Введение

Введение
Дискретная математика представляет собой область математики, в
которой изучаются свойства структур конечного характера, а также
бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них
процессов или отделимость составляющих их элементов. В отличие от
дискретной математики классическая математика занимается изучением
свойств структур непрерывного характера. Это деление достаточно условно,
поскольку средства дискретной математики используются для изучения
непрерывных моделей и наоборот.
Бурное развитие дискретной математики обусловлено прогрессом
компьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и
передачи информации, а также представления различных моделей на
компьютерах, которые по своей природе являются структурами конечными.
В предлагаемом вниманию обучающихся пособии представлен
теоретический материал, сопровождаемый примерами и пояснениями. Значком
 в тексте обозначены замечания.
Глава 1
Элементы теории множеств
1.1 Множества и их спецификация
1.1.1 Элементы и множества
Понятие множества относится к числу фундаментальных понятий
математики.
Под множеством понимают совокупность определенных различаемых
объектов, таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит он
данному множеству или нет.
Пример 1.1 Можно рассматривать множества объектов любой природы:
множество городов России, множество студенческих групп на факультете
ИВТ, множество букв русского языка, множество натуральных чисел…
Сами объекты, из которых состоит множество, называются его
элементами. Все элементы множества различны и отличимы друг от друга.
 Множества обычно обозначают прописными буквами (А, В, С и т.д.), а их
элементы – строчными (например: x, y, z).
Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут x  A. Запись x  A
означает, что элемент x не принадлежит множеству А.
Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств.
Множество, элементами которого являются другие множества, обычно
называется семейством, или классом множеств.
 Обычно семейства множеств обозначают рукописными буквами
латинского алфавита для отличия их от обычных множеств.
1
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и
обозначается символом .
Если все рассматриваемые множества (в конкретной задаче) являются
подмножествами более широкого множества U, то множество U называется
универсальным множеством, или универсумом.
Мощность множества M обозначается как |M| и для конечного множества
равняется числу элементов в нем.
 Заметим, что || = 0, но |{}| = 1.
Для числовых множеств здесь и далее будем использовать следующие
обозначения:
N – множество натуральных чисел, Z – множество целых
чисел, R – множество действительных чисел, P – множество простых чисел, Q
– множество рациональных чисел.
1.1.2 Задание множеств. Парадокс Рассела
Пример 1.2 Рассмотрим несколько множеств:
1) А = {2, 4, 6};
2) B = {1, 3, 5};
3)
C = {A, B};
4) D = {x R | x>0}; 5) E = {2·y | y=1, 2, …, n}; {мн-во четных чисел}
6) F = {x | x=1 или x=2·y, yF } {степени двойки: 1, 2, 22, 23, 24, …}
В первом и втором пунктах примера множества заданы путем
перечисления их элементов. В третьем пункте – тоже, но здесь элементами
множества C являются множества. Заметим, что множество C имеет только два
элемента и, в частности, 1 C, хотя 1 A и A C . Действительно: 1A и 1B,
 1 C, т.к. только A и B являются элементами C.
В 4-м примере множество D задано путем его описания, т.е. задания неких
свойств его элементов.
Множества E, F строятся согласно указанному способу порождения
множества, т.е. с помощью задания некой процедуры построения, причем
множество F определяется через его же элементы. Правило задания F является
рекурсивным.
Задание множества путем указания его свойств может приводить к
противоречиям. Например, один из наиболее типичных теоретикомножественных парадоксов носит название парадокса Рассела и состоит в
следующем. Рассмотрим множество всех множеств, которые не содержат себя в
качестве элемента: F = {X | XX}. Спрашивается, является ли само множество
F элементом F? Возможны только два случая:
1) FF. Тогда для него выполняется условие содержания элемента в
множестве, т.е. FF.
2) FF. Тогда для F не выполняется условие содержания элемента в
множестве, т.е. F содержит само себя: FF.
Получается, что в обоих случаях пришли к противоречию. Рассмотрение
«бесконечно больших» множеств, элементами которых в свою очередь
2
являются множества, невозможно в рамках обычной теории множеств и
требует математики другого рода.
Потому мы будем рассматривать только те множества, которые могут быть
явно записаны или построены путем четко определенных процессов. Для
каждого множества должна быть определена его спецификация. Итак,
множества могут быть заданы тремя основными способами:
1)
Перечислением элементов множества (множества A, B, C) {1,2,3}.
Этот способ применим только для конечных множеств.
2) Указанием свойств элементов множества, или заданием т.н.
характеристического предиката: D = {x | P(x)} (Другими словами – задание
разрешающей процедуры).
Здесь P(x) обозначает некоторое условие, выраженное в форме
логического утверждения; это условие может быть проверено для любого
элемента.
3)
Порождающей процедурой: E = {y | y:=f(x)}.
Такая процедура описывает способ получения элементов множества из уже
полученных элементов или из других объектов. Элементами множества
считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью такой
процедуры.
1.1.3 Контрольные вопросы
6.
Что такое множество? Могут ли в составе множества быть одинаковые
элементы?
Являются ли множествами следующие наборы: {a, b, c, d}? {Обь, Иртыш,
Енисей, Лена}? {1, 2, 5, 1, 3, 2, 3}?
Что такое семейство (или класс) множеств? Что является элементом класса
множеств?
Что такое пустое множество – ?
Что будет являться универсумом для следующих трех множеств:
{1, 3, 5, 7}, {2, 4, 6}, {8, 9, 10}?
Что такое мощность множества? Чему равна ||? А |{}| ?
7.
8.
Какое множество обозначают через R? А через N?
Какие способы задания множеств Вы знаете?
1.
2.
3.
4.
5.
Какой способ использован при задании множества A = {y  Z | y < 10}?
Что здесь является характеристическим предикатом?
10. Что такое порождающая процедура?
11. Какие способы использованы при задании множеств A, B, C, D, если
A = {1, 2, 3, 4}, B = {x  Z | x = 3 или x = 3·x}, C = {A, B}, D={x | x = 2·y |
y = 1, 2, 3, 4, 5}?
9.
3
1.2 Операции над множествами
1.2.1 Сравнение множеств
Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то
пишут А  В (А является подмножеством множества В). Считается, что   А
для любого множества А.
Подмножество C множества B называется его собственным
подмножеством, если C  В, но C  В. Обычно для обозначения этого факта
используется символ : C  В.
Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначается как А = В. Если множества не равны, то
пишут А  В.
Множество А равно множеству В, если А  В и В  А.
Для числовых множеств выполняется N  Z  R.
Пример 1.3 Рассмотрим множества из примера 1.2: А = {2, 4, 6};
B = {1, 3, 5}; C = {A, B}. Очевидно, что А  C, но тем не менее А  C,
поскольку ни один из элементов А не является элементом C (т.е. множество А
является элементом множества C, но А не является подмножеством множества
C.
Если |А| = |В|, то такие множества называются равномощными.
1.2.2 Операции над множествами. Диаграммы Венна
Обычно рассматриваются следующие операции над множествами:
Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному
из множеств А или В: A  B = {x | x  A или x  B}.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из
множеств А и В: A  B = {x | x  A и x  B}.
Если A  B = , то множества А и В называются непересекающимися.
Разностью множеств А и В называется множество A \ B , состоящее из тех
и только тех элементов, которые принадлежат А, но не принадлежат В:
A \ B = {x | x  A и x  B}.
Симметрической разностью множеств А и В называется множество
A Δ B = (A  B) \ (A  B) = {x | (x  A и x  B) или (x  B и x  A)}.
Дополнением множества А называется множество всех элементов
универсального множества, не входящих в A: A = U \ A = {x | x  A}.
Операции объединения и пересечения допускают обобщение для большего
количества множеств (в том числе и бесконечного). В общем случае для
объединения k множеств используется обозначение
k
A
i
 A1  A2  ...  Ak ,
i 1
4
 Ai или
iI

