Лекция 17 Колебания механических систем

Лекция 17
Колебания механических систем
Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники. Затухающие колебания. Характеристики затухания. Вынужденные колебания, резонанс. Добротность системы. Колебания связанных систем, биения.
Изучая движение частицы во внешнем потенциальном силовом поле, в мы увидели, что в потенциальной яме финитное движение имеет колебательную природу. То есть частица периодически
повторяет свои движения в области, ограниченной точками поворота. Там же мы показали, что
колебательное движение частицы возможно только около устойчивого положения равновесия, так
как при отклонении частицы от этого положения возникают силы, действующие на частицу,
направленные в сторону положения равновесия. В общем случае зависимость возвращающей силы от величины отклонения частицы от положения равновесия выражается сложными функциями.
Однако в ряде задач, представляющих практический интерес, мы имеем дело с малыми отклонениями частицы от положения равновесия.
Возвращающую силу
F  x
всегда можно представить в виде степенного ряда Тейлора по сте-
пеням отклонения от положения равновесия
x:
Fx  F  0   xF   0  
где штрихами обозначены производные по
Так как в положении равновесия
x0
x2
x3
F   0   F   0   ...,
2
6
x.
силы на частицу не действуют, то
(17.1)
F  0   0 . В случае
xF   0  . Каждый следующий член ряда мал по сравнению с предыдущим членом. Если выяснится, что F   0   0 , то необбесконечно малых отклонений (17.1) основным членом ряда является
ходимо брать следующий член ряда.
В случае бесконечно малых отклонений частицы от положения устойчивого равновесия
F   0   k  0 , так как возвращающая сила направлена обратно отклонению:
F  x   kx .
(17.2)
Здесь коэффициент k – постоянная, зависящая от физических параметров системы, характеризующие состояние равновесия. Полученная сила (17.2) совпадает с выражением для силы упругости и проявляется во многих физических задачах. Она называется квазиупругой силой.
Движение материальной точки массой m под воздействием квазиупругой силы описывается
уравнением
mx  kx ,
(17.3)
называемым уравнением гармонических колебаний. Система, совершающая подобные малые колебания, называется линейным осциллятором, примерами которого являются математический и физический маятники, груз, подвешенный на пружине и т.д.
Получим общее решение уравнения гармонических колебаний (17.3), предполагая, что в момент времени t  0
x  0   x0 ; v  0   v0 .
(17.4)
k
 02
m
(17.5)
Введем обозначение
и, воспользовавшись преобразованием
d 2 x 1 d  dx 

 
dt 2 2 dx  dt 
2
(17.5´)
представим (17.3) следующим образом:
2
1 d  dx 
2
   0 x ,
2 dx  dt 
интегрируя которое по x получим
2
 dx 
2
2
2
   0  A  x  ,
 dt 
откуда
dx
x

arcsin
.
A
A2  x 2
  0 t  
Из полученного результата следует закон движения частицы
x  t   A sin 0t    ,
где
A
и

(17.6)
– постоянные интегрирования. Пользуясь начальными условиями (17.4) и учитывая
закон изменения скорости частицы
v  t   x  A0 cos 0t    ,
(17.7)
Получим
x0  A sin  , v0  A0 cos  ,
откуда для постоянных интегрирования будем иметь
A  x02  v02 02 , tg  v0 0 x0 .
(17.8)
Движение, определяемое законом (17.6) называется гармоническим колебанием. Графически оно изображено на рис. 17.1. Величина
стотой гармонических колебаний,
начальной фазой
  .
0 t  
A
называется амплитудой,
0
– циклической ча-
– фазой колебаний, а ее значение в момент
Рис.17.1
t 0
–
Так как синус – функция с периодом
ется, т.е.
2 , то через определенное время T
движение повторя-
x t   x t  T  .
Последнее условие, с учетом (17.5), дает
0T  2 ; T  2 0  2 m k .
(17.9)
Здесь T – время полного колебания и называется периодом колебаний. Период гармонических колебаний независим от амплитуды колебаний. Это свойство изохронности колебаний.
Число колебаний в единицу времени -
 1 T ,
(17.10)
связано с циклической частотой соотношением
0  2
из которого следует, что
0
(17.11)
– это число колебаний осциллятора за
2
секунд.
Полная механическая энергия тела, совершающего гармонические колебания в произвольный момент времени равна сумме потенциальной энергии
квазиупругой силы, и кинетической энергии частицы
kx2 / 2 ,
обусловленной работой
2
mx 2 :
mx m02 x 2 1
E

