Вариант №2 С1 Решите систему уравнений

Вариант №2 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪3 y +1 = 2 cos x
⎨ −y
⎪⎩3 = 4 cos x + 1
Решаем подстановкой
3 − y = 2 ⋅ 3 y +1 + 1; 3 y = t > 0 ;
1
1
1
= 6 t + 1; → 6 t 2 + t − 1 = 0 ; → t 1,2 = ; −
t
3
2
Корень t = −
Тогда
3y =
1
; →
3
Находим х.
Ответ:
1
y
не подходит, т.к. 3 > 0
2
x=±
y = −1
2 cos x = 1; → cos x =
π
3
1
2
→ x=±
π
3
+ 2πn , n ∈ Z
+ 2πn , n ∈ Z ; y = −1;
Вариант №3 С1 Решите систему уравнений.
⎧sin x = y − 3
⎨
⎩cos x = y − 2
Используем основное тригонометрическое тождество.
( y − 3 )2 + ( y − 2 )2 = 1
2 y 2 − 10 y + 13 = 1
y2 − 5y + 6 = 0
y = 2; 3
⎧sin x = −1
π
y = 2 , то ⎨
→ x = − + 2πn , n ∈ Z
2
⎩cos x = 0
⎧sin x = 0
→ x = 2πk , k ∈ Z
Если y = 3 , то ⎨
⎩cos x = 1
Если
Ответ:
π
+ 2πn , n ∈ Z ; y = 2
2
x = 2πk , k ∈ Z ; y = 3
x=−
http://alexlarin.narod.ru
Вариант №4 С1 Решите систему уравнений.
⎧sin y = x − 6
⎨
⎩cos y = x − 7
Используем основное тригонометрическое тождество.
( x − 6 )2 + ( x − 7 )2 = 1
2 x 2 − 26 x + 85 = 1
x 2 − 13 y + 42 = 0
x = 6; 7
⎧sin y = 1
π
→ y = + 2πn , n ∈ Z
2
⎩cos y = 0
⎧sin y = 0
→ y = π + 2πk , k ∈ Z
Если y = 6 , то ⎨
⎩cos y = −1
Если x = 7 , то ⎨
Ответ:
x = 7; y =
π
2
+ 2πn , n ∈ Z ;
x = 6 ; y = π + 2πk , k ∈ Z ;
Вариант №5 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪2 x = sin y
⎨ −x
⎪⎩2 = 2 sin y + 1
Решаем подстановкой, обозначив 2 = t > 0
x
1
= 2t + 1
t
2t 2 + t − 1 = 0; t = −1;
Т.к. t > 0 , то t =
1
2
1
2
→ x = −1
Найдем у.
→
y = (− 1)
Ответ: x = −1;
y = (− 1)
sin y =
1
2
n
π
6
n
π
6
+ πn , n ∈ Z
+ πn , n ∈ Z
http://alexlarin.narod.ru
Вариант №6 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪81 sin y − 30 ⋅ 9 sin y + 81 = 0
⎨
⎪⎩ x + 2 cos y = 0
Заметим, что второе уравнение системы может иметь решения только при cos y ≤ 0 .
Решим первое уравнение, обозначив
9 sin y = t > 0 .
t 2 − 30t + 81 = 0 ; → t = 27 ;3 → 9 sin y = 3 2 sin y = 27 ;3 → 2 sin y = 3;1
3
1
> 1; sin y = ;
2
2
π
5π
y = + 2πk , k ∈ Z ; y =
+ 2πn , n ∈ Z
6
6
5π
Т.к. cos y ≤ 0 , то y =
+ 2πn , n ∈ Z
sin y ≠
6
Находим х.
5π
3
;
+ 2πn , n ∈ Z → cos y = −
6
2
3
x = 2⋅
; → x = 3;
2
y=
Ответ:
x = 3; y =
5π
+ 2πn , n ∈ Z
6
Вариант №7 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪2 sin 2 y + 3 sin y − 2 = 0
⎨ 2
⎪⎩ x − x + 4 cos y = 0
Заметим, что второе уравнение системы может иметь решения только при
Решим первое уравнение, обозначив sin y = t .
cos y ≤ 0 .