A
i
Аналогично,
k
для бесконечного числа множеств:
i 1
для
пересечения
 A1  A2  ...  Ak ,
A
= {x |  i  I |x  Ai }.
i
i
i
= {x |  i  I | x  Ai}.
iI
A
i 1
A
A
i
iI
или
k

A
i
множеств
используется
обозначение
, если количество множеств бесконечно:
i 1
iI
На рисунке 1.1 (справа) приведены т.н.
диаграммы
Эйлера-Венна,
графически
иллюстрирующие вышеописанные операции над
множествами. Введенные операции показаны на
диаграммах
Венна
темным
цветом.
Такие
геометрические представления множеств часто
используются при решении задач или доказательстве
каких-либо утверждений.
Пример 1.4 Рассмотрим два множества чисел:
А = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 3, 5, 7}. Тогда операции над
этими
множествами
будут
иметь
вид:
объединение
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 7};
пересечение A  B = {1, 3}; разность A \ B = {2, 4} и
B \ A = {5, 7};
симметрическая
разность
A Δ B = {2, 4, 5, 7}. Для рассмотрения дополнения
A необходимо знать универсальное множество, все
элементы которого за исключением элементов A и
будут являться дополнением.
AB
AB
A\B
AΔB
A
Рис. 1.1 Диаграммы Венна
1.2.3 Представление множеств в ЭВМ
Задать представление какого-либо объекта в программе – означает
описать в терминах используемой системы программирования структуру
данных, используемую для хранения информации о представляемом объекте, и
алгоритмы над выбранными структурами данных, которые реализуют
присущие данному объекту операции.
Один и тот же объект может быть представлен различными способами,
причем в разных ситуациях могут оказаться наиболее эффективными разные
способы. Выбор представления зависит от целого ряда факторов: особенности
представляемого объекта, состава и относительной частоты использования
операций в конкретной задаче, и т.д. Хороший программист должен знать
разные способы представления объекта и в каждой конкретной ситуации уметь
выбрать из них наиболее подходящий.
Для конечного универсума, мощность которого не превосходит
разрядности машинного слова, подмножества универсума могут представляться
битовой шкалой (аналог характеристической функции – 0 или 1 для каждого
элемента). Битовая шкала имеет размерность универсума, и для каждого
подмножества число единиц в соответствующей ему битовой шкале
5
определяется мощностью этого подмножества. Если элемент входит в
подмножество, то ему соответствует 1, иначе 0. Тогда операции над
подмножествами осуществляются посредством поразрядных логических
операций.
Во многих переборных алгоритмах требуется последовательно
рассмотреть все подмножества заданного множества. В случае использования
битовой шкалы существуют специальные алгоритмы, которые будут
рассмотрены позже.
Если универсум велик, а подмножества имеют сравнительно небольшую
мощность, то использование характеристических функций невыгодно, т.к. в
них будет много нулей. Для представления таких множеств обычно используют
списки элементов. Элемент множества тогда может быть представлен записью
с двумя полями: информационным и указателем на следующий элемент.
Трудоемкость операций включения, пересечения и объединения определяется
как O(mn), где m и n – мощности множеств; операции  – как O(n).
При использовании списков, упорядоченных по информационному полю,
трудоемкость всех операций является линейной (О(n)). В таком случае
эффективная организация всех операций над множествами основана на общем
алгоритме, известном как алгоритм типа слияния.
Алгоритм типа слияния параллельно просматривает два множества,
представленных упорядоченными списками, причем на каждом шаге
продвижение вперед (увеличение номера рассматриваемого элемента)
происходит в том множестве, в котором текущий элемент меньше. В качестве
простейшей организации множеств можно использовать упорядоченный массив
элементов.
1. Проверка включения AB
Вход: Два упорядоченных множества A и B (массивы).
Выход: да или нет (1 или 0, true или false).
i:=1; j:=1; // указатели на начало множеств
пока i|A|+1 и j|B|+1 цикл
если A[i] < B[j] то вернуть 0 и выход // элемент A отсутствует в B
иначе если A[i] > B[j] то j:=j+1
// переход к след. элементу B
иначе
// элементы совпали – перейти к следующим
i:=i+1; j:=j+1;
конец если
конец цикла
если i=|A|+1 то вернуть 1 иначе вернуть 0.
Алгоритмы, вычисляющие объединение множеств, пересечение и
дополнение устроены совершенно аналогичным образом. Общее действие –
продвижение вперед (увеличение индекса) в том массиве, элемент которого
меньше, и сразу в обоих, если элементы равны.
6
Для определения объединения в результирующее множество заносятся
каждый из меньших элементов и один, если они равны. Если конец одного из
множеств достигнут раньше, все оставшиеся элементы другого дописываются в
конец итогового множества.
Для определения пересечения в результирующее множество заносится тот
элемент, который совпал у обоих множеств. Если конец одного из множеств
достигнут раньше, работа алгоритма заканчивается.
1.2.4 Разбиения и покрытия
Пусть Ě ={Ei} для i I – некоторое семейство непустых подмножеств
множества M, Ei  M. Тогда семейство Ě называется покрытием множества M,
если каждый элемент множества M принадлежит хотя бы одному из Ei:
M
E
i
 x M  i I | x Ei.
iI
Семейство Ě называется дизъюнктным, если элементы этого семейства
попарно не пересекаются, т.е. каждый элемент множества M принадлежит не
более чем одному из множеств Ei: i,j I, ij  Ei  Ej=. (илл. на д. Венна)
Дизъюнктное покрытие Ě называется разбиением множества M.
Пример 1.5 Пусть имеется множество M={1,2,3}. Тогда семейство
{{1,2}, {2,3}, {3,1}} является покрытием, но не разбиением; семейство
{{1},{2},{3}} – покрытием и разбиением, а семейство {{1},{2}} является
дизъюнктным, но в то же время не является ни покрытием, ни разбиением.
Совокупность всех подмножеств множества M называется булеаном и
обозначается P (M), или 2M: 2M = {A | A  M}.
Пример 1.6 Пусть имеется множество M = {1,2,3}. Тогда булеаном для него
будет являться семейство {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
1.2.5 Свойства операций над множествами
1.
2.
3.
4.
5.
Пусть задан универсум U. Тогда A, B, C  U выполняются свойства:
Идемпотентность
AA=A
AA=A
Коммутативность
AB=BA
AB=BA
