеченные в скале. Каналы в лёссе, плотном гравии, земле, затянутые илистой пленкой (в нормальном состоянии) Мостовая из крупного рваного камня с резко выступающими углами. Каналы в скале при посредственной обработке поверхности. Каналы в плотной глине. Каналы в лёссе, гравии, земле, затянутые несплошной (местами прерываемой) илистой пленкой. Большие земляные каналы, находящиеся в условиях содержания и ремонта выше средних Большие земляные каналы в средних условиях содержания и ремонта и малые — в хороших. Реки и ручьи в благоприятных условиях (со свободным течением, без засорения и значительных водорослей) 0,009 111,1 0,010 100,0 0,011 90,9 0,012 83,» 0,013 76,9» 0,014 71Л 0,015 66,7 0,017 58,8 0,018 55,6 0,020 50,0 0,0225 44,4 0,025 4"0,8 № п/п 13 14 15 16 Характеристика поверхности Земляные каналы. Большие — в условиях ниже среднего; малые — в средних. Каналы и реки в сравнительно плохих условиях (например, местами с водорослями и булыжником или заметно заросшие травой, с местными обвалами откосов и т. д.) Каналы и реки, находящиеся в весьма плохих условиях, с неправильным профилем, значительно засоренные камнями и водорослями и пр. То ж е в исключительно плохих условиях (обломки скалы и крупные камни по руслу, густые корни, значительные промоины и обвалы, заросли камыша) п ' 1 /га 0,0275 36,4 0,030 33,3 0,035 28,6 . 0,040 25,0 Таблица 4 Значения коэффициента шероховатости для естественных водотоков по Срибному № п/п Характеристика русла п а. Д л я равнинных рек 1 2 3 4 5 6 7 8 22* Прямолинейные участки канализованных рек в плотных грунтах с тонким слоем илистых отложений Извилистые участки канализированных рек в плотных грунтах с тонким слоем илистых отложений Естественные земляные русла в весьма благоприятных условиях, чистые и прямые, со спокойным течением Галечные и гравийные русла в таких ж е условиях Русла постоянных водотоков, преимущественно больших и средних рек, в благоприятных условиях состояния л о ж а и течения воды Сравнительно чистые русла постоянных водотоков в обычных условиях, извилистые с некоторыми неправильностями в направлении струй или ж е прямые, но с неправильностями в рельефе дна (отмели, промоины, местами камни). Незаросшие ровные поймы Русла больших и средних рек, значительно засоренные, извилистые и частично заросшие, каменистые, с неспокойным течением. Цоймы больших и средних рек, сравнительно разработанные, покрытые нормальным количеством растительности (травы, кустарники) Русла периодических водотоков, сильно засоренные и извилистые. Сравнительно заросшие, неровные, плохо разработанные поймы рек (промоины, кусты, деревья, наличие заводей). Порожистые участки равнинных рек 0,020 0,022 0,025 0,030 0,035 0,040 0,050 0,065 339 № и/п Характеристика русла Русла и поймы, весьма значительно заросшие (со слабым течением), с большими глубокими промоинами Поймы такие же, как в предыдущей категории, но с сильно неправильными косоструйными течениями, с заводями и пр. Реки болотного типа (заросли, кочки, во многих местах почти стоячая вода и пр.). Поймы лесистые с очень большими мертвыми пространствами, с местными углублениями, озерами и пр. Глухие поймы, сплошь лесные, тагжного типа б. Д л я горных рек , Искусственные отводы русел рек, весьма чисто высеченные в скале То же при посредственной обработке поверхности Естественные русла рек горного происхождения, но с небольшими уклонами и в весьма благоприятных условиях; прямые чистые земляные (глина, песок, мелкий гравий) русла с уклоном ' / = = 0,0005-н 0,0008 Галечно-гравийные русла в таких ж е условиях, /=0,0008-^-0,0010 Периодические потоки (большие и малые) при очень хорошем состоянии поверхности и формы ложа. Галечно-гравийные русла такие же, как в предыдущей категории, но с более крупной галькой, 7=0,001-ь0,003 Земляные русла периодических водотоков (сухих логов) в благоприятных условиях. Правильные, хорошо разработанные галечные русла горных рек в нижнем течении, / = 0 , 0 0 3 - ^ 0 , 0 0 7 Русла (больших и средних рек), значительно засоренные, извилистые и частично заросшие, каменистые, с неспокойным течением. Периодические (ливневые и весенние) водотоки с крупногалечным покрытием ложа и растительностью, /=0,007-^0,015 Русла периодических водотоков, сильно засоренные и извилистые. Галечно-валунные русла горного типа ( в среднем течении) с ненормальной поверхностью водного з е р к а л а , / = 0 , 0 1 5 - ^ 0 , 0 5 Валунные, горного типа русла горных рек (в средней и верхней частях) и периодических водотоков с бурным пенистым течением, с изрытой поверхностью водного зеркала (с летящими вверх брызгами воды), / = 0,05ч-0,09 Горно-водопадного типа русла, преимущественно в верхнем течении, с крупновалунным и извилистым строением ложа; перепады ярко выражены, пенистость настолько сильна, что вода, потеряв прозрачность, имеет белый цвет; шум потока доминирует над всеми остальными звуками; / = 0 , 0 9 - н 0,20 -340 0,080 0,100 0,140 0,200' 0,020 0,022 0,025. 