Программа для ПИ по ОиММПРx
advertisement
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Факультет Бизнес-информатики
Отделение Программной Инженерии
Программа дисциплины
Оптимизация и математические методы
в принятии решений
Для направления 231000.62 «Программная инженерия»
(бакалавриат, 2 курс, 1-3 модули)
Автор: проф. В.В. Токарев
Рекомендована секцией УМС
Одобрена на заседании кафедры
________________________________
Председатель
________________________________
«_____» __________________ 200 г.
г
______________________________
Зав. кафедрой
«____»_____________________ 200
Утверждена УС
_________________________________
Ученый секретарь
_________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
Требования к студентам: Курс по оптимизации опирается на предшествующие
курсы по основам линейной алгебры и математического анализа, а также теории
вероятностей и математической статистики.
Настоящий курс поможет в восприятии студентами последующих
математизированных дисциплин и в их практической деятельности по информационному
и компьютерному обеспечению для решения прикладных социально-экономических
задач.
Аннотация курса
Прогресс теоретической и прикладной экономики во многом определяется
использованием математических методов. Методы статистической обработки
информации и регрессивного анализа стали уже привычным инструментом работы
экономистов. Следующий этап – это математическое моделирование и компьютерная
имитация, чему и посвящен настоящий курс.
Студенты должны понять, что математическое моделирование позволяет
учитывать большое число разнообразных факторов, помогает прогнозировать отдаленные
последствия принимаемых решений и производить отбор рациональных вариантов среди
множества возможных решений.
Вместе с тем, они должны отчетливо видеть трудности моделирования социальноэкономических проблем, связанные с описанием поведенческих характеристик людей и с
информационным обеспечением моделей.
Студенты также должны усвоить на примерах из экономики и политологии, что
создание причинно-следственной математической модели, даже если она не будет
использована в прикладных целях, помогает структурировать реальную проблему,
выделить ее главные черты и удалить второстепенные. Моделирование должно приучить
их к четкости изложения исходных гипотез, к логической стройности последующих
выводов и к всестороннести анализа положительных и отрицательных черт в
результирующих рекомендациях.
Наконец, студенты будут ознакомлены с математической техникой работы с
основными типами моделей. чтобы модель не представлялась бы им таинственным
ящиком, из которого фокусник-математик получает непонятно каким способом свои
ожидаемые или неожиданные выводы.
Курс включает в себя как классическую оптимизацию, нелинейную, линейную и
динамическую, так и современные математические методы поддержки принятия решений
в условиях многокритериальности, неопределенности и игровых взаимодействий.
Программа курса предусматривает лекционные и семинарские занятия, занятие в
компьютерном классе по линейному программированию, а также самостоятельную работу
студентов по изучению теоретического материала и выполнению упражнений,
аналитических и компьютерных.
Учебная задача дисциплины. Студент, успешно овладевший предлагаемым
курсом, должен:
– знать основные идеи математического моделирования и методов
оптимизации;
– уметь структурировать прикладную задачу принятия управленческих
решений, выбрать для ее решения подходящую математическую модель,
убедиться в доступности необходимой исходной информации и найти
компьютерно реализованный метод решения;
– иметь представление о типах математических моделей, о возможностях и
трудностях их анализа и о теоретических основах методов оптимизации;
– обладать навыками аналитического решения концептуальных задач
принятия решений с упрощенными качественными моделями различных
реальных ситуаций.
2
Формы контроля:
– текущий контроль осуществляется слежением за посещаемостью лекций и
семинаров, поощрительными оценками за устные и письменные ответы на
вопросы, предлагаемые на лекциях и семинарах, а также проверками
выполнения домашних упражнений;
– промежуточный контроль осуществляется в виде двух тщательно
проверяемых письменных контрольных работ, обязательных для всех
студентов, в конце 1-го и 2-го модулей по пройденной тематике курса, а
также в виде зачета, проставляемого в конце 2-го модуля по итогам двух
контрольных работ и текущих оценок;
– итоговый контроль осуществляется в виде обязательного письменного
экзамена в конце 3-го модуля по всей тематике курса и в виде устного
собеседования при желании студента или преподавателя (студенты,
получившие за обе промежуточные контрольные работы по 10 баллов и
продемонстрировавшие особые успехи на лекциях, семинарах и в
домашних упражнениях, могут быть освобождены от экзамена по
инициативе преподавателя при согласии лектора с итоговой оценкой 10
баллов);
– итоговая оценка 𝑅, 10-бальная, подсчитывается как взвешенная сумма
оценок 𝐾1 и 𝐾2 за кконтрольные работы, оценки 𝐸 за письменный экзамен
и оценки 𝐴 текущей активности студентов по следующей формуле
𝑅 = 0.2𝐾1 + 0.2𝐾2 + 0.5𝐸 + 0.1𝐴
(вычисленная оценка может быть скорректирована преподавателем по
результатам устного собеседования в пределах 1 балла как в сторону
увеличения, так и в сторону уменьшения).
3
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Наименование темы
Аудиторные часы
практ.
лекции
зан.
Самост.
работа
Первый модуль
1
2
3
Возможности математического
моделирования и структуры моделей
Оптимизационные модели принятия
решений. Градиентный анализ
Метод Лагранжа. Условия КунаТаккера. Выпуклое программирование
Всего
8
2
2
4
32
8
8
16
24
6
6
12
64
16
16
32
Второй модуль
4
Линейное программирование
32
8
8
16
5
Сетевое планирование
16
4
4
8
6
Динамическое программирование
16
4
4
8
Всего
64
16
16
32
8
2
2
4
24
6
6
12
16
4
4
8
8
2
2
4
56
14
14
28
184
46
46
92
Третий модуль
7
8
9
10
Многокритериальные модели принятия
решений
Решения в условиях
неопределенностей
Игровые модели
Экспертно-компьютерная имитация и
прогнозирование
Всего
Итого
4
Содержание программы
Тема 1. Возможности математического моделирования и структуры моделей
Возможности, трудности и цели моделирования. Математическая модель.
Возможности математики. Трудности моделирования. Предназначение математических
моделей.
Структура математических моделей. Прогнозные модели. Управляемые модели.
Базовый учебник:
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.:
Высшая школа, 2004.
Дополнительная литература:
1. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения /
М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М.: Инфра-М, 2003.
2. Васин А.А. Исследование операций / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В.Морозов. –
М.: Академия, 2008.
3. Гермейер Ю.Н. Введение в теорию исследования операций. – М.: Наука, 1976.
4. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург : Лань, 2000.
5. Горелик В.А. Основы исследования операций / В.А.Горелик, Т.П.Фомина. – М.: Изд.
МПГУ, 2004.
6. Иванов Ю.Н. Математическое описание элементов экономики / Ю.Н.Иванов,
В.В.Токарев, А.П. Уздемир. – М.: Наука, 1994.
7. Карманов В.Г. Моделирование в исследовании операций / В.Г.Карманов,
В.В.Федоров. – М. : Твема, 1996.
8. Косоруков О.А. Исследование операций / О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. – М.:
ЭКЗAМЕН, 2003.
9. Мангейм Дж..Б. Политология. Методы исследования (пер. с англ.) / Дж..Б.Мангейм,
Р.К.Рич. – М.: Весь мир, 1997.
10. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Мир, 2001.
11. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. – М.: Изд. РДЛ,
2000.
12. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Тема 2. Оптимизационные модели принятия решений. Градиентный анализ
Гуманитарные
рассуждения.
Математическая
формулировка
проблемы
оптимизации. Пример с наличием и отсутствием максимума – страна-новичок на мировом
рынке (модификация примера А.В. Лотова). Оптимизационная модель (статистическая, в
безразмерных переменных). Последовательная оптимизация. Метод графической
оптимизации. Модель Киотских соглашений. Графическая оптимизация. Аналитическое
отыскание точек касания.
Экономические комментарии. Градиентные методы
оптимизации, аналитические и численные.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
5
1. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
2. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1980.
4. Rangarajan K. Sundaram. A first course in optimization theory. – Cambridge: University
press, 1996.
Тема 3. Метод Лагранжа. Условия Куна-Таккера. Выпуклое программирование
Метод Лагранжа. Условия Куна-Таккера. Выпуклое программирование.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная литература:
Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. горелик. – М.: Академия, 2010.
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1980.
Rangarajan K. Sundaram. A first course in optimization theory. – Cambridge: University
press, 1996.
Тема 4. Линейное программирование
Особенности линейных моделей. Типичный пример. Общая запись. Сходства и
различия в записях задач линейной и нелинейной оптимизации. Специфика линейной
оптимизации по существу. Существование решения. Невозможность внутренних
экстремумов. Совпадение локальных и глобальных максимумов. Наличие максимума в
вершине. Симплекс-метод. Идея симплекс-метода. Техника симплекс-метода на примере
задачи об экспертизе. Теория двойственности. Экономическая интерпретация прямой и
двойственной задач. Теоремы двойственности. Пример – двойственная задача об
экспертизе. Целочисленное программирование, линейное и нелинейное. Геометрическое
отыскание целочисленного решения. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения /
М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М.: Инфра-М, 2003.
2. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
3. Васильев Ф.П. Линейное программирование / Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. – М.:
Факториал Пресс, 2003.
6
4. Васин А.А. Исследование операций / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В.Морозов. –
М.: Академия, 2008.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.:
Высшая школа, 2004.
6. Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике.
Краткий курс. – Санкт-Петербург: Питер, 2000.
7. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Тема 5. Сетевое планирование
Построение сетевого графика. Пример исходных сведений о проекте. Обработка
исходных
сведений.
Проверка
построенного
графа.
Расчет
минимальной
продолжительности разработки проекта. Два способа расчета минимальной
продолжительности проекта. Транспортная интерпретация. Неточное прогнозирование
продолжительности
работ.
Резервы
фактической
продолжительности
работ.
Распределение ресурсов между работами. Задача о максимальном потоке в сети.
Формализация. Метод «минимального разреза». Метод увеличивающей цепи. Сведение к
задаче линейного программирования.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
1.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная литература:
Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург: Лань, 2000.
Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. – М.: Изд. РДЛ,
2003.
Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.: Мир, 1974.
Тема 6. Динамическое программирование
Уравнение Беллмана для конечно-разностных систем. Принцип оптимальности.
Рекурсивная процедура для канонической задачи в дискретном времени. Распространение
процедуры на критерий Больца и пример. Обобщение Беллмановской процедуры на
задачи с фазовыми и смешанными ограничениями. О происхождении фазовых и
смешанных ограничений. Новые черты беллмановской процедуры на примере. Общая
схема. Решение некоторых статических задач методом динамического программирования.
Сведение статической задачи распределения ресурсов к динамической. Сведение задачи
линейного программирования к динамической.
1.
Базовый учебник:
Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
7
1. Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования / Р.Беллман, С.
Дрейфус. – М.: Наука, 1964.
2. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
4. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1971.
5. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Тема 7. Многокритериальное принятие решений
Неулучшаемые, или эффективные решения. Пример двухкритериальной задачи.
Формальное
определение
множества
эффективных
точек
в
пространстве
максимизируемых критериев. Геометрическое построение паретовской границы
двухкритериального множества достижимости. Определение эффективных решений в
пространстве управлений и пример его использования. Сведение к однокритериальной,
классической оптимизации. Метод критериальных ограничений. Метод линейной свертки
критериев. Дополнительные сведения о теории многоаспектного выбора. Целевое
программирование. Интерактивные методы многокритериального выбора. Визуализация
паретовских множеств. Сравнительная важность критериев. Уступки по критериям.
Безкритериальная формализация предпочтений. Бинарные отношения.
Функция
полезности. О представимости бинарных отношений векторным критерием. О функциях
выбора.
Базовый учебник:
1. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
2. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. Учебник. – М.: Логос, 2002.
3. Лотов А.В. Конспект лекций по теории и методам многокритеоиальной оптимизации /
А.В. Лотов, И.И. Поспелова. – М.: Изд. ВМК МГУ, 2006.
4. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных ситуациях. –
М. : Министерство обороны СССР, 1981.
5. Pomerol J. Ch., Romero S.B. Multicriterion Decision in Management: Principles and
Practice. Boston/ Dordrecht/ London: Kluwer Academic Publishers, 2000.
Тема 8. Решения в условиях неопределенности
Формализация проблемы гарантирующего управления. Основные понятия.
Принцип гарантированного результата. Дискретный пример. Методы построения
оптимальных гарантирующих планов в непрерывных задачах. Сведение к задаче
математического
программирования.
Пример
решения
задачи
линейного
программирования с неопределенностями. Сведение к макс-мину без ограничений
методом Лагранжа. Сравнение с идеальным управлением. Максимизирующая стратегия.
Сопоставление по условиям разрешимости. Сравнениие по критерию качества. . Игровая
интерпретация. Пример наличия седловой точки – задача уклонения от налогов. Другие
способы выбора управлений в условиях неопределенности. Минимизация отклонения от
идеального решения. Оптимистические и промежуточные оценки. Ориентация на самое
вероятное возмущение. Принцип равной вероятности. Вероятностно-гарантирующий
8
подход. Предварительные соображения. Формализация на примере задачи «Переговоры о
разоружении и финансирование обороны». Решение задачи вероятностногарантирующего планирования. Сопоставление гарантирующего и вероятностногарантирующих планов. О предельной тождественности вероятностно-гарантирующих и
гарантирующего решений.
Базовый учебник:
1. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Васин А.А. Исследование операций / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В. Морозов. –
М.: Академия, 2008.
2. Гермейер Ю.Н. Введение в теорию исследования операций. – М. : Наука, 1976.
3. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург : Лань, 2000.
4. Горелик В.А. Основы исследования операций / В.А.Горелик, Т.П.Фомина. – М.: Изд-во
МПГУ, 2004.
5. Карманов В.Г. Моделирование в исследовании операций / В.Г.Карманов,
В.В.Федоров. – М. : Твема, 1996.
Тема 9. Игровые модели
Формализация. Рациональные способы принятия решений. Четыре рациональные
игровые стратегии в дуополии Курно. Кооперативные, или коалиционные, игры.
Повторяющиеся игры – смешанные стратегии. Динамические конечношаговые игры.
Базовый учебник:
1. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
Дополнительная литература:
1. Васин А.А. Теория игр и модели математической экономики / А.А. Васин, В.В.
Морозов. – М.: МАКС Пресс, 2005.
2. Гермейер Ю.Н. Игры с противоположными интересами. – М.: Наука, 1976.
3. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург : Лань, 2000.
4. Горелик В.А. Основы исследования операций / В.А.Горелик, Т.П.Фомина. – М.: Изд.
МПГУ, 2004.
5. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
6. Кукушкин Н.С. Теория неантагонистических игр / Н.С. Кукушкин, В.В. Морозов. – М.:
Изд. МГУ, 1984.
7. Шагин В.Л. Теория игр (с экономическими приложениями) – учебное пособие. – М.:
Изд. ГУ ВШЭ, 2003.
8. Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. – Princeton University Press, 1992.
9. Kreps D.M. Game Theory and Economic Modelling. – Oxfort: Clarendon Press, 1990.
Тема 10. Экспертно-компьютерная имитация и прогнозирование
Имитационные системы как инструмент проверки управляющих решений и как
средство обучения персонала. Компьютерное прогнозирование динамики сложных систем
по вербальной информации.
9
Базовый учебник:
1. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Иванов Ю.Н. Математическое описание элементов экономики / Ю.Н.Иванов,
В.В.Токарев, А.П. Уздемир. – М.: Наука, 1994.
2. Павловский Ю.Н. Имитационные модели и системы. М.: Фазис, 2000.
10
Содержание письменных контрольных и экзаменационной
работ
Контрольная работа 1 (в конце первого модуля, продолжительность 2,5 часа)
Задача 1. Квадратичное разложение заданной функции двух переменных в ряд
Тейлора в матричной и скалярной формах. Вычисление производной функции по
заданному направлению.
Задача 2. Отыскание и анализ типов безусловных локальных экстремумов заданной
функции трех переменных. Выяснение существования или отсутствия глобальных
экстремумов.
Задача 3. Составление модели условной оптимизации по тексту с экономическим
содержанием. Решение методом Лагранжа с использованием окаймленного гессиана.
