É Ó???Å????

ТАЛЛИННСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт машиноведения
Геннадий Арясов, Юрий Кирс
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(I часть начальный курс)
Учебное пособие
1998
Предисловие
Пособие предназначено для студентов Таллиннского
технического университета, прослушивающих названный курс по
выбору в течение одного семестра. Пособие можно рекомендовать
также магистрантам и докторантам, исполь-зующим метод
конечных элементов (МКЭ) в своей научной работе. О методе
конечных элементов написано достаточно много книг, их можно в
общем случае разделить на две груп-пы. В первую группу входят
книги, написанные теоретиками. Их отличает высокий
математический уровень, в которых основное внимание уделяется
математическому обоснованию МКЭ, теоретическому анализу его
сходимости и реализации. Авторы данной группы учебников часто
называют этот метод вариационно-разностным, подчеркивая тем
самым его матема-тическую сущность. Чтение таких книг требует
основательной математической подготовки, и поэтому начинающим
они не го-дятся. Вторая группа учебников написана практиками, в
которых основной упор сделан на простоту и ясность. Опущены
многочисленные сложные и запутанные доказа-тельства, а
необходимые теоремы и формулы из тех или иных разделов
математики приводятся как готовые результаты, большинство из
которых и нет необходимости доказывать. К представителям,
например, первой группы принадлежат Стренг Г., Фикс Дж. (Теория
метода конечных элементов, 1977).
Наиболее ярким
представителем второй группы явля-ется Сегерлинд Л.(Применение
метода конечных элементов, 1979). Одним из известнейших ученых
в этой области является Зенкевич О. Его книгу ”Метод конечных
элементов в технике, 1975” можно отнести как к первой, так и ко
второй группе учебников.
Настоящее пособие принадлежит ко второй группе. При его
написании имелась в виду простота изложения и практи-ческая
необходимость. Оно будет полезно тем, кто делает свои первые
шаги в этой области.
2
Введение
Возникновение метода конечных элементов (МКЭ) свя-зано с
необходимостью решения задач прочности космичес-ких
летательных аппаратов. Первой работой, в которой был использован
МКЭ была статья Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J.,
Stiffness and Deflection Analysis Complex Structures. J. Aeronaut Sci.
23, 805-824, 1956. Эта работа вызвала целую лавину статей, в
которых МКЭ исполь-зовался для решения многочисленных задач
строительной механики и механики сплошных сред. Среди них
одной из важнейших была статья Melosh R.J. Basis for Derivation of
Matrices for the Direct Striffness Method. J.Am.Inst. for Аeronautics and
Astronautics, 1, 1631-1637, 1965. В ней Мелош Р. показал, что МКЭ
можно рассматривать, как вари-ант широко известного метода
Ритца. Связь метода конечных элементов с процедурой
минимизации значительно расширила область его применения.
Решение задач с помощью МКЭ сво-дилось к минимизации
некоторого функционала, связанного с рассматриваемыми
обьектами или явлениями через их важ-нейшие физические
величины. В строительной механике, на-пример, в качестве такого
функционала используется потен-циальная энергия, минимизация
которой позволяет свести за-дачу к системе линейных
алгебраических уравнений равно-весия. Позднее метод начали
применять к задачам, описы-ваемым уравнениями Лапласа и
Пуассона (уравнения мате-матической физики). Одними из первых
задач,
решенными
таким
способом,
являлись
задачи
распространения тепла. Затем метод был применен к задачам
гидромеханики, электростатики, динамики и т.д. Область
применения метода конечных элементов расширялась еще и потому,
что, как до-казано, возникающие в методе уравнения могут быть
полу-чены с помощью частных случаев метода Галеркина или
способа наименьших квадратов. Это показали Забо Б. и Лии Г. в
работе Szabo B.H., Lee G.C. Derivation of Stiffness Mat-rices for
Problems in Plane Elasticity by Galerkin’s Method. Jntern. J. of
Numerical Methods in Engineering, 1, 301-310, 1969 и Зенкевич О. в
работе Zienkiewicz O.C. Finite Elements in the Solution of Field
Problems. The Engineer, 507-570, 1971. Установление этого факта
сыграло важную роль в теорети-ческом обосновании МКЭ, что
позволило превратить метод конечных элементов из процедуры
специального решения за-дач строительной механики в общий
метод численного реше-ния произвольных дифференциальных
уравнений. Кроме того не было больше необходимости строить для
3
решения задач соответствующие функционалы. Этот прогресс был
достигнут
за
пятнадцатилетний
период
благодаря
совершенствованию и развитию электро-вычислительных машин.
Метод конечных элементов является очень эффективным
методом решения различных инженерных и физических за-дач.
Возможности его использования очень широки, прости-раясь от
анализа напряжений в простых стержнях или в стер-жневых
конструкциях самолетов и автомобилей до расчета таких сложных
систем, как атомная электростанция или кос-мические летательные
аппараты. С помощью этого метода рас-считываются атомные
ледоколы и подводные лодки. Решается множество задач движения
жидкости по трубам, через плоти-ны, течение жидкости в пористых
средах, исследуется течение жидкого газа, задачи электростатики,
колебаний систем и т.д.