0,030 0,035 .0,040 0,050 0,065 0,080 0,100 № п/п п 12 Характеристика русла п Характеристика горных рек та же, что и в предыдущей категории, но с более сильным сопротивлением Предельно высокое сопротивление горных рек 0,140 0,200 , Таблица 5 - Значения коэффициента шероховатости для естественных водотоков по Чоу Коэффициент п Описание водотока 1. Малые потоки тока менее 30 м) (при половодье ширина минимальный нормальный максимальный 0,025 0,030 0,030 0,035 0,033 0,040 0,033 0,035 0,040 0,045 0,045 0; 050 0,040 0,048 0,055 0,045 0,050 0,060 0,050 0,070 0,080 0,075 0,100 0,150 0,030 0,040 0,050 0,050 0,070 0,025 0,030 0,030 0,035 0,035 0,050 0,020 0,025 0,030 0,030 0,035 0,040 0,040 0,045 0,050 по- а) равнинные потоки: 1) чистые, прямые, без перекатов и омутов 2) то же, но при наличии больших камней и растительности 3) чистые, извилйстые; с заводями (и омутами 4) то же, но при наличии камней и растительности 5) то же, при низких уровнях воды; незначительных уклонах и малых живых сечениях 6) то же, что в п. 4, но при большом количестве камней 7) при наличии участков с медленным течением, зарослей и глубоких омутов 8) с весьма заросшими участками, глубокими омутами или при наличии кустарника и завалов деревьями б) горные потоки без растительности в русле; берега крутые; деревья и кусты по берегам затапливаются во время половодья: 9) дно потока гравелистое; имеется булыжник; немного валунов 10) наличие больших валунов на дне; много булыжника - 0,040 - 2. Русла с поймами. Характер поймы: а) пастбища: 11) низкая трава 12) высокая трава б) обработанные площади: 13) незасеянные 14) посевы рядами 15) сплошные посевы -341 Коэффициент п Описание водотока минимальный нормальный максимальный 0,035 0,035 0,050 0,050 0,060 0,060 0,040 0,045 0,060 0,070 0,070 0,100 0,160 0,110 0,030 0,150 0,040 0,200 0,050 0,050 0,080 0,060 0,100 0,080 0,120 0,100 0,120 0,160 в) площади, покрытые кустарником: 16) отдельные кусты; обильная трава 17) небольшой кустарник и деревья; в зимних условиях 18) то же, летом 19) кустарник от средней до большой густоты; в зимних условиях 20) то же, летом . 0,080 0,110 г) площади, покрытые деревьями: 21) густой ивняк в летних условиях 22) расчищенная поверхность земли; имеются пни и деревья без побегов 23) то же, но деревья с густыми побегами 24) большое количество бревен; немного поваленного леса; небольшой подлесок; уровень половодья ниже веток деревьев 25) то же, но уровень половодья покрывает ветки деревьев 3. Большие потоки (при половодье ширина потока более 30 м) (Величина п в случае больших потоков меньше, чем в случае малых — при тех ж е условиях, так как растительность берегов и т. п. представляет собой в данном случае меньшее препятствие движению воды)" 26) правильные поперечные сечения русла; кустарников и валунов нет 27) неправильные поперечные сечения русла; неровная поверхность русла 0,060 0,025 0,035 0,100 — Таблица 6 Шкала шероховатости речных русел и пойм по Карасеву Характеристика русел и пойм п А. Равнинные реки 0,020 0,025 -342 Прямолинейные русла канализированных рек в плотных грунтах с тонким слоем илистых отложений Естественные земляные русла в благоприятных условиях, чистые, прямые, со спокойным течением Б. Полугорные и горные реки В. Поймы Искусственные отводы русел, высеченные в скале Ровная чистая пойма с низкой травой без сельскохозяйственного использования Характеристика русел и пойм п Б. Полугорные и горные реки В. Поймы Гравийно-галечные русла в тех ж е условиях Гравийно-галечные русла в благоприятных условиях (чистые, прямые), 7 = 0 , 8 ^ - 1 , 0 %0 Ровная пойма под пашней без посевов и пастбищем с низкой травой Сравнительно чистые русла постоянных водотоков с некоторыми неправильностями в направлениях струй, неровностями дна и берегов и влечением донных наносов Земляные русла периодических водотоков (сухих логов) в благоприятных условиях. Правильные хорошо разработанные галечные русла в нижнем течении. /=3-н7%„ Ровная пойма, занятая зрелыми полевыми культурами, пастбищем с высокой травой и вырубками без побегов, небольшое количество староречий и мелких проток Значительно засоренные русла больших и средних рек, чаетично заросшие или каменистые, с неспокойным течением. Чистые русла периодических водотоков Значительно засоренные каменистые русла с бурным течением. Периодические водотоки с крупногалечным покрытием ложа, J—7-h + 15*» Пойма, поросшая редким кустарником и деревьями (весной без листвы), изрезанная староречьями ' Скалистые русла боль- • Галечно-валунные русших и средних рек. Ру- ла с бурным течением. сла периодических водо- Засоренные периодичетоков, засоренные и заские водотоки, / = 15+ росшие 20 %0 Пойма под редким кустарником и деревьями с листвой или вырубками с развивающейся порослью Речные русла, значительно заросшие, с промоинами и неровностями дна и берегов Валунные русла в средней и верхней частях бассейна и периодические водотоки с бурным течением и взволнованной водной поверхно- Поймы, покрытые кустарником средней и большой густоты (весной без листвы) Русла' рек, сильно заросшие, загроможденные стволами деревьев и валунами Русла водопадного тица преимущественно в верховьях с крупновалунным ложем и бурным течением, 7=90+ 200 %0 Поймы, занятые лесом при уровне ниже ветвей, и кустарником средней и большой густоты с листвой Реки болотного типа (заросли, кочки, во многих местах почти стоячая вода) Русла водопадного типа, загроможденные обломками скал и валунами, 7 = 9 0 + 2 0 0 %0 Поймы, покрытые лесом при затоплении ветвей и густым ивняком Русла валунов скал Глухие, сплошь заросшие, трудно проходимые поймы таежного типа А. Равнинные реки стью, /=50-7-90% с завалами из и обломков -343 Таблица 7 Значения коэффициента шероховатости нижней поверхности ледяного покрова по Белоконю Средние значения « л Средние скорости v в момент ледообразования, м/с при отсутствии шуги при наличии шуги и подвижек льда 0,4-Я),6 0,010-7-0,012 0,016-j-0,018 >0,6 0,014-М),017 0,017-Н),020 при бугристой поверхности льда