Секреты быстрого счета - МОУ СОШ №4 г. Алексеевки

1
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №4
г. Алексеевки Белгородской области
Секция: математика
Тема: Секреты быстрого счета
Автор: Титаренко Лев,
ученик 6Б класса МОУ СОШ №4
Научный руководитель:
Лысанова Мария Игоревна,
учитель математики и
информатики МОУ СОШ №4
Алексеевка
2014
2
Содержание
Введение………………………………………………………………… 3
1. История счета и счетчики.…………………………………….… 5
2. Приемы вычислений……………………………………………10
2.1.
Быстро складываем и вычитаем.
2.2. Быстро умножаем.
2.3.
Быстро делим.
Практическая часть……………………………………………………..11
Заключение………………………………………………………….…..12
Список литературы…………………………………………………….13
3
Введение
"Различие между теми людьми, кто добивается в
математике многого, и тнми, кто достигает
малого, состоит не в мозге, с которым они
рождаются, а в том, как они его используют»
(БИЛЛ ХЕНДЛИ стр.11 «Считайте в уме как
компьютер»)
В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники, разговор об
устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является
предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает
откровенное удивление.
Каждый наблюдал ситуацию, когда человек мучается, с тем чтобы правильно отсчитать
сдачу, или пробует высчитать среднее арифметическое своих оценок, или мучается
вычислением в столбик сложного примера на контрольной работе, когда до звонка
остались считанные минуты.
Как ранее, так и сейчас существовали и существуют люди обладающие феноменальными
способностями к счету. Такие как, Карл Фридрих Гаусс, Роман Семенович Левитан,
Юзеф Зиновьевич Приходько, Иноди, Шакунтала Деви, Шакунтала Деви, Олег
Степанов и многие другие. Мне стало интересно, неужели нельзя обычному человеку
обучиться быстро считать в уме? Как этого достигнуть?
Гипотеза:
Достаточно быстро считать может научиться каждый, для этого наверняка существуют
способы устного быстрого счета. С помощью приемов быстрого счета можно улучшить
вычислительные навыки.
Цель работы:
Целью данной работы является поиск и исследование приемов быстрого счета.
Объект исследования:
Объектом исследования являются математические приемы быстрых вычислений,
основанные на свойствах чисел, действий, математических законах, уравнениях.
Задачи:
• Используя литературу, изучить виды приемов быстрого счета, выбрать из них
наиболее интересные и доступные обычному пятикласснику.
• Провести практическую работу с использованием выбранных приемов по
обоснованию математических доказательств.
• Пользуясь освоенными приемами устных вычислений, проверить их в действии.
Методы исследования
Изучение теории по выбранной теме, анализ литературы, практическое применение
знаний, умений и навыков.
Актуальность проблемы
В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение
быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае
не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а
способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное
удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной
деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в
самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и
нестандартные решения.
Новизна проекта
Идеи устного счета не новы, но основательно забыты благодаря развитию современных
технологий. Так что новое, это, как говориться, – хорошо забытое старое.
Практическая значимость
4
Незаметно для себя мы утрачиваем навыки быстрого и точного счета и порой с большим
опозданием понимаем, что это наше слабое место. Однако, умение быстро считать в уме
является неоспоримым преимуществом и достоинством того, кто таковым умением
обладает. Человек, легко оперирующий цифрами, никогда не окажется обманутым при
расчетах. Но самое главное, способности к вычислениям постоянно будут поддерживать в
хорошей форме и развивать его умственные способности, что особенно важно в период
обучения.
Я считаю, что необходимо знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в
практической деятельности. В данной работе я описываю краткую историю искусства
счета; разбираю нестандартные приемы вычислений.
Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и
других предметов, которые изучаются в школе. Приемы устного счета нужно повторять
систематически.
Нижеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум "обычного"
человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее
продолжительная тренировка.
Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же
правилами, что и при письменных вычислениях.
Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут
научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех
и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил,
очень долго и утомительно тренироваться. Наша задача – научиться работать с
двузначными, а иногда и – с трехзначными числами. Этого для экономии времени на
уроке достаточно.
История счета и счетчики.
Наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить и обменивать
вещи, продукты, делать запасы. Так человек постепенно учился считать. Для счета
использовали пальцы рук, ног, камешки и другие предметы. Позже появились
изображения чисел. Одним из первых способов «записи» чисел, сохранившемся и
поныне, были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая
значки палочкой на глиняной дощечке. Сейчас мы пользуемся арабскими цифрами, нам
это привычно. Люди научились складывать и вычитать, умножать и делить, причем
способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В древней литературе
упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «ладьей», «решеткой»,
«задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие.