4
I. Начальный курс
1. Основная концепция метода конечных элементов
1.1. Общие положения. Основная схема МКЭ
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что
любую непрерывную величину, выражающую какие-то свойства
исследуемого объекта, можно аппроксимировать дискретной
моделью, которая состоит из кусочно-непрерыв-ных функций.
Каждая из этих функций определена в некото-рой подобласти,
число которых должно быть конечным. В ка-честве функций
используются линейные, квадратичные или кубические полиномы.
Первоначально значения искомой не-прерывной величины
неизвестны, за исключением заданных в ряде случаев значений в
отдельной(ых) граничной(ых) точке (точках). Дискретная модель
легко строится, если сначала предположить, что числовые значения
этой величины в ряде отдельных точек, расположенных по всему
исследуемому объекту, известны. Однако, к сожалению, это не
упрощает ре-шение задачи. Использование МКЭ для вычисления
значений функций в этих отдельных точках, называемых узлами,
все таки надо связать с минимимизацией некоторого функциона-ла.
Минимизация и дает нам систему уравнений для нахож-дения
неизвестных узловых величин.
И так, основная схема применения МКЭ следующая:
1. В рассматриваемой области исследуемого объекта фикси-руется
конечное число точек. Эти точки называются узло-выми точками
или просто узлами.
2. Значения определяемой (вычисляемой) функции в этих узловых
точках считаются неизвестными.
3. Вся область определения непрерывной функции разбивает-ся на
конечное число подобластей, называемых элемента-ми.
Соседние элементы имеют общие узловые точки и в совокупности должны точно аппроксимировать всю форму области.
4. Вычисляемая непрерывная функция аппроксимируется на каждом
элементе полиномом, который определяется (выра-жается) с
помощью узловых значений этой функции. Для каждого элемента
определяется свой полином, но они под-бираются таким образом,
чтобы сохранялась непрерыв-ность искомой функции вдоль
границ элемента. Этот поли-ном, связанный с каждым элементом,
называется также функцией элемента. Из этих функций
5
образуется конечное число кусочно-непрерывных функций,
которые охватывают всю область определения.
5. Формирование (получение) системы линейных алгебраи-ческих
уравнений осуществляется через минимизацию фун-кционала,
характеризующего данный объект,.
6. Решение этой системы относительно неизвестных узловых
значений.
7. Окончательное вычисление всех необходимых физических
величин в каждом элементе.
1.2. Пример для иллюстрации основной концепции.
Основные идеи МКЭ можно наглядно проиллюстриро-вать на
примере определения распределения температуры в простом
стержне. Рассматривается непрерывная функция T=T(x), где T –
температура и x – координата стержня. Пусть длина стержня есть L.
Тогда областью определения функции T(x), будет 0  x  L .
Фиксируем на стержне 5 точек и нумеруем их. Это и есть так
называемые узловые точки или просто узлы. Эти узловые точки
можно выбирать самым про-извольным образом, поэтому не совсем
обязательно распола-гать их на равном расстоянии друг от друга.
Можно ввести в рассмотрение и более пяти точек, но для
иллюстрации метода этих пяти вполне достаточно.
Пусть узловые значения непрерывной функции T(x) соответственно равны T1, T2, T3, T4, T5. Эти фиксированные значения
представим графически на рис. 1.1., используя коор-динатную
плоскость Tx .
T
T1
T2
T3
T4
T5
x
x=0
1
2
3
4
5
x=L
Рис. 1.1
Теперь возникает следующий вопрос: на сколько элемен-тов
следует разбивать стержень. Имеются две возможности.
1) Разбить стержень на четыре элемента, которые были бы
1-2, 2-3, 3-4, 4-5.
6
Назначим каждому элементу соответствующие полиномы.
Поскольку они определяются по значениям T(x) в узловых точках,
которых в каждом элементе только 2, то аппроксими-рующие
полиномы будут линейными по x (две точки одно-значно
определяют прямую линию). Графически они изобра-жаются
прямыми
линиями,
соединяющими
узловые
значения
рассматриваемого элемента. Получим картину, изображенную на
рис. 1.2.
T
T1
T2
T3
T4
T5
x
x=0
1
2
3
4
5
x=L
Рис. 1.2
Окончательная аппроксимация функции T(x) состоит из
четырех кусочно-линейных функций, изображаемых гра-фически на
координатной плоскости в виде ломаной линии. Как видно из рис.
1.2, при переходе с одного элемента на другой, значения функции
T(x) меняются непрерывно, но производные T ( x ) имеют разрывы в
узловых точках. В дей-ствительности графиком изменения
температуры является плавная непрерывная линия, проходящая
через узловые зна-чения. Очевидно, что чем больше возьмем
элементов, тем точнее будет результат. Возникает вопрос: зачем
использовать МКЭ и заменять непрерывную функцию
приближенной ло-манной функций.
Дело в том, что расчеты для многих обьектов и систем
становятся настолько сложными, что часто просто нет другой
возможности получить вообще какое-то другое решение.
2) Вторая возможность – разбить стержень на два элемента,
соответственно 1-2-3 и 3-4-5.
Назначим каждому элементу аппроксимирующие поли-номы
второй степени или квадратичные полиномы. Общей узловой
точкой у элементов будет узел с номером 3 (рис. 1.3.).
