1. Приведите полиномиальный алгоритм сведения задачи о

1. Приведите полиномиальный алгоритм сведения задачи о выполнимости 3-КНФ к следующей задаче о целочисленном решении неравенств:
Дано: Система неравенств. Неравенства могут быть как строгие,
так и нестрогие. В неравенствах могут присутствовать переменные и константы из области вещественных чисел. Также в
неравенствах допустимы следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и отрицание.
Вопрос: Существует ли целочисленное решение данной системы?
2. Языки A и B принадлежат классу NP, а C – NP-трудный язык.
Докажите или опровергните, что A ∩ B ∈ PC .
3. Приведите полиномиальный алгоритм сведения задачи о клике к
следующей задаче о целочисленном решении неравенств:
Дано: Система неравенств. Неравенства могут быть как строгие,
так и нестрогие. В неравенствах могут присутствовать переменные и константы из области вещественных чисел. Также в
неравенствах допустимы следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и отрицание.
Вопрос: Существует ли целочисленное решение данной системы?
Решение: По экземпляру задачи о клике, hG = (V, E), ki, построим систему
неравенств следующим образом. Каждой вершине v ∈ V поставим
в соответствие переменную xv , и для каждой v ∈ V добавим в
систему неравенство
0 ≤ xv ≤ 1.
(1)
Для каждой пары вершин (v, w) 6∈ E добавим в систему неравенство
xv + xw ≤ 1.
(2)
Наконец, добавим неравенство
X
k≤
xv ≤ k.
v∈V
1
(3)
Если в исходном графе есть клика C размера k, то присвоив единицы всем переменным, соответствующим вершинам из C, и нули
— всем прочим переменным, получим целочисленное решение построенной системы неравенств. Действительно, неравенства (1) и
(3) очевидно выполняются. Между любой парой вершин из C существует ребро. Следовательно, хотя бы одна переменная в каждом
неравенстве вида (2) не принадлежит C, и этой переменной присвоен нуль. Таким образом, неравенства вида (2) также выполняются.
Обратно, пусть построенная система неравенств имеет целочисленное решение. В силу (1) каждой переменной присвоен нуль или
единица. В силу (2) между любыми двумя вершинами, соответствующими переменными, которым присвоены единицы, есть ребро. В
силу (3) единицы присвоены в точности k переменным. Следовательно, в исходном графе есть клика размера k, состоящая из вершин, соответствующих переменным, которым присвоены единицы.
4. Известно, что язык A ∈ P. Верно ли, что P = PA ? Обоснуйте ответ.
5. NSPACETIME(f (n), g(n)) — класс всех языков, разрешимых на недетерминированной машине Тьюринга с временем работы O(g(n)),
использующей O(f (n)) памяти. Пусть
L ∈ NSPACE(f (n)) ∩ NTIME(g(n)).
Следует ли из этого, что L ∈ NSPACETIME(f (n), g(n))? Поясните
ответ.
6. Приведите полиномиальный алгоритм сведения задачи о минном
поле:
Дано: Неориентированный граф, некоторые вершины которого помечены числами.
Вопрос: Можно ли разместить мины в непомеченных вершинах
графа так, чтобы у всякой вершины v, помеченной числом m,
было в точности m заминированных соседей?
к следующей задаче о целочисленном решении неравенств:
2
Дано: Система неравенств. Неравенства могут быть как строгие,
так и нестрогие. В неравенствах могут присутствовать переменные и константы из области вещественных чисел. Также в
неравенствах допустимы следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и отрицание.
Вопрос: Существует ли целочисленное решение данной системы?
Решение: По экземпляру задачи о минном поле,
hG = (V, E), f : V → N ∪ {⊥}i,
где f — функция, сопоставляющая каждой вершине число заминированных соседей или фиктивный символ ⊥, построим систему
неравенств следующим образом. Каждой вершине v ∈ V поставим
в соответствие переменную xv , и для каждой v ∈ V добавим в систему неравенство
0 ≤ xv ≤ 1,
(4)
если f (v) = ⊥, и неравенство
0 ≤ xv ≤ 0
(5)
в противном случае. Для каждой вершины v ∈ V , такой что f (v) 6=
⊥, добавим в систему неравенство
X
f (v) ≤
xw ≤ f (v).