Есть люди-счетчики, умеющие быстро считать в уме. Они могут мгновенно умножить и
делить числа, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, и удивляют
различными феноменальными способностями устного счета. Это умели многие ученые,
например, Андре Ампер и Карл Гаусс. А также и многие люди, чья профессия была далека
от математики и науки в целом.
Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по
вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных
счётчиков планеты.
Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков
Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.
Известна необычная история создания целой системы повышения быстроты
счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я.
Трахтенбергом. Во время Второй мировой войны Трахтенберг стал узником
нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую
систему, так называемый метод Трахтенберга. Без сомнения, занимался он этим, чтобы
сохранить рассудок. Позже с помощью своей жены он бежал в Швейцарию, где
5
продолжил разработку этого метода. В 1950 году Трахтенберг основал
Математический Институт в Цюрихе, где учились и дети, и взрослые. Его назвали
«школой для гениев». Обучающиеся быстро осваивали математику и добивались успехов
во всех предметах. Уровень их интеллекта значительно превышал средние показатели.
Интенсивная игра чисел улучшала память и внимание. После войны Трахтенберг создал и
возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.
Приемы вычислений.
Быстро складываем и вычитаем
Первый прием.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько
же единиц, то сумма не изменится.
Например:
334 + 768 = (334 + 6) + (768 - 6) = 340 + 762 = 1102
Второй прием.
Если к вычитаемому и уменьшаемому прибавить (или отнять) одно и то же количество
единиц, то разность не изменится.
Например:
345 - 229 = (345 + 5) - (229 + 5) = 350 - 234 = 116
Третий прием.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо
вычесть столько же единиц.
Например:
654 + 348 = (654 + 348 + 2) - 2 = 1004 - 2 = 1002
Сложение чисел, близких по величине
Допустим, нужно сложить последовательность чисел, близких друг к другу по величине:
23 + 21 + 19 + 22 + 17 + 24 = ?
Записываем числа в следующем виде:
23 = 20+3
21 = 20+1
19 = 20 -1
22 = 20+2
17 = 20 -3
24 = 20+4
Тогда сумма этих чисел:
20 х 6 + (3+1-1+2-3+4) = 120 + 6 = 126
Вычитание из 100, 1000, 10000 и прочих степеней 10
Все мы помним, надеюсь, что вычитание столбиком производится начиная с младшей
(самой левой) цифры. Но при вычитании из 100, 1000, 10000 и других степеней десятки
это правило можно нарушить.
Начиная со старшей (самой правой), вычитаем каждую цифру из 9. Последнюю, самую
левую цифру, вычитаем из 10.
Например:
1) 100 - 57 = ?
9-5=4
10 - 7 = 3 (последнюю цифру вычитаем из 10, а не из 9)
Ответ: 43
2) 1000000 - 546721 = ?
9-5=4
9-4=5
6
9-6=3
9-7=2
9-2=7
10 - 1 = 9
Ответ: 453279
3) 100000 - 548 = ?
100000 - 548 = 100000 - 00548
9-0=9
9-0=9
9-5=4
9-4=5
10 - 8 = 2
Ответ: 99452
Примечание. Можно удивить друзей. Попрошу их записать число с любым количеством
нулей и любое другое число, которое надо из него вычесть. Как только задание будет
записано, не тратя на раздумья ни секунды, начну диктовать ответ по цифре. :-)
Быстро умножаем
Нужна ли нам таблица умножения?
Если вы отлично знаете таблицу умножения, это хорошо. Если забыли, или никогда не
знали, воспользуйтесь таким способом счета. Например, нужно узнать, сколько будет 9
умножить на 7. Записываем пример таким способом:
13
------- = 63
9х7
Ответ 63 мы получили путем несложных вычислений. А именно. Записав пример 9х7,
проводим над ним прямую линию и над каждой цифрой вписываем, сколько не хватает до
10. Над 9 пишем 1, над 7 пишем 3. Первой цифрой ответа будет разница между числами
нижней строки и верхней строки по диагонали. 9-3= 6, 7-1=6 – для вычисления можно
брать любую пару – ответ всегда будет один и тот же. Итак, мы вычислили, что первой
цифрой ответа будет 6. Теперь вычисляем вторую цифру. Для этого умножаем цифры
верхней строки 1х3=3. Наш пример решен: 9х7=63.