T
T1
T2
T3
T4
T5
x=0
1
2
3
4
5
x=L x
7
Рис. 1.3
При переходе с одного элемента на другой выполняются
условия непрерывности для функции T(x), однако не должны быть
обязательно выполнены условия непрерывности для её производной
T(x) (рис. 1.3).
В действительности узловые значения искомой функ-ции
неизвестны и аппроксимирующие полиномы образуют-ся с
помощью неизвестных узловых значений, как описано выше, но
с добавлением одного дополнительного шага.
Узловые значения T(x) должны быть назначены таким
образом, чтобы обеспечивалось наилучшее приближение к
истинному распределению температуры. Практически это осуществляется путем минимизации некоторого функционала, который
должен быть связан с физической сущностью рассма-триваемого
обьекта (задачи). В данной задаче этот функцио-нал получается
исходя из соответствующего дифференци-ального уравнения
распространения тепла в стержне.
1.3. Двумерный случай
Аналогично используется основная идея МКЭ при реше-нии
двумерных и трехмерных задач. В двумерном случае областью
определения является область в плоскости xy. Эта область
разбивается на треугольные или четырехугольные плоские
элементы (рис. 1.4.). В действительности искомая функция  ( x, y )
представляет из себя графически некоторую криволинейную
поверхность (рис. 1.4.). При использовании треугольных элементов
эту криволинейную поверхность  ( x, y ) можно аппроксимировать
совокупностью кусочно-непрерывных плоских поверхностей, где
выполняются усло-вия непрерывности для функции  ( x, y ) , но не
обязательно для ее производной   ( x, y ) .
8
Искомая функция 
 x, y 
Узловые значения
Четырехугольный
элемент
y
Треугольный элемент
x
Рис. 1.4.
Аналогично и в случае четырехугольных элементов полу-чаем
некоторую совокупность плоских поверхностей. Эти аппроксимирующие поверхности не совпадают полностью с истинной поверхностью  ( x, y ) и здесь также не обязательно должны
выполняться условия непрерывности для производ-ной   ( x, y ) .
Отметим, что иногда с целью повышения точнос-ти решения
используются треугольные элементы с дополни-тельным третьим
узлом на каждой из трех сторон треуголь-ника (рис. 1.5). В
результате
получаем
совокупность
уже
кри-волинейных
поверхностей. Дополнительные узлы не обяза-тельно должны
находиться в серединах сторон треугольника.

  x, y 
J
элемент
x
Рис. 1.5
Расчеты с криволинейными аппроксимирующими поверхностями значительно сложнее. В интересах упрощения используются чаще всего треугольные элементы без дополни-тельных
узлов. В этом случае вместо криволинейной поверх-ности  ( x, y )
получаем совокупность кусочно - непрерывных плоскостей.
1.4. Преимущества и недостатки метода
В настоящее время область применения метода конечных
элементов очень обширна и охватывает все физические за-дачи,
9
которые могут быть описаны посредством дифференци-альных
уравнений.
Наиболее важные преимущества метода следующие:
1. Свойства материалов смежных (соседних) элементов не должны
быть обязательно одинаковыми. Это позволяет использовать
МКЭ для расчета тел, состоящих из различ-ных матариалов.
2. Метод можно использовать в случае обьектов любой слож-ной
конфигурации, поскольку криволинейные границы можно
аппроксимировать как элементами с криволиней-ными
сторонами, так и с прямолинейными, но используя в этом случае
более частую сетку разбиения.
3. Размеры элемента могут быть различными. Это дает возможность при необходимости в одном месте использовать более
частую сетку разбиения, в другом месте более ред-кую, т.е.
применять более мелкие или более крупные эле-менты.
4. Метод конечных элементов позволяет решать такие задачи, когда
на обьект действует разрывная поверхностная на-грузка,
например, сосредоточенные силы, приложенные в различных
точках, а также задачи со сложными и неста-ционарными
условиями.
5. МКЭ позволяет составлять общие программы для решения
частных задач определенного класса.
Метод имеет также некоторые недостатки:
1. Большой обьем вычислений и их громоздкость. Поэтому
вручную можно решать только некоторые задачи для простейших обьектов. В современной практике все возникаю-щие
задачи решаются с помощью вычислительной техники. Из этого
вытекают еще два недостатка:
2. Вычислительные комплексы, составленные для решения
сложнейших задач, требуют специалистов достаточно высо-кой
квалификации.
3. Решение сложных задач требует мощных и быстродействующих ЭВМ с большой памятью. Например, прихо-дится
решать такие задачи, которые даже при исполь-зовании
современной вычислительной техники решаются сутками.
2. Основные типы элементов
2.1. Общие замечания
Разбиение обьекта (области) на элементы представляет собой
первый шаг при использовании МКЭ. Интересно, что этот шаг
10
остался без должного теоретического обоснования. Точность
полученных результатов во многом зависит от ди-скретизации
обьекта. Неполное или плохое разбиение на эле-менты может
привести к совершенно ошибочным результатам, если даже
остальные этапы метода осуществляются с доста-точной степенью
точностью. Поэтому дискретизация области целое искусство,
которое во многом зависит от знаний и опыта инженера.