и. торошении в процессе его образования 0,023-7-0,025 Таблица 8 Значения функции 5 ( r j ) для прямого уклона дна водотока ( г > 0 ) при различных значениях гидравлического показателя х X 1 0 • 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,-76 0,77 0,78 0,79 344 2,0 0 • 0,050 0,100 0,151 0,202 0,255 0,309 0,365 0,423 0,484 0,549 0,619 0,693 0,709 0,725 0,741 0,758 0,775 0,792 0,810 0,829 0,848 0,867 0,887 0,907 0,928 0,950 0, 9 7 2 0,996 1,020 1,045 1,071 2,5 3,0 0 0,050 0,100 0,150 0,201 0,252 0,304 0,357 0,411 0,468 0,527 0,590 0,657 0,671 0,685 0,699 0,714 0,729 0,744 0,760 0,776 0,792 0,809 0,826 0,843 0,861 0,880 0,899 0,919 0,939 0,960 0,982 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,251 0,302 0,354 0,407 0,461 0,517 0,575 0,637 0,650 0,663 0,676 0,689 0,703 0,717 0,731 0,746 0,761 0,776 0,791 0,807 0,823 0,840 0,857 0,874 0 , 89 2 0,911 0,930 3,5 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,351 0,403 0,456 0,510 0,566 0,624 0,636 0,648 0,660 0,673 0,686 0,699 0,712 0,725 0,739 0,753 0,767 0,781 0,796 - 0,811 0,827 0,843 0,860 0,877 0,895 4,0 4,5 0 0 0,050 0,050 0,100 0,100 0,150 0,150 0,200 0,200 0,250 0,250 0,300 0,300 0,351 0,350 0,401 0,402 0,452 0,454 0,504 0,507 0,556 0,561 0,610 0,617 0,621 0,628 0,640 . 0 , 6 3 2 0,652 " " 0,644 0,664 0,656 0,668 0,676 0,680 0,688 0,692 0,700 0,704 0,713 0,716 0,726 0,728 0,739 0,741 0,752 0,754 0,766 0,767 0,780 0,780 0,794 0,794 0,808 0,808 0,823 0,822 0,838 0,837 0,854 0,852 0,870 5,0 5,5 0 0,005 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,451 0,502 0,554 0,607 0,618 0,629 0,640 0,651 0,662 0,674 0,686 0,698 0,710 0,722 0,734 0,747 0,760 0,773 0,786 0,799 0,812 0,826 0,840 0 0,005 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,501 0,552 0,605 0,615 0,626 0,637 0,648 0,659 0,670 0,681 0,692 0,704 0,716 0,728 0,740 0,752 0,764 0,776 0,788 0,801 0,814 0,828 X Tl 2,0 i 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,905 0,910 0,915 0,920 0,925 0,930' 0,935 0,940 0,945 0,950 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0 , 980 0,985 0,900 0,995 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,025 1,030 1,035 1,040 1,045 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,098 1,127 1,156 1,188 1,221 1,256 1,293 1,333 1,375 1,421 1,472 1,499 1,527 1,557 1,589 1,622 1,658 1,698 1,738 1,782 1,831 1,885 1,945 2,013 2,092 2,184 2,297 2,442 2,646 3,000 2,5 3,0 1,006 1,031 1,056 1,082 1,110 1,139 1,170 1,203 1,238 1,276 1,316 1,338 1,361 1,385 1,411 1,439 1,469 1,501 1,535 1,571 1,610 1,653 1,701 1,756 1,820 1,895 1,985 2,100 2,264 2,544 0,950 0,971 0,993 1,016 1,040 1,065 1,092 1,120 1,151 1,183 1,218 1,237 1,257 1,278 1,300 1,323 1,348 1,374 1,403 1,434 1,467 1,504 1,545 1,591 1,644 1,707 1,783 1,881 • 2,018 2,250 CO CO 2,997 2,652 2,450 2,307 2,197 2,107 2,031 1,966 1,908 1,857 1,768 1,693 1,629 1,573 1,522 1,477 1,436 • 1,398 1,363 1,331 1,30) 1,273 1,247 2,139 2,863 1,704 1,591 1,504 1,422 1,372 1,320 1,274 1,234 1,164 1,105 1,053 1,009 0,969 0,933 0,901 0,872 0,846 0,821 0,797 0,775 0,755 CO 1,647 ' 1,419 1,291 1,193 1,119 1,061 1,010 0,967 0,929 0,896 0,838 0,790 0,749 0,71-3 0,680 0,652 0,626 0,602 0,581 0,561 0,542 0,525 0,510 3,5 0,913 0,932 0,951 0,971 0,992 1,015 1,039 1,065 1,092 1,121 1,152 1,169 1,186 1,204 1,223 1,243 1,265 - 1,288 1,312 1,338 1,367 1,399 1,435 1,475 1,521 1,575 1,640 1,727 1,844 2,043 4,0 4,5 5,0 5,5 0,887 0,904 0,922 0,940 0,960 0,980 1,002 1,025 1,049 1,075 1,103 1,117 1,132 1,148 1,165 1,184 - 1,204 1,225 1,247 1,271 1,297 1,325 1,356 1,391 1,431 1,479 1,537 1,611 1,714 1,889 0,867 0,882 0,898 0,915 0,933 0,952 0,972 0,993 1,015 1,039 1,065 1,079 1,093 1,108 1,124 1,141 1,159 1,178 1,198 1,219 1,241 1,265 1,292 1,324 1,362 1,407 1,460 1,525 1,614 1,770 0,854 0,869 0,884 0,900 0,917 0,935 0,953 0,972 0,992 1,014 1,038 1,050 1,063 1,077 1,091 1,106 1,122 1,139 1,157 1,176 1,197 1,220 1,246 1,275 1,308 1,347 1,394 1,455 1,538 1,680 0,842 0,857 0,872 0,888 0,904 0,921 0,938 0,956 0,975 0,995 1,017 1,028 1,040 1,053 1,066 1,080 1,095 1,111 1,128 1,146 1,165 1,186 1,209 1,235 1,265 1,300 1,344 1,400 1 ,474 1,605 CO CO 0,954 0,79Э 0,702 0,641 0,594 0,555 0,522 0,494 0,469 0,447 0,411 0,381 0,355 0,332 0,312 0,293 0,277 0,263 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,826 0,680 0,603 0,546 0,503 0,468 0,439 0,415 0,394 0,375 0,343 0,316 0,292 0,271 .0,253 0,237 0,223 0,211 0,200 0,190 0,181 0,173 0,165 0,730 0,598 0,525 0,474 0,435 0,402 0,375 0,353 0,334 0,317 0,290 0,266 0,245 0,226 0,210 0,196 0,183 0,17.2 0,162 0,153 0,145 0,137 0,130 CO CO 1,329 1,138 1,022 0,940 0,&79 0,827 0,784 0,747 0,716 0,687 0,640 0,600 0,565 0,534 0,506 0,482 0,461 0,442 0,424 0,407 0,391 0,377 0,364 1,107 0,936 0,836 0,766 0,712 0,668 0,632 0,600 0,572 0,548 0,506 0,471 0,441 0,415 0,392 0,372 0,354 0,337 .0,322 0,308 0,295 0,283 0,272 CO 345 X Т) 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 ! ,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,55 1,60 1,65 ,• 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 346 2,0 2,5 3,0 1,222 1,199 1,177 1,156 1,136 1,117 1,098 1,081 1,065 1,049 1,033 1,018 1,004 0,990 0,977 0,964 0,952 0,940 0,928 0,917 0,906 0396 0,886 0,876 0,866 0,856 0,847 0,838 0,829 0,821 0,813 0,805 0,767 0,733 0,703 0,675 0,650 0,626 0,605 0,585 0,567 0,550 0,518 0,490 0,466 0,444 0,424 0,405 0,389 0,374 0,360 0,346 0,294 0,255 0,736 0,718 0,701 0,685 0,670 0,656 0,6430,630 0,618 р,606 