МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИДО
___________ С.И. Качин
«____» ________ 2013 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Методические указания и индивидуальные задания
для студентов ИДО, обучающихся по направлению
200100 «Приборостроение»
Составитель Б.Б. Мойзес
Направление
Семестр
Кредиты
Лекции, часов
Практические занятия, часов
Индивидуальные задания
Самостоятельная работа, часов
Формы контроля
200100
5
6
8
4
4
119
Экз.
Издательство
Томского политехнического университета
2013
УДК 58.088(075.8)
Математические методы обработки экспериментальных данных:
метод. указ. и индивид. задания для студентов ИДО, обучающихся по
направлению 200100 «Приборостроение» / Сост. Б.Б. Мойзес. – Томск:
Изд-во Томского политехнического университета, 2013. – 39 с.
Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены
и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры
физических методов и приборов контроля качества «….» 2013 года,
протокол №…...
Заведующий кафедрой ФМПК
А.П. Суржиков
Аннотация
Методические указания и индивидуальные задания по дисциплине «Математические методы обработки экспериментальных
данных» предназначены для студентов ИДО, обучающихся по
направлению 200100 «Приборостроение». Данная дисциплина изучается в пятом семестре.
Приведено содержание основных тем дисциплины, указаны
темы практических занятий. Приведены варианты индивидуального домашнего задания. Даны методические указания по выполнению индивидуального домашнего задания.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ .................................................................4
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ ..............6
3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ ................9
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ .........................................23
5. ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ..................................................................34
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................36
ПРИЛОЖЕНИЕ А ..................................................................................................37
ПРИЛОЖЕНИЕ Б ...................................................................................................38
3
1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
Дисциплина «Математические методы обработки экспериментальных данных» входит в цикл математических и естественнонаучных
дисциплин. При изучении дисциплины студенты знакомятся с основными задачи и методами математической обработки экспериментальных данных.
Для полноценного усвоения дисциплины большое значение имеют
знания, умения, навыки и компетенции, приобретенные студентами,
при изучении следующих дисциплин: «Основы образовательной программы», «Компьютерные технологии в приборостроении», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Информатика», «Физика».
Для успешного освоения дисциплины студенты должны
 знать:
o основные положения компетентностного подхода в условиях реализации ООП, основные требования кредитно-рейтинговой системы освоения ООП;
 уметь:
o обосновывать свои суждения и выбирать методы поиска и исследования;
o производить обработку информации, хранимую в файлах произвольных форматов
o применять математические методы к решению инженерных,
исследовательских и других профессиональных задач
o работать с учебной и справочной литературой;
o использовать персональные ЭВМ для решения широкого круга
практических задач, связанных с обработкой числовой, текстовой и других видов информации.
o использовать физические законы при анализе и решении проблем профессиональной деятельности;
o измерять физические величины, обрабатывать результаты измерений, строить графики, сравнивать полученные результаты
с теоретическими предсказаниями, делать выводы;
o объяснять на уровне гипотез отклонения полученных экспериментальных данных от известных теоретических и экспериментальных данных;
o рассчитывать погрешности измерений, умения дать точные ответы на поставленные вопросы в рамках практических занятий,
лабораторных работ, коллоквиумов и т.д.;
4
использовать программные продукты;
o объяснять принципы действия приборов на основе законов механики;
o ставить эксперимент и анализировать результаты эксперимента,
решать задачи, выполнять лабораторные работы;
o правильно оформлять и анализировать графический материал,
сравнивать полученные результаты с известными процессами,
законами;
владеть:
o современными
информационными
и
информационнокоммуникационными технологиями и инструментальными средствами для решения общих задач и для организации своего труда
(офисное программное обеспечение);
o навыками работы в поиске, обработке, анализе большого объема
новой информации и представления ее в качестве отчетов и презентаций;
o способами сохранения расчетных и экспериментальных данных
с использованием файловой системы персонального компьютера;
o математическим аппаратом для описания, анализа, теоретического и экспериментального исследования и моделирования физических и химических систем, явлений и процессов, использования
в обучении и профессиональной деятельности
o современными
информационными
и
информационнокоммуникационными технологиями и инструментальными средствами для решения различных задач;
o навыками работы в поиске, обработке, анализе большого объема
новой информации и представления ее в качестве отчетов и презентаций;
o навыками выбора закономерностей для решения задач, исходя
из анализа условия задачи.
Пререквизитами данной дисциплины являются:
«Основы образовательной программы»;
«Компьютерные технологии в приборостроении»;
«Дифференциальное исчисление»;
«Интегральное исчисление»;
«Информатика»;
«Физика».
Кореквизитов нет.
o