Для дискретизации обьекта прежде всего надо назначить вид
и размеры используемого элемента, а также их количество,
которое должно быть конечным. Большие обьек-ты предварительно
разбиваются на части, которые затем раз-биваются на конечные
элементы. При решении задач часто встает вопрос – каких размеров
должны быть элементы ? С одной стороны, элементы должны быть
выбраны достаточно малыми, поскольку это повышает точность. С
другой стороны в случае крупных элементов сокращается время
решения, но страдает точность решения. Как действовать ? Точное,
всегда подходящее правило здесь трудно привести – все зависит от
конкретной задачи. Но одно общее правило можно все таки
рекомендовать. В тех областях, где ожидаемый результат может
очень сильно меняться (большие величины градиен-тов), следует по
возможности уменьшать размеры элементов. Но там, где
ожидаемый результат меняется медленно, можно увеличивать
размеры элементов.
2.2. Одномерные элементы
Самым
простейшим
конечным
элементом
является
одномерный элемент. Схематически его можно представить в виде
отрезка. Такие элементы используются при решении раз-личных
задач, связанных со стержнями. И хотя стержень име-ет поперечное
сечение, тем не менее предполагается, что иско-мая величина
зависит только от длины стержня, которой является координата x.
Поперечное сечение стержня считается, как правило,
постоянным, но это не обязательное требование. С помощью
формул одномерного случая очень хорошо решаются задачи и для
стержней с переменным сечением. На рис. 2.1 приведены примеры
различных одномерных элементов.
a)
b)
c)
d)
11
Рис. 2.1
В случае а) для элемента, схематически изображенного
отрезком прямой с двумя узлами (рис. 2.1, а), в расчетах
используется линейный полином. В случаях в) и с) имеем де-ло с
трехузловыми элементами, которые могут быть прямыми или
криволинейными отрезками (рис. 2.1, b и с). Здесь в рас-четах
используется квадратичный полином. В случае d) имеем
четырехузловой элемент, для которого используется уже
кубический полином (рис. 2.1, d).
Такие одномерные элементы обычно используются в задачах
теплопроводности стержней, а также в задачах строи-тельной
механики и теории упругости, применительно к стержневым
конструкциям.
2.3. Двумерные элементы
Здесь используются в основном два типа элементов:
треугольные и четырехугольные. В свою очередь они могут быть
как с прямолинейными, так и с криволинейными сторо-нами. В
случае криволинейных элементов необходимо кроме узловых точек,
находящихся в угловых точках, взять допол-нительные узлы,
которые не обязательно должны быть в центре сторон элемента. На
рис. 2.2 изображены различные элементы, используемые для
решения двумерных объектов.
a)
d)
b)
c)
e)
(1)
(2)
(3)
(4)
Рис. 2.2
На рис. 2.2, е показано одновременное использование обоих
типов элементов внутри области (1), (2), (4) – прямо-угольные, (3) –
12
треугольный элемент, если только имеет оди-наковое число узлов на
стороне. В случае элементов с прямо-линейными сторонами можно
также вводить на сторонах до-полнительные узлы. Это иногда
используется для повышения точности расчета. Приведенные выше
элементы применяются в основном для решения различных задач,
связанных с расче-том пластин. Несмотря на то, что пластина имеет
еще и тре-тий размер – толщину h, расчет ведется как для
двумерного обьекта. При этом толщина пластины может быть
перемен-ной, будучи кусочно-постоянной или кусочно-линейной.
Если толщина представляет из себя непрерывно меняющуюся
величину, то она заменяется кусочно-линейной функцией.
2.4. Трехмерные элементы
В основном используются следующие элементы:
1) тетраэдр,
2) прямоугольный параллелепипед,
3) четырехгранник,
4) призма,
5) пирамида,
6) другие типы (например, элементы в в виде куска торта).
В свою очередь они могут быть как прямолинейными, так и с
криволинейными ребрами. Чаще всего используются тетраэдр и
параллелепипед. На рис. 2.3 изображены различные трех-мерные
элементы.
a)
b)
c)
d)
Рис. 2.3
В случае элементов с криволинейными ребрами обяза-тельно
вводиться дополнительные узлы, которые не обяза-тельно должны
быть в центре ребра. Элементы в виде куска торта (рис. 2.3, d)
13
используются при исследовании толстых пластин и стержней, при
этом внешняя грань может быть как плоской, так и криволинейной.
По существу такие элементы подобны двумерному треугольнику, но
позволяют еще допол-нительно учесть изменение искомой
неизвестной величины вдоль третьей координаты (по высоте).
Часто приходится решать задачи для тел вращения с
осесимметричной нагрузкой и осесимметричными граничными
условиями. Поскольку осесимметричное тело получается пу-тем
вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси, то ре-шать можно
только эту плоскую фугуру. Ведь у тел вращения в случае осевой
симметрии все сечения, которые проходят через данную ось,
индентичны между собой (рис. 2.4).
z

r
2.5. Разбиение области на элементы
Рис. 2.4
Дискретизация произвольного объекта начинается обычно с
разбиения на большие области или зоны, которые затем
подразделяются на конечные элементы. Рассмотрим в качестве
примера двумерные объекты. С трехмерными объек-тами дело
обстоит аналогично. В двумерном случае зоны - треугольные или
четырехугольные, а в качестве элементов обычно используются
треугольники с прямолинейными сторо-нами. Треугольные
элементы выбираются потому, что они простейшие из двумерных
элементов в смысле аналитической формулировки (получаются
более простые аналитические вы-ражения).