 m02 A2  const ,
2
2
2
(17.12)
где мы воспользовались соотношениями (17.5), (17.6) и (17.7). Механическая энергия осциллятора сохраняется, поскольку гармонические колебания возникают при отсутствии диссипативных
сил.
В положении наибольшего отклонения кинетическая энергия осциллятора равна нулю, а полная
механическая энергия равна потенциальной энергии. При прохождении положения равновесия
осциллятор характеризуется полной энергией, равной кинетической энергии.
Колебания, получаемые первоначальным отклонением системы от положения равновесия,
называются собственными колебаниями. Частота собственных колебаний
0
зависит от физи-
ческих величин, характеризующих состояние равновесия системы.
Гармонические колебания удобно представлять в комплексном виде, используя формулу
Эйлера:
ei  cos  i sin  ,  i 2  1 .
(17.13)
Следовательно, гармонические колебания (17.6) можно представить как действительную часть
комплексной величины (17.13):
x  t   Re  Aeit    ,
1
где начальная фаза
1
отличается от начальной фазы в (17.6) на
(17.14)
 / 2 . Обычно, при вычислени-
ях удобно представлять решение в комплексном виде
x  t   Aeit  
(76.15)
и только в конечном выражении отделять действительную часть.
Представление гармонических колебаний в виде (17.15) удобно для их разложения, при решении уравнений, связанных с колебательным движением.
Строго доказывается, что все сложные колебания, встречающиеся в природе, можно представить в виде суммы ряда гармонических колебаний, имеющих различные частоты, начальные фазы
и амплитуды (теорема Фурье).
Нелинейные колебания
1. Собственные колебания системы могут быть как гармоническими, так и негармоническими. Если отклонение частицы от положения равновесия мало, но конечно, то в ряде (17.1) необходимо учесть также член порядка
следующем виде:
x2 .
в этом случае уравнение движения частицы представим в
mx   dU dx ,
(17.16)
Где
kx 2
U  x 
1   x  ,
2
  F   0  3k .
(17.17)
(17.18)
Колебания, описываемые уравнениями, содержащими члены второго и более высокого порядка отклонения от положения равновесия, называются нелинейными. Система, совершающая нелинейные колебания называется нелинейным или ангармоническим осциллятором. Заметим,
что исследование движения нелинейного осциллятора (17.16) сводится к задаче движения частицы во внешнем поле с потенциалом (17.17).
В зависимости от величины параметра ε в (17.17) в области малых колебаний отклонение
функции
U  x
от параболической будет разной. Вид этой функции в общем случае представлен
на рис. 17.2. Она становится равной нулю в точке
x0  1/ 
и имеет максимум
Рис.17.2
U max  2k 27 2 ,
в точке
x1  2 x0 / 3 .
Пользуясь результатом, полученным для движения частицы в потенциаль-
ном силовом поле, мы можем сказать, что частица с энергией
жение, если
E
будет совершать финитное дви-
0  E  U max .
Причем заметим, что в общем случае отклонения частицы от положе-
x  2
в разные стороны различны. Эта разница связана с видом потенциала
ния равновесия
U  x
(17.19)
x1
и
и величины полной энергии частицы.
2. Закон движения
x t 
ся сложными специальными функциями. Однако, при малых значениях
велико, в области
x
x0

выражает-
x 0
достаточно
нелинейного осциллятора при произвольных значениях
(для малых энергий
E
,
когда
U max ) нелинейный член в уравнении движе-
ния частицы можно считать малым возмущением и воспользоваться теорией возмущений.
Пользуясь (17.5) и (17.17), представим уравнение (17.16) в следующем виде:
x  02 x  02 x2
Движение осциллятора в случае
 0
(17.20)
дается гармоническим законом
x0  t   A0 sin 0t
(17.21)
и представляет невозмущенное движение. Если  A
1, то будем рассматривать правую часть
(17.20) как возмущение для основного движения (17.21) и представим закон движения частицы в
виде
x  t   A0 sin 0t  x1  t  ,
где предполагается, что
x1
A0
(17.22)
и представляет отклонение движения частицы от гармоническо-
го закона.
Подставляя (17.22) в (17.20) для
x1
получим следующее уравнение
x1  02 x1  02  A02 sin 2 0t  2 A0 x1 sin 0t  x12  ,
в которой последние два члена правой части, благодаря условию
x1
A0 , можно пренебречь по
сравнению с первым членом. Представим это уравнение следующим образом:
1
x1  02 x1  02 A02 1  cos 20t  ,
2
(17.23)
а его решение – в виде
x1  t   a1  b1 cos 20t ,
где
a1
перед
(17.24)
и
b1 – постоянные величины. Подставляя (17.24) в (17.23) и приравнивая коэффициенты
cos 20 t и свободными членами в правой и левой частях полученного соотношения, полу-
чим
b1   A02 6; a1   A02 2
(17.25)
Итак, для нелинейных колебаний получим следующее уравнение движения:
1
 1

