ITE_2004_3_Vasilenko_Modelirovaniye sovmestnoy

ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
_________________________________________________________________________________
УДК 628.394.57:577.472
Василенко С.Л.
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВМЕСТНОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ
БИОГЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И РАСТВОРЕННОГО КИСЛОРОДА
ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА ВОДЫ
Азот и фосфор – важнейшие биогенные элементы, содержание в воде которых
влияет на состояние биоценоза, процессы самоочищения и в целом определяет биологическую продуктивность природных вод. Основными процессами, определяющими их
круговорот и распределение в воде, являются фотосинтез и разложение органических
веществ [1].
При изучении вопросов количественной оценки и прогнозирования качества воды, евтрофирования (повышения биопродуктивного потенциала) водных объектов эти
биогенные элементы включаются как компоненты в экологические модели разной
сложности, представляемые обычно в виде систем дифференциальных уравнений в
частных производных [2-4].
Для решения задач оптимизации и прогнозирования качества воды в области
охраны вод наиболее приемлемыми представляются модели в виде аналитических зависимостей, вид которых отражает существенные причинно-следственные связи реальных внутриводоемных процессов, а параметры оцениваются по данным натурных измерений с применением статистических методов. В этой связи практический интерес
представляет модель совместной последовательно-параллельной трансформации любого конечного числа веществ в виде формульных соотношений [5] и, в частности, ее статистическая модификация для моделирования азотосодержащих компонент [6].
Целью настоящей работы является дальнейшее развитие принятых основных
направлений [5, 6], но уже с учетом совместной трансформации в водной среде соединений азота, фосфора, а также изменения растворенного кислорода и биохимического
потребления кислорода – показателя косвенной оценки суммарного содержания в воде
легкоокисляющихся органических веществ.
За основу примем относительно несложную, но одновременно практически важную модель взаимосвязей компонент [2], приемлемую для выполнения инженерных
расчетов (рис. 1).
БПК
C
Vc
1 k'12
ac k'46
РОВ
N7
NO2
k'12
N1
N2
ko14
ВОВ
N6
k'r
2 k'23
NH4
k'71
k67
NO3
k'23
 4
k'46/n
Phy
N4
ap
ap k'46
o
(koРмин
14+k 34)
Рорг
Vp
Р1
N3
ko34
k'46
Vn
Донные
отложения
РК
S
k'c
k'p
p k'p
Р2
Рисунок 1 – Схема взаимосвязи компонент модели
По данной схеме растворенное органическое вещество (РОВ), которое образуется в результате трансформации взвешенного органического вещества (ВОВ) и выделений фитопланктона (Phy), в результате нитрификации преобразуется последовательно в
аммонийный (NH4), нитритный (NO2) и нитратный (NO3) азот. Фитопланктон потребИнтегрированные технологии и энергосбережение 3’2004
59
ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
_________________________________________________________________________________
ляет NH4, NO3, минеральный фосфор (Рмин), который может быть лимитирующим
фактором для его роста, а в результате жизнедеятельности выделяет органический
фосфор (Рорг). ВОВ и Рорг подвержены процессам осаждения или взмучивания. На
протекание внутриводных процессов влияют внешние источники биогенных и взвешенных веществ, в частности, донные отложения. Формирование качества воды сопровождаются также изменением содержания растворенного кислорода в зависимости от
соотношения процессов продуцирования (фотосинтеза) и потребления (дыхания организмов, деструкции органических веществ).
В модели приняты следующие допущения, которые не влияют на суть излагаемого подхода и могут быть сравнительно легко учтены при повышении уровня сложности модели:
 не учитываются нитрифицирующие бактерии типа Heterotrophs, Nitrosomonas,
Nitrobacter, которые не подлежат стандартным измерениям;
 не учитывается зоопланктон, поскольку его продуктивность обычно не превышает 10 % от продуктивности фитопланктона [1], и он вносит наименьший вклад в массу и деструкцию органического вещества;
 фитопланктон характеризуется как гомогенная масса с осредненными характеристиками.
Система дифференциальных уравнений согласно принятой схеме взаимосвязей
компонент имеет вид (для удобства сопоставления результатов нумерация компонент
сохранена, как в [2]):
 N7  k12
 N1  k14 N4  f1 ;
LN1  k71
 N1  k23
 N2  f 2 ;
LN2  k12
 N2  k34 N4  f3 ;
LN3  k23
 N4  f 4 ;
LN4  (k14  k34 ) N4  k46
 N4  k67
 N6  Vn  f 2 ;
LN6  k46
 N6  k71
 N7  f 7 ;
LN7  k67
 N4  k p P1  Vp  f p1 ;
LP1  a p k46
(1)
LP2  k p P1  a p (k14  k34 ) N4  f p 2 ;
LC  ac k4 N4  kcC  Vc  f c ;