При разбиении области на элементы прежде всего назначается определенное число узловых точек по границе об-ласти
(зоны), затем узлы соединяются между собой прямыми линиями.
Получим, например, представленную на рис. 2.5, фигуру. Здесь
выбрано по 4 узла на каждой из боковых сто-рон треугольника. При
этом узлы на сторонах не обязательно располагать на равных
расстояниях. Варьирование расстояния позволяет изменять размеры
элементов. Также не обязательно должны быть параллельны
14
проводимые прямые линии друг другу. Точки пересечения этих
прямых также считаются уз-лами.
Рис. 2.5
Число элементов Sk
в результате разбиения треуголь-ной
зоны можно вычислить по формуле
Sk=(n-1)2,
(2.1)
где n - число узлов, выбранных на каждой из сторон зоны (это число
должно быть одинаково на всех сторонах). В дан-ном примере n = 4
и по формуле (2.1) имеем
Sk= (4-1)2 =32=9.
Если зона криволинейная, то ее криволинейные грани-цы
заменяются ломанными отрезками прямых и разбивается затем на
треугольные элементы. В качестве примера приведе-на фигура на
рис. 2.6 (штриховой линией представлена исход-ная зона,
сплошными - элементы).
Рис. 2.6
При таком приеме элементы должны быть достаточно
малыми, чтобы по возможности точнее представить криволинейную границу зоны. Вторая возможность заключается в использовании криволинейных треугольных элементов с дополнительными узлами (рис. 2.2, d). Но в этом случае решение
становилось бы слишком громоздким и сложным.
Четырехугольные зоны обычно разбиваются на элементы
путем соединения узлов на противоположных сторонах (рис. 2.7).
15
Элементы при этом могут быть как треугольные, так и
четырехугольные, но чаще все таки используются треуголь-ные. В
случае применения последних рекомендуется четырех-угольники,
полученные в результате первоначального разбие-ния зоны,
разбивать затем на треугольные элементы путем проведения
короткой диагонали. Это несколько увеличивает точность решения
задачи. Чем меньше отличаются друг от друга диагонали
четырехугольника, тем менее важно для точности, какую диагональ
использовать для разбиения.
a)
c)
d)
b)
Рис. 2.7
На рис. 2.7, а изображены в качестве примера четырехугольная область (зона), которую надо разбить на элементы. Прежде
всего решим, что пусть будут треугольные элементы с
прямолинейными сторонами. Затем решим сколько узлов возьмем
на каждой из сторон четурехугольника. Пусть в дан-ном примере на
длинных сторонах - 5 узлов, а на коротких - 3 узла. Число узлов на
противоположных сторонах должно быть одинаково, если только
сетка разбиения не делается мельче или крупнее. Наносим эти узлы
на чертеж, при этом расстояния между узлами могут быть
различными (рис. 2.7, b). Затем соединяем узлы, находящиеся на
противоположных сторонах, между собой (рис. 2.7, с). Точки
пересечения линий считаются также узлами. И, наконец,
полученные четырех-угольники разбиваем на треугольники,
используя при этом короткие диагонали (рис. 2.7, d). На рис. 2.8
показаны вари-анты деления четырехугольника.
a)
b)
нежелательное
разбиение
желательное
разбиение
Рис. 2.8
16
На этом разбиение на элементы выполнено. Следующим
шагом является нумерация узлов и элементов, но об этом раз-говор
ниже. Если число узлов на сторонах четырехугольника
соответственно n и m, тогда число элементов SN в четырех-угольной
зоне вычисляется по формуле
SN=2(n-1)(m-1).
(2.2)
При делении объекта на зоны рядом могут оказаться
четырехугольная и треугольная области. Число узлов на их общей
границе должно быть одинаковым и относительное положение
узлов должно совпадать (это отмечалось в 2.3 рис. 2.2, е). Это
требование необходимо для того, чтобы обеспе-чить непрерывность
искомой величины. На рис. 2.9 изобра-жена сложной формы тонкая
металлическая пластина, разби-тая на три зоны: одна из которых
треугольная, а две другие – четырехугольные.
треугольная зона
четырехугольная зона
Рис. 2.9
четырехугольная зона
Одна сторона пластины криволинейная, которая заме-нена
совокупностью ломаных прямых. Как видно, элементы имеют
разные размеры. В тех местах, где предполагаются большие
изменения (градиенты) искомой функции, выби-раются более
мелкие элементы. Это в углу треугольной зоны и вблизи
криволинейной стороны правой четырехугольной зоны. А в левой
четырехугольной зоне, где искомая неизвест-ная величина
предполагается маломеняющейся, элементы бо-лее крупные.
При решении методом конечных элементов (МКЭ) используется обычно такое разбиение, в результате которого элементы
имеют различную форму и размеры. Это связано с тем, что не все
17
части обьекта находятся в одинаковых усло-виях: имеются
концентрации напряжений, скачки изменения температуры и т.д.
Поэтому варьирование размеров элементов есть важнейшее
преимущество МКЭ.