Ассоциативность
A  (B  C) = (A  B)  C
A  (B  C) = (A  B)  C
Дистрибутивность
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Операции с пустым множеством (свойства нуля)
A=A
A=
6. Операции с универсальным множеством (свойства единицы)
AU=U
AU=A
7
7. Свойства дополнения
Инволютивность: A  A
A A = U
8. Поглощение
(A  B)  A = A
(A  B)  A = A
A A=
9. Двойственность (законы де Моргана)
A B  A  B
A B  A  B
10.Выражение для разности
A \ B = A B
В справедливости перечисленных свойств легко убедиться, причем это
можно сделать различными способами. Например, проверить каждое равенство
по определению или же воспользоваться геометрическим представлением с
помощью диаграмм Венна.
На основании свойств 1–10 можно получить новые свойства и равенства.
Пример 1.7 Разные способы определения симметрической разности.
Доказать, что верно равенство
(AB)\(AB)(A\B)(B\A).
(10)
(A  B) \ (A  B) 
(A  B)  (AB)  (9) (A  B)  (A B)  (4)
((A  B) A)  ((A  B) B)  (4)
((A A)  (B A))  ((A B)  (B B))  (7)
(  (BA))  ((AB)  ) = (5) (BA)  (A B) = (10) (B \ A)  (A \ B).
1.2.6 Контрольные вопросы
Что означает запись А  В? В чем отличие от записи А  В?
Пусть B = {1, 2, 3, 4}, A = {2, 4}. Какое из утверждений справедливо:
А  В? B  A? А  В? B  A?
3. Справедливо ли равенство |A| = |B|, если A = {a, b, c}, B = {2, 3, 5}?
4. Чем отличается объединение множеств от их пересечения? Какое из них
содержит больше элементов и почему?
5. Как определяется симметрическая разность множеств?
6. Пусть A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Определите результат следующих
операций: 1) A  B; 2) A  B; 3) A \ B; 4) B \ A; 5) A Δ B ; 6) A  A;
7) A  A .
7. Какую трудоемкость имеет алгоритм типа слияния множеств? Опишите
этот алгоритм для определения операции разности множеств.
8. Что такое разбиение множества и в чем его отличие от покрытия?
9. Что из приведенных множеств будет являться разбиением множества
A = {1, 2, 3, 4}: {{1}, {3,4}, {1,2}}, {{2}, {1,3}, {4}}, {{1,2,3},{4}}?
10. Какое из приведенных множеств является булеаном множества A={a, b, c}:
B = {{a}, {b,c}, {c}},
C = {, {a,b,c}, {b,c}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}},
D = {{a},{b},{c}}? Является ли что-то из перечисленного разбиением A?
1.
2.
8
1.3 Отношения на множествах
Рассмотрение «жизненного», точнее, «программистского», примера. Пусть
есть три множества: D – данных, P – программ и R – результатов. Для каждой
программы возможны отношения: данные для этой программы, результаты
работы этой программы, и т.п. Набору данных можно сопоставить множество
программ, которые могут с этими данными работать, и множество результатов,
которые могут быть получены после обработки этих данных, и т.п.
Перейдем к формализации понятия «отношения».
1.3.1 Прямое произведение множеств
Упорядоченная последовательность, содержащая n элементов некоторого
множества, называется n-кой, или набором из n элементов. Обычно n-ка,
образованная последовательностью a1, a2,…, an обозначается (a1, a2,…, an). При
малых n говорят о двойках элементов, тройках и т.д.
 Согласно этому определению, один и тот же элемент может встречаться в
n-ке несколько раз. Кроме того, поскольку n-ка является упорядоченной
последовательностью, две n-ки, составленные из одних и тех же элементов, но в
разном порядке, является различными.
Пример 1.8 Для множества чисел А = {1, 2, 3, 4} можно рассмотреть тройки:
(1, 2, 2), (3, 4, 1), (2, 1, 2), причем первая и последняя тройки различны,
несмотря на их одинаковый состав.
Прямым (или декартовым) произведением множеств А1, А2, …, Аn
называется множество всех упорядоченных наборов (x1 ,x2, … xn) таких, что
xi  Ai
при
 i = 1, 2, …, n. Декартово произведение обозначается
А1  А2 … Аn. Если одним из сомножителей является пустое множество, то и
произведение является пустым множеством.
Степенью множества A называется его прямое произведение само на себя
n раз; обозначается An.
Пример 1.9 Рассмотрим
два
множества:
чисел
Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} и букв: P = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
Тогда если рассмотреть произведение PQ, то оно будет
иметь вид упорядоченных пар: (a,1), …, (a,8), (b,1), …,
(b,8), …, (h,1), …, (h,8). Мощность такого произведения
равна 88=64, а сами элементы – клетки шахматной
доски.
Пример 1.10 Пусть имеются множества A={1,2}, B={2,3,4}. Тогда
А  B = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)}. Если рассмотреть A3 = {(1,1,1),
(1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)}.
 Точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат,
т.е. двумя точками на координатных осях. Т.о., R2 = RR. Метод координат был
введен в употребление Рене Декартом, отсюда и название «декартово
произведение».
9
1.3.2 Отношения
N-местным отношением R или N-местным предикатом R на множествах
А1, …, Аn называется любое подмножество прямого произведения А1 … Аn:
R  А1 … Аn. Элементы a1, a2, …, an | ai  Ai при  i = 1, 2, …, n связаны
отношением R тогда и только тогда, когда упорядоченный набор
(a1 ,a2, … an)  R.
При N = 1 отношение R является подмножеством множества А1 и
называется унарным отношением или свойством.
Наиболее часто встречается двухместное отношение (N = 2), которое
называется бинарным отношением R из множества А в множество В, или
соответствием: это подмножество произведения множеств А и В: R  А B.
Если элементы a и b множеств А и В (a,b)R, то говорят, что они
находятся в отношении R, для чего часто используется т.н. инфиксная форма
записи: aRb. Если R  А A (т.е. А=В), то R называется бинарным отношением
на множестве А. Соответственно, отношение R  А n называется N-местным
предикатом на множестве А.
Бинарное отношение можно задать указанием всех пар, для которых это
отношение
выполняется,
или
графически.
Способы
графического
представления также могут быть различными. Рассмотрим варианты (см. рис.):
1)
Основу графического представления бинарного отношения
составляет прямоугольная система координат, где по одной
оси отмечаются точки (a), представляющие элементы
множества А, а по другой – точки (b), представляющие
элементы множества В. Тогда точки с координатами (a,b)
обозначают элементы декартова произведения.
B
2

