Комплексные числа и основная теорема алгебры

C
Ëèñòîê
17.11.2012
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà è îñíîâíàÿ òåîðåìà
àëãåáðû
Ðèñ. 1: Ïîïóëÿðíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øóòêà.
Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí f (z) = z n + an−1 z n−1 + ... + a2 z 2 +
a1 z + a0 , ãäå a0 , a1 , a2 , ..., an−1 ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à n > 0, èìååò n êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé, äðóãèìè ñëîâàìè f (z) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
f (z) = (z − z1 )(z − z2 )...(z − zn ), ãäå z1 , z2 , ..., zn íåêîòîðûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå C.1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà C
âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à ñèìâîë
2
òàêîå, ÷òî i = −1.
x
âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ
îáîçíà÷àåòñÿ Im(z).
íàçûâàåòñÿ
÷èñëà
z
è
ýòî ôîðìàëüíûå ñóììû âèäà x + iy , ãäå x, y i ìíèìàÿ åäèíèöà (êâàäðàòíûé êîðåíü èç −1), ò. å. ÷èñëî
÷èñëà
z
è îáîçíà÷àåòñÿ
Re(z),
à
y
ìíèìîé ÷àñòüþ
C 1 (Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë). Ïîêàæèòå, êàê óñòðîåíî ñëîæåíèå è óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ò. å. åñëè z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , íàéäèòå, ÷åìó
ðàâíî z1 + z2 è z1 z2 .
Óêàçàíèå: Ñêëàäûâàÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ìû ñêëàäûâàåì ïî÷ëåííî èõ âåùåñòâåííûå
è ìíèìûå ÷àñòè, à ÷òîáû ïåðåìíîæèòü äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà, íåîáõîäèìî ðàñêðûòü
2
ñêîáêè è âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì i = −1. [1 áàëë]
C 2 (Ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë). Äîêàæèòå,
÷òî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ
ïîëåì,
òî åñòü äëÿ íèõ âûïîëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
• z1 + z2 = z2 + z1 (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ)
• (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ)
• ñóùåñòâóåò òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z âûïîëíåíî z + 0 = 0 + z = z (íàëè÷èå íóëÿ)
• äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî w, ÷òî z + w = 0 (íàëè÷èå
ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà)
Ëèñòîê
C
17.11.2012
• z1 z2 = z2 z1 (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ)
• (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ)
• ñóùåñòâóåò òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî 1, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z âûïîëíåíî z · 1 = 1 · z = z (íàëè÷èå åäèíèöû)
• äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî w, ÷òî z · w =
w · z = 1. Äëÿ êàæäîãî z = x + iy íàéäèòå òàêîé ýëåìåíò w ÿâíî (íàëè÷èå îáðàòíîãî
ýëåìåíòà)
• w(z1 + z2 ) = wz1 + wz2 (äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ). [1 áàëë]
C 3 (Êîìïëåêñíûå êîðíè). Íàéäèòå âñå êîìïëåêñíûå êîðíè ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé:
2
à) x = −1 [0.25 áàëëà]
4
á) x = 1 [0.25 áàëëà]
2
â) x − 2x + 2 = 0 [0.25 áàëëà]
3
2
ã) x − x + 2 = 0 [0.25 áàëëà]
C 4 (Ïðåäñòàâëåíèÿ ïî ôîðìóëå Ýéëåðà). Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìî â âèäå z = r(cos φ + i sin φ), ãäå
r ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, à φ ∈ [0; 2π). ×èñëî r íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ |z|, à φ åãî àðãóìåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ arg(z). [1 áàëë]
C 5 (Ïðèìåðû ôîðìóëû Ýéëåðà). Ïðåäñòàâüòå êîìïëåêñíîå ÷èñëî â âèäå Ýéëåðà:
•1
• -1
• 8i
• 1+i
√
• 23 + 12 i
√
• 57 −
√ 57 3i
• −2 2 − 7i [1 áàëë]
C 6 (Ïðåäñòàâëåíèå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè). Êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z =
x + iy ìîæíî ïðåäñòàâèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ñ îñÿìè Rez, Imz êàê âåêòîð ñ
íà÷àëîì â íóëå è êîíöîì â (x, y). Ãäå íà ýòîé êàðòèíêå ìîäóëü z ? Åãî àðãóìåíò? Íàðèñóòå
âåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïëåêñíûì ÷èñëàì èç ïðåäûäóùåãî çàäàíèÿ. [1 áàëëà]
C 7 (Êàê íàäî äóìàòü î ïåðåìíîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë).  êàêîé âåêòîð ïåðåéäåò âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z , ïðè äîìíîæåíèè åãî íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî w = r(cos φ + i sin φ)? Èçîáðàçèòå ýòè âåêòîðà íà ïëîñêîñòè. Òîò æå âîïðîñ äëÿ
âîçâåäåíèÿ âåêòîðà z â ñòåïåíü n. [1 áàëëà]
C 8 (Åùå êîìïëåêñíûå êîðíè). Ðåøèòå óðàâíåíèÿ â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ.