Существует еще одна возможность для сгущения или
разрежения сетки разбиения. Для этого надо выбрать на противоположных сторонах четырехугольной зоны разное число
узловых точек, что показано в качестве примера на рис. 2.10.
Рис. 2.10
И, наконец, еще несколько слов о граничных условиях. При
решении различных задач часто оказывается, что один узел вообще
не может двигаться, другой узел может пере-мещаться только в
одном направлении и т. д. Эти граничные условия необходимо
отмечать на рисунке определенным спосо-бом (рис. 2.11). Так балка,
жестко заделанная в стену, не может поворачиваться в точке
опирания - и это должно быть показано на рисунке (рис. 2.11, е).
5
4
a)
6
3
1
2
b)
или
5
4
c)
6
2
1
d)
или
e)
или
3
Рис. 2.11
18
На рис. 11, а узлы 1 и 3 полностью неподвижны, остальные могут в
общем случае двигаться в любом направлении. На рис. 2.22, b левый
конец балки также полностью неподвижен. В случае 2.11, с узлы 1,
2 и 3 могут двигаться (катиться) свободно в горизонтальном
направлении, но не могут двигать-ся в вертикальном направлении.
На рис. 2.11, d левый конец балки также не может двигаться в
вертикальном направлении, но может свободно перемещаться в
горизонтальном. На ри-сунке 2.11, е изображена жестко заделанная
балка, конец ко-торой не может двигаться в двух взаимно
перпендикулярных
направлениях,
а
также
кроме
того
поворачиваться вокруг заделки.
Отдельный класс задач образует бесконечные обьекты,
например, бесконечная пластина, поверхность земли и т.д. В этом
случае надо рассматривать все таки конечную область, которая
выбирается по возможности больших размеров, чтобы вычисления
были бы точнее. Конечно и здесь надо учитывать как возможности
ЭВМ, так и машинное время.
2.6. Нумерация узлов
Нумерация узлов сама по себе тривиальная операция, но в
случае метода конечных элементов имеет очень важное значение.
Дело в том, что нумерация может чувствительно влиять на точность
вычислений. Для простейших объектов не представляет
затруднений найти самый эффективный вариант нумерации узлов,
но ведь решаются также и задачи, в случае которых исследуемым
объектом является подводная лодка, атомный ледокол,
электростанция целиком и т.д. В этих слу-чаях получаем тысячи
конечных элементов, аппроксимирую-щих обьект, с десятками
тысяч узлов, который имеет слож-ную и нерегулярную
конфигурацию (форму). Как в этих слу-чаях найти самый
эффективный вариант нумерации узлов. К счастью в настоящее
время имеются мощные ЭВМ с большой памятью и
быстродействием, которые и решают эту проблему. Конечно
отдельной поблемой является составление машинной программы. В
случае очень сложных объектов это также является чрезвычайно
сложной задачей, но это уже не про-блема МКЭ. Почему тогда
нумерация узлов такая важная операция? Дело в том, что
использование МКЭ приводит к решению системы линейных
алгебраических уравнений. В этой системе часть коэффициентов
равна нулю и подходящей нумерацией узлов можно достичь такого
19
положения, что отличные от нуля коэффициенты образуют в
матрице полосу (т.е. находятся между двумя линиями
параллельными главной диагонали, рис. 2.12). Получаем так
называемую ленточную матрицу. И, если вне этой полосы все
коэффициенты действи-тельно равны нулю, то и вычисления
значительно упрощают-ся. Одна их важнейших величин, с
помощью, которой харак-теризуется ленточная матрица, есть
ширина полосы (ленты) В. В случае примера, приведенного на рис.
2.12 ширина лен-ты равна 3.
В
 C1
C
 4
C8

0
0

0
C2
C5
C9
C13
0
0
C3
C6
C10
C14
C18
0
0
C7
C11
C15
C19
C22
0
0
C12
C16
C20
C23
0 
0 

0 

C17 
C21 

C24 
Рис. 2.12
Коэффициенты С1, С2, …, С24 представляют из себя некоторые
числа, среди которых могут быть и нулевые, но вне этой полосы в
случае правильной ленточной матрицы коэффициенты должны быть
только нулевыми. Ясно, что чем меньше ширина полосы В, тем
меньше необходимое коли-чество вычислений и тем меньше надо
машинного времени. Исследования показывают, что ширину полосы
В можно вычислить с помощью следующей формулы
В=(R+1)Q,
(2.3)
где Q – число неизвестных в узле, R – максимальная раз-ность
между номерами узлов элемента.
Рассмотрим в качестве примера элемент на рис. 2.13. Здесь
следующая разница между номерами узлов :
14
8
а) r1=18-14=4,
b) r2=18-8=10,
c) r3=14-8=6.
18
Рис. 2.13
20
В этом элементе самая большая разница между номерами узлов
равна 10. Такие разницы надо найти для всех элементов объекта из
полученного множества этих значений выбрать максимальную
разницу, т.е. R  maxri  .
Число неизвестных в узле (Q) зависит от выбранной модели,
поэтому ширина полосы B зависит только от величины R и для
данной задачи является определенной величиной. Величина R в
свою очередь зависит только от нумерации. Рассмотрим в качестве
примера четырехугольный объект на рис. 2.14. Объект разбит на 30
треугольных элементов и име-ет общее число узлов равное 24.