Анализ глобальности и чувствительности полученного решения.
Задача 4. Геометрическое и аналитическое решение формально записанной
двумерной нелинейной задачи математического программирования. Отыскание
перспективных точек перебором по составу активных ограничений с использованием
условия Якоби и условий разложимости градиента целевой функции по градиентам
активных ограничений. Проверка существованяи и выделение глобального максимума.
Контрольная работа 2 (в конце второго модуля, продолжительность 2,5 часа)
Задача 1. Построить при помощи критерия Сильвестра области выпуклости и
вогнутости заданной дважды дифференцируемой функции двух переменных.
Задача 2. Исследовать формально записанную нелинейную двумерную задачу
математического программирования на выпуклость. Найти глобальный экстремум при
помощи условий Куна-Таккера и известных Вам теорем. Сравнить с разложением
градиента целевой функции по градиентам активных ограничений в точке найденного
глобального оптимума.
Задача 3. Записать в виде линейно-программной модели словесно описанную
экономическую задачу с цифровыми исходными данными. Построить двойственную ей
задачу и дать ей экономическую интерпретацию. Решить прямую и двойственную задачи
(одну геометрически, а другую – по полной системе соотношений дополняющей
нежесткости). Определить при помощи формулы чувствительности оптимального
решения, какой из ресурсов прямой задачи выгодно докупать по заданным рыночным
ценам.
Экзаменационная работа (в конце третьего модуля, продолжительность 2,5 часа)
Задача 1. Решения в условиях неопределенности
Составить платежную матрицу, найти максимальный гарантированный результат и
оптимальный гарантирующий план, максимальный осредненный результат и наилучший
план по критерию Байеса-Лапласа. Установить наличие или отсутствие седловой точки, ее
координаты и цену игры. Построить множества цен с достаточной вероятностной мерой,
найти гарантированные оценки дохода и выбрать наилучшее множество с достаточной
вероятностной мерой. Найти максимальную вероятностно-гарантированную оценку и
обеспечивающий ее план.
Задача 2. Гарантирующее планирование объемов производства
Найти множество гарантированно допустимых планов и точную гарантированную
оценку критериев, максимальный гарантированный результат и оптимальный
гарантирующий план. Свести задачу к детерминированной задаче линейного
программирования и графически решить ее (с экономической трактовкой и аналитической
проверкой решения). Восстановить решение прямой задачи по решению двойственной (с
обоснованием и проверкой оптимальности).
Задача 3. Задача по теории игр
11
Отыскать равновесие Нэша с рассматриваемой задаче. Обосновать результат.
Определить индивидуально приемлемый Парето-оптимум.
Задача 4. Двухкритериальная оптимизация
Записать задачу нелинейного программирования для рассматриваемой проблемы в
стандартном виде. Обосновать существование глобального максимума. Выписать
необходимые условия оптимальности в градиентной форме, найти и обосновать решение
задачи.
Задача 5. Динамическое программирование
Свести задачу к многошаговой, выписать уравнение Беллмана и краевые условия.
Решить уравнение Беллмана по шагам, восстановить оптимальную программу
инвестирования и проверить максимальную величину прибыли.
12
Вопросы для устного собеседования
по результатам письменного экзамена и других работ
Тема 1. Возможности математического моделирования. Структуры моделей
1.1. Какие возможности математики перспективны для прикладных и теоретических
исследований в политологии?
1.2. Какие трудности возникают при математическом моделировании в
политологии?
1.3. Назовите и охарактеризуйте два основных класса прикладных задач,
обслуживаемых математическим моделированием.
1.4. Что собой представляют прогнозные и управляемые математические модели?
Как классифицируются их переменные? Какому основному условию должны
удовлетворять соотношения модели?
1.5. Может ли управляемая модель использоваться в целях прогнозирования? В чем
может помочь прогнозная модель после построения закона управления?
Тема 2. Оптимизационные модели принятия решений. Градиентный анализ
2.1. В чем помогает оптимизация и каковы должны быть меры предосторожности
при использовании оптимальных решений.
2.2. Что такое допустимые управления и критерий качества управления в
оптимизационных моделях принятия решений?
2.3. Как в математике определяется оптимальное решение? Правильно ли говорить
«самое оптимальное решение»?
2.4. Может ли быть неединственной величина максимума? А положение точки
максимума?
2.5. Каковы причины возможного отсутствия оптимальных решений?
2.6. Какие известны Вам достаточные условия существования оптимальных
решений?
2.7. Существуют ли оптимальный объем экспорта и оптимальная экспортная цена в
модели выхода государства-новичка на внешний рынок? Выполняются ли для этой
модели условия теоремы Вейерштрасса? Всегда ли нарушение условий теоремы приводит
к отсутствию оптимальных решений?
2.8.Что такое процедура последовательной оптимизации? Продемонстрируйте ее на
модели выхода страны-новичка на внешний рынок.
2.9. Как графически построить оптимальное решение в двухмерной задаче при
помощи линий уровня целевой функции? Произведите необходимые построения для
задачи о продаже недоиспользованных квот на загрязнение страной, подписавшей
Киотские соглашения.
2.10. Что такое градиент функции многих переменных? Какую информацию он дает
поведении функции? Приближенно подсчитайте при помощи градиента приращение
функции полезности f ( x) x1 x2 при переходе из точки 𝑥 0 = (1; 2) в точку x1 (1,1;1,9) .
Сравните полученное приближенное значение с точным.
2.11. Какова идея градиентного метода для численного отыскания максимума или
минимума функции многих переменных? Проиллюстрируйте метод графически на
плоскости двух переменных.
2.12. Каково необходимое условие максимума или минимума непрерывной и
дифференцируемой функции многих
переменных во внутренней точке области
допустимости? Найдите такую точку для функции полезности f ( x) x1 x2 , x R 2 . Будет ли
она точкой минимума или максимума этой функции на R 2 ?
13
2.13. Каково необходимое условие максимума функции полезности f ( x) x1 x2 в
граничной точке множества допустимости с одним активным ограничением x1 x2 1 ?
Найдите такую точку. Зачем нужно при этом условие Якоби и как оно записывается?
2.14. Каково необходимое условие максимума непрерывной и дифференцируемой
функции многих переменных в граничной точке множества допустимости с двумя
активными ограничениями? Выполняется ли оно для функции полезности f ( x) x1 x2 ,
когда активны ограничения x1 0 и x1 x2 1 ?
2.15. Как решить задачу максимизации непрерывной и дифференцируемой функции
многих переменных на ограниченном замкнутом множестве, задаваемом конечным
числом неравенств, используя полный перебор состава активных ограничений и
соответствующие
необходимые
условия
оптимальности.
Схему
решения
проиллюстрируйте графически на примере задачи о максимизации функции полезности
f ( x) x1 x2 на множестве допустимости X x ( x1 , x2 ) : x1,2 0, x1 x2 1 .
Тема 3. Метод Лагранжа. Условия Куна-Таккера. Выпуклое программирование
3.1. Сформулируйте задачу нелинейного программирования в стандартной форме.
3.2. Что такое функция Лагранжа?
3.3. Дайте определение седловой точки функции Лагранжа.
3.4. Сформулируйте и докажите достаточное условие оптимальности с помощью
функции Лагранжа.
3.5. Сформулируйте условие дополняющей нежесткости и дайте его экономическую
интерпретацию.
3.6. Дайте определение выпуклого множества.
3.7. Какие свойства имеют выпуклые множества?
3.8. Сформулируйте понятия выпуклой и вогнутой функции. Что такое строгая
выпуклость функции?
3.9. Сформулируйте достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой
функции.
3.10. Какие свойства имеют выпуклые функции?
3.11. Сформулируйте выпуклую задачу нелинейного программирования.
3.12. Сформулируйте теорему о локальном максимуме в выпуклом случае.
3.13. Приведите экономический пример выпуклой задачи нелинейного
программирования.
3.14. Выведите условия Куна-Таккера в седловой точке функции Лагранжа.
3.15. Сформулируйте теорему Куна-Таккера в выпуклом случае.
3.16. Дайте экономическую интерпретацию множителей Лагранжа.
3.17. Как решения выпуклой задачи оптимизации зависят от «ресурсных»
параметров в непрямых ограничениях?
Тема 4. Линейно-программные модели
4.1. В чем преимущества и недостатки линейно-программных моделей?
4.2. Каков управленческий смысл термина «программирование» в названиях
«математическое программирование», «линейное программирование»? Приведите пример
простейшей линейной модели распределения ограниченного ресурса между двумя
целями.
4.3. Представьте векторно-матричную запись стандартной задачи линейного
программирования. Расшифруйте эту запись покоординатно, используя правило
умножения и сложения матриц.
4.4. Каковы две возможные причины отсутствия решений в задачах линейного
программирования?
14
4.5. Может ли достигаться максимум или минимум линейной целевой функции во
внутренней точке множества допустимости? Ответ обосновать.
4.6. Всегда ли решение задачи линейного программирования, если оно существует
единственно? От чего зависит единственность или неединственность решения? Ответ
проиллюстрируйте геометрически на простейшем двухмерном примере.
4.7. Примените графический метод для решения конкретной задачи линейного
программирования.
4.8. В чем идея симплекс метода? Проиллюстрируйте идею на двухмерной числовой
задаче линейного программирования с четырьмя вершинами.
4.9. Как выглядят функция Лагранжа и условия Куна-Таккера в задаче линейного
программирования?
4.10. Сформулируйте двойственную задачу линейного программирования, дайте
экономическую интерпретацию прямой и двойственной задач. Сформулируйте теоремы
двойственности в задаче линейного программирования.
4.11. Дайте интерпретацию двойственных переменных в задаче линейного
программирования.
4.12. Расскажите об анализе чувствительности в задаче линейного
программирования.
4.13. Что такое целочисленная задача линейного программирования? Приведите ее
экономический пример.
4.14. Всегда ли можно получить оптимальное целочисленное решение
арифметическим округлением оптимального нецелочисленного решения? Ответ
проиллюстрируйте геометрически.
4.15. В чем состоит идея отсечения Гомори? В чем недостаток этого метода?
4.16. Изложите укрупненную схему метода ветвей и границ. В чем отличие этого
метода от метода Гомори?
4.17. Можно ли использовать схему ветвей и границ для решения нелинейных
целочисленных задач?
Тема 5. Сетевое планирование
5.1. Какие исходные данные нужны для составления сетевого графика выполнения
комплекса взаимосвязанных работ?
5.2. Как построить сетевой график и проверить правильность его построения?
Продемонстрируйте это на простом примере.
5.3. Дайте теоретико-множественное определение графа и приведите пример.
5.4. Как вычислить минимальную продолжительность выполнения проекта методом
отыскания критического пути на графе? В чем отличие критического пути от
кратчайшего?
5.5. Представьте на простом примере задачу о минимальной продолжительности
выполнения проекта как задачу линейного программированяи и решите ее.
5.6. Сформулируйте задачу о наилучшем распределении ресурса, влияющего на
продолжительность выполнения работ.
5.7. Сформулируйте на примере задачу о максимальной пропускной способности
сети и решите ее методом минимального разреза.
5.8. Сведите на простом примере задачу о максимальном потоке в сети к задаче
линейного программирования.
Тема 6. Динамическое программирование
6.1. Приведите примеры многошаговых систем в экономике.
6.2. В чем состоят особенности динамических задач оптимизации?
6.3. Приведите примеры динамической задачи поиска оптимума.
6.4. Что такое управление и переменная состояния в динамических моделях.
15
6.5. Приведите примеры задания критерия в динамических задачах оптимизации.
6.6. В чем отличие построения программной траектории и использования обратной
связи?
6.7. В чем состоит метод динамического программирования в много шаговых
задачах оптимизации?
6.8. Сформулируйте принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
6.9. Как решаются задачи динамического программирования?
6.10. Как задача оптимизации многошаговой системы сводится к задаче
математического программирования? Когда это удобно, а когда – нет?
6.11. Какие классы задач математического программирования можно и полезно
свести к задаче динамического программирования?
6.12. Какие особенности в процедуру Беллмана привносят фазовые ограничения и
смешанные ограничения на управления и фазовые координаты?
Тема 7. Многокритериальные модели принятия решений
7.1. Почему математики вынуждены прибегать к многокритериальным моделям?
7.2. Есть ли принципиальная возможность обслуживать многокритериальный выбор
средствами классической однокритериальной оптимизации? В чем прикладные сложности
такого пути?
7.3. Каков основной принцип многокритериальной отбраковки заведомо
неперспективных решений? Продемонстрируйте его на двухкритериальной плоскости: y1
y2 – минимизируемое загрязнение
– максимизируемый национальный доход,
окружающей среды.
7.4. Нарисуйте на плоскости двух максимизируемых критериев два примера области
допустимости (можно абстрактные) с единственной и с неединственной
недоминируемыми точками. Какая ситуация более типична для прикладных задач? Как
принимать решение в случае неединственности?
7.5. Дайте определение недоминируемых точек в m-мерном векторном пространстве
максимизируемых критериев через пересечение множеств улучшаемости и достижимости.
Сопроводить определение геометрической иллюстрацией на плоскости двух критериев.
7.6. Перечислите синонимы доминируемых и недоминируемых точек. Может ли
внутренняя точка множества допустимости в критериальном пространстве быть
недоминируемой? Ответ обосновать.
7.7. Дайте определение эффективных решений по нескольким критериям в
пространстве управлений, сначала словесное, а затем – формульное в позитивном смысле.
Может ли одно эффективное решение проиграть другому эффективному решению по
какому-либо критерию? Ответ обосновать.
7.8. Что дает многокритериальное определение эффективности решений в
пространстве управлений для однокритериальной задачи? Ответ обосновать. Можно ли
пользоваться многокритериальным определением, если в модели нет формальных правил
вычисления критериев по заданным управлениям?
7.9. Каким способом можно выделить эффективные решения из конечного числа
допустимых управлений? Продемонстрируйте процедуру на условном примере о
кандидатах в Президенты, экспертно оцениваемым по трем критериям (фамилии,
критерии и их оценки задать самостоятельно).
7.10. Можно ли выделить эффективные решения по многим критериям посредством
однокритериальной оптимизации для произвольного множества допустимости? Ответ
сопроводите условными эколого-экономическим примером.
7.11. Сведите к задаче линейного программирования проблему отыскивания
эффективных решений на множестве 𝑋 ⊂ 𝑅 𝑛 допустимых управлений x, сформированного
системой ограничений, линейных по x, если качество управления оценивается
16
несколькими критериями y R , тоже линейными по x. Процедуру сведения
продемонстрировать на примере.
7.12. Что такое целевое программирование?
7.13. Сформулируйте задачу о максимальной близости к идеальной точке.
7.14. Возможна ли безкритериальная форма задания предпочтений?
7.15. Приведите пример интерактивной (диалоговой процедуры) выбора
рационального решения в условиях многокритериальности.
m
Тема 8. Решения в условиях неопределенности
8.1 Какие затруднения возникают при попытке использования математических
моделей для принятия решений в условиях неопределённости?
8.2. Чем хорош и чем плох принцип максимально гарантированного результата
(продемонстрировать на примере «Переговоры о разоружении и финансирование
вооружений»)?
8.3. Какие еще критерии Вам известны для задач принятия решений в условиях
неопределенности?
8.4. Как словесно формулируется задача вероятностно-гарантируещего
планирования (иллюстрировать тем же примером, что и в 8.2)?
8.5. Что такое множество гарантированно допустимых планов (словесное и
формульное определения, пример построения)?
8.6. Что такое подмножества возмущений с достаточной вероятностной мерой
(словесное и формульное определения, пример построения)?
8.7. Дайте формульную постановку задачи о выборе наилучшего вероятностногарантируещего плана и сопроводите ее примером решения.
8.8. Как ведет себя максимальная вероятностно-гарантированная оценка качества
плана при изменении надежности решения (в общем случае и в примере «Переговоры о
разоружении и финансировании вооружений»)?
8.9. Как соотносятся максимальные гарантированная и вероятностногарантированная оценки качества планов.
Тема 9. Игровые модели
9.1. В чем состоит специфика игрового взаимодействия? Какова основная трудность
для формализации игровых ситуаций?
