Тема: Пределы (Вычислить )

1
Занятие 4
Тема: Матрицы и операции с ними
Определения.
Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Каждое число, входящее в такую таблицу,
называется элементом матрицы.
Размерность матрицы (или порядок матрицы) – это количество строк и столбцов в ней.
Размерность (порядок) записывается в виде m  n , где m – количество строк, n – количество
столбцов. Матрица порядка m  n содержит m  n элементов. Например,
 1 2 5 
A

 2 3 10 
– это матрица порядка 2  3 . В ней, очевидно, 6 элементов.
Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей-строкой или векторомстрокой. Матрица, у которой всего один столбец, называется матрицей-столбцом или векторомстолбцом.
Операции.
1. Умножение матрицы на число.
Умножить матрицу на число означает умножить все элементы матрицы на это число.
 2

Пример. Пусть A  5

7

 2 4
1
5 3
Решение. cA 
2 
7 2
4 6
1
3 1  , c  . Найти cA .
2
2 0 
6  1
2
3 


1    2.5 1.5 0.5  .
0   3.5
1
0 
2. Сложение двух матриц.
Сложить две матрицы одинаковой размерности означает сложить между собой каждый
элемент первой матрицы и соответствующий ему (то есть находящийся на таком же месте)
элемент второй матрицы.
 1 2 5 
 1 1 2 
, B

 . Найти A  B .


2
3
10
5
2
3




 1 2 5   1 1 2   0 1 7 
Решение. A  B  
.


 2 3 10   5 2 3   7 1 7 
Пример. Пусть A  
3. Правило «строка на столбец».
Пусть даны матрица-строка A из n элементов A  ( a1 , a2 ,..., an ) и матрица-столбец B
тоже из n элементов
 b1 
b 
B  2.

 
 bn 
Тогда умножить строку A на столбец B означает следующее: каждый элемент строки умножить
на соответствующий (по номеру) элемент столбца и результаты сложить.
Важно: результат умножения строки на столбец – это число!
2
 4
 
Пример. Умножить A  (2, 1,3) на B  5 .
 
 6 
 
Решение. AB  2  4  ( 1)  5  3  (6)  15 .
4. Умножение двух матриц.
Пусть даны матрица A порядка m  n
и матрица B порядка n  k
 a11 a12  a1n 
a

a

a
21
21
2
n

A
 



amn 
 am1 am 2
 b11 b12  b1k 
b

b

b
21
21
2
k
.
B
 



bnk 
 bn1 bn 2
Тогда произведение матрицы A на матрицу B – это новая матрица C порядка m  k , у которой
элемент, стоящий на пересечении строки i и столбца j равен произведению -й строки с номером
i матрицы A на столбец с номером j матрицы B (см. предыдущее правило «строка на
столбец»).
Важно: матрицу A можно умножить на матрицу B только в том случае, когда количество
столбцов первой равно количеству строк второй! Результат умножения матрицы на матрицу – это
матрица.
1

Пример. Даны A  1

1

Решение. В матрице A
2 3
 3 1 
3 2  и B   2 4  . Найти AB и BA .
 1 6
1 1 


три столбца, а в матрице B три строки, поэтому умножение
возможно. Вычисляем
2 3  3 1   1  (3)  2  2  3  1 1  1  2  4  3  6 
 

3 2 
 2 4    1  (3)  3  2  2  1 1  1  3  4  2  6  
 

3  2  1
1 1 
1 4  6
 1 6  

27 
23  .
11 
два столбца, а в матрице A три строки, поэтому умножение B на A
невозможно (произведение BA не существует).
1
AB   1
1

4
 11
0

В матрице B
3
5. Транспонирование матрицы.
Транспонировать матрицу означает сделать все ее строки столбцами (тогда столбцы станут
строками).
10 9 11 
T
. Найти A .

 15 20 3 
 10 15 


T
Решение. A  9 20 .


 11 3 


Пример. Пусть A  
6. Обратная матрица.
Матрица B называется обратной к матрице A , если
AB  BA  E .
1
1
Обратная матрица к A обозначается через A . Две матрицы A и A называются взаимно
обратными (обратными друг к другу).
Задачи на семинаре
 3 2 1
 1 2 3 
,
B


 4 5 6  . Найти 3 A  2 B .
 5 1 4 


 10 
 
T T
2. Даны A  ( 1,2,3) и B  9 . Найти AB , BA и B A .
 
8
 
1. Даны A  
 2 1 2
 3 2 5 


T T
3. Даны A   3
и B  3 1 1 . Найти AB , BA и B A .



 2 7 1
 1 1 1 


1 4 
 5 4 
4. Даны A  
и B

 . Проверить, является ли матрица B обратной к
1
5
1
1





матрице A .
Домашнее задание № 4
5 
 1
4
 3
2  , B   1
1. Даны A 

 2.5 3.5 
8



 2
2. Даны A  (4, 2) и B    . Найти
 4
3
1
6  . Найти AT и 2 A  B .
2
10 
AB , BA и BT AT .
 1 3 2 
2 5 
T
. Найти AB , BA и A B .
и
B




 8 1 1 
 1 1
 2 1
 3 1
4. Даны A  
и B

 . Проверить, является ли матрица B обратной к
5
2
5
3





матрице A .
3. Даны A  