x  t   A0 sin 0t   A02 1  cos 20t 
2
 3

В полученном решении постоянное слагаемое
 A02 / 2
(17.26)
и приводит к указанному выше отличию
максимального отклонения частицы относительно оси X в положительную и отрицательную стороны. Наиболее важная особенность закона нелинейных колебаний (17.26) заключается в появле-
20 . Это движение представлено членом, содержащим cos 20 t , кото3
4
рый называется второй гармоникой. Оказывается, что учет членов x , x и более высокого порядка в (17.20) приводит к появлению в (17.26) дополнительных движений с частотами 30 ,40
нии колебаний с частотой
и т.д. Таким образом, нелинейность приводит появлению гармоник более высокого порядка в колебаниях. Это, пожалуй, наиболее существенная характеристика нелинейности.
Физический и математический маятники
1. Твердое тело, совершающее колебания вокруг оси, не проходящей через центр инерции,
называется физическим маятником (рис.17.3). Точка пересечения горизонтальной оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр инерции маятника, называется точкой подвеса
маятника (А). Положение маятника в произвольный момент времени можно охарактеризовать углом φ отклонения оси АС маятника от положения равновесия (рис. 17.3).
Рис. 17.3
Уравнение моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса А физического маятника, имеет следующий вид:
d 2
I A 2  mgb sin  ,
dt
где
IA
– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку А,
(17.27)
b
– расстояние
от центра инерции С от точки подвеса. Знак минус показывает, что момент силы тяжести вызывает вращение обратное направлению возрастания угла отклонения  .
Разложив
sin 
в ряд согласно (17.1) и ограничиваясь линейным членом этого разложения,
представим (17.27) в виде
  02  0,
(17.28)
02  mgb I A .
(17.29)
где
Значит, невозмущенное движение физического маятника является гармоническим колебанием с
периодом
T0  2 I A mgb .
(17.30)
Пользуясь теоремой Штейнера
I A  IC  mb2 ,
для периода колебаний физического маятника находим
T0  2
IC
b

mgb g
.
(17.31)
Все приведенные рассуждения верны также в том случае, если мы имеем материальную точку,
подвешенную к точке A нитью длиной . Подобная система называется математическим маятником, для которой
IA  m
2
и, следовательно, для ее периода из (17.30) получим
Tмат  2
g
.
(17.32)
Сравнение периодов физического и математического маятников показывает, что математический маятник, длина
которого равна длине b физического маятника, имеет более маленький
период, чем физический маятник. Та длина
математического маятника, при которой его период
равен периоду физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Приравнивая периоды (17.31) и (17.32), получим
 b  I C mb .
(17.33)
Точка A на оси маятника, которая удалена от точки подвеса A на расстояние равное приведенной длине физического маятника, называется центром колебаний. Если сконцентрировать
массу маятника в его центре колебаний, то период его колебаний не изменится.
Точка подвеса маятника и центр колебаний - сопряженные точки. Это означает, что если под-
весить маятник через горизонтальную ось, проходящую через точку A , то его период не изменится, причем точка A в этом случае будет являться центром колебаний. Докажем это. Обозначим
в новом положении расстояние от точки С до точки подвеса
длины запишем
A
через
b .
Для его приведенной
  b  I C mb .
Но
b   b
и которая, согласно (17.33), равна
(17.34)
b  I c / mb . Подставляя в (17.34), получим
  b  I C mb,
то есть,   . Значит, в новом положении маятник имеет ту же приведенную длину и, следовательно, тот же период. В этом смысле говорят, что физический маятник обратим. Это известно
как теорема Гюйгенса. Это свойство физического маятника позволяет экспериментально определять ускорение свободного падения с очень большой точностью.
Затухающие колебания
При исследовании собственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие
среды приводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенно
уменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается через уменьшение собственной частоты колебаний ω 0, также как постепенным уменьшением амплитуды колебаний.
Пусть на колеблющееся тело действует сила мокрого трения
k1v  k1 x .
Уравнение движе-
ния частицы примет следующий вид:
x  2 x  02 x  0 ,
где
(17.35)
  k1 2m , 02  k m
Будем искать решение уравнения (79.1) в следующем виде:
x  t   A0 ei t .
(17.36)
Подставляя последнее в (17.35), получим

