ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВ

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С
НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. РАСШИРЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О
НАЛОЖЕНИИ СВЯЗЕЙ.
Ковригина И.В.
Горюнов М. А.
Забайкальский институт железнодорожного транспорта,
г. Чита, Россия
Kovrigina I.V., Gorunov M.A.
Trans-Baikal Railway Institute,
Chita, Russia
CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODELS OF SYSTEMS WITH
MULTIPLE DEGREES OF FREEDOM. EXTENSION THEOREM IMPOSING
BONDS.
Предлагаемые
приемы
построения
математических
моделей
механических систем с сочленениями можно рассматривать как форму
доказательства возможности получения результатов на сопоставлении двух
подходов. Первый, заключается в том, чтобы получить математическую
модель в специально выбранной системе обобщенных координат. Такая
система содержит координаты относительного движения, которое в случае
формирования сочленения
удаляется, а соответствующая координата
относительного движения принимается, равной нулю.
В формализованном
виде математическая модель системы с сочленениями может быть получена
из матрицы
коэффициентов дифференциальных
уравнений исходной
системы путем исключения соответствующих строки и столбца, для которых
координата принимается
равной нулю; исключается при этом и
соответствующая обобщенная сила. Перегруппировка обобщенных сил на
соответствие обобщенным координатам происходит в процессе вывода
уравнений, и как отдельная операция, может не вводиться.
Второй подход заключается в том, что расчетная (или исходная) схема
сразу приводится к конечному виду, содержащему все необходимые
сочленения
с
последующим
выводом
дифференциальных
уравнений
движений. На приведенных в диссертации примерах, относящихся к задачам
динамического синтеза виброзащитных систем, показано, что оба подхода
дают совпадающие результаты.
Истоки подходов связаны с понятиями наложения связей, которые
нашли отражение в ряде работ, в частности в [1,2,3,4], в которых
одновременно
рассматривалось
влияние
процессов
наложения
или
устранения связей, в том числе на частоты собственных колебаний системы.
Сочленения, которые реализуются через соединения между собой
различных звеньев (в частности, звеньев, в виде твердых тел, в том числе и
неподвижное звено), можно рассматривать как наложение связей. Так,
'
например, связь y2 − y1 →0, (где в свою очередь, y2 = y2 + z2 , а y1 = y1' + z1 ), можно
записать как линейное однородное уравнение относительно координат
системы. Если y2 − y1 = 0 и задача заключается в выполнение этого условия
при движении системы, то уравнение может принять вид
f ( y1 , y2 ) = 0 .
(1)
Такая задача рассматривается при движении цепной механической цепи
при увеличении жесткости k 2 до
∞ между элементами с массами m1 и m2 .
В общем случае можно полагать, что связь задана уравнением
f (q1 , q2 ,....qn ) = 0 ,
(2)
где q1 ,q 2 ...q n – обобщенные координаты системы.
Предполагается, что налагаемая связь не должна приводить к смещению
положения равновесия, в котором по предположению все qi = 0 , то есть
f (0,0...0) = 0 ,
(3)
что характерно для многих случаев виброзащитной практики [1].
Разложим (3) по степеням координат y i начиная с членов первого
порядка. Если ограничиться только этими членами разложения, то уравнение
связи можно представить в виде
A11q1 + A12q2 + ...A1n qn = 0 ,
где A11 , A12 ,....A1n – постоянные числа.
Произведем в (4) подстановку до наложения связей, тогда получим
(4)
r1 = A11q1 + A12 q2 + ... + A1n qn , 

r2 = q2 ,


..................


rn = qn .
(5)
От такой подстановки собственные частоты не изменятся (по существу
одна система обобщенных координат заменяется на другую). Кинетическая и
потенциальная энергии в новых координатах ri (i = 1, n) , примут вид
(6)
Отметим, что две квадратичные формы, из которых одна определенно
положительна, одним линейным преобразованием могут быть приведены к
каноническому виду. В частности, построив, соответствующим образом,
линейные преобразования, можно получить
q1 = b11ξ1 + b12ξ2 + ... + b1nξn , 
q2 = b21ξ2 + b22ξ2 + ... + b2 nξn , 