Немного по-иному рассчитываются более крупные числовые значения. К примеру, вам
нужно узнать, сколько будет 12х14.
24
---------- = 160+8=168
12 х 14
В нижней строке записываем пример 12х14. В верхней строке пишем, на сколько эти
числа больше 10. Получаем 2 и 4. Складываем числа по диагонали. Получаем 12+4=16,
14+2=16. Мы получили 16 десятков, ведь наши исходные цифры больше десяти. Поэтому
16 умножаем на 10. 16х10=160 . Осталось только умножить верхние числа 2х4=8 и
прибавить полученную цифру к ответу.
Забавное умножение на 9.
7
Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, используем руки. Загните палец,
который соответствует умножаемому на 9 числу (например 9×4 – загните четвертый
палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×4 – это 3), затем посчитайте
после загнутого пальца (в нашем случае – 6). Ответ – 36
Умножение на 4.
Это очень просто и, с первого взгляда, очевидно, но несмотря на это не все догадываются
в нужный момент. Чтобы умножить любое число на 4, нужно умножить его на 2, а потом
снова умножить на 2:
25*4=25*2*2=50*2=100
Умножение на 5, 50, 25 и 125.
Умножая число Х на эти числа, удобно пользоваться такими выражениями:
X * 5 = X * 10 : 2
X * 50 = X * 100:2
X * 25 = X * 100:4
X * 125 = X * 1000:8
Например:
42 * 5 = 42 * 10 : 2 = 420 : 2 = 210
26 * 50 = 26 * 100 : 2 = 2600 : 2 = 1300
42 * 25 = 42 * 100 : 4 = 4200 : 4 = 1050
78 * 125 = 78 * 1000 : 8 = 78000 : 8 = 9750
Похожее умножение на 5.
нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то добавьте к нему 0
в конце, если нет, отбросьте остаток и добавьте 5 в конце:
1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число)
4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с
остатком)
прием перекрестного умножения
весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и
индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением".
Умножаем на 11 двузначное число
Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но
знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11?
Допустим, нам нужно умножить 63 на 11. Возьмите двузначное число, которое нужно
умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место:
6_3
Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место:
6_(6+3)_3
И наш результат умножения готов:
63*11=693
Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставляйте только
вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавляйте единицу:
79*11=
8
7_(7+9)_9
(7+1)_6_9
79*11=869
Умножение на 11 трехзначного числа
Чтобы умножить трехзначное число Х на 11:
1. Произведение будет четырехзначным. Цифра тысяч в произведении - это цифра сотен
числа.
2. Цифра сотен произведения - это цифра сотен Х плюс цифра десятков Х.
3. Цифра десятков произведения - это цифра десятков Х плюс цифра единиц Х.
4. Цифра единиц произведения - это цифра единиц числа Х.
Например:
245 х 11=?
2 - цифра тысяч произведения,
2 + 4 = 6 - цифра сотен произведения,
4 + 5 = 9 - цифра десятков произведения,
5 - цифра единиц произведения.
245 х 11 = 2695
В случае, если сумма двух цифр больше 9, то от суммы отнимается 10 и получившаяся
разность записывается вместо суммы, а к старшему (соседнему слева) разряду
прибавляется 1.
Например:
489 х 11 = ?
4 - цифра тысяч произведения,
4+8 = 12. 12-10 = 2. 2 - цифра сотен произведения. К разряду тысяч прибавляем 1: 4+1 = 5.
8+9 = 17. 17-10 = 7. 7 - цифра десятков произведения. К разряду сотен прибавляем 1: 2+1 =
3.
9 - цифра единиц произведения.
489 х 11 = 5379
Умножение на число, состоящее только из цифр 9
Допустим, нужно умножить 154 на 999 (99, 9999 или любое другое число из девяток).
Вычисляем так:
154 х 999 = 154 х (1000 -1) = 154000 - 154 = 153999 - 153 = 153846
Примечание. Обрати внимание на 154000-154 = 153999 - 153. Это не обязательный шаг, но
еще один способ сделать вычисления проще.
Умножение чисел, у которых число десятков одинаково,
а сумма единиц равна 10
Число десятков любого из множителей умножить на число, которое больше на 1, затем
перемножить отдельно единицы этих чисел, после чего к первому результату приписать
второй справа.
