ЛЕКЦИЯ 4 Сложение поворотов. Векторы. Преобразование

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
ЛЕКЦИЯ 4
Сложение поворотов. Векторы. Преобразование векторов.
Матрица направляющих косинусов. Полярные и аксиальные
векторы. Инвариантность физических законов по отношению
к преобразованию координатных систем.
Сложение поворотов
Понятие вектора и основные операции векторной алгебры мы считаем
известными из курса физики средней школы. Так, вектор — это физическая величина, определяемая величиной и направлением, которые не
зависят от выбора системы координат. Он отличается от скаляра, который характеризуется только величиной (не зависящей от системы координат). К скалярным величинам относятся масса, энергия, температура,
электрический заряд, путь, пройденный частицей, и т. д. Примерами
векторов являются скорость, ускорение, сила, напряженность электрического и магнитного полей. В качеcтве важного дополнения к приведенному выше определению следует указать, что не всякие “направленные”
величины являются векторами, а только такие, которые складываются
геометрически, то есть по правилу параллелограмма.
Пример. Как мы видели, угол поворота тела вокруг какой-то оси
можно, казалось бы, рассматривать как вектор в том смысле, что он
имеет численное значение, равное углу поворота, и направление, совпадающее с направлением оси вращения, котоpое определяется по правилу буравчика. Однако два таких поворота не складываются по закону
сложения векторов, если только углы поворота не являются бесконечно
малыми.
В качестве примера рассмотрим два последовательных поворота на
угол π вокруг двух осей, пересекающихся под углом ϕ (Oa и Ob) (pис. 1).
При первом повороте на угол π вокруг оси Oa точка P переходит в P 0 ,
а P 0 — в P . При этом ось Oa остается на месте. При втором повороте
на угол π вокруг оси Ob P 0 → P и P → P 0 , то есть точки P и P 0
возвращаются на свои места.
Таким образом, после двух поворотов линия P P 0 (перпендикулярная
плоскости aOb) остается неподвижной и, следовательно, является осью
результирующего поворота. Для определения угла этого поворота заметим, что в результате первого поворота ось Oa остается на месте, а после
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
P
a
j
j
O
b
a
P
Рис. 1: Произведение двух поворотов.
второго — переходит в позицию Oa0 , образующую с Oa угол 2ϕ. Таким
образом, два последовательных поворота вокруг осей Oa и Ob представляют собой поворот вокруг оси P P 0 (на угол 2ϕ), перпендикулярной
плоскости ab. Если считать каждый поворот вектором, направленным
вдоль Oa и Ob соответственно, то “сумма” этих векторов должна лежать
в плоскости ab, в то время как вектор результирующего поворота перпендикулярен этой плоскости. В результате правило “сложения” этих двух
векторов (поворотов) не соответствует правилу параллелограмма. Более
того, заметим, что при изменении порядка поворотов (сначала вокруг
оси Ob, а затем вокруг оси Oa) получается поворот в противоположном
направлении, то есть результат этого “сложения” некоммутативен, он
зависит от порядка, в каком производятся эти повороты.1
Правилу сложения векторов подчиняются только повороты на бесконечно малый угол. Для доказательства этого факта рассмотрим два бесконечно малых поворота. Пусть первый поворот осуществляется на угол
δϕ1 , а второй на угол δϕ2 . В результате первого поворота радиус вектор
r получает приращение
δr1 = [δϕ1 × r],
(1)
а в результате второго поворота — приращение
δr2 = [δϕ2 × r],
(2)
где мы пренебрегли изменением радиус вектора r при первом повороте
как величиной второго порядка малости.
На самом деле правильно говорить не о сумме, а о произведении поворотов, так как матрицы
направляющих косинусов двух последовательных поворотов перемножаются (см. ниже).
1
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
Результирующее приращение δr есть сумма этих двух приращений
δr = δr1 + δr2 = [(δϕ1 + δϕ2 ) × r].
(3)
Как можно видеть, оно соответствует повороту на угол
δϕ = δϕ1 + δϕ2 ,
(4)
который равен векторной сумме двух бесконечно малых углов поворота.
Таким образом мы доказали, что бесконечно малый поворот действительно является вектором. Поэтому, например, угловые скорости ω 1 и
ω 2 можно складывать, в результате чего будем иметь вращение с угловой скоростью ω = ω 1 + ω 2 .
