ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Известия НАН Армении, Физика, т.49, №1, с.10-18 (2014)
УДК 539.1
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВОГО АТОМА В ПОЛЕ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Л.А. ОГАННЕСЯН, Г.А. МУРАДЯН*, А.Ж. МУРАДЯН
Ереванский государственный университет, Армения
*
e-mail: gmurad@ysu.am
(Поступила в редакцию 5 октября 2012 г.)
Представлен приближенный метод расчета энергетического спектра и собственных волновых функций поступательного движения двухуровневого атома
в поле стоячей волны при нулевом значении квазиимпульса. Волновые функции
импульсного представления выражаются через вырожденные гипергeометрические функции в случае непрерывного спектра и через полиномы Эрмита в случае дискретного спектра. Для энергетического спектра характерно бесконечное
уплотнение уровней при переходе от дискретной части к неперывной, как это
имеет место, например, в случае кулоновского потенциала.
1. Введение
Стоячая волна лазерного излучения является одной из основных конфигураций вíåøíåго ïîëÿ, используемых для воздействия на поступательное (и не
только) движение атомов и молекул, в частности, при образовании оптических
решеток с контролируемыми параметрами [1] и расщеплении когерентного
волнового пакета атомных интерферометров [2]. Механизмом воздействия оптического излучения на движение атома (частицы, в общем случае) является
передача импульса фотона атому в процессе поглощения и, наоборот, отбор
импульса у атома в процессе излучения фотона. В результате на атом со стороны оптического излучения действует сила, причем в случае поглощения она
направлена вдоль волнового вектора поглощаемого фотона, а в случае излучения – противоположно направлению излученного фотона.
Если процесс излучения/поглощения имеет исключительно вынужденный характер, то оптическую силу называют градиентной [3]. Термин исходит
из того, что только при наличии градиента поля импульсные толчки поглощения фотона и его последующего излучения не в точности компенсируют друг
друга, и на атом действует результирующая сила. Из сказанного следует также,
что в поле стоячей волны на атом действует периодическая сила, а если быть
более осторожным в употреблении терминов в квантовой теории – периодический потенциал.
Гамильтониан в уравнении Шредингера
10
i

t
ψ  z , r , t   Hˆ ψ  z , r , t 
(1)
записывается в виде

2  2
Hˆ  
 Hˆ 0 – dE  z , t  ,
2
2M  z
(2)
где z – координата центра тяжести атома вдоль направления стоячей волны, r –
радиус-вектор оптического электрона атома относительно его центра тяжести,
Ĥ 0 , M и d̂ – соответственно, гамильтониан, масса и оператор дипольного момента свободного атома, а
E  z,t   E1  t  z / c  e 
i k z ω t
i k z + ω t 
 E2  t  z / c  e 
 c.с.
(3)
– напряженность электрического поля стоячей волны, образованной встречными волнами амплитуд E1 и E2 и одинаковой несущей частоты ω . Остальные
обозначения очевидны.
Описание внутреннего состояния атома в квазимонохроматическом лазерном поле часто основывается на двухуровневом представлении [4]. Тогда
полная волновая функция атома ψ  z, r, t  записывается в виде суперпозиции
стационарных волновых функций ψ1  r  и ψ 2  r  двух состояний внутреннего
движения атома:
ψ  z, r, t   a  z, t  ψ1  r  e
t
 1

 b  z, t  ψ 2  r  e
t
 2  it

,
(4)
где   ω  ω0 – расстройка лазерной частоты ω от боровской частоты
ω0    2  1  /  . В выражении (4) искомыми являются коэффициент-функции
a  z , t  и b  z , t  , которые, помимо амплитуд вероятностей нахождения атома в
основном или возбужденном внутреннем состояниях, соответственно, представляют также волновые функции поступательного движения в этих состояниях.
В результате стандартных подстановок, для указанных амплитуд получаем следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:
 