5
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА
ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. Введение в дисциплину (2 часа)
Методы научного исследования. Прямые и косвенные измерения.
Погрешности измерений. Обработка экспериментальных данных.
Рекомендуемая литература: [1, с. 75–89], [4, с. 4–10, 26–57].
Методические указания
При изучении методов математической обработки экспериментальных данных необходимо знать о методах научного исследования,
одним из которых является эксперимент, в ходе которого изучают свойства явления или объекта посредством различного вида измерений. При
измерении физической величины при одних и тех же начальных условиях проведения эксперимента вследствие многих факторов получаются
различные по значению измерения, что приводит к понятию погрешность измерений. Впоследствии экспериментальные данные необходимо обработать, т.е. привести данные к виду, удобному для использования.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Что такое данные, метод, обработка данных?
2. Перечислите известные Вам теоретические методы научных
исследований?
3. Перечислите известные Вам эмпирические методы научных
исследований. Дайте краткую характеристику каждого метода.
4. Что представляет собой эксперимент?
5. В чем разница между прямыми и косвенными измерениями?
6. Дайте объяснение понятий точность и погрешность измерений?
7. Что такое абсолютная, относительная и приведенная
погрешности?
8. Что такое методы обработки экспериментальных данных?
Тема 2. Интерполяция функций (4 часа)
Понятие интерполяции. Линейная интерполяция. Интерполяционный полином Лагранжа. Интерполяционные полиномы Ньютона: первая
и вторая формулы.
Рекомендуемая литература: [2, с. 46–59].
6
Методические указания
При обработке результатов эксперимента нашли применение математические (численные) методы обработки экспериментальных данных,
одним из которых является интерполяция различными полиномами,
позволяющими найти с определенной погрешностью промежуточные
значения исследуемой зависимости по имеющемуся дискретному набору полученных в ходе эксперимента данных.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что такое интерполяция?
Когда возникает необходимость в интерполяции функций?
В чем сущность линейной интерполяции?
В чем сущность задачи интерполирования?
Как строится интерполяционный многочлен Лагранжа?
Как строится первый интерполяционный многочлен Ньютона?
Как строится второй интерполяционный многочлен Ньютона?
Тема 3. Аппроксимация функций (2 часа)
Понятие аппроксимации. Метод наименьших квадратов. Линейная
аппроксимация. Параболическая аппроксимация. Аппроксимация в виде
показательной и степенной функции.
Рекомендуемая литература: [2, с. 60–78].
Методические указания
При обработке результатов эксперимента нашли применение математические (численные) методы обработки экспериментальных данных,
одним из которых является аппроксимация различными способами, которые позволяют найти с определенной степенью точности промежуточные значения исследуемой зависимости по имеющемуся дискретному набору экспериментальных данных.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое аппроксимация?
В чем разница между аппроксимацией и интерполяцией?
В чем сущность линейной аппроксимации?
В чем сущность параболической аппроксимации?
В чем сущность аппроксимации в виде показательной функции?
В чем сущность аппроксимации в виде степенной функции
7
Тема 4. Электронные таблицы Microsoft Office Excel
(для самостоятельной работы студента)
Основные понятия об Microsoft Office Excel. Ввод и редактирование данных. Проведение вычислений. Построение диаграмм.
Рекомендуемая литература: [2, 112 – 135], [4, 57 – 82].
Методические указания
Microsoft Office Excel – одна из распространенных компьютерных
программ, позволяющая автоматизировать расчеты и построение различных графиков по экспериментальным данным.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что такое ячейка таблицы? Как обозначается ее адрес?
Как визуально отличить активную ячейку от неактивной?
Как настраивается формат ячейки?
Назовите общие правила ввода в ячейку формул?
Приведите примеры работы с формулами.
Назовите общие правила работы с диаграммами?
Приведите примеры работы с диаграммами.
Как посчитать погрешности при помощи Microsoft Office Excel?
Тема 5. Элементы теории вероятности
(для самостоятельной работы студента)
Закон распределения Пуассона. Экспоненциальное распределение.
Нормальный закон распределения. Логарифмически-нормальное распределение. Распределение Вейбулла. Гамма-распределение.
Рекомендуемая литература: [3, с. 14 – 33].
Методические указания
При обработке экспериментальных данных часто пользуются законами распределения величин.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
В чем сущность закона распределения Пуассона?
В чем сущность экспоненциального распределения?
В чем сущность нормального закона распределения?
В чем сущность логарифмически-нормального распределения?
В чем сущность распределения Вейбулла?
В чем сущность гамма-распределения?
8
3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА
ДИСЦИПЛИНЫ
3.1.Тематика практических занятий
В данном разделе приведены темы практических занятий по дисциплине «Математические методы обработки экспериментальных данных». Преподаватель выбирает две темы на свое усмотрение.
Тема 1. Интерполяция функций: линейная интерполяция,
интерполяционный полином Лагранжа (2 часа)
1. Обработка экспериментальных данных методом линейной интерполяции.
2. Обработка экспериментальных данных интерполяционным полиномом Лагранжа.
Рекомендуемая литература: [2, с. 46–59].
Тема 2. Интерполяционные полиномы Ньютона (2 часа)
1. Обработка экспериментальных данных методом интерполяционным полином Ньютона: первая формула.
2. Обработка экспериментальных данных методом интерполяционным полином Ньютона: первая формула.
Рекомендуемая литература: [2, с. 46–59].
Тема 3. Аппроксимация функций:
линейная аппроксимация (2 часа)
1. Метод наименьших квадратов.
2. Обработка экспериментальных данных методом линейной аппроксимации.
Рекомендуемая литература: [2, с. 60–68].
Тема 4. Аппроксимация функций:
параболическая аппроксимация (2 часа)
1. Обработка экспериментальных данных методом параболической
аппроксимации.
Рекомендуемая литература: [2, с. 69–73].
9
Тема 5. Аппроксимация функций: аппроксимация
в виде показательной и степенной функции(2 часа)
1. Аппроксимация экспериментальных данных в виде показательной функции.
2. Аппроксимация экспериментальных данных в виде степенной
функции.
Рекомендуемая литература: [2, с. 74–78].
3.2. Перечень лабораторных работ
Лабораторный практикум является составной частью учебного
процесса по дисциплине «Математические методы обработки экспериментальных данных».
Целью лабораторных работ является изучение методов математической обработки данных. Лабораторные работы призваны закрепить
теоретические знания по изучаемому курсу.
В данном разделе приведен перечень лабораторных работ для студентов, изучающих дисциплину по классической заочной форме.
Лабораторные работы проходят во время сессии и выполняются
на персональных компьютерах. Для каждой работы предусмотрены методические указания по ее выполнению, контрольные вопросы и требования к оформлению отчета (Приложение А).
Студенты выполняют две лабораторные работы. Каждая лабораторная работа состоит из двух тем.
Рекомендуемая литература: [1–5].
Лабораторная работа № 1.
«Линейная интерполяция. Интерполяционный
полином Лагранжа» (2 часа)
Цель работы: закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач математическими методами обработки экспериментальных данных.
Теоретические основы
Интерполяция – способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Пусть в ходе эксперимента при изменении входной величины х (x0,
x1, x2,..., xn) получены значения функции y=f(x) (y0, y1, y2.....yn) (табл. 1).
10
Таблица 1
Вид таблицы экспериментальных данных
x0
y0
x1
y1
x2
y2
...
...
xn-1
yn-1
xn
yn
Интерполяцию функций применяют в случае, когда требуется
найти значение функции y(х) при значении аргумента xi, принадлежащего интервалу [x0, …, xn], но не совпадающего по значению ни с одним
значением, приведенным в таблице 1.
Данная задача, а именно интерполяция функций, часто встречается
при ограниченности возможностей при проведении эксперимента. В
частности из-за дороговизны и трудоемкости проведения эксперимента
размер выборки (x0, x1, x2,..., xn) может быть достаточно мал.
При этом во многих случаях аналитическое выражение функции
y(x) не известно и получить его по таблице ее значений (табл. 1) в большинстве случаев невозможно. Поэтому вместо нее строят другую функцию, которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений (совпадает с ней в точках x0, x1, x2,..., xn), что и f(x), т. е.
Pn(x0)=f(x0)=y0;
…
Pn(xi)=f(xi)=yi;
где i = 0, 1, 2, ... , n.
Нахождение приближенной функции называется интерполяцией,
а точки x0, x1, x2, ..., xn – узлами интерполяции.
Интерполирующую функцию ищут в виде полинома n степени
Pn(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an.
Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный
многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен
может быть представлен в различных видах. Рассмотрим линейную интерполяцию, интерполяционные многочлены Ньютона
и Лагранжа.
Графически задача интерполирования заключается в том,
чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы
проходила через все узлы интерРис. 1. Вид интерполирующей функции полирования (рис. 1).
11
Тема 1. Линейная интерполяция
Линейная интерполяция – простейший и часто используемый вид
интерполяции. Она состоит в том, что заданные точки с координатами
xi, yi при i=0, 1, 2, ... n соединяются прямолинейными отрезками, а
функцию y(x) можно приближенно представить в виде ломаной.
Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (xi-1, xi), то для каждого из них в качестве
уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение
прямой, проходящей через две точки: для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi-1, yi-1) и (xi, yi),
x  xi 1
y  yi 1
=
.
yi  yi 1
xi  xi 1
Отсюда
y=aix+bi, xi-1  x xi;
(1)
yi  yi 1
, bi = y i-1 – ai xi-1.
(2)
xi  xi 1
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента
x, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение
функции в этой точке. Пример линейной интерполяции для экспериментальных данных согласно табл. 2. приведен на рис. 2.
Таблица 2
ai =
Таблица экспериментальных данных
Индекс
x
y
0
1
2,5
1
2
4
2
3
3,5
3
4
5
4
5
6
y7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x6
Рис. 2. Графическое решение линейной интерполяции
12
Пример
Даны экспериментальные данные (табл. 3).
Таблица 3
Экспериментальные данные
x
y
0
-1
2
0,2
3
0,5
3,5
0,8
1. Найти значение функции при x=1 и x=3,2.
2. Решить задачу графически.
Решение
1. Точка x=1 принадлежит первому локальному отрезку [0, 2], т.е.
i=1 и, следовательно, по вышеприведенным формулам (1, 2):
a1 =
y1  y0 0,2  (1)