9.2. Описание игры в нормальной форме. Каковы гипотезы об информированности
участников друг о друге? Пример описания игры «Мир или война».
9.3. Доминирующая и гарантирующая стратегии – словесное и формальное
определения. В чем их преимущества и недостатки? Найдите наилучшую гарантирующую
стратегию страны 2 в игре «Мир или война».
9.4. Равновесные стратегии (по Нэшу) – словесное и формальное определения. В чем
положительные и отрицательные черты равновесного подхода в сравнении с
гарантирующим? Найдите равновесную стратегию в игре «Мир или война».
9.5. Эффективные, или недоминируемые стратегии (по Парето) – словесное и
формальное определения. Сравните эффективные стратегии с равновесной на примере
игры «Мир или война».
9.6. Какова основная идея коалиционных игр с побочными платежами?
9.7. Представьте в развернутой форме двухшаговую игру «Мир или война» с
последовательным принятием решений взаимодействующими государствами.
9.8. Посредством рекурсивной процедуры постройте оптимальные решения в
двухшаговой игре «Мир или война».
17
9.9. Априорная и текущая информированность в многошаговых играх. Что такое
множества неопределенности, или информационные множества? Как восполняются
недостатки в информированности при рациональном поведении участников.
Тема 10. Экспертно-компьютерная имитация и прогнозирование.
10.1. Что такое экспертно-компьютерная имитация? Когда и для каких целей она
используется?
10.2. Нарисуйте и поясните схему компьютерной имитации для сравнительного
анализа различных экономических систем.
10.3. Какие экспертно-компьютерные имитационные системы Вам известны?
10.4. Как использовать вербальную информацию из газет, журналов и других
общедоступных источников для компьютерного прогнозирования динамики
экономических, социальных и политических процессов?
18
Упражнения
по курсу «Оптимизация и математические методы в принятии решений»
Методические рекомендации
по выполнению домашних заданий
1. Писать на одной стороне листа четким почерком (не скорописью, вызывающей
подозрение о списывании). Новую задачу начинать с нового листа, указывая на нем номер
задачи из задания, свою фамилию и номер группы. Листы скреплять степлером, надежной
скрепкой или класть в прозрачный пластиковый пакет для бумаг. На первой странице
нужно указать общее число сдаваемых листов. Листы необходимо занумеровать в порядке
следования задач в задании.
2. Писать не только формулы, но и слова: название этапов решения задачи, краткое описание
алгоритма решения, обозначения, определения ключевых понятий, формулировки теорем.
Качественные выводы. Сообщенные Вами теоретичесские сведения и выводы отмечаются
дополнительными баллами, которые могут частично компенсировать погрешности
решения конкрретной задачи.
3. Чаще стройте графики, поточечные или качественные, даже если это не оговорено в
условии решаемой задачи. Графики своей наглядностью помогают получить правильный
результат, лучше воспринять его и проверить.
1. На всех графиках должны быть подписаны координатные оси. Стрелками на осях
нужно указать направления возрастания соответствующих переменных и отметить
начало координат.
2. На осях поточечного графика следует указать масштаб, как правило, равномерный, но
не обязательно одинаковый для разных координат. Масштабы должны быть удобны
для аккуратного нанесения расчетных точек, которые должны быть выделены на
соединяющей их кривой.
3. На качественных графиках масштабная разметка не нужна. Но взамен нее должны
быть указаны координаты характерных точек (экстремумы, точки пересечения с
координатными осями и др.) и показаны асимптоты, если таковые имются.
Построение качественного графика требует аналитического обоснования его свойств
посредством анализа производных и градиентов.
4. Желательно производить аналитическую проверку промежуточных и окончательных
результатов подходящим для этого способом: подстановка решения в исходную систему
уравнений. Проверка выполнения первоначального определения или его необходимых и
достаточных условий. За произведенную проверку начисляются поощрительные баллы.
19
Упражнения к теме 2
Задача 1
Фирма планирует объем x своего производства в условиях точного знания выпуска
y конкурирующего производства. Объемы производств x и y измеряются в единицах
переработки основного сырья, общие запасы которого ограничены: x + y 1 . Кроме того,
выпуск x ограничен сверху известной производственной мощностью фирмы: x 1.
Рентабельность фирмы
r
линейно падает с ростом суммарного объема
производства x+ y из-за падения цены на готовую продукцию с ростом предложения и
увеличения цены на сырье с ростом спроса: r = 1 2 x + y . Найдите оптимальный объем
x производства фирмы, обеспечивающий ей максимальную прибыль z при известном
выпуске y конкурирующего производства с учетом всех ограничений.
Требуется:
а) проверить выполнение достаточных условий Вейерштрасса существования максимума
в данной задаче и установить границу ее разрешимости в терминах параметра y ;
б) получить формулы для x y и z y посредством анализа знаков производной z x и
с последующей проверкой всех ограничений на переменную x .
1
1
2
4
Ответ: а) 0 y ; б) x
1 2 y , z 1 2 y
1
8
2
.
Задача 2
Постройте графики функций f одной переменной x на множестве X , заданных в
2.1 – 2.6. Отметьте на графиках точки глобальных максимума x и минимума x или
укажите причину их отсутствия. Найденные (или угаданные) оптимальные точки
проверьте по определениям, убедившись в справедливости фигурирующих в них
неравенств.
2.1. f x 2 , X 1;1 .
Ответ: x 1;1, x 0.
2.2. f x 1 , X [0;2].
Ответ: x 0;2, x 1.
2.3. f x 1 , X 0;1 .
Ответ: x è xí å ñóù åñòâóþ ò.
2.4. f 1 x 2 , X 1;1 .
Ответ: x 0, x í å ñóù åñòâóåò.
2.5. f ( x ) e x , X 0; .
Ответ: x í å ñóù åñòâóåò, x 0.
2
1
x ï ðè x 2 ,
X [ 0;1].
2.6. f ( x )
1,
x
1
ï
ðè
x
2
Ответ: x í å ñóù åñòâóåò, x 12 .
20
Задача 3
Пользуясь определением максимума докажите, что:
а) строгий глобальный максимум, если он существует, всегда единственен, и обратно;
б) если x и x – решения задачи оптимизации f ( x ) ï î x X , òî f ( x* ) f ( x** );
в) если из множества X удалить все точки x максимума функции f ( x ) по этому
множеству, то в оставшемся подмножестве X
X \ x* справедливо строгое неравенство
x X f ( x* ) f ( x).
Задача 4
Может ли какая-нибудь допустимая точка x 0 X быть одновременно и точкой
глобального максимума и точкой глобального минимума одной и той же функции f на
одном и том же множестве X ? Если может, то какова эта функция ?
Задача 5
Дайте позитивные определения фактов:
а) отсутствия максимума,
б) отсутствия минимума,
в) отсутствия и максимума и минимума функции f ( x ) на непустом множестве X,
построив их как отрицания определений без использования оборотов типа «не
существует…», «не найдется…».
Задача 6
Докажите достаточность каждого из двух нижеследующих условий для отсутствия
максимума функции f ( x ) на непустом множестве X :
а) неограниченность сверху функции f ( x ) на X ,
б) недостижимость на X конечной точной верхней грани функции f ( x ) .
Задача 7
Докажите, что
а) при сужении допустимого множества максимум не возрастает, а минимум не убывает:
X X max f ( x ) max f ( x ), min f ( x ) min f ( x )
xX
xX
xX
xX
(в предположении их существования);
21
б) если точка x максимума (или минимума), разыскиваемого по множеству X , попадает
на некоторое его подмножество X , то она же будет точкой максимума по этому
подмножеству:
f ( x* ) max f ( x), x* X f ( x* ) max f ( x), ãäå X X
xX
xX
(верно ли обратное?).
Задача 8
Будет ли существовать оптимальная экспортная цена y в модели выхода новой
страны на внешний рынок, если объем ее экспорта x ограничен следующей функцией
спроса:
3/ 4 y 2 ï ðè 0 < y < p,
x y, p
где p > 0 – сложившаяся рыночная цена,
2
0,3/ 4 y ï ðè y p,
являющаяся фиксированным параметром задачи.
Максимизируемая страной экспортная прибыль равна
f x, y y 1 x, а ее
собственные экспортные возможности и диапазон назначаемой ею цены определены
неравенствами 0 x 1, 0 y p .
Ответ подтвердите процедурой последовательной оптимизации (сначала по x ,
потом по y ) в различных диапазонах значений параметра p .
Ответ:
åñëè 0 < p 1, òî x 0, y 0, p , f * 0;
åñëè 1 < p 2, òî ì àêñèì óì à í åò;
åñëè p > 2, òî x
3
16
, y 2, f *
3
16
;
Задачи 9
Для заданных ниже функций 9.1 –9.6 и фиксированных точек А и В требуется:
а) изобразить линии уровня функции, проходящие через точки А и В, вычислить ее
градиенты в этих точках и нарисовать градиенты в виде векторов, исходящих из
соответствующей точки (рисунки строить только для функций от двух переменных);
б) найти производную f / l À функции f в точке А по направлению l из А в В;
в) написать в векторно-матричной форме, т.е. с использованием градиента и матрицы
Гессе, разложение заданной функции f в ряд Тейлора в окрестности точки А до
членов второго порядка включительно с указанием порядка ошибки R2 ;
22
г) перейти от векторно-матричной формы разложения к координатной по правилам
сложения и умножения матриц;
д) построить по нескольким точкам графики, иллюстрирующие нарастание ошибок
линейного R1 и квадратичного R2 приближений заданной функции при удалении ее
аргументов от центра разложения, т.е. от точки А по прямой в точку
B : x A Â À , 0;1 ,
получив
предварительно
формулы
для
функций
f ( ), R1 ( ), R2 ( ).
1
0
9.1. f ( x, y ) xy, À = , Â = .
1
0
Ответ: а) линии уровня: xy = 1, x > 0 äëÿ À, xy = 0 äëÿ Â;
f ( x, y ) ( y,x), f ( À) 1;1 , f ( Â) 0;0 ;
1 f
1
f ( À) l = 2;
б) l  À ,
l l
1 l À
x 1 1
0 1 x 1
( x 1, y 1)
+î r 2 ,
в) f ( x, y ) 1 1;1
y 1 2
1 0 y 1
ãäå r 2 x 1 y 1 , î r 2 ô óí êöèÿ: î r 2 / r 2 0 ï ðè r 0;
2
2
г) f ( x, y ) 1 x 1 y 11 x 1 y 12 î r 2 xy + î r 2 î r 2 0;
д)
x 1
1 x 1
y 1 1 y 1 ;
R1 ( )
f 1
R1 = 0;
1 = 2 lim
0
R2 ( ) 0.
1
2
2
2
9.2. f ( x, y ) x 1 y 2 , À= , Â = .
2
1
Ответ:
а) линии уровня: x = 1, y = 2 äëÿ À, x 1 + y 2 2 äëÿ Â;
2
2
f ( À) 0;0 , f ( Â) 2;2 ;
б)
f
l À 0 l;
2 0 x 1
1
+î r 2 ,
в) f ( x, y ) ( x 1, y 2)
2
0 2 y 2
ãäå r 2 x 1 y 2 ;
2
2
г) f ( x, y ) x 1 y 2 î r 2 î r 2 0;
2
2
д) R1 ( ) = 2 , R 2 ( ) 0.
23
1
2
9.3. f ( x, y ) x 3 2 x 2 y + xy 2 +1, À= , Â = .
2
3
Ответ:
а) линии уровня: y = x
1
2
äëÿ À, y x
äëÿ Â;
x
x
f ( À) 1;2 , f ( Â) 3;4 ;
б) f l À
1
;
2
x 1 1
2 0 x 1
2
в) f ( x, y ) 2 ( 1, 2)
x 1, y 2
y 2 +î r ,
y
2
0
2
2
ãäå r 2 x 1 y 2 ;
2
2
г) f ( x, y ) 2 x 1 2 y 2 x 1 y 2 +î r 2 ;
2
2
д) R1 ( ) = R2 ( ) 0 0;1.
9.4. f ( x, y ) e x
Ответ:
2
y2
0
1
, À= , Â = .
0
1
а) линии уровня: x = y = 0 äëÿ À, x 2 + y 2 2 äëÿ Â;
f ( À) 0;0 , f ( Â) 1;1 2 e2 ;
б)
f
l À 0 l;
x 1
2 0 x
2
в) f ( x, y ) 1 0;0 ( x, y )
y +î r ,
2
y
0
2
ãäå r 2 x 2 y 2 ;
г) f ( x, y ) 1 x 2 y 2 + î r 2 ;
д) R1 ( ) = e2 1 = 2 2 + î 2 , R2 ( ) R1 ( ) 2 2 î 2 .
2
2
3
x
9.5. f ( x, y,z ) ln z, À= –1 , Â = 1 .
y
1
2
Ответ:
а) линии уровня: x = 0 èëè z 1 äëÿ À, y
x ln z
äëÿ Â;
3ln 2
3
f ( À) 0;0; 2 , f ( Â ) ln 2; 3 ln 2; ;
2
б)
f
l À
2
;
6
24
x 2
0 0 1 x 2
1
в) f ( x, y,z ) 0;0; 2 y 1 x 2, y 1, z 1 0 0 2 y 1 +î r 2 ,
z 1 2
1 2 2 z 1
ãäå r 2 x 2 y 1 z 1 ;
2
2
2
г) f ( x, y,z ) 2 z 1 x 2 z 1 2 y 1 z 1 z 1 +î r 2 ;
2
д) R1 ( ) 2 ln 1+ + 2 = 4 2 î 2 , R2 ( ) = R1 ( ) 4 2 0 î 2 ;
2 1
2
1
x2
9.6. f ( x, y,z ) +cos z, À= 1 , Â = 2 .
y
0
1
Ответ:
а) линии уровня: x 2 = 5 cos z y äëÿ À, x 2 = 0,5 cos 1 cos z y äëÿ Â;
f ( À) 4; 4;0 , f ( Â ) 1; 0, 25; sin 1 ;
f
б)
8
;
3
l À
x 2
2 4 0 x 2
1
в) f ( x, y,z ) 5 4; 4;0 y 1 x 2, y 1, z 4 8 0 y 1 +î r 2 ,
z 2
0
0 1 z
ãäå r 2 x 2 y 1 z 2 ;
2
2
г)
f ( x, y,z ) 5 4 x 2 4 y 1 x 2 4 x 2 y 1 4 y 1
2
д)
2
R ( )
2
1+
1
R2 ( ) = R1 ( )
17
2
+ cos 5 8
2
17
2
1
2
z2 +î r2 ;
2 î 2 ,
2 0 î 2 ;
Задачи 10
Найдите локальные экстремумы следующих функций 10.1-10.8. Существуют ли у
них глобальные экстремумы на всем множестве определения?
10.1.
f x, y x 2 y 1 ;
2
Ответ: 0;1 – глобальный минимум.
10.2.
f x, y xy;
Ответ:экстремумов нет.
10.3.
f x, y x y ;
Ответ: {( x, y ) | x , y x} – множество точек глобального минимума.
2
25
f x, y x 2 y 2 ;
Ответ: экстремумов нет.
10.5. z x 3 2 xy y 2 x 1 ;
Ответ: (1; 1) – локальный минимум; глобальных экстремумов нет.
10.4.
f x, y e x y ;
Ответ: (0; 0) – глобальный минимум.
10.7. f x, y, z 2 x3 3 y 3 z 3 6 x 2 9 y 27 z 1 ;
Ответ: (0; 1; –3) – локальный максимум; (2; –1; 3) – локальный минимум;
глобальных экстремумов нет.
3
10.8. f x, y, z x y 3 3z 3 3xy 9z;
Ответ: (1; –1; –1) – локальный минимум; глобальных экстремумов нет.
2
10.6.
