Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки

Правило сложения
Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать n способами, то
выбор «А или В» можно осуществить n + m способами.
Пример. У ребенка имеется 3 мячика и 4 машинки. Сколькими способами можно взять
1 мячик или 1 машинку?
Решение: 1 мячик можно взять 3 способами, а 1 машинку 4 способами, следовательно,
1 мячик или 1 машинку можно взять 3  4 способами.
Правило умножения
Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать n способами, то
выбор «А и В» можно осуществить n  m способами.
Пример. У ребенка есть 3 мячика и 4 машинки. Сколькими способами можно взять
1 мячик и 1 машинку?
Решение: 1 мячик можно взять 3 способами, а 1 машинку 4 способами, следовательно,
1 мячик и 1 машинку можно взять 3  4 способами.
Пример Сколько может быть различных комбинаций выпавших граней при бросании
двух игральных костей? (Игральная кость - это кубик, на гранях которого нанесены
числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
Решение. На первой кости может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, то есть всего будет 6
вариантов. Точно так же и на второй кости 6 вариантов. По получится всего 6 · 6 = 36
способов. Правила суммы и произведения справедливы не только для двух, но и для
любого числа объектов. Приведем еще несколько примеров, в которых необходимо
выбрать правило суммы или произведения.
Пример. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С - 3 дороги.
Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
Решение. Чтобы проехать из А в С, надо проехать из А в В и из В в С, поэтому применим
правило произведения. 5 · 3 = 15.
Пример. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 книги по геометрии и 5 книг по
литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
Решение. Книга по математике - это книга по алгебре или по геометрии. Применяем
правило суммы. 3 + 4 = 7.
Пример. В меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных
полных обедов можно из них составить?
Решение. Полный обед состоит из первого, и второго, и третьего блюд. По правилу
произведения получаем 4 · 3 · 2 = 24 различных полных обеда.
ПЕРЕСТАНОВКИ
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного
множества, называются перестановки. Рассмотрим пример. Пусть у нас имеются три
книги: романы, рассказы, детективы. Эти книги можно на полке расставить по-разному.
Запишем все варианты расстановок:
романы, рассказы, детективы
романы, детективы рассказы,
рассказы, романы, детективы
рассказы, детективы, романы
детективы, романы, рассказы
детективы, рассказы, романы.
Каждое из этих расположений называют перестановками из трех элементов.
Число перестановок обозначается Pn
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в
определенном порядке (ВСЕ элементы выбираются и ВСЕ переставляются).
Число перестановок вычисляется Pn  n ! («n факториал»)
Факториалом числа n называется произведение всех чисел от 1 до n.
n!  1 2  3  4  ...  n , т.е.
Pn  n !  1 2  3  4  ...  n
Пример 1. В выше приведенном примере число всех перестановок вычисляется как
P3  3!  1 2  3  6 способов.
Пример 2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц забега на восьми
беговых дорожках?
P8  8!  1  2  3  4  5  6  7  8  40320 способов.
Пример 3. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?
Каждая расстановка будет отличаться от другой порядком следования книг. Поэтому это
будут перестановки из семи элементов.
Р7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7= 5040.
Ответ: 5040 способами.
РАЗМЕЩЕНИЯ
Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые
ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров. Например, если
поместим в первую a, во вторую b, в третью с, то получим один из вариантов : abc.
Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные
упорядоченные тройки шаров.
abc
acb
abd
adb
acd
adc
bac
bca
bda
bad
bcd
bdc
cab
cad
cba
abd
cda
cdb
dab
dac
dba
dbc
dca
dcb
Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов,
называют размещением из четырех элементов по три.
Размещением из n элементов по k называется каждое упорядоченное k – элементное
подмножество данного n – элементного множества (порядок элементов ВАЖЕН).
Число размещений из n элементов по k обозначаются Ank
Число размещений можно вычислить по формуле Ank 
n!
(n  k )!
Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно
составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Любое расписание на один день отличается от другого либо предметами, либо порядком
следования предметов. Значит надо использовать размещения из 8 элементов по 4.
A84 
8!
8!
  5  6  7  8  1680 . Расписание можно составить 160 способами.
(8  4)! 4!
СОЧЕТАНИЯ
Пусть имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется
составить букет из трех гвоздик, выясним какие букеты могут быть составлены.
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному
сочетаются три гвоздики из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные
сочетания из 5 элементов по 3.
Сочетаниями из n элементов по k называется все неупорядоченные k – элементные
подмножества данного n – элементного множества (порядок элементов НЕ ВАЖЕН)
Cnk 
n!
k !(n  k )!
Пример 1. Из членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими
способами можно сделать этот выбор?
Порядок выбора нам не важен, следовательно, используем сочетания:
C153 
15!
12!13 14 15 13 14 15


 455
3! (15  3)!
1 2  3 12!
1 2  3
Пример 2. В ящике 6 красных флажков. Сколько способов выбрать 3 красных флажка?
C63 
6!
3! 4  5  6 4  5  6


 20
3! 3! 1 2  3  3! 1 2  3