 0,6 ; b1 = y0 – a1 x0 = –1–0,6∙0 = –1;
x1  x0
20
y = a1x + b1 = 0,6∙1 – 1 = –0,4.
Точка x=3,2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е. i=3 и,
следовательно, по формулам (1, 2):
a3 =
y3  y2 0,8  0,5

 0,6 ; b3 = y2 – a3 x2 = 0,5–0,6∙3 = –1,3;
x3  x2
3,5  3
y = a3x + b3 = 0,6∙3,2 – 1,3 = 0,62.
2. По данным таблицы 3 строим график (рис. 3).
1y
6,2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
1
2
3 3,2
x
Рис. 3. Графическое решение поставленной задачи
13
Контрольные вопросы:
1. Что такое интерполяция?
2. В чем сущность линейной интерполяции?
3. Как оценивается погрешность линейной интерполяции?
Задания
По экспериментальным данным найти значения функции при заданных значениях аргумента.
Решить задачу графически.
Таблица 4
Данные для выполнения заданий
№
варианта
1
2
3
4
5
Индекс
0
1
2
3
4
5
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
0
-0,5
2
1
3
2
0
-0,2
2
1
1
?
2,5
1,5
3,5
?
1
?
2,5
?
2
0,4
3
?
4
3
2
0,3
3
3
3
0,6
4
4
4,5
?
3
0,6
4
4
5
?
4,5
4,5
5
4
5
?
4,5
?
4
1,2
6
?
5,5
3
4
1,1
6
5
Тема 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
Pn ( x) 
n
 yi  Ln ( x) ,
(3)
i 0
где Ln(x) – множитель Лагранжа:
n x  x 
x  x0 ...x  xi 1 x  xi 1 ...x  xn 
k
Ln ( x) 

.
xi  x0 ...xi  xi 1 xi  xi 1 ...xi  xn  k  0xi  xk 
k i
Следовательно

 n xx
k
Pn ( x) =  yi  
i  0  k  0 xi  xk
 k i
n
14


.



Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения x=xi,
так как результат будет равен нулю. В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать:
Pn ( x)  y0
 y1
 yn
( x  x1 )( x  x2 )...(x  xn )

( x0  x1 )( x0  x2 )...(x0  xn )
x  x0 x  x2 ...x  xn 
 ...
x1  x0 x1  x2 ...x1  xn 
(4)
( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )...(x  xn1 )
.
( xn  x0 )( xn  x1 )( xn  x2 )...(xn  xn1 )
Интерполяционный полином в форме Лагранжа обычно применяется в теоретических исследованиях (при доказательстве теорем, аналитическом решении задач и т. п.).
Пример
1. Найти для функции y=sinx интерполяционный полином Ла1
1
гранжа, выбрав узлы x0=0, x1= , x2= .
6
2
1 1
2. Найти значения полинома Лагранжа для значений х: и .
4 3
3. Определить абсолютную и относительную погрешности вычислений.
Решение
1. Вычислим соответствующие значения функции в узлах:
π 1
π
y0  0; y1  sin  ; y2  sin  1 (табл. 5).
6 2
2
Таблица 5
Таблица данных
Индекс
0
x
0
y
0
1
1
6
1
2
15
2
1
2
1
Применяя формулу (4), получим
1 
1