2
0
 2i   2  A0 eit  0 .
(17.37)
Так как полученное уравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в
скобках должно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины  следующее значение
  i   ,
(17.38)
  02   2
(17.39)
где
Учитывая (17.38), решение (17.36) примет следующий вид:
it
x  t   e t  Ae
 A2 eit 
1
Полученное уравнение движения описывает затухающие колебания, где
янные, определяемые из начальных условий.
В зависимости от соотношения коэффициента трения

(17.40)
A1
и
A2
– посто-
и частоты собственных колебаний
0 ,
затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодического и непериодического затухания.
Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силах трения
  0 ,
(17.41)
когда величина (17.39) действительна. В этом случае решение (17.40) выражается формулой (в
действительной форме)
x  t   A0 e t cos t   
(17.42)
Рис.17.4
Графически это колебание представлено на рис. 17.4 и является колебанием с постоянной частотой (17.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле это не только не
гармоническое, но даже и не периодическое колебание, поскольку колебания не повторяются в
том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под этим промежуток времени
T  2   2
02   2 .
(17.43)
Говоря «амплитуда затухающих колебаний» понимают величину
A  t   A0 e t
(17.44)
которая есть максимальное смещение частицы относительно положения равновесия во время
колебаний. Из выражения (17.44) следует, что за время
 1 
(17.45)
амплитуда убывает в
e  2,7
раз. Этот промежуток времени называется временем затухания, а

– декрементом затухания.
Наиболее объективной характеристикой затухания колебаний является логарифмический
декремент, который является отношением периода колебаний (17.43) к времени затухания
(17.45)

T

 T
(17.46)
Легко заметить, что логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения
двух последующих амплитуд (рис. 17.4):
A0 e  t
A1
  ln  ln
 ln e T   T
   t T 
A2
A0 e
Определим число N колебаний, в течение которых амплитуда колебаний убывает в
(17.47)
e  2,7
раз:
AN 1
 e NT  e N  e1 ,
A1
откуда следует, что
N  1
(17.48)
На основании этого соотношения можно экспериментально определить логарифмический декремент затухания  , считая соответствующее число N колебаний.
Непериодическое затухание. При сильном трении
  0 ,
(17.49)
величина (17.43) становится мнимой. В этом случае удобно представить (17.42) так:
  i  i  2  02  i1,2 ,
1,2     2  02 .
(17.50)
(17.51)
В рассматриваемом случае решение (17.42) примет вид
x  t   A1e t  A2 e t
1
2
,
(17.52)
Рис.17.5
которое не описывает какое-либо колебание, а представляет экспоненциональное убывание
смещения от положения равновесия (рис. 17.5). Непериодическое затухание маятника можно
наблюдать, если поместить его в сильно вязкую среду (глицерин, мед).
Специальным случаем непериодического затухания является случай, когда
  0 .
В этом
случае решение уравнения (17.35) выражается в виде
x  t    A1  A2t  e t .
(17.53)
Вынужденные колебания. Резонанс
Колебания частицы под воздействием внешней вынуждающей силы называются вынужденными колебаниями. Наиболее важны вынужденные колебания, возникающие под действием
внешних гармонических сил.
Представим вынуждающую силу в виде
где
F0

– амплитуда вынуждающей силы,
F  t   F0 cos t ,
(17.54)
– частота. Уравнение движения вместо (17.35) примет
следующий вид:
x  2 x  02 x 
F0 it
e ,
m
(17.55)
где мы представили вынуждающую силу в комплексном виде. Это линейное неоднородное
дифференциальное уравнение, общее решение которого представляет сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения.
Представим частное решение уравнения (17.55) в виде
x  t   Aeit ,
(17.56)
где постоянная А может быть комплексной величиной. Подставляя (17.56) в (17.55), получим

2
0
 2i   2  Aei t 
F0 it
e .
m
(17.57)
Для удовлетворения данного уравнения в произвольный момент времени необходимо подставить    . В этом случае
F0
F0 02   2  2i
1
A

,
2
m 02   2  2i m 02   2   4 2 2
(17.58)
представляя которое в комплексном виде, получим
A  A0 ei ,
(17.59)
где
2
  2   4 2 2 , 