Векторы. Преобразование векторов
Как мы уже знаем, для задания вектора в трехмерном пространстве достаточно задать три числа — его проекции, например на оси декартовой
системы координат:
r = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 =
3
X
xi ni ≡ xi ni ,
(5)
i=1
где x1 , x2 , x3 — проекции, а n1 , n2 , n3 — единичные векторы (орты),
направленные вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. Последний
знак тождественного равенства отражает так называемое правило суммирования Эйнштейна — по дважды повторяющимся индексам (i в
данном случае) подразумевается суммирование 2 . Если мы повернем координатную систему, то в новой системе координат проекции того же
самого вектора r на оси новой системы будут уже другими, другими
будут и единичные орты n01 , n02 , n03 (pис. 2).
Вектор r можно записать и в новой системе координат как
r=
x01 n01
+
x02 n02
+
x03 n03
=
3
X
x0i n0i ≡ x0i n0i .
(6)
i=1
Оба выражения представляют собой один и тот же вектор, поэтому они
равны:
x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 = x01 n01 + x02 n02 + x03 n03 .
(7)
2
Индекс i называется немым индексом. Его можно обозначать любой буквой.
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
Z
r
Z
n3
n3
n1
Y
n2
n2
Y
n1
X
X
Рис. 2: Старая и новая (повернутая) системы координат.
Домножим скалярно это равенство последовательно на n1 , n2 и n3 и
воспользуемся взаимной ортогональностью векторов n1 , n2 и n3 :
x1 = x01 (n1 · n01 ) + x02 (n1 · n02 ) + x03 (n1 · n03 ),
x2 = x01 (n2 · n01 ) + x02 (n2 · n02 ) + x03 (n2 · n03 ),
x3 = x01 (n3 · n01 ) + x02 (n3 · n02 ) + x03 (n3 · n03 ).
(8)
В результате мы получили соотношение, выражающее старые проекции
через новые. Можно было бы выразить новые проекции через старые.
Для этого надо вышеупомянутое равенство r в двух системах координат (7) домножить скалярно на n01 , n02 и n03 . Например, таким образом
получаем
x01 = x1 (n01 n1 ) + x2 (n01 n2 ) + x3 (n01 n3 )
(9)
и аналогично два других равенства.
Коэффициенты
c0 ),
αik = ni n0k = cos (ik
(10)
характеризующие ориентацию новой системы координат относительно
старой, называются направляющими косинусами. Используя их, получим
x1 = x01 α11 + x02 α12 + x03 α13 ,
x2 = x01 α21 + x02 α22 + x03 α23 ,
x3 = x01 α31 + x02 α32 + x03 α33 .
(11)
Если использовать правило суммирования Эйнштейна, то эти три равенства можно записать компактно в виде одного равенства
xi = αik x0k .
4
(12)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
Здесь i — это так называемый свободный индекс, который пробегает
три значения, i = 1, 2, 3. По немому индексу k производится суммирование от 1 до 3. Обратное преобразование столь же компактно запишется
в виде
x0i = αki xk .
(13)
Вектором A мы будем называть физическую величину, характеризуемую
тройкой чисел A1 , A2 , A3 , которые при повороте координатной системы
преобразуются по закону (12):
Ai = αik A0k ,
(14)
то есть так же, как координаты x1 , x2 , x3 .
Матрица направляющих косинусов
Сам поворот системы координат характеризуется матрицей направляющих косинусов (или просто матрицей поворота)


α11 α12 α13
(15)
α
b =  α21 α22 α23  .
α31 α32 α33
Выясним свойства элементов этой матрицы. Для этого выразим старые орты через новые:
n1 =
α11 n01
+
α12 n02
+
α13 n03
=
3
X
α1i n0i = α1i n0i .
(16)
i=1
Умножим это равенство скалярно на n1 :
1 = α11 (n1 · n01 ) +α12 (n1 · n02 ) +α13 (n1 · n03 ) .
| {z }
| {z }
| {z }
α11
α12
(17)
α13
Иными словами,
2
2
2
α11
+ α12
+ α13
= 1,
(18)
то есть сумма квадратов направляющих косинусов первой строки матрицы α
b равна единице. Аналогичным образом записав
n2 = α21 n01 + α22 n02 + α23 n03 ,
(19)
можно после скалярного умножения этого равенства на n2 получить
2
2
2
α21
+ α22
+ α23
=1
5
(20)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
и таким же образом —
2
2
2
α31
+ α32
+ α33
= 1,
(21)
то есть сумма квадратов элементов каждой строки матрицы α
b равна
единице. Точно так же можно доказать, что сумма квадратов элементов
каждого столбца матрицы α
b равна единице. Например,
2
2
2
= 1.