x  0 x  1 
x  0 x  1 
 x   x  
6 
2
2 1
6


Pn ( x)  
0 
 
1;
1 
1

1
 1 1  2  1
 1 1 
 0   0  
  0   
  0   
6 
2

6
 6 2 
2
 2 6 
7
Pn x   x  3  x 2 .
2
2. Определим значения полинома Лагранжа для значений х:
1 1
и :
4 3
1
1 7 1
Pn      3   0,688 ;
16
4 2 4
1
1 7 1
Pn      3   0,833 .
9
 3 2 3
3. Определим погрешности вычислений.
Для этого найдем значения функции y=sinx при заданных значениях x, составив соответствующую таблицу (табл. 6).
Таблица 6
Таблица данных
x
0
y
Pn(x)
0
0
1
6
0,5
0,5
1
4
0,71
0,69
1
3
0,87
0,83
1
2
1
1
Абсолютная погрешность измерения, определяемая как разность
между истинным и измеренным значениями физической величины:
Δ1/4=0,71 – 0,69=0,02;
Δ1/3=0,87 – 0,83=0,04.
Относительная погрешность находится как отношение абсолютной
погрешности к истинному значению или к результату измерения:
0,02
0,02
 100  2,82 или δ1 / 4 
 100  2,9;
0,71
0,69
0,04
0,04

 100  4,6 или δ1 / 3 
 100  4,82.
0,87
0,83
δ1 / 4 
δ1 / 3
16
Контрольные вопросы
1. Когда возникает необходимость в интерполяции функций?
2. В чем сущность задачи интерполирования?
3. Как строится интерполяционный многочлен Лагранжа?
4. Как оценивается погрешность интерполяционной формулы Лагранжа?
Задания
1. Построить полином Лагранжа для данных функций по заданным
узлам.
2. Определить значения полинома Лагранжа для двух промежуточных значений х по выбору студента.
3. Определить абсолютную и относительную погрешности вычислений.
Таблица 6
Данные для выполнения заданий
№
варианта
Вид функции
x0
1
y=sin2x
0
2
y=ex
3
x1
x2
–1
1
8
0
1
4
1
y=cosx
–0,5
0
0,5
4
y x
100
121
144
5
y=logx
1
10
100
17
Лабораторная работа № 2.
«Интерполяционный многочлен Ньютона:
первая и вторая формула» (2 часа)
Цель работы: закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач математическими методами обработки экспериментальных данных.
Теоретические основы
Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что
xi+1–x=h=const,
где h – шаг интерполяции, т.е. xi=x0+nh, то интерполяционный многочлен можно записать в форме, предложенной Ньютоном.
Интерполяционные полиномы Ньютона удобно использовать, если
точка интерполирования находится в начале таблицы – первая интерполяционная формула Ньютона или конце таблицы – вторая формула.
Тема 1. Первая интерполяционная формула Ньютона
Интерполирующий полином ищется в виде
Pn ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )  ...  a n ( x  x0 )...( x  xn 1 ). (5)
Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi.. При записи найденных коэффициентов пользуются конечными
разностями.
Конечные разности первого порядка запишутся в виде:
y0 = y1 – y0;
y1 = y2 – y1;
…
yn-1 = yn – yn-1,
где yi – значения функции, определенные при соответствующих значениях xi.
Конечные разности второго порядка:
2y0 = y1 – y0;
2y1 = y2 – y1;
…
2yn-2 = yn-1 – yn-2.
18
Конечные разности высших порядков найдутся аналогично:
ky0 = k-1y1 – k-1y0;
ky1 = k-1y2 – k-1y1;
…
kyn-2 = k-1yn-1 – k-1yn-2.
Коэффициенты а0, а1,..., аn находятся из условия Pn (xi) = yi. Находим a0, полагая x=x0,
a0=P(x0)=y0.
Далее подставляя значения x=x1, получим:
Pn (x1) = y1 = y0 +a1(x1 – x0),
y1  y 0 y 0

.
x1  x0
h
a1 
Для определения а2, полагая x=x2, получим
Pn(x2) = y2 = y0+
a2 =
y0
(x2 – x0)+a2(x2 – x0)(x2 – x1) = y0+2y0+a22h2;
h
y2  y0  2y0
2h
=
2
=
y2  y0  2 y1  2 y0
2h
( y2  y1 )  ( y1  y0 )
2h
2
=
2
=
y2  2 y1  y0
2h
y1  y0
2h
2
=
2 y0
2!h
2
2
=
.
Общая формула для нахождения всех коэффициентов имеет вид
ai 
где i=1…n.
В результате (5) примет вид
i y 0
i!h i
,
Δy 0
Δ 2 y0
Pn ( x)  y 0 
( x  x0 ) 
( x  x 0 )( x  x1 )  ...
2
1!h
2!h

Δ n y0
n!h n
(6)
( x  x 0 )...(x  x n1 ).
Данный многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции значений, близких к началу интервала интерполирования, или первым полиномом Ньютона.
19
Пример
Дана таблица значений (табл. 7) зависимости вязкости воды
от температуры ρ=f(T).
Таблица 7
Зависимость вязкости воды от температуры
T, °С
0
25
50
75
100
ρ, кг/м3
1000
997
988
975
960
1. Построить первый интерполяционный многочлен Ньютона.
2. Определить значение полинома для температуры T=12°С.
Решение
Составим таблицу конечных разностей функции (табл. 8).
Таблица 8
Таблица конечных разностей
1000
997
ρ
–3
–9
2ρ
–6
–4
50
988
–13
–2
3
75
975
–15
4
100
960
Индекс
T
ρ
0
1
0
25
2
3ρ
2
2
4ρ
0
Для построения полинома воспользуемся формулой (6):
ρ 0
2 ρ 0
P4 (T )  ρ 0 
(T  T0 ) 
(T  T0 )(T  T1 ) 
2
h
2! h