2
 ωR
i
 η2
 τ



*  iη
* iη 

a
η,
τ


ζ
e

ζ
e
b  η, τ  ,



2
 1




 
2 
iη
 iη
 sign  ωR
a  η, τ  ,
i
 b  η, τ    ζ1 e  ζ 2 e
 η2 
 τ


(5a)
(5b)
где τ =  t – время, η = k z – координата центра тяжести атома, ζ1, 2  dE1, 2 /  
– параметры напряженности встречных волн, ω R  ω r /    k 2 / 2 M  – частота отдачи (все они записаны в безразмерных единицах). Прежде чем двигаться
дальше, заметим, что в общем случае понятия оператора потенциальной энергии для основного или возбужденного состояния атома по отдельности не существует. В данном случае это прямо следует из невозможности представления
системы (5a,b) в виде уравнения Шредингера для функций a  η, τ  или b  η, τ 
по отдельности.
11
В настоящей работе мы будем искать стационарные решения системы (5a,b), которые возможны в поле строго монохроматических волн:
ζ1, 2  η,τ   ζ1, 2  const. Тогда
a  η, τ   a  η  eiμ τ , b  η, τ   b  η  eiμ τ ,
(6)
где искомыми являются параметр энергии μ и вероятностные амплитуды a  η 
и b  η  . Последние нормированы условием



2

a  η d η 
 b  η

2
d η  1.
(7)
Отметим, что первое слагаемое в (7) можно интерпретировать как вероятность нахождения атома на основном внутреннем состоянии (безотносительно его местонахождения), а второе слагаемое – как вероятность нахождения на
возбужденном состоянии. С учетом такой интерпретации a  η  и b  η  есть
волновые функции стационарных состояний поступательного движения атома с
дополнительным условием нахождения атома на нижнем или верхнем внутреннем состоянии, соответственно. Параметр энергии μ одинаков для обоих внутренних состояний. Подставляя выражения (6) в (5), получаем систему уравнений

d2
 μ  ωR
dη2




*  iη
* iη 

a
η


ζ
e

ζ
e
b  η ,



2
 1





d2 
b η   ζ1 eiη  ζ 2 e iη a  η 
 μ  sign  ωR
2   
dη 



(8a)
(8b)
на собственные значения μ и собственные функции a  η  и b  η  . Она принадлежит к классу уравнений Хилла и не имеет точного аналитического решения.
В важном с точки зрения практических применений случае больших расстроек
резонанса  широко известно приближение адиабатического следования
[5], когда в левосторонней скобке уравнения (8b) сохраняется только член
sign   1 и полученная арифметическая связь b  η  с a  η  подставляется в
(8a). В результате этого для a  η  получается обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка, имеющее вид уравнения Матье [6], аналитические
свойства решений которого хорошо известны.
Приближение адиабатического следования предполагает, однако, пре2
небрежимо малое для вероятности возбуждения значение: b  η   0 (второй
порядок относительно малой величины b  η  ). Согласно (7), атом становится
как бы одноуровневым, а возбуждение высоколежащего энергетического уровня носит исключительно виртуальный характер. Такое приближение не всегда
является удовлетворительным, даже если вероятность возбуждения атома мала.
Настоящая работа в некоторой степени расширяет границы аналитических решений проблемы о стационарных состояниях двухуровневого атома в поле стоячей волны путем представления аналитического приближения, которое учитывает конечное значение вероятности нахождения атома на возбужденном энергетическом уровне.
12
2. Переход в импульсное пространство
с непрерывным распределением
Отметим, что коэффициенты с правой стороны уравнений (8a,b) являются периодическими функциями переменной η , так что искомые функции
a  η  и b  η  , согласно теореме Блоха–Флоке, можно представить в виде произведения некоторой периодической функции на экспоненциальную функцию
вида ei q η , где q – квазиимпульс, сопряженный к безразмерной координате η. В
настоящей работе мы ограничимся нулевым значением квазиимпульса, в результате которого функции a  η  и b  η  становятся периодическими (с периодом 2 ) и могут быть разложены в ряд Фурье,

a  η    an ei 2 n η ,
n  

b  η    bn ei (2 n 1) η ,
(9)
n  
представляющий в данном случае переход к импульсному представлению. В
этом представлении из (8a,b) получаем алгебраическую систему уравнений:
(10a)
 μ  4ωR n2  an  ζ1* bn  ζ*2 bn1 ,
2