α11
+ α21
+ α31
(22)
Все эти 6 равенств выражают собой свойство нормировки строк и
столбцов матрицы αik .
Теперь возьмем равенство
n1 = α11 n01 + α12 n02 + α13 n03
(23)
и умножим его скалярно на вектор n2 , ортогональный вектору n1 :
0 = α11 (n2 · n01 ) + α12 (n2 · n02 ) + α13 (n2 · n03 ),
(24)
или
0 = α11 α21 + α12 α22 + α13 α23 .
(25)
Таким образом, попарное произведение элементов первой строки матрицы повоpота на вторую и последующее суммирование дают нуль. Точно
так же можно показать, что нуль дадут любые два попарные произведения разных строк друг на друга. Об этом свойстве говорят как о взаимной ортогональности строк матрицы α
b. Аналогичным образом можно
доказать ортогональность столбцов матрицы α
b. Все эти свойства, используя правило суммирования Эйнштейна, можно коротко записать в
виде
αik αjk = αki αkj = δij .
(26)
Первое равенство выражает собой ортогональность и нормировку строк,
а второе, соответственно, столбцов. Свободные индексы i и j — два произвольных индекса из набора 1, 2, 3, а по дважды повторяющимся (немым)
индексам (k) в формуле (26) подразумевается суммирование. Символ δij ,
определяемый равенством
½
1, i = j,
(27)
δij =
0, i 6= j,
— это так называемый дельта-символ Кронекера. Символ Кронекера
также можно записать в виде матрицы


1 0 0
δij =  0 1 0  .
(28)
0 0 1
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
У нее на диагонали стоят единицы, а все остальные (недиагональные)
элементы равны нулю. Очевидно, что так же выглядит матрица тождественного преобразования, когда новая координатная система совпадает со старой.
Ортогональность и нормировка строк и столбцов матрицы αik становится очевидной, если принять во внимание, что i-ая строка матрицы
представляет из себя проекции единичного вектора ni на оси X 0 , Y 0 , Z 0
декартовой системы координат. Аналогичным образом дело обстоит и
со столбцами матрицы. Действительно, i-й столбец матрицы αik представляет собой проекции единичного вектора n0i на оси X, Y , Z. Тогда
ортогональность и нормировка строк и столбцов матрицы αik выразится
в виде двух равенств
ni · nj = δij ,
и n0i · n0j = δij ,
(29)
эквивалентных равенствам (26) и отражающих собой ортогональность и
нормировку единичных ортов для каждой из двух декартовых систем
координат.
Пользуясь свойствами матрицы поворота α
b, легко доказать, что скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат:
A · B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 ≡ Ai Bi .
(30)
Действительно, старые и новые проекции связаны соотношениями
Ai = αik A0k ,
Bi = αij Bj0 .
(31)
Умножим их друг на друга и воспользуемся ортогональностью столбцов
матрицы α
b:
Ai Bi = αik αij A0k Bj0 = δkj A0k Bj0 = A0j Bj0 .
(32)
В результате мы получили, что Ai Bi = A0j Bj0 , то есть скалярное произведение A · B инвариантно относительно поворота системы координат,
то есть является скаляром.
Найдем вид матрицы поворота α
b для одного частного случая, когда
система координат поворачивается (по часовой стрелке) на угол ϕ вокруг
c0 ), то, глядя на рис. 3, легко находим
оси Z. Поскольку αik = cos(ik


cos ϕ − sin ϕ 0
α
b(ϕ) =  sin ϕ cos ϕ 0  .
(33)
0
0
1
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
Z,Z
Y
j
Y
j
X
X
Рис. 3: Поворот системы координат на угол ϕ вокруг оси z.
Тот, кто знаком с теорией определителей, легко заметит, что определитель этой матрицы равен единице, т. е. det α
b = 1. Можно доказать, что
это справедливо и в общем случае произвольного поворота и является
тривиальным следствием сохранения объема тела при его повороте как
целого (см. Приложение 1).