2
2

  arctg 2 0  

A0  F0 m

2
0
(17.60)
Учитывая выражения (17.59), (17.56), (17.37) и (17.42), представим закон движения частицы,
совершающей вынужденные колебания, в следующем виде:
x  t   A0 cos t     A1e t cos

02   2  t  1

(17.61)
Рис.17.6
На рис. 17.6 представлен график, выражающий временную зависимость вынужденных колебаний (17.61). Его можно разделить на две, существенно различающиеся части. Первая описывает
процесс установления вынужденных колебаний и называется переходным режимом (область 
на рис. 17.6). В этом промежутке роль второго слагаемого в (17.61), описывающего затухающие
колебания, существенна и характер движения частицы зависит от начальных условий движения в
момент приложения внешней силы. Однако с течением времени влияние начальных условий на
движение частицы исчезает (член с затуханием быстро убывая стремится к нулю) и установившееся движение описывается законом
x уст  t   A0 cos t    .
(17.62)
Понятно, что длительность переходного режима имеет порядок времени затухания
  1/  .
Обычно, говоря вынужденные колебания, подразумевают именно гармонические колебания
(17.62), которые совершаются с частотой вынуждающей силы.
Рис.17.7
Исследуем зависимость амплитуды и начальной фазы от частоты ω вынуждающей силы. Первая
из них представлена на рис. 17.7. В случае колебаний с частотой
 рез  02  2 2 ,
которая получается
из условия
dA0 / d   0 ,
амплитуда колебаний принимает максимальное
значение. Для систем, представляющих практический интерес,
2
2
(диссипация мала). В
этом случае
 рез  0 ; A0рез  F0 2 m0
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при
(17.63)
 рез
нансом. Соответствующие величины в (17.63) называются резонансными.
называется резо-
Во время резонанса ускорение частицы в основном обусловлено (при слабой диссипации) силой упругости: x
 0 x  0 . В этом случае из (17.55) получается значение резонансной амплитуды
2
(17.63).
При слабом затухании


и маленьких частотах
  
0
для вынужденных колебаний
получаем
A0вын  F0 m02 ,
(17.64)
так как в этом случае основными членами в уравнении (80.55) являются вынуждающая сила и
сила упругости. Фактически (17.64) есть амплитуда вынужденных колебаний под воздействием
постоянной силы.
В случае силы большой частоты
  
0
амплитуда колебаний сильно уменьшается. Это по-
нятно: вследствие инертности частица «не успевает» реагировать на быстрые изменения внешней силы. В этом случае амплитуда колебаний убывает обратно пропорционально квадрату частоты вынуждающей силы:
A0  F0 m 2 .
(17.65)
Важной физической характеристикой системы, совершающей вынужденные колебания, является величина, называемая добротностью. Она является отношением резонансной амплитуды к
амплитуде колебаний под воздействием постоянной силы:
A0рез 0 
Q  вын 
 ,
A0
2 
где

(17.66)
– логарифмический декремент затухания.
Рис.17.8
Обсудим зависимость начальной фазы

вынужденных колебаний от частоты вынуждающей
силы. Так как фаза вынужденных колебаний частицы сдвинута от фазы колебаний вынуждающей
силы (17.62) на отрицательную величину   0 , то колебания частицы отстают от колебаний
вынуждающей силы. На рис. 17.8 представлена зависимость
достаточно малых частотах
   
колебаний вынуждающей силы.
В случае резонанса имеем 
0
  
(см. формулу (17.60)). При
мало. То есть, колебания частицы очень мало отстают от
  / 2 . Так
как колебания скорости и смещения частицы отли-
чаются на  / 2 , то во время резонанса вынуждающая сила и скорость частицы колеблются в одной фазе. В этом причина того, что система во время резонанса может принимать от источника любое количество энергии.
В случае больших частот
силы отстают на фазу
  