 N1   2 k23
 N 2   p k p P1  4 k46
 N 4  kr (Sn  S )  f s ,
LS  kcC  1k12
n
где
L
d
dt
–
дифференциальный
оператор,
k 4 
k f  4 N 
(ks 4  N )
m p ,   1, 3
;
Vn  kcd ( N6  kcnV ) , Vp  a p kcpVn , Vc  kcd (C  kccV ) ; m p  P2 /(ksp  P2 ) ; азот: N1 – аммонийный (NH4), N2 – нитритный (NO2), N3 – нитратный (NO3), N4 – фитопланктона
(Phy), N6 – взвешенного органического вещества (ВОВ), N7 – растворенного органического вещества (РОВ); P1 – фосфор органический (Рорг), P2 – фосфор минеральный
(Рмин), С – полное биохимическое потребление кислорода (БПК), S – растворенный
кислород (РК); N  – усредненные концентрации компонент на некотором квазистационарном промежутке времени; k'iu – коэффициенты, характеризующие скорость транс60
Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004
ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
_________________________________________________________________________________
формации i–той компоненты в u-тую или скорость отмирания фитопланктона; 4, ks4 –
максимальная скорость роста популяций фитопланктона и коэффициенты полунасыщения по кинетике Михаэлиса-Ментен, Моно (ksp – по фосфору); 4 – разница между
коэффициентом фотосинтетической активности 4 и интенсивности потребления кислорода фитопланктоном на дыхание o4, kf – коэффициент освещенности; kcd – коэффициент седиментации – процесса оседания мелких взвешенных частиц под действием
гравитационного поля; V – равновесная концентрация взвесей, kcn, kcp, kcc – коэффициенты связи органического азота, фосфора и БПК с этими фракциями; 1 2 p – стехиометрические коэффициенты (удельный расход РК на окисление соответствующего вещества); ap = 0,011/n, ac = 1,5/n – коэффициенты пересчета концентрации планктона из
единиц азота в единицы фосфора и сухое органическое вещество, n = 0,076 – удельное
содержание азота в сухом органическом веществе планктона; k'r – коэффициент реаэрации, Sn – концентрация предельного насыщения РК (равновесная концентрация РК,
соответствующая его максимальной растворимости при данной температуре и давлении); f1, …, fc, fs – функции внешних источников.
Для представления аналитического решения в форме, удобной для практической
реализации на ПЭВМ, целесообразно выполнить некоторые изменения обозначений и
нумераций исследуемых компонент согласно табл. 1
Поменяв нумерацию компонент модели в соответствии с табл. 1, решение системы уравнений (1) можно представить в следующем виде [5]:
Ci  C0i ki  qi fi*  Pi ,
Pi  
z
fi* 
su 
i1

i3
m1 u m
ki  1
ln ki

 im z C0m Fi bu  qm xGi bu
;
Fi r  K r
(ki  kr )
;
( K r  Ki)
i  1,I j ;
i3
  kb b
bsbu ,
Gi r  K r
fi*  f r*
;
( K r  Ki)
s m
s s 1
i  i2 ;
(2)
K s
èëè 1 ï ðè s  u ; ki  exp   Kit  , qi  qit ,
( K s  Ku )
где Ij – количество компонент по одной из j-той последовательной цепочке их трансформации, Ki 
I
 kiu  i – обобщенный коэффициент трансформации
i-той компо-
u i 1
ненты в остальные – по последовательной цепочке по мере возрастания индекса u: i  1  u  I ; k'iu – коэффициенты трансформации компонент (нумерация соответствует концентрациям Ci ); 'i – обобщенный коэффициент обмена i-той компоненты с
другими подуровнями такой, что 'i < 0 – соответствует поступлению компоненты,
'i > 0 – ее уходу; C0i – начальные концентрации, qi  const – функции внешних источ  kiu
 / Ki – нормированный (безразмерный) коэффициент трансформации
ников, kiu
 z
между парой i, u-тых компонент; im
– параметр долевого участия i-той компоненты
на m–тую; i1, i2 – номера узлов соответственно перед первой и после последней удаленной вершиной графа в z-м столбце матрицы взаимосвязей компонент brz [5]; x – количество пропускаемых компонент при формировании параллельных цепочек, i3  i  1  x . Индекс z в brz для простоты записи в (2) опущен.
Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004
61
ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
_________________________________________________________________________________
Таблица 1 – Сопоставление обозначений компонент и параметров модели
Изменение
обозначений
Phy
N4
С1
ВОВ N6
С2
РОВ N7
С3
NH4 N1
С4
NO2 N2
С5
NO3 N3
С6
Рорг P1
С7
Рмин P2
С8
БПК
С
С9
РК
S
С10
' i =
0
kcd
0
0
0
0
kcd
0
kcd
0
q'i =
k'iu =
1
2
3
f4
1 k'46 0 0
f6 + kcd kcnV 2
k'67 0
f7
k'71
3
f1
4
f2
5
f3
6
fp1 + kcd kcpV 7
fp2
8
fc + kcd kccV 9
fs + krSn
10
4
5
6
a4
0
0
k'12
0
0
0
0
k'23
b4
0
0
0
0
0
7
8
0 a4+b4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k'p
0
0
9
10
0
0
0
0
0
0
0
0
k'c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k'r
Главное отличие представленного решения от [5, 6] заключается в присутствии в
нем матрицы   z  , элементы которой характеризуют вклад соответствующей компоненты при ее трансформации в другое вещество. В частности, для группы азотосодержащих соединений при их последовательном превращении – матрица  z   1 . По другим компонентам отдельные элементы уже не равны нулю, что обусловлено присутствием в модели параметров типа 1, 2, p, ap, ac и т.п.
Значения элементов матрицы   z  полагаются равными 1, затем отдельные элементы меняются на соответствующие значения согласно таблице 2.
 z
Таблица 2 – Значения элементов матрицы im
( m  1, I  1 ) и последовательности b трансформируемых компонент для фосфора, БПК и РК
Фосфор
БПК