Еще одним важным свойством матрицы поворота αik является то, что
она оставляет неизменной (или инвариантной) саму ось поворота. Направление этой оси в пространстве определяется из условия, что радиусвектор r, направленный из начала координат вдоль этой оси (в ту или
другую сторону), имеет одни и те же проекции на оси старой и новой
системы координат:
xi = αik xk ,
или (αik − δik )xk = 0.
(34)
Как доказывается в математике, эта однородная, линейная система из
трех уравнений имеет нетривиальное (т.е. ненулевое) решение, если определитель матрицы (αik − δik ) обращается тождественно в ноль, т. е.
¯
¯
¯ α11 − 1
¯
α
α
12
13
¯
¯
¯ α21
¯ = 0.
α
−
1
α
(35)
22
23
¯
¯
¯ α31
¯
α32
α33 − 1
Очевидно, что матрица поворота (33) удовлетворяет этому условию.
Можно доказать, что этому условию удовлетворяет и произвольная матрица поворота αik (см. Приложение 2). Это в частности означает, что
две ортогональные системы координат, произвольным образом ориентированные друг относительно друга, но имеющие общее начало, можно
всегда совместить друг с другом одним поворотом на некоторый угол,
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
вокруг некоторой оси, проходящей через это общее начало. Необходимо лишь, чтобы эти две ортогональные системы были одного типа, т. е.
были обе правые или обе левые. Это утверждение составляет суть так
называемой теоремы Эйлера, которая нам понадобится в дальнейшем
при изучении вращения твердого тела.
Наконец остановимся на случае, когда преобразование представляет
собой два последовательных поворота вокруг разных осей на разные углы. Пусть один поворот определяется матрицей направляющих косинусов α
b(1)
(1)
(36)
xi = αik x0k ,
а другой — матрицей α
b(2)
(2)
(37)
x0k = αkl x00l .
В итоге результирующее преобразование имеет вид
(1) (2)
(1)
xi = αik x0k = αik αkl x00l .
(38)
Таким образом, матрица результирующего поворота α
b(1,2) определяется
произведением матриц α
b(1) · α
b(2)
(1,2) 00
(1,2)
(1) (2)
xl , где αil = αik αkl .
(1,2)
αil произведения матриц α
b(1) ·
xi = αil
(39)
Матричный элемент
α
b(2) определяется
при этом как “скалярное произведение” i-ой строки матрицы α
b(1) на l-ый
столбец матрицы α
b(2) . Заметим, что в общем случае это произведение
некоммутативно, т. е. его результат зависит от порядка в котором производятся повороты.
Полярные и аксиальные векторы
До сих пор речь шла о поворотах систем координат. Однако, как известно, существует две системы координат, правая и левая. Очевидно, что
при поворотах правая система координат всегда остается правой, а левая — левой. Но существуют такие преобразования координат, которые
правую систему преобразуют в левую и наоборот. Например, это может
быть инверсия одной из осей, y → −y (pис. 4).
Очевидно, что при этом между проекциями одного и того же радиусвектора r в новой и старой координатных системах имеются следующие
соотношения:


x = x0 ,
1 0 0
y = −y 0 ,
α
b =  0 −1 0  .
(40)
0
z=z,
0 0 1
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
Z
Z
r
r
Y
Y
X
X
Рис. 4: Преобразование компонент вектора при инверсии одной из осей.
c0 ) = −1, то координаты радиус-вектора при инверсии
Поскольку cos(yy
одной из осей преобразуются по тем же правилам, что и при поворотах системы координат. Но это оказывается справедливым не для всех
векторов.
Рассмотрим, например, вектор угловой скорости ω, описывающий вращение в положительном направлении вокруг оси z (рис. 5). Изменим
Z
w
Y
X
Рис. 5: Вектор угловой скорости ω.
теперь знак одной из осей, например оси y. Это можно себе представить как отражение системы координат в зеркале, плоскость которого
перпендикулярна этой оси (рис. 6).
Однако очевидно, что при отражении в зеркале изменяется и направление вращения. Из вращения по часовой стрелке оно превратилось во
вращение против часовой стрелки, то есть изменился знак проекции вектора ω на ось z,
ωz = −ωz0 ,
(41)
в то время как координата z обычного радиус-вектора осталась бы прежней,
z = z0.
(42)
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
зеркало
Z
Z
w
w
Y
Y
X
X
Рис. 6: При таком зеркальном отражении направление вращения меняется на противоположное!