2
Упражнения к теме 3
Задачи 1
Для следующих задач математического программирования 1.1 – 1.5 требуется:
а) привести задачу к стандартному и унифицированному видам;
б) изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции; определить,
выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения;
в) определить,
является
ли
данная
задача
выпуклой
(задачей
выпуклого
программирования); для выпуклых задач проанализировать выполнение условия
Слейтера (необязательный пункт к § 8);
г) вычислить и изобразить на рисунке направления градиентов целевой функции и
функций, описывающих активные ограничения в угловых точках;
д) по рисунку определить точки, в которых не выполняется условие Якоби; результат
подтвердить аналитически;
е) рассматривая различные наборы активных ограничений, последовательно увеличивая
их количество, начиная с нуля, найти с использованием рисунка точки (вычислить
координаты), в которых выполняется условие неотрицательной разложимости
градиента
целевой
функции
по
градиентам
функций,
задающих
активные
ограничения, найти коэффициенты разложения;
ж) опираясь на известные теоремы, определить точки, в которых имеет место локальный
и глобальный максимумы; если теоремы не дают ответа, изобразить необходимые
линии уровня целевой функции и проверить геометрически наличие или отсутствие в
этих точках локального и глобального максимумов;
з) подтвердить выполнение или невыполнение условий Куна-Таккера в угловых точках с
использованием функции Лагранжа: решить систему уравнений и проверить
неравенства, найти множители Лагранжа и сравнить с результатами пункта е) –
необязательный пункт к § 6,7.
26
1.1.
x12 x22 max ï î x1 , x2 :
x1 x2 1,
x , x 0.
1 2
Ответ: б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду;
е) (0;0), (0,5;0,5), (1;0), (0;1) ; f (0;0) 0 g2 0 g3 ,
f (0,5;0,5) 1 g1 , f (1;0) 2 g1 2 g2 , f (0;1) 2 g1 2 g3 ,
g1 x1 x2 , g2 x1, g3 x2 ; ж) (1;0), (0;1) – точки строгого
локального максимума (по теореме об угловой точке), а также и
глобального.
1.2.
x1 2 x2 max ï î x1 , x2 :
2
2
x1 x2 1,
x , x 0.
1 2
Ответ: б) выполняется; в) является, условие Слейтера выполняется;
е,ж) 1 ; 2 – глобальный максимум.
5 5
1.3.
x12 x22 max ï î x1 , x2 :
2
2
( x1 1) ( x2 1) 4,
x , x 0.
1 2
Ответ: б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду;
е) (0;0), ( 2 1; 2 1), ( 3 1;0), (0; 3 1) ; ж) ( 3 1;0), (0; 3 1)
– точки строгого локального максимума, а также и глобального.
1.4.
x1 2
2
x22 max ï î x1 , x2 :
2 x1 x2 2,
2 x1 4 x2 8,
x , x 0.
1 2
Ответ:
б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду,
кроме точки (0;2), эту точку нужно исследовать особо;
е) (2;0), (4;0), ( 0;2), 2,4; 0,8 ; ж) (4;0), (0;2) – точки строгого
локального максимума; (0;2) – точка глобального максимума.
1.5.
x1 max ï î x1 , x2 :
x (1 x )3 0,
2
1
2
x
x
1 2 2,
x1 , x2 0.
27
Ответ:
б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду,
кроме точки (1;0), эту точку нужно исследовать особо; е) ; ж) (1;0) –
точка глобального максимума (графический анализ).
Задача 2
Фирма производит два вида товаров: А и В. Для производства x единиц товара А и
y единиц товара В требуется заранее приобрести g ( x, y ) x 2 y 2 xy кг сырья. Из-за
ограниченности объема склада количество сырья не должно превышать 2100 кг. Доход от
реализации единицы товара А составляет 60 тыс. р., а от реализации единицы товара В –
30 тыс. р. Определить план выпуска, максимизирующий доход. Оценить, на сколько
изменится доход, если объем склада увеличить на 1 кг.
Ответ:
x (50; 40), f 4200 òû ñ. ð., f 1 òû ñ. ð.
Задача 3
Фирма производит продукцию трех видов: A, B, C. Для ее изготовления
используются оборудование и трудовые ресурсы. Для изготовления единицы продукции A
требуется один час работы оборудования и два человеко-часа трудовых ресурсов, для
изготовления единицы продукции B – два часа работы оборудования и один человеко-час
трудовых ресурсов, продукции C – один час работы оборудования и 3 человеко-часа.
Прибыль (в тыс.р.) от реализации продукции A и B прямо пропорциональна ее количеству
с коэффициентом пропорциональности 0,3 и 0,18 соответственно, а вида C – квадратному
корню из ее количества с коэффициентом пропорциональности 13,2. В настоящее время
фирма арендует 1210 часов работы оборудования и 2420 человеко-часов трудовых
ресурсов
в
месяц.
Определить
план
выпуска,
максимизирующий
прибыль.
Проанализировать чувствительность максимальной прибыли к константам ограничений
на ресурсы. Дополнительная аренда одного часа работы оборудования стоит 30 р., а
одного человеко-часа трудовых ресурсов 300 р. Во что выгоднее вложить небольшие
дополнительные средства: в аренду оборудования или трудовых ресурсов. Какую
дополнительную прибыль получит фирма при дополнительном вложении 3 тыс.р. в тот
или иной вид ресурсов.
Ответ: x (835;75; 225), f 462 òû ñ.ðóá. ; при дополнительном
вложении
3 тыс.р. в аренду оборудования фирма получит дополнительную прибыль
в размере f 2 тыс.р., а при вложении той же суммы в аренду
трудовых ресурсов получит f 1,4 тыс.р.
Задачи 4
28
Методом Лагранжа найдите условные локальные экстремумы следующих функций
4.1 – 4.6 и проверьте найденные экстремумы на глобальность:
4.1. z xy при x y 1 .
Ответ: (0,5; 0,5) – глобальный максимум.
4.2. f x; y x 2 y 2 xy x y 4 при x y 3 0 .
Ответ: ( 1,5; 1,5) – глобальный минимум.
4.3. f x; y xy 2 при x 2 y 1 .
1 1
Ответ: (0;1) – локальный минимум; ( ; ) – локальный максимум;
3 3
глобальных экстремумов нет.
1 1
4.4. f x; y
при x y 2 .
x y
Ответ: экстремумов нет.
4.5. z x y 2 при xy 1 .
Ответ: (1; 1) – локальный минимум; (1; –1) – локальный максимум; глобальных
экстремумов нет.
4.6. f x; y; z 2 x y 2 z
при x 2 y 2 z 2 36 .
Ответ: (4; 2; – 4) – глобальный максимум; (– 4; –2; 4) – глобальный минимум.
Задача 5
Составьте математическую модель и найдите решение следующей задачи.
Фирма получила заказ на производство 9000 деталей. Для производства деталей фирме
требуются ресурсы двух типов. Производственная функция имеет вид g ( x1 , x2 ) x12 x2 , где
xi , i 1,2, – количество единиц ресурсов соответствующего типа, g – количество
произведенных деталей. Одна единица ресурса первого типа стоит 2000 р., второго –
3000 р.
Методом Лагранжа с проверкой знакоопределенности окаймленного гессиана
найдите оптимальный план приобретения ресурсов с минимальными расходами. Оцените
по множителю Лагранжа, насколько увеличатся минимальные расходы фирмы на
приобретение ресурсов, если заказ будет увеличен на одну деталь.
Убедитесь в глобальной оптимальности построенного плана, сведя задачу к
одномерной.
Ответ: x1 30, x2 10; на 10 3 р.
Задачи 6
Исследуйте на выпуклость – вогнутость функции 6.1 – 6.6:
6.1.
f x, y 2 ;
29
6.2.
Ответ: выпукла и вогнута на
f x, y 2 x y ;
2
Ответ:выпукла и вогнута на
6.3.
2
(не строго).
(не строго).
f x, y x y 1 ;
2
2
6.4.
Ответ: строго выпукла на
f x, y x 2 y 2 ;
6.5.
Ответ: не выпукла и не вогнута ни на каком подмножестве
внутренностью.
f x, y x 3 y 3 ;
6.6.
Ответ: выпукла на {( x, y ) : x 0, y 0} и вогнута на {( x, y ) : x 0, y 0} .
f x, y e x y ;
Ответ: выпукла на
2
2
.
2
с непустой
(не строго).
Задачи 7
Убедитесь, что задачи 7.1 – 7.3 являются задачами выпуклого программирования,
что для них выполняются условия Вейерштрасса и Слейтера, и найдите решения при
помощи условий Куна-Таккера.
7.1.
f ( x ) 3x1 x2 2 x3 max ï î x1, x2 , x3 : 3( x1 1)2 x22 x32 2 , x1 0, x2 0, x3 0.
x (1,5; 0,5,1), 1.
Ответ:
7.2. f ( x ) 2 x1 4 x2 4 x3 max ï î x1, x2 , x3 : x12 4( x2 2)2 x32 6 , x1 0, x2 0, x3 0 .
x (1; 2,5; 2), 1.
Ответ:
7.3. f ( x ) x1 2 x2 3x3 max ï î x1 , x2 , x3 : 2( x1 1) 2 x22 3( x3 1) 2 5, x1 0, x2 0, x3 0.
x (0; 0; 3), 1 0, 25, 2 2, 3 2.
Ответ:
Задача 8
Сформируйте
задачу
математического
программирования,
модифицировав
экономическое содержание задачи 5 так, чтобы условие типа равенства заменилось бы на
неравенство, а решение осталось бы прежним.
Проверьте выпуклость сформированной задачи. Выполняются ли для нее условия
Вейерштрасса и Слейтера? Решение получите, воспользовавшись условими Куна-Таккера.
Ответ: x1 30, x2 10.
Задача 9
Распространите условия Куна-Таккера на случай двух прямых ограничений x
на сверху и снизу и одного непрямого ограничения:
f ( x ) max ï î x X x
: 0 x 1, g x b
,
30
если в функцию Лагранжа включены только непрямые ограничения:
L x, f x b g x
и у нее существует седловая точка x 0 , 0 :
max L x, L x 0 , 0 min L x , .
x0;1
0
Условия Куна-Таккера получите как необходимые условия максимума функции L x,
по x 0;1 и минимума по 0 в приведенном выше определении седловой точки.
Ответ:
1 x x Lx 0, L 0;
Lx 0, åñëè x 0 0, Lx 0, åñëè x 0 1; L 0.
Упражнения к теме 4
Задачи 1
Решите геометрически по схеме следующие задачи линейного программирования
1.1 – 1.7 или убедитесь в отсутствии решения, указав причину.
1.1.
f x, y x 2 y max ï î x, y:
x y 1, x 0,5y 2, x, y 0.
Ответ: нет решения.
1.2.
f x, y x y max ï î x, y:
x y 1, x 0,1y 1, x, y 0.
Ответ: 1;0 .
1.3.
f x, y x 1,5y max ï î x, y:
2 x y 2, x 2 y 2, x, y 0.
2 2
Ответ: , .
3 3
1.4.
f x, y x 2 y max ï î x, y:
2 x y 2, x 2 y 2, x, y 0.
2
Ответ: x 2 y 2, 0 x .
3
1.5.
f x, y 0 x 0 y max ï î x, y:
x y 1, x, y 0.
Ответ: x y 1, x, y 0.
1.6.
f x, y x y max ï î x, y:
x y 1, 1 x y 1.
Ответ: нет решения.
1.7.
f x, y x y min ï î x, y:
x y 1, 1 x y 1.
Ответ:
x y 1,
0 x 1.
Задачи 2
31
Приведите задачи линейного программирования 2.1 – 2.3 к стандартному и
каноническому видам.
2.1.
2.2.
2.3.
2 x1 5 x2 x3 x4 max
ï î x , , x :
1
4
x1 5 x2 x3 7,
2 x3 3x4 6,
2 x1 3x2 2 x4 1,
x1 0, x2 0, x4 0.
3 4 x1 x2 x4 min
ï î x , , x :
1
4
x1 3x2 2 x3 7,
2 x3 3x4 6,
2 x1 3x2 2 x4 1,
x2 0, x3 0, x4 0.
x1 x2 x3 x4 max
ï î x , , x :
1
4
x1 5 x2 x3 4,
2 x3 3 x4 5,
2 x1 3 x2 2 x4 1,
x1 0, , x4 0.
Задачи 3
Для словесно сформулированных оптимизационных проблем 3.1 – 3.3 требуется:
а) формализовать проблему в виде задачи линейного программирования (ввести
искомые переменные, записать таблицу исходных данных, написать в стандартном виде
формулы для целевой функции и для ограничений – неравенств);
б)
решить задачу геометрически, подтвердить геометрические решения аналитически
вычислением координат найденной и соседних вершин, с последующей проверкой их
допустимости и сравнением значений целевой функции;
в) градиентным анализом найти, при каком соотношении между коэффициентами целевой
функции решение останется в той же вершине, что и для исходного варианта этих
коэффициентов;
г) подтвердить полученное решение компьютерными расчетами симплекс-методом с
помощью системы Microsoft Excel1) или ей подобной.
3.1. На заводе имеется запас олова и свинца в объеме 3 тонн и 5 тонн соответственно. Из
этих металлов завод может изготовить два вида сплавов: с содержанием олова 30% и 50%
(остальное свинец). Сплав первого вида завод может реализовать по цене 4200 р. за кг,
второго – 6000 р. за кг. Требуется составить оптимальный план производства сплавов и
вычислить максимальный доход.
Î ò âåò : (5т.;3т.), 39·106 р.
3.2. На рынке имеются два вида продуктов питания А и В, которые можно купить по
ценам 240 р. и 300 р. за килограмм. В одном килограмме продукта А содержится 50 г
питательного вещества М и 100 г питательного вещества N. Для продукта В
соответствующие цифры составляют 100 и 100. Сколько требуется закупить продуктов А
) Описание правил работы содержится, например, в учебнике А.В. Соколова и В.В. Токарева «Методы
оптимальных решений. Т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010» (стр. 487 – 501).
1
32
и В, чтобы общее количество питательных веществ М и N составляло не менее 4 кг. и 5 кг.
соответственно, а расходы были минимальны? Вычислите также минимальные расходы.
Î ò âåò : (20 кг; 30 кг.), 13800 р.
3.3. Для производства сплава олова со свинцом заводу необходима ежедневная выработка
не менее
3 т. олова и 5 т. свинца. Завод имеет возможность заключать договоры с двумя
горнодобывающими фирмами. Первая фирма добывает руду, содержащую 5% олова и
10% свинца, и готова поставлять руду по цене 3600 р. за тонну. Вторая фирма добывает
руду, содержащую 12% олова и 14% свинца, и готова поставлять руду по цене 5400 р. за
тонну.
Найдите
оптимальный
план
закупок
заводом
руды
в
этих
фирмах,
минимизирующий стоимость закупки необходимого количества сырья и вычислите
минимальную стоимость закупки.
Ответ: (36 т.; 10 т.), 18,36 тыс. р.
Задачи 4
Для словесно сформулированных ниже оптимизационных проблем 4.1, 4.2
необходимо:
а) выписать
прямую и двойственную
дать экономический
комментарий
задачи линейного
программирования и
двойственной задачи в духе п. 3.1;
б) геометрически решить задачу с двумя переменными, прямую или двойственную,
а решение сопряженной задачи восстановить
по соотношениям дополняющей
нежесткости, проверив потом допустимость и оптимальность найденной пары решений;
в) определить пределы, в которых найденные значения двойственых переменных могут
быть использованы для расчета влияния изменений объемов сырья на экстремальные
значения целевой функции прямой
задачи,
и ответить
на
последний
вопрос
словесной формулировки.
4.1. У предприятия имеются запасы двух видов сырья: S1 и S2 в количествах 800 кг. и
1400 кг. Предприятие может изготавливать три вида продукции: Р1, Р2 и Р3. Затраты сырья
S1 на один килограмм продукции разных видов составляют соответственно 4;2;1 кг., а
сырья S2 – 2;6;4 кг. Продажная цена готовых изделий: 240; 420; 260 р./кг.. При
планировании объемов производства максимизируется доход. Какое сырье выгодно
докупить предприятию по цене 40 р./кг. для S1 и 50 р./кг. для S2 на сумму 100 р.
b1
[ 1 ; 2] ; докупать S2.
3
b2
4.2. Фирма по производству творожной пасты может выпускать два сорта пасты,
Ответ: x (100 кг.; 200 кг.; 0), y (30;60),
используя три вида сырья – молоко, наполнители и специальные добавки. Затраты молока
33
на один килограмм пасты первого вида составляют 0,15 кг., а второго вида – 0,75 кг.