1   
1 2 3 A
B
2
На той же прямоугольной системе координат отношения 1 

для любой пары (a,b) показаны стрелками из a в b.
1 2 3 A
3) Множества A и B показаны точками на параллельных A
B
линиях, а отношения между ними – стрелками, 3 
 2
2
направленными от a к b.
1
 1
Пример 1.11 Рассмотрим
множества
A={1,2,3,4,5,6},
B={1,2,3}. Определим на этих множествах отношение
RAB: R = {(x,y) | x делится на y}. R можно представить B
графически так, как это показано на рисунке справа. Кроме
того, можно задать это же отношение множеством
упорядоченных пар: {(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3),(4,1), (4,2),
(5,1), (6,1), (6,2), (6,3)}, которые соответствуют тем же точкам
на плоскости.
A
2)
Определим несколько отношений, необходимых при
рассмотрении множеств.
Пусть R есть отношение на множестве A: R  А A, a,b  A. Тогда:
10
Обратное отношение: R–1 = {(b,a) | (a,b)  R}.
Дополнение отношения: R = {(a,b) | (a,b)R}.
Тождественное отношение, или диагональ:
IА = {(a,a) | a  A}.
Универсальное (или полное) отношение:
UA = {(a,b) | a  A и b  A}.
A I


 


A
A
A UA
 
 
 