Проведем нумерацию узлов тремя различными способами и
сравним полученные результа-ты.
а)
b)
c)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
5
9
13
17
21
2
6
10
14
18
22
3
7
11
15
19
23
4
8
12
16
20
24
7
11
15
19
22
24
4
8
12
16
20
23
2
5
9
13
17
21
1
3
6
10
14
18
R=7
R=5
R=4
Рис. 2.14
В случае 2.14, а нумерация произведена, двигаясь вдоль
длинной стороны. Возьмем один произвольный треугольник откуданибудь из середины (на рисунке заштрихован) и вычислим разницы
номеров узлов
а1) r1=16-15=1,
а2) r2=15-9=6,
а3) r3=16-9=7.
Отсюда имеем R=7.
21
Легко видеть, что другие треугольники дают такие же
результаты. В случае, если нумерация производится не впере-мешку
(произвольно), а строго следуя определенной законо-мерности, то
достаточно вычислить разницы номеров узлов только в одном
элементе. Но если нумерацию производить вперемешку
(произвольно), то надо высчитывать разницы но-меров узлов
абсолютно во всех элементах. Для случая 2.14, b нумерация
проделана, двигаясь вдоль короткой стороны (сверху вниз и слева
направо). В этом случае получим
в1) r1=16-15=1,
в2) r2=15-9=6,
в3) r3=16-9=7.
Отсюда имеем R=5, поскольку другие треугольники дают такие же
результаты. Если сравнить теперь случаи 2.14 а и 2.14 b, то ясно, что
всегда целесообразно производить нумера-цию, двигаясь вдоль
коротких сторон. Но оказывается, что для четырехугольных
обьектов, это не самый оптимальный результат.
Из случая 2.14, с видно, что принимая в качестве пер-вого
узла самый левый нижний узел и, двигаясь регулярно вдоль
диагонали, получим лучший результат, то есть в этом случае:
с1) r1=11-10=1,
с2) r2=15-11=4,
с3) r3=15-10=5.
Отсюда имеем R=4 и это – самый оптимальный вариант. Посмотрим насколько удастся уменьшить ширину полосы, сра-внивая
варианты 2.14, а и 2.14, с ? При расчете предполо-жим, что в каждом
узле два неизвестных. Тогда по (2.3) имеем
Ва= (7+1)·2=16,
Вс= (4+1)·2=10.
Экономия ощутимая. В реальной жизни случаются задачи, где
экономия может быть еще большей. Например, в одном конструкторском бюро решалась задача в которой, одна нумера-ция
давала R1=21, а совершенно другая R1=9. В случае двух неизвестных
в узле получим
В1= (21+1)·2=44,
В2= (9+1)·2=20.
Разница огромная ! Но найти для сверхсложных обьектов с
большим числом узлов оптимальный вариант – не простая задача.
Несколько слов еще относительно треугольных обьектов.
Оказывается, что здесь R, а следовательно и ширина полосы В и не
зависят от хода нумерации, если только нумерация производится
22
строго закономерно, а не произвольно. Рас-смотрим в качестве
примера треугольный обьект на рис. 2.15 у которого
a)
b)
1
2
3
5
8
5
9
2
6
6
4
7
1
3
8
10
10
9
7
4
Рис. 2.15
узлы пронумерованы двумя различными способами. Легко
убедиться, что в обоих случаях R=4. Предположим теперь, что узлы
пронумерованы. Слудующим этапом является нуме-рация
элементов. Оказывается, что нет никакой важности в порядке
нумерации элементов. Элементы можно нумеровать произвольным
образом. В дальнейшем номера элементов за-ключаем в круглые
скобки. Таким образом – номера узлов обозначаем 1, 2, 3,…; номера
элементов – (1), (2), (3)…
3. Линейные интерполяционные полиномы
3.1. Классификация элементов по полиномам
Основной идеей метода конечных элементов (МКЭ) яв-ляется
аппроксимация некоторой искомой непрерывной фун-кции
дискретной моделью, состоящей из множества кусочнонепрерывных функций. В качестве таких кусочно-непрерыв-ных
функций используются полиномы. В зависимости от сте-пени
полинома и формы элемента конечные элементы классифицируются на следующие:
1) симплекс-элемент,
2) комплекс-элемент,
3) мультиплекс-элемент.
1) В случае симплекс-элемента полином должен содержать только
константы и линейные члены. Это требование опре-деляет
внешний вид полинома и в зависимости от размер-ности задачи
полиномами будут:
23
1а) в одномерном случае
  1  2 x ,
(3.1)
1в) в двумерном случае
  1   2 x   3 y ,
(3.2)
1с) в трехмерном случае
  1   2 x  3 y   4 z ,
(3.3)
где 1 , 2 , 3 , 4 – некоторые константы, разговор об определе-нии
которых пойдет дальше.
Внешний вид симплекс-элемента будет:
1а) в одномерном случае это отрезок с узлами на кон-цах,
1b) в двумерном случае – треугольник с узлами в вер-шинах
треугольника,
1с) в трехмерном случае – тетраэдр с узлами в вер-шинах.