1 

 μ  sign  4ωR  n    bn  ζ1 an  ζ 2 an 1 ,

2  


(10b)
n  0,  1,  2,... . Как и в приближении адиабатического следования, мы будем
считать кинетическую энергию атома малой относительно энергетической расстройки   (в безразмерных единицах уравнений (10a,b) роль   играет
sign   1 ), но оставим свободным вопрос о соотношении с потенциальной
энергией (энергетическим параметром μ). Пренебрегая только кинетическим
2
членом  4ωR  n  1/ 2 в (10b), приходим к рекуррентному соотношению на
собственные функции an и собственные значения параметра μ :
(11)
 μ  sign   μ  4ωR n 2  an  (ζ12  ζ 22 ) an  ζ1 ζ 2 (an1  an 1 ) ,
где безразмерные напряженности волн ζ1, 2 без ограничения общности выбраны
реальными, n  0,  1,  2,... ..
Амплитуды возбужденного состояния bn выражаются через решения
(11) следующей формулой, непосредственно вытекающей из (10b):
ζ1
ζ2
bn  
an 
a .
(12)
μ  sign
μ  sign n 1
Коэффициенты ζ1,2 /  μ  sign  в (12) не обязательно малы и вероятно2
сти bn следует сохранить в теории. Предложенное здесь приближение, в отличие от стандартного приближения адиабатического следования, сохраняет в
теории вероятность ненулевого возбуждения двухуровневого атома.
Система (11), однако, из-за наличия квадратичного члена 4ωR n 2 не
имеет точного аналитического решения и для ее приближенного решения мы
применим достаточно известную в литературе процедуру перехода от дискретного распределения переменной n к непрерывному ее распределению, когда
an  1 записывается в виде тейлоровского разложения:
13
d an 1 d 2 an

 
(13)
d n 2 d n2
и сохраняются, как правило, члены до второй производной включительно [7].
Во избежание недопонимания добавим, что дискретное по n распределение
будет восстановлено сразу после решения (11).
Вышеуказанная процедура преобразует соотношение (11) в обыкновенное дифференциальное уравнение:
an  1  an 

ζ1  ζ 2
 d 2 μ  sign

4ωR n 2  a(n) 
  2 
ζ1 ζ 2
 dn


2
 μ  μ  sign 
ζ1 ζ 2
a(n).
(14)
Характер его зависит от знака коэффициента перед n 2 , суммы μ  sign
( ωR , ζ1, 2  0 по определению) [6]. Для расстройки резонанса выберем отрицательный знак (   0 ), при котором минимумы потенциальной энергии для атома в основном внутреннем состоянии совпадают с максимумами интенсивности
стоячей волны. Безразмерный потенциал при этом меняется в пределах
2
2
[  ζ1  ζ 2 ,   ζ1  ζ 2  ].
А. Вначале мы рассмотрим случай отрицательного знака суммы
μ  sign  0 ( μ  1 ). Тогда в уравнении (14) член потенциала относительно переменной n положителен и повторяет вид потенциала гармонического осциллятора. Не обременяя изложение известным ходом вычислений, отметим сразу,
что спектр оказывается дискретным, а возможные значения энергетического
параметра μ = μ m определяются из уравнения