R
A
B
Свяжем
с
каждым
бинарным
отношением R между множествами A и B два
множества – область определения R и
множество (или область) значений R. Они элементы A, не
элементы B, не
определяются следующим образом:
включенные в R
включенные в R
элементы A и B,
R = {xA| yB | (x,y)R },
включенные в R
R = {yB| (x,y)R для некоторого xA}.
Рис. 1.3 Область определения и
Пример 1.12 Пусть
на
множестве
множество значений отношения
R
A = {1,2,3,4,5}
задано
отношение
R:
R = {(x,y) | остаток от деления y на x равен 1}.
Тогда
R = {(5,1),(4,1),(3,1),(2,1),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5)}, R = {2,3,4,5}, R = {1,3,4,5}.
Образом множества X относительно предиката R называется множество
R(X) = {y | (x,y)R для некоторого xX}
Пусть имеются множества A, B, C и отношения R1  AB, R2  BC.
Определим отношение R  AC следующим образом: оно действует из A в B
посредством R1, а затем из B в C посредством R2. Такое отношение называется
составным (композицией), или произведением отношений и обозначается
R = R2◦R1: R = {(x,y) |  z  B, для которого выполнено (x,z)  R1, (z,y)  R2}.
Обратите внимание на последовательность записи множеств в их композиции!
Пример 1.13 Пусть A={1,2,3,4}, на множестве A определим два отношения:
R1 = {(x,y) | 2x  y} и R2 = {(x,y) | x+3y кратно 2}. Найдем графические
представления отношений R1,
R2, R = R2 ◦R1
R1
R2
R
Найдем области определения и
области значений для всех
отношений. (R1)={1,2},
(R1)={2,3,4}, (R2)={1,2,3,4},
(R2)={1,2,3,4},
(R)={1,2},
(R)={1,2,3,4}.
Если записать эти же отношения в виде пар, то получим:
R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)} и R2 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}.
Тогда композиция отношений R: (1,2), (2,2)(1,2); (1,2), (2,4)(1,4) и т.п.
R = R1◦R2 = {(1,2), (1,4), (1,1), (1,3), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}.
Устранив
повторяющиеся элементы, получим: R = {(1,2), (1,4), (1,1), (1,3), (2,2), (2,4)}.
Пусть R – бинарное отношение на множестве A. Степенью отношения R на
множестве A называется его композиция с самим собой. Rn=R◦R◦…◦R.
n раз
11
1.3.3 Свойства отношений
Теорема 1.1:
Для любых бинарных отношений P, Q, R выполняются
следующие свойства:
1. (P–1)–1=P;
2.
(P◦Q)–1= Q–1◦P–1;
3. (P◦Q)◦R=P◦(Q◦R) (ассоциативность композиции).
Доказательство:
1. По определению обратного отношения условие (x,y)P равносильно
условию (y,x)P–1, что выполняется  когда (x,y)(P–1) –1.
2. Пусть (x,y)(P◦Q)–1, тогда (y,x)(P◦Q)   z | (y,z)Q и (z,x)P. Тогда
(x,z)P–1, (z,y)Q–1  (x,y)Q–1◦P–1. Обратное включение аналогично.
3. Пусть (x,y)(P◦Q)◦R, тогда, по определению,  u, v | (x,u)R, (u,v)Q,
(v,y) P. Это равносильно тому, что (x,u)R, (u,y)P◦Q.
В силу свойства ассоциативности обычно композицию отношений
обозначают (P◦Q)◦R  PQR.
Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если для
любого его элемента a выполняется aRa: a   aRa.
Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным,
если для любых его элементов a,b aRb  a  b.
Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным, если из
его выполнения для a, b следует выполнение для b, a:  a, b   aRb  bRa.
Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным,
если из его выполнения для a, b и b, a следует, что a и b совпадают.
 a, b   aRb и bRa  a = b.
Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если из
его выполнения для a,b и для b,c следует его выполнение для a,c:
 a, b, c   aRb и bRc  aRc.
Бинарное отношение R на множестве А называется полным, или линейным,
если для любых двух различных элементов множества A оно выполняется или
для a, b, или для b, a:  a, b   | ab  aRb или bRa.
Пример 1.14 Рассмотрим отношение R на множестве натуральных чисел
следующим образом: R = {(x,y) | x – делитель y}.
Это отношение является рефлексивным, т.к. x/x =1 x  N
Отношение R антисимметрично, т.к. если x/y  N и y/x  N , то x = y.
Проверим транзитивность R. y/x  N и z/y  N  z/x = z/y  y/x  N 
отношение транзитивно.
Пример 1.15 Определим отношение R на множестве натуральных чисел:
aRb  (a  2b)3 (a+2b делится на 3).
Это отношение является рефлексивным, т.к. aRa  (a  2a) 3  3a 3 
Отношение R симметрично. aRb  (a  2b) 3  a  2b  3n  a  3n  2b . Для
того, чтобы проверить выполнение bRa, необходимо показать, что (b  2a ) 3.
12
(b  2a)  b  2(3n  2b)  b  6n  4b  6n  3b  3(2n  b) ,
3(2n  b) 3  bRa выполнено.
Проверим, что R – транзитивно. aRb  (a  2b) 3 ,  a+2b = 3n  a=3n–2b.
bRc  (b  2c) 3 .  b+2c = 3m  2c=3m–b. Для того, чтобы проверить
выполнение aRc, необходимо показать, что (a  2c) 3 .
(a  2c)  3n  2b  3m  b  3(n  m  b), 3(n  m  b) 3  aRc выполнено. 
Теорема 1.2 (о проверке свойств отношения):
Отношение R на множестве A2:
1. R рефлексивно  I  R;
2. R симметрично  R = R–1;
3. R транзитивно  R◦R  R;
4. R антисимметрично  R  R–1  I;
5. R полно  R  I  R–1 = U;
Доказательство:
1.  R рефлексивно  aA выполняется aRa, т.е. (a,a)R. Но множество
всех таких a составляет I  IR.
 IR  aA {(a,a)}=I  (a,a)R, т.е. R рефлексивно.
2.  R симметрично  a,bA | (a,b)R  (b,a)R. Но если (a,b)R 
(b,a)R–1 по определению обратного отношения. Поскольку это
справедливо для любых a,b, то R  R–1 и R–1  R  R–1 = R.
 R–1 = R  RR–1 и R–1R  a,bA | (a,b)R  (a,b)R–1 и (a,b)R–1
 (a,b)R. Если (a,b)R, то по определению (b,a)R–1, значит, (b,a)R,
т.е. a,bA | (a,b)R (b,a)R, что и означает симметричность.
3.  R транзитивно  a,b,cA | (a,b)R и (b,c)R  (a,c)R. Но по
определению композиции R◦R {(a,b) |  cA | (a,c)R и (c,b)R}  по
определению транзитивности, эта пара (a,b)R, т.е. R◦RR.
 Если R◦RR, то это значит, что a,bA | (a,b)R◦R эта пара (a,b)R.
По определению композиции, R◦R {(a,b) |  cA | (a,c)R и (c,b)R}, но
было показано, что (a,b)R,  R транзитивно.
4.  От противного. Пусть R  R–1  I. Значит,  ab| (a,b)R и (a,b)R–1,
т.е. в пересечении существует общий элемент (a,b). Но если (a,b)R–1, то
(b,a)R. Получили, что  ab | (a,b)R и (b,a)R. По условию, R
антисимметрично  a,bA | (a,b)R и (b,a)R  a=b. Получено
противоречие:  ab … a=b.
 R  R–1  I  (a,bA | (a,b)R и (a,b)R–1  (a,b)I  a=b). Но
(a,b)R–1(b,a)R  ((a,b)R и (b,a)R  a=b)  антисимметричность.
5. Доказать самостоятельно. 
13
1.3.4 Представление отношений в ЭВМ
Удобным способом представления отношений в ЭВМ является матричная
форма. Рассмотрим два конечных множества A={a1,a2,…,am}, B={b1,b2,…,bn} и
бинарное отношение P  AB . Определим матрицу [P] = (pij) бинарного
1, если (ai , b j )  P,
отношения P по следующему правилу: pij  
Полученная
0
,
если
(
a
,
b
)

P
.
i
j

матрица содержит полную информацию о связях между элементами и
позволяет представлять эту информацию на компьютере.
 Заметим, что любая матрица, состоящая из нулей и единиц, является
матрицей некоторого бинарного отношения.
Пример 1.16 Рассмотрим отношение P на множестве A2, где
A
A
A={1,2,3} (см. иллюстрацию).
3
 3
1 1 1
2
 2


Матрица этого отношения
[P ]   0 0 1 
1
 1


1
0
0
Основные свойства матриц бинарных отношений:
1. Если бинарные отношения P,Q  AB, [P] =(pij), [Q] = (qij), то [PQ] =
(pij+qij), [PQ] = (pij·qij), где умножение осуществляется обычным образом, а
сложение – по логическим формулам (т.е. 0+0=0, во всех остальных случаях 1).
Итак: [PQ] = [P]+[Q], [PQ] = [P]*[Q].
Пример 1.17 Пусть отношения P и Q заданы: [ P]  1 0 1, [Q]   0 1 1  .




 0 1 1
Тогда матрица их суммы [PQ] = [P]+[Q] = 1 0 1   0 1
 0 1 1  0 0

 
1
0
1
0
1
1  0



матрица произведения: [PQ] = [P]*[Q] = 
 0 1 1 *  0 0 1   0

 
 
 0 0 1
1  1 1 1 ,


1  0 1 1
0 1 .