1
2t 2 + 3t − 2 = 0; → t = −2; ;
2
π
5π
1
+ 2πn , n ∈ Z
sin y ≠ −2 < −1; sin y = ; y = + 2πk , k ∈ Z ; y =
6
2
6
С учетом того, что
y=
cos y ≤ 0 получаем:
5π
+ 2πn , n ∈ Z
6
Находим х.
x2 − x − 2 3 = 0
x 2 − x = 12 → x 2 − x − 12 = 0 → x = 4;−3
Ответ:
x = 4; y =
5π
5π
+ 2πn , n ∈ Z ; x = −3; y =
+ 2πn , n ∈ Z
6
6
http://alexlarin.narod.ru
Вариант №8 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪3 sin x = cos 2 x + 1
⎨ 2
⎪⎩ y + 6 y + 6 cos x = 0
Заметим, что второе уравнение системы может иметь решения только при cos x ≤ 0 .
Решим первое уравнение, обозначив sin x = t .
3 sin x = 1 − 2 sin 2 x + 1
1
2t 2 + 3t − 2 = 0 → t = −2; ;
2
5π
1
π
sin x ≠ −2 < −1; sin x = ; x = + 2πk , k ∈ Z ; x =
+ 2πn , n ∈ Z
2
6
6
С учетом того, что cos x ≤ 0 получаем:
5π
x=
+ 2πn , n ∈ Z
6
Находим y.
y 2 + 6 y − 3 3 = 0;
y 2 + 6 y = 27 ; →
Ответ: x =
y 2 + 6 y − 27 = 0 ; →
y = −9 ;3
5π
5π
+ 2πn , n ∈ Z ; y = −9; x =
+ 2πn , n ∈ Z ; y = 3;
6
6
Вариант №9 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪ 2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 16 = x − 2 y
⎨ 2
⎪⎩ y − 2 xy + 16 = 0
Разберемся с первым уравнением.
2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 16 = x − 2 y
2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 16 = x 2 − 4 xy + 4 y 2
x 2 − 16 = 0
x = 4;−4;
Найдем у из второго уравнения:
⎡⎧ x = 4
⎡⎧ x = 4
⎢⎨ 2
⎢⎨
⎢⎩ y − 8 y + 16 = 0
⎢⎩ y = 4
→
⎢ x = −4
⎢⎧ x = −4
⎢⎧⎨
⎢⎨
⎢⎣⎩ y 2 + 8 y + 16 = 0
⎢⎣⎩ y = −4
Само собой, надо сделать проверку. При подстановке в первое уравнение видно, что первая пара
корней не подходит.
Ответ: x = −4 ;
y = −4;
http://alexlarin.narod.ru
Вариант №10 С1 Решите систему уравнений.
⎧⎪ 2 y 2 − 2 xy + x 2 − 25 = y − x
⎨ 2
⎪⎩ x − 4 xy + 100 = 0
Разберемся с первым уравнением.
2 y 2 − 2 xy + x 2 − 25 = y − x
2 y 2 − 2 xy + x 2 − 25 = y 2 − 2 xy + x 2
y 2 − 25 = 0
y = 5;−5
Найдем x из второго уравнения:
⎡⎧ y = 5
⎡⎧ x = 10
⎢⎨ 2
⎢⎨
⎢⎩ x − 20 x + 100 = 0
⎢⎩ y = 5
→
⎢ y = −5
⎢⎧ x = −10
⎢⎧⎨
⎢⎨
⎢⎣⎩ x 2 + 20 x + 100 = 0
⎣⎢⎩ y = −5
Само собой, надо сделать проверку. При подстановке в первое уравнение видно, что первая пара
корней не подходит.
Ответ: x = −10 ;
y = −5;
http://alexlarin.narod.ru