0,594 0,582 0,571 0,561 0,551 0,542 0,533 0,524 0,516 0,508 0,500 0,492 0,484 0,477 0,470 0,463 0,456 0,450 0,444 0,438 0,432 0,426 0,399 0,376 0,355 0,336 0,318 0,303 0,289 0,276 0,264 0,253 0,233 0,216 0,201 0,188 0,176 0,165 0,155 0,146 0,138 0,131 0,104 0,084 0,495 0,480 0,467 0,454 0,442 0,431 0,420 0,410 0,400 0,391 0,382 0,373 0,365 0,357 0,349 0,341 0,334 0,328 0,322 0,316 0,310 0,304 0,298 0,293 0,288 0,283 0,278 0,273 0,268 0,263 0,259 0,255 0,235 0,218 0,203 0,189 0,177 0,166 0,156 0,147 0,139 0,132 0,119 0,108 0,098 0,090 0,082 0,076 0,070 0,065 0,060 0,056 0,041 0,031 3,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 352 341 330 320 310 301 292 284 276 268 261 254 247 241 235 229 224 219 214 209 204 199 195 191 187 183 179 175 171 168 165 166 147 134 123 113 104 096 089 083 078 073 064 057 051 046 041 037 033 030 027 025 017 012 4,5 4(0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 262 252 243 235 227 219 212 205 199 193 187 181 176 171 166 161 157 153 149 145 141 137 134 131 128 125 122 119 116 113 110 108 097 087 079 072 065 060 055 050 046 043 037 032 028 024 021 019 017 015 013 0125 0075 0050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 192 184 177 170 164 158 152 147 142 137 133 129 125 121 117 113 109 106 103 100 097 094 091 088 085 083 081 079 077 075 073 065 058 052 046 041 037 033 030 027 025 021 018 015 013 011 0095 0084 0075 0067 0060 0035 0020 5,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4,5 0 124 158 0 118 151 0 113 144 0 108 138 132 0 103 0 098 126 0 094 121 0 090 116 0 086. 111 0 082 107 103 0 079 0 076 099 0 073 095 0 070 092 0 067 089 0 064 086 0 061 083 0 058 080 0 056 077 0 054 074 0 052 072 0 050 070 0 048 068 066 0 046 0 045 064 0 044 062 060 0 043 058 0 042 056 0 041 054 0 040 053 0 039 052 0 038 0 032 045 0 027 039 0 023 034 0 020 030 0 017 026 0 015 023 020 0 013 0 011 018 016 0 009 0 008 015 0 007 012 0 006 010 0 005 008 0 004 007 0 003 006 0050 0 0025 0045 ' 0 0020 0040 0 0015 0035 0 0010 0 00075 0030 0020 0 00050 0010 0 00025 X Т) 4,5 5,0 6,0 8,0 10,0 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0,226 0,203 0,168 0,126 0,100 0,070 0,069 0,047 0,029 0,021 0,025 0,020 0,014 0,009 0,005 0,009 0,007 0,004 0,002 0,001 0,0035 0,0025 0,0015 0,0010 0,0005 0,0015 0,0010 0,0005 0,0002 0 0,0005 0 0 0 0 0 0 5,5 0 0 0 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. А л ь т ш у л ь А. Д., К и с е л е в П. Г. Гидравлика и аэродинамика.— М.: Стройиздат, 1975,— 323 с. 2. А х у т и н А. Н. Гидравлика.— М.: Изд-во ВИА, 1959.— 407 с. 3. Б а р ы ш н и к о в Н. Б. Морфология, гидрология и гидравлика пойм,— Л.: Гидрометеоиздат, 1984.— 280 с. 4. Б а р ы ш н и к о в Н. Б., П о п о в И. В. Динамика русловых потоков и русловые процессы.—Л.: Гидрометеоиздат, 1988.— 455 с. 5. Б е р н а д с в-и й Н. М. Речная гидравлика.— Л.; М.: Госэнёргоиздат, 1933 — Т. 1 — 148 с. 6. В а с и л ь е в О. Ф., Т е м н о е в а Т. А., Ш у г р и н С. М. Численный метод расчета неустановившихся течений в открытых руслах//Изв. АН СССР. Механика,— 1965,—Т. 2.—С. 17—25. 7. Г а в р и л о в А. М. Основы учета стока на гидроэлектростанциях.— Л.: Гидрометеоиздат, 1965.— 419 с. 8. Г о н ч а р о в В. Н. Динамика русловых потоков.— Л.: Гидрометеоиздат, , 1 9 6 2 . - 3 7 4 с. 9. Г р и н в а л ь д Д. И., Н и к о р а В. И. Речная турбулентность.— Л.: Гидрометеоиздат, 1988.— 152 с. 10. Г р и ш а н и н К- В. Динамика русловых потоков,—Л.: Гидрометеоиздат, 1979,— 312 с. . 11. Г р и ш а н и н К. В. Теория руслового процесса.— М.: Транспорт, 1972.— 215 с. 12. Г р у ш е в с к и й М. С. Неустановившееся движение воды в реках и каналах.— Л.: Гидрометеоиздат, 1982,—288 с. 13. Ж е л е з н я к И. А.. Инженерные расчеты движения паводочной волны в реках и водохранилищах,—Обнинск, 1973.— 22 с. 14. Ж е л е з н я к о в Г. В. Пропускная способность русел каналов и рек.— Л.: Гидрометеоиздат, 1981.— 311 с. ' 15. Ж е л е з н я к о в Г. В., Д а н и л е в и ч Б. Б. Точность гидрологических измерений и расчетов.— Л.: Гидрометеоиздат, 1966.— 240 с. 16. З е г ж д а А. П. Гидравлические потери на трение в каналах и трубопроводах.—Л.—М.: Госстройиздат, 1957.— 278 с. 17. И в а н о в В. В. Метод гидравлического расчета элементов водного режима в дельтах рек//Тр. ААНИИ.—Л.: Гидрометеоиздат, 1968.—Т. 283.— С. 30—63. 18. И в а н о в В. В., М и х а л е в М. А., М а р ч е н к о А. С. и д р . Гидравлический метод расчета водного и руслового режима в многорукавных руслах/./Тр. ААНИИ,—Л.:-Гидрометеоиздат, 1983,— Т. 378,—С. 5—22. 19. И с т о р и к Б. Л. Расчет неустановившегося движения в открытых водотоках на электронных вычислительных машинах//Тр. Гидропроекта.— М.; Л.: Энергия, 1964,—Сб. 12,—С. 222—239. 20. К а р а с е в И. Ф. Речная гидрометрия и учет водных ресурсов.— Л.: Гидрометеоиздат, 1980.— 310 с. 21. К а р а у ш е в А. В. Речная гидравлика.— Л.: Гидрометеоиздат, 1969.—• 416 с. 22. К а р т в е л и ш в и л и Н. А. Потоки в недеформируемых руслах.— Л.: Гидрометеоиздат, 1973,—279 с. 23. К и с е л е в П. Г. Гидравлика: Основы механики жидкости,—М.: Энергия, 1980,—360 с. 24. К о в а л е н к о В. В. Измерение' и расчет характеристик неустановившихся речных потоков,—Л.: Гидрометеоиздат, 1984,— 160 с. -348 25. К о н с т а н т и н о в Н. М., П е т р о в Н. А., В ы с о ц к и й Л . И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия.— М.: Высшая школа, 1987,— 304 с. 26. Н и к и т и н И. К. Сложные турбулентные течения и процессы тепломассопереноса.