0 1
2. Если бинарные отношения P  AB, Q  BC, то [P◦Q] = [P]·[Q] , где
умножение матриц [P] и [Q] осуществляется по обычному правилу, а
произведение и сумма элементов из [P] и [Q] – по правилам пункта 1.
3. Матрица обратного отношения P–1 равна транспонированной матрице
отношения P: [P–1]=[P]T.
4. Если PQ, [P]=(pij), [Q]=(qij), то pij  qij. i,j.
5. Матрица тождественного отношения единична: [IA] = (Iij) : Iij =1  i=j.
6. Пусть R – бинарное отношение на A2. Отношение R называется
рефлексивным, если xA (x,x)R, т.е. IAR (на главной диагонали R стоят
единицы). Отношение R называется симметричным, если x,yA (x,y)R 
(y,x)R, т.е. R–1=R, или [R]=[R]T (матрица симметрична относительно главной
диагонали). Отношение R называется антисимметричным, если R R–1 IA,
т.е. в матрице [R R–1]=[R]*[R]T вне главной диагонали все элементы равны 0.
Отношение R наз. транзитивным, если (x,y)R, (y,z)R (x,z)R, т.е. R◦RR.
14
Пример 1.18 Пусть отношение P на множестве A2, где A={1,2,3}, задано
0

[P ]   0
0

матрицей
1
1
0
1
.
1
0

Поскольку на главной диагонали есть
нулевые элементы, отношение не рефлексивно. Поскольку матрица не
симметрична, отношение тоже не является симметричным. Проверим его
антисимметричность, для чего возьмем транспонированную матрицу и
вычислим
[PP–1] = [P]*[P]T =  0 1 1   0 0 0   0 0 0  .
Все
0
0

1
0
1
0
1
0

1 *  1

0
 1
1
1
0   0

0
 0
1
0
0
0

элементы вне главной диагонали равны 0,  отношение антисимметрично.
Проверим транзитивность по матрице: выполняется ли [P◦P]  [P]?
0 1 1  0 1 1  0 1 1
 
 
  отношение транзитивно.
[P◦P] = 
0
0

1
0
1 * 0

0
 0
1
0
1   0

0
 0
1.3.5 Отношение эквивалентности
Бинарное отношение R на множестве А называется отношением
эквивалентности, если оно является рефлексивным, симметричным и
транзитивным. Обычно отношение эквивалентности обозначают через  или ~.
Пример 1.19 1. Отношения равенства чисел и множеств, равномощности
множеств являются отношениями эквивалентности.
2. Отношение подобия на множестве треугольников является тривиальным
отношением эквивалентности.
3. Отношение эквивалентности – на множестве программ: {(a,b) | программы
a, b вычисляют одну и ту же функцию на определенной машине}.
Пусть R – отношение эквивалентности на множестве А. Определим класс
эквивалентности [x] для xA: [x] = {y | xRy}, т.е. это множество всех элементов
A, которые R-эквивалентны x.
Пусть E – эквивалентность на множестве M. Тогда семейство классов
эквивалентности множества M называется фактормножеством множества M
по отношению E и обозначается M /E ={E(x)| xM}.
Пример 1.20 Для отношения принадлежности к одной студенческой группе
классом эквивалентности является множество студентов одной группы. Тогда
фактормножество множества всех студентов СибГУТИ по этому отношению
эквивалентности представляет собой множество всех студ. групп СибГУТИ.
Утверждение 1.1.
Всякое отношение эквивалентности на множестве M
определяет разбиение множества M, причем среди элементов разбиения нет
пустых; и обратно, всякое разбиение множества M, не содержащее пустых
элементов, определяет отношение эквивалентности на множестве M:
  M2   ß= {Bi | Bi  M, Bi  , M = Bi и  i,j ij  BiBj=}.
15
1.3.6 Отношение порядка
Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка,
если оно антисимметрично и транзитивно.
Отношение порядка может быть рефлексивным, и тогда оно называется
отношением нестрогого порядка (обычно обозначается ). Если отношение
порядка антирефлексивно, то оно называется отношением строгого порядка и
обозначается обычно <.
Отношение порядка может быть полным (линейным), и тогда оно
называется отношением линейного порядка (если любые два элемента
сравнимы между собой), а множество – вполне упорядоченным. Если
отношение порядка не обладает свойством полноты, то оно называется
отношением частичного порядка, а множество с заданным на нем отношением
частичного порядка называется частично упорядоченным множеством.
Обычно отношение порядка в общем случае обозначают <, и вместо aRb
или (a,b)  R пишут a<b. Для отношения < обратным является >.
Пример 1.21 1. Свойство «быть ровесником» можно считать отношением
эквивалентности на множестве всех студентов 1-го курса СибГУТИ. Свойство
«быть старше» является отношением частичного порядка на множестве всех
студентов института.
2. Отношение < на множестве чисел является отношением строгого полного
порядка, отношение  – нестрогого полного порядка. Следовательно,
множество чисел является линейно упорядоченным. Отношение  на булеане
P(M) является отношением нестрого частичного порядка.
3. Отношение подчиненности на предприятии является отношением
частичного порядка – сотрудники разных лабораторий несравнимы.
Пусть дано ч.у.м. M с отношением порядка : Ữ= {M,}. Тогда:
Элемент a ч.у.м. Ữ называется максимальным, если yM | ay  a=y; или
если во всем множестве нет элемента, большего чем a. Элемент a называется
минимальным, если yM | y a  a=y (т.е. во всем множестве нет элемента
меньшего чем a).
Элемент b ч.у.м. Ữ называется наибольшим, если x  b xM (т.е. любой
другой элемент множества меньше либо равен b). Элемент b называется
наименьшим, если b  x xM (т.е. любой другой элемент множества больше
либо равен b). Наибольший (наименьший) элемент ч.у.м. Ữ обычно обозначают
max Ữ (min Ữ).
Наибольший (наименьший) элемент обычно называют единицей, а
наименьший – нулем множества M.
 Заметим, что всякий наибольший элемент (если он существует) является
максимальным, а всякий наименьший – минимальным. Обратное утверждение
неверно. Максимальных (минимальных) элементов может быть несколько.
16
Пример 1.22 1. Пустое множество является минимальным элементом булеана
по включению.
2. Пусть ч.у.м. A содержит три элемента, условно обозначенные 1, 2 и 3 (см.
рисунок). Отношение порядка задано парами: 11, 12,
22, 32, 33 (показано стрелками). Видно, что элемент 2
A
A
является наибольшим, т.к. он больше всех остальных 3 
 3
элементов, а элементы 1 и 3 – минимальными (для каждого 2 
 2
из них нет ни одного элемента, меньшего чем он), но не 1 
 1
наименьшими, т.к. они не сравнимы между собой.
Для ч.у.м. M с отношением порядка  и подмножеством AM элемент
aM называется верхней гранью множества A, если xA x  a. Элемент aM
называется точной верхней гранью множества A и обозначается sup A, если a
является верхней гранью и для любого другого элемента a’, являющегося
верхней гранью, верно a  a’. Наибольший элемент множества A, если он
существует, является sup A.
Аналогично, элемент bM называется нижней гранью множества A, если
yA b y. Элемент bM называется точной нижней гранью множества A и
обозначается inf A, если b является нижней гранью и для любого другого
элемента b’, являющегося нижней гранью, верно b’ b. Наименьший элемент
множества A, если он существует, является inf A.
Утверждение 1.2.
Во всяком конечном непустом частично упорядоченном
множестве существует минимальный элемент.
Замкнутость множества означает, что многократное повторение
допустимых шагов не выводит за пределы этого множества.
Пусть R и R’ – отношения на множестве M. Тогда отношение R’ называется
замыканием отношения R относительно свойства С, если:
1. R’ обладает свойством С: С(R’);
2. R’ является надмножеством R: R  R’;
3. R’ является наименьшим: С(R’’), R  R’’  R’  R’’.
Пример 1.23 Множество четных натуральных чисел замкнуто относительно
операций сложения и умножения, но не замкнуто относительно операций
вычитания и деления.
Пусть A – вполне упорядоченное множество с отношением порядка . Введем
отношение  на множестве упорядоченных наборов из A следующим образом:
(a1,…,am)  (b1,…,bn)  m  n и i = 1,..,m ai= bi или
 k  min(n,m) | ak  bk и ai= bi i < k,
т.е. первые элементы совпадают, а k-й меньше.
Такое отношение называется лексикографическим, или алфавитным порядком.
Пример 1.24 Выполняются следующие соотношения: (2,4,5)(2,4,5,2), т.к.
меньший набор является началом большего, (2,4,3,2,1)(2,4,5,2), т.к. начало
набора совпадает, а следующий символ в первом наборе меньше.
17
1.3.7 Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Что такое набор из n элементов? Является ли n-кой последовательность
(3, 4, 3, 1)? Являются ли различными наборы (1, 3, 2), (2, 1, 3)?
Что такое декартово произведение множеств?
Определите результаты операций А  B и B2, если A = {a, b, c}, B = {1, 2}.
Что такое N-местное отношение?
Чем отличается унарное отношение от бинарного?
Как можно задать бинарное отношение?
Какие существуют способы графического представления бинарных
отношений?
Что такое обратное отношение? Как будет выглядеть обратное отношение
для R = {(a,b),(a,c),(b,c),(a,a)}?
Что такое область определения и множество значений отношения?
Определите R и R для отношения R из предыдущего вопроса.
Как определяется композиция отношений?
Какое отношение называется рефлексивным? А антирефлексивным?
Определить, являются симметричными или антисимметричными
отношения P = {(a,a), (a,b), (b,a)}, R = {(a,b), (a,a), (b,c)}, S = {(a,b), (b,c),
(b,a), (c,b)}?
Как определяется транзитивность отношения?
Каким образом можно задать отношение для представления его в ЭВМ?
Как по матрице бинарного отношения проверить его свойства? Например,
симметричность?
Антисимметричность?
Рефлексивность?
Транзитивность?
Какое отношение называется отношением эквивалентности?
Какими свойствами обладает отношение, называемое отношением
порядка?
Что такое частично упорядоченное множество?
В чем отличие максимального элемента от наибольшего? Могут ли они
совпадать?
Верно ли какое-то из утверждений: «любой минимальный элемент
является наименьшим»? «любой наименьший элемент является
минимальным»?
Какой из элементов – наибольший или наименьший – называется единицей
множества? А какой называется нулем множества?
В чем различие между верхней гранью и точной верхней гранью
множества?
Какое множество называется замкнутым?
Что такое лексикографический порядок? Какой из наборов согласно этому
порядку будет меньшим: (1,2,3) или (2,1,3)? (3,1) или (2,1,3)?
18
1.4 Функции
1.4.1 Определение функции
Бинарное отношение R между множествами А и B называется
однозначным, если из его выполнения для a, b и a, c (aA, b,cB) следует,
что b и c совпадают.  a  , b,cB aRb и aRc  b = c (одному элементу
множества A не могут соответствовать разные элементы, находящиеся с ним в
отношении R).
Однозначное отношение f между множествами А
A
B
f
и B, заданное для каждого элемента множества A,