Im = ap
mI = ac
I
b
3
1
7
8
2
1
9
z
1
1
по NH4
mI = –1
5
1
2
3
4
10
Растворенный кислород
по NO2
по БПК
по Рорг
mI = –2 13 = –ac 13 = –pap
23 = –1
23 = –p
6
3
3
1
1
1
2
9
7
3
10
10
4
5
10
5
по Phy
12 = (p–'p)/n
2
1
10
С целью проверки корректности полученных аналитических соотношений (2)
проводилось сопоставление результатов расчета при решении системы дифференциальных уравнений (1) в математической системе MathCAD 8.0 Professional с помощью
программы rkfixed – метод Рунге-Кутта (rk) 4-го порядка с фиксированным (fixed) шагом интегрирования. Различие не превышает 10–8, то есть находится в пределах точности решения самим методом Рунге-Кутта. Изменение расчетных значений концентраций компонент в зависимости от некоторых параметров модели представлены в табл. 3.
62
Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004
ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
_________________________________________________________________________________
Таблица 3 – Тенденции изменения расчетных значений концентраций взаимосвязанных компонент в зависимости от параметров модели (– увеличение, – уменьшение)
Параметры модели
Коэффициент освещенности
Коэффициент седиментации
Равновесная концентрация
Максимальные скорости роста популяций фитопланктона
Phy ВОВ РОВ NH4 NO2 NO3 Рорг Рмин БПК РК
kf
k'cd
V









–















































Выводы. Вследствие аналитического представления модель совместной трансформации биогенных элементов и растворенного кислорода приемлема для решения
задач оптимизации и краткосрочного прогнозирования качества воды в области охраны
вод. Модель достаточно полно описывает процессы изменения компонент, проста в
эксплуатации, допускает простые процедуры идентификации ее параметров по данным
натурных измерений и может быть легко модифицирована к статистическому виду [6].
Литература
1. Зенин А.А., Белоусов Н.В. Гидрохимический словарь. – Л.: Гидрометеоиздат,
1988. – 240 с.
2. Еременко Е.В. Экологические модели разной сложности для прогнозирования
качества воды// Проблеми охорони навколишнього природного середовища та техногенної безпеки: Зб. наук. пр. /УкрНДІЕП, Харків, 2000. – С. 90-99.
3. Леонов А.В. Математическая модель совместной трансформации соединений
азота, фосфора и кислорода в водной среде: ее применение для анализа динамики компонентов в евтрофном озере// Водные ресурсы. – 1989, № 2. – С. 105-123.
4. Айзатуллин Т.А., Шамардина И.П. Математическое моделирование экосистем континентальных водотоков и водоемов// Итоги науки и техники. Сер. Общая
биология, биоценология, гидробиология. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1980. – С. 154-228.
5. Василенко С.Л. Моделирование процессов последовательно-параллельной
трансформации веществ для решения задач оптимизации в области охраны вод// Інтегровані технології та енергозбереження. – 2004, № 1. – С. 104-110.
6. Василенко С.Л. Моделирование последовательной трансформации веществ в
водотоках// Екологія і ресурси: Зб. наук. праць. – К.: УІНСіР РНБОУ, 2003. – Вип.7. –
С. 56-64.
УДК 628.394.57:577.472
Василенко С.Л.
МОДЕЛЮВАННЯ СПІЛЬНОЇ ТРАНСФОРМАЦІЇ БІОГЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ І
РОЗЧИНЕНОГО КИСНЮ ДЛЯ ПРОГНОЗУВАННЯ ЯКОСТІ ВОДИ
У статті викладений підхід до розробки математичної моделі, що описує процеси сумісного трансформування шести компонентів, які містять азот: амонійний, нітрітный, нітратний, фітопланктону, завислих і розчинених органічних речовин, а також фосфору, біохімічного споживання кісну та розчинного кісну. Отримана модель відсвічує
основні причинно-наслідкові зв'язки реальних процесів трансформації компонентів і
придатна для практичного використання при рішенні задач прогнозування якості води
та оптимізації в області охорони вод.
Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004
63