Раздел 4. Аналитическая геометрия в пространстве.

Раздел 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
Тема 8. Плоскость в пространстве.
Занятие 29. Плоскость в пространстве.
Лекция 17.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Основные вопросы
Понятие об уравнении поверхности.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно
данному вектору.
Общее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости , проходящей через три данные точки.
Угол между плоскостями.
Расстояние от точки до плоскости.
1. Понятие об уравнении поверхности.
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат. Рассмотрим в этой системе координат сферу радиуса R , центр которой находится в точке С(а,в,с) . По определению сфера – множество точек в пространстве, отстоящих от центра на одно и то же расстояние R . Следовательно, обозначая через x,y,z координаты произвольной точки М сферы и выражая через
них равенство СМ  R (рис. 8.1), получим
 х  а
2
  у  в    z -с   R
2
2
(1)
z
с
C(а,в,с)
М(x,y,z)
R
в
0
у
а
х
Рис. 8.1. К выводу уравнения сферы
Возведя в квадрат обе части равенства (1), получим
 х  а
2
  у  в    z -с   R 2
2
2
(2)
Уравнение (2) называется уравнением сферы в данной системе координат. Его можно рассматривать как запись определения сферы, в котором
указано свойство, характерное для неё, при помощи координат. Действительно это уравнение выполняется для всех точек сферы и только для них.
Если центр сферы поместить в начале координат, то уравнение сферы
имеет более простой вид:
x2  y2  z2  R2
(3)
В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как
множество точек, обладающих каким-то определенным свойством, общим
для точек данной поверхности.
Определение 1. Уравнение F  x , y , z   0 , выражающее свойство, общее для всех точек данной поверхности, называется
уравнением поверхности, а координаты x,y,z входящие в уравнение – текущими координатами поверхности.
Замечание 1. Уравнение F  x , y , z   0 не обязательно определяет реальную поверхность в пространстве. Например, уравнению x 2  y 2  z 2  1  0 не удовлетворяют координаты
ни одной точки, а уравнение x 2  y 2  z 2  0 определяет только одну точку (начало координат).
Частным случаем поверхности является плоскость.
2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.
Пусть имеется прямоугольная система координат в пространстве
(рис. 8.2).
z
n  A, В , С
M0
r
M
0
0
r
y
x
Рис. 8.2. Плоскость, заданная точкой и нормалью
Положение плоскости в пространстве относительно выбранной системы координат вполне определяется точкой М0 , заданной радиусом-вектором r0 , через которую проходит плоскость, и ненулевым вектором n , перпендикулярным к плоскости. Вектор n называется нормальным вектором
плоскости , или нормалью плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку М . Обозначим через r ее
радиус-вектор. Тогда вектор М 0 М  r  r 0 при любом положении точки М на
плоскости будет перпендикулярен к нормальному вектору n плоскости.
Следовательно, скалярное произведение векторов n и r  r 0 равно
нулю, т.е.
( n , ( r  r 0 )) = 0
(4)
Уравнение (4) называется уравнением плоскости, заданной точкой и
нормальным вектором, в векторной форме (векторным уравнением плоскости).
Для перехода от векторного уравнения к уравнению плоскости в координатной форме обозначим через А, В и С координаты нормального вектора n
в прямоугольной системе координат в пространстве, т.е. n  А;В;С , а через
(х0; у0; z0) и (x;y;z) – соответственно координаты точек М0 и М. Тогда вектор
М 0 М = r  r 0  х  х0 , у  у0 , z  z0 
Следовательно, на основании выражения скалярного произведения векторов в координатной форме, уравнение (12) переходит в уравнение
(4а)
А  х  х0   В  у  у0   С  z  z0   0
Уравнение (4а) называется уравнением плоскости, заданной точкой и
нормальным вектором, в координатной форме.
3. Общее уравнение плоскости
В уравнении (4а) раскроем скобки и получим
Ах  Ву  Сz   Ах0  Ву0  Сz0   0
Обозначив -  Ах0  Ву0  Сz0   D . Тогда получим
Ах  Ву  Сz  D  0
(5)
Это общее уравнение в пространстве.
Пример 1. Даны точки М1(3;1;-2) и М2(6;7;2) . Записать уравнение
плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору М1М 2 .
Решение.
1) Графическое представление.
2) Анализ условия задачи: плоскость задается точкой и нормалью.
3) Точка, через которую проходит плоскость М (3;1;-2), нормаль
n  М1М 2 3;6;4 .
4) Согласно уравнению (12а) уравнение искомой плоскости:
3 х  3  6  у  1  4  z  2  0 или 3х  6у  4z-7  0.
Частные случаи общего уравнения плоскости
Рассмотрим общее уравнение плоскости Ах  Ву  Сz  D  0 в случаях,