μ m 1  μ m   ζ1  ζ 2

2
8 ωR ζ1 ζ 2 1  μ m
1
 m ,
2
m  0,1, 2,....
(15)
Спектр (15) существенно нелинеен. Основному состоянию соответствует значение m  0. С ростом значения m уровни энергии монотонно поднимаются, бесконечно сгущаясь у максимального в данном случае значения μ max = 1 (рис.1).
Рис.1. Энергетический спектр поступательного движения двухуровневого атома в поле стоячей волны в длинноволновом приближении.
14
Чтобы несколько прояснить причину такого распределения, напишем
условие квантования (15) в приближении адиабатического следования, которое
мы дополняем, включая в схему взаимодействия ненулевую вероятность возбуждения атома. Тогда получаем
2
1

μ m   ζ1  ζ 2  8 ωR ζ1 ζ 2  m   ,
(16)
2

т.е. спектр гармонического потенциала, расположенный над минимальным
2
уровнем периодического потенциала   ζ1  ζ 2  , с расстоянием между соседними уровнями 8 ωR ζ1 ζ 2 (пропорциональный квадратному корню произведения
энергии отдачи и глубины периодического потенциала – см., например, [8]).
Это прямо указывает на факт, что негармонический характер спектра (поступательного движения атома на основном внутреннем состоянии) целиком обусловлен ненулевой вероятностью возбуждения атома. Чтобы понять, почему
наличие возбуждения может привести именно к такому виду спектра, вспомним, во-первых, известную закономерность о том, что если атом переходит из
основного в возбужденное внутреннее состояние, то потенциал для поступательного движения из притягивающего переходит в отталкивающий (и наоборот) [3,4]. Это означает, что энергетический спектр поступательного движения
атома в рассматриваемом здесь случае формируется на фоне конкуренции двух
потенциалов – притягивающего и отталкивающего, вклады которых определяются, естественно, соответствующими вероятностями.
Вторым существенным моментом в формировании вида спектра является то, что при продвижении вверх по энергиям монотонно увеличивается и
среднее значение действующего на атом потенциала. Тем самым увеличивается
вероятность перехода атома на возбужденное состояние и соответствующая
доля свободного движения. Последнее и проявляет себя как монотонное сгущение энергетических уровней, как это имеет место, например, в спектре атома
водорода.
Собственные решения уравнения (14), удовлетворяющие условиям симметрии относительно преобразования инверсии n  n , имеют вид
anμm  cm H m  α m n  exp   α m2 n2 / 2  ,
(17)


где путем переобозначения a (n)  anμ m мы вернулись к дискретному распределению по n , H m   – полином Эрмита порядка m ,
 4 1  μ m  ωR
αm  

 ζ1 ζ 2

1/4




,
(18)
а cm – нормировочный коэффициент.
Амплитуды возбужденного состояния записываются, согласно (12), в
виде
1
μ
μ
bn m 
ζ1 anμm  ζ 2 an m1 .
(19)
1 μm
Для полноты изложения представим и полную волновую функцию в координатном представлении:

15


ψμm  z,r ,t    anμ m ei 2 n k z ψ1  r  e
i
ε1 t
i μ m t

n  


 bnμ
n  
m
i
ei ( 2 n1 ) k z ψ2  r  e
ε2 t
 i  t i μm t

. (20)
Ее можно отнести к первому периоду поля стоячей волны  / k  z   / k , периодически повторяя в остальных: ψμm  z  2l / k , r , t   ψμm  z, r , t  , где отсутствие блоховского множителя обусловлено нулевым значением квазиимпульса.
Б. Рассмотрим теперь второй возможный случай, μ  sign  0 ( μ  1 ),
когда знак перед "потенциальным" членом в (14) отрицателен и имитирует отталкивающий потенциал с перевернутыми вниз ветвями параболы в импульсном пространстве. Линейно независимые решения выберем, как и в случае дискретного спектра, по признаку симметрии относительно преобразования инверсии n  n [6]:
a1, n  d1 e i xn
2 /4
i