............................................. 
qn = bn1ξ1 + bn 2ξ2 + ... + bnnξn . 
(7)
В конечном итоге, для системы, в целом, можно записать
где
одно
выражение
T=
1 n
∑ aik q&i q& k ,
2 i ,k =1
П=
1 n
∑ a ik qi qk .
2 i ,k =1
–
кинетическая
(8)
энергия
–
определенно
положительна, и имеет вид
1
T = (ξ 21 +ξ22 + ... + ξn2 ) ,
2
(9)
а второе – потенциальная энергия, которая имеет вид
,
Координаты ξ i , в которых кинетическая и потенциальные энергии
выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами,
что позволяет придавать уравнениям движения простые формы.
Малые колебания системы с n степенями свободы около положения
устойчивого
равновесия,
определяемые
изменениями
обобщенных
координат, имеют вид:
q1 = λ11 sin( p1t + ε1 ) + λ12 sin( p2 t + ε 2 ) + ... + λ1n sin( pn t + ε n ),
.
.
,
(10)
.
qn = λn1 sin( p1t + ε1 ) + λn 2 sin( p2 t + ε 2 ) + ...λnn sin( p n t + ε n )
и представляют собой линейные наложения n главных гармонических
колебаний.
Введем выражение, которое отражает ряд подстановок, в результате
которых частотное уравнение системы примет вид
a '11 p2 − c '11 a '12 p2 − c '12 ... a '1n p2 − c '1n
a '21 p2 − c '21 a '22 p2 − c '22 ... a '2n p2 − c '2n
...
...
...
...
= 0.
(11)
a 'n1 p2 − c 'n1 a 'n 2 p2 − c ' n2 ... a 'nn p2 − c 'nn
Предположим теперь, что на систему накладывается связь (4), то есть
формируется сочленение через процедуру устремления к нулю некоторой
выбранной координаты относительного движения. В новых координатах ri
такая связь имеет уравнение
r 1= 0 ,
(12)
При этом, n-1 корней p' k системы с сочленением располагаются между
корнями pk частотного уравнения исходной системы.
p1 ≤ p'1 ≤ p2 ≤ p ' 2 ≤ .... ≤ p' n −1 ≤ pn .
(13)
Таким образом, если на систему с n степенями свободы наложена
линейная связь, то частоты полученной системы с n-1 степенями свободы
располагаются
наложение
между
связи
не
частотами
первоначальной
нарушает
условий
системы.
движения,
в
То
смысле
есть
их
осуществимости и устойчивости, но приводит к сдвигам в спектре частот
собственных колебаний. Теорема может быть также расширена на случай
нескольких сочленений (или связей). Если на систему с n степенями свободы
наложены n линейных связей.
As ( q) = As1 q1 + As 2 q2 + ... + Asn qn = 0 ,
(14)
( s = 1, h )
то частоты системы с сочленениями
p1( h ) < p 2( h ) < ... < p n − h ,
удовлетворяют неравенствам
p k ≤ p h( h ) ≤ p k + h ( k = 1, n − h ) ,
(15)
где pk - частота заданной системы с n степенями свободы.
Связи (14) можно всегда представить уравнениями
A11 q1 + A12 q2 + ... A1n qn = 0,
. B22 q2 + ... + B2n qn = 0,
(16)
. H hh qn + ... + H hn qn .
и налагать их на заданную систему не сразу все, а последовательно – одна за
другой. Переход к координатам, связанным с qi соотношением (5), не
изменяет уравнений естественных связей [1]. Положив r1 = 0 , получим
систему с n-1 степенями свободы, собственные частоты pk(1) , которые
удовлетворяют неравенству
p k ≤ p h(1) ≤ p k +1 ( k = 1, n − h ) ,
(17)
что можно преобразовать относительно координат s i , связанных с r1
(i = 2,3 ...n )
уравнениями
S 2 = B22 r2 + B23 r3 + ...B2 n rn , 

S 3 = r3 ,


S n = rn .

(18)
Полагая S 2 = 0 , получим систему с n-2 степенями свободы, частоты
которой p k( 2 ) будут удовлетворять неравенствам
p k(1) ≤ p k( 2 ) ≤ p k +1 ( k = 1, n − 2)
или на основании неравенства (3.91):
p k ≤ p k( 2 ) ≤ p k + 2 ( k = 1, n − 2) .
(19)
Продолжая процедуры и вводя последовательно сочленения (связи),
можно получить неравенства (16), которые будут иметь место для частот
системы после наложения на нее всех k связей (14).
В заключение можно отметить, что предлагаемые приемы составления
математических
моделей позволяют детализировать представления
о
технологии формирования различных классов математических моделей и
возможностях операции инверсии моделей, восстановления исходных
моделей при «разборке» сочленения.
Библиографический список.
1.
Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М.: Наука, 1968. –
549 с.
2.
Елисеев С.В Возможности сочленения твердых тел в цепных
механических системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В.Фомина //
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование – Иркутск:
ИрГУПС. – №3(27). – 2010. – С. 146 – 152.
3.
Лаврусь
В.В.
Совершенствование
пневматических
рычажно-
шарнирных систем железнодорожного транспорта: автореф. дис. … канд.
техн. наук / В. В. Лаврусь. – Орел, 2006. – 20 с.
4.
Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики: в 2 т. Т 2 Динамика /
Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М.: Наука, 1980. – 640 с.