Например:
Умножим 303 на 307:
а) 30 * (30 +1) = 900 + 30 = 930
б) 3 * 7 = 21
Записываем первый результат, а справа - второй:
93021
9
Умножение больших чисел
Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете
воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшая четное число в два раза, а
второе увеличивая в два раза:
32*125 это 16*250 это 8*500 это 4*1000=4000
Быстро делим
Последовательное деление
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число
множителей, а потом выполняем последовательное деление:
•
720:45=(720:9):5=80:5=16,
•
9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.
Деление на 5
Разделить большое число на 5 в голове очень просто. Всё что нужно, это умножить число
на 2 и сместить запятую на один знак назад: 175/5
Умножаем на 2: 175*2=350
Смещаем на один знак: 35.0 или 35
1244/5
Умножаем на 2: 1244*2=2488;
Смещаем на один знак: 248.8
Или Деление на 5, 50, 25
При делении числа Х на эти числа удобно иметь в виду, что:
X : 5 = X x 2 :10 ; X : 50= X x 2 : 100 ;
X : 25 = X x 4 : 100
Например:
75 : 5 = 75 x 2 : 10 = 150 : 10 = 15
4350 : 50 = 4350 x 2 : 100 = 8700 : 100 = 87
8600 : 25 = 8600 x 4 : 100 = 34400 : 100 = 3
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Диагностика вычислительных навыков
Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных
навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета
можно улучшить вычислительные навыки.
Объекты исследования: группа учащихся 5б класса.
Этапы исследования:
1. Изучить известные способы быстрого устного счета;
2. Подобрать материал для тренинга;
3. Провести диагностику;
4. Подвести результаты исследования.
Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, на сложение,
вычитание, деление и умножение, которые нужно было выполнить. Работа велась с
группой сильных учеников (5 человек).
Диагностика проводилась в несколько этапов:
 Проверка имеющихся навыков счета;
 Изучение способов сложения и вычитания;
 Ознакомление с новыми приемами умножения;
 Изучение способов деления.
Обработка результатов показала:
На «нулевом» этапе решили:
письменно решено – 70% время-5мин 20сек.,
После изучения способов облегченных вычислений, во втором контрольном замере:
решено – 90% время-5мин,
10
После непродолжительной тренировки (неделя), в третьем контрольном замере :
решено полностью устно– 98%, время-4мин ,
От замера к замеру количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных
увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно. На примере группы учеников
5«б» класса, уверенно прослеживается динамика развития вычислительных навыков
приемов устного быстрого счета.
6
4
%
2
время
0
1 этап
2 этап
3 этап
Рис.1. Динамика развития вычислительных навыков учащихся
Значит, принимаем гипотезу о том, что приемы быстрого счета существуют и с
их помощью можно улучшить вычислительные навыки.
Уже не представляете свою жизнь без калькулятора? Очень зря, ученые
доказали, что люди, регулярно считающие в уме застрахованы от старческого
маразма и раннего слабоумия. Так что практикуйтесь чаще. Способность считать
быстро в уме надо развивать, независимо от его математических способностей,
хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана в магазине или на рынке.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с
вычислениями, является владение культурой счета. Основу культуры счета
составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только
в практической деятельности.
В следующем году мы продолжим практическую часть нашей работы на примере
учащихся уже 7-х классов, обучив их приемам быстрого счета. А в качестве
предпрофильной подготовки, можно разработать элективный курс по математике
«Алгебраические выкладки схем быстрого сложения, вычитания, умножения и
деления», который будет дополнен быстрым возведением в квадрат, куб числа.
Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами
и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с
использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков
должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как
можно больше освоить “хитрых” приемов.
В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память,
быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов
служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на
каждом уроке могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно
работать!
11
Список используемой литературы
1.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для
учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.
2.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол.
Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1984, 192 с.
3.
Игры и развлечения. Кн.I/Сост. Л.М. Фирсова. – Ь.: Мол. Гвардия, 1989. – 237 c.,
ил.
4.
Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8
кл. сред. шк. - 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.
5.
Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
6.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
7.
Ткачева М.В. Домашняя математика. - М., Просвещение,1993.
8.
Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.
9.
Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.:
Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
10.
Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к математике.
//Математика в школе. - 1990, №11.– с.39-44.
11.
Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная
школа. – 1990, №6. - с.44-46.
12.
Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7. - с.11-14.
13.
Липатникова Н.Г. Роль устных упражнений на уроках математики. // Начальная
школа. - 1998, №2. - с.34-38.