3ρ 0
3! h 3
 1000 
(T  T0 )(T  T1 )(T  T2 ) 
4 ρ 0
4! h 4
(T  T0 )(T  T1 )(T  T2 )(T  T3 ) 
3
6
2
(T  0) 
(T  0)(T  25) 
(T  0)(T  25)(T  50) 
25
25 2  2
25 3  6
 0,0000213  T 3  0,0064  T 2  0,0267  T  1000 .
Подставив в формулу полученного полинома значение Т=12°С,
найдем значение плотности ρ=999,35 кг/м3.
20
Тема 2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Для нахождения значений функции в конце интервала интерполирования интерполяционный полином запишется в виде
Pn ( x)  a0  a1 ( x  xn )  a2 ( x  xn )( x  xn 1 )  ...
... an ( x  xn )( x  xn 1 )...(x  x1 ).
(7)
Коэффициенты а0, а1, ..., аn находятся из условия Pn (xi ) = yi.
Подставляя в (7) x = xn, найдем
Pn ( xn )  y n  a0 .
Для x=xn-1:
Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn);
a1 
yn  yn 1 yn 1

.
h
h
Для x=xn-2:
Pn ( xn  2 )  y n  2  y n 
 yn 
y n 1
( xn  2  xn )  a 2 ( xn  2  xn )( xn  2  xn 1 ) 
h
y n 1
(2h)  a 2  2h 2  y n  2y n 1  a 2 2h 2 ;
h
a2 
2 yn 2
2!h 2
.
Формула для нахождения всех коэффициентов запишется как:
ai 
i y 0
i!h
i
.
Подставив выражения для определения коэффициентов ai в формулу (7), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:
y n1
2 y n2
Pn ( x)  y n 
( x  xn ) 
( x  x n )( x  x n1 ) 
h
2! h 2

3 y n3
3! h
... 
3
( x  x n )( x  x n1 )( x  x n2 )  ...
n y 0
n! h
n
( x  x n )( x  x n1 )...(x  x1 ).
21
(8)
Пример
Дана таблица значений (табл. 7) ρ=f(T).
1. Построить интерполяционный многочлен Ньютона.
2. Определить значение полинома для температуры T=90°С.
Решение
Для построения полинома воспользуемся формулой (8) и табл. 8:
ρ 3
2 ρ 2
P4 ( x)  ρ 4 
(T  T4 ) 
(T  T4 )(T  T3 ) 
2
h
2! h


3ρ1
3! h 3
2
3
(T  T4 )(T  T3 )(T  T2 ) 
4 ρ0
(T  T4 )(T  T3 )(T  T2 )(T  T1 ) 
4! h 4
15
2
 960  (T  100) 
(T  100 )(T  75) 
25
2! 25 2
(T  100)(T  75)(T  50)  0,0000213T 3  0,0064T 2  0,2933T  1028 .
3!25
Подставив в формулу полученного полинома значение Т=90°С,
найдем значение плотности ρ=965,29 кг/м3.
Контрольные вопросы
1. Как строится первый интерполяционный многочлен Ньютона?
2. Как строится второй интерполяционный многочлен Ньютона?
Задания
1. Построить первый и второй полином Ньютона для экспериментальных приведенных данных (табл. 8).
2. Определить значения полиномов для произвольно выбранных
Вами значениях аргумента х в начале и конце интервала интерполяции.
Таблица 8
Данные для выполнения задания
№ варианта Индекс
x
1
y
x
2
y
x
3
y
x
4
y
x
5
y
0
1
0,5
10
5
5
9
20
2
10
10
1
1,5
2,2
15
6
6
8
25
4
11
13
22
2
2
2
20
5,5
7
7,5
30
8
12
12
3
2,5
1,8
25
6,5
8
7,3
35
16
13
14
4
3
0,5
30
7
9
7,2
40
32
14
13
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
4.1. Общие методические указания
В соответствии с учебным графиком предусмотрено выполнение
одного индивидуального домашнего задания «Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимация функций».
При выполнении индивидуального задания студентам необходимо:
 изучить теоретические основы, касающиеся аппроксимации функций;
 ознакомиться с возможностями Microsoft Office Excel в части работы с электронными таблицами и построения диаграмм;
 решить поставленную задачу аналитически и графически.
Номер варианта индивидуального задания определяется по
последней цифре номера зачетной книжки. Например, если номер
зачетной книжки З-1Б11/1, то номер варианта задания равен 1. Если
номер зачетной книжки оканчивается на 0 (например, З-3Б10/10), то
номер варианта задания равен 10.
При оформлении индивидуального домашнего задания необходимо
соблюдать следующие требования.
1. Индивидуальное задание должно иметь титульный лист, оформленный в соответствии со стандартами ТПУ [5]. Образец оформления и
шаблон титульного листа размещены на сайте ИДО в разделе
СТУДЕНТУ  ДОКУМЕНТЫ (http://portal.tpu.ru/ido-tpu).
2. Текст индивидуального задания набирается в текстовом редакторе Microsoft Word. Правила оформления текста, рисунков, таблиц
и т. п. изложены в стандарте ТПУ [5]
3. Оформление должно начинаться с условия задачи, ниже краткая
запись задачи, если необходимо – рисунок, с условными обозначениями, которые в дальнейшем будут использованы при решении задачи.
4. Решение должно быть подробным, с включением промежуточных расчётов и указанием использованных формул.
5. Страницы задания должны иметь сквозную нумерацию.
6. В задание включается список использованной литературы.
Если работа не соответствует требованиям, студент получает оценку «не зачтено». В этом случае работа должна быть исправлена
и повторно предоставлена преподавателю.
Студент, не получивший положительной аттестации по индивидуальному заданию, не допускается к сдаче экзамена по дисциплине.
23
4.2. Методические указания
Теоретические основы
Аппроксимация – замена одних математических объектов другими,
в том или ином смысле близкими к исходным.
При интерполировании интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы вследствие того, что количество коэффициентов в интерполирующей функции равно количеству табличных значений.
Аппроксимация – метод приближения, при котором для нахождения дополнительных значений, отличных от табличных данных, приближенная функция строится не на всех табличных данных, а на меньшей выборке. В данном случае аппроксимирующая функция будет проходить не через узлы, как в случае интерполяции, а между ними (рис. 4).
y7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x6
– интерполирующая функция
– аппроксимирующая функция
Рис. 4. Вид аппроксимирующей функций
Интерполяцией табличные данные описываются более точно, чем
при аппроксимации, но в ряде случаев при решении практических задач
применяется последний метод:
 при значительном количестве табличных данных (интерполирующая функция будет громоздкой);
 когда вид функции определен экспериментальными точками и эксперимент требуется описать теоретической зависимостью;
 для сглаживания сглаживать погрешности эксперимента (рис. 3).
24
Из рисунка видно, что значения y постоянно увеличивается
при росте x, а разброс данных относительно аппроксимирующей функции можно объяснить погрешностью эксперимента;
y5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x6
Рис. 5. Пример построения аппроксимирующей функции
интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные с несколькими точками с одинаковым значением аргумента,
в случае повторения эксперимента при одних и тех же начальных
условиях.
Предположим в ходе некоторого эксперимента были произведен
ряд измерений величин y при изменении некоторой величины х (табл. 9).