когда некоторые коэффициенты равны нулю.
1) Пусть D = 0 , тогда уравнение имеет вид Ах  Ву  Сz  D  0 .
Так как этому уравнению удовлетворяют х  у  z  0 , т.е. координаты точки
(0;0;0), то оно определяет плоскость, проходящую через начало координат.
2) Пусть С = 0, тогда уравнение имеет вид Ах  Ву  D  0 .
Оно
в пространстве определяет плоскость, параллельную оси 0z . Действительно,
нормальный вектор n  А;В;С в этом случае имеет нулевую проекцию на
ось 0z (С = 0). Следовательно, вектор n  А;В;С перпендикулярен оси 0z , а
сама плоскость параллельна ей.
3) Пусть В = 0, тогда уравнение имеет вид Ах  Сz  D  0 .
Этому уравнению соответствует плоскость, параллельная оси 0у, т.к. вектор
n  А;0;С перпендикулярен оси 0у.
4) Если А = 0 , то уравнение имеет вид Ву  Сz  D  0 .
Этому уравнению соответствует плоскость, параллельная оси 0х, т.к. вектор
n  0;В;С перпендикулярен к оси 0х.
5) Если в случаях 2 + 4D = 0, то уравнение имеет вид
Ах  Ву  0 , Ах  Сz  0 , Ву  Сz  0 , а соответствующие им плоскости будут
проходить соответственно через оси координат 0z, 0у, 0х.
6) Пусть В = 0 и С = 0 , тогда уравнение имеет вид Ах  D  0
или х  
D
.
А
Соответствующая плоскость параллельна координатной плоскости 0хуz. Действительно, в этом случае нормальный вектор n  А;0;0, т.е. имеет нулевые
проекции по осям 0у и 0z (В = 0, С = 0). Следовательно, вектор n перпендикулярен к осям 0у и 0z , а сама плоскость параллельна им. Это и означает,
что плоскость Ах  D  0 параллельна координатной плоскости 0 .
Аналогично, если А = 0 и С = 0 , то уравнение уz Ву  D  0 или у  
D
В
определяет плоскость, параллельную координатной плоскости 0хz .
Если же А = 0 и В = 0 , то уравнение С + D = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости 0ху.
7) Пусть В = С = D = 0, тогда Ах = 0 или х = 0 – уравнение координатной плоскости 0уz .
Пусть А = С = D = 0, тогда Ву = 0 , у = 0 – уравнение координатной плоскости 0хz .
Пусть А = В = D = 0, тогда Сz = 0 , z = 0 – уравнение координатной плоскости 0xу .
4. Уравнение плоскости в отрезках
Пусть теперь плоскость не параллельна ни одной из осей координат и не
проходит через начало координат (рис.8.3). Тогда эта плоскость отсекает на
осях отрезки – пусть 0М = а , 0N = в , 0Р = с .
z
P
c
0
в
N
y
а
М
х
Рис. 8.3. К уравнению плоскости в отрезках
Уравнение данной плоскости можно записать в общем виде
Ах  Ву  Сz  D  0 , где ни один из коэффициентов А,В,С,D не равен нулю.
Так как точка М (а, 0,0) принадлежит плоскости, то её координаты удовлетворяют общему уравнению плоскости, а именно: Аа + D = 0 , откуда
А
D
a
(6)
Аналогично координаты точки N(0,в,0) должны удовлетворять этому
уравнению : Вв + D = 0 , откуда
В
D
в
(6а)
Наконец, имеем аналогично и для точки Р ( 0,0,с) : Сс + D = 0 , откуда
С
D
с
(6б)
Подставив значения А,В,С из равенства (6), (6а), (6б) в общее уравнение
плоскости, сократив на – D (D ≠ 0) и перенеся свободный член вправо, получим
х у z
  1
а в с
(7)
Уравнение (7) и называется уравнением плоскости в отрезках.
5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть даны три точки с известными координатами: М1(х1,у1,z1),
М2(х2 , у2,, z2), М3(х3 ,у3 ,z3) не принадлежащие одной прямой (рис.8.4).
z
M
M1
M2
M3
0
y
x
Рис.8.4. Плоскость, проходящая через три точки
Следовательно, эти три точки определяют плоскость, через них проходящую. Чтобы записать уравнение это плоскости, возьмем на ней произвольную точку М (х,у,z). Тогда векторы М1М , М1М 2 , М1М 3 компланарны.
Обратно, если М1М , М1М 2 , М1М 3 компланарны, то точка М принадлежит
плоскости, определяемой точками М1 , М2 , М3 . Следовательно, смешанное
произведение этих векторов должно быть равно нулю:
(8) Это
 М 1М , М 1М 2 , М 1М 3   0
уравнение плоскости в векторной форме.
Выразив смешанное произведение векторов в координатной форме, получим
х  х1
у  у1
z  z1
х2  х1
у2  y1 z2  z1  0
х3  х1
у3  y1 z3  z1
(9)
Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
М1 (2 , 1, 3), М2 (5, 4 , 7), М3 (3, 6, 2).
Решение. 1) Определим координаты векторов согласно рис. 8.4 и, применив формулу (9), запишем уравнение искомой плоскости в виде
х  2у
3
1
1
3
5
z3
4
0
1
2) Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим
23 х  2  7  у  1  12  z  3  0.
3) После упрощений искомое уравнение имеет вид 23х  7 у  12 z -3  0 , т.е.
вид общего уравнения плоскости в пространстве.
6. Угол между плоскостями
Пусть даны две плоскости α и β , определенные общими уравнениями
(рис. 8.5):
:
А1 х  В1 у  С1 z  D1  0, т.е. n1  А1; В1; С1
:
А2 х  В2 у  С2 z  D2  0, т.е. n 2  А 2 ; В2 ; С2 