1 F1  2 w 
i 1 i 2 
; ; xn  ,
4 2 2

a2,n  d2 xn ei xn
2/4
i

1 F1  2 w 
3 i 3 i 2 
; ; xn  ,
4 2 2

(21)
где 1 F1   – вырожденная гипергеометрическая функция Куммера,
ζ  ζ 
w
1
2
2
2
 μ  μ  1
1/4
 4ω  μ  1 
xn   R

ζ1 ζ 2


,
ω R ζ1 ζ 2 μ  1
n,
а a1,n и a2,n – нормировочные коэффициенты. Решения (21) в асимптотике
n    сходятся к нулю для любого значения параметра энергии μ , так что
спектр в этом случае непрерывен и смыкается с бесконечно сгущенной границей дискретного спектра (рис.1).
Отметим, что амплитуды возбужденного состояния и полные волновые
функции координатного представления по отдельности записываются по той же
схеме (19) и (20), а нормировочные коэффициенты снова определяются условием (7).
3. Численные расчеты. Сопоставление с точным решением
и адиабатическим приближением
На рис.2 и рис.3 представлено пространственное распределение волновой функции поступательного движения атома (одновременно находящегося на
основном состоянии внутреннего движения). Первый из них принадлежит нижнему энергетическому уровню m  0 с симметричным распределением относительно начала координат, а второй – высоколежащему возбужденному состоянию m  5 с антисимметричным распределением.
Для сопоставления показаны также графики точного численного расчета
на базе уравнения (11), то есть не использующего тейлоровское разложение
(штрих-пунктирная линия), и параболического приближения со спектром (16),
которое полностью пренебрегает вероятностью возбужденного состояния
(штриховая линия). Видно, что предложенное нами приближение действительно смещает решения из адиабатического в сторону точных решений, причем
относительная величина смещения растет с переходом к более высоким энергиям.
16
(а)
(б)
Рис.2. Пространственное распределение стационарной волновой
функции поступательного движения двухуровневого атома на одном периоде стоячей волны, соответствующее энергетическому уровню поступательного движения: (a) m  0 и (б) m  5 ,
  0.1, ω R  10 4 ,   1.
4. Заключение
Задача о квантовомеханических состояниях поступательного движения
двухуровневого атома решена в приближении, когда энергия однофотонной отдачи атома мала по сравнению с разностью энергий атомного перехода и поглощенного атомом фотона – некая разновидность длинноволнового или квазиклассического приближения. Теория относится к нулевому значению квазиимпульса и учитывает новый элемент: влияние вероятности возбуждения на
стационарные состояния поступательного движения на основном энергетическом уровне внутреннего состояния. Учет возбуждения умеренно влияет на пространственное распределение волновой функции, но коренным образом меняет
облик энергетического спектра, делая его состоящим из дискретной части с
бесконечно сгущаемыми уровнями и лежащей над ней непрерывной части (подобно спектру атома водорода).
Работа частично выполнена в рамках гранта 11-1c215 Госкомитета по
науке МВОиН Армении.
ЛИТ ЕРАТ УРА
1. А.Ж. Мурадян. Изв. АН Арм. ССР, Физика, 10, 361 (1975); O. Morsch, M. Oberthaler. Rev. Mod. Phys., 78, 179 (2006); Г.А. Мурадян, А.Ж. Мурадян. Изв. НАН Армении, Физика, 42, 141 (2007); M. Lewenstein et al. Adv. in Phys., 56, 243 (2007); V.I.