Это означает, что радиус-вектор точки r и угловая скорость ω преобразуются по-разному, если поменять правую систему координат на левую.
В связи с этим радиус-вектор r называют полярным вектором (или
обычным вектором), а вектор угловой скорости ω — аксиальным вектором (или псевдовектором). При поворотах системы координат оба вектора преобразуются одинаковым образом:
xi = αik x0k ,
ωi = αik ωk0 .
(43)
Но если матрица α
b не только поворачивает, но и одновременно переводит
правую систему координат в левую (и наоборот), то законы преобразования этих двух векторов не совпадают:
xi = αik x0k ,
ωi = −αik ωk0 ,
(44)
отличаясь знаком 3 .
Примерами полярных векторов в физике являются радиус-вектор, скорость, ускорение, сила:
dv
dr
, a=
, F = ma.
(45)
dt
dt
Примеры аксиальных векторов: вектор поворота на бесконечно малый
угол, угловая скорость ω, напряженность магнитного поля H, момент
импульса M.
При инверсии системы координат (то есть при изменении знака всех
осей) правая система переходит в левую и полярные векторы меняют
r,
3
v=
Очевидно, что в этом случае матрицу α
b нельзя называть матрицей поворота!
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
свой знак (знак всех своих проекций):
r
v
a
F
→
→
→
→
−r,
−v,
−a,
−F,
(46)
а аксиальные векторы при этом не изменяются (потому что их закон
преобразования отличается знаком минус):
ω → ω,
(47)
H → H.
Эта разница в поведении при инверсии позволяет отличать векторы и
псевдовекторы друг от друга.
Инвариантность физических законов по отношению к преобразованию координатных систем
В физике все физические законы должны выражаться в инвариантной
форме, то есть не должны зависеть от выбора системы координат. Это, в
частности, означает, что невозможно, например, равенство аксиального
и полярного векторов, потому что оно будет выглядеть по-разному в левой и правой системах координат. Например, если некий закон в правой
системе выглядит как
акс = пол,
(48)
то в левой системе — как
акс = −пол.
(49)
Таким образом, физический закон выглядит по-разному в левой и правой системах координат, в природе же такого различия не существует.
Левая система ничем не хуже правой. По той же причине нельзя складывать (вычитать) аксиальный и полярный векторы, так же как нельзя
складывать величины разной размерности, например секунды и граммы.
Поэтому всегда при записи какого-либо векторного равенства необходимо проверять, не изменяется ли оно при переходе от правой системы
координат к левой. Поскольку правая система координат переходит в
левую при инверсии, а закон преобразования векторов при инверсии выглядит особенно просто,
пол → −пол (знак изменяется),
(50)
акс → акс (знак не изменяется),
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
то нужно к обеим частям равенства применить инверсию.
Например, исследуем таким образом равенство
v = [ω × r]
(51)
для скорости движения материальной точки, радиус-вектор которой r
вращается с угловой скоростью ω. Поскольку v — полярный вектор (производная от полярного вектора r по времени), то при инверсии левая
часть равенства меняет знак. Чтобы равенство осталось инвариантным
по отношению к инверсии, необходимо, чтобы и правая часть [ω × r] изменила знак при инверсии. Угловая скорость при инверсии не изменяет
свой знак (это аксиальный вектор), а радиус-вектор r — изменяет (это
полярный вектор). Поэтому
[ω × r] → [(ω) × (−r)] = −[ω × r],
(52)
то есть и правая часть нашего равенства изменила знак при инверсии, а
следовательно, это тоже полярный вектор. Таким образом, после инверсии системы координат равенство осталось прежним,
v = [ω × r],
(53)
и мы, следовательно, имеем равенство двух полярных векторов.
Из этого рассуждения можно легко прийти к выводу, что векторное
произведение двух полярных векторов есть вектор аксиальный,
[пол1 × пол2 ] = акс,
(54)
поскольку при инверсии левая часть знака не изменяет:
[(−пол1 ) × (−пол2 )] = [пол1 × пол2 ] .
(55)
Векторное произведение двух аксиальных векторов также является аксиальным вектором.
А что будет, если скалярно перемножить между собой полярный и
аксиальный векторы?
пол · акс = псевдоскаляр.