Затраты наполнителей на один килограмм пасты первого вида составляют 0,5 кг., а
второго вида – 0,25 кг. Наконец, затраты добавок на один килограмм пасты первого вида
составляют 0,35 кг., а при производстве второго вида пасты не используются. Запасы
молока на фирме составляют 525 кг., наполнителей – 400 кг., добавок – 210 кг. Продажная
цена 1 кг. первого вида пасты составляет 200 рублей, а второго вида – 300 рублей. Найти
план производства, максимизирующий доход от продажи творожной пасты, и
соответствующее значение дохода. Какое сырье выгодно докупить предприятию по цене
20 р./кг. для молока, 30 р./кг. для наполнителей и 50 р./кг. для добавок на сумму 1000 р.
Ответ: x* (500 кг.; 600 кг.), y (296;311;0), b1 525 135 ;
b2 400 225 ;
525 675 ,
400 45 , b3 210 35 ; 210 ;
докупать молоко.
Задачи 5
Решите следующие линейные целочисленные задачи 5.1, 5.2 графическим методом
и методом ветвей и границ. Проверьте правильность решения с помощью компьютера.
5.1. Фирма, производящая дачные дома двух видов, решила прекратить свою
деятельность. Однако у нее остался неизрасходованным строительный материал, в том
числе, из наиболее ценного: 7,5 м3 бруса и 10 м3 вагонки. Фирма решила из оставшегося
материала изготовить последнюю партию домов. Для постройки дома первого типа
требуется 2 м3 бруса и 1 м3 вагонки. Для постройки дома второго типа требуется 1 м3
бруса и 2,5 м3
вагонки. Рыночная цена домов составляет 600 и 900 тысяч рублей
соответственно. Определить оптимальный план использования остатков строительных
материалов, обеспечивающий максимум дохода.
Ответ: план строительства (2;3), доход 3900 тыс. р.
5.2. Фирма по производству пластмассовых изделий арендовала помещение
площадью 100 м2. Для производства продукции необходимо приобрести оборудование.
Фирма выделила на эти цели 900 тыс. р. На рынке имеется два вида подходящего
оборудования, которое может использоваться параллельно: стоимостью 90 тыс. р. и 150
тыс. р. за один экземпляр. Один экземпляр оборудования первого вида имеет
производительность 2 т./сут. и занимает площадь 15 м2, а второго вида – имеет
производительность 3 т./сут. и занимает площадь 18 м2. Определить оптимальный план
закупки оборудования, максимизирующий его суммарную производительность.
Ответ: план закупки (3; 3), производительность 15 т./сут.
34
Упражнения к теме 5
Задача 1
Требуется
оценить
минимальное
время,
потребное
для
создания
малого
предприятия, по следующему исходному перечню работ.
Наименование работы
Все предшествующие работы
Продолжительность
работы
–
_
l1
l1 , l3
1
2
3
4
l1 , l2 , l3
l1 , l3 , l4
l1 , , l6
5
6
7
l1 : формирование устава
l2 : анализ рынка
l3 : регистрация предприятия
l4 : получение кредита, аренда помещения и
приобретение оборудования
l5 : реклама
l6 : набор сотрудников
l7 : заключение договоров
Для этого нужно:
а) построить и проверить сетевой график (рекомендация – ввести условную связь – сигнал
из состояния с выполненными работами l1 , l3 в состояние с выполненными работами l1 , l2 ,
l3 );
б)
задать
числовые
значения
параметров
, 7
1 .
и
найти
минимальную
продолжительность выполнения проекта методом критического пути и посредством
формирования и решения задачи линейного программирования.
Ответ: max 1 3 4 6 7 ; 1 3 5 7 ; 2 5 7 .
Задача 2
По схеме, указанной в задаче 1 найдите минимальную продолжительность
строительства загородного дома со следующим исходным перечнем работ.
Наименование работы
Все предшествующие работы
Продолжительность
работы
l1 : выбор и корректировка проекта
–
l2 : строительство фундамента
l1
1
2
3
4
5
6
l3 : возведение стен и перекрытий
l1 , l2
l4 : строительство крыши с временной кровлей
l1 , l2 , l3
l5 : монтаж электрооборудования
l1 ,
l6 : организация водоснабжения и канализации
l1 ,
, l4
, l4
35
l7 : теплофикация дома
l1 ,
7
8
9
, l4 , l6
l8 : укладка постоянной кровли на крыше
l1 ,
, l4
l9 : внутренняя отделка помещений
l1 ,
, l7
Помимо подробного сетевого графика, построенного для заданной таблицы,
нарисуйте редуцированный граф. Убедитесь в совпадении результатов расчетов
минимального времени
выполнения проекта с использованием подробного и
редуцированного графов.
Ответ: 1
4 + max 5 9 ; 6 7 9 ; 8 .
Задача 3
На графе, построенном в задаче 2, замените продолжительности работ tij на
пропускные способности ij = tij1 дуг Si S j , характеризующие максимальное число работ,
которые могут быть выполнены за единицу времени.
Для
выбранных
Вами
чисел
ij
требуется
определить
максимальную
интенсивность q потока, который можно пропустить по построенной Вами сети из
начальной вершины в конечную, если во всех вершинах соблюдается закон сохранения
входящих и выходящих потоков.
Расчеты произведите тремя способами:
а) методом минимального разреза,
б) методом увеличивающей цепи,
в) сведением к задаче линейного программирования.
Упражнения к теме 6
Задачи 1
Решите с помощью процедуры Беллмана задачу динамического программирования
при t 1, N 4, т.е.
J max ï î ( x, y ), u :
xn 1 (2 un ) xn , x0 1,
0 un 1, n 0,1, 2,3,
yn 1 yn un xn , y0 0,
с различными критериями качества управления 1.1 – 1.3.
1.1. J y4 .
Ответ: J * 8, u* (0; 0; [0,1]; 1),
x* (1; 2; 4; 4(2 u2* ); 4(2 u2* )),
y * (0; 0; 0; 4u2*; 8).
36
3
1.2. J yn .
n 0
J * 6, u* ([0,1]; 1; 1; [0,1]),
Ответ:
x* (1; 2 u0* ; 2 u0* ; 2 u0* ; (2 u0* )(2 u3* )),
y * (0; u0* ; 2; 4 u0* ; 4 u0* (2 u0* )u3* ).
3
1.3. J y4 (1 ) yn , ãäå (0;1) фиксированный параметр, который для
n 0
облегчения можно задать численно в трех характерных вариантах: 0, 25; 0,5; 0,75.
4(1 ) ï ðè 0,5,
Ответ: J
ï ðè 0,5,
6
ï ðè 0,5,
(0; 0; 1; 1)
u (0; [0,1]; 1; 1) ï ðè 0,5,
(0; 1; 1; 1)
ï ðè 0,5,
x* (1; 2; 4; 4; 4), y* (0; 0; 0; 4; 8) ï ðè 0,5,
x* (1; 2; 2(2 u1* ); 2(2 u1* ); 2(2 u1* )), y* (0; 0; 2u1*; 4; 8 2u1* ) ï ðè 0,5,
x* (1; 2; 2; 2; 2), y* (0; 0; 2; 4; 6) ï ðè 0,5.
Дайте сравнительный экономический комментарий полученных решений.
Задача 2
Проблема «накопление – потребление» описывается динамической моделью в
дискретном времени t с безразмерными переменными:
x(t 1) x(t ) [1 u(t )] k x(t ), x(0) 1, x(T ) 1,
y(t 1) y (t ) u(t ) k x(t ), y (0) 0, y (T ) max,
0 u(t ) 1, t 0,1..., T 1.
Здесь x, y – фазовые координаты:
x(t ) – капитал, накопленный к началу интервала (t, t 1),
y(t) – нарастающий итог потребления к началу того же интервала,
u(t) – выбираемое управление: доля объема прибыли k x(t), направляемая на потребление
за время (t, t 1);
фиксированные параметры:
k (0,5;1) – процент на капитал,
T 3 – горизонт планирования.
Требуется:
пользуясь
уравнением
Беллмана,
построить
программу
u* (t )
распределения доходов, обеспечивающую максимум y*(T ) суммарного потребления при
незаданной
(оптимально
выбираемой)
конечной
величине
капитала
x (T ),
для k 0,6, T 4.
Ответ:
u*(0) u*(1) 0, u*(2) u*(4) 1; y*(4) 3,072.
37
Задача 3
а) Преобразуйте уравнения задачи 2 так, чтобы:
– на потребление можно было бы использовать не только прибыль и процент с капитала,
но и сам капитал; при этом изъятие части капитала xt в объеме vt осуществляется в
начале года t до начисления процентов;
– критерий оптимальности J сделать суммой пошаговых функций полезности,
пропорциональных корню квадратному от годового потребления;
– в задаче оставить только одну фазовую координату xt и «объемное» управление vt
вместо «долевого» u(t ) , которое использовалось в задаче 2.
б) Решите полученную задачу методом динамического программирования с
индивидуально назначенными числами
l > 1 è T 2 , дайте экономический комментарий
и сравните с «буквенным» ответом.
Ответ: а) формализация –
T 1
J vt max ï î ( x, v ) :
t 0
xt 1 ( xt vt )l , x0 1, xT 0,
0 vt xt , t 0,1,..., T 1,
ãäå l 1 k ô èêñèðî âàí í û é ï àðàì åòð;
б) решение –
Bt xt xt t , vt xt xt \ t , t 0,1, ..., T 1,
ãäå t
l T t 1 , T 1
1+ l +
x0 1, 0
проверка:
1
0
; xt
J
T 1
t 0
1;
t 2t 1 2t
1
l , t l ; ; xT 1 l 2T 1 T 1; xT = 0;
0
0
0
vt 0 B0 x0 1 .
Задача 4
Решите задачу 3 с измененным критерием:
T 1
J (vt ) β (1 ) xT max, ãäå , fix (0;1] ï àðàì åòðû .
t 0
Сравните решение с предыдущим, положив = = 0,5, l 1,5, T 2.
Ответ: J 29 ; x0* 1, v0* 0; x1* 3 , v1* 1 ; x2* 25 .
24
2
9
12
Задача 5
а) Формализуйте в виде задачи динамического программирования следующую
проблему оптимального вылова рыбы.
38
Рыбоводческое хозяйство изначально располагает в своих водоемах известным ему
запасом рыбы x. Ежегодно на протяжении T лет оно решает вопрос о размерах u годового
вылова рыбы и ее продажи, рассчитывая получать годовую прибыль (u ). К началу
следующего года оставшееся количество рыбы прирастает до F ( x u). Хозяйство
стремится максимизировать суммарную (за T лет) прибыль.
б) Выпишите
и
решите
уравнение
Беллмана
для
случая
ln u, F x u , x0 1, T 2.
Ответ: а) формализация –
T 1
J (ut ) max ï î ( x, u) : xt 1 F ( xt ut ), x0 1, 0 ut xt , t 0,1,..., T 1;
t 0
б) решение –
B0 ( x0 1) ln 2 J ; x0 1, u0 2 ; x1 1 u1 ; x2 0.
3 3
3
3
Задача 6
Решите по общей схеме из п. 2.3 задачу о расплате предприятия за кредит в течение
двух лет с годовым шагом по времени n 0;1:
J x2 max ï î ( x, y, z ), u :
xn 1 (1 r ) xn un ,
x0 1 K ,
yn 1 (1 k ) yn un , 0 un rxn , y0 K , y1 0, y2 0,
zn 1 zn un ,
(1)
z0 0, z1 lK .
Здесь
xn – основные производственные фонды развивающегося предприятия (безразмерная
фазовая координата);
y n – долг предприятия банку, начисляемый по правилу сложных процентов (безразмерная
фазовая координата);
zn – объем выплат банку, произведенных предприятием с начала года 0 (нарастающий
итог, безразмерная фазовая координата);
un – годовые отчисления банку из прибыли предприятия (безразмерное управление;
остаток прибыли rxn un идет на развитие предприятия);
r – годовая рентабельность предприятия (постоянный заданный параметр);
k – годовой банковский процент (постоянный заданный параметр r k 0 );
K – фиксированный размер кредита, взятого предприятием в банке в начале года 0 и
мгновенно превращенный им в основные фонды (параметр K 0 );
39
l – доля минимальной промежуточной выплаты, устанавливаемая банком (фиксированный
параметр 0 l 1).
Для
облегчения
выкладок
задайте
численные
значения
параметров
(индивидуальные) так, чтобы 0 k r 1 k , 0 l 1, (l r ) K r, K 0, например,
r 0,2, k 0,1, l 0,2, K 0,5.
Ответ: J * min{J 1 ( K ); J 2 ( K )}, ãäå
J 1 ( K ) (1 r ) 2 [(1 r ) 2 (1 k ) 2 ( r k )l ]K ,
J 2 ( K ) (1 r ) 2
( r k )(1 r )r
rk
2
2
[(1 k ) 2 (1 r ) r ] K .
(1 r ) (1 k )
1 k r
1 k r
Условия разрешимости:
2
l
(1 k )
K 0, K max 1 ;
1 1 äëÿ 0 k r 1 k , 0 l 1.
r (2 k )r
Задача 7
Получите решение задачи 4, не прибегая к линейной свертке критериев, а
ограничив снизу финишную величину капитала, т.е.
T 1
J vt max, xT a fix 0 ï àðàì åòð (âì åñòî ).
t 0
Ответ: J * 1 при l 1,5, T 2, a 25 .
3
12
Задача 8
Решите следующую задачу линейного программирования методом Беллмана:
f ( x ) x1 2 x2 max ï î x
2
: 2 x1 x2 2, x1 3x2 3, x1, x2 0,
предварительно сведя ее к динамической.
Ответ: x1 3 , x2 4 , f 11 .
5
5
5
Упражнения к теме 7
Задача 1
Многим людям хочется заработать побольше денег y1 и одновременно иметь как
можно больше свободного времени y 2 .
Эти два противонаправленных критерия задаются в безразмерном виде как
функции одного скалярного управления x , выбираемого индивидуумом:
40
0 ï ðè 0 x 0,1,
y1 x 2,5( x 0,1) ï ðè 0,1 x 0,5, y2 x 1 x , x [0; 1] ,
1 ï ðè 0,5 x 1.
Здесь x – доля рабочего времени от астрономического, y1 – доля фактической
сдельной заработной платы от максимально возможной на данной работе, y2 – доля
свободного времени от астрономического. Первый участок кусочно-непрерывной
функции y1 ( x ) моделирует неоплачиваемые затраты времени на поездки к месту работы и
обратно (все цифры здесь и далее – условные). Второй участок – основной: на нем
заработная плата растет линейно по отработанному времени. Третий участок моделирует
насыщение зарплаты на оговоренном уровне.
Остаток астрономического времени за вычетом рабочего x считается свободным
временем y2 .
Требуется:
– изобразить множество достижимости Y на плоскости критериев ( y1, y2 ) , выразив x
через y2 ;
– выделить графически Парето-эффективное множество Y 0 и найти его прообраз X 0 .
Ответ:
Y 0 {( y1 , y2 ) : y2 0,9 0, 4 y1 ,0 y1 1} {( y1 0; y2 1)} ,
X 0 {x : 0,1 x 0,5} {x 0} .
Задача 2
Выделите Парето-эффективное подмножество
X 0 из конечного множества
допустимых управлений X {x1 , x 2 , } , эффективность каждого из которых x i оценена
экспертами по нескольким максимизируемым или минимизируемым показателям
y i ( y1i , y2i , ) , y ij f j ( xi ) с приведенными ниже вариантами значений 2.1 – 2.4.
2.1. y1 1;1;1 , y 2 3;3;3 , y 3 4;3;2 , y ij
max, j 1,2,3.
Ответ: X 0 {x 2 , x 3} .
2.2. y1 4;2;2 , y 2 2;4;4 , y 3 3;2;4 , y 4 1;3;4 ; y ij
max, j 1,2,3.
Ответ: X 0 {x1 , x 2 , x 3} .
2.3. y1 5;1;4 , y 2 4;3;3 , y 3 5;1;4 , y 4 3;4;4 ; y1i , y3i
max, y2i
min.
Ответ: X 0 {x1 ~ x 3} .
