ЭЛЕМЕНТЫ статистической физики

Л17
ЭЛЕМЕНТЫ
статистической физики
1
Опыт Штерна
Платиновая нить А, покрытая снаружи
серебром, располагается вдоль оси
коаксиальных цилиндров S1, S3.
Внутри цилиндров поддерживается низкое
давление порядка 10-3 – 10-4 Па.
При пропускании тока через платиновую нить
она разогревается до температуры выше точки
плавления серебра (961,9 С). Серебро
испаряется, и его атомы через узкие щели в
цилиндре S1 и диафрагме S2
летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S3,
на которой они могут осаждаться.
Если цилиндры S1, S3 и диафрагма не вращаются, то пучок
осаждается в виде узкой полоски D на поверхности
цилиндра S3.
2
Если вся система приводится во
вращение с угловой скоростью
ω  2π50 рад/с,
то изображение щели смещается в точку D и становится
расплывчатым.
3
Скорости газовых молекул. Опыт Штерна.
А – нагретая Pt нить, покрытая Ag;
S2 – диафрагма; S1, S3 – коаксиальные
вращающиеся цилиндры
При пропускании тока через Pt нить она
разогревается до Т>Tпл Ag (962С).
S1, S2 и S3 не вращаются, то пучок осаждается в виде узкой полоски D на S3.
При вращении системы с , изображение щели смещается в точку
D. Δ s– расстояние между D и D; Δt  время пролета.
Т нити в равнялась 1200 С, что соответствует vкв = 584 м/с.
Δs  RΔt
Δt  R v
v  ω R Δs
2
В эксперименте vкв = (560 - 640 м/с).
Изображение щели D всегда размыто, т.е., атомы
Ag движутся с различными скоростями.
4
Таким образом, в этом опыте были не
только измерены скорости газовых молекул,
но и показано, что они имеют большой
разброс по скоростям. Причина – в
хаотичности теплового движения молекул.
Ещё в XIX веке Дж. Максвелл
утверждал, что молекулы, беспорядочно
сталкиваясь друг с другом, как-то
«распределяются» по скоростям, причём
вполне определённым образом.
5
O. STERN
Проверка того факта, что
атомы и молекулы идеальных
газов в термически
равновесном пучке имеют
различные скорости, была
осуществлена немецким
ученым Отто Штерном (1888
 1969) в 1920 г.
6
Вероятность события. Понятие о распределении
молекул газа по скоростям
Вероятность какого-либо события – это предел, к которому
стремится отношение числа случаев, приводящих к
осуществлению события, к общему числу случаев, при
бесконечном увеличении последних.
n
P  lim ,
n n
где n  число опытов, когда событие произошло, а n  общее
число опытов.
Отсюда следует, что Р может быть от нуля до единицы
(Р=01). Или по определению Лапласа: вероятность –
отношение числа благоприятных случаев к числу возможных
случаев.
7
Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень
быстрые и очень медленные. Благодаря беспорядочному
движению и случайному характеру их взаимных столкновений,
молекулы определённым образом распределяются по скоростям.
Это распределение оказывается однозначным и
единственно возможным, и не только не противоречит
хаотическому движению, но именно им и обусловлено.
Определяется число молекул (∆n), скорости которых лежат в
некотором интервале значения скорости ∆υ (от υ до υ+∆υ). То
есть ∆n – число благоприятных молекул.
Очевидно, что в единице объёма число таких
благоприятных молекул тем больше, чем больше ∆υ.
Ясно так же, что ∆n должно быть пропорционально
концентрации молекул (n).
∆n=nf(υ)∆υ
8
или
dn=nf(υ)dυ,
где f(υ) – функция распределения.
Трудность вычисления - в нахождении f(υ).
Физический смысл f(υ) в том, что это отношение числа
молекул, скорости которых лежат в определенном интервале
скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале
скоростей: dυ = 1
f ( υ) 
dn
n
Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности. То есть f(υ)
показывает, какова вероятность любой молекулы газа в единице
объёма иметь скорость, заключённую в единичном интервале,
включающем заданную скорость υ. В этом случае f(υ) называют
плотностью вероятности.
n
 f ()
nv
9
Распределение Максвелла
Пусть у нас имеется N тождественных атомных частиц, находящихся в
состоянии беспорядочного теплового движения при определенной
температуре. В результате каждого акта столкновения между
молекулами их скорости меняются случайным образом
плотность точек различна
для различных порций газа.
Одинаковой для различных порций газа
будет функция распределения
Зная функцию распределения f(v)
можно найти:
Вероятность того, что скорость
молекулы будет иметь значение в
интервале от v до v  dv
ΔN v
ρ
Δv
ρv  1 ΔN v
f v  

N
N Δv
ΔN v  N f v Δv
ΔN v
 f v Δv
N
10
 ΔN v   N f vi Δvi   ρi Δvi N
Полное число молекул
i
Условие нормировки
i
 f vi Δvi  1
i

или
 f v Δv  1
0
функция распределения
была найдена
Максвеллом
1 dN
f(v)

N dv
mv 2

Ae 2kT
2
v2
11
Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при
 mυ 2
 , имеем f ( υ) ~ υ2 ; затем f ( )


 2kT 1


достигает максимума А и далее экспоненциально
спадает
.
f ( υ) ~
mυ2

e 2 kT
А вычисляется из
условия нормировки
3
2 2
 m v
A e 2kT v 2 dv

0
1
3
mv 2
2 
e 2kT v 2
 m 
отсюда:
и f ( v )  4 

 2kT 
Наиболее вероятная скорость
 m 
A  4 

 2kT 
2
df ( v )
0
dv
df ( v )

dv
mv 2


2
kT
Ae
v 2 
и v 
pr


mv 2 
0

kT 
2kT
2 RT

m
μ
13
Среднюю
квадратичную
используя соотношение
скорость
найдем
mυ  3
 kТ ,
2
2
2
Тогда
3kТ
υqua 
m
– для одной молекулы.
3RT
υqua 

– для одного моля газа.
14
Средняя арифметическая скорость  υср

1
υmid   nf (  )d
n0
где nf()d=dn – число молекул со скоростью от υ до
υ+dυ. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то:
υmid
8kT
2,25kT


;
m
m
υmid 
Полезно знать, что
8RT


υmid
υpr
2,25RT

 1,13;
.
υqua
υpr
 1,22.
15
Джеймс Клерк
Максвелл
James Clerk Maxwell
(13.06.1831 – 05.11.1879)
шотландский физик
родился в Эдинбурге
Наиболее известные работы
основные законы электричества и
магнетизма – уравнения
Максвелла (1865)
Распределение Максвелла
в кинетической теории газов
16