(56)
Полученная величина, очевидно, инвариантна к любым пространственным поворотам системы координат, то есть можно сказать, что она является скалярной. Однако это не совсем обычный скаляр, так как он
изменяет знак при инверсии системы координат. Такую величину называют псевдоскаляром. Например, если бы существовал элементарный
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
магнитный заряд (его называют магнитным монополем или монополем
Дирака), то он был бы псевдоскалярной величиной и отличался бы знаком в левой и правой системах координат. Таким образом, скалярные
величины бывают двух типов: истинный скаляр, инвариантный к любым преобразованиям системы координат (не только к вращениям, но и
к инверсии), и псевдоскаляр, инвариантный к вращениям и меняющий
знак, когда правая система координат переходит в левую (и наоборот).
В заключении, пользуясь правилом суммирования Эйнштейна, приведем полезную формулу для векторного произведения двух векторов.
Пусть, например, это будет хорошо знакомая нам формула v = [ω × r].
Тогда, как нетрудно убедиться, ее можно представить в виде
vi = eikl ωk xl ,
(57)
где i — свободный индекс, а по двум немым индексам k и l в правой
части производится суммирование. Величина eikl — представляет собой
так называемый символ Леви-Чивиты. Его компоненты с двумя или с
тремя совпадающими индексами равны нулю, все остальные компоненты
равны плюс или минус единице. При перестановке любых двух индексов
величина eikl меняет знак:
e123 = e231 = e312 = −e213 = −e321 = −e132 = 1,
eikl = 0,
при всех прочих сочетаниях значков.
(58)
Нетрудно видеть, что циклическая перестановка значков не меняет значение компонент символа eikl .
Приложение 1
Действительно, пользуясь определением (10), матрицу поворота (15) можно представить в виде


n1x0 n1y0 n1z 0
α
b =  n2x0 n2y0 n2z 0  ,
(59)
n3x0 n3y0 n3z 0
где строками матрицы являются проекции ортов n1 , n2 , n3 на оси X 0 ,
Y 0 , Z 0 повернутой системы координат. Тогда определитель этой матрицы
представляет собой смешанное произведение единичных ортов
¯
¯
¯ n1x0 n1y0 n1z 0 ¯
¯
¯
det α
b = ¯¯ n2x0 n2y0 n2z 0 ¯¯ = n1 · [n2 × n3 ] = n1 · n1 = 1
(60)
¯ n3x0 n3y0 n3z 0 ¯
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
и действительно равен единице, поскольку [n2 × n3 ] = n1 .
Приложение 2
Действительно, определитель матрицы αik − δik
виде
¯
¯ n1x0 − n01x0 n1y0 − n01y0
¯
det(αik − δik ) = ¯¯ n2x0 − n02x0 n2y0 − n02y0
¯ n3x0 − n0 0 n3y0 − n0 0
3x
3y
можно представить в
n1z 0 − n01z 0
n2z 0 − n02z 0
n3z 0 − n03z 0
¯
¯
¯
¯,
¯
¯
(61)
поскольку по определению проекции ортов n01 , n02 и n03 на оси X 0 , Y 0 , Z 0
повернутой системы координат равны
n01x0 = 1, n01y0 = 0, n01z 0 = 0,
n02x0 = 0, n02y0 = 1, n02z 0 = 0,
n03x0 = 0, n03y0 = 0, n03z 0 = 1.
(62)
В свою очередь определитель (61) выражается через смешанное произведение векторов
det(αik − δik ) = (n1 − n01 ) · [(n2 − n02 ) × (n3 − n03 )].
(63)
Непосредственными вычислениями убеждаемся, что это произведение
равно нулю:
(n1 − n01 ) · [(n2 − n02 ) × (n3 − n03 )] =
(n1 − n01 ) · ([n2 × n3 ] − [n02 × n3 ] − [n2 × n03 ] + [n02 × n03 ]) =
(n1 − n01 ) · (n1 − [n02 × n3 ] − [n2 × n03 ] + n01 ) =
n1 · n1 − n1 · [n02 × n3 ] − n1 · [n2 × n03 ] + n1 · n01 −
−n01 · n1 + n01 · [n02 × n3 ] + n01 · [n2 × n03 ] − n01 · n01 =
−n02 · [n3 × n1 ] − n03 · [n1 × n2 ] + n3 · [n01 × n02 ] +
+n2 · [n03 × n01 ] = −n02 · n2 − n03 · n3 + n3 · n03 + n2 · n02 = 0.