41
Задача 3
Выделите недоминируемых кандидатов в президенты X 0 из пяти участников
предвыборной кампании
X {x1,
, x 5}
на основании следующих пятибалльных
экспертных оценок по трем критериям:
Кандидат x
x1
x2
x3
x4
x5
Привлекательность внутренней программы y1
5
3
5
5
4
Привлекательность внешней программы y2
5
2
4
4
3
Личная привлекательность кандидата y3
3
3
4
4
5
Ответ: X 0 {x1 , x 3 , x 4 , x 5} .
Задача 4
Сведите к задаче линейного программирования методом свертки критериев
следующую проблему двухкритериального выбора.
Предприятие выпускает два вида продуктов в объемах x1 , x 2 . Первый продукт
адсорбирующий, при его производстве поглощаются вредные отходы, образующиеся при
выпуске второго, загрязняющего продукта. Уровень загрязнения окружающей среды
определяется разностью в объемах их производства x2 x1 , а прибыль – суммой x2 x1
(все в безразмерных переменных). Руководство предприятия при планировании выпусков
продуктов стремится уменьшить загрязнение и, вместе с тем, увеличить прибыль. Оба
критерия приводятся к стандартной схеме максимизации посредством изменения знака у
первого из них, так чтобы y1 x1 x2
Множество
X
max, y2 x1 x2
допустимых управлений
x1, x2
max.
задается ограничениями по
производственным мощностям и условиями неотрицательности выпусков:
X = x1 , x2 : x1 x2 8, 0 x1 7, 0 x2 6.
Первая мощность, составляющая 8 безразмерных единиц, используется для
производства обоих продуктов. Две другие, в 7 и 6 единиц, специализированы по
продуктам. Рынки сырья и готовой продукции считаются неограниченно емкими,
ограничение по трудовым ресурсам даже при полной загрузке производственных
мощностей считается выполненным.
42
Решите полученную задачу линейного программирования геометрически на
y1 , y2 ,
критериальной плоскости
приняв во внимание, что при невырожденных
линейных преобразованиях y = f x грани и вершины множества допустимости X
переходят в такое же число граней и вершин множества достижимости Y .
Ответ: Y 0 ( y1, y2 ) : y1 y2 14, y1 6;7.
Задача 5
Для
заданных
ниже
вариантов
5.1, 5.2
континуальных
множеств
двухкомпонентных векторов допустимых управлений X {x ( x1, x2 )} и вариантов
критериев y1 ( x ) , y2 (x ) требуется:
а) построить множество достижимости Y {y ( y1 , y2 )} по аналитически заданному
соответствию y f (x ) ;
б) геометрически выделить из множества Y подмножества Y 0 эффективности, отметить
его прообраз X 0 на плоскости управлений;
в) продублировать задание б) аналитически методом критериальных ограничений.
5.1. X 0;1 0;1, y1 x1 x2
2
Ответ: Y 0
y , y : y
1
2
5.2. X 0;1 0;1 , y1 x1x2
1
2
max, y2 x2 x1
max.
1 y2 1, 0 y2 1 , X 0 x1 , x2 : 0 x1 1, x2 1.
2
min, y2 x1 x2
max.
Ответ: Y 0 y1 , y2 :1 y2 1 y1 2,
X 0 x1 , x2 : 0 x1 1, x2 1
x1 , x2 : x1 1,
0 x2 1.
Задача 6
Потребитель решает, какую сумму денег из имеющихся ему потратить на
сегодняшние покупки и как ее распределить между различными товарами, а какую сумму
отложить на будущее. Предложение товаров считается неограниченным, а продажные
цены – фиксированными.
Словесно представленная ситуация моделируется как двухкритериальная задача в
безразмерных переменных:
y1 x1 x2 ~ max, y2 x1 + x2 ~ min, x1 + x2 1, x1 ,x2 0,
43
где y1 – максимизируемая полезность сегодняшнего потребления, y 2 – минимизируемая
доля средств, истраченных на сегодняшние покупки ( 1 y2 – запас на будущее), xi – доля
средств, потраченных на покупку товара вида i 1,2.
Требуется:
– построить множество достижимости Y {( y1 , y2 )} , проверить его выпуклость и
замкнутость;
– геометрически выделить его Парето-эффективную границу Y 0 , не заменяя
минимизируемый критерий y 2 на эквивалентный максимизируемый критерий;
– геометрическое решение подтвердить аналитически, максимизируя по методу
Лагранжа
–
линейную свертку критериев (п.2.2) y1 1 y2 , 0;1 ;
определить, каким должен быть коэффициент для получения разных точек и
участков паретовской границы Y 0 ?
Ответ: Y 0 {( y1 , y2 ) : y1
1
2
y2 , 0 y2 1}, X 0 { x1 ,x2 : x1 = x2
1
2
y2 , 0 y2 1} .
Задача 7
Руководство региона готовит проект расходов регионального бюджета по двум
укрупненным позициям:
x1 – доля расходов на социальные нужды от общей суммы доходов,
x2 – доля расходов на развитие инфраструктуры в пределах бюджетного ограничения:
x1 x2 1 .
По каждому из этих направлений экспертами определены минимально допустимые
уровни расходов, а по инфраструктуре сформирован и максимальный уровень. Эти уровни
приняты как обязательные для проекта бюджета:
x1 0,2, 0,4 x2 0,1 .
Центральные органы оценивают региональный бюджет по критерию y1 ( x1 , x2 ) , а
жители региона – по другому критерию y2 ( x1 , x2 ) того же вида, но с другими весовыми
коэффициентами:
y1 0,6 x1 0,4 x2 , y2 0,4 x1 0,6 x2 .
Руководство региона стремится максимизировать оба этих критерия и хочет
формальными методами сузить множество рациональных решений ( x1 , x2 ) .
Требуется:
44
а) записать множество X допустимых решений ( x1 , x2 ) аналитически в виде системы
неравенств и представить его графически;
б) записать аналитически и изобразить множество достижимости Y на критериальной
плоскости ( y1 , y2 ) с учетом свойства, указанного в конце формулировки задачи 4;
в) графически выделить Парето-эффективную границу Y 0 множества достижимости
Y и показать ее прообраз X 0 на графике из задания а);
г) указать,
при
каких
значениях
весовых
параметров
1 ,2 0 ,
1 2 1
максимизация по ( y1 , y2 ) Y линейной свертки критериев 1 y1 2 y2 дает в
качестве решения соответствующие угловые точки и отрезки паретовского
множества Y 0 (см. п.2.3);
д) графически найти идеальную точку ( y11 , y21 ) , определенную в ( 11 ), и графически на
плоскости ( y1 , y2 ) решить задачу о максимальной близости к идеалу по расстоянию
1 1
(
y
y
)
j
j .
1
j 1
yj
2
L
1
Рекомендация к этапу д): убедитесь, что на плоскости ( y1 , y2 ) линии уровня
минимизируемой функции L1 const представляют собой ромбы с центром в идеальной
точке ( y11 , y21 ) , вытянутые по оси y1 или y 2 , и найдите точку соприкосновения самого
маленького ромба с множеством достижимости Y .
Ответ:
à, á)
x2
y2
x
5
•
22
xx
x
y5
4
x
y2
3
x1
•
y4
y1
y3
•
Y0
y1
в) вершины: x2 = (0,2; 0,1), x3 = (0,9; 0,1), x4 = (0,6; 0,4), x5 = (0,2; 0,4) и y2 = (0,16; 0,14),
y3 = (0,58; 0,42), y4 = (0,52; 0,48), y5 = (0,28; 0,32); множество X 0 – ребро x3x 4 ; множество
Y 0 – ребро y 3y 4 ;
45
г) ребро y 3y 4 при 1 = 0,5, 2 = 0,5; вершина y3 при 1 > 0,5, 2 < 0,5; вершина y4 при
1 < 0,5, 2 > 0,5;
д) идеальная точка y1 = (0,58; 0,48), наименьшее расстояние L1 = 0,103 от вершины y4.
Задача 7
Докажите, что внутренние точки множества достижимости Y в критериальном
пространстве не могут быть эффективными, т.е.
(int Y ) Y 0 .
Постройте примеры, для которых прообразы
x0
эффективной точки
принадлежат и не принадлежат границе множества допустимости X
y0
в пространстве
управлений x .
Задача 8
Дайте определение и геометрическую интерпретацию Парето-эффективной границы для
двух критериев, первый из которых максимизируется, а второй – минимизируется (без
замены знака у второго критерия).
Задача 9
Все ли допустимые точки x j X , в которых достигается абсолютный максимум по
x X
одного из максимизируемых критериев y j f j ( x ) будут эффективными по
нескольким критериям, т.е. обязательно ли
x j X 0 , если f j ( x j ) max f j ( x) ?
xX
Как соотносятся множества
X j Arg max f j ( x) и X 0 ?
xX
Упражнения к теме 8
Задача 1
Торговая база составляет заявку производителю на поставку продукции, не зная
точно будущего спроса своих потребителей. Предполагается, что фактическая поставка
совпадает с планируемой по объему и производится однократно в оговоренный момент
времени.
Заказанного объема продукции должно хватить, чтобы полностью удовлетворить
спрос потребителей на всем периоде планирования, заканчивающегося в известный
46
момент очередной поставки. Планируемый объем поставки x должен быть кратен
единичной грузоподъемности используемых однотипных транспортных средств и не
может превышать емкости склада, составляющей 4 единицы.
К моменту составления заявки прогнозируется три ожидаемых варианта будущего
спроса: низкий , средний и высокий , исчисляемые в тех же единицах,
что и планируемая поставка и емкость склада.
Продажная и покупная цены продукции известны заранее. Издержками на
хранение продукции и ее потерями при хранении пренебрегается.
База стремится к увеличению прибыли, придерживаясь принципа наилучшего
гарантируемого результата.
Ожидаемая прибыль базы f x, задается таблично:
x
0
1
2
3
4
1
–∞
2
1
0
–1
2
–∞
–∞
4
3
2
3
–∞
–∞
–∞
6
5
Символом –∞ помечены недопустимые для базы ситуации.
Требуется:
а) проверить условие разрешимости,
б) построить наилучшее гарантирующее решение с позиции базы.
Ответ:
а) 0 3;4 ,
б) x 0 = 3, f 0 0.
Задачи 2
На конечных множествах возможных стратегий управления U {ui , i 1,…, n} и
ожидаемых возмущений
{ j , j 1,…, m}
известны значения максимизируемого
показателя качества (типа прибыли), заданные в виде матрицы A aij f ui , j .
m
n
Строки матрицы отвечают номеру стратегии управления i , а столбцы – номеру
возмущения j . Несобственное значение используется как признак недопустимости
управления при каких-то возмущениях.
Для каждой из предложенных в 2.1 – 2.4 матриц A требуется:
а) выбрать оптимальные гарантирующие стратегии
u0
и найти максимальный
гарантированный результат f 0 ;
47
б) провести сопоставление с идеальным управлением u1 , установить наличие или
отсутствие седловой точки;
в) выбрать стратегии
u
2
,u 3 , предельно близкие к идеальным по наихудшим
отклонениям в критерии, абсолютным u 2 и относительным u 3 ;
г) построить оптимистическое решение u 4 , 4 ;
д) выбрать оптимальную стратегию u 5 , руководствуясь принципом равновероятности
возмущений.
Образец решения – задача уклонения от налогов.
2.1
2.2
2.3
2.4
0,7
0,5
0,3
A
0,6
0,5
0,2
A
0,1
0,2
0,3
0,8 0,9
1
0,7 0,8
0,8 0,9
0,6 0,8
0,2 0,8
0,3 0,6
0,2 1
0,5 0,9
0,4 0,8
0,6
0,2
0,4
A
0,5
0,3
0,3
0,7
0,2
A
0,4
0,4
0,6 0,8
0,7 1
0,5 0,7
0,8 0,9
0,6
0,6 0,8
0,6 0,7
0,9
0,8 0,9
0,5 1
0,7 0,8
0,6
Ответ:а) u 0 = 4, f 0 = 0,6;
б)
1
u
1
F ()
2
3
1
{2; 5}
{2; 5}
0,7
0,8
0,9
в) u = 4 , u = 4;
г) u 4 {2; 5}, 4 = 3;
д) u 5 = 2.
2
3
Ответ: а) u 0 {2; 5}, f 0 = 0,2;
б)
1
2
u ()
F ()
1
3
6
6
4
0,3
0,6
0,9
в) u 2 {4, 5} , u 3 = 5;
г) u 4 3, 4 = 3;
д) u 5 = 4.
Ответ: а) u 0 = 3, f 0 = 0,4;
б)
u ()
F ()
1
1
2
3
5
4
2
0,5
0,8
1
в) u = 5 , u = 3;
г) u 4 2, 4 = 3;
д) u 5 = 5.
2
3
Ответ: а) u 0 = 5, f 0 = 0,4;
б)
u1 ()
F ()
1
2
3
2
0,7
3
0,8
4
1
в) u 2 = 5 , u 3 = 5;
г) u 4 4, 4 = 3;
д) u 5 = {3, 5}.
48
Задача 3
Фирма планирует объем x своего производства в условиях неточного знания
выпусков конкурирующего производства à, b , где 0 < à < b < 1 . Объемы производств
x и измеряются в единицах переработки основного сырья, общие запасы которого
ограничены:
x+ 1.
Кроме того, выпуск
x0
ограничен сверху известной
производственной мощностью V фирмы x V = fix < 1 .
Рентабельность фирмы линейно падает с ростом суммарного объема производства
x + из-за падения цены на готовую продукцию с ростом предложения и увеличения
цены на сырье с ростом спроса. Однако скорость падения будущей рентабельности
1 x + неизвестна, она прогнозируется в диапазоне k k .
Фирма добивается увеличения своей прибыли F = x.
Требуется:
а) построить множество X 0 допустимых гарантирующих планов x ;
б) конкретизировать условие разрешимости в классе гарантирующих планов;
в) найти максимальную гарантированную оценку прибыли
f0
и оптимальный
гарантирующий план x 0 ;
г) сравнить аналитически и графически гарантирующий план с идеальным управлением
x1 по условиям разрешимости, а также по фактическим значениям прибыли f и по ее
гарантированным оценкам f 1 , f 0 , проверить наличие (или отсутствие) в задаче седловой
точки.
Все этапы решения сопроводить экономическими комментариями.
Ответ:
а) X 0 x : 0 x V , x 1 b , где x – объем собственного производства, V и b –
максимально возможные объемы собственного и конкурирующего производств;
б) V 0, b 1 ;
в) f 0 1 x b k x 0 , x 0 min x ; x ,
где x min V ; 1 b,
k
x 1 bk / 2k ,
– максимально возможная скорость падения рентабельности собственного
производства;
г) x1 , min x 1 ; x1 , f x1; , 1 x1 x1 f x 0 ; , , f 1 f 0 ,
где x 1 minV ; 1 ,
49
x1 1 / 2 ,
и
– фактические значения объема конкурирующего
производства и скорость падения собственной рентабельности;
условия разрешимости совпадают с б);
есть седловая точка.
Задачи 4
Выбрать из шести возможных планов x , соответствующих строкам матрицы
A = aij
f xi , j ,
наилучшие
вероятностно-гарантирующие
планы
матричных задач 4.1–4.4 с указанными там вероятностями 1 ,2 ,3
возмущений 1 ,2 ,3
x R
для
реализации
(соответствуют столбцам матрицы A ) и значениями надежности
решения R .
Сравнить максимальные вероятностно-гарантированные оценки критерия качества
c( R ) и максимальные гарантированные оценки f 0 , полученные в соответствующей
задаче 2.1 −2.4. Может ли, и если может, то с какой вероятностью, реализоваться
возмущение , при котором величина критерия f x , окажется хуже, чем f 0 ?
4.1.
0 ,7
0 ,5
0 ,3
A
0 ,6
0 ,5
0 ,8
0 ,7
0 ,8
0 ,6
0 ,9
1
0 ,8
0 ,9
0 ,8
0 ,2
A
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,2
0 ,3
0 ,2
0 ,5
0 ,4
0 ,6
0 ,8
0 ,6
1
0 ,9
0 ,8
1 1 / 4 , 2 1 / 2 , 3 1 / 4 , R 0,75.
Î ò âåò : x 2, c 0,8, 2; 3 .
4.2.