— Киев: Наукова думка, 1980.— 240 с. 27. М а к к а в е е в В, М„ К о н о в а л о в И. М. Гидравлика.— Л.; М.: Речиздат, 1940.—643 с. 28. П е т р о в Г. А. Гидравлика переменной массы.—Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1964.— 224 с. 29. П о л т а в ц е в В. И., С о к о л о в а В. А. Об уточнении зависимостей для расчета гидравлических сопротивлений в русловых потоках повышенной: шероховатости: Межвед. сб. ( Л Г М И ) . — В ы п . 67 — Л . , 1978,—С. 62—73. 30. По л т а в ц е в В. И., С п и ц ы н И. П., В и н н и к о в С. Д . Гидрологическое лабораторное моделирование.— Л.: Изд-во Л П И ( Л Г М И ) , 1982,— 143 с. 31. Р а д ю к А. Л . Выбор и обоснование плоскости отсчета глубин в русл а х с повышенной шерохозатостью дна//Лееозаготовки и лесотранспорт: Сб. научн.-исслед. работ СибТИ.— Красноярск. 1972,—С. 168—179. 32. Р е к о м е н д а ц и и по гидравлическому расчету водосливов. Ч. L Прямые водосливы П-18-74.— Л.: Энергия, 1974.— 58 с. 33. Р е к о м е н д а ц и и по гидравлическому расчету водосливов. Ч. И. Косые, боковые, криволинейные и кольцевые водосливы. П-45-75.— Л.: Энергия, 1976,—23 с. 34. С к о р о д у м о в Д . Е. Вопросы гидравлики пойменных русел в связи с задачами построения и экстраполяции кривых расходов//Тр. Г Г И . — Л . : Гидрометеоиздат, 1965, вып. 128, с. 3—97. 35. С п р а в о ч н и к по гидравлическим расчетам/Под ред. В. А. Большакова,—Киев. Высш. школа, 1977,—280 с. 36. С п р а в о ч н и к по гидравлическим расчетам/Под ред. П. Г. Киселева. Изд. 4-е, пер. и доп.— М.: Энергия. 1972.— 312 с. 37. Ч е р т о у с о в М. Д . Гидравлика (специальный курс). Изд. 4-е, испр.— М.; Л.: Госэнергоиздат, 1962.—630 с. -- 38. Ч о у В. Т. Гидравлика открытых каналов.— М.: Стройиздат, 1969.— 464 с. 39. Ч у г а е в Р. Р. Гидравлика. Изд. 4-е, доп. и пер.—Л.: Энергия, 1982,—672 с. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная погрешность измерения напора на водосливе 224 Автомодельная область 134 Аэрация жидкости 17 Бифуркация русла 201, 331 Боковое сжатие (для водосливов) 216, 226, 234 Бытовая глубина 255, 257, .258 Вакуум 29 Вакуумметрическая высота 29 Верхний бьеф (ВБ) 212 Верхняя критическая скорость 60, 62 Водопропускные сооружения 235 Водослив 212 — безвакуумный 216, 225, 228 — боковой 215, 245 — вакуумный 216, 225, 229 — косой 215, 245 — неподтопленный 215, 220, 234 —• нормальный 219 — подтопленный 215, 220, 229, 236 — полигональный 215, 245 — прямой 215 — прямоугольный 215 — со свободным истечением 218 — со стенкой практического профиля 213, 225 — с тонкой стенкой 213, 218, 222 — с широким порогом 214, 230, 236 3 — трапецеидальный 215, 222 ^ — треугольный 215, 222 — Чипполетти 222 — щелевой 215 Водосливной фронт 226 Волна излива 269 — наполнения 268 — непрерывная 267 — обратная 267 —• отлива 268 — отрицательная 267 — подпора 269 — положительная 267 — прерывная 267 — прорыва 267, 299 — прямая 267 Волновая скорость 300 Волновой расход 271, 301 Волны перемещения (паводочные) 267, 270, 292 Высота волны 271 — выступов шероховатости 133 — подтопления водослива 220, 229, 236 — прыжка 249, 253 Вязкий подслой 132, 138 Вязкость 14 Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли 79, 80 Гидравлически гладкие стенки 132, 134 — наивыгоднейший профиль сечения 145 — шероховатые стенки 132, 134 —• сопротивления 85, 122 Гидравлический показатель русла х 174 — прыжок 247, 249 волнистый 255 затопленный 258 надвинутый 258 несовершенный 264 — — отогнанный 258 совершенный 254 — радиус 51, 206 — уклон 81, 89, 124, 274 Гидравлическое дно потока 137 Гидростатический парадокс 40 График Зегжда 136 — Никурадзе 134 — прыжковой функции 253 — удельной энергии сечения 157, 247, 253 Гребень водослива 212, 220, 228 Давление абсолютное 26, 27, 28 — атмосферное 26, 29 — внешнее 26 — в точке (единичное) 28 — гидродинамическое 47, 67, 79, 272 — гидростатическое 20, 24, 26 — избыточное 26, 28, 35 Дальность полета струи 262 Движение жидкости безнапорное (свободное) 53, 122, 203, 266 бурное 57, 158, 247 — — быстро изменяющееся 267, 299 квазиустановившееся 298 ламинарное 53, 60, 62, 64, 66 медленно изменяющееся 56, 267 напорное 54, 202, 266 неравномерное 55, 153, 185 неустановившееся 56, 266 одномерное 270, 27,1 — —• плавно изменяющееся 56, 155, 267, 271 — — равномерное 54, 86, 122 резко изменяющееся 247, 267 с переменным расходом 306 спокойное 57, 158 турбулентное 53, 60, 61, 63, 64 установившееся 56 Двухфазные потоки 17 Динамический коэффициент вязкости р, 14, 65 Длина волны 271 — послепрыжкового участка 263 — прыжка 263 — участка гашения энергии прыжка 263 Донный режим сопряжения бьефов 256 Емкость непризматической формы 114 •— призматической формы 114 Ж и в о е сечение 49 Жидкость 12 — идеальная 15, 47, -78 — реальная 15, 47, 78 Закон — Ньютона (внутреннего трения) 64, 65 — Паскаля 26 — Пуазейля 69 Кавитация 17 Капиллярное поднятие жидкости 15 Квадратичный закон сопротивления 61, 73, 134 Кинематический коэффициент вязкости у 14 - — круг паводка 295 — эффект безнапорного потока 151 Коэффициент бокового сжатия (для водосливов) 226, 234 — Буссинеска а 0 275, 278 — виртуальной («турбулентной») вязкости А 71 — гидравлического трения X 69, 90 _ — Кориолиса (неравномерности распределения скоростей по сечению потока) а 84, 274,, 278 — откоса (заложение стенки) т 51 — подтопления водослива стп 221, 229 — полноты напора водослива а ц 228 — расхода водослива т 217, 219, 221, 228, 233 отверстия и насадка [л 103 — расширения потока при выходе