Таблица 9
Вид таблицы экспериментальных данных
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
…
…
xn
yn
Если аналитическое выражение функции, описывающей закон изменение yi (i=1, 2, … , n) неизвестно или весьма сложно, то возникает
задача найти такую эмпирическую формулу
~ ~
f  y ( х) ,
значения которой при x=xi мало отличались бы от опытных данных.
~
Геометрически задача построения функции f по эмпирической
формуле состоит в проведении усредненной кривой – кривой, проходящей через середину области значений (табл. 10) (рис. 6).
25
Таблица 10
Экспериментальные данные
x
y
1
2,5
2
4
3
3,5
4
5
5
5,5
y6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x6
Рис. 6. Пример аппроксимирующей функции для данных
При проведении эксперимента данные xi и yi обычно приближенные, т.е. содержат ошибки, поэтому интерполяционная формула, базирующаяся на экспериментальных данных, повторяет эти ошибки.
При аппроксимации эмпирическая зависимость сглаживает погрешности эксперимента, не повторяя, как в случае интерполирования,
повторить ошибки.
При построении эмпирической зависимости определяют:
 общий вид формулы;
 наилучшие параметры эмпирической зависимости.
Если характер зависимости между входной величиной x и исследуемой y неизвестен, то вид эмпирической формулы, описывающей зависимость y(x), является произвольным. При этом предпочтение отдается
простым формулам, обладающим хорошей точностью.
При отсутствии промежуточных данных принимается:
 аналитический характер эмпирической формулы;
 плавный непрерывный вид графика.
Существует несколько методов аппроксимации, один из которых
метод наименьших квадратов.
26
Суть метода наименьших квадратов заключается в нахождении таких значений хi, при которых сумма квадратов отклонений (ошибок)
ei=yi – fi(x) будет стремиться к минимуму
n
 ei2 
i 1
n
.
 ( yi  f ( xi )) 2  min
x
(9)
i 1
Т.к. каждое значение xi в общем случае «сопровождается» соответствующим коэффициентом аi (i = 0, 1, 2, …, n), то задача сводится к
нахождению данных коэффициентов. Введем обозначение функции
n
F (a0 , a1, ..., an )   ( yi  f ( xi )) 2  min .
x
i 1
Тогда, на основе обращения в точке минимума функции F в нуль ее
производных, для определения вышеупомянутых коэффициентов составляется нормальная система:
 dF
 da  0;
 0
 dF
 0;

 da1
...

 dF
 da  0.
 n
Существенным недостатком метода является громоздкость вычислений, вследствие чего к нему прибегают при достаточно точных
экспериментальных данных при необходимости получения точных значений функции.
Линейная аппроксимация
В ряде экспериментов данные распределяются таким образом, что
оказывается возможным описать их изменение линейной зависимостью
(линейным уравнением) (рис. 7)
P(x)=ax+b.
(10)
Формулы для расчета коэффициентов a и b определяются по методу наименьших квадратов (9), подставив вместо f(x) формулу (10)
n
F   ( yi  a  xi  b) 2  min .
i 1
27
Рис.5.6
Рис. 8. Линейная аппроксимация
Затем составляется и решается система из двух уравнений с двумя
неизвестными – находятся частные производные функции по переменным а и b, приравнивая к нулю эти производные:
n
 dF


2

 ( yi  a  xi  b)  1  0,

 db
i 1

n
 dF  2   ( y  a  x  b)  x  0.
i
i
i
 da
i 1
Получается система уравнений
n
n
 n 2
a
x

b
x

 i  ( xi  yi )
  i
 i 1
i 1
i 1
,
 n
n
a x  nb  y
 i
  i
i 1
 i 1
(11)
Решая полученную систему методом подстановки, получаем формулы для нахождения коэффициентов a и b:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2
n   ( xi  yi )   xi   yi
a


n   xi2    xi 
i 1
 i 1 
n
n
28
,
(12)
n
n
i 1
i 1
 yi  a  xi
b
n
i 1
i 1
 yi  

n
n
xi2
n
n
i 1
i 1
  xi   ( xi  yi )


n   xi2    xi 
i 1
 i 1 
n
n
.
2
(13)
Пример
Дана табличная зависимость мощности N токарно-винторезных
станков от максимального диаметра обрабатываемой заготовки d, устанавливаемой над станиной, десяти моделей (табл. 12).
Таблица 12
Значения максимального диаметра заготовки и мощности моделей
токарно-винторезных станков
Модель
250ИТВМ.03 КА280 1В62Г 16К250
станка
d, мм
240
400
445
500
N, кВТ
3
7,5
8,37
11
1М63
16К40
1Н65
630
15
800
18,5
1000
22
СА650 1А660
1080
22
1250
30
1А670
2000
55
Требуется найти мощность проектируемого токарно-винторезного
станка при максимальном диаметре заготовки 300 мм методом линейной аппроксимации.
Для удобства представим вышеприведенные формулы (12, 13):
10
10
10
i 1
i 1
i 1
2
10   (d i  N i )   d i   N i
a
 10 
10   d i2    d i 
i 1
 i 1 
10
10
10
 Ni  a  di
b  i 1
i 1
10
10
,
10
10
10
i 1
i 1
i 1
 N i   d i2   d i   (d i  N i )
 i 1