1 3 / 16, 2 3 / 4 , 3 1 / 16, R 0,8.
Î ò âåò : x 4, c 0,5, 2; 3 .
4.3
50
0 ,2
0 ,4
A
0 ,5
0 ,3
0 ,6
0 ,7
0 ,5
0 ,8
0 ,6
0 ,6
0 ,8
1
0 ,7
0 ,9
0 ,8
0 ,2
0 ,4
A
0 ,5
0 ,3
0 ,6
0 ,7
0 ,5
0 ,8
0 ,6
0 ,6
0 ,8
1
0 ,7
0 ,9
0 ,8
1 1 / 5, 2 3 / 5, 3 1 / 5, R 0,8.
Î ò âåò : x 1, 6, c 0,6, 2; 3 .
4.4
1 1 / 5, 2 1 / 2, 3 3 / 10, R 0,7.
Î ò âåò : x 3, c 0,8, 2; 3 .
Задача 5
Доказать, что для ограниченных снизу критериев
f ( x, )
их штрафное
доопределение
f x, äëÿ x X ( ), ãäå m const f x, , x X ;
f x,
X X ,
m äëÿ x X \ X ( ),
(1)
ослабленное по сравнению с (3) из §2 ( m вместо ), сводит задачу гарантирующего
планирования (1),(2) из §1 с возмущаемым множеством планов X к макс-мину на
прямом произведении множеств X , т.е. к задаче
max inf f x, .
xX
(2)
Рекомендация: по доопределению (1) построить функцию
x inf f x,
и сравнить ее максимум с максимумом аналогичной функции для исходной задачи (1),(2)
из §1.
Задача 6
Показать, что сужение множества ожидаемых возмущений или (и) расширение
множества U
допустимости результирующего управления
u x,
не сужают
множества (1) из §1 гарантированно допустимых планов.
51
Упражнения к теме 9
Задачи 1
Для антагонистических игр, заданных в нормальной форме:
F ( x, y ) max ï î x X , F min ï î y Y ,
требуется:
а) найти седловые пары ( x , y ) X Y : x X , y Y
F ( x, y ) F ( x , y ) F ( x , y )
или убедиться в их отсутствии посредством графического и аналитического отыскания
точек пересечения
x x( y ),
y y ( x )
максимизирующей x ( y ) и минимизирующей y ( x ) стратегий:
F ( x( y ), y ) max F ( x, y ), F ( x, y( x)) min F ( x, y) ;
yY
xX
б) при наличии седловой пары построить графики платежной функции в седловых
сечениях
F ( x, y ) ï î x X и F ( x , y ) ï î y Y ;
в) вычислить и сравнить между собой верхнюю v и нижнюю v цены игры, а также найти
оптимальные гарантирующие стратегии x 0 , y 0 :
v min[max F ( x, y )], v max[min F ( x, y )] ; x 0 X : min F ( x 0 , y ) v, y 0 Y : max F ( x , y 0 );
yY
xX
xX
yY
yY
xX
г) проверить наличие или отсутствие доминирующих стратегий x1 , y1 :
x1 x y const X y Y ; y1 y x const Y x X .
Проделайте указанные выше операции в следующих матричных играх 1.1 – 1.4, где
F ( xi , y j ) aij , i 1, n, j 1, m;
A (aij )
j ñòî ëáöû
i ñòðî êè
:
1.1.
18
0
A 5
16
9
3 0
3 8
4 5
4 2
3 0
2
20
5
25
20
i i 0 3,
Ответ: j j 0 2; v v 4;
i1, j1 î òñóòñòâóþ ò.
1.2.
52
18
0
A 5
16
9
3 0
3 8
6 5
4 2
3 0
2
20
5
25
20
i , j î òñóòñòâóþ ò;
Ответ: v 6 >v 5; i 0 3, j 0 2;
i1, j1 î òñóòñòâóþ ò.
1.3.
18
0
A 5
16
9
3 0
3 3
4 4
4 2
3 0
2
20
5
25
20
i i 0 3,
0
Ответ: j j 2 èëè 3;
v v 4;
i1, j1 î òñóòñòâóþ ò.
1.4.
18
0
A 5
16
9
3 0
3 3
4 4
4 4
3 0
2
20
5
25
20
i i 0 3 èëè 4,
0
Ответ: j j 2 èëè 3;
v v 4;
i1, j1 î òñóòñòâóþ ò.
Проделайте то же для континуальных игр:
1.5. F y 2 x 2 ,
1.6. F x y ,
X Y [1;1] .
X Y [0; 1] .
1.7. F ( x y )2 ,
0
1
0
1
Ответ: x x x 0, y = y = y 0; v v 0.
0
1
0
1
Ответ: x x x 1, y = y = y 0; v v 1.
1
1
Ответ: x , y è x , y î òñóòñòâóþ ò;
X Y [0; 1] .
v 0, 25 >v 0; x 0 0;1 , y 0 0,5
1.8. F 2 xy x 2 y 2 , X Y [1;1] . Ответ: x x 0 0, y = y 0 = 0, v v 0;
x1 , y1 î òñóòñòâóþ ò.
1.9. F sin x cos y ,
Ответ: x x 0 0 èëè , y , y 0 ; ;
2
1
v v 0; x î òñóòñòâóåò, y1 .
X Y [0; ] .
Образцы решения
матричных задач типа 1.1. – 1.4.
При наличии седловой пары i , j
В заданной платежной матрице
53
5 1 3
À 3 2 4
3 0 1
ì àêñèì óì ï î ñòðî êàì i â êàæäî ì ñòî ëáöå î òì å÷àåòñÿ çâåçäî ÷êî é ââåðõó ñï ðàâà; ì èí èì óì
ï î ñòî ëáöàì j â êàæäî é ñòðî êå î òì å÷àåòñÿ çâåçäî ÷êî é âí èçó ñï ðàâà; ýëåì åí òû ñ äâóì ÿ
çâåçäî ÷êàì è – ñåäëî âû å.
a2 j
ai 2
●
2
4
1 ●
2
●
3
0
1
2
i
●
●
●
0
1
2
3
j
Рис. 10. Седловые сечения платежей
Проведенные мнемонические построения подкрепляются аналитически. Для этого
выписываются теоретико - множественные ãðàô èêè ì àêñèì èçèðóþ ù åé ñòðàòåãèè:
i j , j 1,1 , 2,2 , 2,3
и ì èí èì èçèðóþ ù åé ñòðàòåãèè:
i, j i 1, 2 , 2, 2 , 3,1
Это – множества пар
i, j
одинаково упорядоченных координат всех точек
максимумов платежей a ij по i и минимумов по j , соответственно.
Ï åðåñå÷åí èå òàêèõ ãðàô èêî â:
i j , j i, j i 2, 2
в случае его непустоты дает седловую пару, т.е. координаты элементов a ij с двумя
звездочками.
Ï ðî âåðêà î ï ðåäåëåí èÿ ñåäëî âî é ï àðû i 2, j 2 ñì . ðèñ.10 :
ai 2 1;2;0 a22 2 a2 j 3;2;4 î ï ðåäåëåí èåâû ï î ëí åí î .
Âåðõí ÿÿ öåí à èãðû : v min ai j , j min 5,2,4 2 j 0 2.
j 1,2,3
Í èæí ÿÿöåí à èãðû : v max ai, j i max 1,2, 3 2 i 0 2.
j 1.2,3
Результат сравнения: v v необходимое и достаточное условие существования
седловой пары выполнено.
54
Доминирующих стратегий i1 , j1 нет, так как i j const è j i const.
При отсутствии седловой пары
В заданной платежной матрице
5 1 3
À 3 2 4
3 3 1
после разметки ее максимальных элементов во всех столбцах звездочками вверху справа и
минимальных во всех строках звездочками внизу справа элементов с двумя звездочками
не оказывается.
Это означает, что ãðàô èêè ì àêñèì èçèðóþ ù åé ñòðàòåãèè
i j , j 1,1 , 3,2 , 2,3
è ì èí èì èçèðóþ ù åé ñòðàòåãèè
i, j i 1, 2 , 2, 2 , 3,1
i, j i ñåäëî âî é ï àðû äåéñòâèòåëüí î í åò.
í å ï åðåñåêàþ òñÿ: i j , j
Ï ðî âåðêà âû ï î ëí åí èÿ î ò ðèöàí èÿ ñóù åñòâî âàí èÿ ñåäëî âî é ï àðû :
a11 = 5 > a1 j 1, a12 1< ai 2 2,
, a33 1 > a3 j 3.
Öåí û èãðû v , v è î ï òèì àëüí û å ãàðàí òèðóþ ù èå ñòðàòåãèè i 0 , j 0 :
v min 5,3,4 3 j 0 2, v max 1,2, 3 2 i 0 2.
Результат сравнения: v >v – седловой пары действительно нет.
Доминирующих стратегий i1 , j1 тоже нет, поскольку максимизирующая i j и
минимизирующая j i стратегии не постоянны.
Образец решения
континуальных задач типа 1.5 – 1.9.
Задана платежная функция F и множества X , Y допустимых выборов сторон, одна
из которых стремится максимизировать F по x X , а другая – минимизировать F по
y Y :
F x, y 1 x 1 y xy, X Y [0;1].
Строятся функции максимумов F по x X при всевозможных фиксированных
значениях переменной y :
55
1 y ï ðè y 0,5,
F ( x( y ), y ) 1 y max 2 y 1 x
x0;1
ï ðè y 0,5.
y
и соответствующая ì àêñèì èçèðóþ ù àÿñòðàòåãèÿ ñï ëî ø í àÿ ëî ì àí àÿ í à ðèñ. 12 :
ï ðè y < 0,5,
0
x ( y ) x [0; 1] ï ðè y 0,5,
1
ï ðè y 0,5.
Строятся также функции минимумов платежа по y Y при всевозможных
фиксированных значениях переменной x :
ï ðè x 0,5,
x
F ( x, y( x)) 1 x min 2 x 1 y
y0;1
1 x ï ðè x 0,5.
и соответствующая минимизирующая стратегия ø òðèõî âàÿ ëî ì àí àÿ í à ðèñ. 12 :
ï ðè x < 0,5,
1
y ( x ) y [0; 1] ï ðè x 0,5,
0
ï ðè x > 0,5.
y
y( x)
x( y )
1
0.5 ●
●
0
0, 5
0
1
x
Рис.12. Пересечение графиков оптимальных стратегий
Ищется точка пересечения графиков оптимальных стратегий
x( y ) è y ( x ) :
x 0,5, y 0,5, так как 0,5 = x(0,5), 0,5 = y (0,5) (других точек пересечения нет – см.
рис.12). Найденная пара x , y по определению – седловая, так как
F ( x,0,5) 0,5 F 0,5,0,5 0,5 F (0,5, y) 0,5 (см. рис.13).
Рис. 13. Седловые сечения платежной функции
Для проверки вычисляются и сравниваются между собой верхняя v и нижняя v
цены игры:
v min F ( x ( y ), y ) 0,5 y 0 0,5; v max F ( x, y ( x )) 0,5 x 0 0,5.
y 0;1
x0;1
Результат сравнения: v v, подтверждает существование седловой пары.
56
Доминирующие стратегии x1 , y1 отсутствуют, так как значения функций x ( y ) и
y ( x ) не постоянны.
Задача 2
Докажите эквивалентность двух форм записи в определении седловой точки
x , y X Y :
1) max F ( x, y ) F ( x , y ) min F ( x , y )
yY
xX
и
2) x X , y Y
F ( x, y ) F ( x , y ) F ( x , y ) .
Задача 3
Пусть игра имеет цену
v min sup F ( x, y ) max inf F ( x, y ) .
xX yY
yY
xX
Всякая ли точка x, y X Y , в которой F ( x, y ) v, будет седловой в смысле
определения 1) или 2) из задачи 2 ? Если нет, то приведите пример.
Задача 4
Пусть некоторая игра имеет две несовпадающие седловые пары x , y X Y и
x
, y X Y : x x , y y . Докажите, пользуясь определением 2) из задачи 2, что
перемешанные пары
x , y
и
x
, y тоже будут седловыми для этой игры, и что
значения платежной функции на всех четырех парах одинаковы.
Задача 5
Пусть платежная функция F ( x, y ) имеет седловую точку
x , y на
множестве
X Y . Докажите, что тогда стратегии x è y будут оптимальными гарантирующими.
Верно
ли
обратное?
Если
нет,
то
приведите
соответствующий
пример
антагонистической матричной игры, не имеющей седловой точки.
Задача 6 – А.В. Соколов
Постройте платежную биматрицу для следующей игры «пассажир – железная
дорога» с непротивоположными интересами.
57
Пассажир выбирает один из двух вариантов своего поведения: i 1 – купить билет,
i 2 – не покупать билета. У железной дороги также имеются две возможности действий:
j 1 – выставлять контролера на линию, j 2 – не выставлять.
Стоимость билета 20 р. Величина штрафа за безбилетный проезд 100 р. Средняя
стоимость проверки одного пассажира контролером (купившего билет или не купившего)
10 р. Выигрыш пассажира – минус истраченная сумма. Выигрыш железной дороги –
доход от продажи билета или сумма штрафа за вычетом расходов на проверку.
Требуется найти в чистых стратегиях (или установить, что они не существуют):
а) оптимальные гарантирующие стратегии и максимальные гарантированные выигрыши;
б) доминирующие стратегии;
в) точки равновесия по Нэшу;
г) парето-оптимальные индивидуально приемлемые точки.
Ответ: а) i 1, v1 20; j 1, v2 10;
б) нет;
в) нет;
г) f1 20, f 2 20 i 1, j 2 .
Задача 7
В следующих играх двух лиц с непротивоположными интересами, заданных
биматрицами 7.1 – 7.6, требуется найти в чистых стратегиях (или установить, что они не
существуют):
а) оптимальные гарантирующие стратегии и максимальные гарантированные выигрыши;
б) доминирующие стратегии;
в) точки равновесия по Нэшу;
г) парето-оптимальные индивидуально приемлемые точки.
В биматрицах 7.1 – 7.6 первая цифра каждого элемента, заключенного в круглые
скобки, означает выигрыш f1 стороны, распоряжающейся строками i , а вторая цифра –
выигрыш f 2 стороны, распоряжающейся столбцами j .
58
7.1.
1;0
0;3
2;0
.
1;3
Î ò âåò : à) i 1, v1 1; j 1 èëè 2, v2 0;
á ) i 1, j 1 èëè 2;
â) f1 = 1, f 2 0 i 1, j 1 ; f1 = 2, f 2 0 i 1, j 2 ;
ã) f1 = 2, f 2 0 i 1, j 2 ; f1 = 1, f 2 3 i 2, j 2 .
7.2.
1;1
0;3
2;0
.
3;3
Î ò âåò : à) i 1, v1 1; j 1, v2 1;
á ) äëÿ i í åò; j 1;
â ) f1 = 1, f 2 1 i 1, j 1 ; f1 = 3, f 2 3 i 2, j 2 ;
ã) f1 = 3, f 2 3 i 2, j 2 .
7.3.
1;0
0;3
2;1
.
3; 2
Î ò âåò : à) i 1, v1 1; j 2, v2 1;
á ) í åò;
â ) í åò;
ã)
f1 = 3, f 2 2 i 2,
j 2 .
7.4.
3;3
5; 2
1; 4
.
0;0
Î ò âåò : à) i 2, v1 0; j 2, v2 0;
á ) i 2, j 2;
â)
ã)
f1 = 0, f 2 0 i 2, j 2 ;
f1 = 3, f 2 3 i 2, j 2 .
7.5.
1; 2 0;3 2;1
3;0 2;3 3; 2 .
2; 2 3; 4 4;3
3; 1 4;0 0;1
Î ò âåò : à) i 2 èëè 3, v1 2; j 3, v2 1;
á ) í åò;
â ) í åò;
ã)
f
= 3, f 2 4 i 3, j 2 ; f1 = 4, f 2 3 i 3, j 3 .
1
7.6.
1;2 2;4 0;4 1;1 Î ò âåò : à) i 2, v 2; j 2 èëè 3, v 1;
á ) í åò;
3;1 4;1 2;1 2;2
â ) f = 4, f 1 i 2, j 2 ; f = 2, f
3;6 3;2 1;5 5;1
ã ) f = 2, f 4 i 1, j 2 ; f = 3, f
1
2
1
2
1
2
1 i 2, j 3 ;
1
2
1
2
2 i 3, j 2 ;
f
1
= 5, f 2 1 i 3, j 4 .