x
y=f(x)
называется отображением множества A в множество
B, или функцией из A в B: f : A  B.
Формально: Отношение f между элементами множеств A и B называется
функцией из A в B и обозначается f : A  B, если оно обладает следующими
двумя свойствами:
а) xA  y  B | (x,y)f;
б) если (x, y)  f и (x, z)  f  y = z.
Для функции f обычно вместо записи (x,y)  f используется т.н.
префиксная форма: y = f(x). При этом x называется аргументом, а y – значением
функции f.
Для f : A  B область определения Dom(f)  {x  A |  y B | y = f(x)},
область значений Codom(f)  {y  B |  x A | y = f(x)}.
Если Dom(f) =A, то функция называется тотальной, а если Dom(f)  A –
частичной. Сужением функции f : A  B на множество M  A называется
функция f |M, определяемая следующим образом: f |M  {(x,y) | y = f(x), xM}.
Для тотальной функции ее сужение на множество Dom(f) совпадает с
самой функцией f.
Для f : A  B и x  A: если y = f(x), то y называется образом элемента x, а
x – прообразом элемента y. Для любого непустого подмножества C  A его
образом относительно f называется множество f(C) = {f(x) | xC}.
Функция f : A1A2…An  B называется функцией n аргументов, или
n-местной функцией.
1.4.2 Классификация функций
–
–
–
Отображение f : A  B называется (см. рисунок ниже):
инъективным (инъекцией), если любым различным значениям аргумента
соответствуют различные значения функции: f(x1) = f(x2)  x1 = x2;
сюръективным, сюръекцией, или отображением на, если любому
элементу y множества B соответствует элемент x множества A, такой, что
f(x) = y: yB  xA | f(x) = y;
биективным, биекцией, или взаимно однозначным соответствием, если
оно является одновременно инъекцией и сюръекцией;
19
перестановкой множества A, если A = B и функция f : A  A является
взаимно однозначным соответствием.
Если функция I : A  A определена как I(a)=a aA, то I называется
тождественной функцией на множестве A.
–
A
B
A
B
отношение, но не функция
A




