Общий вид решения уравнения Шредингера

Общий вид решения уравнения Шредингера
в центрально симметричном поле
Е.Г. Якубовский
e-mail yakubovski@rambler.ru
Уравнение Шредингера имеет решение для частных случаев потенциала.
Получим его решение в общем виде при произвольном потенциале,
зависящем от модуля радиуса.
Уравнение Шредингера при произвольном потенциале, зависящем от
радиуса, приводится к виду относительно безразмерных коэффициентов см.
[1]
d 2 R 2 dR
l (l + 1)
+
+ R[2 E − 2U (r ) −
]= 0.
2
r dr
dr
r2
(1)
d 2R
d 2 ln R
d ln R 2
Используем равенство
= R[
+(
) ] . Подставляя равенство в
2
2
dr
dr
dr
уравнение (1), получим
d 2 ln R
d ln R 2 2 d ln R
l (l + 1)
+
(
)
+
+
2
E
−
U
(
r
)
−
= 0 . (2)
dr
r dr
dr 2
r2
Сделаем подстановку k (r ) =
d ln R (r )
, получим уравнение
dr
dk
2ik
l (l + 1)
+ k2 +
+ 2 E − 2U (r ) −
=0
dr
r
r2
Определим линейную часть решения по формуле k (r ) =
c
. Получим
r2
дифференциальное уравнение относительно новой переменной
dc c 2
+ 2 + 2 Er 2 − 2U (r )r 2 − l (l + 1) = 0 .
dr r
(3)
2
Найдем
решение
нелинейного
уравнения
относительно неизвестной функции c(r ) =
1 1 1 1
− = − .
c c0 r0 r
Разрешим
1
. Запишем решение
1 1 1
+ −
c0 r0 r
этого дифференциального уравнения
c(r ) =
1
r
1
1
1 1 2
1 1
2
2
−
Ey
−
U
y
y
−
l
l
+
+
α
y
+
−
idy
+
−
[
2
2
(
)
(
1
)][
(
)
]
/
r0 y
r0 r
c 0 r∫
cl0
. (4)
0
Где величина α ( y ) неизвестная функция. Причем энергия состояния E
меньше чем потенциальная энергия на бесконечности min U (r ) < E < U (±∞) .
r
Причем точке минимума потенциала соответствует координата r0 . В случае
монотонного потенциала берется наименьшее, возможное значение r0 . В
случае атома водорода, этот наименьший радиус равен размеру ядра.
Подстановка этого решения в дифференциальное уравнение (3) приведет к
равенству
[
1
1 1
+ α ( r ) + − ]2
0
r0 r
c
r
{
1
1
1 1
1 1
− ∫ [2 Ey 2 − 2U ( y ) y 2 − l (l + 1)][ 0 + α ( y ) + − ]2 / idy + − }2
0
r0 y
r0 r
c
c
r
=1
0
Откуда имеем интегральное уравнение по определению функции α (r )
r
α (r ) = − ∫ [2 Ey 2 − 2U ( y ) y 2 − l (l + 1)][
r0
1
1 1 2
+
α
(
y
)
+
− ] / idy .
r0 r
c0
Которое сводится к дифференциальному уравнению
dα ( r )
1
1 1
= −[−2 Er 2 + 2U (r )r 2 + l (l + 1)][ 0 + α ( y ) + − ]2 / i
dr
r0 r
c
Начальное условие задачи Коши для этого дифференциального уравнения
α (r0 ) = 0 .
3
При этом волновая функция равна ψ l ( xl ) = exp{−i[ Et / h −
r
∫
k (u )du ]} , и
r0
зависит от двух констант cl0 , λ .
Для реализации состояния ищется минимум действия. Действие
должно иметь минимум. Для реализации минимума действия при импульсе,
удовлетворяющем условию (4), необходимо k =
1
. Тогда действие равно
r2
S = −1 / r и в точке r = 0 стремится к минус бесконечности, т.е. реализуется
минимум. Из формулы (4) получаем
2E =
1 r
1
1 1 2
1 1
2
α
+
[
2
U
(
y
)
y
+
l
(
l
+
1
)][
+
(
y
)
+
−
]
/
idy
+
−
∫
r0 y
r0 r
c0 r
cl0
0
r
∫
r0
1
1 1
2 y [ 0 + α ( y ) + − ]2 / idy
r0 y
cl
=
2
Определяем координату r и начальный импульс c 0 , чтобы числитель и
знаменатель дроби равнялся нулю, причем эти значения возможно
комплексные. При этом определится величина начального значения c 0
1
= −b ± b 2 − c ; c 0 = (−b m b 2 − c ) / c
0
c
r
− 4∫
r0
b=
1 1
y [α ( y ) + − ]dy
r0 r
(r −
2
−
2
2 (r −
−
3
r0
3
r02 )
r03 )
;c =
r
∫
2 y 2 [α ( y ) +
r0
r −
2
r02
1 1 2
− ] dy .
r0 r
2 r 3 − r03
−
3 r0
Подставляем значение импульса в числитель, получим одно уравнение с
одним неизвестным
b± b −c +
2
r
∫
r0
[2U ( y ) y 2 + l (l + 1)][b ± b 2 − c + α ( y ) +
1 1 2
1 1
− ] / idy + − = 0
r0 r
r0 r
4
Интеграл от корня
b 2 − c содержит функцию, зависящую от целого числа.
При этом величина корня равна
удовлетворяет P (r ) ≠ 0 . Значит,
b 2 − c = (r − r0 ) P (r ) , где
P(r )
величина r зависит от целого числа, и
имеем счетное количество комплексных корней.
Тогда значение энергии E определится по правилу Лопиталя, и будет равно
(запишем ее в размерном виде)
ih 2 r02
h 2l (l + 1)
E = U (r ) +
+
.
r0
r0 2
2mr 2
4
2mr [1 + 0 + α (r )r0 − ]
r
cl
Из этой формулы определится комплексная собственная энергия системы.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Квантовая механика Нерелятивистская
теория т.III, Наука, М.,1969,768с.