10   d i2    d i 
i 1
 i 1 
10
 10
2
.
Воспользовавшись программой Microsoft Office Excel [2, 4], проведем расчеты и решим задачу, проиллюстрировав решение графически.
Обозначения в таблице (рис. 9):
 di – столбец со значениями диаметра обрабатываемой заготовки;
 Ni – столбец со значениями мощности модели станка;
 di*Ni – столбец со значениями результата произведения диаметра
обрабатываемой заготовки и мощности станка;
 di2 – столбец со значениями квадрата диаметра заготовки.
29
При этом рис. 9, а иллюстрирует формулу, соответствующую
столбцу D, в частности для ячейки D2 – fx=B2*C2, для ячейки D3 формула примет вид fx=B3*C3 и т. д.
Рис. 9, б иллюстрирует формулу, соответствующую столбцу E, в
частности для ячейки E5 – fx=B5*B5, для ячейки E6 формула примет вид
fx=B6* B6 и т. д.
а
б
Рис. 9. Электронная таблица в Microsoft Office Excel:
а – вид формулы в столбце D; б – вид формулы в столбце E
На рис. 10 представлена таблица с промежуточными результатами
вычислений.
Рис. 10. Электронная таблица в Microsoft Office Excel с промежуточными
результатами вычислений
30
Записав в ячейку R1 значение диаметра заготовки d=300 мм, предварительно введя в ячейку R2 формулу для вычисления мощности (рис. 11), определим значение мощности проектируемого станка.
На рис. 12 приведена диаграмма, построенная средствами Microsoft Office
Excel по данным в ячейках В2–B11
и С2–С11 с добавлением линии тренда
Рис. 11. Электронная таблица (линейная аппроксимация).
для определения мощности
N, кВт
60
50
40
30
20
10
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
d,
мм
1800
Рис. 12. Диаграмма, построенная средствами Microsoft Office Excel
Из диаграммы видно, что при значении диаметра заготовки 300 мм,
мощность станка примерно составит примерно 3 к Вт.
31
4.3. Варианты индивидуального задания
Исходными данными для выполнения задания по аппроксимации
функций являются:
 тип технологического оборудования;
 табличные данные для выполнения расчетов;
 одна из характеристик станка.
Вариант 1, 2
1. В чем сущность линейной интерполяции?
2. В чем сущность закона распределения Пуассона?
3. Задача. По данным (табл. 13) найти значение мощности проектируемого вертикально-сверлильного для условного максимального
диаметра сверления: 40 мм (вариант 1); 20 мм (вариант 2).
Проиллюстрировать решение графически.
Таблица 13
Данные для выполнения задания
Модель станка
d, мм
N, кВТ
2М112 2Н118 2Н125
12
18
25
0,6
1,5
2,2
2Н135
35
4
2Н150
50
7,5
2Г175
75
11
Вариант 3, 4
1. Как строится интерполяционный многочлен Лагранжа?
2. В чем сущность экспоненциального распределения?
3. Задача. По данным (табл. 14) найти значение мощности проектируемого радиально-сверлильного станка для условного максимального диаметра сверления: 60 мм (вариант 3); 70 мм (вариант 4).
Проиллюстрировать решение графически.
Таблица 14
Данные для выполнения задания
Модель станка
d, мм
N, кВТ
АС2540 ГС545 2М55
40
45
50
3
3
5,5
2А554 2М57 2М58-1
63
75
100
5,5
7,5
13
Вариант 5, 6
1. Как строится первый интерполяционный многочлен Ньютона?
2. В чем сущность нормального закона распределения?
3. Задача. По данным (табл. 15) найти значение мощности проектируемого токарно-карусельного станка для максимального диаметра
заготовки: 2000 мм (вариант 5); 3000 мм (вариант 6).
32
Проиллюстрировать решение графически.
Таблица 15
Данные для выполнения задания
Модель станка
d, мм
N, кВТ
1508
800
22
1512
1250
30
1516
1600
30
1525
2500
40
1532
3200
55
1565
5000
70
Вариант 7, 8
1. Как строится второй интерполяционный многочлен Ньютона?
2. В чем сущность логарифмически-нормального распределения?
3. Задача. По данным (табл. 16) найти значение мощности проектируемого продольно-фрезерного станка для ширины стола: 800 мм (вариант 7); 1200 мм (вариант 8).
Проиллюстрировать решение графически.
Таблица 16
Данные для выполнения задания
Модель станка
В, мм
N, кВТ
6603
320
4,5
6605
500
7
6606
630
10
6610
1000
14
6616
1600
20
6620
2000
28
Вариант 9, 10
1. В чем сущность параболической аппроксимации?
2. В чем сущность распределения Вейбулла?
3. Задача. По данным (табл. 17) найти значение мощности проектируемого горизонтально-расточного для максимального диаметра растачиваемого отверстия:
 180 мм (вариант 9); 150 мм (вариант 10).
Проиллюстрировать решение графически.
Таблица 17
Данные для выполнения задания
Модель станка
D, мм
N, кВТ
6603
320
4,5
6605
500
7
33
6606
630
10
6610
1000
14
6616
1600
20
6620
2000
28
5. ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ
По результатам изучения дисциплины студенты сдают экзамен.
К экзамену допускаются только те студенты, у которых зачтены лабораторные работы и индивидуальное задание. Перечень вопросов приведен в разделе 5.1, образец экзаменационного билета – в разделе 5.2.
5.1. Вопросы для подготовки к экзамену
1. Что такое данные, метод, обработка данных?
2. Перечислите известные Вам теоретические методы научных
исследований?
3. Перечислите известные Вам эмпирические методы научных
исследований. Дайте краткую характеристику каждого метода.
4. Что представляет собой эксперимент?
5. В чем разница между прямыми и косвенными измерениями?
6. Дайте объяснение понятий точность и погрешность измерений?
7. Что такое абсолютная, относительная и приведенная
погрешности?
8. Что такое методы обработки экспериментальных данных?
9. Что такое интерполяция?
10. Когда возникает необходимость в интерполяции функций?
11. В чем сущность линейной интерполяции?
12. В чем сущность задачи интерполирования?
13. Как строится интерполяционный многочлен Лагранжа?
14. Как строится первый интерполяционный многочлен Ньютона?
15. Как строится второй интерполяционный многочлен Ньютона?
16. Что такое аппроксимация?
17. В чем разница между аппроксимацией и интерполяцией?
18. В чем сущность линейной аппроксимации?
19. В чем сущность параболической аппроксимации?
20. В чем сущность аппроксимации в виде показательной функции?