В случае симплекс-элемента треугольник должен быть с
прямолинейными сторонами, а грани тетраэдра – плоскими.
Треугольник и тетраэдр не обязательно должны быть пра-вильными,
т.е. иметь все стороны одинаковой длины. В сим-плекс-элементе
можно обратить внимание на интересную зако-номерность.
Рассмотрим формулы (3.1)–(3.3).Выходит, что в одномерном случае
полином (3.1) имеет две константы, а элемент – два узла, в
двумерном случае в формуле (3.2) – три константы, а элемент ,
которым является треугольник, имеет три узла. И, наконец, в
трехмерном случае у полинома (3.3) 4 константы, а у элемента,
которым является тетраэдр 4 узла.
Таким образом число констант полинома равно количест-ву
узлов в симплекс-элементе.
2) В случае комплекс-элемента полином кроме констант и линейных
членов содержит еще квадратичные члены, а при необходимости
кубические члены и иногда даже более высо-ких степеней. Если
ограничиться только квадратичными членами, тогда полиномы
имеют вид:
2а) в одномерном случае
  1   2 x  3 x 2 ,
(3.4)
2b) в двумерном случае
  1  2 x  3 y  4 x 2  5 y 2  6 xy
(3.5)
2с) в трехмерном случае
  1  2 x  3 y  4 z  5 x 2  6 y 2  7 z 2  8 xy  9 xz  10 yz (3.6)
Если добавить еще и кубические члены, тогда полиномные
выражения станут значительно длиннее. Чита-тель может теперь
самостоятельно записать соответствующий вид полиномов при
24
наличии кубических членов. Из формул (3.4) – (3.6) можно сделать
один важный вывод – в случае комплекс-элемента узловых точек
больше чем у соответству-ющего симплекс-элемента. Т.е. если
полином будет содержать только квадратичные члены то имеем:
2а) в одномерном случае имеем дело с тремя узловыми
точками, при этом два узла на концах элемента, а третий где-нибудь
между ними и не обязательно в середине элемента. Внешне
одномерный комплекс-элемент может быть как прямолинейным,
(рис.3.1, а) так и криволинейным отрезком с тремя узлами (рис. 3.1,
b).
2
а)
b)
3
2
1
3
1
Рис. 3.1
2b) в двумерном случае комплекс-элемент содержит 6 узловых
точек. Внешне комплекс-элементом является тре-угольник с
криволинейными сторонами (рис. 3.2, а), но они могут также быть и
прямолинейными, с тремя узлами в вершинах и тремя на сторонах
(рис. 3.2, b).
b)
1
a)
1
4
2
3
4
6
6
2
3
5
5
Рис. 3.2
2с) в трехмерном случае комплекс-элемент содержит уже 10
узловых точек: 4 узла в вершинах тетраэдра, 4 – на гранях и два узла
где-то внутри тетраэдра. Внешне имеем дело с тетраэдром, у
которого обычно плоские грани, но могут быть и криволинейные
поверхности.
3) В случае мультиплекс-элемента полином может также со-держать
члены высоких степеней, но границы мульти-плекс-элемента
должны быть параллельны координатным плоскос-тям.
y
4
3
1
2
Рис. 3.3
x
25
На рис. 3.3 изображен двумерный мультиплекс-элемент. Так как
узловых точек здесь должно быть по меньшей мере 4, то линейный
полином вида (3.2) здесь невозможен, поскольку при использовании
линейного полинома число узлов должно быть только 3. В случае
четырех узловых точек полином дол-жен содержать также
некоторый квадратичный член.
В трехмерном случае мультиплекс-элементом является прямоугольная призма, грани которой параллельны координатным
плоскостям.
3.2. Одномерный симплекс-элемент
Одномерный симплекс-элемент представляет из себя
прямолинейный отрезок длиной L с двумя узлами по одному на
каждом конце. В случае метода конечных элементов нуме-рация
узлов двоякая. При исследовании элемента в отдель-ности узлы
обозначаются соответственно i и j, значения функции в узловых
точках или так называемые узловые значения – через i и j
соответственно. После при исследо-вании объекта целиком,
переходим к глобальной (общей) ну-мерации 1, 2, 3, …, поскольку
мы не можем ведь исследовать объект, у которого часть узлов
обозначена одинаково одним и тем же индексом i, а другая часть –
одинаково индексом j. Одномерный симплекс-элемент используется
при решении различных стержневых задач. Искомая величина при
этом может быть как скалярная, так и векторная. Рассмотрим сначала некоторую скалярную величину. Для общности скаляр-ная
величина обозначается через . Буква  используется для
обозначения произвольной скалярной величины. В конкрет-ных
задачах она может быть, например, температурой ( t или Т),
давлением (р) и т.д. В одномерном случае  является лишь
функцией одной переменной, то есть
   (x)
(3.7)
В действительности функция  (3.7), как правило, есть нели-нейная
функция, графикой которой является кривая. На рис. 3.4 она
обозначена пунктирной линией 1. Когда приступаем к решению
задачи эта функция является неизвестной, нашей за-дачей как раз и
является нахождение выражения    ( x ) с
заданной степенью точности. При использовании симплексэлемента в методе конечных элементов нелинейная зависи-мость
(3.7) заменяется линейной функцией, которая графи-
26