1 обратная задача выделения циклических компонент из

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВЫДЕЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ
ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Губанов В.А.
Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН, г. Москва
vgubanov@forecast.ru
Ключевые слова: обратная задача, декомпозиция временных рядов, сезонная корректировка
экономических показателей
Введение
Проблема декомпозиции экспериментальных временных рядов на различные составляющие
принадлежит к классу обратных задач обработки и интерпретации экспериментальных данных.
Такая задача возникает в самых разных областях науки и техники, например в астрофизике, в
медицине, в геологоразведке и в экономике при анализе экономических временных рядов (ЭВР).
Частный, но важный случай обратной задачи для ЭВР – это сезонная корректировка
экономических показателей. В этом случае исходный ряд - yt должен быть представлен в виде
двух компонент, одна из которых представляет собой циклическую компоненту ct с заданным
периодом - T . Оставшаяся компонента - xt в аддитивном представлении исходного ряда -
yt = xt + ct , включает в себя «короткие» циклы с периодами τ < T , конъюнктурные циклы с
периодами τ > T и нерегулярную компоненту.
1. Методы декомпозиции ЭВР
1.1. Определение циклической компоненты
Цикл на одном периоде определяется двумя условиями [1] - условием нулевого среднего на
периоде:
T
(1)
(1 / T )∑ ct = 0 ,
t =1
и условием цикличности:
( )
( )
(2) c1k = c1k +1 ,
где k - номер отдельного цикла компоненты. Из первого условия следует, что периодами
«коротких» циклов могут быть только делители T . Из второго условия следует, что циклическая
компонента может быть определена только на целом числе - K периодов плюс одна точка KT + 1 . В общем случае форма циклов меняется от периода к периоду.
1.2. Подходы к решению обратных задач декомпозиции ЭВР
Можно выделить два основных подхода к решению обратных задач выделения циклических
компонент произвольного ЭВР. Первый подход связан с гипотезой, что для анализируемого ряда
справедлива некоторая модель процесса (например, модель ARIMA) и не известно только
множество параметров модели. Тогда решение обратной задачи сводится к определению
неизвестных параметров и оценке точности их определения [2 - 4]. При таком подходе возникают
проблемы с идентификацией модели, в особенности, когда ЭВР существенно нестационарен.
Другой подход устанавливает определенные принципы выделения циклических компонент и
определяет свойства, которым должны удовлетворять циклические компоненты и
скорректированный временной ряд. В естественных науках его часто называют подходом «из
первых принципов». Таким образом, справедливость результатов декомпозиции ЭВР напрямую
связана с теми вариационным принципами, которые положены в основу процедуры выделения
циклической компоненты ряда [5,6].
В задаче выделения циклической компоненты существуют два принципиальных момента:
первый – оптимальный выбор анализирующей функции для фиксации изменений циклов от
периода к периоду, второй – способ соотнесения изменений исходного ряда с изменениями
циклической компоненты и скорректированного ряда. Оптимальность в данном случае означает,
1
что каждому ЭВР должна соответствовать своя анализирующая функция. В качестве такой
функции использовалась стационарная циклическая компонента, которая для каждой реализации
временного ряда определяется единственным образом.
2. Выделение циклической компоненты
2.1. Стационарная циклическая компонента
Стационарные циклы - st выделяются из исходного ряда на основе принципа наименьшего
действия [5], W - действие при отсутствии активных сил (с нулевой потенциальной энергией):
(3)
⎧ n −1
2⎫
W = ⎨∑ (Δyt − Δst ) ⎬ ⎯⎯→
min ,
st
⎩ t =1
⎭
где n - номер последнего наблюдения показателя, а Δyt и Δst - первые разности исходного
ЭВР и стационарной циклической компоненты. Таким образом, из всех возможных стационарных
циклических компонент выбирается такая компонента, которая обеспечивает наименьшую
«волатильность» скорректированного ряда xt . Из решения простейшей вариационной задачи (3)
стационарная циклическая компонента определяется однозначно на любом временном интервале
(для любых n ).