в нижний бьеф 236 -. — сжатия струи в 101 — скорости ф 102 — сопротивления £ 90, 91 входа 93 . выхода 93 по длине 90 резкого расширения 92 сужения 92 — уменьшения (для водослива) 227 Коэффициент формы водослива 0ф 228 — Шези С 123 — шероховатости п 125, 128, 129, 130, 141 приведенный 148 " Кривая водной поверхности 203 — подпора 168, 170 — свободной поверхности 168, 169, 170, 171, 208 — спада 169, 170 Критерий подтопления 236 Критическая глубина 157, 158, 160, 247, 254 ' — скорость 158, 161 • верхнего предела 60, 62 нижнего предела 60, 62 Критический уклон 158, 161 Критические характеристики потока 158, 160 Критическое состояние потока 158 —' число Рейнольдса 62, 63 Фруда 159 Ламинарный режим 53, 63, 66 Линия тока 47 Максимальная неразмывающая скорость 142 Массовые силы 18, 24 Местные потери напора 91, 155 Метацентр 46 ' Минимальная незаиляющая скорость 142 Модуль расхода К 125 — скорости 124 — сопротивления F 192 Напор геометрический 31, 212 — инерционный 275 — на водосливе 213 — потенциальный 31, 81, .312 — профилирующий 228 — скоростной 79, 80 Напряжение касательное 19, 65, 71. — нормальное 19 -352 Н а с а д к и 99, 110, 111, 112, 113 Н а с а д о к Б о р д а 112 — Вентури 111 — конически сходящийся 112 расходящийся 113 — коноидальный 113 Непризматические русла 153 Н и ж н и й бьеф ( Н Б ) 212 Н и ж н я я критическая скорость 60, 62 Н о р м а л ь н а я глубина Л0 143, 154, 162 Область гладких русел 133 — доквадратичного сопротивления шероховатости русел — квадратичного сопротивления шероховатости русел 134" Объемные силы 18, 24 Опорная к р и в а я 198 Основное уравнение гидростатики 23; 25, 26 Остойчивость тел 45 Ось плавания 45 Отверстие большое 100, 106 — затопленное 100, 106 — малое 99 • — незатопленное 100 Относительная гладкость 133 — глубина в русле г) 175 на водосливе с широким порогом 232 — погрешность измерения расхода на водосливе 224 — шероховатость 133 Относительный м о д у л ь расхода % 171, 175 — перепад восстановления на водосливе 237 — покой 3 3 ' . П а в о д о ч н а я петля 270, 292 П е р е п а д восстановления на водосливе 236 — отметок уровней воды на водосливе 230, 240 П л а в а н и е тел 44, 45 Плоский поток 74 Плоскость отсчета глубин 137 — сравненйя 30 Плотность жидкости 13 П л о щ а д ь живого сечения 50 Поверхностное н а т я ж е н и е 16 ' Поверхностно-донный р е ж и м сопряжения бьефов 256 Поверхностный режим с о п р я ж е н и я бьефов 257 Поверхность равного д а в л е н и я 32 П о л н а я длина крепления русла 261 Полный коэффициент сопротивления 95 — напор 81, 109 на водосливе 213 — перепад на водосливе 213 П о с л е п р ы ж к о в ы й участок 264 Постулат инвариантности модуля сопротивления русла 192 Потенциальный напор 31, 81, 312 Потери напора (энергии) . 60, 69, 78, 85, 86 ' местныее 85, 91 ; полные 86 — — по длине 85, 90 — энергии в п р ы ж к е 253 Приведенный коэффициент расхода для водослива 228 сопротивления 97 шероховатости 148 Призматические русла 153 Принцип наибольшего расхода (постулат Б е л а н ж е ) 232 Заказ № 33 Пристенный подслой 138, 139 Прыжковая функция 252 г Пульсация давления 63, 56, 250 — скорости 47, 49, 53, 56, 250 Пьезометр 28 Пьезометрическая' высота 28, 67 — линия 67, 80 Пьезометрический уклон 67, 80, 89, 124 Расход жидкости единичный 162 — элементарный 48 Расходная характеристика К 125 Реактивные силы 19, 42 Русла неправильной формы 147, 149, 154, 160 — правильной формы 147, 154, 160 — цилиндрические 153 Свободное истечение через водослив 218 Сжатие, струи неполное 104 несовершенное 104 полное 103 совершенное 103 Сжатое сечение 101,248, 2 5 6 , 2 5 9 Сила гидродинамического давления 77 — гидростатического давления 20, 33, 35, 38, 39, 42 Скорость волновая 300 — динамическая 75 — движения гребня паводка 293 — местная 49, 83 — подхода 106, 213 — средняя 49, 50, 83 Скоростная характеристика 124 Случай абсолютного покоя 32 Смоченный периметр % 51 Сопряжение бьефов 255, 259 Сопряженные глубины в гидравлическом прыжке 252, 254 Составное русло 149, 200 Сходственные (соответственные) точки 55 Тело давления 43 Толстая стенка 99 Тонкая стенка 99 Траектория движения 47 — струи 104 Трубка Пито 79, 80 Турбулентный режим 53, 60, 61, 63, 64 Удельная энергия давления 31, 81 кинетическая 81, 157 полная 81, 156 положения 31, 81, 156 • потенциальная 31, 81, 157 сечения 156 Уклон гидравлический 81, 89 — дна потока 52, 55, 89 — критический 158, 161 — пьезометрический 67, 80, 89, 124, — свободной поверхности 52, 55, 71, 89 Уравнение баланса расхода 277 — Бахметева для неравномерного движения в призматическом русле — Бернулли для потока с переменным расходом 311 для установившегося движения 85, 310 для элементарной струйки реальной жидкости 79 — гидравлического прыжка 252 — движения элементарной струйки жидкости с переменным расходом 310 — движения потока жидкости с переменным расходом 311, 312 — динамического равновесия 277 — критического состояния 159 — неравномерного движения 165, 166, 176, 190 — жидкости с переменным расходом для открытого потока в непризматическом русле 316 — неразрывности 57, 68, 277 — неустановившегося движения для элементарной струйки 273 плавно изменяющегося движения для целого потока 275 — Павловского для неравномерного движения в призматическом русле 178 4 — равномерного - движения 86, 89 Уравнения Сен-Венана 277, 278 Формула Агроскина для С 127 — Альтшуля для С 138 для Я 91 — Блазиуса для Я 133 — Вейсбаха для h, 91 — Вейсбаха—Дарси для hi 90 — Гангилье—Куттера для С 125 ' — Железнякова для С 128 — Зегжда для Я 136 — Л а г р а н ж а для волновой скорости 310 — Маннинга для С 126 — Можевитинова для и с р 149 — Никитина для X 139 — Никурадзе для Я 135 — Павловского для С 126 — Пуазейля 69 — Талмазы для С 128 — Томсона для водослива 223 — Шевелева для Я 91 — Шези 123 Формы свободной поверхности при неравномерном движении 167, 172„ 318 — струи на водосливе 219 Фронт волны 270 Центр водоизмещения 44 — давления 35, 37, 38, 39 — тяжести эпюры давления 38, 39 Число Рейнольдса 62, 63 — Фруда 159 Ширина водослива 212, 226 — водосливного фронта 226 Шероховатость искусственная равномерно зернистая 133 — относительная 133 — эквивалентная 137, 141 Элементарная площадка 48 — струйка 48 Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли 81 Энергетический закон в покоящейся жидкости 31 — принцип Бахметева 232 Эпюра гидростатического давления 38, 39 — скоростей 49 Эффективная ширина водослива 226 водосливного фронта 226 22* 355 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Глава первая. Введение . . . . i . . . . • 5" 1.1. Определение науки «Гидравлика» 1.2. Состав курса гидравлики 1.3. Краткие сведения из истории развития гидравлики и об ее основоположниках 1.4. Основные физические свойства жидкости 1.5. Особые состояния жидкости 1.6. Модель сплошной среды. Силы, действующие на жидкость . . Глава вторая. Гидростатика жидкости 3.1. Общие понятия и определения гидродинамики . . 3.2. Виды движения жидкости 3.3. Уравнение неразрывности в случае установившегося движения 3.4. Два режима движения жидкости. Опыты Рейнольдса 3.5. Число Рейнольдса. Определение режима движения жидкости . . • 3.6. Закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости 3.7. Распределение скоростей по живому сечению при ламинарном движении. Формула для расхода жидкости и потерь напора по длине при ламинарном движении в круглой трубе 3.8. Модель турбулентного течения. Касательные напряжения в турбулентном потоке 3.9. Распределение скоростей в турбулентном потоке 3.10. Уравнение Бернулли для элементарной -струйки жидкости . . . 3.11. Интерпретации уравнения Бернулли 3.12. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. Коэффициент неравномерности распределения скоростей 3.13. Общие указания о потерях напора 3.14. Основное уравнение равномерного движения -356 7 12 16 18 20 2.1. Гидростатическое давление. Свойства гидростатического давления 2.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме 2.3. Закон распределения гидростатического давления по глубине в случае жидкости, находящейся под действием только одной объемной силы — силы тяжести 2.4. Пьезометрическая высота. Вакуум 2.5. Удельная потенциальная энергия. Потенциальный напор . . . 2.6. Поверхности равного давления . . . . . ' . . . . 2.7. Суммарное гидростатическое давление на плоскую фигуру любой формы. Центр давления 2.8. Графоаналитический способ определения суммарного давления на плоские фигуры и положения центра давления 2.9. Суммарное гидростатическое давление на криволинейную (цилиндрическую) поверхность 2.10. Равновесие плавающих тел Глава третья. Основные закономерности движения — 6 — 23 25 27 30 32 33 37 40 43 47 —53 57 59 61 64 66 70 73 76 79 82 85 86 3.15. Потери напора по длине при движении воды в трубах . . . 3.16. Потери напора в трубах от местных сопротивлений . . . . 3.17. Сложение потерь напора. Применение уравнения Бернулли к расчету напорного трубопровода . . . . . . . . . Глава четвертая. Истечение жидкости из отверстий и насадков . . . . 4.1. Общие понятия и определения 4.2. Истечение жидкости в атмосферу из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре 4.3. Влияние сжатия струи на истечение через отверстие 4.4. Траектория струи 4.5. Истечение из малого отверстия под уровень 4.6. Расчет истечения через большие отверстия . 4.7. Расчет истечения жидкости из-под щита через большое отверстие 4.8. Истечение жидкости из насадков при постоянном напоре . . . 4.9. Истечение жидкости при переменном напоре из призматических резервуаров . 4.10. Истечение жидкости из непризматических резервуаров. Определение времени опорожнения и наполнения водохранилищ Глава пятая. Гидравлические сопротивления в безнапорном потоке 90 91 95 99 — 100 103 104 106 — 109 110 114 118 . . 122 5.1. Предварительные указания 5.2. Вывод формулы Шези. Скоростная и расходная характеристики потока . 5.3. Формулы для. определения коэффициента Шези С 5.4. Коэффициент шероховатости 5.5. Понятия о гидравлически гладких и шероховатых стенках. Графики Никурадзе и Зегжда ., 5.6. Замечания о применимости формул для С и К . . . . . . . 5.7. Основные типы задач при гидравлическом расчете рек и каналов 5.8. Гидравлически наивыгоднейший поперечный профиль канала . . 5.9. Гидравлический расчет естественных речных русел 5.10. Расчет пропускной способности русел при переменной по сечению шероховатости 5.П. Расчет пропускной способности русел, имеющих составной поперечный профиль. Русла с поймами — Глава шестая. Неравномерное установившееся движение воды в открытых призматических руслах 6.1. Понятие о неравномерном движении 6.2. Удельная энергия сечения. График удельной энергии . . . . . 6.3. Уравнение критического состояния потока. Число Фруда . . . 6.4. Определение критических характеристик потока для русел разной формы поперечного сечения 6.5. Дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося движения жидкости в открытых-руслах . 6.6. Исследование форм (видов) свободной поверхности потока при неравномерном движении . 