Yukalov. Laser Physics, 19, 1 (2009), I. Bloch, J. Dalibard, S. Nascimbene. Nature Physics, 8, 267 (2012).
2. В.М. Арутюнян, А.Ж. Мурадян. Доклады АН Арм. ССР, 60, 275 (1975); Б.Я. Дубецкий, А.П. Казанцев и др. ЖЭТФ, 89, 1190 (1985); A.D. Cronin, J. Schmiedmayer,
D.E. Pritchard. Rev. Mod. Phys., 81, 1051 (2009); B. Barrett et al. Adv. in At., Mol. and
Opt. Sciences, 60, 119 (2011), Л.А. Оганнесян. Изв. НАН Армении, Физика, 46, 432
(2011).
17
3. Г.А.Аскарьян. ЖЭТФ, 42, 1567 (1962); V.S. Letokhov, V.G. Minogin. Appl. Phys., 17,
99 (1978); A.P. Kazantzev et al. Phys. Reports, 129, 75 (1985); P. Meystre. Atom Optics.
N.Y., Springer, 2001.
4. Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов. Атом в сильном световом поле. М., Атомиздат, 1978; A.
Allen, J.H. Eberly. Optical resonance and two-level atoms. New York, Dover, 1987.
5. М.Л. Тер-Микаелян.УФН, 167, 1249 (1997); V.Yukalov. arXiv:0905.3990v1 (2009).
6. M. Abramowitz, I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions, N.Y., Dover, 1970.
7. А.Ж. Мурадян. Эффекты многофотонной отдачи и оптической анизотропии в поле
лазерного излучения. Кандидатская диссертация, Ереван, ЕГУ, 1979; E. Arimondo, A.
Bambini, S. Stenholm. Phys. Rev. A, 24, 898 (1981); D.H.J. O'Dell. The diffraction of
atoms by light. PhD thesis, Univ. of Bristol, 1998.
8. V.A. Bazhnyi, V.V. Konotop. Mod. Phys. Lett. B, 18, 627 (2004); J.H. Huckans et al.
arXiv:0901.1386v1 (2009).
ՇՐԵԴԻՆԳԵՐԻ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ ՄՈՏԱՎՈՐ ԼՈՒԾՈՒՄ ԿԱՆԳՈՒՆ ԱԼԻՔԻ
ԴԱՇՏՈՒՄ ԳՏՆՎՈՂ ԵՐԿՄԱԿԱՐԴԱԿ ԱՏՈՄԻ ՀԱՄԱՐ
Լ.Ա. ՀՈՎՀԱՆՆԻՍՅԱՆ, Գ.Ա. ՄՈՒՐԱԴՅԱՆ, Ա.Ժ. ՄՈՒՐԱԴՅԱՆ
Ներկայացված է մոտավոր հաշվարկի մեթոդ զրոյական քվազիիմպուլսով երկմակարդակ ատոմի կանգուն ալիքի դաշտում համընթաց շարժման էներգիական սպեկտրը և սեփական ալիքային ֆունկցիաները որոշելու համար: Իմպուլսային պատկերացման ալիքային
ֆունկցիաներն արտահայտված են այլասերված հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների
միջոցով անընդհատ սպեկտրի և Էրմիտի բազմանդամի միջոցով` դիսկրետ սպեկտրի դեպքերում: Էներգիական սպեկտրի յուրահատկությունն է մակարդակների անվերջ խտացումը
դիսկրետից անընդհատին անցնելիս, ինչպես դա տեղի է ունենում, օրինակ, կուլոնյան պոտենցիալի խնդրում:
APPROXIMATE SOLUTION OF THE SCHRӦDINGER EQUATION
FOR AN ATOM IN THE FIELD OF A STANDING WAVE
L.A. HOVHANNISYAN, G.A. MURADYAN, A.Zh. MURADYAN
We present an approximate calculation method to determine the energy spectrum and the
eigenfunctions of a two-level atoms' translational motion with zero quasi-momentum in the field of
a standing wave field. Wave functions in the momentum representation are given via confluent
hypergeometric functions in case of a continuous spectrum and via Hermite polynomials in case of
a discrete spectrum. At the transition point from discrete to continuous part of the spectrum the
energy levels become infinitely close, a behavior well-known, for example, for a Coulomb
potential case.
18