0
колебания частицы от колебаний внешней вынуждающей
   : фактически колеблются в противофазе. По этой причине колеба-
ния исчезают.
Колебания связанных систем.
Система с двумя и более степенями свободы, в которой имеются связи, обеспечивающие обмен
энергией между частицами, называется связанной системой. На рис. 17.9 и 17.10 приведены
простейшие примеры связанных систем. Если на рис. 17.9 система наделена двумя степенями свободы, то на рис. 17.10 – четырьмя степенями свободы, так как любой из шариков может колебаться как в плоскости рисунка, так и в перпендикулярном к ней направлении.
Рис.17.9
рис.17.10
В общем случае движение связанной системы носит довольно сложный характер. Например, отклонив какой-либо из шариков на рис. 17.10 в произвольном направлении, мы вызовем также
смещение другого шарика. В результате получим сложную картину движения, в течение которого
будет происходить перенос энергии от одного шара к другому и наоборот.
Несмотря на показанную сложность движения связанных маятников его всегда можно представить как наложение гармонических колебаний числом, равным числу степеней свободы системы
(в данном случае – четырех). Эти гармонические колебания называются нормальными колебаниями системы. Итак, число нормальных колебаний равно числу степеней свободы системы.
В рассматриваемом случае нормальные колебания связанных маятников соответствуют следующим случаям:
а) в плоскости рисунка маятники отклонены в одном и том же направлении на один и тот же
угол;
б) то же самое в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка.
В указанных двух случаях маятники будут колебаться с собственной частотой, так как пружина
в этих движениях не играет никакой роли. Две другие нормальные колебания образуются когда:
в) шары отклоняются в плоскости рисунка в противоположных направлениях на одинаковые углы;
г) то же самое в перпендикулярной плоскости.
Любое движение связанных маятников есть наложение этих нормальных колебаний.
Обсудим подробно движение системы с двумя степенями свободы, представленной на рис. 17.9.
На рис. 17.9а показана система в состоянии равновесия, а на 17.9б – положение шаров в произвольный момент времени.
Введем обозначения:
y1  x1  x10 ; y2  x2  x20 ,
(17.67)
Которые являются отклонениями шаров от их положений равновесия. Каждое из уравнений
движения шаров
my1  ky1  k12  y2  y1  ,
my2  ky2  k12  y2  y1  ,
(17.68)
(17.69)
благодаря наличию соединяющей их пружины (жесткостью
k12 ), содержит координаты обоих ша-
ров. Складывая и вычитая эти уравнения, получим
d2
k
 y2  y1     y2  y1  ,
2
dt
m
2
k12 
d
k
y

y



2


2
1

  y2  y1 
dt 2
m
m


(17.70)
(17.71)
Для суммы и разности смещений шаров от положения равновесия мы получили уравнения гармонических колебаний с частотами, соответственно
 k  2k 
1  k m , 2 
12
m,
(17.72)
y2  y1  A0 sin 1t  1  ; y2  y1  B0 sin 2t  2  ;
(17.73)
откуда
A0
B

sin 1t  1   0 sin 2 t  2  ;

2
2

A0
B0
y2  sin 1t  1   sin 2 t  2  

2
2
y1 
(17.74)
Заметим, что (17.72) – это частоты нормальных колебаний, а результат (17.74) подтверждает
наше утверждение о том, что произвольное колебание связанной системы представляет
наложение ее нормальных колебаний.
Биения.
Рассмотрим на основании формулы (17.74) один важный частный случай, когда
связь между шарами слаба
k
12
k:
2  1
A0  B0
1 .
и
(17.75)
В этом случае из (17.74) получим (для краткости опускаем начальные фазы)
   1   2  1  
y1   A0 sin  2
t  cos 
t  ,
 2
  2

.
 2  1   2  1  
y2   A0 cos 
t  sin 
t
 2
  2
 
(17.76)
Полученные уравнения движения описывают колебания с быстро меняющейся частотой
2  1
2
 1 ,
амплитуды которых меняются медленно, по гармоническому закону, с частотой
2  1
2
1 .
(17.77)
В этом смысле функции в (17.76), меняющиеся с частотой (17.77), можно считать амплитудами
быстро меняющихся колебаний (обусловленных последними множителями) (рис. 17.11). Подобные
колебания называются биениями. Заметим, что биения повторяются через промежутки времени,
равные половине периода изменения амплитуды

T
2
.

2 2  1
(17.78)
Рис.17.11
Биения возникают всегда, когда накладываются колебания с близкими частотами. Причем, эти
колебания могут быть как параллельными, так и перпендикулярными.
Контрольные вопросы:
● Каковы условия возникновения гармонических колебаний, и какими
параметрами они характеризуются?
● Чем отличается физический маятник от математического маятника?
● К чему приводит нелинейность колебаний?
● Какие вы знаете характеристики затухания?
● С какой частотой происходят вынужденные колебания?
● Сколько нормальных колебаний у системы?
● Как зависит амплитуда колебаний от частоты вынуждающей силы?
● Что определяет добротность?
● Опишите явление резонанса.
● В каких условиях получаются биения?