3
à) x = 1 [0.25 áàëëà]
4
á) (x + 3) = 16 [0.25 áàëëà]
2
â) x + 2x + 2 = 0 [0.25 áàëëà]
7
ã) x = 5 [0.25 áàëëà]
C 9 (Ôîðìóëà Ìóàâðà). Äîêàæèòå ôîðìóëó Ìóàâðà: (cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) +
i sin(nφ). [1 áàëë]
Îïðåäåëåíèå C.2. Èíäåêñîì
ïîâîðîòà âåêòîðà
−−→
v(x)
ïðè îáõîäå òî÷êè
x
âäîëü êðèâîé
íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà èçìåíåíèé â óãëå âåêòîðà, ãäå ÷àñòíûå ïîâîðîòû ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè ñ÷èòàþòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, à ïî ÷àñîâîé ñî çíàêîì ìèíóñ.
Óêàçàíèå: Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëó÷øå
B Òåîðåìà Áðàóýðà.
èç Ëèñòêà
îçíàêîìèòüñÿ ñ ïîíÿòèåì
èíäåêñà,
ñìîòðèòå çàäà÷è
Ëèñòîê
C
17.11.2012
C 10 (Èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà z n ). ×åìó ðàâåí èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà z n ïðè îáõîäå òî÷êîé z îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå è ðàäèóñà R. [1 áàëë]
 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ f (z) = z n + an−1 z n−1 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 , ãäå a0 , a1 , a2 , ..., an−1 ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à n > 0.
C 11 (Îöåíêà íà f (z)). Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò R, ÷òî äëÿ ëþáîãî z òàêîãî, ÷òî
|z| = R, îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé òî÷êè f (z) è z n , íå ïðîõîäèò ÷åðåç 0 (ñì. Ðèñ. 2). [1 áàëë]
Ðèñ. 2: Ðèñóíîê ê çàäà÷å 11
Îïðåäåëåíèå C.3.
Êðèâûå
Γ0
è
Γ1
íàçûâàþòñÿ
ïðåäúÿâèòü íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî êðèâûõ
[0, 1],
γt ,
ãîìîòîïíûìè
â ôèãóðå
S,
åñëè ìîæíî
ïîëíîñòüþ ëåæàùèõ â ôèãóðå
γ0 = Γ0 è γ1 = Γ1 . Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè êðèâóþ Γ0
êðèâóþ Γ1 , âñå âðåìÿ îñòàâàÿñü âíóòðè ôèãóðû S .
à
S,
ãäå
t∈
ìîæíî íåïðåðûâíî ïåðåòÿíóòü â
C 12 (Ãîìîòîïíîñòü Γf (z) è Γzn ). Ïóñòü z îáõîäèò îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â
n
íóëå. Òîãäà z îáõîäèò íåêîòîðóþ êðèâóþ Γz n , à f (z) íåêîòîðóþ êðèâóþ Γf (z) . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò R òàêîå, ÷òî êðèâûå Γf (z) è Γz n ãîìîòîïíû â ôèãóðå C \ 0, òî åñòü
íàéäåòñÿ íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî êðèâûõ, íèêàêàÿ èç êîòîðûõ íå ïðîõîäèò ÷åðåç íîëü,
íà÷èíàþùååñÿ ñ
Γf (z)
è çàêàí÷èâàþùååñÿ
Γzn .
[1 áàëë]
C 13 (On the one hand). Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå R, ÷òî èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà
f (z) ïðè îáõîäå òî÷êîé z îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå ðàäèóñà R ðàâåí 2πn. [1 áàëë]
C 14 (On the other hand). Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå r, ÷òî èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà f (z) ïðè îáõîäå òî÷êîé z îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå ðàäèóñà r ðàâåí 0. [1 áàëë]
C 15 (P rõvocõ : Òåîðåìà Ãàóññà). Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêèé êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí z n +
an−1 z n−1 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 , ãäå a0 , a1 , a2 , ..., an−1 - ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à
n > 0 èìååò êîìïëåêñíûé êîðåíü. [3 áàëëà]
C 16 (Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Äîêàæèòå îñíîâíóþ òåîðåìó àëãåáðû. [1 áàëë]