59
Задачи 8
В антагонистических играх с платежными матрицами А aij I , заданными в
J
8.1 – 8.4:
aij max ï î ñòðî êàì i I 1,n; aij min ï î ñòî ëáöàì j J 1,m
требуется:
а)
исключить, если это возможно, доминируемые стратегии-константы i I , j J ,
определяемые как
(исключение
i : i I : j J
aij aij , j J : aij < aij ;
j : j J : i I
aij aij , i I : aij > aij
нужно
производить
последовательно,
проверяя
условия
доминирования на невычеркнутых строках и столбцах);
б)
для
редуцированной
таким
образом
матрицы
À aij I , I I , J J
J
с
недоминируемыми строками и столбцами найти седловые точки (i , j ) I J в
чистых стратегиях:
max aij ai j min ai j
jJ
iI
или убедиться в их отсутствии;
в)
найти верхнюю v и нижнюю v цены игры в чистых стратегиях:
v min[max aij ], v max[min aij ]
jJ
iI
jJ
iI
и сравнить их между собой;
г)
проверить, что седловые точки в случае их существования будут таковыми и для
исходной матрицы À и что цены игры также сохранятся;
д)
для редуцированной матрицы À найти седловые точки (x, y ) и цену игры V в
смешанных стратегиях:
max F (x, y ) F (x, y ) min F (x, y ) ,
yY
xX
где
F (x, y) xAy T , x ( xi , i I ),
y ( y j , j J ),
X {x : xi 0, xi 1}, Y {y : y j 0, y j 1} ,
iI
jJ
путем решения пары задач линейного программирования,
прямой:
и двойственной:
60
V min ï î y , V :
V
,
T
Ay
, y Y
V
V max ï î x,V :
xA (V , ,V ), x X ,
или в координатной записи через относительные переменные i xi / V , j y j / V
при V 0 :
min ï î i :
max ï î j :
aij j 1, i I ; j 0, j J ,
jJ
aiji 1, j J ; i 0, i I ,
iI
iI
j J
j
так что
1
i j ;
jJ
V iI
е)
переписать
найденные
оптимальные
смешанные
стратегии
в
исходных
вероятностях (x , y ) для полноразмерной матрицы A .
61
8.1.
2 6 4
0 8 2
A
2 6 12
4 8 10
4
1
.
0
4
2
; á ) í åò; â) v 4 > v 2;
1 1
1 1
2 2
2 2
1
1
1
1
å) x ,0,0, , y ,0,0, , V 3.
2
2
2
2
ä) x , , y ,0, , V 3;
2
8.2.
1
4
A
3
2
2 6
Î ò âåò : à) A
4 8
ã) v 4 > v 2;
1
2
2
3
3
0
1
2
1
0
3
2
0
2
2
3
,
1 2
Î ò âåò : à) A
3
2
ã) v 2 > v 2;
3
0
; á ) í åò; â) v 2 > v 0;
9
3 5
3 5
;
8
8 8
8 8
3 5
9
3 5
å) x , ,0,0 , y 0,0, , , V .
8 8
8
8 8
ä) x , , y 0, , , V
8.3.
1 1
1 1
A
0 3
0 2
,
2 2
1 1
8.4.
2
2
A
3
1
1
2
2
1
0
0
0
1
1
2
3
1
1 1 3
Î ò âåò : à) A
; á ) í åò; â) v 1 > v 1;
0 2 1
ã) v 1 > v 1;
1
1 1
3 1
;
2
2 2
4 4
1
1 1
3 1
å) x 0, ,0, , y , ,0,0 , V .
2
2 2
4 4
ä) x , , y , ,0 , V
2 1 0
Î ò âåò : à) A
; á ) í åò; â) v 1 > v 1;
1 3 1
.
ã) v 1 > v 1;
1
1 1
1 3
;
2
2 2
4 4
3
1
1 1
1
å) x 0, ,0, , y ,0,0, , V .
4
2
2 2
4
ä) x , , y ,0, , V
Образец решения
62
задач типа 8.1 – 8.4
а) Доминирование в исходной матрице:
2
A = 1
4
0
2
1
1
5
3
4
3
2
.
Стрелками, начинающимися у доминирующих столбцов и строк, нужно указать
доминируемые ими столбцы и строки. Доминирование обнаруживается попарным
сравнением соответствующих элементов всех столбцов и строк при последовательном
удалении (вычеркивании) доминируемых столбцов и строк, найденных ранее.
составляется из недоминируемых строк i 2,3
Редуцированная матрица
и
столбцов j 1, 2 исходной матрицы:
1 2
A
.
4 1
б) Производится разметка звездочками максимальных по i : a j и минимальных
по j : a i элементов редуцированной матрицы A . Элементов с двумя звездочками в
матрице A не оказалось, значит седловой точки в чистых стратегиях нет.
в) По этой причине верхняя v и нижняя v цены игры в чистых стратегиях для
матрицы A не должны совпадать:
v min{4, 2} 2 a max{1, 1} 1
–
д
л
я
v min 4;2 2 v max 1;1 1 – для A .
г) Для исходной матрицы A эти несовпадающие цены сохраняются:
v min 4;2;5;4 2 v, v max 1;0;1 1 v,
поэтому для нее седловой точки в чистых стратегиях тоже нет.
д) По редуцированной матрице A выписывается формула для математического
.
ожидания платежа в смешанных стратегиях ( x, y ) :
y
1 2 y1
F (x, y ) ( x1 , x2 )
(1x1 4 x2 , 2 x1 1x2 ) 1
4 1 y2
y2
( x1 4 x2 ) y1 (2 x1 x2 ) y2 ( y1 2 y2 ) x1 (4 y1 y2 ) x2 ,
где x1 , x2 0, x1 x2 1;
y1, y2 0, y1 y2 1 – допустимые вероятности использования
строк i и столбцов j матрицы A .
Оптимальные вероятности в x, y в долях , η от неизвестной пока цены V игры в
смешанных стратегиях:
i
xi / V , j
y j / V , ãäå V 0, ò.ê. aij 0 ,
63
отыскиваются
в
результате
решения
пары
сопряженных
задач
линейного
программирования.
Аналитическое решение:
Ï ðÿì àÿ çàäà÷à (ðèñ.14):
ξ
2
G 1 2 min,
1 42 1,
.
21 2 1,
1 , 2 0
G 1
0,25
3
1 , 2
1 42 1
21 42 1
1
7
1
7
,
3 1
4
G , = .
7 7 7
Сравнение с другими вершинами:
4
4
3 1
G (1; 0) G (0;1) 1
G , G .
7
7
7 7
min
min
0
0,5
ξ
1
1
.
Ðèñ.14. Ãðàô è÷åñêî å ðåø åí èå
ï ðÿì î é çàäà÷è
Двойственная задача
(рис.15):
Q 1 2 max
1 22 1
41 2 1
1 ,2 0
Аналитическое решение
2
1 22 = 1
41 2 = 1
1
1
3
7
7
1 , 2 ,
1 3 4
Q , .
7 7 7
сравнение с другими вершинами:
1
Q
,0
4
0,5
1
4
<
4
1
, Q 0,
7
2
1
4
<
2
Q max
7
7
max
Q 1
0
0,25
1
1
Ðèñ.15. Ãðàô è÷åñêî å ðåø åí èå
äâî éñòâåí í î é çàäà÷è
Цена игры в смешанных стратегиях досчитывается по формуле:
V
1
Qmax
1
Gmin
7
4
4
;
оптимальные вероятности использования строк и столбцов редуцированной матрицы A
находятся как
64
3 1
x V ξ ; ,
4 4
1 3
y V ; .
4 4
Проверяется цена игры V прямым подсчетом и производится ее сравнение с
нижней v и верхней v ценами игры в чистых стратегиях:
11 3 13 7 1 7 3 7
3
V F ( x , y ) 4 2 ( v, v) (1;2).
44 4 44 4 4 4 4 4
4
Проверяется
выполнение
определения
седловой
точки
для
оптимальных
смешанных стратегий x è y :
1
3
1 3
7
F (x, y ) 2 x1 4 x2
4
4
4
4 4
7
3
1
3 1
7
F (x , y ) F ( x, y ) 4 y1 2 y2 .
4
4
4
4
4
4
е) Редуцированные стратегии x è y расширяются до полноразмерных x è y за
счет дополнения нулями на местах, соответствующих вычеркнутым доминируемым
строкам и столбцам исходной матрицы A :
3 1
1 3
x 0, , , y , , 0, 0
4 4
4 4
и проверяется цена игры V прямым подсчетом по исходной матрице A с расширенными
векторами x è y :
1
1
1
4
2 000 2
2 0 1 4
3
7
3 1
3 1 1 3
V 0, , 1 2 5 3 0, , 0 0
4
4 4
4 4 4 4 2
4
1
3
2
0
3
7
1
0
0
0
4
4
1 3 7 1 7 7
0 V .
2 4 4 4 4 4
Задача 9
Фирма-новичок приобрела оборудование, на котором можно производить два вида
продуктов, но не одновременно, а последовательно. Переход с выпуска одного продукта
на выпуск другого требует переналадки оборудования, сопряженной с ощутимыми
затратами времени и труда. Решение фирмы-новичка на каждом конкретном периоде
времени альтернативное: либо производить первый продукт (строка i 1 ), либо второй
(строка i 2 ).
Фирма-монополист противодействует появлению конкурента на своем сегменте
рынка. Она может сосредоточиться на выпуске только первого продукта (столбец j 1 ),
полностью удовлетворяя спрос на него, но оставив неудовлетворенным спрос на второй
65
продукт. Вторая возможность (столбец j 2 ) – производить оба продукта в одинаковых
пропорциях, оставив конкуренту половинный неудовлетворенный спрос по каждому
продукту. Наконец, третья возможность (столбец j 3 ) – выпускать только второй
продукт, заблокировав по нему рынок и оставив свободным рынок по первому продукту.
Прибыль фирмы-новичка на одном такте взаимодействия в каждой из шести
возможных ситуаций задается следующей матрицей:
0 1 2
.
2 1 0
A
Матрица прибыли представлена в безразмерных единицах. Масштабом служит
объем прибыли, получаемой фирмой-новичком при равномерном распределении
противодействующих усилий фирмой-монополистом между производством первого и
второго продуктов.
Фирма-новичок стремится на каждом такте максимизировать свою прибыль, а
фирма-монополист ей противодействует, но не в ущерб себе, так как оба продукта
предполагаются для нее равновыгодными. Взаимодействие происходит многократно.
Требуется:
а) проверить отсутствие седловой точки в чистых стратегиях;
б) построить оптимальные смешанные стратегии и найти цену игры.
1 1
Ответ: à) v 1 > v 0; á ) x ; , y 0;1;0 , V 1.
2 2
Задача 10
Проверьте, что добавление ко всем элементам платежной матрицы одинаковой
константы сохраняет максимизирующие и минимизирующие чистые и смешанные
стратегии сторон и сдвигает соответствующие платежи на ту же константу.
Задача 11
Какой будет оптимальная смешанная стратегия, если исходная матричная игра
имеет единственную седловую точку в чистых стратегиях? Ответ обосновать.
Задача 12
Докажите, что добавление или вычеркивание доминируемых строк и столбцов
платежной матрицы не меняет цен игры ни в чистых, ни в смешанных стратегиях.
Задача 13
66
Докажите, что на оптимальную смешанную стратегию x или y из седловой пары
(x , y ) можно отвечать чистой стратегией, не отклоняясь от цены игры F (x , y ) , т.е.
F (x , y ) min aij xi max aij y j .
jJ
iI
iI jJ
Задача 14
Докажите следующие два свойства седловой пары (x , y ) смешанных стратегий:
а) если xi 0, то
a
jJ
б) если
a
jJ
ij
ij
y j F ( x , y ) ;
y j F ( x , y ), то xi 0 .
Сформулируйте подобные свойства для y j .
Задачи 15
Найдите точки равновесия по Нэшу
x , y в смешанных стратегиях для
биматричной игры из задачи 6.
Сравните равновесные выигрыши V1 ,V2 в смешанных стратегиях с максимальными
гарантированными выигрышами v1, v2 в чистых стратегиях.
Ответ: à) x 0,9; 0,1 , y 0,2;0,8 ; V1 20 v1, V2 18 > v2 10.
Задача 16
Представьте игру «Война или мир» как динамическую, двухшаговую, в которой на
первом шаге делает свой выбор страна 1 между миром x1 P и войной x1 A , а на
втором шаге страна 2 выбирает тоже между миром x2 P и войной x2 A . После
второго шага происходит расплата в соответствии с табл.1 из п. 1.2, априори известной
каждому государству.
Текущая информированность представлена следующими двумя вариантами:
Вариант 1
Вариант 2
На шаге 1
Страна 1 не знает x2
Страна 1 не знает x2
На шаге 2
Страна 2 знает x1
Страна 2 не знает x1
Требуется по схеме из п. 6.3, 6.4:
а) изобразить дерево игры и показать на нем множества неопределенности
(информационные множества);
67
б)
построить
рекурсивные
рациональные решения,
восполняя
недостаток
информированности по принципу наилучшего гарантированного результата.
Ответ: для обоих вариантов x1 = x2 A f1 = f 2 1.
Задача 17
Трехшаговая
игра
«Производитель
–
Государство»
с
неполной
текущей
информацией.
Шаг 1. Производитель выбирает программу развития своих предприятий из двух
возможных вариантов x = 1 è x = 2 , не зная будущей ставки налога.
Шаг 2. Государство выбирает ставку налога тоже из двух возможностей: y = 1 è y = 2 ,
зная вариант развития, выбранный Производителем, но не зная будущей программы
выпуска товаров.
Шаг 3. Производитель выбирает одну из возможных программ выпуска товаров:
z = 1 è z = 2 , по-прежнему не зная ставки налога.
Производитель стремится максимизировать свободный остаток прибыли f1 x, y,z ,
а Государство хочет увеличить налоговые поступления в бюджет f 2 x, y,z .
Значения этих функций полезности на всевозможных вариантах выборов известны
априори обоим участникам (см. таблицу).
x
1
1
1
1
2
2
2
2
y
1
1
2
2
1
1
2
2
z
1
2
1
2
1
2
1
2
f1
10
20
8
16
25
40
20
30
f2
2
4
4
8
5
20
10
30
Требуется по аналогии с п. 6.3, 6.4:
а) изобразить дерево игры и показать на нем множества неопределенности
(информационные множества);
б) построить
рекурсивные
рациональные
решения,
восполняя
недостаток
информированности по принципу наилучшего гарантированного результата.
Ответ: x = y = z = 2 f1 = 30, f 2 30.
68
Упражнения к теме 10
Задача 1
Запрограммируйте для персонального компьютера имитационную систему, на
которой можно было бы обрабатывать оперативное управление запасами при наличии
случайных возмущений в сочетании с гарантирующим планированием поставок из задачи
1 к теме 8.
Задача 2
На
созданной
экспертно-компьютерной
системе
из
задачи 1
проведите
вычислительные эксперименты, самостоятельно принимая оперативные решения по
удовлетворению спроса на основании текущей информации о реальном состоянии запаса
распределяемого продукта. Отклонения от плана поставок и от прогноза спроса
имитируйте при помощи датчиков случайных чисел, с законами распределения, неточно
известными в дискретные моменты принятия оперативных управляющих решений.
69
Методические рекомендации преподавателю:
Практические занятия по выпуклому и линейному программированию, а также по
многокритериальным методам целесообразно частично проводить в компьютерном
классе.
Методические указания студентам:
Для успешного изучения дисциплины рекомендуется перед каждым семинарским
занятием повторить теоретический материал по конспекту лекций, а после активной
работы на занятии – выполнять полученные задания (решать предложенные задачи,
изучать рекомендованную литературу).
Рекомендации по использованию информационных технологий
Для решения задач линейного программирования можно использовать
компьютерную программу, которая позволяет проводить анализ чувствительности, в
частности, рекомендуется использовать MS Exсel.
70