(6)
(v,w)∈E
Если в исходном графе можно разместить мины, не нарушая условия, то присвоив единицы всем переменным, соответствующим заминированным вершинам, и нули — всем прочим переменным, получим целочисленное решение построенной системы неравенств.
Действительно, неравенства (4) и (5) очевидно выполняются. Так
как у каждой помеченной вершины v заминировано ровно f (v) соседей, то неравенства вида (6) также выполняются.
Обратно, пусть построенная система неравенств имеет целочисленное решение. В силу (4) каждой переменной, соответствующей непомеченной вершине, присвоен нуль или единица. В силу (5) каждой
3
переменной, соответствующей помеченной вершине, присвоен нуль.
В силу (6) для каждой помеченной вершины v единицы присвоены в
точности f (v) переменным, соответствующим вершинам, соседним
с v. Следовательно, расставив мины в вершинах, соответствующих
переменным, которым присвоены единицы, получим решение задачи о минном поле.
7. Докажите, что существует язык, разрешимый с использованием
O(n3 ) памяти, но не разрешимый за O(n2 ) времени.
8. Докажите, что класс RP замкнут относительно объединения, т.е.
если A ∈ RP и B ∈ RP, то A ∪ B ∈ RP.
Решение: Пусть A ∈ RP и B ∈ RP. Тогда существуют вероятностные машины
Тьюринга MA и MB с полиномиальным временем работы, такие что
MA принимает слова, принадлежащие языку A, с вероятностью
A ≥ 12 и отвергает слова, не принадлежащие языку A, с вероятностью 1;
MB принимает слова, принадлежащие языку B, с вероятностью
B ≥ 21 и отвергает слова, не принадлежащие языку B, с вероятностью 1.
Можно построить машину MA∪B следующим образом. Получив на
вход слово w, машина MA∪B запускает на этом слове машины MA
и MB . Если хотя бы одна из этих двух машин принимает слово w,
то MA∪B его также принимает; в противном случае машина MA∪B
отвергает w.
Машина MA∪B работает в течение полиномиального времени, так
как MA и MB работают в течение полиномиального времени. Если
w ∈ A∪B, то w ∈ A или w ∈ B и, следовательно, MA принимает w с
вероятностью A , или MB принимает w с вероятностью B . Поэтому
MA∪B принимает w с вероятностью не меньше min{A , B } ≥ 21 .
Если же w 6∈ A ∪ B, то w 6∈ A и w 6∈ B и, следовательно, MA и MB
отвергают w с вероятностью 1. С такой же вероятностью отвергает
w и машина MA∪B . Существование машины MA∪B доказывает, что
A ∪ B ∈ RP .
4
9. Докажите, что существует язык, разрешимый за время O(n3 ) на
одноленточной машине Тьюринга, но не разрешимый за время O(n)
на многоленточной машине Тьюринга.
Решение: Любой язык, разрешимый на за время O(n) на многоленточной
машине Тьюринга, разрешим за время O(n2 ) на одноленточной машине. Так как n3 — функция, конструируемая по времени, согласно
теореме об иерархии существует язык разрешимый (на одноленточной машине) за время O(n3 ), но не за время o(n3 / log n3 ). Поскольку
n2 = o(n3 / log n3 ), существует язык разрешимый на одноленточной
машине за время O(n3 ), но не разрешимый на одноленточной машине за время O(n2 ) и, следовательно, не разрешимый на многоленточной машине за время O(n).
10. Докажите, что класс NL замкнут относительно объединения, т.е.
если A ∈ NL и B ∈ NL, то A ∪ B ∈ NL.
5