инъекция, но не сюръекция
A
B
A
B
сюръекция, но не инъекция
B

A


B

биекция
Рис. 1.4 Графическое представление видов отображений
Множество называется счетным, если его элементы можно
пронумеровать, т.е. если существует взаимно однозначное соответствие между
элементами этого множества и множеством натуральных чисел.
Пример 1.25 Всякое конечное множество счетно. Множество четных
натуральных чисел счетно.
Утверждение 1.4.
1. Всякое подмножество счетного множества конечно
или счетно. 2. Сумма любого конечного или счетного числа счетных множеств
есть счетное множество.
Обратное отношение f–1, которое определялось ранее, может не быть
функцией, даже если f является функцией из A в B. Если обратное отношение
f–1 является функцией, то ее называют обращением функции, или обратной
функцией.
Теорема 1.3 (об обратной функции):
Если функция f : A  B является биекцией, то обратное отношение f–1
также является функцией из B в A, причем биекцией. Обратно, если f–1 –
функция из B в A, то f является биекцией.
Доказательство:
 Для доказательства того, что f–1– функция из B в A, нужно убедиться, что
областью определения f–1 является B, и что если (b,a)  f–1 и (b,a’)  f–1, то
a = a’. Поскольку f сюръективна (т.е. отображение на), то bB  aA | f(a)=b.
Значит, (b,a)  f–1, и B является областью определения f–1. Пусть теперь
(b,a)  f–1 и (b,a’)  f–1, тогда (a,b) и (a’,b) принадлежат f. Поскольку f
инъективна, то a=a’. Значит, f–1– функция.
20
Теперь покажем, что она является биекцией, т.е. сюръективна и инъективна.
Поскольку f – функция, то aA  bB| f(a)=b, т.е. (a,b)f. Тогда (b,a) f–1, и
элемент a принадлежит области значений функции f–1. Значит, A представляет
собой область значений f–1, и сама функция f–1 сюръективна. Для доказательства
инъективности возьмем (b,a)  f–1 и (b’,a)  f–1, т.е. a = f–1(b) и a = f–1(b’). Тогда
f(a) = b и f(a) = b’  b’= b, т.к. f – функция.
 Для доказательства обратного утверждения нужно провести аналогичные
рассуждения, заменив f–1 на f. 
Теорема 1.4:
Если функция f : A  B является биекцией, то:
а)
 b B f(f–1(b))=b,
б)
 a A f–1(f(a))=a.
Доказательство: Возьмем  b  B. Поскольку f – биекция, то  aA | a= f–1(b).
Тогда f(a)=b. Но поскольку a = f–1(b),  f(f–1(b)) = f(a) = b 
Доказательство второго утверждения выполняется аналогично.
Теорема 1.5:
Если функция f : A  A и I – тождественная функция на
A, то I◦ f = f ◦ I = f. Если для f существует обратная функция, то
f–1◦ f = f ◦ f–1= I.
Теорема 1.6:
Пусть функции g : A  B и f : B  C. Тогда:
1) Если g и f – сюръекции, то их композиция – сюръекция;
2) Если g и f – инъекции, то их композиция – инъекция;
3) Если g и f –биекции, то их композиция – биекция;
1.4.3 Некоторые специальные функции
1) Перестановка множества A была определена ранее.
2) Тождественная функция была определена ранее.
3) Пусть задано некоторое множество M  U. Характеристической
функцией этого множества является функция χ, равная 1 на элементах
1, если x  M
множества M:  ( x)  
0, если x  M
4) Бинарной операцией на множестве A называется функция b : A A  A.
Образ пары (x,y) при отображении b записывается как b(x,y) или как xby.
Поскольку область значений бинарной операции на A по определению есть
подмножество A, то множество A обладает свойством замкнутости
относительно бинарной операции.
5) Конечной
последовательностью
называется
функция
из
N0 ={0, 1, 2, 3, …, n} в некоторое множество A. f : N0  A Бесконечной
последовательностью называется функция из {0, 1, 2, 3, …} в некоторое
множество A. Элементом последовательности является упорядоченная пара
(n,a), в которой a = f(n). Обычно эта пара обозначается через an, а
последовательность f : N0  A – через {an }.
21
Иногда нумерацию членов последовательности начинают с 1, т.е. иногда
последовательностью называют функцию, определенную на множестве N.
Пример 1.26 Широко известными видами последовательностей являются
арифметическая и геометрическая прогрессии.
6) Еще одна известная специальная функция, которая далее потребуется
при комбинаторных вычислениях – факториал. На примере этой функции
уместно вспомнить о принципе математической индукции.
Принцип математической индукции состоит в следующем.
Если некоторое свойство P выполняется на элементе 0, и для любого nN
из выполнимости P на элементе n следует его выполнимость на элементе n+1,
то свойство P выполняется на любом элементе nN.
Формальная запись: P ( (P(0),nN P(n)P(n+1))  nN P(n) ).
Принцип математической индукции позволяет доказывать утверждения,
проверять свойства и давать индукционные определения. Итак, для
доказательства свойства P согласно принципу мат. индукции выполняются
следующие шаги:
1. База (базис) индукции. Проверяется выполнение P(0).
2. Индукционный переход. Предполагается, что выполнено P(n).
Показывается, что тогда выполнено и P(n+1): P(n)P(n+1).
Иногда удается установить выполнение свойства P(k) только начиная с
некоторого k>0 и P(n)  P(n+1) n  k.
Индукционное определение понятия P(n) дается следующим образом:
1. Задается значение P(0);
2. Задается правило получения P(n+1) по числу n и значению P(n).
Пример 1.27 Индукционное определение факториала f = n! будет выглядеть
следующим образом: f(0)=1; f(n+1)=f(n)(n+1).
1.4.4 Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Пусть задана функция RAB. Какое из утверждений неверно: « a  
могут соответствовать два различных элемента из множества B», « b B
может соответствовать двум различным элементам из множества A»?
Какая функция называется инъективной? Сюръективной? Биективной?
Всегда ли справедливо, что обратная функция обладает тем же свойством?
Какое множество называется счетным?
Что такое характеристическая функция?
Как определяется бинарная операция?
В чем заключается принцип математической индукции?
Справедливо ли утверждение: «Если свойство выполняется для некоторого
n, то это значит, что оно выполняется для всех целых чисел»?
22