2.2. Циклическая компонента с изменяющейся формой циклов
Для того чтобы определить изменение циклов от периода к периоду необходимо отдельные
циклы компоненты выделять. Это можно сделать с использованием весовой обработки
k −l
скорректированного ряда вида α
, где k - номер анализируемого цикла, а l - номера
оставшихся циклов. Тогда принцип наименьшего действия для определения k -ого цикла
принимает форму:
T
(4)
K
W (k ) = ∑∑ α
t =1 l =1
k −l
(Δy ( ) − Δc ( ) ) ⎯⎯→ min ,
l
t
k
t
c(k )
k , l =1 ÷ K .
Вся циклическая компонента с меняющимися циклами определяется из решения K задач
вида (4) с точностью до параметра α . Остается определить неизвестный параметр весовой
функции α .
Пусть α - скаляр, т.е. решается однопараметрическая задача оптимального выделения
циклической компоненты ЭВР. Определим суммарную кривизну скорректированного ряда как
n− 2
(
Γ ( xt ) = ∑ Δ xt
t =1
(2 )
2
)
( Δ( 2 ) xt - вторые разности). Суммарная кривизна циклической компоненты
определяется как мера ее отклонения от стационарных циклов - Γ(ct ) =
∑ ∑ (c (
T
K −1
t =1 k =1
t
k +1)
− ct(k )
)
2
. Если
циклы стационарные, то Γ(st ) = 0 .
Воспользуемся принципом минимума «суммарной кривизны» (принцип Герца) для
скорректированного ряда и циклов [6] - J :
J = {[1 − ξ (ct )]Γ( xt ) + ξ (ct )Γ(ct )} ⎯⎯→
min ,
(5)
c
t
где ξ (ct ) = ct / yt - коэффициент сезонности, который определяется в ходе решения задачи, как
отношение нормы циклов к норме скорректированного ряда.
Численное решение задачи декомпозиции (4), (5) строится следующим образом. Из (3)
определяется стационарная компонента st и на ее основе определяется коэффициент сезонности
ξ [0 ] (st ) нулевой итерации. Затем производится поиск минимального значения (4) по параметру α
при фиксированном виде функционала (5). На следующей итерации полученная циклическая
компонента определяет новый коэффициент сезонности ξ [1] (st ) и вновь определяется α , который
доставляет минимальное значение функционалу (5). Процесс прекращается, когда отклонение
2
коэффициентов сезонности на предыдущей и последующей итерации становится меньше
заданного значения - ξ [m ] (ct ) − ξ [m −1] (ct ) < δ 1.
Выводы
Разработанный алгоритм позволяет выделять циклическую компоненту с изменяющейся
формой циклов из коротких ( n > 2T ) временных рядов с произвольными значениями уровней.
Использование проективных операторов при решении задачи (5) эффективнее подавляет
нерегулярную компоненту (шум), чем при модельном подходе к решению обратной задачи
декомпозиции.
Принципиально, не вызывает трудностей формулировка K - параметрической задачи
оптимизации, когда для каждого цикла исходного ЭВР определяется свой оптимальный весовой
коэффициент - α k . Для этого можно воспользоваться любым надежным безградиентным методом
поиска многомерного экстремума, например, методом Пауэлла.
Решение задачи реализовано в виде алгоритма пользовательской функции в пакете Microsoft
Excel .
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1
1. Кендалл М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981 г., – 199 С.
2. Ladiray D., Quenneville B., Seasonal adjustment with X-11 method, Springer-Verlag: Lecture Notes in
Statistics, Vol. 158. - New York, 2001 г., 256 С.
3. Gomez V., Maravall V., Estimation, Prediction, and Interpolation for Nonstationary Series With the
Kalman Filter // Journal of the American Statistical Association June 1994, Vol. 87, No. 426, p. 611- 624.
4. Pollock D.S.G. A Revue of TSW: The Windows Version of the TRAMO-SEATS Program // Journal of
Applied Econometrics, 17 (2002), p. 291-299.
5. Губанов В.А., Ковальджи А.К. Выделение сезонных колебаний на основе вариационных
принципов // ЭММ, 2001, том 37, №1, с. 91-102
6. Губанов В.А. Выделение тренда из временных рядов макроэкономических показателей. Научные
труды: Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН/ Гл. ред. А.Г. Коровкин. – М.:
МАКС Пресс, 2005, с. 25-39.
Верхний индекс в квадратных скобках означает номер итерации.
3