1. Выразимость предикатов

Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, осень 2010
Задачи про выразимость предикатов
1. Рассмотрим интерпретацию hP; M, S, P i, где P — множество всех жителей Москвы, M (x) истинно, когда x является мужчиной, S(x, y) истинно, когда x и y являются
супругами, P (x, y) истинно, когда x является родителем y. Выразите в этой интерпретации следующие предикаты (о значении терминов можно проконсультироваться на
странице http://ru.wikipedia.org/wiki/Родство):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
— отец y;
— бабушка y;
— племянник y;
— свекровь y;
— деверь y;
и y — свояки;
и y — двоюродные сёстры;
— единоутробный брат y;
— сводная сестра y.
2. Пусть A — некоторое множество, M = 2A — множество всех его подмножеств.
Выразить через предикат x ⊂ y (x есть подмножество y) на M следующие предикаты:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x = A;
x = ∅;
x есть одноэлементное множество;
x и y не пересекаются;
x есть пересечение y и z;
x есть объединение y и z;
x есть дополнение y.
Множества x, y и z пересекаются попарно, но общее пересечение пусто;
Любые три множества из x1 , . . . , xn имеют пустое общее пересечение. Придумайте
формулу, длина которой линейна по n.
3. В интерпретации hR2 , Ci, где C(x, y, z) выполнено, если расстояние от x до y равно
расстоянию от x до z, выразите следующие предикаты:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x = y;
x, y и z лежат на одной прямой;
x 6= y, z 6= t и прямые xy и zt параллельны;
xyzt — параллелограмм;
|xy| = |zt|;
|xy| 6 |xz|;
x, y и z лежат на одной прямой, причём y лежит между x и z;
1
h)
i)
j)
k)
z 6= t, а x и y лежат по одну сторону от прямой zt;
4xyz прямоугольный;
4xyz остроугольный;
∠xyz = 30◦ .
4. В интерпретации Z выразите через предикат y = x+1 предикат y = x+N , где N —
большое фиксированное число (например, 21000 ). Формула должна быть существенно
короче N .
5. Используя предикаты 6 и =, запишите (в виде замкнутых формул) следующие
свойства отношения порядка:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Рефлексивность;
Антисимметричность;
Транзитивность;
Линейность;
Плотность;
Существование минимального элемента;
Существование максимального элемента;
Существование наименьшего элемента;
Существование наибольшего элемента;
Существование верхней грани для любых двух элементов (верхняя грань двух
элементов — элемент, больший либо равный каждого из них);
k) Существование точной верхней грани для любых двух элементов (точная верхняя
грань — наименьшая из всех верхних граней);
l) Существование нижней грани для любых двух элементов;
m) Существование точной нижней грани для любых двух элементов.
6. В интерпретации hN, =, +, ×i запишите утверждения:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Коммутативность сложения;
Ассоциативность умножения;
Дистрибутивность;
Существование единицы;
Бесконечность множества простых чисел;
Бесконечность множества простых чисел-близнецов;
Существование сколь угодно длинных интервалов без простых чисел;
Существование НОК и НОД для чисел, отличных от нуля.
2