(64)
Это в частности означает, что все три вектора n1 − n01 , n2 − n02 и n3 − n03
лежат в одной плоскости. Заметим, что последнее условие фактически
эквивалентно условию (34). Действительно, как мы уже говорили, единичный вектор l направленный вдоль оси поворота имеет одинаковые
проекции на оси старой и новой систем координат
l = αn1 + βn2 + γn3 = αn01 + βn02 + γn03 .
15
(65)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
Это означает, что
α(n1 − n01 ) + β(n2 − n02 ) + γ(n3 − n03 ) = 0.
(66)
Последнее равенство может выполняться тогда и только тогда, когда
вектора n1 − n01 , n2 − n02 и n3 − n03 лежат в одной плоскости.
Задачи
1. Найдите закон преобразования компонент вектора при повороте системы координат на угол ϕ вокруг оси Z.
b для поворота системы
2. Найдите матрицу направляющих косинусов α
координат (по часовой стрелке) на угол ϕ вокруг оси Y . Вокруг оси
X.
Ответ:




cos ϕ 0 sin ϕ
1
0
0
α
bY = 
0
1
0 ,
α
bX =  0 cos ϕ − sin ϕ  .
− sin ϕ 0 cos ϕ
0 sin ϕ cos ϕ
3. Доказать, что 3 последовательных поворота на угол 180◦ вокруг осей
X, Y , Z соответствуют тождественному преобразованию.
4. Какому повороту системы координат соответствуют 3 последовательных поворота на угол 90◦ вокруг осей: а) X, Y , Z по часовой
стрелке? б) Z, Y , X против часовой стрелки?
Ответ: а) Повороту на угол 90◦ вокруг оси Y по часовой стрелке. б)
Повороту на угол 90◦ вокруг оси Y против часовой стрелки.
5. Какому повороту системы координат соответствует матрица преобразования


0 1 0
α
b =  0 0 1 ?
1 0 0
Как выглядит матрица обратного преобразования?
Ответ: Матрица α
b соответствует повороту куба с ребрами, направленными вдоль осей X, Y , Z, вокруг диагонали куба на угол 120◦
по часовой стрелке. Матрица обратного преобразования является
транспонированной матрицей прямого преобразования, α
b−1 = α
bT :


0 0 1
α
b−1 =  1 0 0  .
0 1 0
16
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
6. Докажите, что матрица поворота системы координат на бесконечно
малый угол δϕ определяется выражением
αik = δik − eikl δϕl .
7. Как выглядит матрица α
b при инверсии?
Ответ:


−1 0 0
α
b =  0 −1 0  .
0 0 −1
8. Покажите, что операция инверсии эквивалентна повороту на 180◦
вокруг произвольной оси и последующему зеркальному отражению
в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
9. Найдите закон преобразования компонент вектора угловой скорости
ωx , ωy и ωz при зеркальном отражении в плоскости XY .
Ответ: ωx = −ωx0 , ωy = −ωy0 , ωz = ωz0 .
10. Какому преобразованию системы координат соответствует матрица


0 1 0
α
b =  1 0 0 ?
0 0 1
Как при этом преобразуются компоненты вектора угловой скорости
ω?
Ответ: матрица α
b соответствует отражению в плоскости, проходящей через ось Z, и пересекающей плоскость XY по биссектрисе угла
XY . Компоненты вектора угловой скорости преобразуются при этом
следующим образом: ωx = −ωy0 , ωy = −ωx0 , ωz = −ωz0 .
11. Используя матрицу поворота (33), докажите, что компоненты векторного произведения двух полярных векторов [A × B]i действительно преобразуются как вектор при повороте системы координат
на угол ϕ вокруг оси Z.
Анекдот
Однажды вечером Резерфорд зашел в лабораторию. Хотя время было
позднее, в лаборатории склонился над приборами один из его многочисленных учеников.
— Что вы делаете так поздно? — спросил Резерфорд.
17
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Кинематика
Лекция 4
— Работаю,— последовал ответ.
— А что вы делаете днем?
— Работаю, разумеется,— отвечал ученик.
— И рано утром тоже работаете?
— Да, профессор, и утром работаю,— подтвердил ученик, рассчитывая
на похвалу из уст знаменитого ученого.
Резерфорд помрачнел и раздраженно спросил: — Послушайте, а когда
же вы думаете?
18