21. В чем сущность аппроксимации в виде степенной функции
22. Что такое ячейка таблицы? Как обозначается ее адрес?
23. Как визуально отличить активную ячейку от неактивной?
24. Как настраивается формат ячейки?
25. Назовите общие правила ввода в ячейку формул?
26. Приведите примеры работы с формулами.
27. Назовите общие правила работы с диаграммами?
28. Приведите примеры работы с диаграммами.
29. Как посчитать погрешности при помощи Microsoft Office Excel?
34
30. В чем сущность закона распределения Пуассона?
31. В чем сущность экспоненциального распределения?
32. В чем сущность нормального закона распределения?
33. В чем сущность логарифмически-нормального распределения?
34. В чем сущность распределения Вейбулла?
35. В чем сущность гамма-распределения?
5.2. Образец экзаменационного билета для студентов,
изучающих дисциплину по классической заочной форме
В данном разделе приведен образец экзаменационного билета для
студентов, сдающих экзамен в очной форме, во время сессии в Томске.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт дистанционного образования
БИЛЕТ № 1
по дисциплине «Математические методы обработки экспериментальных данных»
1. Перечислите
известные
Вам
теоретические
методы
научных
исследований? (10 баллов)
2. Как строится первый интерполяционный многочлен Ньютона? (10 баллов)
3. Посчитайте абсолютную и относительную погрешности при помощи Microsoft
Office Excel для определенных значений функции: теоретически – yт=1,22 и
экспериментально – yп=1,21. (20 баллов)
Доцент кафедры ФМПК
Мойзес Б.Б.
Зав. кафедрой ФМПК
Суржиков А.П.
35
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Основы научных исследований: учебно-методическое пособие /
В.А. Власов, А.А. Степанов, Л.М. Зольникова, Б.Б. Мойзес. – Томск:
Изд-во Томского политехнического университета, 2007. – 202 с.
2. Информатика: учебное пособие / О.Е. Мойзес, Е.А. Кузьменко,
А.В. Кравцов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009. – 152 с.
3. Надежность технических систем и техногенный риск: учебное
пособие / Н.А. Чулков, А.Н. Деренок; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета,
2012. – 150 с.
Интернет-ресурсы
4. Методы обработки результатов измерений и оценки погрешностей в учебном лабораторном практикуме: учебное пособие [Электронный ресурс] / Н.С. Кравченко, О.Г. Ревинская; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 86 с. Доступ свободный. Систем. требования: Adobe
Acrobat. URL: http://www.lib.tpu.ru/fulltext/m/2010/m29.pdf (дата обращения 31.07.2013).
5. СТО ТПУ 2.5.01–2006. Система образовательных стандартов.
Работы выпускные, квалификационные, проекты и работы курсовые.
Структура и правила оформления ТПУ [Электронный ресурс] – Томск:
Изд-во Томского политехнического университета, 2006. Доступ свободный.
Систем.
требования:
Microsoft
Office
Word.
URL:
http://portal.tpu.ru:7777/departments/head/methodic/standart/stp42i.doc (дата обращения 31.07.2013).
36
ПРИЛОЖЕНИЕ А
СТРУКТУРА, СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Отчет по лабораторной работе – отчет о проделанной студентом
работе, на основе которого происходит защита ее результатов перед
преподавателем. Структура отчета по лабораторной работе:
 титульный лист;
 цель и задачи работы;
 краткие теоретические сведения, положенные в основу выполнения
работы;
 описание оборудования, на котором выполнялась лабораторная работа (установка, стенд, персональный компьютер и т.д.)
 описание методики эксперимента;
 полученные в ходе работы экспериментальные данные;
 анализ результатов работы;
 выводы.
Титульный лист отчета по лабораторной работе оформляется согласно установленной форме (Приложение Б).
Цель лабораторной работы должна отражать значимость проделанной работы для профессионального развития студента. Задачи лабораторной работы конкретизируют цель.
Краткие теоретические сведения призваны дать представления о
правильности понимания студентом теоретического материала, необходимого для выполнения работы. В разделе излагается краткое теоретическое описание изучаемого вопроса, приводятся расчетные формулы.
Описание оборудования сводится к перечислению средств (технических, компьютерных, аппаратных и т.п.), используемых в ходе работы, а также пакетов компьютерных программ для обработки экспериментальных результатов.
В разделе экспериментальных результатов приводятся результаты,
полученные в ходе проведения лабораторной работы: экспериментально
или в результате компьютерного моделирования определенные значения величин, таблицы, диаграммы.
Анализ результатов работы посвящен сравнению их с имеющимися
теоретическими выкладками, результатами теоретического моделирования.
В выводах кратко излагаются результаты работы согласно поставленной цели и задачам работы.
Отчет по лабораторной работе оформляется на писчей бумаге формата А4 на одной стороне листа, которые сшиваются в скоросшивателе
или переплетаются. Допускается оформление отчета как в электронном,
так и рукописном виде.
37
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СТРУКТУРА, СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт неразрушающего контроля
Направление – приборостроение
Кафедра физических методов и приборов контроля качества
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №___
по курсу «Математические методы обработки
экспериментальных данных»
«Название работы»
Выполнил:
студент гр.____
<Фамилия И.О.>
Принял:
доцент каф. ФМПК
Мойзес Б.Б.
Томск – 20__
38
Учебное издание
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Методические указания и индивидуальные задания
Составитель
Мойзес Борис Борисович
Рецензент
Мойзес Ольга Ефимовна
Компьютерная верстка
Мойзес Борис Борисович
Подписано к печати Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л. Уч.-изд.л.
Заказ . Тираж экз.
Национальный исследовательский Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Издательства Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
39