6.7. Общие указания об интегрировании дифференциального уравнения -неравномерного движения воды в призматическом русле . . . 6.8. Интегрирование уравнения неравномерного движения по способу Бахметева .• . 6.9. Интегрирование уравнения неравномерного движения по способу Павловского 6.10. Построение кривой свободной поверхности потока по уравнению Бернулли методом конечных разностей 123 125 128 131 137 140 145 147 — 149 153 —• 156 158 160 163 167 171 175 170 179 -357 Глава седьмая. Неравномерное установившееся движение воды в естественных (речных) руслах , 7.1. Общие-указания. Разбивка водотока на участки . . . . . . . 7.2. Дифференциальное уравнение установившегося неравномерного движения в условиях естественного водотока 7.3. Общий прием построения кривой свободной поверхности . . . 7.4. Модуль сопротивления. Постулат инвариантности модуля сопротивления . . . . 7.5. Построение свободной поверхности по способу Рахманова . 7.6. Построение свободной поверхности по способу Павловского . . 7.7. Построение свободной поверхности по способу Вернадского . . 7.8. Построение кривой свободной поверхности в русле с поймой и при раздвоении русла . . . . . . . . 7.9. Построение кривой водной поверхности для зимних условий 7.10. Определение значений гидравлических элементов для естественных русел Глава восьмая. Водосливы . Глава девятая. Гидравлический прыжок и сопряжение бьефов . . . . 9.1. Понятие о гидравлическом прыжке 9.2. Основное уравнение гидравлического прыжка 9.3. Особые виды гидравлического прыжка 9.4. Основные типы сопряжения бьефов . 9.5. Расчет сопряжения струи в нижнем бьефе в условиях донного режима 9.6. Методы гашения энергии в нижнем бьефе сооружения . . . . 192 195 — 197 200' 202' 210' безнапорное движение жидкости — 216 218222 223'225 230' 237 243245 247 — 250 254 255 25& 264 . . 266 10.1. Определение неустановившегося движения жидкости 10.2. Классификация волн 10.3. Дифференциальные уравнения неустановившегося плавно изменяющегося движения жидкости 10.4. Общие указания об интегрировании системы уравнений неустановившегося движения 10.5. Метод характеристик 10.6. Метод мгновенных режимов 10.7. Линейные методы 10.8. Метод Института гидродинамики 10.9. Особенности движения паводочных волн 10.10. Неустановившееся движение при прорыве плотины . . . . . 10.11. Рекомендации к выбору метода расчета неустановившегося движения воды в реках — — Глава одиннадцатая. Движение потока с переменным расходом . . . . 11.1. Предварительные указания 11.2. Уравнение движения потока жидкости с переменным расходом -358 188190* 212' 8.1. Терминология и классификация водосливов . . . 8.2. Основная расчетная формула для водосливов . 8.3. Водосливы с тонкой стенкой 8.4. Водосливы с тонкой стенкой, отличные от прямоугольных . . 8.5. Точность определения расходов воды водосливами 8.6. Водосливы практического профиля 8.7. Водосливы с широким порогом . 8.8. Расчет пропускной способности стеснения русла 8.9. Расчет пропускной способности водослива при частичном открытии затвора, находящегося на гребне водосливной стенки . . . 8.10. Особые случаи водосливов Глава десятая. Неустановившееся 185 — 271 280 281 28& 289" 290 292 299 303 306 — 307 • 11.3. Движение жидкости с переменным расходом в трубах постоянного диаметра 11.4. Дифференциальное уравнение движения жидкости с переменным расходом в открытом непризматическом русле . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Формы свободной поверхности в открытом русле при движении жидкости с переменным расходом 11.6. Интегрирование уравнения движения жидкости с переменным расходом и постоянной глубиной потока 11.7. Интегрирование уравнения движения жидкости с переменным расходом и переменной глубиной потока Глава двенадцатая. Некоторые вопросы гидравлики слияния, деления потока и устьевых участков рек 12.1. Предварительные указания 12.2. Слияние двух потоков 12.3. Деление расхода при разветвлении русла 12.4. Деление потока в устьевых участках рек Приложение: Таблица 1. Значения коэффициента С по формуле Павловского . . Таблица 2. Значения коэффициента С .по формуле Железнякова . . Таблица 3. Значения коэффициента шероховатости по Павловскому Таблица 4. Значения коэффициента шероховатости для естественных водотоков по Срибному Таблица 5. Значения коэффициента шероховатости для естественных водотоков по Чоу . Таблица 6. Шкала шероховатости речных русел и пойм по Карасеву Таблица 7. Значения коэффициента шероховатости нижней поверхности ледяного покрова по Белоконю Таблица 8. Значения функции £(т]) для прямого дна водотока (£> > 0 ) при различных значениях гидравлического показателя х . . . . 312 314 317 319 323 326 — — 327 333 336 337 338 339 341 342 344 — •Список литературы 348 Предметный 350 указатель Учебник Иван Прокофьевич Спицын Валерия Александровна Соколова ОБЩАЯ И РЕЧНАЯ ГИДРАВЛИКА Редактор Г. Г. Доброумова. Художний Б. Л . Каганович. Художественный редактор Е. Н. Чукаева. Технический редактор Н. И. Перлович. Корректор Л. Б. Емельянова. ИБ № 1997 Сдано в набор 11.01,90. Подписано в печать 31.05.90. М-19572. Формат 60X90'/i6. Бумага книжная. Гарнитура литературная. Печать высокая. Печ. л. 22,5. Кр.-отт. 22,5. Уч.-изд. л. 23,87. Тираж 3500 экз. Индекс ГК-112. З а к а з № 33. Цена 1 руб. 10 коп. Гидрометеоиздат, 199226. Ленинград, ул. Беринга, 38. Ленинградская типография N° 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по Печати. J90000, Ленинград, Прачечный переулок, 6.