n2
1



1
0
n1

Рис. 8.5. Углы между плоскостями
При пересечении этих плоскостей образуются четыре попарно равные
двугранные углы.
Углом между двумя плоскостями будет называть любой из двух смежных двугранных углов. Один из этих двугранных углов равен углу между нормальными векторами n1 и n2     . Второй двугранный угол  1 будет
дополнять его до 180 0 .
Поэтому угол φ между двумя плоскостями определяется согласно формуле угла между векторами, а именно:
cos  
n1  n2

n1  n2
A1 A2  В1В2  С1С2
А  В12  С12  А22  В22  С22
2
1
(10)
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Для того, чтобы заданные плоскости были параллельны, необходимо и
достаточно, чтобы векторы n1  А1;В1;С1 и n2  А2 ;В2 ;С2  были
коллинеарны. В случае коллинеарности векторов их координаты пропорциональны, т.е. условие параллельности плоскостей:
А1 В1 С1


А2 В2 С2
(11)
Для того, чтобы две плоскости были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы векторы n1 и n2 были ортогональны друг другу. В
случае ортогональности векторов их координаты связаны соотношением,
являющимся условием перпендикулярности плоскостей.
(12)
A1 A2  В1В2  С1С2 = 0
7. Расстояние от точки до плоскости
Пусть требуется найти расстояние от точки (на рис. 8.6) М1 (х1,у1,z1) до
плоскости, заданной уравнением в общем виде Ах  Ву  Сz  D  0 .
z
M 1  x1 , y1 , z1 
  0 
0
n
0
d
K  x0 , y0 , z0 
x
d
0
y
M 2  x2 , y2 , z2 
  180 
0
Рис. 8.6. Расстояние от точки до плоскости
Проведем из точки М1 перпендикуляр М1К на данную плоскость. Тогда
расстояние d от точки М1 до плоскости будет равно модулю вектора КМ 1 .
Тогда как вектор КМ 1 и нормальный вектор n  А;В;С плоскости параллельны, то их скалярное произведение запишется
n  KM 1 cos 0 0
n  KM 1   n d 
n  KM cos 1800
Далее рассуждая так, как и в случае точки и прямой, мы получим следующую формулу расстояния от точки до плоскости
d
Ax1  Ву1Cz1  D
A2  В 2  С 2
(13)
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, необходимо в левую часть уравнения плоскости подставить вместо текущих координат координаты данной точки , взять полученное значение по модулю и разделить на длину нормального вектора плоскости.
Пример 4. Найти расстояние от точки М1(6;4;1) до плоскости
2 х  у  2 z  15  0 .
Решение. Применяя формулу расстояния от точки до плоскости, получа2  6  1  4  2  1  15 21
ем d 

7 .
2
2
2
3
2   1   2 